Формула для периода пружинного маятника: Формула периода колебаний пружинного маятника в физике

alexxlab | 23.02.1998 | 0 | Разное

Содержание

Частота колебаний пружинного маятника

Свойства пружинного маятника

Определение 1

Идеальный пружинный маятник представляет собой пружину, массой которой можно пренебречь, с закрепленным на ней телом с точечной массой. При этом один или оба конца пружины закреплены, а силой трения можно пренебречь.

Такую конструкцию можно рассматривать лишь как математическую модель. Примерами реальных пружинных маятников (навитых из упругой проволоки цилиндрических спиралей) могут служить всевозможные устройства, гасящие колебания: амортизаторы, подвески, рессоры и т.п. Пружинные маятники, хотя и несколько иной конструкции (в виде плоских спиралей) используются в механических часах.

Свойства пружин зависят от вещества, из которого они изготовлены (как правило, это особая пружинная сталь), диаметра проволоки, формы ее сечения, диаметра цилиндра пружины, его длины. Эти показатели в совокупности обуславливают ключевую характеристику пружины – ее жесткость.

Пружина запасает энергию при продольном растяжении или сжатии за счет упругих деформаций в кристаллической решетке своего вещества.

Замечание 1

При слишком сильном растяжении или сжатии материал пружины теряет упругие свойства. Такая деформация называется пластической или остаточной.

Формула для расчета частоты колебаний

Если пружину с закрепленной на ней грузом, подвергнуть продольной упругой деформации, а затем отпустить, она начнет совершать возвратно-поступательные гармонические колебания, в ходе которых перемещение закрепленного на ней груза описывается формулой:

$x = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t + \phi)$

Здесь $A$ – амплитуда колебаний, $\phi$ – начальная фаза, $\omega_0$ – собственная циклическая частота колебаний пружинного маятника, рассчитываемая как

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ > $0$,

где:

  • $k$ – жесткость пружины,
  • $m$ – масса закрепленного на ней тела.

Циклическая частота отличается тем, что характеризует не количество полных циклов за единицу времени, а количество “пройденных” колеблющейся по гармоническому закону точкой радиан.

Период колебаний пружинного маятника вычисляется как

$T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.

Пример 1

Найти частоту и циклическую частоту пружинного маятника, период колебаний которого составляет 0,1 с.

Частоту можно найти как величину обратную к периоду:

$f = \frac{1}{T}$

$f = \frac{1}{0,1} = 10 Гц$

Циклическую частоту можно выразить как

$\omega_0 = 2 \cdot \pi \cdot f$

$\omega_0 = 2 \cdot 3,1415927 \cdot 10 \approx 62,831854 \frac{рад}{с}$

Ответ: 10 герц и $\approx$ 62,831854 радиан в секунду.

Раздел долгосрочного планирования. Колебания математического и пружинного маятников.

Раздел долгосрочного планирования:  Колебания и волны

Школа:

Дата:

ФИО учителя:

класс: 9

Участвовали:

Не участвовали:

Тема урока

Колебания математического и пружинного маятников. Практическая работа «Расчет периода колебаний маятников различного типа»

Цели обучения, достигаемые на этом уроке  

9.2.5.6 – объяснять причины возникновения колебаний в различных колебательных системах;

9.2.5.7 – исследовать зависимость периода колебаний маятника от различных параметров.

Цель урока

Все учащиеся будут:

объяснять причины возникновения колебаний в различных колебательных системах.

– исследовать зависимость периода колебаний маятника от различных параметров.

Большинство учащихся будут:

применять формулы для расчета периода колебаний математического и пружинного маятников.

Некоторые учащиеся смогут:

–  исследовать зависимость периода колебаний маятника от массы, жесткости пружины, длины, ускорения свободного падения.

Критерии оценивания

Учащиеся:

– указывают причины возникновения колебаний в математическом и пружинном маятнике

– решают задачи по формулам, на нахождение периода колебаний математического и пружинного маятников

– решают задачи с преобразованием формул зависимости периода колебаний математического и пружинного маятников: от массы, жесткости пружины, длины, ускорения свободного падения

– делают выводы по проведенным экспериментам.

Языковые задачи

Специальная терминология и предметная лексика:

Масса тела, кофициент жесткости, ускорение свободного падения, период колебаний, пружинный маятник, математический маятник, частота колебаний, сила упругости.
Полезные выражения:

-мы наблюдали растяжение…..

-мы выявили различие и схожесть ….

-мы сравнили формулы периодов….

-эксперимент показал зависимость между периодом колебания и ….

Воспитание ценностей

Общенациональная идея «Мәнгілік Ел».

Экономический рост на основе индустриализации и инновации. Умение учиться, самостоятельно добывать информацию, анализировать создавшуюся ситуацию, через решение практических задач,составление кластеров, творческие задания, тесты на новую тему, эксперимент.

Межпредметная связь

Математика – через решение задач и расчеты неизвестных величин по формулам, перевод в стандартный вид числа.

История – через тестовые задания и сообщение по теме.и видеоролик.

Предыдущие знания

Понятие массы, ускорение свободного падения, значение числа π , сила упругости, кофициент жесткости.

 

Ход урока

Запланированные этапы урока

Виды упражнений, запланированных на урок:

Ресурсы

Начало урока

1 минута

Создание психологического настроя: «Подари добро всем»

Учитель и ученики приветствуют друг друга, стоя в кругу.

– Доброе утро, солнце! (все поднимают руки, затем опускают).

– Доброе утро, небо! (аналогичное движение).

– Доброе утро, всем нам! (все разводят руки в стороны, затем опускают).

– Посмотрите друг на друга, улыбнитесь друг другу. Присаживаемся за свои парты. Пусть сегодняшний урок принесет нам всем радость общения.

Сегодня на уроке, ребята, вас ожидает много интересных заданий, новых открытий, а помощниками вам будут: внимание, находчивость, смекалка. Желаю Вам удачи!

 

2 минуты

1)      Деление на 2 группы (объединение учащихся в группы по методу

«Пазл»). Учащимся раздаются при входе пазлы на выбор и в дальнейшем они должны объединиться в группы по картинкам которые изображены на пазлах. Чтобы соединить все в одну картинку. Соединив пазлы учащиеся смогут назвать тему урока.

2)      Постановка темы урока.

3)      Предварительно на столы учащихся положить карту урока, в которую учащиеся будут заносить полученные баллы за каждое задание. По окончанию урока учащиеся, смогут оценить себя, на каком уровне находятся.

3)  Учитель обращает внимание учащихся на правила                  урока, которые вывешены на доске:

Карточки – пазлы

 

 

 

 

 

Приложение 1

 

 

Приложение 2.

5 минут

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 мин

Актуализация предварительных  знаний

 

Учащимся предлагается ответить на вопросы по стратегии «Спагетти гейм». Раздаются по 10 вопросов каждому учащемуся, пронумерованных в виде спагетти. Учащиеся не должны открывать их. Учитель называет номер вопроса на который должен ответить учащийся.

Цель: выявить уровень знаний учащихся по пройденным темам.

Критерии: – понимают и поясняют основные понятия механических колебаний.

– записывают формулы для нахождения неизвестных величин.

ФО взаимооценивание и оценивание учителя.

2) АМО «Физический диктант» – учащимся диктуются определения, к которым они должны написать формулы.

Дифференциация: по темпу

Дескрипторы обучающиеся правильно:

– записывают формулы:

1.       Закон Гука.

2.      Частота колебаний.

3.      Период колебаний.

4.      Величина обратная периоду.

5.      Величина обратная частоте.

6.      Кинетическая энергия.

7.      Потенциальная энергия упругодеформированного тела (например, сжатой или растянутой пружины).

8.      Сила тяжести.

9.      Полная энергия колебательного тела.

10.  Второй закон Ньютона.

 за каждую формулу учащийся получает 1 звездочку, всего 10 

ФО: самооценивание, оценивание учителем.

Приложение 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 4

Середина урока

10 мин

Видеофрагмент: Сведения об ученых.

Учащиеся заранее подготавливают материал по теме об ученых, связанных с материалом изучаемым на уроке.

Готовят мини-сообщение на данную тему

Учитель: устройства в которых могут осуществляться колебательные процессы, называются колебательными системами. Рассмотрим колебания простейших из таких систем  математического и пружинного маятников.

Группы получают задания для изучения маятников.

Цель:

– объяснять причины возникновения колебаний в различных колебательных системах.

– исследовать зависимость периода колебаний маятника от различных параметров.

Групповая работа по методу «Канцепт карта».

1 группа – изучает математический маятник.

2 группа – пружинный маятник.

Защита кластера у доски. Из каждой группы спикер у доски рассказывает о своем маятнике.

ФО: взаимооценивание между группами

Использование  ресурса bilimland.kz

Интернет ресурсы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 5

8 мин

Задание 2

Решение задач (Закрепление)

Цель: применять формулы для расчета периода колебаний математического и пружинного маятников.

Дифференциация: по уровню знаний

Уровень А

Критерии:

– решают задачи по формулам, на нахождение периода колебаний математического и пружинного маятников

№1 Вычислите период колебаний  математического маятника длиной 1 м.

Дано:              Решение:

l = 1 м           T = 2π          T = 2π=  2 с

g = 9,8 м/с2

Т -?                                          Ответ: Т = 2 с.

№2 Вычислите период колебаний  тела массой  4000 г, подвешенного к пружине с коэффициентом жесткости 10Н/м.

Дано:               СИ                        Решение:

m = 4000 г     4 кг                 T = 2π     T = 2π =  4 с     

k = 10 Н/м                                   

Т -?                                       Ответ: Т = 4 с.

 

Дескрипторы:учащиеся правильно:

1. Записывают условие задачи-1

2. Переводят значения в систему СИ-1

3. Применяют формулу для нахождения периода математического маятника-/ пружинного маятника-1

4. Делают расчеты-1

5. Записывают ответ-1

 

Уровень В

Критерии:

– решают задачи с преобразованием формул зависимости периода колебаний математического и пружинного маятников: от массы, жесткости пружины, длины, ускорения свободного падения

№ 3  Какой длины должна быть длина математического маятника, чтобы период его колебаний был равен 1 с?

Дано:                      Решение:

Т = 1 с            T = 2π        l =       l= = 0,25 м

g = 9,8 м/с2            

l -?                                    Ответ:  l = 0,25 м.

 

Дескрипторы: учащиеся правильно:

1. Записывают условие

2. Применяют формулу для нахождения периода математического маятника

3. Преобразовывают формулы

4. Производят расчеты

5. Записывают ответ

Ф.О.: самооценивание по дескрипторам.

Учебник Закирова Н.А. 2019г ПРОЕКТ

п 26

 

Физминутка

«Маятник»

1мин

  l, k, T, m, π, g, ω, ν, х, А;1c, 1c-1, 1м, 1 Н, 1 кг, 1м , 1 Гц, 1рад, 1м , 3,14.

 М             с2                    с      с2  

Сопоставить карточки поднимая и вставая, которые будут соответствовать величине высвеченным на экране

 

5 мин

Тест «Математический и пружинный маятник»

Дескрипторы:учащиеся правильно:

1.определяет ученого,который ввел понятие маятника

2.знает определение математического маятника

3.находит изменение периода нитяного маятника

4.находит пропорциональность периода

5.определяет направление вектора ускорения

Ф.О.:взаимооценивание по дескрипторам.

Приложение 7

 

Конец урока

З мин

Учащиеся заполняют до конца карту урока. И подсчитывают звездочки за урок. Комментарии учителя. Подведение итогов по оценочому листу (рефлексия)

20-25     Ты супер! У тебя сегодня всё получилось

14-19   Молодец! Хорошо работал сегодня на уроке, но были недочёты

5-13   Ты старался, но что то пошло не так. Повтори пройденный материал.

И по методу «Светофор» оценивают себя

Домашнее задание

Дифференциация: по уровню сложности и по источникам.

Учащимся предлагается выполнить по их желанию практические работы разных уровней сложности.

Для всех § 26.

Приложение 8

Дифференциация – каким способом вы хотите больше оказывать поддержку? Какие задания вы даете ученикам более способным по сравнению с другими?

Оценивание – как Вы планируете проверять уровень усвоения материала учащимися?

Охрана здоровья и соблюдение техники безопасности

Дифференциация цели: для всех, для многих, для некоторых.

Дифференциация по классификации – смешанные гендерные группы:

Дифференциренциация по уровню сложности и поддержке.

Дифференцированная домашняя работа

Использованы методы,

1. Самооценивание учащихся по ключу (самопроверка)

2. Пpиeм «Cветофор»

(взаимопроверка)

критерии, дескрипторы.

