Амплитуда колебаний пружинного маятника формула: Формулы пружинного маятника в физике

alexxlab | 03.07.1984 | 0 | Разное

Содержание

Колебания маятника на пружине. Пружинный маятник: амплитуда колебаний, период, формула

Пружинный маятник – это колебательная система, состоящая из материальной точки массой т и пружины. Рассмотрим горизонтальный пружинный маятник (рис. 1, а). Он представляет собой массивное тело, просверленное посередине и надетое на горизонтальный стержень, вдоль которого оно может скользить без трения (идеальная колебательная система). Стержень закреплен между двумя вертикальными опорами.

К телу одним концом прикреплена невесомая пружина. Другой ее конец закреплен на опоре, которая в простейшем случае находится в покое относительно инерциальной системы отсчета, в которой происходят колебания маятника. В начале пружина не деформирована, и тело находится в положении равновесия С. Если, растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, то со стороны деформированной пружины на него начнет действовать сила упругости, всегда направленная к положению равновесия.

Пусть мы сжали пружину, переместив тело в положение А, и отпустили . Под действием силы упругости оно станет двигаться ускоренно. При этом в положении А на тело действует максимальная сила упругости, так как здесь абсолютное удлинение x m пружины наибольшее. Следовательно, в этом положении ускорение максимальное. При движении тела к положению равновесия абсолютное удлинение пружины уменьшается, а следовательно, уменьшается ускорение, сообщаемое силой упругости. Но так как ускорение при данном движении сонаправлено со скоростью, то скорость маятника увеличивается и в положении равновесия она будет максимальна.

Достигнув положения равновесия С, тело не остановится (хотя в этом положении пружина не деформирована, и сила упругости равна нулю), а обладая скоростью, будет по инерции двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости направлена теперь против движения тела и тормозит его. В точке D скорость тела окажется равной нулю, а ускорение максимально, тело на мгновение остановится, после чего под действием силы упругости начнет двигаться в обратную сторону, к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, тело, сжимая пружину и замедляя движение, дойдет до точки А (так как трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение тела будет повторяться в описанной последовательности. Итак, причинами свободных колебаний пружинного маятника являются действие силы упругости, возникающей при деформации пружины, и инертность тела.

По закону Гука F x = -kx. По второму закону Ньютона F x = ma x . Следовательно, ma x = -kx. Отсюда

Динамическое уравнение движения пружинного маятника.

Видим, что ускорение прямопропорционально смешению и противоположно ему направлено. Сравнивая полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний , видим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой

Цель работы . Ознакомиться с основными характеристиками незатухающих и затухающих свободных механических колебаний.

Задача

. Определить период собственных колебаний пружинного маятника; проверить линейность зависимости квадрата периода от массы; определить жесткость пружины; определить период затухающих колебаний и логарифмический декремент затухания пружинного маятника.

Приборы и принадлежности . Штатив со шкалой, пружина, набор грузов различной массы, сосуд с водой, секундомер.

1. Свободные колебания пружинного маятника. Общие сведения

Колебаниями называются процессы, в которых периодически изменяется одна или несколько физических величин, описывающих эти процессы. Колебания могут быть описаны различными периодическими функциями времени. Простейшими колебаниями являются гармонические колебания – такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, смещение груза на пружине) изменяется со временем по закону косинуса или синуса. Колебания, возникающие после действия на систему внешней кратковременной силы, называются свободными.

Если груз вывести из положения равновесия, отклонив на величину

x , то сила упругости возрастает: F упр = – kx 2= – k (x 1 + x ). Дойдя до положения равновесия, груз будет обладать отличной от нуля скоростью и пройдет положение равновесия по инерции. По мере дальнейшего движения будет увеличиваться отклонение от положения равновесия, что приведет к возрастанию силы упругости, и процесс повторится в обратном направлении. Таким образом, колебательное движение системы обусловлено двумя причинами: 1) стремлением тела вернуться в положении равновесия и 2) инерцией, не позволяющей телу мгновенно остановиться в положении равновесия. В отсутствии сил трения колебания продолжались бы сколь угодно долго. Наличие силы трения приводит к тому, что часть энергии колебаний переходит во внутреннюю энергию и колебания постепенно затухают. Такие колебания называются затухающими.

Незатухающие свободные колебания

Сначала рассмотрим колебания пружинного маятника, на который не действуют силы трения – незатухающие свободные колебания. Согласно второму закону Ньютона c учетом знаков проекций на ось X

Из условия равновесия смещение, вызываемое силой тяжести: . Подставляя в уравнение (1), получим: Дифференциал” href=”/text/category/differentcial/” rel=”bookmark”>дифференциальное уравнение

https://pandia.ru/text/77/494/images/image008_28.gif”>. (3)

Данное уравнение называется уравнением гармонических колебаний . Наибольшее отклонение груза от положения равновесия А 0 называется амплитудой колебаний . Величина , стоящая в аргументе косинуса, называется фазой колебания . Постоянная φ0 представляет собой значение фазы в начальный момент времени (t = 0) и называется начальной фазой колебаний . Величина

есть круговая или циклическая частота собственных колебаний , связанная с периодом колебаний Т соотношением https://pandia.ru/text/77/494/images/image012_17.gif”>. (5)

Затухающие колебания

Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника при наличии силы трения (затухающие колебания). В простейшем и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае сила трения пропорциональна скорости υ движения:

F тр = – , (6)

где r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус показывает, что сила трения и скорость имеют противоположные направления. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось Х при наличии упругой силы и силы трения

ma = – kx . (7)

Данное дифференциальное уравнение с учетом υ = dx / dt можно записать

https://pandia.ru/text/77/494/images/image014_12.gif”> – коэффициент затухания ; – циклическая частота свободных незатухающих колебаний данной колебательной системы, т. е. при отсутствии потерь энергии (β = 0). Уравнение (8) называют

дифференциальным уравнением затухающих колебаний .

Чтобы получить зависимость смещения x от времени t , необходимо решить дифференциальное уравнение (8)..gif”>, (9)

где А 0 и φ0 – начальная амплитуда и начальная фаза колебаний;
– циклическая частота затухающих колебаний при ω >> https://pandia.ru/text/77/494/images/image019_12.gif”>. (10)

На графике функции (9), рис. 2, пунктирными линиями показано изменение амплитуды (10) затухающих колебаний.

Рис. 2. Зависимость смещения х груза от времени t при наличии силы трения

Для количественной характеристики степени затухания колебаний вводят величину, равную отношению амплитуд, отличающихся на период, и называемую декрементом затухания :

. (11)

Часто используют натуральный логарифм этой величины. Такой параметр называется логарифмическим декрементом затухания :

Амплитуда уменьшается в

n раз, то из уравнения (10) следует, что

Отсюда для логарифмического декремента получаем выражение

Если за время t амплитуда уменьшается в е раз (е = 2,71 – основание натурального логарифма), то система успеет совершить число колебаний

где – угловой коэффициент наклона прямой T 2 от m .

Задание 1. Определение зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза.

1. Определить период колебаний пружинного маятника при различных значениях массы груза m . Для этого с помощью секундомера для каждого значения m трижды измерить время t полных n колебаний (n ≥10) и по среднему значению времени https://pandia.ru/text/77/494/images/image030_6.gif”>. Результаты занести в табл. 1.

2. По результатам измерений построить график зависимости квадрата периода T 2 от массы m . Из углового коэффициента графика определить жесткость пружины k по формуле (16).

Таблица 1

Результаты измерений для определения периода собственных колебаний

3. Дополнительное задание. Оценить случайную , полную и относительную εt ошибки измерения времени для значения массы m = 400 г.

Задание 2. Определение логарифмического декремента затухания пружинного маятника.

1. На пружину подвесить груз массой m = 400 г с кольцом и поместить в сосуд с водой, так чтобы кольцо полностью находилось в воде. Определить период затухающих колебаний для данного значения m по методу, изложенному в п. 1 задания 1. Измерения повторить три раза и результаты занести в левую часть табл. 2.

2. Вывести маятник из положения равновесия и, отметив по линейке его начальную амплитуду, измерить время t , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза. Измерения произвести три раза. Результаты занести в правую часть табл. 2.

Таблица 2

Результаты измерений

для определения логарифмического декремента затухания

Рис. 3. Схема установки

Установка состоит из штатива 1 с измерительной шкалой 2 . К штативу на пружине 3 подвешиваются грузы 4 различной массы. При изучении затухающих колебаний в задании 2 для усиления затухания используется кольцо 5 , которое помещается в прозрачный сосуд 6 с водой.

В задании 1 (выполняется без сосуда с водой и кольца) в первом приближении затуханием колебаний можно пренебречь и считать гармоническими. Как следует из формулы (5) для гармонических колебаний зависимость T 2 = f (m ) – линейная, из которой можно определить коэффициент жесткости пружины

k по формуле

Измерение периода колебаний

Измерение времени

уменьшения амплитуды в 2 раза

4. Контрольные вопросы и задания

1. Какие колебания называются гармоническими? Дайте определение их основных характеристик.

2. Какие колебания называются затухающими? Дайте определение их основных характеристик.

3. Поясните физический смысл логарифмического декремента затухания и коэффициента затухания.

4. Вывести зависимости от времени скорости и ускорения груза на пружине, совершающего гармонические колебания. Привести графики и проанализировать.

5. Вывести зависимости от времени кинетической, потенциальной и полной энергии для груза, колеблющегося на пружине. Привести графики и проанализировать.

6. Получить дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение.

7. Построить графики гармонических колебаний с начальными фазами π/2 и π/3.

8. В каких пределах может изменяться логарифмический декремент затухания?

9. Привести дифференциальное уравнение затухающих колебаний пружинного маятника и его решение.

10. По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Являются ли затухающие колебания периодическими?

11. Какое движение называется апериодическим? При каких условиях оно наблюдается?

12. Что называется собственной частотой колебаний? Как она зависит от массы колеблющегося тела для пружинного маятника?

13. Почему частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний системы?

14. Подвешенный к пружине медный шарик совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый того же радиуса?

15. При каком значении логарифмического декремента затухания колебания затухают быстрее: при θ1 = 0,25 или θ2 = 0,5? Привести графики этих затухающих колебаний.

Библиографический список

1. И . Курс физики / . – 11-е изд. – М. : Академия, 2006. – 560 с.

2. В . Курс общей физики: в 3 т. / . – СПб. : Лань, 2008. – Т. 1. – 432 с.

3. С . Лабораторный практикум по физике / .
– М. : Высш. шк., 1980. – 359 с.

Что такое период колебаний? Что это за величина, какой физический смысл она имеет и как ее рассчитать? В этой статье мы разберемся с этими вопросами, рассмотрим различные формулы, по которым можно рассчитать период колебаний, а также выясним, какая связь имеется между такими физическими величинами, как период и частота колебаний тела/системы.

Определение и физический смысл

Периодом колебаний называется такой промежуток времени, при котором тело или система совершают одно колебание (обязательно полное). Параллельно можно отметить параметр, при выполнении которого колебание может считаться полным. В роли такого условия выступает возвращение тела в его первоначальное состояние (к первоначальной координате). Очень хорошо проводится аналогия с периодом функции. Ошибочно, кстати, думать, что она имеет место исключительно в обыкновенной и высшей математике. Как известно, эти две науки неразрывно связаны. И с периодом функций можно столкнуться не только при решении тригонометрических уравнений, но и в различных разделах физики, а именно речь идет о механике, оптике и прочих. При переносе периода колебаний из математики в физику под ним нужно понимать просто физическую величину (а не функцию), которая имеет прямую зависимость от проходящего времени.

Какие бывают колебания?

Колебания подразделяются на гармонические и ангармонические, а также на периодические и непериодические. Логично было бы предположить, что в случае гармонических колебаний они совершаются согласно некоторой гармонической функции. Это может быть как синус, так и косинус. При этом в деле могут оказаться и коэффициенты сжатия-растяжения и увеличения-уменьшения. Также колебания бывают затухающими. То есть, когда на систему действует определенная сила, которая постепенно “тормозит” сами колебания. При этом период становится меньше, в то время как частота колебаний неизменно увеличивается. Очень хорошо демонстрирует такую вот физическую аксиому простейший опыт с использованием маятника. Он может быть пружинного вида, а также математического. Это неважно. Кстати, период колебаний в таких системах будет определяться разными формулами. Но об этом чуточку позже. Сейчас же приведем примеры.

Опыт с маятниками

Взять первым можно любой маятник, разницы никакой не будет. Законы физики на то и законы физики, что они соблюдаются в любом случае. Но почему-то больше по душе математический маятник. Если кто-то не знает, что он собой представляет: это шарик на нерастяжимой нити, который крепится к горизонтальной планке, прикрепленной к ножкам (или элементам, которые играют их роль – держать систему в равновесном состоянии). Шарик лучше всего брать из металла, чтобы опыт был нагляднее.

Итак, если вывести такую систему из равновесия, приложить к шару какую-то силу (проще говоря, толкнуть его), то шарик начнет раскачиваться на нити, следуя определенной траектории. Со временем можно заметить, что траектория, по которой проходит шар, сокращается. В то же время шарик начинает все быстрее сновать туда-сюда. Это говорит о том, что частота колебаний увеличивается. А вот время, за которое шарик возвращается в начальное положение, уменьшается. А ведь время одного полного колебания, как мы выяснили ранее, и называется периодом. Если одна величина уменьшается, а другая увеличивается, то говорят об обратной пропорциональности. Вот мы и добрались до первого момента, на основании которого строятся формулы для определения периода колебаний. Если же мы возьмем для проведения пружинный маятник, то там закон будет наблюдаться немного в другом виде. Для того чтобы он был наиболее наглядно представлен, приведем систему в движение в вертикальной плоскости. Чтобы было понятнее, сначала стоило сказать, что собой представляет пружинный маятник. Из названия понятно, что в его конструкции должна присутствовать пружина. И это действительно так. Опять же таки, у нас есть горизонтальная плоскость на опорах, к которой подвешивается пружина определенной длины и жесткости. К ней, в свою очередь, подвешивается грузик. Это может быть цилиндр, куб или другая фигурка. Это может быть даже какой-то сторонний предмет. В любом случае, при выведении системы из положения равновесия, она начнет совершать затухающие колебания. Наиболее четко просматривается увеличение частоты именно в вертикальной плоскости, без всякого отклонения. На этом с опытами можно закончить.

Итак, в их ходе мы выяснили, что период и частота колебаний это две физические величины, которые имеют обратную зависимость.

Обозначение величин и размерности

Обычно период колебаний обозначается латинской буквой T. Гораздо реже он может обозначаться по-другому. Частота же обозначается буквой µ (“Мю”).2). Никаких затруднений формула вызывать не должна. Поэтому без дополнительных вопросов перейдем сразу к решению задачи на определение периода колебания математического маятника. Металлический шар массой 10 грамм подвешен на нерастяжимой нити длиной 20 сантиметров. Рассчитайте период колебания системы, приняв ее за математический маятник. Решение очень простое. Как и во всех задачах по физике, необходимо максимально упростить ее за счет отброса ненужных слов. Они включаются в контекст для того чтобы запутать решающего, но на самом деле никакого веса абсолютно не имеют. В большинстве случаев, разумеется. Здесь можно исключить момент с “нерастяжимой нитью”. Это словосочетание не должно вводить в ступор. А так как маятник у нас математический, масса груза нас интересовать не должна. То есть слова о 10 граммах тоже просто призваны запутать ученика. Но мы ведь знаем, что в формуле масса отсутствует, поэтому со спокойной совестью можем приступать к решению. Итак, берем формулу и просто подставляем в нее величины, поскольку определить необходимо период системы. Поскольку дополнительных условий не было задано, округлять значения будем до 3-его знака после запятой, как и принято. Перемножив и поделив величины, получим, что период колебаний равен 0,886 секунд. Задача решена.

Формула для пружинного маятника. Задача №2

Формулы маятников имеют общую часть, а именно 2п. Эта величина присутствует сразу в двух формулах, но разнятся они подкоренным выражением. Если в задаче, касающейся периода пружинного маятника, указана масса груза, то избежать вычислений с ее применение невозможно, как это было в случае с математическим маятником. Но пугаться не стоит. Вот так выглядит формула периода для пружинного маятника:

В ней m – масса подвешенного к пружине груза, k – коэффициент жесткости пружины. В задаче значение коэффициента может быть приведено. Но если в формуле математического маятника особо не разгуляешься – все-таки 2 величины из 4 являются константами – то тут добавляется 3 параметр, который может изменяться. И на выходе мы имеем 3 переменных: период (частота) колебаний, коэффициент жесткости пружины, масса подвешенного груза.2. В принципе, задачку можно было бы еще немного усложнить, задав не период в числах, а частоту. В любом случае, при подсчетах и округлениях (мы условились округлять до 3-его знака после запятой), получится, что k = 0, 157 Н/м.

Период свободных колебаний. Формула периода свободных колебаний

Под формулой периода свободных колебаний понимают те формулы, которые мы разобрали в двух ранее приведенных задачах. Составляют также уравнение свободных колебаний, но там речь идет уже о смещениях и координатах, а этот вопрос относится уже к другой статье.

1) Прежде чем браться за задачу, запишите формулу, которая с ней связана.

2) Простейшие задачи не требуют рисунков, но в исключительных случаях их нужно будет сделать.

3) Старайтесь избавляться от корней и знаменателей, если это возможно. Записанное в строчку уравнение, не имеющее знаменателя, решать гораздо удобнее и проще.

где k – коэффициент упругости тела, m – масса груза

Математическим маятником называется система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, совершающей колебания под действием силы тяжести (рис.5.13,б).

Период колебаний математического маятника

где l – длина математического маятника, g – ускорение свободного падения.

Физическим маятником называется твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела (рис.5.13,в).

,

где J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; d – расстояние центра масс маятника от оси колебаний; – приведенная длина физического маятника.

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой

Результирующая начальная фаза , получаемая при сложении двух колебаний, :

, (5.50)

где A 1 и A 2 – амплитуды слагаемых колебаний, φ 1 и φ 2 – их начальные фазы.

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего движения имеет вид:

Если на материальную точку, кроме упругой силы действует сила трения, то колебания будут затухающими, и уравнение такого колебания будет иметь вид

, (5.52)

где называется коэффициентом затухания (r – коэффициент сопротивления).

Называется отношение двух амплитуд, отстоящих друг от друга по времени, равным периоду


Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины периодически меняются и сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивности L, конденсатора емкостью C и резистора сопротивлением R (рис.5.14).

Период T электромагнитных колебаний в колебательном контуре

. (5.54)

Если сопротивление колебательного контура мало, т.е. формулой Томсона

Если сопротивление контура R не равно нулю, то колебания будут затухающими . При этом разность потенциалов на обкладках конденсатора меняется со временем по закону

, (5.56)

где δ – коэффициент затухания, U 0 – амплитудное значение напряжения.

Коэффициент затухания колебаний в колебательном контуре

где L – индуктивность контура, R – сопротивление.

Логарифмическим декрементом затухания называется отношение двух амплитуд, отстоящих друг от друга по времени, равное периоду


Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы ω к частоте, равной или близкой собственной частоте ω 0 колебательной системы (рис.5.15.).

Условие получения резонанса :

. (5.59)

Промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшится в e раз, называется временем релаксации

Для характеристики затухания колебательных контуров часто пользуются величиной, называемой добротностью контура. Добротностью контура Q называется число полных колебаний N, умноженное на число π, по истечению которых амплитуда уменьшается в e раз

. (5.61)

Если коэффициент затухания равен нулю, то колебания будут незатухающими, напряжение будет меняться по закону

. (5.62)

В случае постоянного тока отношение напряжения к силе тока называют сопротивлением проводника. Подобно этому при переменном токе отношение амплитуды активной составляющей напряжения U а к амплитуде тока i 0 называется активным сопротивлением цепи X

В рассматриваемой цепи оно равно сопротивлению постоянного тока. Активное сопротивление всегда приводит к выделению тепла.

Отношение

. (5.64)

называетсяреактивным сопротивлением цепи .

Наличие реактивного сопротивления в цепи не сопровождается выделением тепла.

Полным сопротивлением называется геометрическая сумма активного и реактивного сопротивления

, (5.65)

Емкостным сопротивлением цепи переменного тока X c называется соотношение

Индуктивное сопротивление

Закон Ома для переменного тока записывается в виде

где I эф и U эф – эффективные значения силы тока и напряжения , связанные с их амплитудными значениями I 0 и U 0 соотношениями

Если цепь содержит активное сопротивление R, емкость C и индуктивность L, соединенные последовательно, тоcдвиг фаз между напряжением и силой тока определяется формулой

. (5.70)

Если активное сопротивление R и индуктивность включены параллельно в цепь переменного тока, то полное сопротивление цепи определяется формулой

, (5.71)

и сдвиг фаз между напряжением и током определяется следующим соотношением

, (5.72)

где υ – частота колебаний.

Мощность переменного тока определяется следующим соотношением

. (5.73)

Длина волны связана с периодом следующим соотношением

где c=3·10 8 м/с – скорость распространения звука.

Примеры решения задач

Задача 5.1. По отрезку прямого провода длиной l = 80 см течет ток I = 50 А. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого этим током, в точке А, равноудаленной от концов отрезка провода и находящейся на расстоянии r 0 = 30 см от его середины.

где dB – магнитная индукция, создаваемая элементом провода длиной dl с током I в точке, определяемой радиус-вектором r; μ 0 – магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость среды, в которой находится провод (в нашем случае, т.к. средой является воздух, μ = 1).

Векторы от различных элементов тока сонаправлены (рис.), поэтому выражение (1) можно переписать в скалярной форме:

где α – угол между радиус-вектором и элементом тока dl .

Подставляя выражение (4) в (3), получим

Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cos α 2 = – cos α 1 .

С учетом этого формула (7) примет вид

Подставляя формулу (9) в (8), получим


Задача 5.2. Два параллельных бесконечно длинных провода D и C, по которым текут токи в одном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис.), отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r 1 = 5 см, от другого – r 2 = 12 см.

Модуль вектора магнитной индукции найдем по теореме косинусов:

где α – угол между векторами B 1 и B 2 .

Магнитные индукции B 1 и B 2 выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r 1 и r 2 от проводов до точки А:

Из рисунка видно, что α = Ð DAC (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами).

Из треугольника DAC по теореме косинусов, найдем cosα

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу индукции магнитного поля (Тл)

Вычисления:

Ответ: B = 3,08·10 -4 Тл.

Задача 5.3. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см.

определяемой радиус-вектором .

где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца.

Разложим вектор dB на две составляющие dB ┴ , перпендикулярную плоскости кольца, и dB || , параллельную плоскости кольца, т.е.

где и (поскольку dl перпендикулярен r и, следовательно, sinα = 1).

С учетом этого формула (3) примет вид

Проверим, дает ли правая часть равенства (5) единицу магнитной индукции

Вычисления:

Тл.

Ответ: B = 6,28·10 -5 Тл.

Задача 5.4. Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом α = 2π/3. Определить магнитную индукцию в точке А (рис. к задаче 5.4., а). Расстояние d = 5 см.

Вектор сонаправлен с вектором и определяется правилом правого винта. На рисунке 5.4.,б это направление отмечено крестиком в кружочке (т.е. перпендикулярно плоскости чертежа, от нас).

Вычисления:

Тл.

Ответ: B = 3,46·10 -5 Тл.


Задача 5.5. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (рис. к задаче 5.5.,а ). По проводам текут токи I 1 = 80 А и I 2 = 60 А. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию B в точке А, одинаково удаленной от обоих проводов.
Дано: I 1 = 80 А I 2 = 60 А d = 10 см = 0,1 м Решение: В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций и , создаваемых токами I 1 и I 2 .
Найти: B – ?

Из рисунка следует, что векторы B 1 и B 2 взаимно перпендикулярны (их направления находятся по правилу буравчика и изображены в двух проекциях на рис. к задаче 5.5.,б).

Напряженность магнитного поля, согласно (5.8), созданного бесконечно длинным прямолинейным проводником,

где μ – относительная магнитная проницаемость среды (в нашем случае μ = 1).

Подставляя формулу (2) в (3), найдем магнитные индукций B 1 и B 2 , создаваемых токами I 1 и I 2

Подставляя формулу (4) в (1), получим

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу магнитной индукции (Тл):

Вычисления:

Тл.

Ответ: B = 4·10 -6 Тл.

Задача 5.6. Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изображено на рисунке к задаче 5.6,а . Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого в точке О током I = 80 A, текущим по этому проводу.

В нашем случае провод можно разбить на три части (рис. к задаче 5.6, б): два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом, уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R.

Учитывая, что векторы направлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной такого кругового тока, поэтому

В нашем случае r 0 = R, α 1 = π/2 (cos α 1 = 0), α 2 → π (cos α 2 = -1).

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу магнитной индукции (Тл):

Вычисления:

Тл.

Ответ: B = 3,31·10 -4 Тл.

Задача 5.7. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2,5 см каждый, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

Ток I 1 создает в месте расположения второго провода (с током I 2) магнитное поле. Проведем линию магнитной индукции (пунктир на рис.) через второй провод и по касательной к ней – вектор магнитной индукции B 1 .

Рисунок к задаче 5.7

Модуль магнитной индукции B 1 определяется соотношением

Так как вектор dl перпендикулярен вектору B 1 , то sin(dl ,B) = 1 и тогда

Силу F взаимодействия проводов с током найдем интегрированием:

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу силы (Н):

Вычисление:

Н.

Ответ: F = 2,5 Н.

Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости , то она сообщит частице (протону) нормальное ускорение a n .

Согласно второму закону Ньютона,

где m – масса протона.

На рисунке совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора . Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору к центру окружности (векторы a n и F л сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора ).

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Уральский государственный университет путей сообщения

Филиал УрГУПС в г. Нижний Тагил

Кафедра «Общепрофессиональные дисциплины»

Отчет по лабораторной работе №5

«Масса на пружине»

Преподаватель:

Нижний Тагил

Колебания массы на пружине при отсутствии вынуждающей силы называются свободными. Свободные колебания при отсутствии трения являются гармоническими.

Колебательное движение груза на пружине происходит под действием упругой силы по вертикальному направлению.

По второму закону Ньютона

где – масса колеблющегося тела,– коэффициент упругости (жёсткость) пружины. Пружинный маятник совершает гармонические колебания по законус циклической частотойи периодом. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т.е. масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника равна.

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, в которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса . Уравнение гармонического колебания

где –коэффициент упругости (жёсткость) , –масса колеблющейся системы, –смещение колеблющейся системы, – сила упругости (возвращающая сила) . Решение дифференциального уравнения имеет вид

где – колеблющаяся величина (смещение, скорость, ускорение, сила, импульс и др.), –время , –амплитуда колебания, равная максимальному отклонению колеблющейся величины от положения равновесия, –циклическая (круговая) частота . Циклическая частота численно равна числу полных колебаний, совершаемых за времяс, т.е.,–частота колебаний равна числу полных колебаний, совершаемых за единицу времени.Период колебаний – время, за которое совершается одно полное колебание.Фаза колебания определяет значениев данный момент времени, или какую часть от амплитудысоставляет смещениев данный момент времени.Начальная фаза колебания определяет момент начала отсчёта времени, т.е. при.

Характеристики гармонического свободного колебания материальной точки (массы на пружине), совершаемого по закону , при

Здесь индексом 0 обозначены (,,,,,,) – максимальные (амплитудные) значения величин.

Скорость м.т. , где.

Ускорение м.т. ;.

Возвращающая сила, действующая на м. т. ;.

Импульс м.т. ;.

Кинетическая энергия м.т. ;.

Среднее значение кинетической энергии м.т. за один период .

Потенциальная энергия м.т. ;.

Среднее значение потенциальной энергии м.т. .

Колебание м.т. совершается по закону , при,.

Скорость м.т. , где.

Ускорение м.т. ;.

Возвращающая сила, действующая на м.т. ;.

Импульс м.т. ;.

Кинетическая энергия м.т. ;.

Потенциальная энергия м.т. ;. По закону сохранения механической энергии максимальные значения, средние значения за период. Полная энергия колеблющейся м. т. равна. Так как,.

Согласно выражениям (2) квадрат у синуса и косинуса в кинетической и потенциальной энергии показывает, что эти величины со временем изменяются с удвоенной частотой .

Ускорение, скорость, смещение м. т. находятся в последовательности . Ускорение опережает скорость по фазе на, а смещение – на. Скорость опережает смещение по фазе на. Вторая производная от смещения по времени пропорциональна смещению и имеет обратный ему знак. Сила, действующая на колеблющуюся м. т.,. Она пропорциональна смещению м. т. из положения равновесия и направлена к положению равновесия.

Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Энергия расходуется на работу против сил трения. Затухающие колебания совершаются при одновременном действии сил: упругой силы и силы сопротивления среды. Уравнение затухающего колебания при небольших затуханиях вытекает из второго закона Ньютона , т.е.

Или , или, (3)

где – масса колеблющегося тела,=- его ускорение,F упр = – – упругая (возвращающая) сила,–сила сопротивления среды, –коэффициент сопротивления среды, =– скорость движения тела в среде. Решение дифференциального уравнения (3) даёт зависимость смещенияот времени

где –коэффициент затухания , – циклическая частота затухающих колебаний системы,– собственная циклическая частота свободных колебаний системы. Отношение двух последующих амплитуд одного и того же знакаи, отстоящих друг от друга на период, называетсядекрементом затухания . Натуральный логарифм от отношения двух последующих амплитуд, отстоящих друг от друга на период, называетсялогарифмическим декрементом затухания .Время релаксации равно промежутку времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается враз. Логарифмический декремент затухания, где=/T – число колебаний, совершаемых за время релаксации, т.е. за время уменьшения амплитуды в раз.Добротностью колебательной системы называется число, равное умноженному на 2π отношению полной энергии к величине потери энергии за период за счёт её диссипации. Добротностьпропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.

Амплитуда колебаний скорости пружинного маятника

Механическими колебаниями называются движения, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Гармоническими называются колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (или косинуса).

Пружинный маятник – это колебательная система, состоящая из груза массой т, закрепленного на пружине, совершающая гармонические колебания под действием упругой силы , зависящей от величины линейной деформации x по закону Гука (Fx= – kx, где k – жесткость пружины.

Согласно второму закону Ньютона уравнение движения маятника:

.

Так как ускорение a является второй производной от смещения x (), то

или .

Если обозначить , то получим дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний пружинного маятника:

.

Решением этого дифференциального уравнения является функция x(t):

,

где отклонение тела от положения равновесия в момент времени t;

А – амплитуда колебания, то есть максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия;

wкруговая (циклическая) частота;

j начальная фаза колебания.

Круговая частота , где Т – период колебаний: .

Кинетическая энергия колебаний пружинного маятника:

.

Потенциальная энергия колебаний пружинного маятника:

.

Полная энергия колебаний пружинного маятника:

,

откуда видно, что полная энергия свободных незатухающих гармонических колебаний пружинного маятника остается со временем постоянной.

Свободные затухающие гармонические колебания пружинного маятника (рис. 6). Для пружинного маятника массой т, совершающего колебания под действием упругой силы (Fx = – kx)с учетомсилы сопротивления , пропорциональной скорости движения груза (), второй закон Ньютона имеет вид:

,

где rкоэффициент сопротивления.

Обозначив и ( – коэффициент затухания), получим дифференциальное уравнение свободных затухающих гармонических колебаний пружинного маятника:

.

Решением этого дифференциального уравнения в случае малых затуханий

является функция x(t):

,

где – амплитуда затухающих колебаний в момент времени t;

начальная амплитуда, т.е. амплитуда в момент времени t = 0,

круговая (циклическая) частота:

Период затухающих гармонических колебаний пружинного маятника:

.

Декремент затухания. Если A(tА(t+Т) амплитуды двух последовательных колебаний (рис. 6), то отношение этих величин называется декрементом затухания .

Логарифм называется логарифмическим декрементом затухания :

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10472 — | 7305 — или читать все.

188.64.173.93 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Источник: studopedia.ru

Формулы пружинного маятника

Определение и формулы пружинного маятника

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.2_0=frac$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

где $_0=sqrt>>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ — амплитуда колебаний; $_0t+varphi )$ — фаза колебаний; $varphi $ и $_1$ — начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

[Re tilde=Releft(Acdot exp left(ileft(_0t+varphi right)right)right)left(3right).]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

Так как частота колебаний ($nu $) — величина обратная к периоду, то:

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($varphi $).

Амплитуду можно найти как:

начальная фаза при этом:

где $v_0$ — скорость груза при $t=0 c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

где $dot=v$ — скорость движения груза; $E_k=frac>^2>$ — кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

  • Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
  • Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600 frac$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1 frac$?

Решение. Сделаем рисунок.

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

где $E_$ — потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_$ — кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.

Потенциальная энергия равна:

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

Из (1.4) выразим искомую величину:

Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

Ответ. $x_0=1,5$ мм

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A $где $A$ и $omega $ — постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_$. В какой момент времени это произойдет?

Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:

В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_$, значит:

Источник: www.webmath.ru

Амплитуда колебаний скорости пружинного маятника

На гладком горизонтальном столе брусок массой М, прикреплённый к вертикальной стене пружиной жёсткостью k, совершает гармонические колебания с амплитудой А (см. рисунок). Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

А) период колебаний груза

Б) амплитуда скорости груза

1)

2)

3)

4)

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫФОРМУЛЫ

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Период колебаний пружинного маятника равна (А — 1).

Максимальная потенциальная энергия пружины равна максимальной кинетической энергии Из равенства следует, что амплитуда скорости груза равна (Б — 4).

Источник: phys-ege.sdamgia.ru

Все Формулы

Все Формулы по Физике здесь

Период пружинного маятника

Период пружинного маятника зависит от жёсткости пружины: с увеличением коэффициента жёсткости пружины период колебания маятника уменьшается

Пружинный маятник — это груз, колеблющийся на пружине. Он совершает возвратно-поступательное движение. Пружинный маятник подчиняется законам движения, по которым можно определить период его колебаний, зная массу груза и жесткость пружины. Период колебаний пружинного маятника не зависит от места его расположения и амплитуды колебаний.

Давайте выведем формулу периода пружинного маятника.

На груз m горизонтального пружинного маятника действуют сила тяжести (mg), сила реакции опоры (N) и сила упругости пружины (Fynp). Запишем второй закон Ньютона для данного случая :

Все проецируем на ось ОХ:

Запишем это уравнение в форме аналогичной уравнению движения гармонического осциллятора:

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:

Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:

Тогда период колебаний пружинного маятника будет равен:

Источник: xn----ctbjzeloexg6f.xn--p1ai

Пружинный и математический маятник

Примерами гармонических колебаний служат колебания пружинного и математического маятников.

Пружинный маятник — тело массой т, колеблющееся на упругой пружине (рис. 5.5) и совершающее гармонические колебания под воздействием упругой силы:

где к — жесткость пружины.

Закон движения пружинного маятника:

где а — угол отклонения маятника от положения равновесия; а — амплитуда колебаний (максимальное значение угла отклонения).

При последовательном соединении пружин (рис. 5.5, б) общий коэффициент жесткости

При параллельном соединении пружин общий коэффициент жесткости (рис. 5.5, в)

Круговая (циклическая) частота:

Кинетическая энергия пружинного маятника:

Потенциальная энергия пружинного маятника:

Полная энергия пружинного маятника:

На рис. 5.6, а представлен график зависимости потенциальной энергии Еп пружинного маятника от деформации х, где Е — полная энергия (прямая горизонтальная линия), кинетическая Ек и потенциальная Еп энергии заданы соответствующими отрезками ординат. Из рисунка следует, что с возрастанием деформации х потенциальная энергия маятника возрастает, кинетическая — уменьшается (и наоборот). В отсутствие трения полная энергия тела сохраняется (Е = Ек + Еи) при любых значениях х

Графические зависимости кинетической Ек, потенциальной Еп и полной энергий Е упругой деформации тел от времени t показаны на рис. 5.6, б.

Математический маятник — материальная точка массой т, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной I и колеблющаяся под действием силы тяжести (рис. 5.7).

Круговая (циклическая) частота:

Период и частота колебания математического маятника:

Если маятник движется вниз с ускорением а (или вверх с замедлением а), его период

Если маятник движется вверх с ускорением а (или вниз с замедлением а), его период

Если маятник движется с ускорением а в горизонтальном направлении, его период

Кинетическая энергия математического маятника:

Потенциальная энергия математического маятника:

Превращение энергии при гармонических колебаниях происходит в соответствии с законом сохранения энергии в консервативной системе:

При движении пружинного маятника от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая уменьшается (см. рис. 5.6, а). Когда маятник проходит положение равновесия (? = 0), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия маятника максимальна и равна полной энергии. В состоянии максимального отклонения от положения равновесия скорость маятника равна нулю, следовательно, равна нулю и кинетическая энергия, а потенциальная — максимальна и равна полной энергии. Следовательно, в момент максимального отклонения и когда маятник проходит положение равновесия имеет место:

Приведенные сведения об энергии колебаний пружинного маятника имеют общее значение и справедливы для свободных гармонических незатухающих колебаний в любой колебательной системе.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием внешней, периодически действующей силы.

Вынужденные колебания совершают, например, игла швейной машины, нож электробритвы, поршень в цилиндре двигателя внутреннего сгорания и др.

Вынуждающая сила — сила, вызывающая вынужденные колебания.

Если вынуждающая сила меняется гармонически по закону F = Fmaxcos(ot (Fmax — амплитуда вынуждающей силы, со — ее циклическая частота), то в колебательной системе, на которую действует эта сила, через определенное время (соответствует переходному режиму) устанавливаются гармонические вынужденные колебания с частотой, равной частоте со вынуждающей силы (рис. 5.8).

Уравнение вынужденных колебаний:

где А — амплитуда вынужденных колебаний; ю — циклическая частота свободных незатухающих колебаний системы; ср — разность фаз между смещением х и вынуждающей силой F. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний:

где Fmax — амплитуда вынуждающей силы; т — масса колеблющейся системы; со — циклическая частота внешней силы; г —

коэффициент сопротивления; (3 =—коэффициент затуха-

Для вынужденных колебаний характерно явление резонанса.

Разность фаз между смещением и вынуждающей силой:

Резонанс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте ш колебаний системы. Соответственно величина а>рсз называется резонансной циклической частотой, а кривые зависимости А от оз — резонансными кривыми (рис. 5.9).