Инструктаж по ТБ

Урок запланирован с учетом возрастных особенностей учащихся. На данный урок предусмотрена постоянная смена деятельности, что позволяет ученикам быть активными.

Используется физминутка.

Рефлексия по уроку

Была ли реальной и доступной  цель урока  или учебные цели?

Все ли учащиесы достигли цели обучения? Если ученики еще не достигли цели, как вы думаете, почему? Правильно проводилась дифференциация на уроке?

Эффективно ли использовали вы время во время этапов урока? Были ли отклонения от плана урока, и почему?

Используйте данный раздел урока для рефлексии. Ответьте на вопросы, которые имеют важное значение в этом столбце.

 

Итоговая оценка

Какие две вещи прошли действительно хорошо (принимайте в расчет, как преподавание, так и учение)?

1:

2:

Какие две вещи могли бы улучшить Ваш урок (принимайте в расчет, как преподавание, так и учение)?

1:

2:

Что нового я узнал из этого урока о своем классе или об отдельных учениках, что я мог бы использовать при планировании следующего урока?

                                                                                                                                                                        


 

Приложение

 

Приложение 1

Фамилия, имя учащегося:

1 этап урока

«Спагетти гейм».

 

 

 

 

 

 

 

2 этап урока

«Физический диктант»

 

 

 

 

 

 

 

3 этап урока

Работа в группах

 

 

 

 

 

 

 

4 этап урока

Решение задач

 

 

 

 

 

 

 

5 этап урока

 

Тесты

 

Итого

 

 

Приложение 2

1.      Работаем вместе, чтобы достичь общей цели.

2.      Помогаем  каждому достичь успеха.

3.      Успех одного приносит пользу всем.

4.      Помогаем друг другу.

5.      Сотрудничаем.

6.       Разбираемся в вопросах.

7.      Приобретаем знания.

8.      Делимся знаниями с другими.

Приложение 3

Задание 1

1.      Движения, которые точно или приблизительно точно повторяются через определенный промежуток времени, называются…МЕХАНИЧЕСКИМИ   КОЛЕБАНИЯМИ.

2.      Колебания, которые возникают после того, как система была выведена из состояния равновесия и представлена самой себе, называются …СВОБОДНЫМИ.

3.      Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются … ВЫНУЖДЕННЫМИ,

4.      Механические колебания, которые происходят под действием силы, пропорциональной смещению и направленной противоположно ему,  являются  … ГАРМОНИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ.

5.      Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения, называется … ПЕРИОДОМ КОЛЕБАНИЙ.

6.      Число колебаний в единицу времени называется  … ЧАСТОТОЙ  КОЛЕБАНИЙ.

7.      Наибольшее по модулю смещение тела от положения равновесия называется …  АМПЛИТУДОЙ.

8.      Свободные колебания являются  … ЗАТУХАЮЩИМИ.

9.      Вынужденные  колебания являются  .… НЕЗАТУХАЮЩИМИ.

10.  Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты колебаний вынуждающей силы и собственной частоты колебательной системы называется  …  РЕЗОНАНСОМ.

Приложение 4

Задание 2 для физического диктанта

11.  Закон Гука.

12.  Частота колебаний.

13.  Период колебаний.

14.  Величина обратная периоду.

15.  Величина обратная частоте.

16.  Кинетическая энергия.

17.  Потенциальная энергия упругодеформированного тела (например, сжатой или растянутой пружины).

18.  Сила тяжести.

19.  Полная энергия колебательного тела.

20.  Второй закон Ньютона.

Приложение 5

1 группа изучает математический маятник.

Задание: заполнить кластер

 

Опыт: по наблюдению колебаний тяжелого шарика

на длинной нити:

А) сохраняя одну и туже длину, подвешивать

разные шары

В) отклонять его на разные углы

С) менять длину маятника

 

                  Период колебаний                                                                            Период колебаний

                          зависит от:                                                                                        не  зависит от:

 

 

 

                                               Определение                         Формула для периода колебаний

                                                                                                  математического маятника

2 группа  – пружинный  маятник.

Опыт: по наблюдению колебаний груза подвешенного

на пружине :

А) изменить массу груза

В) изменить смещение

С) изменить жесткость пружины –

                       1) соединив последовательно две пружины;

             2) соединив параллельно две пружины.

 

                  Период колебаний                                                                            Период колебаний

                          зависит от:                                                                                        не  зависит от:

 

 

 

                                               Определение                         Формула для периода колебаний

                                                                                                  пружинного маятника

 

 

 

 

 

Приложение 6

Сведения об ученых

Галилео Галилей – великий итальянский ученый – один из создателей точного естествознания, всю свою жизнь посвятил физике и астрономии, сделав ряд важных открытий. Родился в городе Пизе, известном своей наклонной башней. Учился сначала в монастырской школе, а затем в университете. Уже в студенческие годы Галилей увлекся изучением колебаний. Он обнаружил, что колебания маятника не зависят от его массы, а определяются длиной подвеса. Сохранилось предание о том, как молодой студент медицинского факультета Галилео Галилей в одно из воскресений 1583 года с интересом следил за качаниями зажженных лампад в церкви. По ударам пульса он определил время, необходимое для полного размаха лампад. С этого времени медицину пришлось ему оставить и сосредоточиться на физике.

Христиан Гюйгенс – голландский физик, математик, механик и астроном. Родился в Гааге. Обучался в Лейденском университете юридическим наукам, но не прекращал занятия математикой. Опираясь на исследования Галилея, он решил ряд задач механики. В 1656 году в возрасте 27 лет им были сконструированы первые маятниковые часы со спусковым механизмом. Создание часов, измеряющих время с невиданной для той поры точностью, имело далеко идущие последствия для развития физического эксперимента и практической деятельности человека. До этого ведь время измеряли по истечению воды, горению факела или свечи. Созданная Гюйгенсом к 1673 году теория колебаний явилась одним из оснований для понимания потом природы света

Приложение 7

        Тест  « Математический и пружинный маятник»

   1. Ученый, который ввел понятие маятник?

1) Фуко;                    2) Галилей;               3) Максвелл.

   2. Математический маятник – это…

1) груз, подвешенный на нити;

2) груз, подвешенный на пружине;

3) материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.  

3. Как изменится период нитяного маятника, если его массу увеличить в 2 раза?

1) не изменится;                   2) увеличится в 2 раза;        3) увеличится в   раз.

 4. Пружинный маятник массой m совершает свободные гармонические колебания на Марсе. Период колебаний такого маятника прямо пропорционален

1) m;                  2) ;                 3) .

5. Грузик, подвешенный на нити, совершает свободные колебания между точками А и С (см. рисунок).

Как направлен вектор ускорения грузика в точке В?

1) 1;         2) 2;         3) 3;                 4) 4.     

 

 

 

 

Приложение 8

 Практическая работа. «Расчет периода колебаний маятников различного типа»

Цель: Повторить, закрепить и проверить на практике физические понятия:                 колебательное движение, колебательные системы, физические характеристики колебаний.

1.      Определить по графику, уравнению – период, частоту и амплитуду колебаний.

2.      Развивать практические навыки и проведение экспериментальных работ, навыки решения задач, использовать полученные знания для объяснения физических процессов.

3.      Развивать умения выделять главное, обобщать.

ЗАДАЧА №1. (ГРАФИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА)

По графику, приведенному на рисунке, найти амплитуду, период, частоту колебаний маятника.

 

                                 ЗАДАЧА №2. (РАБОТА С УРАВНЕНИЕМ)

Найти амплитуду период, частоту колебаний маятника по уравнению X=0,8 cos 4πt

ЗАДАЧА №3. (ЗАДАЧА НА СРАВНЕНИЕ)

КАК ИЗМЕНИТСЯ ПЕРИОД КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГОМАЯТНИКА, ЕСЛИ ЕГО МАССА УМЕНЬШИЛАСЬ В 9 РАЗ.


 

Лабораторная работа №4. Исследование колебаний пружинного маятника. Школьный курс физики







Лабораторная работа №4


Исследование колебаний пружинного маятника

Цель работы

Исследовать зависимость периода свободных колебаний пружинного маятника от его массы и жёсткости пружины.

Оборудование

Груз массой 100 г (4 шт.), пружина, секундомер, линейка, штатив с муфтой и лапкой.

Необходимые сведения

Период свободных колебаний пружинного маятника определяется формулой

где m — масса маятника; k — жёсткость пружины.

Период колебаний T определяют прямым измерением времени t, за которое маятник совершит несколько полных колебаний N по формуле

Его также вычисляют по формуле (1), измерив предварительно массу маятника и жёсткость пружины. Сравнивая результаты, делают вывод.

Экспериментальная установка для проведения работы показана на рисунке 5.

Рис. 5

При отсутствии пружин с разной жёсткостью можно использовать одну пружину, меняя её жёсткость путём уменьшения числа витков (рис. 6).

Рис. 6

Подготовка к работе

1. Ответьте на следующие вопросы:

• Для каких колебаний маятника справедлива формула (1)?

• Как измерить жёсткость пружины?

• Как число витков пружины влияет на её жесткость?

2. Подготовьте таблицу для записи результатов измерений и вычислений.

Номер опыта m, кг T, с N T1, с Т2, с ε, %
1
2
3
4

Порядок выполнения работы

Задание 1. Исследование зависимости периода свободных колебаний пружинного маятника от массы груза.

1. Измерьте длину нерастянутой пружины l0.

2. Соберите экспериментальную установку (см. рис. 5), подвесив к пружине четыре груза.

3. Измерьте длину растянутой пружины l.

4. Вычислите деформацию х пружины по формуле х = ll0.

5. Определите жёсткость k пружины по формуле k = mg / x

6. Растяните пружину на 3—4 см, удерживая за груз, отпустите и одновременно с этим включите секундомер. Измерьте время t, за которое маятник совершит 20—30 полных колебаний.

7. Повторите опыт 3 раза, подвешивая к пружине поочерёдно три, два груза и один груз.

8. Вычислите для каждого опыта по формуле (1) период T1, который должен быть у маятника с данными параметрами в соответствии с теорией.

9. Вычислите для каждого опыта по формуле (2) период маятника T2, измеренный непосредственно в работе.

10. Сравните полученные значения периодов T1 и T2. Сформулируйте вывод о зависимости периода свободных колебаний пружинного маятника от его массы.

11. Определите для каждого опыта относительную погрешность измерения периода εT по формуле

Задание 2. Исследование зависимости периода свободных колебаний пружинного маятника от жёсткости пружины.

1. Подсчитайте число витков пружины и закрепите её, как показано на рисунке 6. При этом добейтесь того, чтобы число витков маятника уменьшилось на треть. Установите, как при этом изменилась жёсткость части использованной пружины.

2. Подвесьте к укороченной пружине четыре груза и измерьте период свободных колебаний маятника.

3. Повторите опыт, уменьшив длину пружины на 2/3 от начальной l0.

4. Сравните периоды маятника с пружинами длиной l0, 2/3l0, 1/3l0.

5. Сформулируйте вывод о зависимости периода свободных колебаний пружинного маятника от жёсткости пружины.

Предыдущая страницаСледующая страница

Формула циклической частоты колебаний пружинного маятника. Пружинный маятник

Пружинный маятник представляет собой материальную точку массой , прикрепленную к абсолютно упругой невесомой пружине с жесткостью . Различают два наиболее простых случая: горизонтальный (рис.15,а ) и вертикальный (рис.15, б ) маятники.

а) Горизонтальный маятник (рис. 15,а). При смещении груза
из положения равновесия на величину на него действует в горизонтальном направлениивозвращающая упругая сила
(закон Гука).

Предполагается, что горизонтальная опора, по которой скользит груз
при своих колебаниях, абсолютно гладкая (трения нет).

б) Вертикальный маятник (рис.15, б ). Положение равновесия в этом случае характеризуется условием:

где – величина упругой силы, действующей на груз
при статическом растяжении пружины на под действием силы тяжести груза
.

а

Рис.15. Пружинный маятник: а – горизонтальный и б – вертикальный

Если растянуть пружину и отпустить груз, то он начнет совершать вертикальные колебания. Если смещение в какой-то момент времени будет
, то сила упругости запишется теперь как
.

В обоих рассмотренных случаях пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом

(27)

и циклической частотой

. (28)

На примере рассмотрения пружинного маятника можно сделать вывод о том, что гармонические колебания – это движение, вызванное силой, возрастающей пропорционально смещению . Таким образом, если возвращающая сила по виду напоминает закон Гука
(она получила название квазиупругой силы ), то система должна совершать гармонические колебания. В момент прохождения положения равновесия на тело не действует возвращающая сила, однако, тело по инерции проскакивает положение равновесия и возвращающая сила меняет направление на противоположное.