Резонансная циклическая частота и резонансная амплитуда:

Возрастание амплитуды вынужденных колебаний при резонансе выражено тем отчетливее, чем меньше трение в системе (Р —*? 0). На практике амплитуда А в точке со конечна за счет сопротивления среды (р| > р2 > Ро), поэтому с ростом резонансная частота сдвигается в сторону меньших частот, а резонансная амплитуда — понижается (Арез1

Источник: studme.org

Пружинный маятник период и амплитуда колебани1, формула, жесткость

Работа множества механизмов основывается на простых законах физики и математики. Довольно обширное распространение получило понятие пружинного маятника. Такой механизм получил очень большое распространение, так как пружина обеспечивает требуемую практичность, может быть элементом автоматизированных устройств. Рассмотрим детальнее такое устройство, рабочий принцип и остальные моменты детальнее.

Определения пружинного маятника

Как раньше было отмечено, пружинный маятник получил очень большое распространение. Среди свойств можно подчеркнуть следующее:

  1. Устройство продемонстрировано комбинированием груза и пружины, масса которой может не предусматриваться. В качестве груза как правило выступает самый разный объект. При этом на него может оказываться влияние со стороны внешней силы. Популярным примером можно назвать создание клапана предохранительного, который устанавливается в трубопроводной системе. Крепление груза к пружине проходит очень разным образом. При этом применяется исключительно традиционный винтовой вариант выполнения, который получил самое большое распространение. Важные характеристики в большинстве случаев зависят от типа используемого материала во время изготовления, диаметра витка, правильности центровки и множества прочих факторов. Крайние витки часто делаются поэтому, чтобы могли воспринимать чрезмерную нагрузку при эксплуатировании.
  2. До начала деформации полная механическая энергия отсутствует. При этом на тело не оказывает влияние сила упругости. Каждая пружина имеет начальное положение, которое она хранит в течении долгого периода. Впрочем, за счёт конкретной жесткости происходит фиксация тела в начальном положении. Имеет большое значение то, как прикладывается усилие. Примером назовем то, что она обязана быть направлена вдоль оси пружины, так как в другом случае есть вероятность возникновения деформации и множества прочих проблем. У любой пружины имеются собственные конкретный придел сжатия и растяжения. При этом максимальное сжатие продемонстрировано отсутствием зазора между отдельными виточками, при растяжении есть момент, когда происходит невозвратная дефармация изделия. При чрезмерно сильном удлинении проволки происходит изменение ключевых параметров, после этого изделие не возвращается в собственное первое положение.
  3. В рассматриваемом случае колебания выполняются за счёт действия силы упругости. Она отличается очень большим кол-во свойств, которые должны предусматриваться. Влияние упругости достигается за счёт конкретного расположения витков и типа используемого материала во время изготовления. При этом сила упругости может действовать туда и обратно. Очень часто происходит сжатие, но еще может проходит растяжение – все будет зависеть от свойств определенного случая.
  4. Скорость перемещения тела может варьировать в довольно обширном диапазоне, все будет зависеть от того, какое оказывается влияние. Например, пружинный маятник может перемещать подвешенный груз в горизонтальной и плоскости расположенной вертикально. Действие направленного усилия в большинстве случаев зависит от вертикальной или горизонтальной установки.

В общем необходимо заявить, что пружинный маятник обозначение довольно обобщенное. При этом скорость перемещения объекта зависит от самых разных показателей, например, величины приложенного усилия и прочих факторов. Перед непосредственным проведением расчетов проходит создание схемы:

  1. Указывается опора, к которой фиксируется пружина. Очень часто для ее отображения рисуется линия с обратной штриховкой.
  2. Схематически отображается пружина. Она часта предоставлена волнистой линией. При схематическом отображении не имеет большое значение длина и диаметральный критерий.
  3. Также изображается тело. Оно не обязано отвечать габаритам, однако имеет большое значение место непосредственного крепления.

Схема требуется для схематического отображения всех сил, которые влияют на устройство. Лишь в данном варианте можно взять во внимание все, что оказывает влияние на скорость перемещения, инерцию и остальные моменты.

Пружинные маятники используются не только при расчетах ил решении самых разных задач, но еще и в работе. Но, не все свойства такого механизма применимы.

Примером можно назвать случай, когда колебательные движения не нужны:

  1. Создание запорных компонентов.
  2. Пружинные механизмы, связанные с перевозкой разных материалов и объектов.

Проводимые расчеты пружинного маятника дают возможность выбрать самый подходящий вес тела, а еще вид пружины. Она отличается следующими характерностями:

  1. Диаметр витков. Он может быть очень разным. От критерия диаметра в большинстве случаев зависит то, сколько нужно материала для изготовления. Диаметр витков также определяет то, какое усилие должно прикладываться для полнейшего сжатия или частичного растяжения. Впрочем, увеличение размеров способен создать значительные проблемы с установкой изделия.
  2. Диаметр проволки. Дополнительным основным параметром можно назвать диаметральный размер проволки. Он может варьировать в большом диапазоне, зависит крепость и степень упругости.
  3. Длина изделия. Данный показатель определяет то, какое усилие требуется для полнейшего сжатия, а еще какой упругостью может владеть изделие.
  4. Вид используемого материала также определяет важные характеристики. Очень часто пружина делается при использовании специализированного сплава, который обладает необходимые качествами.

При математических расчетах многие моменты не берутся во внимание. Усилие упругости и остальные критерии выявляются путем расчета.

Виды пружинного маятника

Выделяют несколько самых разнообразных видов пружинного маятника. Необходимо учесть, что классификация может проходит по типу устанавливаемой пружины. Среди свойств отметим:

  1. Довольно огромную популярность получили вертикальные колебания, так как в данном случае на груз не оказывается сила трения и другое влияние. При вертикальном расположении груза намного увеличивается степень влияния силы тяжести. Распространен такой вариант выполнения при проведении довольно различных расчетов. За счёт силы тяжести есть вероятность того, что тело в начальной точке будет выполнять очень много инерционных движений. Этому также содействует упругость и инерция движения тела в конце хода.
  2. Также используется горизонтальный пружинный маятник. В данном случае груз находится на опорной поверхности и на момент перемещения также появляется трение. При горизонтальном расположении сила тяжести работает двери гладкиенемного по другому. Горизонтальное расположение тела стало широко распространено в самых разнообразных задачах.

Рассчитывается движение пружинного маятника можно во время использования достаточно немалого количества самых разных формул, какой обязаны иметь в виду влияние всех сил. Во многих случаях ставится традиционная пружина. Среди свойств отметим следующее:

  1. Традиционная витая пружина сжатия сегодня обрела очень большое распространение. В данном случае между виточками есть пространство, оно называется шагом. Пружина сжатия может и растягиваться, однако очень часто она для этого не ставится. Характерной спецификой можно назвать то, что последние витки сделаны в виде плоскости, благодаря чему обеспечивается одинаковое распределения усилия.
  2. Может ставиться вариант выполнения для растяжения. Он рассчитывается на установку в случае, когда приложенное усилие оказывается основой увеличения длины. Для крепежа проходит расположение крючков.

Популярны два варианта выполнения. При этом важно уделять большое внимание тому, чтобы сила прикладывалась параллельно оси. В другом случае есть вероятность смещения витков, что оказывается основой появления больших проблем, например, деформации.

Сила упругости в пружинном маятнике

Необходимо учесть тот фактор, что до деформирования пружины она находится в положении равновесия. Приложенная сила может приводить к ее растягиванию и сжиманию. Сила упругости в пружинном маятнике рассчитывается в согласии с тем, как действует закон сохранения энергии. Согласно общепринятым правилам появляющаяся упругость пропорциональна смещению тела. В данном случае кинетическая энергия рассчитывается по формуле: F=-kx. В этом случае применяется показатель жесткости пружины.

Выделяют очень большое количество свойств влияния силы упругости в пружинном маятнике. Среди свойств отметим:

  1. Самая большая сила упругости появляется на момент, когда тело находится на максимальном расстоянии от положения равновесия. При этом в аналогичном положении отмечается максимальное значение ускорение тела. Нужно всегда помнить про то, что может проходит растягивание и сжатие пружины, два варианта несколько выделяется. При сжатии самая маленькая длина изделия исчерпывается. В основном, она содержит длину, равную диаметру витка умноженное на кол-во. Слишком значительное усилие будет причиной смещения витков, а еще деформации проволки. При растяжении есть момент удлинения, после которого начинается деформирование. Сильное удлинение приводит к тому, что возникающей силы упругости недостаточно для возврата изделия в первое состояние.
  2. При сближении тела к месту равновесия происходит значительное уменьшение длины пружины. Благодаря этому встречается постоянное снижение критерия ускорения. Все это происходит благодаря влияния усилия упругости, которая связано с типом используемого материала во время изготовления пружины и ее характерностями. Длина уменьшается благодаря тому, что расстояние между виточками уменьшается. Спецификой можно назвать одинаковое распределение витков, лишь лишь в случае недостатков есть вероятность нарушение такого правила.
  3. На момент достижения точки равновесия сила упругости уменьшается до нуля. Впрочем, скорость не уменьшается, так как тело двигается по инерции. Точка равновесия отличается тем, что длина изделия в ней сберегается в течении долгого периода при условиях отсутствия внешнего деформирующего усилия. Точка равновесия устанавливается в случае построения схемы.
  4. После достижения точки равновесия появляющаяся упругость начинает уменьшать скорость перемещения тела. Она действует в противоположном направлении. При этом появляется усилие, которое направлено назад.
  5. Дойдя крайней точки тело начинает перемещаться в противоположную сторону. В зависимости от жесткости установленной пружины аналогичное действие будет повторятся много раз. Протяженность данного цикла зависит от довольно различных факторов. Примером можно назвать массу тела, а еще максимальное приложенное усилие для появления деформации. В большинстве случаев колебательные движения фактически незаметные, однако они все же появляются.

Вышеприведенная информация указывает на то, что колебательные движения выполняются за счёт влияния упругости. Дефармация происходит благодаря приложенного усилия, какое может варьировать в довольно обширном диапазоне, все будет зависеть от определенного случая.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Колебания пружинного маятника выполняются по гармоническому закону. Формула, по которой делаются расчёты, выглядит так: F(t)=ma(t)=-mw2x(t).

В вышеприведенной формуле указывается (w) радиальная частота гармонического колебания. Она свойственна силе, которая распространяется в пределах применимости закона Гука. Уравнение движения может значительно различаться, все будет зависеть от определенного случая.

Если рассматривать колебательное движение, то необходимо уделять свое внимание следующим моментам:

  1. Колебательные движения наблюдаются лишь в конце перемещения тела. С самого начала оно прямолинейное до полного освобождения усилия. При этом сила упругости сберегается в течении всего времени, пока тело находится по максимуму удаленном положении от нуля координат.
  2. После растяжения тело возвращается в начальное положение. Появляющаяся инерция оказывается основой, по которой может оказываться влияние на пружину. Инерция в большинстве случаев зависит от массы тела, развитой скорости и множества прочих факторов.

Благодаря этому появляется колебание, которое может продолжаться в течение долгого периода. Вышеприведенная формула позволяет сделать расчет с учетом всех факторов.

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Во время проектирования и вычислении главных показателей тоже уделяют довольно достаточно внимания частоте и периоду колебания. Косинус – периодическая функция, в которой применяется значение, неизменяемое через конкретный временной промежуток. Именно данный показатель называют период колебаний пружинного маятника. Для определения данного показателя применяется буква Т, также часто применяется понятие, характеризующее значение, обратное периоду колебания (v). Во многих случаях при расчетах применяется формула T=1/v.

Период колебаний вычисляется по паре усложненной формуле. Она следующая: T=2пvm/k. Для определения частоты колебания применяется формула: v=1/2пvk/m.

Рассматриваемая циклическая частота колебаний пружинного маятника зависит от следующих факторов:

  1. Масса груза, который прикреплен к пружине. Данный показатель является наиболее важным, так как влияет на очень разные параметры. От массы зависит сила инерции, скорость и остальные критерии. По мимо этого, масса груза – величина, с измерением которой не появляется проблем благодаря наличию специализированного измерительного оборудования.
  2. Показатель упругости. Для каждой пружины данный показатель сильно разнится. Показатель упругости указывается для определения ключевых показателей пружины. Зависит такой параметр от численности витков, длины изделия, расстояние между виточками, их диаметра и многого прочего. Устанавливается он очень разным образом, очень часто при использовании особенного оборудования.

Необходимо помнить про то, что при сильном растяжении пружины закон Гука прекращает действовать. При этом период пружинного колебания начинает зависеть от амплитуды.

Чтобы провести измерения периода применяется всемирная единица времени, во многих случаях секунды. Во многих случаях амплитуда колебаний вычисляется при решении довольно различных задач. Для упрощения процесса проходит построение простой схемы, на которой отображаются главные силы.

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Сформировавшись со спецификами проходимых процессов и зная уравнение колебаний пружинного маятника, а еще начальные значения можно сделать расчет амплитуды и начальной фазы пружинного маятника. Для определения начальной фазы применяется значение f, амплитуда отмечается символом A.

Для определения амплитуды может применяться формула: А=vx 2 +v 2 /w 2 . Начальная фаза высчитывается по формуле: tgf=-v/xw.

Используя эти формулы можно провести обозначение ключевых показателей, которые используются при расчетах.

Энергия колебаний пружинного маятника

Анализируя колебание груза на пружине необходимо брать во внимание тот фактор, что при движение маятника может описываться 2-мя точками, другими словами оно носит откровенный характер. Данный момент определяет выполнение условий, касающихся рассматриваемой силы. Необходимо заявить, что полная энергия вероятная.

Сделать расчет энергии колебаний пружинного маятника можно при учете всех свойств. Ключевыми моментами назовем следующее:

  1. Колебания как правило проходят в горизонтальной и плоскости расположенной вертикально.
  2. Ноль возможной энергии подбирается в качестве положения равновесия. Именно здесь ставится начало координат. В основном, в этом положении пружина хранит собственную форму при условиях отсутствия деформирующей силы.
  3. В рассматриваемом случае рассчитываемая энергия пружинного маятника не берет в учет силу трения. При вертикальном расположении груза сила трения несущественна, при горизонтальном тело лежит на поверхности и во время движения может появиться трение.
  4. Для расчета энергии колебания применяется следующая формула: E=-dF/dx.

Вышеприведенная информация указывают на то, что закон сохранения энергии выглядит так: mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=const. Используемая формула говорит о следующем:

  1. Самая большая кинетическая энергия поставленного маятника полностью пропорциональна самому большому значению возможной.
  2. На момент осциллятора усредненное значение двоих сил равны.

Провести обозначение энергии колебания пружинного маятника можно при решении довольно различных задач.

Свободные колебания пружинного маятника

Анализируя то, чем вызваны свободные колебания пружинного маятника необходимо уделять свое внимание действию внутренних сил. Они начинают развиваться фактически сразу же после того, как телу было передано движение. Характерности гармонических колебаний заключаются в приведенных ниже моментах:

  1. Могут также появляться и остальные типы сил воздействующего характера, который удовлетворяют все нормы закона, называются квазиупругими.
  2. Главными причинами действия закона могут быть внутренние силы, которые возникают конкретно на момент изменения положения тела в пространстве. При этом груз обладает конкретной массой, усилие создается за счёт фиксации одного конца за неподвижный объект с достаточной прочностью, второго за сам груз. При условиях отсутствия трения тело может выполнять колебательные движения. В данном случае закрепленный груз именуется линейным.

Необходимо помнить про то, что есть просто очень большое число самых разнообразных видов систем, в которых выполняется движение колебательного характера. В них также появляется упругая дефармация, которая оказывается основой использования для выполнения какой-нибудь работы.

Если вы нашли погрешность, пожалуйста, выдилите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Период колебаний пружинного маятника прямо пропорционален корню квадратному из массы маятника и обратно пропорционален корню квадратному из жесткости его пружины и не зависит от амплитуды колебаний.

Отсюда же можно получить и уравнение движения для тела, колеблющегося на пружине.

x=Asinj.

L=Vt=Aj, где L – длина дуги, пройденной телом.

V=2p . j= = = .

x=Asin .

Колебания, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими. Уравнение гармонических колебаний удобно писать через синус, если колебания начинаются от положения равновесия, или через косинус, если колебания начинаются от амплитудного значения.

Величину, стоящую под знаком синуса или косинуса, называют ФАЗОЙ КОЛЕБАНИЙ. Фаза является угловой мерой времени.

Материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, называется математическим маятником. Хорошей моделью такого маятника служит маленький, тяжелый шарик на длинной, легкой, прочной нити. Колебания такой системы будут тем ближе к гармоническим, чем длиннее нить и чем меньше амплитуда колебаний. Пренебрегая малым центростремительным ускорением, можно считать, что колебания возникают под действием тангенциальной составляющей силы тяжести.

sina= .

Fx=-mgsina=- x.

Т.к. сила, вызывающая колебания математического маятника, определяется уравнением, совпадающим с силой упругости, то и формула периода колебаний будет аналогичной. Ее можно получить, заменив k в формуле периода колебаний пружинного маятника на .

.

Период колебаний математического маятника прямо пропорционален корню квадратному из длины маятника и обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения и не зависит от массы маятника и его амплитуды.

Гармонические колебания, возникнув в системе, были бы незатухающими и продолжались бы бесконечно долго. Они могли бы существовать в системах, в которых нет потерь энергии, но реально таких систем нет. Поэтому все реальные свободные колебания, т.е. колебания, происходящие только под действием внутренних сил системы, являются затухающими.

Незатухающими являются только вынужденные колебания, т.е. колебания, совершающиеся под действием внешних периодически изменяющихся сил. Они происходят с частотой внешней силы. Амплитуда таких колебаний зависит от амплитуды внешней силы и от частоты этой силы. Амплитуда вынужденных колебаний тем больше, чем ближе частота внешней силы к собственной частоте системы. ЯВЛЕНИЕ РЕЗКОГО ВОЗРАСТАНИЯ АМПЛИТУДЫ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРИ СОВПАДЕНИИ ЧАСТОТЫ ВНЕШНЕЙ СИЛЫ С СОБСТВЕННОЙ ЧАСТОТОЙ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ, НАЗЫВАЕТСЯ РЕЗОНАНСОМ. Резонансные кривые тем круче, чем меньше силы сопротивления в системе. При резонансе осуществляются наиболее благоприятные условия для передачи энергии от внешнего источника энергии к колебательной системе.

 

2О. Механические волны.

Если в какой – то точке упругой среды возникнут колебания, то они не будут локализованы. ПРОЦЕСС РАСПРОСТРАНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ НАЗЫВАЕТСЯ ВОЛНОЙ. Волны характеризуются параметрами колебательного процесса, а также длиной волны (l) – минимальным расстоянием между точками, колеблющимися в одинаковых фазах; и скоростью волны. Можно сказать, что ДЛИНА ВОЛНЫ – это расстояние, на которое перемещается волна за время, равное периоду колебаний частиц в волне. В волне нет переноса вещества, но есть перенос энергии. В волновых процессах наблюдается периодичность в пространстве и во времени.

l=VT= .