Математический маятник

Рис.16. Математический маятник

Математический маятник представляет собой идеализированную систему в виде материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной , которая совершает малые колебания под действием силы тяжести (рис. 16).

Колебания такого маятника при малых углах отклонения
(не превышающих 5º) можно считать гармоническими, и циклическая частота математического маятника:

, (29)

а период:

. (30)

2.3. Энергия тела при гармонических колебаниях

Энергия, сообщенная колебательной системе при начальном толчке, будет периодически преобразовываться: потенциальная энергия деформированной пружины будет переходить в кинетическую энергию движущегося груза и обратно.

Пусть пружинный маятник совершает гармонические колебания с начальной фазой
, т.е.
(рис.17).

Рис.17. Закон сохранения механической энергии

при колебаниях пружинного маятника

При максимальном отклонении груза от положения равновесия полная механическая энергия маятника (энергия деформированной пружины с жесткостью ) равна
. При прохождении положения равновесия (
) потенциальная энергия пружины станет равной нулю, и полная механическая энергия колебательной системы определится как
.

На рис.18 представлены графики зависимостей кинетической, потенциальной и полной энергии в случаях, когда гармонические колебания описываются тригонометрическими функциями синуса (пунктирная линия) или косинуса (сплошная линия).

Рис.18. Графики временной зависимости кинетической

и потенциальной энергии при гармонических колебаниях

Из графиков (рис.18) следует, что частота изменения кинетической и потенциальной энергии в два раза выше собственной частоты гармонических колебаний.

где k – коэффициент упругости тела, m – масса груза

Математическим маятником называется система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, совершающей колебания под действием силы тяжести (рис.5.13,б).

Период колебаний математического маятника

где l – длина математического маятника, g – ускорение свободного падения.

Физическим маятником называется твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела (рис.5.13,в).

,

где J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; d – расстояние центра масс маятника от оси колебаний; – приведенная длина физического маятника.

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой

Результирующая начальная фаза , получаемая при сложении двух колебаний, :

, (5.50)

где A 1 и A 2 – амплитуды слагаемых колебаний, φ 1 и φ 2 – их начальные фазы.

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего движения имеет вид:

Если на материальную точку, кроме упругой силы действует сила трения, то колебания будут затухающими, и уравнение такого колебания будет иметь вид

, (5.52)

где называется коэффициентом затухания (r – коэффициент сопротивления).

Называется отношение двух амплитуд, отстоящих друг от друга по времени, равным периоду


Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины периодически меняются и сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивности L, конденсатора емкостью C и резистора сопротивлением R (рис.5.14).

Период T электромагнитных колебаний в колебательном контуре

. (5.54)

Если сопротивление колебательного контура мало, т.е. формулой Томсона

Если сопротивление контура R не равно нулю, то колебания будут затухающими . При этом разность потенциалов на обкладках конденсатора меняется со временем по закону

, (5.56)

где δ – коэффициент затухания, U 0 – амплитудное значение напряжения.

Коэффициент затухания колебаний в колебательном контуре

где L – индуктивность контура, R – сопротивление.

Логарифмическим декрементом затухания называется отношение двух амплитуд, отстоящих друг от друга по времени, равное периоду


Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы ω к частоте, равной или близкой собственной частоте ω 0 колебательной системы (рис.5.15.).

Условие получения резонанса :

. (5.59)

Промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшится в e раз, называется временем релаксации

Для характеристики затухания колебательных контуров часто пользуются величиной, называемой добротностью контура. Добротностью контура Q называется число полных колебаний N, умноженное на число π, по истечению которых амплитуда уменьшается в e раз

. (5.61)

Если коэффициент затухания равен нулю, то колебания будут незатухающими, напряжение будет меняться по закону

. (5.62)

В случае постоянного тока отношение напряжения к силе тока называют сопротивлением проводника. Подобно этому при переменном токе отношение амплитуды активной составляющей напряжения U а к амплитуде тока i 0 называется активным сопротивлением цепи X

В рассматриваемой цепи оно равно сопротивлению постоянного тока. Активное сопротивление всегда приводит к выделению тепла.

Отношение

. (5.64)

называетсяреактивным сопротивлением цепи .

Наличие реактивного сопротивления в цепи не сопровождается выделением тепла.

Полным сопротивлением называется геометрическая сумма активного и реактивного сопротивления

, (5.65)

Емкостным сопротивлением цепи переменного тока X c называется соотношение

Индуктивное сопротивление

Закон Ома для переменного тока записывается в виде

где I эф и U эф – эффективные значения силы тока и напряжения , связанные с их амплитудными значениями I 0 и U 0 соотношениями

Если цепь содержит активное сопротивление R, емкость C и индуктивность L, соединенные последовательно, тоcдвиг фаз между напряжением и силой тока определяется формулой

. (5.70)

Если активное сопротивление R и индуктивность включены параллельно в цепь переменного тока, то полное сопротивление цепи определяется формулой

, (5.71)

и сдвиг фаз между напряжением и током определяется следующим соотношением

, (5.72)

где υ – частота колебаний.

Мощность переменного тока определяется следующим соотношением

. (5.73)

Длина волны связана с периодом следующим соотношением

где c=3·10 8 м/с – скорость распространения звука.

Примеры решения задач

Задача 5.1. По отрезку прямого провода длиной l = 80 см течет ток I = 50 А. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого этим током, в точке А, равноудаленной от концов отрезка провода и находящейся на расстоянии r 0 = 30 см от его середины.

где dB – магнитная индукция, создаваемая элементом провода длиной dl с током I в точке, определяемой радиус-вектором r; μ 0 – магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость среды, в которой находится провод (в нашем случае, т.к. средой является воздух, μ = 1).

Векторы от различных элементов тока сонаправлены (рис.), поэтому выражение (1) можно переписать в скалярной форме:

где α – угол между радиус-вектором и элементом тока dl .

Подставляя выражение (4) в (3), получим

Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cos α 2 = – cos α 1 .

С учетом этого формула (7) примет вид

Подставляя формулу (9) в (8), получим


Задача 5.2. Два параллельных бесконечно длинных провода D и C, по которым текут токи в одном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис.), отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r 1 = 5 см, от другого – r 2 = 12 см.

Модуль вектора магнитной индукции найдем по теореме косинусов:

где α – угол между векторами B 1 и B 2 .

Магнитные индукции B 1 и B 2 выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r 1 и r 2 от проводов до точки А:

Из рисунка видно, что α = Ð DAC (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами).

Из треугольника DAC по теореме косинусов, найдем cosα

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу индукции магнитного поля (Тл)

Вычисления:

Ответ: B = 3,08·10 -4 Тл.

Задача 5.3. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см.

определяемой радиус-вектором .

где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца.

Разложим вектор dB на две составляющие dB ┴ , перпендикулярную плоскости кольца, и dB || , параллельную плоскости кольца, т.е.

где и (поскольку dl перпендикулярен r и, следовательно, sinα = 1).

С учетом этого формула (3) примет вид

Проверим, дает ли правая часть равенства (5) единицу магнитной индукции

Вычисления:

Тл.

Ответ: B = 6,28·10 -5 Тл.

Задача 5.4. Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом α = 2π/3. Определить магнитную индукцию в точке А (рис. к задаче 5.4., а). Расстояние d = 5 см.

Вектор сонаправлен с вектором и определяется правилом правого винта. На рисунке 5.4.,б это направление отмечено крестиком в кружочке (т.е. перпендикулярно плоскости чертежа, от нас).

Вычисления:

Тл.

Ответ: B = 3,46·10 -5 Тл.


Задача 5.5. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (рис. к задаче 5.5.,а ). По проводам текут токи I 1 = 80 А и I 2 = 60 А. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию B в точке А, одинаково удаленной от обоих проводов.
Дано: I 1 = 80 А I 2 = 60 А d = 10 см = 0,1 м Решение: В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций и , создаваемых токами I 1 и I 2 .
Найти: B – ?

Из рисунка следует, что векторы B 1 и B 2 взаимно перпендикулярны (их направления находятся по правилу буравчика и изображены в двух проекциях на рис. к задаче 5.5.,б).

Напряженность магнитного поля, согласно (5.8), созданного бесконечно длинным прямолинейным проводником,

где μ – относительная магнитная проницаемость среды (в нашем случае μ = 1).

Подставляя формулу (2) в (3), найдем магнитные индукций B 1 и B 2 , создаваемых токами I 1 и I 2

Подставляя формулу (4) в (1), получим

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу магнитной индукции (Тл):

Вычисления:

Тл.

Ответ: B = 4·10 -6 Тл.

Задача 5.6. Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изображено на рисунке к задаче 5.6,а . Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого в точке О током I = 80 A, текущим по этому проводу.

В нашем случае провод можно разбить на три части (рис. к задаче 5.6, б): два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом, уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R.

Учитывая, что векторы направлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной такого кругового тока, поэтому

В нашем случае r 0 = R, α 1 = π/2 (cos α 1 = 0), α 2 → π (cos α 2 = -1).

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу магнитной индукции (Тл):

Вычисления:

Тл.

Ответ: B = 3,31·10 -4 Тл.

Задача 5.7. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2,5 см каждый, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

Ток I 1 создает в месте расположения второго провода (с током I 2) магнитное поле. Проведем линию магнитной индукции (пунктир на рис.) через второй провод и по касательной к ней – вектор магнитной индукции B 1 .

Рисунок к задаче 5.7

Модуль магнитной индукции B 1 определяется соотношением

Так как вектор dl перпендикулярен вектору B 1 , то sin(dl ,B) = 1 и тогда

Силу F взаимодействия проводов с током найдем интегрированием:

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу силы (Н):

Вычисление:

Н.

Ответ: F = 2,5 Н.

Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости , то она сообщит частице (протону) нормальное ускорение a n .

Согласно второму закону Ньютона,

где m – масса протона.

На рисунке совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора . Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору к центру окружности (векторы a n и F л сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора ).

Определение 1

Свободные колебания могут совершаться под действием внутренних сил только после выведения из положения равновесия всей системы.

Чтобы колебания совершались согласно гармоническому закону, нужно, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из равновесного положения и направлена в сторону, противоположную смещению.

F (t) = m a (t) = – m ω 2 x (t) .

Соотношение говорит о том, что ω является частотой гармонического колебания. Данное свойство характерно для упругой силы в пределах применимости закона Гука:

F у п р = – k x .

Определение 2

Силы любой природы, которые удовлетворяют условию, называют квазиупругими .

То есть груз с массой m , прикрепляющийся к пружине жесткости k с неподвижным концом, изображенным на рисунке 2 . 2 . 1 , составляют систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.

Определение 3

Груз, располагаемый на пружине, называют линейным гармоническим осциллятором.

Рисунок 2 . 2 . 1 . Колебания груза на пружине. Трения нет.

Круговая частота

Нахождение круговой частоты ω 0 производится с помощью применения формулы второго закона Ньютона:

m a = – k x = m ω 0 2 x .

Значит, получаем:

Определение 4

Частоту ω 0 называют собственной частотой колебательной системы .

Определение периода гармонических колебаний груза на пружине Т находится из формулы:

T = 2 π ω 0 = 2 π m k .

Горизонтальное расположение системы пружина-груз, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При подвешивании груза на пружину направление силы тяжести идет по линии движения груза. Положение равновесия растянутой пружины равняется:

x 0 = m g k , тогда как колебания выполняются около нового равновесного состояния. Формулы собственной частоты ω 0 и периода колебаний Т в вышеуказанных выражениях являются справедливыми.

Определение 5

При имеющейся математической связи между ускорением тела а и координатой х поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение является второй производной координаты тела х по времени t:

Описание второго закона Ньютона с грузом на пружине запишется как:

m a – m x = – k x , или x ¨ + ω 0 2 x = 0 , где свободная частота ω 0 2 = k m .

Если физические системы зависят от формулы x ¨ + ω 0 2 x = 0 , тогда они в состоянии совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, так как применяется x = x m cos (ω t + φ 0) .

Определение 6

Уравнение вида x ¨ + ω 0 2 x = 0 получило название уравнения свободных колебаний . Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω 0 или период Т.

Амплитуда x m и начальная фаза φ 0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.

Пример 1

При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние ∆ l и моменте времени, равном t = 0 , производится его опускание без начальной скорости. Тогда x m = ∆ l , φ 0 = 0 . Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ± υ 0 , отсюда x m = m k υ 0 , φ 0 = ± π 2 .

Амплитуда x m с начальной фазой φ 0 определяются наличием начальных условий.

Рисунок 2 . 2 . 2 . Модель свободных колебаний груза на пружине.

Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок 2 . 2 . 2 показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ , тогда возникает момент силы упругой деформации кручения M у п р:

M у п р = – x θ .

Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид

I ε = M у п р = – x θ или I θ ¨ = – x θ , где моментом инерции обозначается I = I C , а ε – угловое ускорение.

Аналогично с формулой пружинного маятника:

ω 0 = x I , T = 2 π I x .

Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.

Рисунок 2 . 2 . 3 . Крутильный маятник.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Определение

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора.2_0=\frac{k}{m}$ – циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ – амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi)$ – фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ – начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

Так как частота колебаний ($\nu $) – величина обратная к периоду, то:

\[\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\left(5\right).\]

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($\varphi $).

Амплитуду можно найти как:

начальная фаза при этом:

где $v_0$ – скорость груза при $t=0\ c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

\[\frac{m{\dot{x}}^2}{2}+\frac{m{{\omega }_0}^2x^2}{2}=const\ \left(10\right),\]

где $\dot{x}=v$ – скорость движения груза; $E_k=\frac{m{\dot{x}}^2}{2}$ – кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

  • Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
  • Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600\ \frac{Н}{м}$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1\ \frac{м}{с}$?

Решение. Сделаем рисунок.

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

где $E_{pmax}$ – потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_{kmax\ }$ – кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.

Потенциальная энергия равна:

В соответствии с (1.2}{2}\left(1.4\right).\]

Из (1.4) выразим искомую величину:

Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

Ответ. $x_0=1,5$ мм

Пример 2

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A{\cos \left(\omega t\right),\ \ }\ $где $A$ и $\omega $ – постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_{p0}$. В какой момент времени это произойдет?

Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:

В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_{p0}$, значит:

\[\frac{E_{p0}}{F_0}=-\frac{A}{2}{\cos \left(\omega t\right)\ }\to t=\frac{1}{\omega }\ arc{\cos \left(-\frac{2E_{p0}}{AF_0}\right)\ }.\]

Ответ. $t=\frac{1}{\omega }\ arc{\cos \left(-\frac{2E_{p0}}{AF_0}\right)\ }$

Что такое период колебаний? Что это за величина, какой физический смысл она имеет и как ее рассчитать? В этой статье мы разберемся с этими вопросами, рассмотрим различные формулы, по которым можно рассчитать период колебаний, а также выясним, какая связь имеется между такими физическими величинами, как период и частота колебаний тела/системы.

Определение и физический смысл

Периодом колебаний называется такой промежуток времени, при котором тело или система совершают одно колебание (обязательно полное). Параллельно можно отметить параметр, при выполнении которого колебание может считаться полным. В роли такого условия выступает возвращение тела в его первоначальное состояние (к первоначальной координате). Очень хорошо проводится аналогия с периодом функции. Ошибочно, кстати, думать, что она имеет место исключительно в обыкновенной и высшей математике. Как известно, эти две науки неразрывно связаны. И с периодом функций можно столкнуться не только при решении тригонометрических уравнений, но и в различных разделах физики, а именно речь идет о механике, оптике и прочих. При переносе периода колебаний из математики в физику под ним нужно понимать просто физическую величину (а не функцию), которая имеет прямую зависимость от проходящего времени.

Какие бывают колебания?

Колебания подразделяются на гармонические и ангармонические, а также на периодические и непериодические. Логично было бы предположить, что в случае гармонических колебаний они совершаются согласно некоторой гармонической функции. Это может быть как синус, так и косинус. При этом в деле могут оказаться и коэффициенты сжатия-растяжения и увеличения-уменьшения. Также колебания бывают затухающими. То есть, когда на систему действует определенная сила, которая постепенно “тормозит” сами колебания. При этом период становится меньше, в то время как частота колебаний неизменно увеличивается. Очень хорошо демонстрирует такую вот физическую аксиому простейший опыт с использованием маятника. Он может быть пружинного вида, а также математического. Это неважно. Кстати, период колебаний в таких системах будет определяться разными формулами. Но об этом чуточку позже. Сейчас же приведем примеры.

Опыт с маятниками

Взять первым можно любой маятник, разницы никакой не будет. Законы физики на то и законы физики, что они соблюдаются в любом случае. Но почему-то больше по душе математический маятник. Если кто-то не знает, что он собой представляет: это шарик на нерастяжимой нити, который крепится к горизонтальной планке, прикрепленной к ножкам (или элементам, которые играют их роль – держать систему в равновесном состоянии). Шарик лучше всего брать из металла, чтобы опыт был нагляднее.

Итак, если вывести такую систему из равновесия, приложить к шару какую-то силу (проще говоря, толкнуть его), то шарик начнет раскачиваться на нити, следуя определенной траектории. Со временем можно заметить, что траектория, по которой проходит шар, сокращается. В то же время шарик начинает все быстрее сновать туда-сюда. Это говорит о том, что частота колебаний увеличивается. А вот время, за которое шарик возвращается в начальное положение, уменьшается. А ведь время одного полного колебания, как мы выяснили ранее, и называется периодом. Если одна величина уменьшается, а другая увеличивается, то говорят об обратной пропорциональности. Вот мы и добрались до первого момента, на основании которого строятся формулы для определения периода колебаний. Если же мы возьмем для проведения пружинный маятник, то там закон будет наблюдаться немного в другом виде. Для того чтобы он был наиболее наглядно представлен, приведем систему в движение в вертикальной плоскости. Чтобы было понятнее, сначала стоило сказать, что собой представляет пружинный маятник. Из названия понятно, что в его конструкции должна присутствовать пружина. И это действительно так. Опять же таки, у нас есть горизонтальная плоскость на опорах, к которой подвешивается пружина определенной длины и жесткости. К ней, в свою очередь, подвешивается грузик. Это может быть цилиндр, куб или другая фигурка. Это может быть даже какой-то сторонний предмет. В любом случае, при выведении системы из положения равновесия, она начнет совершать затухающие колебания. Наиболее четко просматривается увеличение частоты именно в вертикальной плоскости, без всякого отклонения. На этом с опытами можно закончить.

Итак, в их ходе мы выяснили, что период и частота колебаний это две физические величины, которые имеют обратную зависимость.

Обозначение величин и размерности

Обычно период колебаний обозначается латинской буквой T. Гораздо реже он может обозначаться по-другому. Частота же обозначается буквой µ (“Мю”). Как мы говорили в самом начале, период это не что иное, как время, за которое в системе происходит полное колебание. Тогда размерностью периода будет секунда. А так как период и частота обратно пропорциональны, то размерностью частоты будет единица, деленная на секунду. В записи задач все будет выглядеть таким образом: T (с), µ (1/с).

Формула для математического маятника. Задача №1

Как и в случае с опытами, я решил первым делом разобраться с маятником математическим. Подробно вдаваться в вывод формулы мы не будем, поскольку такая задача поставлена изначально не была. Да и вывод сам по себе громоздкий. Но вот с самими формулами ознакомимся, выясним, что за величины в них входят. Итак, формула периода колебаний для математического маятника имеет следующий вид:

Где l – длина нити, п = 3,14, а g – ускорение свободного падения (9,8 м/с^2). Никаких затруднений формула вызывать не должна. Поэтому без дополнительных вопросов перейдем сразу к решению задачи на определение периода колебания математического маятника. Металлический шар массой 10 грамм подвешен на нерастяжимой нити длиной 20 сантиметров. Рассчитайте период колебания системы, приняв ее за математический маятник. Решение очень простое. Как и во всех задачах по физике, необходимо максимально упростить ее за счет отброса ненужных слов. Они включаются в контекст для того чтобы запутать решающего, но на самом деле никакого веса абсолютно не имеют. В большинстве случаев, разумеется. Здесь можно исключить момент с “нерастяжимой нитью”. Это словосочетание не должно вводить в ступор. А так как маятник у нас математический, масса груза нас интересовать не должна. То есть слова о 10 граммах тоже просто призваны запутать ученика. Но мы ведь знаем, что в формуле масса отсутствует, поэтому со спокойной совестью можем приступать к решению. Итак, берем формулу и просто подставляем в нее величины, поскольку определить необходимо период системы. Поскольку дополнительных условий не было задано, округлять значения будем до 3-его знака после запятой, как и принято. Перемножив и поделив величины, получим, что период колебаний равен 0,886 секунд. Задача решена.

Формула для пружинного маятника. Задача №2

Формулы маятников имеют общую часть, а именно 2п. Эта величина присутствует сразу в двух формулах, но разнятся они подкоренным выражением. Если в задаче, касающейся периода пружинного маятника, указана масса груза, то избежать вычислений с ее применение невозможно, как это было в случае с математическим маятником. Но пугаться не стоит. Вот так выглядит формула периода для пружинного маятника:

В ней m – масса подвешенного к пружине груза, k – коэффициент жесткости пружины. В задаче значение коэффициента может быть приведено. Но если в формуле математического маятника особо не разгуляешься – все-таки 2 величины из 4 являются константами – то тут добавляется 3 параметр, который может изменяться. И на выходе мы имеем 3 переменных: период (частота) колебаний, коэффициент жесткости пружины, масса подвешенного груза.2. В принципе, задачку можно было бы еще немного усложнить, задав не период в числах, а частоту. В любом случае, при подсчетах и округлениях (мы условились округлять до 3-его знака после запятой), получится, что k = 0, 157 Н/м.

Период свободных колебаний. Формула периода свободных колебаний

Под формулой периода свободных колебаний понимают те формулы, которые мы разобрали в двух ранее приведенных задачах. Составляют также уравнение свободных колебаний, но там речь идет уже о смещениях и координатах, а этот вопрос относится уже к другой статье.

1) Прежде чем браться за задачу, запишите формулу, которая с ней связана.

2) Простейшие задачи не требуют рисунков, но в исключительных случаях их нужно будет сделать.

3) Старайтесь избавляться от корней и знаменателей, если это возможно. Записанное в строчку уравнение, не имеющее знаменателя, решать гораздо удобнее и проще.

основные особенности амплитуды колебаний и формулы пружинного маятника

Все явления в физике подчиняются простым законам, в том числе и колебания груза на пружине. Этот механизм имеет обширное использование, так как обеспечивается необходимая функциональность, в том числе для различных автомобильных устройств. Пружинный маятник, несмотря на свою простоту, активно применяется в физике, включая школьные уроки и лабораторные работы.

Оглавление:

Разновидности пружинного маятника

Для периода колебаний пружинного маятника возможно выделить несколько основных видов конструкции. Главные различия заключаются в виде установленной пружины. Среди главных особенностей можно выделить:

  1. Распространение есть у вертикальной амплитуды груза на пружине, так как на него не распространяется сила трения и прочие воздействия. Возрастает степень влияния силы тяжести. Благодаря этому существует вероятность того, что в начальной точке тело способно совершить значительное число движений инерционного характера.
  2. Горизонтальный маятник также имеет распространение. Груз располагается на опорной поверхности, при передвижениях происходит трение. Широкое применение механизм нашел в кинематических задачах по физике.
  3. В качестве пружины используется стандартная витковая разновидность. В этом случае имеется некоторое пространство под названием шаг. Концевые витки выполняются в форме плоскости, что позволяет равномерным образом распределить кинетическое усилие.
  4. Также может быть поставлена пружина для растягивания. Это происходит в том случае, если прикладываемое усилие оказывается причиной для роста длины. Закрепление происходит за счет крючков.

Все описанные варианты имеют распространение. Важно учесть, что сила должна быть приложена параллельно оси. Иначе возможно возникновение значительных дефектов, одним из которых является деформация.

Сила упругости в конструкции

Нужно помнить при расчетах периода пружинного маятника, что до начала деформации пружина обычно находится в равновесном состоянии. Сила упругости будет зависеть от того, каково воздействие закона, говорящего о сохранении энергии. Создаваемая упругость прямо пропорциональна по отношению к перемещению тела и формула расчета представлена как F=-k*x. Влияние силы упругости характеризуется такими характеристиками:

  1. Наибольшая сила возможна в том случае, если тело располагается далеко от равновесия. Может иметься свободное растяжение и сжатие пружины. Слишком большая амплитуда колебаний груза на пружине ведет к деформации конструкции.
  2. Уменьшение значения длины идет в процессе приближения к точке равновесия, а, следовательно, и понижение ускорения. Происходит определение равномерно распределенного числа витков.
  3. При попадании в точку спокойствия сила равняется нулю. Но при этом продолжается движение по инерции. Также возникнет усилие, которое направляется в другую по сравнению с прежней частью сторону.
  4. После чего тело будет перемещаться с определенной скоростью обратно. Протяженность циклических процессов будет зависеть от массы и прикладываемого усилия, влияющего на деформацию.