ПОПЕРЕЧНЫМИ ВОЛНАМИ называются волны, направление колебаний частиц в которых перпендикулярно направлению распространения волн. Поперечные волны могут распространяться только в твердых телах, т.к. твердые тела обладают упругостью объема и формы. ПРОДОЛЬНЫМИ называются волны, частицы в которых колеблются вдоль направления распространения волны. Продольные волны могут возникать во всех средах, т.к. они связаны с упругостью объема.

Частным случаем механических волн являются звуковые волны. Ощущение звука вызывают волны с частотой от 16 до 2ООООГц. Скорость звука зависит от среды, в которой он распространяется. Скорость звука убывает от твердых тел к жидкостям и газам. Она зависит от температуры среды. С возрастанием температуры скорость звука увеличивается. Чистый музыкальный звук можно получить с помощью камертона. Звук характеризуется громкостью, зависящей от амплитуды колебаний источника звука; высотой, определяемой частотой колебаний. Чем больше частота в звуковой волне, тем выше звук. Звуковые волны могут отражаться от препятствий, чем объясняется образование эхо.

Волны с частотой менее 16Гц называют инфразвуком, более 2ОкГц ультразвуком.

 

 

Записать уравнение колебаний пружинного маятника. Свободные колебания пружинного маятника

Если сместить шарик от положения равновесия на расстояние х, то удлинение пружины станет равным Δl 0 + х. Тогда результирующая сила примет значение:

Учитывая условие равновесия (1.7.1), получим:

Знак “минус” показывает, что смещение и сила имеют противоположные направления.

Упругая сила f обладает следующими свойствами:

  1. Она пропорциональна смещению шарика из положения равновесия;
  2. Она всегда направлена к положению равновесия.

Для того, чтобы сообщить системе смещение х, нужно совершить против упругой силы работу:

Эта работа идет на создание запаса потенциальной энергии системы:

Под действием упругой силы шарик будет двигаться к положению равновесия со все возрастающей скоростью . Поэтому потенциальная энергия системы будет убывать, зато возрастает кинетическая энергия (массой пружины пренебрегаем). Придя в положение равновесия, шарик будет продолжать двигаться по инерции. Это – замедленное движение и прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную. Затем такой же процесс будет протекать при движении шарика в обратном направлении. Если трение в системе отсутствует, шарик будет колебаться неограниченно долго.

Уравнение второго закона Ньютона в этом случае имеет вид:

Преобразуем уравнение так:

Вводя обозначение , получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

Прямой подстановкой легко убедиться, что общее решение уравнения (1.7.8) имеет вид:

где а – амплитуда и φ – начальная фаза колебания – постоянные величины. Следовательно, колебание пружинного маятника является гармоническим (Рис. 1.7.2).


Рис. 1.7.2. Гармоническое колебание

Вследствие периодичности косинуса различные состояния колебательной системы повторяются через определенный промежуток времени (период колебаний) Т, за который фаза колебания получает приращение 2π. Рассчитать период можно с помощью равенства:

откуда следует:

Число колебаний в единицу времени называется частотой:

За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 с. Такую единицу называют 1 Гц.

Из (1.7.11) следует, что:

Следовательно, ω 0 – это число колебаний, совершаемое за 2π секунд. Величину ω 0 называют круговой или циклической частотой. Используя (1.7.12) и (1.7.13), запишем:

Дифференцируя () по времени, получим выражение для скорости шарика:

Из (1.7.15) следует, что скорость также изменяется по гармоническому закону и опережает смещение по фазе на ½π. Дифференцируя (1.7.15), получим ускорение:

1.7.2. Математический маятник

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из нерастяжимой невесомой нити, на которой подвешено тело, вся масса которого сосредоточена в одной точке.

Отклонение маятника от положения равновесия характеризуют углом φ, образованным нитью с вертикалью (Рис. 1.7.3).


Рис. 1.7.3. Математический маятник

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент, который стремится вернуть маятник в положение равновесия:

Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения, учитывая, что момент его инерции равен ml 2:

Это уравнение можно привести к виду:

Ограничиваясь случаем малых колебаний sinφ ≈ φ и вводя обозначение:

уравнение (1.7.19) может быть представлено так:

что совпадает по форме с уравнением колебаний пружинного маятника. Следовательно, его решением будет гармоническое колебание:

Из (1.7.20) следует, что циклическая частота колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения свободного падения. Используя формулу для периода колебаний () и (1.7.20), получим известное соотношение:

1.7.3. Физический маятник

Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с центром инерции. В положении равновесия центр инерции маятника С находится под точкой подвеса О на одной с ней вертикали (Рис. 1.7.4).


Рис. 1.7.4. Физический маятник

При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент, который стремится вернуть маятник в положение равновесия:

где m – масса маятника, l – расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника.

Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения, учитывая, что момент его инерции равен I:

Для малых колебаний sinφ ≈ φ. Тогда, вводя обозначение:

что также совпадает по форме с уравнением колебаний пружинного маятника. Из уравнений (1.7.27) и (1.7.26) следует, что при малых отклонениях физического маятника от положения равновесия он совершает гармоническое колебание, частота которого зависит от массы маятника, момента инерции и расстояния между осью вращения и центром инерции. С помощью (1.7.26) можно вычислить период колебаний:

Сравнивая формулы (1.7.28) и () получим, что математический маятник с длиной:

будет иметь такой же период колебаний, что и рассмотренный физический маятник. Величину (1.7.29) называют приведенной длиной физического маятника. Следовательно, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника. По теореме Штайнера момент инерции физического маятника равен:

где I 0 – момент инерции относительно центра инерции. Подставляя (1.7.30) в (1.7.29), получим:

Следовательно, приведенная длина всегда больше расстояния между точкой подвеса и центром инерции маятника, так что точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра инерции.

1.7.4. Энергия гармонических колебаний

При гармоническом колебании происходит периодическое взаимное превращение кинетической энергии колеблющегося тела Е к и потенциальной энергии Е п, обусловленной действием квазиупругой силы. Из этих энергий слагается полная энергия Е колебательной системы:

Распишем последнее выражение

Но к = mω 2 , поэтому получим выражение для полной энергии колеблющегося тела

Таким образом полная энергия гармонического колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату круговой частоты колебания.

1.7.5. Затухающие колебания

.

При изучении гармонических колебаний не учитывались силы трения и сопротивления, которые существуют в реальных системах. Действие этих сил существенно изменяет характер движения, колебание становится затухающим .

Если в системе кроме квазиупругой силы действуют силы сопротивления среды (силы трения), то второй закон Ньютона можно записать так:

где r – коэффициент трения, характеризующий свойства среды оказывать сопротивление движению. Подставим (1.7.34б) в (1.7.34а):

График этой функции показан на рис.1.7.5 сплошной кривой 1, а штриховой линией 2 изображено изменение амплитуды:

При очень малом трении период затухающего колебания близок к периоду незатухающего свободного колебания (1.7.35.б)

Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом затухания : чем больше β, тем сильнее тормозящее действие среды и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практике, степень затухания часто характеризуют логарифмическим декрементом затухания , понимая под этим величину, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колебаний, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний:

;

Следовательно, коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания связаны достаточно простой зависимостью:

При сильном затухании из формулы (1.7.37) видно, что период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже называется апериодическим . График апериодического движения в виде показан на рис. 1.7.6. Незатухающие и затухающие колебания называют собственными или свободными . Они возникают вследствие начального смещения или начальной скорости и совершаются при отсутствии внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.

1.7.6. Вынужденные колебания. Резонанс

.

Вынужденными колебаниями называются такие, которые возникают в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Предположим, что на материальную точку кроме квазиупругой силы и силы трения действует внешняя вынуждающая сила

,

где F 0 – амплитуда; ω – круговая частота колебаний вынуждающей силы. Составим дифференциальное уравнение (второй закон Ньютона):

,

Амплитуда вынужденного колебания (1.7.39) прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания среды и круговых частот собственного и вынужденного колебания. Если ω 0 и β для системы заданы, то амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной .

Само явление – достижение максимальной амплитуды для заданных ω 0 и β – называют резонансом.

(1.7.1)
Рис. 1.7.7. Резонанс

При отсутствии сопротивления амплитуда вынужденных колебаний при резонансе бесконечно большая. При этом из ω рез =ω 0 , т.е. резонанс в системе без затухания наступает тогда, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. Графическая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания показана на рис. 5.

Механический резонанс может быть как полезным, так и вредным явлением. Вредное действие резонанса связано главным образом с разрушением, которое он может вызвать. Так, в технике, учитывая разные вибрации, необходимо предусматривать возможные возникновения резонансных условий, в противном случае могут быть разрушения и катастрофы. Тела обычно имеют несколько собственных частот колебаний и соответственно несколько резонансных частот.

Если коэффициент затухания внутренних органов человека был бы не велик, то резонансные явления, возникшие в этих органах под воздействием внешних вибраций или звуковых волн, могли бы привести к трагическим последствиям: разрыву органов, повреждению связок и т.п. Однако такие явления при умеренных внешних воздействиях практически не наблюдаются, так как коэффициент затухания биологических систем достаточно велик. Тем не менее резонансные явления при действии внешних механических колебаний происходят во внутренних органах. В этом, видимо, одна из причин отрицательного воздействия инфразвуковых колебаний и вибраций на организм человека.

1.7.7. Автоколебания

Существуют и такие колебательные системы, которые сами регулируют периодическое восполнение растраченной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.

Незатухающие колебания, существующие в какой-либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, называются автоколебаниями , а сами системы – автоколебательными.

Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств в самой автоколебательной системе, в отличие от вынужденных колебаний они не определяются внешними воздействиями.

Во многих случаях автоколебательные системы можно представить тремя основными элементами (рис.1.7.8): 1) собственно колебательная система; 2) источник энергии; 3) регулятор поступления энергии в собственно колебательную систему. Колебательная система каналом обратной связи (рис. 6) воздействует на регулятор, информирую регулятор о состоянии этой системы.

Классическим примером механической автоколебательной системы являются часы, в которых маятник или баланс являются колебательной системой, пружина или поднятая гиря – источником энергии, а анкер – регулятором поступления энергии от источника в колебательную систему.

Многие биологические системы (сердце, легкие и др.) являются автоколебательными. Характерный пример электромагнитной автоколебательной системы – генераторы автоколебательных колебаний.

1.7.8. Сложение колебаний одного направления

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты:

x 1 =a 1 cos(ω 0 t + α 1), x 2 =a 2 cos(ω 0 t + α 2).

Гармоническое колебание можно задать с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а направление образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебаний. Если этот вектор вращается с угловой скоростью ω 0 , то его проекция на выбранную ось будет изменяться по гармоническому закону. Исходя из этого, выберем некоторую ось Х и представим колебания с помощью векторов а 1 и а 2 (рис.1.7.9).

Из рис.1.7.6 следует, что

.

Схемы, в которых колебания изображаются графически в виде векторов на плоскости, называются векторными диаграммами.

Из формулы 1.7.40 следует. Что если разность фаз обоих колебаний равна нулю, амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний. Если разность фаз складываемых колебаний равна , то амплитуда результирующего колебания равна . Если частоты складываемых колебаний не одинаковы, то векторы, соответствующие этим колебаниям будут вращаться с разной скоростью. В этом случае результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Следовательно, в результате сложения получается не гармоническое колебание, а сложный колебательный процесс.

1.7.9. Биения

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления мало отличающихся по частоте. Пусть частота одного из них равна ω , а второго ω+∆ω, причем ∆ω

x 1 =a cos ωt, x 2 =a cos(ω+∆ω)t.

Сложив эти выражения и используя формулу для суммы косинусов, получаем:

Колебания (1.7.41) можно рассматривать как гармоническое колебание частотой ω, амплитуда которого изменяется по закону . Эта функция является периодической с частотой в два раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля, т.е. с частотой ∆ω. Таким образом, частота пульсаций амплитуды, называемая частотой биений, равна разности частот складываемых колебаний.

1.7.10. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний (фигуры Лиссажу)

Если материальная точка совершает колебания как вдоль оси х, так и вдоль оси у, то она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории. Пусть частота колебаний одинакова и начальная фаза первого колебания равна нулю, тогда уравнения колебаний запишем в виде:

Уравнение (1.7.43) представляет собой уравнение эллипса, оси которого ориентированы произвольно относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят от амплитуд а и b и разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи:

(m=0, ±1, ±2, …). В этом случае уравнение имеет вид

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны амплитудам (рис. 1.7.12). Если амплитуды равны, то эллипс становится окружностью.

Рис.1.7.12

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на малую величину ∆ω, их можно рассматривать как колебания одинаковой частоты, но с медленно изменяющейся разностью фаз. В этом случае уравнения колебаний можно записать

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

и выражение ∆ωt+α рассматривать как разность фаз, медленно изменяющуюся со временем по линейному закону. Результирующее движение в этом случае происходит по медленно изменяющейся кривой, которая будет последовательно принимать форму, отвечающую всем значениям разности фаз от -π до+π.

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу . Пусть, например, частоты складываемых колебаний относятся как 1: 2 и разность фаз π/2. Тогда уравнения колебаний имеют вид

x=a cos ωt, y=b cos.

За то время, пока вдоль оси х точка успевает переместиться из одного крайнего положения в другое, вдоль оси у, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться. Вид кривой показан на рис. 1.7.13. Кривая при таком же соотношении частот, но разности фаз равной нулю показана на рис.1.7.14. Отношение частот складываемых колебаний обратно отношению числа точек пересечения фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. Следовательно, по виду фигур Лиссажу можно определить соотношение частот складываемых колебаний или неизвестную частоту. Если одна из частот известна.

Рис.1.7.13
Рис.1.7.14

Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее получающиеся фигуры Лиссажу.

1.7.11. Распространение волн в упругой среде

Если в каком-либо месте упругой (твёрдой жидкой или газообразной) среды возбудить колебания её частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью υ. процесс распространения колебаний в пространстве называется волной .

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия.

В зависимости от направлений колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волн. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновения только продольных волн. В твёрдой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

На рис. 1.7.12 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1,2 и т. д. обозначены частицы отстающие друг от друга на расстояние, равное (¼ υT), т.е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент, времени принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла частицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положения равновесия частица 2. По пришествие ещё четверти периода первая часть будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положения, а третья частица начнёт смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени равный T, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как чальный момент. Волна к моменту времени T, пройдя путь (υT), достигнет частицы 5.

На Рис. 1.7.13 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево.

Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разряжения частиц (места сгущения обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со скоростью υ.


Рис. 1.7.15

Рис. 1.7.16

На рис. 1.7.15 и 1.7.16 показаны колебания частиц, положения, равновесия которых лежат на оси x. В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси x, а совокупность частиц, заключённых в некотором объёме. Распространяясь от источников колебаний, волновой процесс охватывает всё новые и новые части пространства, геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания ещё не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются не подвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одной фазе). Волновойфронт всё время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – множество концентрических сфер.

Рис. 1.7.17

Пусть плоская волна распространяется вдоль оси x . Тогда все точки сферы, положения, равновесия которых имеет одинаковую координату x (но различие значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе.

На Рис. 1.7.17 изображена кривая, которая даёт смещение ξ из положения равновесия точек с различными x в некоторый момент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функций ξ (x, t) для некоторого фиксированного момента времени t. Такой график можно строить как для продольной так и для поперечной волны.

Расстояние λ, на короткое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны . Очевидно, что

где υ – скорость волны, T- период колебаний. Длину волныможноопределить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2π (см. рис. 1.7.14)

Заменив в соотношении(1.7.45) T через 1/ν (ν – частота колебаний), получим

К этой формуле можно придти также из следующих соображений. За одну секунду источник волн совершает ν колебаний, порождая в среде при каждом колебании один “гребень” и одну “впадину” волны. К тому моменту, когда источник будет завершать ν – е колебание, первый “гребень” успеет пройти путь υ. Следовательно, ν “гребней” и “впадин” волны должны уложиться в длине υ.

1.7.12. Уравнение плоской волны

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x, y, z и времени t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической относительно времени t , и относительно координат x, y, z. . Периодичность по времени вытекает из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии λ , колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции ξ в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси x и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение ξ будет зависеть только от x и t :

ξ = ξ (x, t) .

Рис.1.7.18

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости x = 0 (рис. 1.7.18), имеют вид

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению x . Для того, чтобы пройти путь от плоскости x =0 до этой плоскости, волне требуется время(υ – cкорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости x , будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости x = 0 , т.е. будут иметь вид

Итак, уравнение плоской волны (продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси x , выглядит следующим образом:

Это выражение определяет связь между временем t и тем местом x , в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (1.7.48), получим

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания x :

При выводе формулы (1.7.53) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от x . Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону:

Соответственно уравнение плоской волны, с учетом затухания , имеет следующий вид:

(a 0 – амплитуда в точках плоскости x = 0).

Периодические колебания называются гармоническими , если колеблющаяся величина меняется с течением времени по закону косинуса или синуса:

Здесь
– циклическая частота колебаний,A – максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия (амплитуда колебаний ), φ(t ) = ωt + φ 0 – фаза колебаний , φ 0 – начальная фаза .

График гармонических колебаний представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 – График гармонических колебаний

При гармонических колебаниях полная энергия системы с течением времени не изменяется. Можно показать, что полная энергия механической колебательной системы при гармонических колебаниях равна:

.

Гармонически колеблющаяся величина s (t ) подчиняется дифференциальному уравнению:

, (1)

которое называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Период кодебаний

Физический маятник.

Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.

При небольших углах отклонения α (рис. 7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:

Решение этого уравнения

Определим длину l математического маятника, при которой период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е. или

. Из этого соотношения определяем

Данная формула определяет приведенную длину физического маятника, т.е. длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

Пружинный маятник

Это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

Пока пружина не деформирована, сила упругостина тело не действует. В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.

Вопрос 36 Энергия гармонических колебаний

При гармонических колебаниях полная энергия системы с течением времени не изменяется. Можно показать, что полная энергия механической колебательной системы при гармонических колебаниях равна.

Гармонические колебания

Простейшими из колебаний являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Механические колебания, которые происходят под действием силы (восстанавливающая сила), пропорциональной смещению и направленной противоположно ему, называют гармоническими колебаниями -диференциальное уравнение, -решение

x- смещение колеблющейся величины от положительного равновесия

66.Основные харак-ки ГК

А – амплитуда- максимальное смещение от положения равновесия

0 ) – фаза колебаний – определяет смещение в данный момент времени

0 – начальная фаза – определяется положением системы в начальный момент времени

ω – собственная частота колебаний, определяется параметрами системы

Роль начальных условий – А, начальная фаза

67.Способы графического представления колебательных процессов:

Плоская диаграмма

Векторная диаграмма

68.Векторная диаграмма – способ графического задания колебательного движения в виде вектора.

Возьмем ось, которую обозначим буквой х. Из т. О, взятой на оси, отложим вектор длины а, образующий с осью угол α. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω 0 , то проекция конца вектора будет перемещаться по соси х в пределах от –а до +а, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону х=а cos (ω 0 t + α).

Следовательно, проекция вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Т.о. гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина кот равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фазе колебаний.

69.Пружинный маятник – груз, подвешенный на пружине.

Выведем диф ур-е пружинного маятника

70.Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом , образованным нитью с вертикалью. При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращающий момент М, равный M=-mgl sin .Он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия.