То есть, колебательное движение идет благодаря параметру упругости. Деформация обычно возникает за счет прикладываемого усилия. Его можно изменить в крупном диапазоне, который зависит от определенного случая. Кроме того, формулы свободного колебания маятника F=-k*x, F=m*a, m*a=-k*x, a=-k/m*x.

Формулы для периода и частоты

В ходе проектирования и расчета главных показателей уделяется пристальное внимание частоте, периоду колебания. Последний обозначается как T и обратно пропорционален частоте v. Аналогичный параметр применяется и для колебательных процессов.

Частота колебаний пружинного маятника будет зависеть от массы прикрепленного груза и коэффициента упругости. Первый параметр считается особенно важным, так как имеет влияние на многие из показателей, а именно силу инерции, скорость и так далее.

Что касается коэффициента упругости, то он различается для разных пружин. Зависит от числа витков, длины самого изделия, расстояний, диаметра. Важно помнить, что при большом растяжении перестает работать уравнение Гука. Период пружинного типа колебаний будет в зависимости от амплитуды.

Для свободных колебаний важно воздействие внутренних сил. Они начинают появляться сразу после приведения тела в состояние перемещения. При этом груз имеет определенную массу. Если не имеется силы трения, то тело делает колебательный тип движения.

Задачи на пружинный маятник

Пружинный маятник .

Пружинный маятник представляет из себя груз на пружине.
\(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}} \)

\(k\) – жесткость пружины маятника

\(m\) – масса груза


Задача 1.

Вычислить период \(T\) пружинного маятника, если жесткость его пружины \(k=8 Н/м \), а масса его груза \(m=0,5 кг \) ,
\(\pi=3,14 \)
Показать ответ Показать решение Видеорешение


  

Ответ: \( T=1,57 с \)

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника: Дано:
\(m=0,5 кг\)

\(k=8 Н/м \)

\(\pi=3,14 \)


\(T-? \) \(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}} \)

\( T=2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\dfrac{0,5 кг }{8 Н/м}}=1,57 с \)

Ответ: \( T=1,57 с \)



Задача 2.

Вычислить период \(T\) пружинного маятника, если жесткость его пружины \(k=81 Н/м \), а масса его груза \(m=1 кг \) ,
\(\pi=3,14 \)
Ответ округлить до десятых
Показать ответ Показать решение Видеорешение


  

Ответ: \( T=0,7 с \)

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника: Дано:
\(m=1 кг\)

\(k=81 Н/м \)

\(\pi=3,14 \)


\(T-? \) \(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}} \)

\( T=2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\dfrac{1 кг }{81 Н/м}} = 0,69(7) с \)

\( T = 0,69(7) \approx 0,7 с \)

Ответ: \( T=0,7 с \)



Задача 3.

Вычислить период \(T\) пружинного маятника, если жесткость его пружины \(k=400 Н/м \), а масса его груза \(m=0,25 кг \) ,
\(\pi=3,14 \)
Ответ округлить до сотых
Показать ответ Показать решение Видеорешение


  

Ответ: \( T=0,16 с \)

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника: Дано:
\(m=0,25 кг\)

\(k=400 Н/м \)

\(\pi=3,14 \)


\(T-? \) \(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}} \)

\( T=2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\dfrac{0,25 кг }{400 Н/м}} = 0,157 с \)

\( T = 0,157 \approx 0,16 с \)

Ответ: \( T=0,16 с \)



Задача 4.{2}} =438,20(4) Н/м \; \approx 438 Н/м \)

\(k=438 Н/м\)

Ответ: \( k=438 Н/м\)



Задача 10.

Найти частоту колебаний \( \nu \) пружинного маятника, если жесткость его пружины \(k=400 Н/м \), а масса его груза \(m=0,25 кг \) ,
\(\pi=3,14 \)
Ответ округлить до сотых
Показать ответ Показать решение Видеорешение


  

Ответ: \( \nu= 6,37 Гц \)

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника: Дано:
\(m=0,25 кг\)

\(k=400 Н/м \)

\(\pi=3,14 \)


\(T-? \) \(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m}}{\sqrt{k}} \)

\( \nu=\dfrac {1}{T} =1:T=\dfrac {1}{1}:\dfrac{2 \pi\sqrt{m}}{\sqrt{k}}=\dfrac {1}{1}\cdot \dfrac{\sqrt{k}}{ 2 \pi\sqrt{m}} = \dfrac{\sqrt{k}}{ 2 \pi\sqrt{m}}=\dfrac{1}{2 \pi} \sqrt{\dfrac{k}{m}} \)

\( \nu=\dfrac{1}{2 \pi} \sqrt{\dfrac{k}{m}} \)

\( \nu=\dfrac {1}{2 \cdot 3,14}\sqrt{\dfrac{ 400 Н/м }{ 0,25 кг}}=6,36942675 Гц \approx 6,37 Гц \)

Ответ: \( \nu= 6,37 Гц \)



Задача 15.

Массу груза пружинного маятника увеличили в 4 раза. Во сколько раз увеличился период колебаний этого пружинного маятника?
Показать ответ Показать решение Видеорешение


  

Ответ: \( \dfrac{T_2}{T_1}=2 \)

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника: Дано:

\( \dfrac{m_2}{m_1}=4 \)


\(\dfrac{T_2}{T_1}-? \) \(T_1=2 \pi \sqrt{\dfrac{m_1}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}} \)

\(T_2=2 \pi \sqrt{\dfrac{m_2}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m_2}}{\sqrt{k}} \)

\(\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{2 \pi\sqrt{m_2}}{\sqrt{k}}:\dfrac{2 \pi\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}} \)

\(\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{2 \pi\sqrt{m_2}}{\sqrt{k}} \cdot \dfrac{\sqrt{k}}{ 2 \pi\sqrt{m_1} } \)

\( \dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1} }= \sqrt{\dfrac{m_2}{m_1} } = \sqrt{ 4} =2 \;\;\;\;\; Некоторым\; достаточно\; этой\; строки \)


Ответ: \( \dfrac{T_2}{T_1}=2 \)

Задача 16.

Массу груза пружинного маятника увеличили в 25 раза. Во сколько раз увеличился период колебаний этого пружинного маятника?
Показать ответ Показать решение Видеорешение


  

Ответ: \( \dfrac{T_2}{T_1}=5 \)

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника: Дано:

\( \dfrac{m_2}{m_1}=25 \)


\(\dfrac{T_2}{T_1}-? \) \(T_1=2 \pi \sqrt{\dfrac{m_1}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}} \)

\(T_2=2 \pi \sqrt{\dfrac{m_2}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m_2}}{\sqrt{k}} \)

\(\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{2 \pi\sqrt{m_2}}{\sqrt{k}}:\dfrac{2 \pi\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}} \)

\(\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{2 \pi\sqrt{m_2}}{\sqrt{k}} \cdot \dfrac{\sqrt{k}}{ 2 \pi\sqrt{m_1} } \)

\( \dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1} }= \sqrt{\dfrac{m_2}{m_1} } = \sqrt{ 25} =5 \;\;\;\;\; Некоторым\; достаточно\; этой\; строки \)


Ответ: \( \dfrac{T_2}{T_1}=5 \)

Задача 25.

Пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом \(T_1=0,4 с. \;\; \) Масса его груза \(m_1=1 кг \). В какой-то момент к грузу пружинного маятника жестко прикрепили дополнительный груз массой \(m_2=3 кг. \; \) Вычислить период колебаний пружинного маятника после присоединения дополнительного груза.
Показать ответ Показать решение Видеорешение


  

Ответ: \( T_2= 0,8с \)

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника: Дано:

\(T_1=0,4 с. \;\; \)

\(m_1=1 кг \)

\(m_2=3 кг. \; \)


\(T_2-? \) \(T_1=2 \pi \sqrt{\dfrac{m_1}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}} \)

\(T_2=2 \pi \sqrt{\dfrac{m_1+m_2}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{k}} \)

\(\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{2 \pi\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{k}}:\dfrac{2 \pi\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}} \)

\(\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{2 \pi\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{k}} \cdot \dfrac{\sqrt{k}}{ 2 \pi\sqrt{m_1} } \)

\( \dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{m_1} }= \sqrt{\dfrac{m_1+m_2}{m_1} } \;\;\;\;\; Некоторым\; достаточно\; этих\; трех\; строк \)

\( T_2= T_1 \sqrt{\dfrac{m_1+m_2}{m_1} } \;\;\;\;\; Некоторым\; достаточно\; этих\; трех\; строк \)

\( T_2= 0,4 с \cdot \sqrt{\dfrac{1 кг+3 кг}{1 кг} } =0,8с \;\;\;\;\; Некоторым\; достаточно\; этих\; трех\; строк \)


Ответ: \( T_2= 0,8с \)

Задача 30.

Пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом \(T_1=0,15 с. \;\; \) Масса его груза \(m_1= 0,6 кг \). В какой-то момент к грузу пружинного маятника жестко прикрепили дополнительный груз , после чего его период стал равен \(T_2=0,45 с \)
Найти массу \(m_2 \) дополнительного груза.
Показать ответ Показать решение Видеорешение


  

Ответ: \( m_2= 4,8 кг \)

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника: Дано:

\(T_1=0,15 с. \;\; \)

\(m_1=0,6 кг \)

\( T_2=0,45 с \)


\(m_2-? \) \(T_1=2 \pi \sqrt{\dfrac{m_1}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}} \)

\(T_2=2 \pi \sqrt{\dfrac{m_1+m_2}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{k}} \)

\(\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{2 \pi\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{k}}:\dfrac{2 \pi\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}} \)

\(\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{2 \pi\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{k}} \cdot \dfrac{\sqrt{k}}{ 2 \pi\sqrt{m_1} } \)

\( \dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{m_1} } \;\;\;\;\; Кому\; лень \;вникать, \; начинайте \; отсюда \)

\( \left ( \dfrac{T_2}{T_1} \right )^2 =\dfrac{m_1+m_2}{m_1 } \)

\( \left ( \dfrac{T_2}{T_1} \right )^2 m_1=m_1+m_2 \)

\( \left ( \dfrac{T_2}{T_1} \right )^2 m_1-m_1=m_2 \)

\(m_2= \left ( \dfrac{T_2}{T_1} \right )^2 m_1-m_1 \)

\(m_2=m_1( \dfrac{T_2^2}{T_1^2} -1 ) \)

\(m_2=0,6 кг ( \left ( \dfrac{0,45 с}{0,15 с } \right )^2 -1 ) =4,8 кг \)


\( m_2= 4,8 кг \)

Ответ: \( m_2= 4,8 кг \)



Период малых колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник представляет собой материальную точку массой , прикрепленную к абсолютно упругой невесомой пружине с жесткостью . Различают два наиболее простых случая: горизонтальный (рис.15,а) и вертикальный (рис.15, б) маятники.

а) Горизонтальный маятник (рис. 15,а). При смещении груза из положения равновесия на величину на него действует в горизонтальном направлениивозвращающая упругая сила (закон Гука).

Предполагается, что горизонтальная опора, по которой скользит груз при своих колебаниях, абсолютно гладкая (трения нет).

б) Вертикальный маятник (рис.15, б). Положение равновесия в этом случае характеризуется условием:

где — величина упругой силы, действующей на груз при статическом растяжении пружины на под действием силы тяжести груза.

Рис.15. Пружинный маятник: а – горизонтальный и б – вертикальный

Если растянуть пружину и отпустить груз, то он начнет совершать вертикальные колебания. Если смещение в какой-то момент времени будет , то сила упругости запишется теперь как .

В обоих рассмотренных случаях пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом

(27)

и циклической частотой

. (28)

На примере рассмотрения пружинного маятника можно сделать вывод о том, что гармонические колебания – это движение, вызванное силой, возрастающей пропорционально смещению . Таким образом, если возвращающая сила по виду напоминает закон Гука (она получила название квазиупругой силы), то система должна совершать гармонические колебания. В момент прохождения положения равновесия на тело не действует возвращающая сила, однако, тело по инерции проскакивает положение равновесия и возвращающая сила меняет направление на противоположное.