71.Физический маятник – любое твердое тело, имеющее ось вращения, которая не совпадает с центром масс.

Вывод дифференциального ур-я колебаний:

72.Приведенная длина физического маятника – длина такого матем маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Собственная частота для пружинного маятника

Собственная частота математического маятника

73. Периодические или почти периодические изменения заряда, силы тока и напряжения называются электромагнитными колебаниями .

Простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания, состоит из конденсатора и катушки, присоединённой к его обкладкам. Такая система называется колебательным контуром.

Частота колебаний – это число колебаний в единицу времени. υ = 1/T

Продолжительность одного полного колебания называется периодом колебания. T = 1/υ

где L – индуктивность, С – электроемкость

74.Сложение коллинеарных колебаний одинаковой частоты:

Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений х1 и х2, которые запишутся след образом: х 1 =а 1 cos (ω 0 t+α 1) х 2 =а 2 cos (ω 0 t+α 2)

Представим оба колебания с помощью векторов а1 и а2. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор а. Проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов: х1=х1+х2. След-но, вектор а представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью ω 0, как и векторы а1 и а2, так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой ω 0, амплитудой а и начальной фазой α.

75. Пусть маленькое тело колеблется на взаимно-перпендикулярных пружинках одинаковой жесткости. По какой траектории будет двигаться это тело? Это уравнения траектории в параметрическом виде.

Для получения явной зависимости между координатами x и y надо из уравнений исключить параметр t. Из первого уравнения:

Из второго:

После подстановки:

Избавимся от корня: – это уравнение эллипса.

76.В реальных условиях всегда присутствуют рассеянные силы (десепативные?), приводящие к уменьшению энергии в контуре. Рассмотрим частный случай механических колебаний при наличии силы вязкого трения.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

77.Основные параметры затухающих колебаний.

ω0- собственная частота колебательной системы, без затухания,β – коэффициент затухания- характеризует скорость затухания

Время релаксации, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.

Добротность – показатель скорости ухода энергии из колебательной системы

Q=2π , где Е-энергия, запасенная в контуре, – энергия за период. Q=πNe, гдеNe – кол-во колебаний за время релаксации.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний для пружинного маятника.

79.Дифференциальное уравнение для затухающих колебаний э\м контура

Его решением является функция

q(t)=q 0 e – βtcos (ωt+ ), где частота колебаний ω= Для колебательного контура

80.Амплитуда и частота затухающих колебаний , – амплитуда затухающих колебаний

ω0- собственная частота колебательной системы, без затухания.Частота затухающих колебаний меньше чем собственная частота.

Амплитуда уменьшается по экспоненциальному закону,где

Здесь – – частота затухающих колебаний.

τ- переходный режим, после него колебания устанавливаются с частотой вынуждающей силы.

83. Вынужденные колебания – совершаются в колебательных системах под действием внешней периодической силы, меняющейся по гармоническому закону:

f 0 – амплитуда вынужденной силы

Частота вынужденной силы

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы.

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды при частоте вынужденных колебаний близкой к собственной.

Резонансная частота

84.Амплитудно – частотные характеристики. В контуре с большой добротностью амплитуда резонанса велика, но мала полоса пропускания, а в контуре с резкой добротностью амплитуда мала, но большая ширина полосы пропускания в контурах, где коэф затухания близок к критическому.

Цель работы . Ознакомиться с основными характеристиками незатухающих и затухающих свободных механических колебаний.

Задача . Определить период собственных колебаний пружинного маятника; проверить линейность зависимости квадрата периода от массы; определить жесткость пружины; определить период затухающих колебаний и логарифмический декремент затухания пружинного маятника.

Приборы и принадлежности . Штатив со шкалой, пружина, набор грузов различной массы, сосуд с водой, секундомер.

1. Свободные колебания пружинного маятника. Общие сведения

Колебаниями называются процессы, в которых периодически изменяется одна или несколько физических величин, описывающих эти процессы. Колебания могут быть описаны различными периодическими функциями времени. Простейшими колебаниями являются гармонические колебания – такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, смещение груза на пружине) изменяется со временем по закону косинуса или синуса. Колебания, возникающие после действия на систему внешней кратковременной силы, называются свободными.

Если груз вывести из положения равновесия, отклонив на величину x , то сила упругости возрастает: F упр = – kx 2= – k (x 1 + x ). Дойдя до положения равновесия, груз будет обладать отличной от нуля скоростью и пройдет положение равновесия по инерции. По мере дальнейшего движения будет увеличиваться отклонение от положения равновесия, что приведет к возрастанию силы упругости, и процесс повторится в обратном направлении. Таким образом, колебательное движение системы обусловлено двумя причинами: 1) стремлением тела вернуться в положении равновесия и 2) инерцией, не позволяющей телу мгновенно остановиться в положении равновесия. В отсутствии сил трения колебания продолжались бы сколь угодно долго. Наличие силы трения приводит к тому, что часть энергии колебаний переходит во внутреннюю энергию и колебания постепенно затухают. Такие колебания называются затухающими.

Незатухающие свободные колебания

Сначала рассмотрим колебания пружинного маятника, на который не действуют силы трения – незатухающие свободные колебания. Согласно второму закону Ньютона c учетом знаков проекций на ось X

Из условия равновесия смещение, вызываемое силой тяжести: . Подставляя в уравнение (1), получим: Дифференциал” href=”/text/category/differentcial/” rel=”bookmark”>дифференциальное уравнение

https://pandia.ru/text/77/494/images/image008_28.gif”>. (3)

Данное уравнение называется уравнением гармонических колебаний . Наибольшее отклонение груза от положения равновесия А 0 называется амплитудой колебаний . Величина , стоящая в аргументе косинуса, называется фазой колебания . Постоянная φ0 представляет собой значение фазы в начальный момент времени (t = 0) и называется начальной фазой колебаний . Величина

есть круговая или циклическая частота собственных колебаний , связанная с периодом колебаний Т соотношением https://pandia.ru/text/77/494/images/image012_17.gif”>. (5)

Затухающие колебания

Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника при наличии силы трения (затухающие колебания). В простейшем и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае сила трения пропорциональна скорости υ движения:

F тр = – , (6)

где r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус показывает, что сила трения и скорость имеют противоположные направления. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось Х при наличии упругой силы и силы трения

ma = – kx . (7)

Данное дифференциальное уравнение с учетом υ = dx / dt можно записать

https://pandia.ru/text/77/494/images/image014_12.gif”> – коэффициент затухания ; – циклическая частота свободных незатухающих колебаний данной колебательной системы, т. е. при отсутствии потерь энергии (β = 0). Уравнение (8) называют дифференциальным уравнением затухающих колебаний .

Чтобы получить зависимость смещения x от времени t , необходимо решить дифференциальное уравнение (8)..gif”>, (9)

где А 0 и φ0 – начальная амплитуда и начальная фаза колебаний;
– циклическая частота затухающих колебаний при ω >> https://pandia.ru/text/77/494/images/image019_12.gif”>. (10)

На графике функции (9), рис. 2, пунктирными линиями показано изменение амплитуды (10) затухающих колебаний.

Рис. 2. Зависимость смещения х груза от времени t при наличии силы трения

Для количественной характеристики степени затухания колебаний вводят величину, равную отношению амплитуд, отличающихся на период, и называемую декрементом затухания :

. (11)

Часто используют натуральный логарифм этой величины. Такой параметр называется логарифмическим декрементом затухания :

Амплитуда уменьшается в n раз, то из уравнения (10) следует, что

Отсюда для логарифмического декремента получаем выражение

Если за время t амплитуда уменьшается в е раз (е = 2,71 – основание натурального логарифма), то система успеет совершить число колебаний

Рис. 3. Схема установки

Установка состоит из штатива 1 с измерительной шкалой 2 . К штативу на пружине 3 подвешиваются грузы 4 различной массы. При изучении затухающих колебаний в задании 2 для усиления затухания используется кольцо 5 , которое помещается в прозрачный сосуд 6 с водой.

В задании 1 (выполняется без сосуда с водой и кольца) в первом приближении затуханием колебаний можно пренебречь и считать гармоническими. Как следует из формулы (5) для гармонических колебаний зависимость T 2 = f (m ) – линейная, из которой можно определить коэффициент жесткости пружины k по формуле

где – угловой коэффициент наклона прямой T 2 от m .

Задание 1. Определение зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза.

1. Определить период колебаний пружинного маятника при различных значениях массы груза m . Для этого с помощью секундомера для каждого значения m трижды измерить время t полных n колебаний (n ≥10) и по среднему значению времени https://pandia.ru/text/77/494/images/image030_6.gif”>. Результаты занести в табл. 1.

2. По результатам измерений построить график зависимости квадрата периода T 2 от массы m . Из углового коэффициента графика определить жесткость пружины k по формуле (16).

Таблица 1

Результаты измерений для определения периода собственных колебаний

3. Дополнительное задание. Оценить случайную , полную и относительную εt ошибки измерения времени для значения массы m = 400 г.

Задание 2. Определение логарифмического декремента затухания пружинного маятника.

1. На пружину подвесить груз массой m = 400 г с кольцом и поместить в сосуд с водой, так чтобы кольцо полностью находилось в воде. Определить период затухающих колебаний для данного значения m по методу, изложенному в п. 1 задания 1. Измерения повторить три раза и результаты занести в левую часть табл. 2.

2. Вывести маятник из положения равновесия и, отметив по линейке его начальную амплитуду, измерить время t , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза. Измерения произвести три раза. Результаты занести в правую часть табл. 2.

Таблица 2

Результаты измерений

для определения логарифмического декремента затухания

Измерение периода колебаний

Измерение времени

уменьшения амплитуды в 2 раза

4. Контрольные вопросы и задания

1. Какие колебания называются гармоническими? Дайте определение их основных характеристик.

2. Какие колебания называются затухающими? Дайте определение их основных характеристик.

3. Поясните физический смысл логарифмического декремента затухания и коэффициента затухания.

4. Вывести зависимости от времени скорости и ускорения груза на пружине, совершающего гармонические колебания. Привести графики и проанализировать.

5. Вывести зависимости от времени кинетической, потенциальной и полной энергии для груза, колеблющегося на пружине. Привести графики и проанализировать.

6. Получить дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение.

7. Построить графики гармонических колебаний с начальными фазами π/2 и π/3.

8. В каких пределах может изменяться логарифмический декремент затухания?

9. Привести дифференциальное уравнение затухающих колебаний пружинного маятника и его решение.

10. По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Являются ли затухающие колебания периодическими?

11. Какое движение называется апериодическим? При каких условиях оно наблюдается?

12. Что называется собственной частотой колебаний? Как она зависит от массы колеблющегося тела для пружинного маятника?

13. Почему частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний системы?

14. Подвешенный к пружине медный шарик совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый того же радиуса?

15. При каком значении логарифмического декремента затухания колебания затухают быстрее: при θ1 = 0,25 или θ2 = 0,5? Привести графики этих затухающих колебаний.

Библиографический список

1. Трофимова Т. И . Курс физики / . – 11-е изд. – М. : Академия, 2006. – 560 с.

2. Савельев И. В . Курс общей физики: в 3 т. / . – СПб. : Лань, 2008. – Т. 1. – 432 с.

3. Ахматов А. С . Лабораторный практикум по физике / .
– М. : Высш. шк., 1980. – 359 с.

Пружинный маятник – это колебательная система, состоящая из материальной точки массой т и пружины. Рассмотрим горизонтальный пружинный маятник (рис. 13.12, а). Он представляет собой массивное тело, просверленное посередине и надетое на горизонтальный стержень, вдоль которого оно может скользить без трения (идеальная колебательная система). Стержень закреплен между двумя вертикальными опорами. К телу одним концом прикреплена невесомая пружина. Другой ее конец закреплен на опоре, которая в простейшем случае находится в покое относительно инерциальной системы отсчета, в которой происходят колебания маятника. В начале пружина не деформирована, и тело находится в положении равновесия С. Если, растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, то со стороны деформированной пружины на него начнет действовать сила упругости, всегда направленная к положению равновесия. Пусть мы сжали пружину, переместив тело в положение А, и отпустили \((\upsilon_0=0).\) Под действием силы упругости оно станет двигаться ускоренно. При этом в положении А на тело действует максимальная сила упругости, так как здесь абсолютное удлинение x m пружины наибольшее. Следовательно, в этом положении ускорение максимальное. При движении тела к положению равновесия абсолютное удлинение пружины уменьшается, а следовательно, уменьшается ускорение, сообщаемое силой упругости. Но так как ускорение при данном движении сонаправлено со скоростью, то скорость маятника увеличивается и в положении равновесия она будет максимальна. Достигнув положения равновесия С, тело не остановится (хотя в этом положении пружина не деформирована, и сила упругости равна нулю), а обладая скоростью, будет по инерции двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости направлена теперь против движения тела и тормозит его. В точке D скорость тела окажется равной нулю, а ускорение максимально, тело на мгновение остановится, после чего под действием силы упругости начнет двигаться в обратную сторону, к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, тело, сжимая пружину и замедляя движение, дойдет до точки А (так как трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение тела будет повторяться в описанной последовательности. Итак, причинами свободных колебаний пружинного маятника являются действие силы упругости, возникающей при деформации пружины, и инертность тела.

По закону Гука \(~F_x=-kx.\) По второму закону Ньютона \(~F_x = ma_x.\) Следовательно, \(~ma_x = -kx.\) Отсюда

\(a_x = -\frac{k}{m}x\) или \(a_x + -\frac{k}{m}x = 0 \) – динамическое уравнение движения пружинного маятника.2 x = 0,\) видим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой \(\omega = \sqrt \frac{k}{m}\) Так как \(T = \frac{2 \pi}{\omega},\) то

\(T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }\)- период колебаний пружинного маятника.

По этой же формуле можно рассчитывать и период колебаний вертикального пружинного маятника (рис. 13.12. б). Действительно, в положении равновесия благодаря действию силы тяжести пружина уже растянута на некоторую величину x 0 , определяемую соотношением \(~mg=kx_0.\) При смещении маятника из положения равновесия O на х проекция силы упругости \(~F”_{ynpx} = -k(x_0 + x)\) и по второму закону Ньютона \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Подставляя сюда значение \(~kx_0=mg,\) получим уравнение движения маятника \(a_x + \frac{k}{m}x = 0,\) совпадающее с уравнением движения горизонтального маятника.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. – Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. – С. 377-378.

опыты, формулы, задачи. Определение и физический смысл

Определение

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\left(1\right),\]

где ${щu}^2_0=\frac{k}{m}$ – циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ – амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi)$ – фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ – начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

Так как частота колебаний ($\nu $) – величина обратная к периоду, то:

\[\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\left(5\right).\]

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($\varphi $).

Амплитуду можно найти как:

начальная фаза при этом:

где $v_0$ – скорость груза при $t=0\ c$, когда координата груза равна $x_0$.2}{2}$ – кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

  • Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
  • Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600\ \frac{Н}{м}$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1\ \frac{м}{с}$?

Решение. Сделаем рисунок.

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

где $E_{pmax}$ – потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_{kmax\ }$ – кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.2}{2}\left(1.4\right).\]

Из (1.4) выразим искомую величину:

Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

Ответ. $x_0=1,5$ мм

Пример 2

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A{\cos \left(\omega t\right),\ \ }\ $где $A$ и $\omega $ – постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_{p0}$. В какой момент времени это произойдет?

Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:

В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_{p0}$, значит:

\[\frac{E_{p0}}{F_0}=-\frac{A}{2}{\cos \left(\omega t\right)\ }\to t=\frac{1}{\omega }\ arc{\cos \left(-\frac{2E_{p0}}{AF_0}\right)\ }.\]

Ответ. $t=\frac{1}{\omega }\ arc{\cos \left(-\frac{2E_{p0}}{AF_0}\right)\ }$

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Уральский государственный университет путей сообщения

Филиал УрГУПС в г. Нижний Тагил

Кафедра «Общепрофессиональные дисциплины»

Отчет по лабораторной работе №5

«Масса на пружине»

Преподаватель:

Нижний Тагил

Колебания массы на пружине при отсутствии вынуждающей силы называются свободными. Свободные колебания при отсутствии трения являются гармоническими.

Колебательное движение груза на пружине происходит под действием упругой силы по вертикальному направлению.

По второму закону Ньютона

где – масса колеблющегося тела,– коэффициент упругости (жёсткость) пружины. Пружинный маятник совершает гармонические колебания по законус циклической частотойи периодом. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т.е. масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника равна.

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, в которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса . Уравнение гармонического колебания

где –коэффициент упругости (жёсткость) , –масса колеблющейся системы, –смещение колеблющейся системы, – сила упругости (возвращающая сила) . Решение дифференциального уравнения имеет вид

где – колеблющаяся величина (смещение, скорость, ускорение, сила, импульс и др.), –время , –амплитуда колебания, равная максимальному отклонению колеблющейся величины от положения равновесия, –циклическая (круговая) частота . Циклическая частота численно равна числу полных колебаний, совершаемых за времяс, т.е.,–частота колебаний равна числу полных колебаний, совершаемых за единицу времени.Период колебаний – время, за которое совершается одно полное колебание.Фаза колебания определяет значениев данный момент времени, или какую часть от амплитудысоставляет смещениев данный момент времени.Начальная фаза колебания определяет момент начала отсчёта времени, т.е. при.

Характеристики гармонического свободного колебания материальной точки (массы на пружине), совершаемого по закону , при

Здесь индексом 0 обозначены (,,,,,,) – максимальные (амплитудные) значения величин.

Скорость м.т. , где.

Ускорение м.т. ;.

Возвращающая сила, действующая на м. т. ;.

Импульс м.т. ;.

Кинетическая энергия м.т. ;.

Среднее значение кинетической энергии м.т. за один период .

Потенциальная энергия м.т. ;.

Среднее значение потенциальной энергии м.т. .

Колебание м.т. совершается по закону , при,.

Скорость м.т. , где.

Ускорение м.т. ;.

Возвращающая сила, действующая на м.т. ;.

Импульс м.т. ;.

Кинетическая энергия м.т. ;.

Потенциальная энергия м.т. ;. По закону сохранения механической энергии максимальные значения, средние значения за период. Полная энергия колеблющейся м. т. равна. Так как,.

Согласно выражениям (2) квадрат у синуса и косинуса в кинетической и потенциальной энергии показывает, что эти величины со временем изменяются с удвоенной частотой .

Ускорение, скорость, смещение м. т. находятся в последовательности . Ускорение опережает скорость по фазе на, а смещение – на. Скорость опережает смещение по фазе на. Вторая производная от смещения по времени пропорциональна смещению и имеет обратный ему знак. Сила, действующая на колеблющуюся м. т.,. Она пропорциональна смещению м. т. из положения равновесия и направлена к положению равновесия.

Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Энергия расходуется на работу против сил трения. Затухающие колебания совершаются при одновременном действии сил: упругой силы и силы сопротивления среды. Уравнение затухающего колебания при небольших затуханиях вытекает из второго закона Ньютона , т.е.