Математический маятник

Рис.16. Математический маятник

Математический маятник представляет собой идеализированную систему в виде материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной , которая совершает малые колебания под действием силы тяжести (рис. 16).

Колебания такого маятника при малых углах отклонения (не превышающих 5º) можно считать гармоническими, и циклическая частота математического маятника:

, (29)

. (30)

2.3. Энергия тела при гармонических колебаниях

Энергия, сообщенная колебательной системе при начальном толчке, будет периодически преобразовываться: потенциальная энергия деформированной пружины будет переходить в кинетическую энергию движущегося груза и обратно.

Пусть пружинный маятник совершает гармонические колебания с начальной фазой , т.е.(рис.17).

Рис.17. Закон сохранения механической энергии

при колебаниях пружинного маятника

При максимальном отклонении груза от положения равновесия полная механическая энергия маятника (энергия деформированной пружины с жесткостью ) равна . При прохождении положения равновесия () потенциальная энергия пружины станет равной нулю, и полная механическая энергия колебательной системы определится как .

На рис.18 представлены графики зависимостей кинетической, потенциальной и полной энергии в случаях, когда гармонические колебания описываются тригонометрическими функциями синуса (пунктирная линия) или косинуса (сплошная линия).

Рис.18. Графики временной зависимости кинетической

и потенциальной энергии при гармонических колебаниях

Из графиков (рис.18) следует, что частота изменения кинетической и потенциальной энергии в два раза выше собственной частоты гармонических колебаний.

Период собственных малых вертикальных колебаний пружинного маятника равен 1,2 с. Каким станет период колебаний, если массу груза пружинного маятника увеличить в 4 раза?

Период колебаний пружинного маятника [math]mathrm T=2mathrmpisqrt<frac<mathrm m><mathrm k>>[/math]

Все формулы по физике и математике

Темы по физике

  • Кинематика (19)
  • Динамика и статика (32)
  • Гидростатика (5)
  • Молекулярная физика (25)
  • Уравнение состояния (3)
  • Термодинамика (15)
  • Броуновское движение (6)
  • Прочие формулы по молекулярной физике (1)
  • Колебания и волны (22)
  • Оптика (9)
  • Геометрическая оптика (3)
  • Физическая оптика (5)
  • Волновая оптика (1)
  • Электричество (39)
  • Атомная физика (15)
  • Ядерная физика (3)
  • Темы по математике

    • Квадратный корень, рациональные переходы (1)
    • Квадратный трехчлен (1)
    • Координатный метод в стереометрии (1)
    • Логарифмы (1)
    • Логарифмы, рациональные переходы (1)
    • Модуль (1)
    • Модуль, рациональные переходы (1)
    • Планиметрия (1)
    • Прогрессии (1)
    • Производная функции (1)
    • Степени и корни (1)
    • Стереометрия (1)
    • Тригонометрия (1)
    • Формулы сокращенного умножения (1)

    Сообщение от администратора:

    Ребята! Кто давно хотел выучить английский?
    Переходите по моей ссылке и получите два бесплатных урока в школе английского языка SkyEng!
    Занимаюсь там сам — очень круто. Прогресс налицо.

    В приложении можно учить слова, тренировать аудирование и произношение.

    Попробуйте. Два урока бесплатно по моей ссылке!
    Жмите СЮДА

    Период пружинного маятника — зависит от жёсткости пружины: с увеличением коэффициента жёсткости пружины период колебания маятника уменьшается

    Пружинный маятник — это груз, колеблющийся на пружине. Он совершает возвратно-поступательное движение. Пружинный маятник подчиняется законам движения, по которым можно определить период его колебаний, зная массу груза и жесткость пружины. Период колебаний пружинного маятника не зависит от места его расположения и амплитуды колебаний.

    Давайте выведем формулу периода пружинного маятника.

    На груз m горизонтального пружинного маятника действуют сила тяжести (mg), сила реакции опоры (N) и сила упругости пружины (Fynp). Запишем второй закон Ньютона для данного случая :

    Все проецируем на ось ОХ:

    Запишем это уравнение в форме аналогичной уравнению движения гармонического осциллятора:

    Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:

    Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:

    Тогда период колебаний пружинного маятника будет равен:

    Период математического маятника

    Период физического маятника

    Период крутильного маятника

    В Формуле мы использовали :

    — Период пружинного маятника маятника

    — Масса груза

    — Изменение длины пружины

    — Коэффициент упругости пружины

    — Ускорение свободного падения

    — Циклическая частота пружинного маятника

    — Сила реакции опоры

    — Сила упругости

    Как рассчитать период пружинной массы и маятника? – Assemblymade.com

    Как рассчитать период пружинной массы и маятника?

    Силовая постоянная, характеризующая маятниковую систему массой m и длиной L, равна k = мг/л. Когда у вас есть силовая постоянная, легко получить все свойства движения! Чтобы получить период маятника, просто подставьте постоянную маятника k = мг/л в общую формулу периода T = 2π√m/k.

    Чем пружина похожа на маятник?

    В отличие от пружины, восстанавливающая сила зависит от силы тяжести и угла (ɵ) движения от средней точки, а не от массы, подвешенной к маятнику.Маятник подобен пружине, поскольку восстанавливающие силы для обоих зависят от смещения.

    От чего зависит период маятника?

    Период маятника не зависит от массы шара, а только от длины нити. Два маятника с разными массами, но одинаковой длины будут иметь одинаковый период. Два маятника разной длины будут иметь разные периоды; маятник с более длинной нитью будет иметь больший период.

    Что такое формула периода?

    … каждое полное колебание, называемое периодом, является постоянным.Формула для периода T маятника: T = 2π Квадратный корень из √L/g, где L — длина маятника, а g — ускорение свободного падения.

    Для чего нужен пружинный маятник?

    В заключение, пружинная маятниковая система может использоваться для моделирования сценариев реальной жизни. Например, создатели американских горок могут использовать этот проект и менять F (t, y) на разные начальные значения в зависимости от эффекта, которого они хотят добиться.

    Применим ли закон Гука к маятнику?

    Движение простого маятника очень близко к простому гармоническому движению (SHM).SHM возникает всякий раз, когда восстанавливающая сила пропорциональна смещению, соотношение, часто известное как закон Гука применительно к пружинам.

    Как бы вы нашли период маятника?

    Тело массой m, подвешенное на проволоке длиной L, представляет собой простой маятник и совершает простое гармоническое движение с амплитудами менее примерно 15º. Период простого маятника равен T=2π√Lg T = 2 πLg , где L — длина струны, а g — ускорение свободного падения.

    Почему у маятников одинаковый период?

    Период колебаний Для малых колебаний период колебаний примерно одинаков для колебаний разной величины: то есть период не зависит от амплитуды.Это свойство, называемое изохронизмом, является причиной того, что маятники так полезны для хронометража.

    Почему длина маятника влияет на период?

    Чем длиннее нить, тем дальше падает маятник; и, следовательно, тем больше период или возвратно-поступательное движение маятника. Чем больше амплитуда или угол, тем дальше падает маятник; и, следовательно, больше период.)

    Как упругий маятник связан с пружиной?

    (октябрь 2019 г.) В физике и математике, в области динамических систем, упругий маятник (также называемый пружинным маятником или качающейся пружиной) — это физическая система, в которой кусок массы соединен с пружиной, так что результирующее движение содержит элементы как простого маятника, так и одномерной пружинно-массовой системы.

    Как определяется потенциальная энергия маятника?

    Угол колебания маятника . является потенциальной энергией. Видеть. Закон Гука – это потенциальная энергия самой пружины: – постоянная пружины. С другой стороны, потенциальная энергия гравитации определяется высотой массы. Для заданного угла и смещения потенциальная энергия равна: – ускорение свободного падения .

    Как частота пружин связана с периодом?

    Частота «f» указывает количество циклов в секунду, которым подвергается пружина, а период «P» обозначает время между колебательными движениями.Эти два признака находятся в обратной зависимости и могут быть представлены как P = 1/f. Давайте посмотрим на частоту, чтобы определить свойства, влияющие на эту переменную.

    Как сила пружины связана с жесткостью пружины?

    Жесткость пружины зависит от силы пружины. При этом учитываются различные физические свойства кожи, такие как материал, из которого изготовлена ​​пружина, и диаметр и толщина пружины. Чем толще пружина, тем выше жесткость пружины.

    JEE Main, JEE Advanced, CBSE, NEET, IIT, бесплатные учебные пакеты, контрольные работы, консультации, вопросы к экспертам

    Spring Pendulum

    Категория: JEE Main & Advanced

    Точечная масса, подвешенная к безмассовой пружине или помещенная на горизонтальной плоскости без трения, прикрепленной к пружине (рис.), образует линейный гармонический пружинный маятник

    Период времени \[T=2\pi \sqrt{\frac{\text{Инерция}\,\text{фактор}}{\text{Весна}\,\text{фактор}}}\]\[=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]       

    и        Частота  \[n=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\]

    (1) Период времени пружинного маятника зависит от подвешенной массы \[\Rightarrow T\propto \sqrt{m}\] или \[n\propto \frac{1}{\sqrt{m}}\]i .е. чем больше масса, тем больше будет инерция, и поэтому меньше будет частота колебаний и больше будет период времени.

    (2) Период времени зависит от постоянной силы k пружины , т.е. \[T\propto \frac{1}{\sqrt{k}}\]  или  \[n\propto \sqrt{k}\,\ ,\]

    (3) Время пружинного маятника не зависит от ускорения свободного падения. Поэтому часы на основе пружинного маятника будут показывать правильное время везде на холме, или на луне, или на спутнике, а период времени пружинного маятника не изменится внутри жидкости, если пренебречь эффектами демпфирования.{2}}\omega \,t}\], так что  \[\left| \,\sin \,\omega \,t\, \right|=\text{максимум}=1\]

    (6) Если пружинный маятник, колеблющийся в вертикальной плоскости, заставить колебаться на горизонтальной поверхности (или на наклонной плоскости), период времени останется неизменным.

    (7) Положением равновесия пружины на горизонтальной плоскости является положение естественной длины пружины, так как вес уравновешивается реакцией. В то время как в случае вертикального движения положение равновесия будет \[l+{{y}_{0}}\] с \[k{{y}_{0}}=mg\]

    Если растяжение вертикально нагруженной пружины равно \[{{y}_{0}}\], то для равновесия массы m  \[k{{y}_{0}}=mg\] i.е. \[\frac{m}{k}=\frac{{{y}_{0}}}{g}\]

    Так что    \[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{{{y}_{0}}}{g}}\]

    Период времени не зависит от ?g? потому что вместе с g, \[{{y}_{o}}\] также изменится таким образом, что \[\frac{{{y}_{0}}}{g}=\frac{m} {k}\] остается постоянным  

    Простой маятник и груз, подвешенный на пружине, имеют период 1 с, когда они совершают небольшое колебательное движение на Земле. Их доставляют на Планету X, которая имеет такой же диаметр, как Земля, но в два раза больше массы.Какое из следующих утверждений верно о

    Период времени простого маятника выражается следующим уравнением:

    $$T_{p}=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{L}{g}} $$

    • {экв} л {/eq} – длина маятника.
    • {экв} г {/eq} – ускорение свободного падения.

    Период времени, в течение которого груз висит на пружине, выражается следующим уравнением:

    $$T_{s}=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}} $$

    • {экв.}k {/eq} — пружинная постоянная.
    • {экв} м {/eq} — масса, подвешенная на пружине

    Теперь и простой маятник, и масса, подвешенная на пружине, переносятся на планету X, где масса планеты в два раза больше массы Земли.Если {экв}M_{x} {/eq} представляет массу планеты X, а {eq}M_{e} {/eq} представляет собой массу Земли, мы имеем:

    $$M_{x}=2M_{e} $$

    Масса пружины и постоянная силы пружины не зависят от массы планеты, на которой они колеблются. В результате период висения массы на пружине на планете X остается неизменным.

    Для простого маятника период колебаний зависит от ускорения свободного падения. Пусть переменная {eq}g_{e} {/eq} представляет ускорение свободного падения на Земле, а {eq}g_{x} {/eq} представляет гравитационное ускорение на планете X.{2}}\\[0,3 см] M_{x}&=2M_{e}\\[0,3 см] g_{x}&=2g_{e} \end{выравнивание} $$

    Период времени простого маятника обратно пропорционален ускорению свободного падения, как показано в приведенном выше уравнении. В результате период колебаний простого маятника на планете X короче периода колебаний на Земле.

    Значит правильный ответ вариант д). Период маятника короче, период массы на пружине такой же.