Или , или, (3)

где – масса колеблющегося тела,=- его ускорение,F упр = – – упругая (возвращающая) сила,–сила сопротивления среды, –коэффициент сопротивления среды, =– скорость движения тела в среде. Решение дифференциального уравнения (3) даёт зависимость смещенияот времени

где –коэффициент затухания , – циклическая частота затухающих колебаний системы,– собственная циклическая частота свободных колебаний системы. Отношение двух последующих амплитуд одного и того же знакаи, отстоящих друг от друга на период, называетсядекрементом затухания . Натуральный логарифм от отношения двух последующих амплитуд, отстоящих друг от друга на период, называетсялогарифмическим декрементом затухания .Время релаксации равно промежутку времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается враз. Логарифмический декремент затухания, где=/T – число колебаний, совершаемых за время релаксации, т.е. за время уменьшения амплитуды в раз.Добротностью колебательной системы называется число, равное умноженному на 2π отношению полной энергии к величине потери энергии за период за счёт её диссипации. Добротностьпропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.

Определение 1

Свободные колебания могут совершаться под действием внутренних сил только после выведения из положения равновесия всей системы.

Чтобы колебания совершались согласно гармоническому закону, нужно, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из равновесного положения и направлена в сторону, противоположную смещению.

F (t) = m a (t) = – m ω 2 x (t) .

Соотношение говорит о том, что ω является частотой гармонического колебания. Данное свойство характерно для упругой силы в пределах применимости закона Гука:

F у п р = – k x .

Определение 2

Силы любой природы, которые удовлетворяют условию, называют квазиупругими .

То есть груз с массой m , прикрепляющийся к пружине жесткости k с неподвижным концом, изображенным на рисунке 2 . 2 . 1 , составляют систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.

Определение 3

Груз, располагаемый на пружине, называют линейным гармоническим осциллятором.

Рисунок 2 . 2 . 1 . Колебания груза на пружине. Трения нет.

Круговая частота

Нахождение круговой частоты ω 0 производится с помощью применения формулы второго закона Ньютона:

m a = – k x = m ω 0 2 x .

Значит, получаем:

Определение 4

Частоту ω 0 называют собственной частотой колебательной системы .

Определение периода гармонических колебаний груза на пружине Т находится из формулы:

T = 2 π ω 0 = 2 π m k .

Горизонтальное расположение системы пружина-груз, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При подвешивании груза на пружину направление силы тяжести идет по линии движения груза. Положение равновесия растянутой пружины равняется:

x 0 = m g k , тогда как колебания выполняются около нового равновесного состояния. Формулы собственной частоты ω 0 и периода колебаний Т в вышеуказанных выражениях являются справедливыми.

Определение 5

При имеющейся математической связи между ускорением тела а и координатой х поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение является второй производной координаты тела х по времени t:

Описание второго закона Ньютона с грузом на пружине запишется как:

m a – m x = – k x , или x ¨ + ω 0 2 x = 0 , где свободная частота ω 0 2 = k m .

Если физические системы зависят от формулы x ¨ + ω 0 2 x = 0 , тогда они в состоянии совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, так как применяется x = x m cos (ω t + φ 0) .

Определение 6

Уравнение вида x ¨ + ω 0 2 x = 0 получило название уравнения свободных колебаний . Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω 0 или период Т.

Амплитуда x m и начальная фаза φ 0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.

Пример 1

При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние ∆ l и моменте времени, равном t = 0 , производится его опускание без начальной скорости. Тогда x m = ∆ l , φ 0 = 0 . Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ± υ 0 , отсюда x m = m k υ 0 , φ 0 = ± π 2 .

Амплитуда x m с начальной фазой φ 0 определяются наличием начальных условий.

Рисунок 2 . 2 . 2 . Модель свободных колебаний груза на пружине.

Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок 2 . 2 . 2 показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ , тогда возникает момент силы упругой деформации кручения M у п р:

M у п р = – x θ .

Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид

I ε = M у п р = – x θ или I θ ¨ = – x θ , где моментом инерции обозначается I = I C , а ε – угловое ускорение.

Аналогично с формулой пружинного маятника:

ω 0 = x I , T = 2 π I x .

Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.

Рисунок 2 . 2 . 3 . Крутильный маятник.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Свойства пружинного маятника

Определение 1

Идеальный пружинный маятник представляет собой пружину, массой которой можно пренебречь, с закрепленным на ней телом с точечной массой. При этом один или оба конца пружины закреплены, а силой трения можно пренебречь.

Такую конструкцию можно рассматривать лишь как математическую модель. Примерами реальных пружинных маятников (навитых из упругой проволоки цилиндрических спиралей) могут служить всевозможные устройства, гасящие колебания: амортизаторы, подвески, рессоры и т.п. Пружинные маятники, хотя и несколько иной конструкции (в виде плоских спиралей) используются в механических часах.

Свойства пружин зависят от вещества, из которого они изготовлены (как правило, это особая пружинная сталь), диаметра проволоки, формы ее сечения, диаметра цилиндра пружины, его длины. Эти показатели в совокупности обуславливают ключевую характеристику пружины – ее жесткость.

Пружина запасает энергию при продольном растяжении или сжатии за счет упругих деформаций в кристаллической решетке своего вещества.

Замечание 1

При слишком сильном растяжении или сжатии материал пружины теряет упругие свойства. Такая деформация называется пластической или остаточной.

Формула для расчета частоты колебаний

Если пружину с закрепленной на ней грузом, подвергнуть продольной упругой деформации, а затем отпустить, она начнет совершать возвратно-поступательные гармонические колебания, в ходе которых перемещение закрепленного на ней груза описывается формулой:

$x = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t + \phi)$

Здесь $A$ – амплитуда колебаний, $\phi$ – начальная фаза, $\omega_0$ – собственная циклическая частота колебаний пружинного маятника, рассчитываемая как

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ > $0$,

  • $k$ – жесткость пружины,
  • $m$ – масса закрепленного на ней тела.

Циклическая частота отличается тем, что характеризует не количество полных циклов за единицу времени, а количество “пройденных” колеблющейся по гармоническому закону точкой радиан.

Период колебаний пружинного маятника вычисляется как

Читайте также…

Лабораторная работа № 3 Изучение свободных колебаний пружинного маятника

Принадлежности: пружинный маятник, укрепленный на штативе, линейка, секундомер, грузы, стакан с водой.

Краткая теория. Колебаниями называются процессы, обладающие свойством повторяемости. Например, качания маятника часов, качелей, колебания струны и др. В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания механические, электромагнитные, электромеханические и т.д.

В зависимости от характера воздействий, оказываемого на колеблющуюся систему, различают свободные (или собственные), вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными называются колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она однажды была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити (маятник). Вынужденными называются такие колебания, которые поддерживаются воздействием внешней периодически изменяющейся силы. Например, колебания моста, возникающие при прохождении по нему группы людей, шагающих в ногу. Автоколебания также сопровождаются воздействием внешних сил, однако, моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой (система сама управляет внешним воздействием). Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение. При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы.

Простейшими являются гармонические колебания. Различают свободные незатухающие и затухающие колебания, хотя, строго говоря, незатухающих колебаний в природе не бывает. Свободные незатухающие колебания можно рассмотреть на примере системы, состоящей из шарика массы , укрепленного на пружине. Для простоты рассуждений пружину расположим горизонтально на стержне (рис. 1, стержень не показан). Будем считать, что вся масса пружины сосредоточена в шарике, сила трения отсутствует.

Рис. 1

Если пружину вывести из состояния равновесия (точка ), например, растянуть и затем отпустить, то система придет в движение и будет совершать колебания вдоль координаты относительно точки . В отсутствие сил трения на шарик действуют сила тяжести , сила реакции опоры и упругая сила со стороны пружины , где – коэффициент жесткости пружины, – смещение тела от положения равновесия, – ускорение свободного падения.

Запишем уравнение движения (основной закон динамики):

.

(1)

В проекции на ось уравнение (1) имеет вид:

.

(2)

Поскольку ускорение есть вторая производная по времени от координаты , выражение (2) можно переписать:

или

.

(3)

Величины и – сугубо положительные, поэтому их отношение можно представить в виде квадрата некоторого числа . Тогда уравнение (3) примет вид:

.

(4)

Таким образом, движение тела под действием силы упругости описывается однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Решение уравнения (4) легко находится методом подстановки1 и имеет вид:

.

(5)

Выражение (5) называется уравнением колебаний.

Здесь и – постоянные величины, зависящие от начальных условий ( – амплитуда колебаний, – начальная фаза), ( ) – фаза колебаний, – циклическая частота колебаний, т.е. число колебаний за секунд.

Уравнение (5) показывает, что смещение изменяется со временем по гармоническому закону, следовательно, движение системы представляет собой гармоническое колебание.

Собственная частота колебаний зависит, как видно, от параметров колеблющейся системы: от массы и коэффициента упругости пружины. Период собственных колебаний (время одного полного колебания) равен:

.

(6)

Связь между линейной частотой (число колебаний за единицу времени) и периодом очевидна:

.

График гармонического незатухающего колебания показан на рис. 2. По горизонтали отложено время , по вертикальной оси – смещение .

Рис. 2

Так как косинус изменяется от –1 до +1, значения лежат в пределах от до . Этот интервал называется размахом колебаний.

Затухающие колебания. Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, амплитуда колебаний будет уменьшаться и колебания затухнут.

Рассматривая свободные затухающие колебания, ограничимся случаем малых колебаний: при этом скорость системы будет малой. Известно, что при небольших скоростях сила вязкого трения (сопротивления) пропорциональна величине скорости :

,

(7)

где – коэффициент сопротивления среды. Знак минус обусловлен тем, что и имеют противоположные направления.

Уравнение движения маятника (второй закон Ньютона) с учетом силы трения в проекции на ось имеет вид:

.

Введя обозначения и и перенеся все слагаемые влево от знака равенства, получим дифференциальное уравнение второго порядка:

.

(8)

Решением уравнения (8) является выражение:

.

(9)

В соответствии с видом функции (9) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой и амплитудой, изменяющейся по экспоненциальному закону, . Величина представляет собой амплитуду в момент времени (начало колебаний). Начальное смещение зависит от величины и от начальной фазы : .

График уравнения (9) представлен на рис. 3. Штриховыми линиями отмечены пределы, в которых изменяется смещение колеблющейся точки.

Скорость затухания колебаний определяется величиной которую называют коэффициентом затухания. Время , за которое амплитуда уменьшается в раз, находится из условия . Таким образом, по величине коэффициент затухания обратно пропорционален тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в раз. Время колебаний называется временем релаксации или временем жизни колебаний.

Рис. 3

Период затухающих колебаний зависит не только от собственной частоты , но и от коэффициента затухания :

.

При незначительном сопротивлении среды, когда , период колебаний практически равен периоду свободных незатухающих колебаний . С увеличением коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно:

.

Это отношение называется декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания:

.

(10)

Формула (10) обычно используется для характеристики затухания колебаний. Выразив через и , можно записать закон убывания амплитуды в виде

Рис. 4

Пусть за время амплитуда колебаний уменьшится в раз. В течение этого времени система успеет совершить колебаний. Из условия получается, что Следовательно, по величине логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, которые система совершит за время релаксации (за время, необходимое для уменьшения амплитуды в раз).

Экспериментальная установка состоит из штатива 1 (рис. 4), на кронштейне которого закреплена пружина 2. К нижнему концу пружины подвешена платформа 3 со съемными грузами 4. Верхний конец платформы снабжен указателем 5, который при смещении маятника скользит вдоль масштабной линейки 6.

Для получения быстро затухающих колебаний платформу с грузами помещают в сосуд с водой 7. Коэффициент затухания определяют из следующих соображений: при затухающих колебаниях амплитуда колебаний связана с начальной амплитудой соотношением , где – время колебаний, за которое амплитуда уменьшилась от до . Отсюда:

.

(11)

Порядок выполнения работы

Опыт 1. Определение коэффициента жесткости пружины.

  1. Нагружая пружину поочередно грузами разной массы (5–7 значений), измерить соответствующие удлинения. Чтобы устранить возможные ошибки, связанные с начальными условиями, следует исключить из числа опытов случай, когда в качестве груза используется только платформа.

  2. По данным каждого из опытов вычислить коэффициент жесткости пружины, помня, что колебания происходят под действием силы тяжести , где – удлинение пружины.

  3. Найти среднее значение коэффициента, абсолютную погрешность каждого его измерения и среднее значение абсолютной погрешности. Результаты занести в таблицу 1.

  4. Конечный результат представить в виде с относительной ошибкой опыта.

Опыт 2. Зависимость периода колебаний от массы маятника.

  1. Нагружая пружину грузами разной массы, при помощи секундомера определить время 50 колебаний (колебания будут продолжительно устойчивыми, если начальную амплитуду задать небольшой, примерно 1,5 см). Результаты опытов занести в таблицу 2.

  2. Для каждого случая вычислить период колебаний с точностью до третьего знака.

  3. Для тех же нагрузок вычислить период колебаний по формуле . Найти различие между и в процентах. Не забудьте учесть массу платформы!

  4. Построить график зависимости или и сделать вывод о совпадении (или нет) опыта с теорией.

Опыт 3. Определение характеристик затухания. Тело (груз), подвешенное на пружине, поместить в сосуд с водой и вывести из состояния равновесия (при колебаниях груз не должен касаться стенок сосуда и не должен выходить на поверхность жидкости). Убедиться, что колебания носят быстро затухающий характер.

  1. Задать начальное смещение  см, измерить время 10 полных колебаний ( ) и амплитуду .

  2. При тех же значениях и опыт повторить не менее 7 раз. Результаты занести в таблицу 3.

  3. По данным измерений вычислить средние значения , и других величин, указанных в таблице 3.

  4. Вывести формулу для расчета погрешностей коэффициента (см. работу № 0), рассчитать абсолютную и относительную ошибки.

  5. Результаты представить в виде (ед. изм.) и (%).

Контрольные вопросы

  1. Что значит “колебательное движение”? Как при этом движении изменяется энергия системы (рассказать на примере пружинного или другого маятника)?

  2. Способы определения коэффициента жесткости пружины и периода колебаний маятника в работе.

  3. Вывод дифференциального уравнения свободных незатухающих колебаний, его решение и анализ (амплитуда, частота, фаза и начальная фаза).

  4. Что такое собственная частота системы, от чего она зависит?

  5. Свободные затухающие колебания. Чем определяется коэффициент затухания? (частота и амплитуда затухающих колебаний).

  6. Вывод дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний, его решение и анализ.

  7. Величины, характеризующие скорость затухания колебаний (коэффициент затухания, декремент затухания, логарифмический декремент затухания).

  8. Время жизни колебаний. От чего оно зависит?

  9. Что необходимо сделать, чтобы перейти к вопросу “вынужденные колебания”?

Список рекомендуемой литературы

  1. Савельев И.В. Курс общей физики. М., 1977 или 1982. т. 1. Гл. 7.

  2. Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. М., 1965. Гл. 4.

Таблица 1

г

см

см

см

кг2

кг2

Таблица 2

г

с

с

с

%

Таблица 3

см

с

Средние значения характеристик

1

1,5 см

10

7

5.5 Простое гармоническое движение – Физика

Задачи обучения разделу

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

  • Описание закона Гука и простого гармонического движения
  • Опишите периодическое движение, колебания, амплитуду, частоту и период
  • Решение задач простого гармонического движения с использованием пружин и маятников

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Цели обучения в этом разделе помогут вашим ученикам овладеть следующими стандартами:

  • (7) Научные концепции.Студент знает характеристики и поведение волн. Ожидается, что студент:
    • (A) исследует и описывает колебательные движения и распространение волн в различных типах сред.

Кроме того, лабораторное руководство по физике средней школы рассматривает содержание этого раздела лаборатории под названием «Движение в двух измерениях», а также следующие стандарты:

  • (7) Научные концепции. Студент знает характеристики и поведение волн.Ожидается, что студент:
    • (A) изучить и описать колебательные движения и распространение волн в различных типах сред.

Раздел Ключевые термины

амплитуда деформация положение равновесия частота
Закон Гука колебаться период периодическое движение
восстанавливающая сила простое гармоническое движение простой маятник

Закон Гука и простое гармоническое движение

Представьте себе машину, припаркованную у стены.Если бульдозер втолкнет машину в стену, машина не сдвинется с места, но заметно изменит форму. Изменение формы из-за приложения силы – это деформация. Известно, что даже очень небольшие силы вызывают некоторую деформацию. При небольших деформациях могут произойти две важные вещи. Во-первых, в отличие от примера с автомобилем и бульдозером, объект возвращается к своей исходной форме после снятия силы. Во-вторых, величина деформации пропорциональна силе. Это второе свойство известно как закон Гука.В форме уравнения закон Гука равен

.

, где x – величина деформации (например, изменение длины), вызванная возвращающей силой F , а k – константа, которая зависит от формы и состава объекта. Возвращающая сила – это сила, которая возвращает объект в его положение равновесия; знак минус стоит потому, что возвращающая сила действует в направлении, противоположном смещению. Обратите внимание, что восстанавливающая сила пропорциональна деформации x .Деформацию также можно рассматривать как смещение от равновесия. Это изменение положения из-за силы. В отсутствие силы объект находился бы в положении равновесия. Постоянная силы k связана с жесткостью системы. Чем больше силовая постоянная, тем жестче система. Более жесткую систему труднее деформировать, и для нее требуется большая восстанавливающая сила. Единицы измерения к – ньютоны на метр (Н / м). Одно из наиболее распространенных применений закона Гука – решение задач, связанных с пружинами и маятниками, которые мы рассмотрим в конце этого раздела.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL] Просмотрите понятие силы.

[BL] [OL] [AL] Представьте закон Гука и силовую постоянную пружины.

Колебания и периодические движения

Что общего у океанского буй, ребенка на качелях, гитары и биения сердец? Все они колеблются. То есть они перемещаются между двумя точками, как линейка, показанная на рис. 5.37. Все колебания связаны с силой.Например, вы толкаете ребенка на качелях, чтобы начать движение.

Рис. 5.37. Линейка смещена из положения равновесия.

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] [OL] [AL] Найдите пружины или резинки с разной степенью жесткости. Попросите учащихся прикрепить к ним веса, чтобы построить осцилляторы. Введите термины “частота” и “период времени”. Попросите учащихся понаблюдать, как на них влияет жесткость пружины.Как на них влияет масса системы? Как на них влияет начальная сила?

Первый закон Ньютона подразумевает, что объект, колеблющийся вперед и назад, испытывает силы. Без силы объект будет двигаться по прямой с постоянной скоростью, а не колебаться. Рассмотрим, например, отщипывание пластиковой линейки слева, как показано на рис. 5.38. Деформация линейки создает силу в противоположном направлении, известную как восстанавливающая сила. После высвобождения возвращающая сила заставляет линейку двигаться обратно к своему устойчивому положению равновесия, где результирующая сила, действующая на нее, равна нулю.Однако к тому времени, когда линейка попадает туда, она набирает обороты и продолжает двигаться вправо, создавая противоположную деформацию. Затем он перемещается влево, обратно через равновесие, и процесс повторяется до тех пор, пока он постепенно не теряет всю свою энергию. Простейшие колебания возникают, когда возвращающая сила прямо пропорциональна смещению. Напомним, что закон Гука описывает эту ситуацию уравнением F = – kx . Следовательно, закон Гука описывает и применяется к простейшему случаю колебаний, известному как простое гармоническое движение.