    О движении гармонически возбужденного пружинного маятника по эллиптической траектории вблизи резонансов

    Исследуется отклик нелинейной мультистепени свободы (М-СТП) для природной динамической системы, представленной пружинным маятником, движущимся по эллиптической траектории. Уравнения Лагранжа используются для вывода основных уравнений движения. Один из важных методов возмущения MS (множественные масштабы) используется для получения приближенных аналитических решений этих уравнений и идентификации резонансов системы.Кроме того, амплитуда и фазовые переменные известны для изучения стационарных решений и определения условий их устойчивости. Для интерпретации поведения динамической системы представлена ​​временная история для достигнутых решений и проекции фазовой плоскости. Упомянутая модель считается одним из важных научных приложений, например, в приборостроении, при рассмотрении колебаний, возникающих при распиловке зданий, и в большинстве различных применений маятниковых гасителей.

    1. Введение

    Динамическая система считается совокупностью движущихся частиц с конечным числом степеней свободы и может быть определена посредством некоторых процессов в течение определенного периода времени. Теория хаоса изучает поведение динамических систем, сверхчувствительных к начальным условиям, и считается одним из важнейших предметов в области прикладной математики, физики и техники. Он имеет несколько приложений, начиная от прогнозов погоды, технологий и заканчивая физическими науками и науками о жизни.Кинематические нелинейные системы вызывают большой интерес у многих выдающихся исследователей в течение последних трех десятилетий. В [1, 2] исследуется динамическое поведение таких систем как хороших моделей в прикладной механике. Tousi и Bajaj в [3] изучали бифуркации удвоения периода и модулированное движение в 2-DOF нелинейной системы. Более того, Маевал в [4] исследовал хаос вынужденного отклика возбужденной упругой балки через численные решения управляющей системы предложенной им модели.В [5] методом МС построено разложение параметрического возбуждения двух внутренне резонансных генераторов до первого порядка. Автор определил решения стационарного случая и проверил соответствующую устойчивость. В [6] авторы преобразовывали управляющую систему возбужденной искривленной балки в приближенную и исследовали устойчивость равновесных решений для получения бифуркаций Хопфа и последовательности удвоения периода, приводящих к хаотическому движению.Отклик возбужденной слабо колебательной системы с близкой к резонансной 2-степенью свободы исследовался в [7]. Отклик рассматриваемой системы проверяется методом усреднения и численным интегрированием. В [8] Ли и Парк исследовали возбуждение пружинного маятника методом МС и показали, что полученная приближенная автономная система имеет бифуркации. Влияние разложений этой задачи высших порядков с внутренним резонансом исследовано в [9]. В [10] авторы исследовали приближенное решение четвертого порядка для управляющей системы и устойчивость такой системы аналогичной задачи, когда жесткость пружины становится нелинейной.В [11] авторы исследовали ту же проблему помимо любого состояния равновесия с использованием метода МС, а также исследовали общий характер системы с использованием границ бассейнов аттракторов. Они заметили, что эти границы могут быть фрактальными, а коэффициенты затухания оказывают большое влияние при хаотическом движении. Задача о нелинейном поведении колебательной системы с двумя степенями свободы, связанной с нелинейным демпфером и нелинейной пружиной, исследована в [12]. Авторы показали, что при определенных значениях коэффициентов демпфирования и жесткости амплитуда колебаний рассматриваемой модели уменьшается для улучшения конструкции нелинейного гасителя.В [13] Амер и Бек исследовали отклик возбужденного упругого маятника, в котором движение подвешенной точки рассматривается по круговой траектории. Управляющая неавтономная система преобразуется в автономную до третьего порядка методом МС. Они обнаружили, что полученная система имеет бифуркации, ведущие к хаосу. В [14] рассматривается еще одна модель маятника, когда подвешенная точка движется по заданной траектории. Получены основные уравнения движения и решены аналитически методом множественных масштабов.Авторы сконцентрировались на предсказании условий резонанса и изучили эти случаи. Эта задача была обобщена в [15] для изучения колебаний твердого тела как модели маятника. Много интересных примеров движения нелинейных систем можно найти в [16–20] и ссылках здесь. Однако в [17] авторы исследовали движение пружинного маятника, движущегося по круговой траектории. В [18, 19] они обобщили свою предыдущую работу, рассмотрев влияние демпфера на движение.

    В настоящей работе мы расширяем предыдущую работу [14] для нелинейного поведения пружинного маятника с кинематическим возбуждением, в котором его точка подвеса движется по эллиптической траектории. Нашей основной целью является выявление условий резонансов и описание случая одновременных резонансов. Среди методов возмущения метод МС используется для получения уравнений модуляции, определяющих все возможные стационарные решения. Приведены графические представления предполагаемых физических параметров полученных стационарных решений.Приведены некоторые примеры в качестве предельных случаев движения рассматриваемой модели с целью имитации динамического поведения этой модели.

    2. Описание задачи

    Рассмотрим динамическую систему, состоящую из массы , подвешенной к одному концу безмассовой линейной пружины, имеющей жесткость и статически растянутую длину . Другой конец прикреплен к точке, которая движется по эллиптической траектории, в которой и представляют длины малой и большой осей эллипса соответственно; см. рис. 1.Учтите, что соответствующей точкой (находящейся на вспомогательной окружности ) является точка (находящаяся на эллипсе) и эта точка движется с угловой скоростью . Обозначим горизонтальную ось через , а нисходящую через , при этом обе они имеют одно и то же начало эллипса. Пусть момент действует на точку в направлении против часовой стрелки, указывает на силу, действующую на массу в направлении удлинения пружины, и относится к демпфирующей силе, действующей по длине маятника.


    Чтобы получить представление об управляющей системе движения, мы рассмотрим плоское движение нашей модели. Таким образом, через время координаты точки подвеса могут быть выражены как

    . Для получения уравнений движения используйте следующие уравнения Лагранжа второго типа: где выражает функцию Лагранжа, а и представляют собой обобщенные координаты и скорости указанной модели соответственно. Потенциальная и кинетическая энергии рассматриваемой системы даны соответственно как Здесь, обозначает ускорение свободного падения, – удлинение пружины, – угол между вертикалью и линией, направленной через массу .

    Помимо влияния кинематического возбуждения на исследуемую систему, дополнительно влияют моменты и (линейного вязкостного демпфирования) в районе . Кроме того, сила и линейное вязкое демпфирование действуют на массу и направлены вдоль плеча маятника, в котором и обозначают коэффициенты вязкости.

    Согласно неконсервативным силам, обобщенные силы принимают видгде и вынуждающие частоты и , соответственно.

    Подставляя (3) и (4) в (2), мы легко получаем управляющую систему движения как где

    3.Аналитическое решение

    Целью этого раздела является получение аналитических решений предыдущих уравнений движения с использованием метода МС и получение уравнений модуляции для получения условий резонансов. Поэтому необходимо начать с аппроксимаций и входящих в (5) с использованием ряда Тейлора до вторых членов, т.к. Следует отметить, что эта аппроксимация справедлива в окрестности всех положений статического равновесия.

    Обычно определяют как коэффициенты демпфирования, так и амплитуды внешних сил, чтобы выполнить процедуру анализа как малый параметр.Кроме того, предположим, что параметры, входящие в два предыдущих равенства, имеют порядок 1. Введем следующий вид для амплитуд колебаний: Важно отметить, что эти амплитуды имеют порядок . Итак, мы ищем формы функций и как где; представляют собой независимые переменные различных временных масштабов. Также дифференцирования преобразуются в вид Подставляя (7)–(11) в (5), используя операторы (12), а затем приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях, получают следующие системы уравнений в частных производных со второго порядка.

    Приказ

    Приказ

    Приказ В рамках (11) основная система определяющих уравнений (5) преобразуется в другую, состоящую из уравнений в частных производных второго порядка.

    Решения (13) принимают вид где неизвестные комплексные функции, которые могут быть определены и являются соответствующими комплексно-сопряженными.

    Подставляя (16) в (14), а затем опуская слагаемые, образующие вековые, получаем аппроксимации второго порядка в видегде выражают комплексно-сопряженные величины предыдущих слагаемых.

    Как мы развивали ранее, подставьте (16)-(17) в (15) и затем удалите вековые члены, чтобы получить аппроксимации третьего порядка в виде Неизвестные и могут быть определены из условий удаления вековых членов.

    4. Уравнения модуляции вблизи резонансов

    Основная задача этого раздела состоит в определении случаев резонансов. Для этого заметим, что решения (17)-(18) имеют особенности, когда любой из их знаменателей равен нулю. Таким образом, вековые члены, появляющиеся в правых частях (14)-(15), делают систему (17)-(18) несущественной при выполнении некоторых частотных условий.В соответствии с этим обсуждением и предыдущими решениями случаи резонанса можно классифицировать следующим образом: (i) Основные (первичные) внешние резонансы, возникающие при и . (ii) Резонанс пружины, возникающий из-за кинематического возбуждения при . (iii) Маятник резонанс, возникающий при кинематическом возбуждении при . (iv) Внутренний резонанс, возникающий при . (v) Комбинированные резонансы при и .

    Поведение системы будет очень сложным, если собственные частоты удовлетворяют описанным выше резонансным случаям.Рассмотрим первый случай, когда категории резонанса и появляются одновременно. При данных обстоятельствах и для исследования резонансов вводятся следующие параметры расстройки и в соответствии с где . Это означает, что параметры расстройки описывают близость частот возбуждения и к и соответственно.

    Подстановка (19) в (14)-(15) приводит к появлению вековых членов. Их исключение приводит к следующим условиям разрешимости.

    Во-первых: уравнения второго порядка

    Во-вторых: уравнения третьего порядка

    Теперь мы можем определить неизвестные функции , , , и из предыдущих условий разрешимости (20)-(21). Эти функции принято выражать в следующей полярной форме: где , и , представляют действительные функции решений и и представляют собой как амплитуды, так и фазы соответственно.

    Вставьте следующее определение модифицированных фаз: и затем снова используйте операторы (12) для преобразования (20)-(21) из формы частной производной в обычную форму как

    Стоит отметить, что определение (23) имеет большое преимущество формы в связи с тем, что вышеуказанная система модуляции является автономной.Приравнивая действительную и мнимую части в (24) и опуская символ для простоты, мы имеем систему, состоящую из четырех дифференциальных уравнений первого порядка вида

    . При этом предыдущая система (25) характеризует амплитуды и и модифицированных фаз и для рассматриваемых одновременно случаев резонансов.

    Представлены графические представления численных решений исходной системы (5) после учета системы (25) для описания движения нашей динамической системы в любой момент времени.

    На рисунках 2 и 3 показана динамика движения во времени для некоторых выбранных параметров  [кг·м 2 ·с −1 ],  [рад·с −1 ],  [рад·с −1 ],  [рад·с −1 ],  [м] и  [м]. Нетрудно заметить, что рис. 2 отображает портрет решения во времени и имеет периодическое или квазипериодическое поведение с течением времени, в то время как рис. 3 описывает изменение решения через и представляет типичное резонансное поведение.



    5. Стационарное решение

    Целью этого раздела является получение стационарных решений как амплитуд, так и измененных фаз, соответствующих нулевым значениям предыдущей системы (25). После исключения фаз и из стационарного решения формулы уравнений АЧХ принимают следующий вид.

    Для случая параметрического резонанса

    Для случая внешнего резонанса где и представляют продольные амплитуды и флуктуационные колебания соответственно.

    Если два резонанса происходят одновременно, (26) и (27) должны быть системой нелинейных уравнений относительно и . Таким образом, можно проиллюстрировать возможные стационарные решения, близкие к резонансу, через плоскость, состоящую из координат и .

    Графики, представленные на рисунках 4, 5 и 6, показывают стационарные решения через, когда и принимают значения  [рад·с −1 ],  [рад·с −1 ] и  [рад·с −1 ] с -1 ] соответственно. Штриховые линии представляют собой геометрическое место корней (26), а сплошная — решения (27).При ближайшем рассмотрении этих рисунков видно, что совпадающие точки обеих кривых идентифицируют искомые решения системы (26) и (27). Эти точки однозначно определяют амплитуды продольных и пульсационных колебаний для установившегося режима. Кстати, установившиеся состояния колебаний могут быть устойчивыми или нет. Геометрические представления системы (26) и (27) получаются автоматически с помощью программы MATLAB после учета следующих параметров: ·м 2 ·с -1 ] и  [кг·м 2 ·с -1 ].




    Это объясняет, что желаемые возможные решения могут быть выражены как функции параметров колебательной системы. При этом наименьшее количество возможных решений равно одному, а максимальное может достигать семи.

    6. Анализ устойчивости

    Одним из важных факторов для упомянутой задачи об установившихся колебаниях является исследование их устойчивости. Для этой задачи мы анализируем поведение системы в области, очень близкой к неподвижным точкам.

    Для обсуждения устойчивости частного решения стационарного состояния введем замены в (25). Здесь , , , и представляют решения (25) и , , , и обозначают возмущения, которые предполагаются очень малыми по сравнению с предшественниками. Тогда линеаризованные уравнения примут вид

    Учтем, что малые возмущения , , , и являются неизвестными функциями. Каждое решение представляет собой линейную комбинацию , где , – константы, а – собственное значение, соответствующее неизвестному возмущению, отсчитываемое от действительных частей корней.При этом анализе, если стационарные решения (неподвижные точки) , , , и асимптотически устойчивы, действительные части корней следующего характеристического уравнения системы (29) должны быть отрицательными. Здесь , , , и принимают вид

    Однако согласно критерию Рауса-Гурвица [16] основные условия устойчивости для конкретных стационарных решений будут

    Используемый анализ для проверки устойчивости предложенного решения, изображенные на рис. 4, 5 и 6, можно интерпретировать следующим образом: точки, отмеченные черными точками, относятся к устойчивым решениям, а точки, отмеченные полыми кружками, — к неустойчивым.На рис. 7–12 представлена ​​вариация решения относительно решения для выбранных значений эффективных параметров , и при движении при  [рад·с −1 ].







    то есть, ; это поясняет, что движение точки вращения будет по окружности.Более того, опорная точка становится фиксированной; то есть (большая и малая оси принимают нулевое значение). Кроме того, может быть изучен случай, когда одна из осей эллипса обращается в нуль ( или ), а точнее, точка вращения движется горизонтально или вертикально. Итак, давайте рассмотрим эти случаи.

    Случай 1 (). В этом случае мы наблюдаем, что подвешенная точка движется по окружности радиусом . Рисунок 13 показан при  [рад·с −1 ],  [рад·с −1 ],  [рад·с −1 ],  [м] и  [м].Части (a, b) и (c, d) этого рисунка изображают временную историю решений при и соответственно, а части (e) и (f) отображают проекции фазовых плоскостей при тех же значениях . Таким образом, настоящие результаты хорошо согласуются с известными предыдущими результатами, как в [17] (при отсутствии демпфирующей силы ), так и в [18, 19] (с учетом ). 90–176 В этом случае модуляции амплитуд для обоих растворов и после короткого промежутка времени имеют тенденцию к более систематическому, т. е. гармоническому, как указано в частях (а), (б), (в) и (г).С другой стороны, форма колебаний относится к эффективности нелинейности. Продольная вибрация принимает пилообразную форму, когда время продолжается до конца временного интервала; это связано с увеличением параметров нелинейности. Вибрации динамической модели имеют тенденцию к устойчивому состоянию, как показано на графиках динамики во времени.

    Случай 2 (). В этом случае сосредоточимся на решениях, когда опорная точка будет зафиксирована. На рис. 14 суммированы результаты, полученные при  [рад·с -1 ],  [рад·с -1 ],  [рад·с -1 ], и  [м].Эффективность увеличения времени зависит от решений и проиллюстрирована в частях ((a), (b)) и ((c), (d)) рисунка 14 при  [рад·с −1 ] и  [рад·с с -1 ] соответственно. Изменение решения через решение представлено в частях (e) и (f) того же рисунка. Результаты для этого случая хорошо согласуются с полученными в [20] (при наличии линейно-вязкого демпфирования).

    Случай 3 (). Задача этого случая состоит в том, чтобы интерпретировать движение динамической системы, когда точка вращения движется горизонтально.Таким образом, динамическое движение будет происходить по горизонтальной оси длины через длительный период. Графики, представленные в частях (a) и (b) рисунка 15, показывают изменение решений в зависимости от времени, когда -1 ],  [рад·с -1 ] и  [м]. С другой стороны, часть (с) того же рисунка поясняет изменение по сравнению с теми же значениями и .

    Дело 4 (). Одним из важных понятий является изучение динамического движения, когда опорная точка перемещается вертикально вдоль оси длины в течение длительного периода времени.Было построено несколько рисунков, иллюстрирующих динамическое движение нелинейного маятника во времени и показывающих изменение рассматриваемых решений друг с другом, как части (a) и (b) рисунка 16 для оценки временной динамики и часть (c) для варьирования полученных решений. Эти графики рассчитаны в период времени от до  с при  [рад·с −1 ],  [рад·с −1 ],  [рад·с −1 ],  [рад·с −1 ] и  [м].
    Следует отметить, что стационарные решения at тривиальны, как показано в частях (a) и (b) на этом рисунке.

    8. Заключение

    Методом МС получены аналитические решения полученной исходной системы (представляет собой нелинейные уравнения 2-DOF (5)) с точностью до третьего приближения. Представлено определение всех возможных резонансов, которые могут возникнуть. Изучается один из таких возможных резонансов, а именно главные внешние резонансы при и . Кроме того, уравнения модуляции получены и решены численно. Возможные амплитуды выведены в (26) и (27) для параметрического и внешнего резонансов соответственно.Эти амплитуды представлены графически в виде различных графиков. Существенные условия для анализа устойчивости исследуемой системы были достигнуты по методу Рауса-Гурвица с целью получения возможных неподвижных точек. Проекции фазовой плоскости обоих решений и представлены графически при определенных параметрах, чтобы показать влияние различных параметров на движение. Некоторые частные случаи из этой работы представлены для моделирования динамического поведения рассматриваемой модели.Таким образом, настоящие результаты хорошо согласуются с известными предыдущими результатами, такими как в [17–20]. Одним из важных приложений рассматриваемой модели является обработка сейсмическими волнами колебаний грунта, вызванных сейсмическими источниками, такими как землетрясения и извержения вулканов.

    Конкурирующие интересы

    Авторы заявляют, что у них нет конкурирующих интересов.

    Амплитуда пружины. Период колебаний пружинного маятника. Смотреть что такое “Пружинный маятник” в других словарях

    Большинство механизмов основаны на простейших законах физики и математики.Довольно широкое распространение получила концепция пружинного маятника. Такой механизм получил очень широкое распространение, так как пружина обеспечивает требуемый функционал, она может быть элементом автоматических устройств. Рассмотрим более подробно такое устройство, принцип работы и многие другие моменты.

    Определения пружинного маятника

    Как отмечалось ранее, пружинный маятник получил очень широкое распространение. Среди особенностей можно выделить следующие:

    1. Устройство представляет собой комбинацию груза и пружины, массой которой можно пренебречь.В качестве груза может выступать самый разнообразный предмет. В то же время на него может воздействовать внешняя сила. Типичным примером является создание предохранительного клапана, который устанавливается в систему трубопроводов. Крепление груза к пружине осуществляется различными способами. При этом используется только классический винтовой вариант, который является наиболее распространенным. Основные свойства во многом зависят от типа материала, используемого при изготовлении, диаметра катушки, правильной центровки и многих других моментов.Крайние витки часто делаются таким образом, чтобы при работе они могли воспринимать большую нагрузку.
    2. До начала деформации полная механическая энергия отсутствует. В этом случае сила упругости не действует на тело. Каждая пружина имеет начальное положение, которое она сохраняет в течение длительного времени. Однако за счет определенной жесткости тело фиксируется в исходном положении. Важно то, как прилагаются усилия. Примером может служить то, что она должна быть направлена ​​по оси пружины, так как в противном случае есть вероятность деформации и многих других проблем.Каждая пружина имеет свой предел сжатия и растяжения. При этом максимальное сжатие представлено отсутствием зазора между отдельными витками; при растяжении наступает момент, когда происходит необратимая деформация изделия. Если проволока слишком растянута, изменяются основные свойства, после чего изделие не возвращается в исходное положение.
    3. В рассматриваемом случае колебания возникают за счет действия силы упругости. Для него характерно достаточно большое количество особенностей, которые необходимо учитывать.Эффект упругости достигается за счет специфического расположения витков и типа материала, используемого при изготовлении. В этом случае сила упругости может действовать в обоих направлениях. Чаще всего происходит сжатие, но может осуществляться и растяжение – все зависит от особенностей конкретного случая.
    4. Скорость движения тела может варьироваться в достаточно большом диапазоне, все зависит от эффекта. Например, подпружиненный маятник может перемещать подвешенный груз горизонтально и вертикально.Направленное действие силы во многом зависит от вертикальной или горизонтальной установки.

    В целом можно сказать, что определение пружинного маятника довольно общее. При этом скорость движения объекта зависит от различных параметров, например, от величины приложенной силы и других моментов. Перед непосредственным проведением расчетов создается схема:

    1. Указывается опора, к которой крепится пружина. Часто для его отображения рисуется заштрихованная линия.
    2. Пружина показана схематически. Часто изображается волнистой линией. В схематическом изображении длина и диаметральный индекс не важны.
    3. Также изображено тело. Он не обязательно должен соответствовать габаритам, однако имеет значение место непосредственного крепления.

    Схема необходима для схематического изображения всех сил, воздействующих на устройство. Только в этом случае можно учесть все, что влияет на скорость движения, инерцию и многие другие моменты.

    Пружинные маятники применяются не только в расчетах или при решении различных задач, но и на практике. Однако не все свойства такого механизма применимы.

    Пример, когда колебательные движения не требуются:

    1. Создание фиксирующих элементов.
    2. Пружинные механизмы, связанные с транспортировкой различных материалов и предметов.

    Расчеты пружинного маятника позволяют выбрать наиболее подходящую массу тела, а также тип пружины.Характеризуется следующими признаками:

    1. Диаметр витков. Это может быть очень по-разному. От показателя диаметра во многом зависит, сколько материала потребуется для производства. Диаметр витков также определяет, какое усилие необходимо приложить для полного сжатия или частичного растяжения. Однако увеличение размеров может создать значительные трудности при установке изделия.
    2. Диаметр проволоки. Еще одним важным параметром является диаметр проволоки.Она может варьироваться в широких пределах, в зависимости от прочности и степени упругости.
    3. Длина изделия. Этот показатель определяет, какое усилие требуется для полного сжатия, а также какой эластичностью может обладать изделие.
    4. Тип используемого материала также определяет основные свойства. Чаще всего пружина изготавливается из специального сплава, обладающего соответствующими свойствами.

    При математических расчетах многие моменты не учитываются.Сила упругости и многие другие показатели выявляются расчетным путем.

    Типы пружинного маятника

    Существует несколько различных типов пружинного маятника. Следует иметь в виду, что классификацию можно проводить по типу установленной пружины. Среди особенностей отметим:

    1. Довольно широкое распространение получили вертикальные колебания, так как в этом случае отсутствует сила трения о груз и никакого другого воздействия. При вертикальном расположении груза степень влияния силы тяжести значительно возрастает.Этот вариант получил широкое распространение при проведении разнообразных расчетов. За счет силы тяжести существует вероятность того, что тело в исходной точке совершит большое количество движений по инерции. Этому также способствует упругость и инерция движения тела в конце гребка.
    2. Также используется горизонтальный подпружиненный маятник. В этом случае нагрузка приходится на опорную поверхность и в момент движения также возникает трение. При горизонтальном расположении гравитация работает немного иначе.Горизонтальное положение тела получило широкое распространение в различных задачах.

    Движение пружинного маятника можно рассчитать по достаточно большому количеству различных формул, которые должны учитывать действие всех сил. В большинстве случаев устанавливается классическая пружина. Среди особенностей отметим следующие:

    1. Классическая винтовая пружина сжатия сегодня очень распространена. При этом между витками остается пространство, которое называется ступенькой.Пружина сжатия может растягиваться, но часто она для этого не приспособлена. Отличительной чертой можно назвать то, что последние витки выполнены в виде плоскости, за счет чего обеспечивается равномерное распределение усилия.
    2. Можно установить растянутую версию. Он предназначен для использования, когда приложенная сила вызывает увеличение длины. Для крепления предусмотрены крючки.

    Это приводит к колебанию, которое может продолжаться в течение длительного времени. Приведенная выше формула позволяет произвести расчет с учетом всех пунктов.

    Формулы для периода и частоты колебаний пружинного маятника

    Частоте и периоду колебаний также уделяется достаточно большое внимание при проектировании и расчете основных показателей. Косинус — это периодическая функция, которая применяет значение, которое не меняется в течение определенного периода времени. Именно этот показатель и называется периодом колебаний пружинного маятника. Для обозначения этого показателя используется буква Т, а также