Рис. 5.38 (a) Пластиковая линейка отпущена, и возвращающая сила возвращает линейку в положение равновесия. (b) Чистая сила равна нулю в положении равновесия, но линейка имеет импульс и продолжает двигаться вправо. (c) Возвратная сила в противоположном направлении. Он останавливает линейку и снова возвращает ее к равновесию. (г) Теперь у правителя есть импульс влево. (e) При отсутствии демпфирования (вызванного силами трения) линейка достигает своего исходного положения.Оттуда движение повторится.

Когда вы дергаете за гитарную струну, звук становится ровным и длится долгое время. Каждое колебание струны занимает то же время, что и предыдущее. Периодическое движение – это движение, которое повторяется через равные промежутки времени, например, когда объект подпрыгивает на пружине или маятник раскачивается взад и вперед. Время завершения одного колебания (полного цикла движения) остается постоянным и называется периодом T .Обычно это секунды.

Частота f – количество колебаний в единицу времени. Единицей измерения частоты в системе СИ является герц (Гц), определяемый как количество колебаний в секунду. Связь между частотой и периодом равна

.

Как видно из уравнения, частота и период – это разные способы выражения одного и того же понятия. Например, если вы получаете зарплату два раза в месяц, вы можете сказать, что частота выплат – два в месяц, или что период между проверками составляет полмесяца.

Если нет трения, замедляющего его, то объект в простом движении будет вечно колебаться с равным смещением по обе стороны от положения равновесия. Положение равновесия – это то место, где объект естественным образом находился бы в отсутствии силы. Максимальное отклонение от положения равновесия называется амплитудой X . Единицы измерения амплитуды и смещения такие же, но зависят от типа колебаний. Для объекта на пружине, показанного на рис. 5.39, единицы измерения амплитуды и перемещения – метры.

Рис. 5.39. Предмет, прикрепленный к пружине, скользящей по поверхности без трения, представляет собой простой гармонический осциллятор. При смещении из состояния равновесия объект совершает простое гармоническое движение с амплитудой X и периодом T . Максимальная скорость объекта достигается при прохождении через равновесие. Чем жестче пружина, тем меньше период T . Чем больше масса объекта, тем больше период T .

Масса м и силовая постоянная к являются факторами только , которые влияют на период и частоту простого гармонического движения.Период простого гармонического осциллятора равен

, и, поскольку f = 1/ T , частота простого гармонического осциллятора равна

.

Watch Physics

Введение в гармоническое движение

В этом видео показано, как построить график смещения пружины в направлении оси x с течением времени в зависимости от периода. Посмотрите первые 10 минут видео (вы можете остановиться, когда рассказчик начнет рассказывать о расчетах).

Проверка захвата

Если бы амплитуда смещения пружины была больше, как это повлияло бы на график смещения во времени? Что случилось бы с графиком, если бы период был больше?

  1. Большая амплитуда приведет к более высоким пикам и впадинам, а более длительный период приведет к большему разделению во времени между пиками.
  2. Большая амплитуда приведет к меньшим пикам и впадинам, а более длинный период приведет к большему расстоянию между пиками.
  3. Большая амплитуда приведет к более высоким пикам и впадинам, а более длинный период приведет к более короткому расстоянию между пиками.
  4. Большая амплитуда приведет к меньшим пикам и впадинам, а более длинный период приведет к более короткому расстоянию между пиками.

Решение задач пружины и маятника с помощью простого гармонического движения

Прежде чем решать проблемы с пружинами и маятниками, важно сначала понять, как работает маятник.Рисунок 5.40 дает полезную иллюстрацию простого маятника.

Рис. 5.40 У простого маятника есть боб небольшого диаметра и веревка, которая имеет очень небольшую массу, но достаточно прочна, чтобы не растягиваться. Линейное смещение от положения равновесия s, длина дуги. Также показаны силы на опоре, которые приводят к результирующей силе – мг sin θ по направлению к положению равновесия, то есть возвращающей силе.

Teacher Support

Teacher Support

[BL] Просмотрите простое гармоническое движение.

Повседневные примеры маятников включают старомодные часы, детские качели или грузило на леске. При небольших смещениях менее 15 градусов маятник испытывает простые гармонические колебания, что означает, что его восстанавливающая сила прямо пропорциональна его смещению. Маятник в простом гармоническом движении называется простым маятником. У маятника есть объект с небольшой массой, также известный как маятник, который свисает с легкой проволоки или веревки. Положение равновесия для маятника – это когда угол θθ равен нулю (то есть, когда маятник свисает прямо вниз).Имеет смысл, что без приложения силы маятник остановился бы именно здесь.

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] [OL] [AL] Создавайте простые маятники разной длины. Попросите учащихся измерить свои периоды времени или частоту. Постоянны ли они для данного маятника? Как масса влияет на частоту? Как на это влияет начальное смещение? Что произойдет, если маятник слегка толкнет, чтобы он запустился? Это изменит частоту? Каким образом длина влияет на частоту?

Перемещение маятникового боба – длина дуги с .Гиря м г имеет составляющие м г cos θθ вдоль струны и м g sin θθ, касательную к дуге. Натяжение в струне точно исключает составляющую m g cos θθ, параллельную струне. В результате восстанавливающая сила net возвращается к положению равновесия, которое проходит по касательной к дуге и составляет – м г sin θθ.

Для простого маятника период T = 2πLg.Т = 2πLg.

Единственное, что влияет на период простого маятника, – это его длина и ускорение свободного падения. Период полностью не зависит от других факторов, таких как масса или амплитуда. Однако обратите внимание, что T действительно зависит от g . Это означает, что, зная длину маятника, мы можем использовать его для измерения силы тяжести! Это пригодится на рис. 5.40.

Советы для успеха

Напряжение представлено переменной T , а период представлен переменной T .Важно не путать их, поскольку напряжение – это сила, а период – это отрезок времени.

Рабочий пример

Измерение ускорения свободного падения: период маятника

Каково ускорение свободного падения в области, где простой маятник длиной 75 000 см имеет период 1,7357 с?

Стратегия

Нас просят найти g , учитывая период T и длину L маятника.Мы можем решить T = 2πLgT = 2πLg для g , предполагая, что угол отклонения меньше 15 градусов. Напомним, что когда угол отклонения меньше 15 градусов, считается, что маятник находится в простом гармоническом движении, что позволяет нам использовать это уравнение.

Решение

  1. Квадрат T = 2πLgT = 2πLg и решаем относительно g .
  2. Подставьте известные значения в новое уравнение.g = 4π20,75000 м (1,7357 с) 2g = 4π20,75000 м (1,7357 с) 2
  3. Посчитайте, чтобы найти г . g = 9,8281 м / с2 g = 9,8281 м / с2

Обсуждение

Этот метод определения г может быть очень точным. Вот почему в этом примере длина и период представлены пятью цифрами.

Рабочий пример

Закон Гука: насколько жестки автомобильные пружины?

Какова силовая постоянная для системы подвески автомобиля, показанной на рисунке 5.41, что составляет 1,20 см, когда внутрь садится человек весом 80,0 кг?

Рисунок 5.41 Автомобиль на стоянке. (exfordy, Flickr)

Стратегия

Считайте, что автомобиль находится в положении равновесия x = 0 до того, как человек сядет в него. Затем автомобиль устанавливается на 1,20 см, что означает, что он смещается в положение x = −1,20 × 10 −2 м. .

В этот момент пружины создают восстанавливающую силу F , равную весу человека

w = м г = (80.0 кг) (9,80 м / с 2 ) = 784 Н. Мы принимаем эту силу равной F по закону Гука.

Зная F и x , мы можем найти силовую постоянную k .

Решение

Решите закон Гука, F = – kx , для k .

Подставляем известные значения и решаем k .

k = −784 N − 1,20 × 10−2 м = 6,53 × 104 Н / м k = −784 N − 1.20 × 10−2 м = 6,53 × 104 Н / м

Обсуждение

Обратите внимание, что F, и x имеют противоположные знаки, потому что они находятся в противоположных направлениях – восстанавливающая сила вверх, а смещение вниз. Также обратите внимание, что автомобиль будет раскачиваться вверх и вниз, когда человек садится в него, если бы не амортизаторы. Подскакивающие машины – верный признак плохих амортизаторов.

Практические задачи

20.

Сила 70 \, \ text {N}, приложенная к пружине, заставляет ее смещаться на 0.1 \, \ text {N / m}

Snap Lab

Определение силы тяжести с помощью простого маятника

Используйте простой маятник, чтобы определить ускорение свободного падения g в вашем доме или классе.

  • 1 строка
  • 1 секундомер
  • 1 небольшой плотный объект
  1. Отрежьте кусок веревки или зубной нити так, чтобы он был длиной около 1 м.
  2. Прикрепите к концу веревки небольшой предмет высокой плотности (например, металлическую гайку или ключ от машины).
  3. Начиная с угла менее 10 градусов, позвольте маятнику качаться и измерьте период маятника для 10 колебаний с помощью секундомера.
  4. Вычислить г .

Проверка захвата

Насколько точно это измерение для г ? Как это можно улучшить?

  1. Точность для значения г будет увеличиваться с увеличением массы плотного объекта.
  2. Точность для значения г будет увеличиваться с увеличением длины маятника.
  3. Значение г будет более точным, если угол отклонения больше 15 °.
  4. Значение г будет более точным, если оно поддерживает простое гармоническое движение.

Проверьте свое понимание

22.

Что такое деформация?

  1. Деформация – это величина возвращающей силы.
  2. Деформация – это изменение формы под действием силы.
  3. Деформация – это максимальное усилие, которое может быть приложено к пружине.
  4. Деформация восстанавливает первоначальную форму после снятия внешней силы.
23.

Чему пропорциональна деформация, согласно закону Гука?

  1. Усилие
  2. Скорость
  3. Рабочий объем
  4. Постоянная силы
24.

Что такое колебания?

  1. Перемещение, вызывающее небольшие смещения
  2. Движение, которое периодически повторяется
  3. Периодическое повторяющееся движение между двумя точками
  4. движение, противоположное направлению возвращающей силы
25.

Верно или неверно – колебания могут возникать без применения силы.

  1. Истинно
  2. Ложь

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Используйте вопросы «Проверьте свое понимание», чтобы оценить, достигли ли учащиеся учебных целей, поставленных в этом разделе. Если учащиеся не справляются с какой-либо конкретной целью, «Проверьте свое понимание» поможет определить, какая цель вызывает проблему, и направит учащихся к соответствующему содержанию.

Факторы, которые могут повлиять на период колебаний

Обновлено 13 декабря 2020 г.

Мэтью Пердью

В физике период – это количество времени, необходимое для завершения одного цикла в колебательной системе, такой как маятник, масса на пружине или электронной схеме. За один цикл система перемещается из начальной позиции через максимальную и минимальную точки, затем возвращается в начало перед началом нового идентичного цикла. Вы можете определить факторы, влияющие на период колебаний, изучив уравнения, определяющие период колебательной системы.

Качающийся маятник

Уравнение для периода (T) качающегося маятника:

T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {L} {g}}

где π (pi) – математическая константа, L – длина плеча маятника, а g – ускорение свободного падения, действующее на маятник. Изучение уравнения показывает, что период колебаний прямо пропорционален длине руки и обратно пропорционален силе тяжести; таким образом, увеличение длины плеча маятника приводит к последующему увеличению периода колебаний при постоянном гравитационном ускорении.Уменьшение длины приведет к уменьшению периода. Для силы тяжести обратная зависимость показывает, что чем сильнее ускорение свободного падения, тем меньше период колебаний. Например, период маятника на Земле будет меньше, чем у маятника такой же длины на Луне.

Масса на пружине

Расчет периода (T) колебаний пружины с массой (м) описывается как:

T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {m} {k} }

где pi – математическая постоянная, m – масса, прикрепленная к пружине, а k – жесткость пружины, которая связана с «жесткостью» пружины.Таким образом, период колебаний прямо пропорционален массе и обратно пропорционален жесткости пружины. Более жесткая пружина с постоянной массой уменьшает период колебаний. Увеличение массы увеличивает период колебаний. Например, тяжелый автомобиль с пружинами в подвеске отскакивает медленнее при наезде на кочку, чем легкий автомобиль с такими же пружинами.

Волна

Волны, такие как рябь в озере или звуковые волны, распространяющиеся по воздуху, имеют период, равный обратной частоте; формула:

T = \ frac {1} {f}

где T – период колебаний, а f – частота волны, обычно измеряемая в герцах (Гц).Когда частота волны увеличивается, ее период уменьшается.

Электронные генераторы

Электронный генератор генерирует колебательный сигнал с помощью электронных схем. Из-за большого разнообразия электронных генераторов факторы, определяющие период, зависят от конструкции схемы. Некоторые генераторы, например, устанавливают период с помощью резистора, подключенного к конденсатору; период зависит от номинала резистора в омах, умноженного на емкость в фарадах.Другие генераторы используют кристалл кварца для определения периода; поскольку кварц очень стабилен, он с большой точностью устанавливает период генератора.

Формула амплитуды

Для объекта, находящегося в периодическом движении, амплитуда – это максимальное отклонение от состояния равновесия. Например, маятник проходит через точку равновесия (прямо вниз), а затем поворачивается на максимальное расстояние от центра. Это расстояние является амплитудой A. Полный диапазон маятника имеет величину 2A.Периодическое движение также применимо к таким вещам, как пружины и волны. Синусоидальная функция колеблется между значениями от +1 до -1, поэтому она используется для описания периодического движения. Единица измерения амплитуды – метры (м).

положение = амплитуда x синусоидальная функция (угловая частота x время + разность фаз)

x = A sin (ωt + ϕ)

x = смещение (м)

A = амплитуда (м)

ω = угловая частота (радиан / с)

t = время (с)

ϕ = фазовый сдвиг (радианы)

Формула амплитуды Вопросы:

1) Маятник качается вперед-назад.Угловая частота колебаний ω = π радиан / с, а фазовый сдвиг ϕ = 0 радиан. В момент времени t = 8,50 с маятник находится на 14,0 см от положения равновесия. Какова амплитуда колебаний?

Ответ: Положение маятника в данный момент времени – это переменная x, которая имеет значение x = 14,0 см или x = 0,140 м. Амплитуду A можно найти, переписав формулу:

Синус 8,50 π может быть решен (учитывая, что значение в радианах) с помощью калькулятора:

грех (8.50 π) = 1

Следовательно, амплитуда в момент времени t = 8,50 с составляет:

A = 0,140 м

Амплитуда колебаний маятника A = 0,140 м = 14,0 см

2) Голова игрушки «Джек из коробки» подпрыгивает на пружине. Угловая частота колебаний ω = π / 6 радиан / с, а фазовый сдвиг ϕ = 0 радиан. Амплитуда подпрыгивания 5,00 см. Каково положение головки «домкрат из коробки» относительно положения равновесия в следующие моменты времени:

а) 1.00 с

б) 6.00 с

в) 11.0 с

Ответ: Амплитуда подпрыгивания A = 5,00 см = 0,500 м. Положение головки «Джек в коробке» относительно равновесия равно x и может быть определено по формуле.

а) т = 1,00 с

x = A sin (ωt + ϕ)

x = (0,500 м) sin [(π / 6 радиан / с) (1,00 с) + 0]

x = (0,500 м) sin (π / 6 радиан)

x = (0,500 м) (0.500)

x = 0,250 м

x = 2,50 см

В момент времени t = 1,00 с напор находится на 2,50 см выше положения равновесия.

б) т = 6,00 с

x = A sin (ωt + ϕ)

x = (0,500 м) sin [(π / 6 радиан / с) (6,00 с) + 0]

x = (0,500 м) sin (π радиан)

x = (0,500 м) (0,00)

x = 0,00 м

В момент времени t = 6.00 с, головка находится в положении x = 0,00 м, которое является положением равновесия.

в) т = 11,0 с

x = A sin (ωt + ϕ)

x = (0,500 м) sin [(π / 6 радиан / с) (11,0 с) + 0]

x = (0,500 м) sin (11π / 6 радиан)

x = (0,500 м) (- 0,500)

x = -0,250 м

x = -2,50 см

В момент времени t = 11,0 с головка находится в положении x = -2,50 см, что равно 2.На 50 см ниже положения равновесия.

5.5 Простое гармоническое движение | Texas Gateway

Колебания и периодическое движение

Что общего у океанского буй, ребенка на качелях, гитары и биения сердец? Все они колеблются. То есть они перемещаются между двумя точками, как линейка на рис. 5.39. Все колебания связаны с силой. Например, вы толкаете ребенка на качелях, чтобы начать движение.

Рисунок 5.39 Линейка смещена из положения равновесия.

Первый закон Ньютона подразумевает, что объект, колеблющийся вперед и назад, испытывает силы. Без силы объект будет двигаться по прямой с постоянной скоростью, а не колебаться. Например, возьмем пластиковую линейку слева, как показано на рис. 5.40. Деформация линейки создает силу в противоположном направлении, известную как восстанавливающая сила. После высвобождения возвращающая сила заставляет линейку двигаться обратно к своему устойчивому положению равновесия, где результирующая сила, действующая на нее, равна нулю.Однако к тому времени, когда линейка попадает туда, она набирает обороты и продолжает двигаться вправо, создавая противоположную деформацию. Затем он перемещается влево, обратно через равновесие, и процесс повторяется до тех пор, пока он постепенно не теряет всю свою энергию. Простейшие колебания возникают, когда возвращающая сила прямо пропорциональна смещению. Напомним, что закон Гука описывает эту ситуацию уравнением F = – kx . Следовательно, закон Гука описывает и применяется к простейшему случаю колебаний, известному как простое гармоническое движение.

Рис. 5.40 (a) Пластиковая линейка отпущена, и возвращающая сила возвращает линейку в положение равновесия. (b) Чистая сила равна нулю в положении равновесия, но линейка имеет импульс и продолжает двигаться вправо. (c) Возвратная сила в противоположном направлении. Он останавливает линейку и снова возвращает ее к равновесию. (г) Теперь у правителя есть импульс влево. (e) При отсутствии демпфирования (вызванного силами трения) линейка достигает своего исходного положения.Оттуда движение повторится.

Когда вы дергаете за гитарную струну, звук становится ровным и длится долгое время. Каждое колебание струны занимает то же время, что и предыдущее. Периодическое движение – это движение, которое повторяется через равные промежутки времени, например, когда объект подпрыгивает на пружине или маятник раскачивается взад и вперед. Время завершения одного колебания (полного цикла движения) остается постоянным и называется периодом T .Обычно это секунды.

Частота f – количество колебаний в единицу времени. Единицей измерения частоты в системе СИ является герц (Гц), определяемый как количество колебаний в секунду. Связь между частотой и периодом равна

.

Как видно из уравнения, частота и период – это разные способы выражения одного и того же понятия. Например, если вы получаете зарплату два раза в месяц, вы можете сказать, что частота выплат – два в месяц, или что период между проверками составляет полмесяца.

Если нет трения, замедляющего его, то объект в простом движении будет вечно колебаться с равным смещением по обе стороны от положения равновесия. Положение равновесия – это то место, где объект естественным образом находился бы в отсутствии силы. Максимальное отклонение от положения равновесия называется амплитудой X . Единицы измерения амплитуды и смещения такие же, но зависят от типа колебаний. Для объекта на пружине, показанного на рис. 5.41, единицы измерения амплитуды и перемещения – метры.

Рис. 5.41. Предмет, прикрепленный к пружине, скользящей по поверхности без трения, представляет собой простой гармонический осциллятор. При смещении из состояния равновесия объект совершает простое гармоническое движение с амплитудой X и периодом T . Максимальная скорость объекта достигается при прохождении через равновесие. Чем жестче пружина, тем меньше период T . Чем больше масса объекта, тем больше период T .

Масса м и силовая постоянная к являются факторами только , которые влияют на период и частоту простого гармонического движения. Период простого гармонического осциллятора равен

, и, поскольку f = 1/ T , частота простого гармонического осциллятора равна

.

Watch Physics

Введение в гармоническое движение

В этом видео показано, как построить график смещения пружины в направлении оси x с течением времени в зависимости от периода.Посмотрите первые 10 минут видео (вы можете остановиться, когда рассказчик начнет рассказывать о расчетах).

Проверка захвата

Если бы амплитуда смещения пружины была больше, как это повлияло бы на график смещения во времени? Что случилось бы с графиком, если бы период был больше?

  1. Большая амплитуда приведет к более высоким пикам и впадинам, а более длительный период приведет к большему разделению во времени между пиками.
  2. Большая амплитуда приведет к меньшим пикам и впадинам, а более длинный период приведет к большему расстоянию между пиками.
  3. Большая амплитуда приведет к более высоким пикам и впадинам, а более длинный период приведет к более короткому расстоянию между пиками.
  4. Большая амплитуда приведет к меньшим пикам и впадинам, а более длинный период приведет к более короткому расстоянию между пиками.

словарный запас маятника

словарный запас маятника

Словарь маятника Фуко

Морин Дули, Б.S.Ed.

Copyright 2004. Разрешено для использования в классе и в некоммерческих образовательных целях.

Маятник
Система, состоящая из накладной опора, с которой свисает веревка, и предмет на нижнем конце нить. Объект раскачивается вперед и назад под совместным воздействием гравитация и струна.

Маятник Боб
Любой объект, который висит на маятниковая струна.Это может быть игрушечный мяч, шар для боулинга или небольшая машина (если строка достаточно строка). Его можно назвать “боб”, потому что вертикальный положение “качается” вверх и вниз, в то время как его горизонтальное движение перемещается из стороны в сторону.

Ось маятника
Стропа маятника прикреплена к верхней опоре за шкворень. Поворотом может быть просто узел, который привязывает веревку к крючку в потолке. Для маятника Фуко большая осторожность Считается, что шарнир позволяет маятнику качаться с одинаковой легкостью во всех направления компаса.

Позиция Позиция
сообщает, где находится объект. Этот может быть выполнено с помощью рисунка, слов или уравнений. В любом случае вы необходимо определить исходное местоположение или “исходную точку”, потому что позиция задается относительно этого места. Во всех случаях вы говорите две вещи: расстояние от происхождение и направление, в котором вы должны двигаться, чтобы двигаться от происхождение к объекту. Расстояние измеряется в метрах. Направление может быть описывается указанием угла между линией от начала до объекта и справочное направление, например “восток”.«

Осциллятор
Для маятника качка движется назад и далее. Это движение вперед и назад называется «колебанием». Его позиция сказал колебаться взад и вперед.

Период
Период – это время, которое требуется боб, чтобы сделать одну поездку туда и обратно. Если маятник оттянут и отпущен, он возвращается в руку, выпустившую его, через интервал времени, равный до одного периода. Период маятника длиной 1 метр составляет 2 секунды.

Амплитуда
Амплитуда максимальная смещение боба из положения равновесия. Когда маятник находится на отдыхает, не раскачивается, свисает прямо вниз. Эта позиция называется “положение равновесия”. Эту позицию удобно брать как эталонную. позиция упоминается как “происхождение” в определении позиции. С этим начала координат положение маятника меняется слева и справа от источник.Размер наибольшего расстояния от начала координат называется величиной “амплитуда”. Боб качается на расстояние, равное амплитуде слева, а затем качели на расстояние, равное амплитуде справа.

Скорость
Скорость сообщает скорость изменения должность. Во всех случаях, чтобы указать скорость, вы указываете две вещи: скорость, и направление скорости. Скорость измеряется в метрах в секунду, или м / сек. Направление обозначается стрелкой, указывающей направление движения, или по углу между этой стрелкой и опорным направлением, используемым для должность.

Ускорение
Ускорение – это скорость изменения скорости. Единицы измерения (метры в секунду) в секунду или м / сек 2 Еще раз, вы указываете и размер ускорения, и его направление. Если направление ускорения такое же, как и направление скорости, затем объект ускоряется. Если направление ускорения противоположно скорость затем объект замедляется. Если направление ускорения перпендикулярно направлению скорости, затем размер скорости не меняется, но направление скорости не меняет .Ускорение удивительным образом отличается от скорости, что лучше всего описано в три шага:
1) Если вы зададите объекту позицию и оставите его в покое, он сохраняет эту позицию.
2) Если вы зададите объекту скорость и оставите его в одиночку он сохраняет эту скорость. (Этот экспериментальный факт известен как первый закон движения.)
3) Если вы дадите объекту ускорение и оставите его в одиночку, ускорение сбрасывает ноль в тот момент, когда вы начинаете покидать его. в одиночестве.

Force
Единственный способ, которым объект будет ускорение (изменение скорости), если это принудительно. Разумно сказать что сила имеет направление, и это направление совпадает с направлением ускорения. Разумно сказать, что чем больше сила, тем больше ускорение.

Результирующая сила
Результирующая сила – это сила который возникает в результате сочетания двух или более сил.Две силы, которые на маятник действуют сила тяжести, тянущая прямо вниз, и усилие от стержня, натягивая струну по направлению к стержню. Те два силы объединяются, чтобы произвести результирующую силу. Так же, как стрелка продвигается вперед двумя половинами тетивы маятник толкается за счет результирующего сила, стрелка которой «разделяет» две составляющие стрелки силы.

Гравитация
Гравитация – это название явления это одновременно знакомо и загадочно.Мы так уверенно тянемся к земля, которую мы принимаем как должное; мы используем феномен, чтобы сидеть, ходить, бегать и играть в ловушку.
В эксперименте объекту позволили свободно упасть. под действием силы тяжести наблюдается ускорение. Поскольку объект должен быть принужденным к ускорению, должна быть сила, связанная с гравитацией; мы называем это сила тяжести. Направление силы тяжести – вниз. По факту направление силы тяжести определяет то, что мы подразумеваем под словом «вниз».«

Плоскость колебаний
Две силы, гравитация и строка определяет плоскость. Эта же плоскость также определяется струной маятника. и направление вниз. Результирующая сила направлена ​​по линии, лежащей в этом самолете. Ускорение также направлено по линии, лежащей в этом самолет.
Если боб отведен назад и выпущен из состояния покоя, скорость будет равна направлен по той же линии, что и ускорение, и боб движется по этой та же линия.Путь боба лежит в плоскости, определяемой струной и сила тяжести. Этот путь лежит в плоскости колебаний.
Потому что строка и гравитации лежат в плоскости, ожидается, что плоскость колебаний будет никогда не меняется. (Неожиданность маятника Фуко в том, что плоскость колебание меняет направление по часовой стрелке в северном полушарии, поскольку день проходит мимо.

Поворот
При изменении положения объекта Говорят, что по круговой траектории объект вращается по этой окружности.В секундная стрелка аналоговых часов вращается по часовой стрелке. Плоскость колебаний Маятник Фуко вращается в северном полушарии по часовой стрелке.

Работа
Людям больше платят за доставку еды по всей стране, чтобы удерживать его на полке. Это кажется справедливым, и Работа определяется для физики таким же справедливым способом. Работа – это расстояние, на которое перемещается объект, умноженное на силу, которая его толкала это расстояние.
Работа может быть положительной или отрицательной. Если объект движется в в том же направлении, что и сила (например, когда грузовик ускоряется), работа положительная. Если объект движется в направлении, противоположном силе (например, когда грузовик тормозит и тормозит) работа отрицательная.
Когда сила тяжести тянет вниз упавший предмет, сила тяжести положительная работа на объекте.

Кинетическая энергия
Когда тянут маятник назад и выпущен из состояния покоя, сила тяжести положительно воздействует на боб как он качается вниз.После того, как боб проходит нижнюю точку, он снова поднимается вверх, и во время этого подъема сила тяжести совершает отрицательную работу, заставляя ее отдыхать на вершине качелей.
Фактически, боб возвращается к такая же высота, как и высота выпуска, поэтому отрицательная сила тяжести на Подъем имеет тот же размер, что и положительная работа силы тяжести на махе вниз.
Это как если бы работа была помещена в боб, какое-то время хранилась, а затем возвращенный. На этом рисунке сохраненная работа связана со скоростью боб в нижней части качелей.Получается работа пропорциональная в квадрат скорости боба.
В пересчете на скорость работа говорят, что они преобразованы в кинетическую энергию. Говорят, что работа превращается в кинетическую. энергия, когда выполняется работа по увеличению скорости.

Потенциальная энергия
Когда боб тянется назад, он готов качнуться вниз, приобретая кинетическую энергию. Количество кинетической энергии который он способен получить, определяется тем, насколько высоко был поднят боб. когда его отодвинули.
Потому что у боба есть потенциал для получения этой кинетической энергия, считается, что она имеет «потенциальную энергию». Оказывается, потенциал энергия боба пропорциональна высоте боба над самым нижним точка поворота.

Simple Harmonic Motion (SHM) – частота, ускорение, смещение, скорость, графики SHM, период времени, система масса-пружина, маятник, энергия

Щелкните здесь, чтобы получить ответы на вопросы и домашнее задание по SHM.

Нажмите – для ответов ШМ.

Объекты могут колебаться по-разному, но действительно важной формой колебаний является SHM или простое гармоническое движение.

Объект совершает простое гармоническое движение (SHM), если;

  1. Ускорение объекта прямо пропорционально его смещению от его положения равновесия.
  2. , ускорение всегда направлено в сторону положения равновесия .

Частота (f) колебания измеряется в герцах (Гц), это количество колебаний в секунду.Время одного колебания называется периодом (T), оно измеряется в секундах.

Ускорение – мы можем рассчитать ускорение объекта в любой точке его колебания, используя приведенное ниже уравнение.

В этом уравнении; a = ускорение в мс -2 , f = частота в Гц, x = смещение от центрального положения в м.

Смещение – При использовании приведенного ниже уравнения калькулятор должен быть в радианах, а не в градусах! мы можем рассчитать смещение объекта в любой точке его колебания, используя приведенное ниже уравнение.

Члены в этом уравнении такие же, как и в приведенных выше уравнениях. Дополнительные члены в этом уравнении: A = амплитуда (максимальное смещение) в м, t = время с момента начала колебания в с.

Скорость – мы можем рассчитать скорость объекта в любой точке его колебания, используя приведенное ниже уравнение.

Члены в этом уравнении такие же, как и в приведенных выше уравнениях. Дополнительный член в этом уравнении: v = скорость в мс -1 .

Графики ШМ

Когда мы строим график перемещения, скорости и ускорения во время SHM в зависимости от времени, мы получаем графики ниже.

Уравнение скорости упрощается до приведенного ниже уравнения, когда мы просто хотим знать максимальную скорость.

Уравнение ускорения упрощается до приведенного ниже уравнения, когда мы просто хотим знать максимальное ускорение.

Временной период системы масса-пружина

Период времени маятника

SHM и Energy

Для маятника, при котором энергия SHM передается вперед и назад между кинетической и потенциальной энергией.Полная энергия остается прежней и равна кинетической энергии + потенциальной энергии (см. График ниже).

Ссылки на другие страницы;

Концепции Momentum

Круговое движение

Принудительные колебания и резонанс

Авторские права © Майкл Ричмонд. Эта работа находится под лицензией Creative Commons License.

В вашем вводном учебнике физики, вероятно, была глава или два обсуждаемых свойства простого гармонического движения (сокращенно SHM).В вашем современном учебнике физики тоже упоминается SHM. Фактически, если открыть практически любой учебник физики, в любом уровня и посмотрите указатель в разделе «Простое гармоническое движение», вы, вероятно, найдете ряд ссылок. Что такого хорошего в простом гармоническом движении?

Ответ двоякий:

  • Это очень часто встречается в самых разных ситуациях.
  • Теоретически легко описать

Вот лишь несколько примеров SHM:


Изображение любезно предоставлено Как это работает


 


Эту гитару Les Paul можно приобрести в Гибсон Гитары


Слегка надавите на плавающий объект и наблюдайте, как он покачивается вверх и вниз…


 



SHM с точки зрения силы или потенциала

Мы можем описать условия, при которых SHM будет происходить несколькими способами.

В пересчете на сил , SHM возникает, когда объект испытывает линейное восстанавливающая сила при смещении из исходного положения. Другими словами, сила, которая

  • толкает его обратно в исходное положение (напротив смещения)
  • увеличивается по мере увеличения смещения, линейным образом: удвоенное смещение означает в два раза больше силы, в три раза больше смещения означает в три раза больше силы

Математически говоря,

В пересчете на потенциальной энергии , SHM возникает, когда объект находится посередине квадратичного потенциала.Математически говоря,

Мы также можем смотреть на вещи графически. Если мы сделаем график, показывающий положение по горизонтали ось и потенциальная энергия по вертикальной оси, видим знакомую форму:


Классический взгляд на ШМ

Классический пример SHM – пружина силовой постоянной k с массой m прилагается. Если мы сместим массу из положения равновесия на расстоянии A , а затем отпустите на время t = 0 , тогда масса колеблется простым способом:

Когда масса движется, она обменивает кинетическую энергию на пружинный потенциал. энергии, но их сумма остается неизменной:

Полная энергия системы зависит от амплитуды A :

Обратите внимание, что мы можем дать системе любую энергию, какую пожелаем, просто выбрав соответствующую амплитуду.

С другой стороны, частота колебаний НЕ зависит от по амплитуде колебаний; поэтому, конечно, мы используем маятник для управления часами. Частота зависит только от силовой постоянной пружины. и масса:

Предположим, что мы должны были сделать фильм колеблющейся пружиной над многими циклы. В каком положении (ах) масса появится в большинстве кадров фильма? Другими словами, это наиболее вероятная позиция для поиска масса, прикрепленная к движущейся пружине?

  В: Где, скорее всего, можно увидеть массу?

       а) около точки равновесия, посередине
       б) около внешних пределов своего движения
       в) везде одинаково вероятно















 

Ну, чем быстрее масса движется через какой-то конкретный местоположение, тем меньше вероятность, что мы найдем его в этом месте.Скорость массы наибольшая, когда она движется через положение равновесия, и самый медленный около внешних пределов своего движения (поворотные моменты):

Таким образом, мы, скорее всего, найдем массу на пределе его движения, и с меньшей вероятностью найдет его около равновесия. Это не зависит от амплитуды колебаний, так что ответ будет одинаковым для любой энергии.


Квантовый взгляд на SHM

Давайте теперь посмотрим на ситуацию через призму Мистер.Уравнение Шредингера. Начиная со знакомой 1-мерной независимой от времени версии уравнения,

вставим для потенциальной энергии U соответствующий форма для простого гармонического осциллятора:

Наша задача – найти волновые функции Ψ, которые решают эту дифференциальное уравнение. Фу.

Хороший способ начать – переместить вторую производную на в левую часть уравнения, и положим все остальные члены и коэффициенты в правой части.

   В: Измените уравнение так, чтобы оно выглядело так:

 




 

У вас должно получиться следующее:

Хмммм. Вторая производная включает в себя как исходные функция Ψ, а также член с Ψ, умноженный на x 2 . Нам нужно найти функцию, которая будет решать это дифференциальное уравнение. Если сомневаетесь, угадайте.

  В: Какая из следующих волновых функций решит
      это конкретное дифференциальное уравнение?

 





 

Ага.Последняя из трех вышеперечисленных догадок делает обманывать. Его вторая производная по отношению к x равна

Ага. Теперь, оглядываясь на уравнение Шредингера для этого выбор потенциала, мы видим

В обоих случаях вторая производная функции Ψ включает два условия:

  1. один член имеет только постоянный коэффициент
  2. один член также имеет множитель x 2

Если мы хотим сделать нашу догадку, решим уравнение Шредингера для квадратичного потенциала во всех положениях x , нам нужно сопоставить наши два члена с уравнением Шредингера два срока.

    Q: Найдите значение "альфа" в нашей функции
        сопоставив члены с коэффициентом  x  2  .


    Q: Затем вычислите энергию E, сопоставив
        члены с постоянным коэффициентом.









 

У вас должно получиться


Хорошо, но что означает решение?

Давайте сделаем шаг назад и посмотрим на картину в целом. У нас есть квадратичная функция потенциальной энергии около некоторой точки равновесия.

В этой ситуации мы можем решить уравнение Шредингера выбрав такую ​​волновую функцию:

где коэффициент альфа – который должен иметь единиц обратного квадрата расстояния – определяется как

Хммммм. Эта волновая функция ОЧЕНЬ быстро спадает, как функция расстояния x от точки равновесия.

Приблизительная амплитуда колебаний должна иметь единицы длины; мы можем получить и длину из alpha следующим образом:

Обратите внимание, что в квантовом мире эта длина непростая, фиксированная вещь.Частицу КРАЙНЕ Маловероятно найти настолько далеко от равновесия, насколько эта длина L ; гораздо более вероятно, что он будет внутри, о, 0,1 л равновесия. Наиболее вероятное местонахождение квантового SHO – точно в положении равновесия, которое ровно напротив корпуса классического ШО. С другой стороны, если вы посмотрите на логарифмическую версию графа вероятностей, вы можете видеть, что существует ненулевой шанс, что частица будет даже больше чем L далеко от равновесия.

Частота колебаний – как в классическом case – предоставлено

Подождите секунду – это выглядит знакомо. Решение проблемы Уравнение Шредингера требует, чтобы энергия частицы быть

Собирая все вместе, кажется, что энергия кванта осциллятор – В отличие от классического – зависит от его частота:

Имеет ли эта связь между энергией и частотой колебаний напоминают вам что-нибудь еще? Возможно, что-то, что г-н.Планк заявил ….


За пределами основного состояния

Наше решение уравнения Шредингера выше было всего лишь одно конкретное решение. Есть целое семейство решений, все из которых включают ту же экспоненту x 2 , но включая все более сложные многочлены x . Например, решение для основного состояния, которое мы нашли, было

с энергией

Следующее решение для первого возбужденного состояния имеет вид

с той же альфа что и раньше; но энергия для этого решение больше:

Существует ряд решений для все более возбужденных состояний: с энергиями, которые имеют общий вид

Обратите внимание на разницу между уровнями энергии для квантовых решений частице в потенциале с бесконечно крутыми сторонами («частица в одномерном ящике») и потенциал с наклонной стороны («квадратный колодец»):

Это означает тот спектр молекулы, которая ведет себя как простой гармонический осциллятор – например, вода или окись углерода – покажет полосы поглощения с множеством линий на (почти) равных интервалы длин волн.Например, если мы посмотрим на солнечный свет, проходящий через углекислый газ в атмосфере Земли в в ближнем инфракрасном диапазоне, мы видим


Чтобы получить больше информации

Авторские права © Майкл Ричмонд.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *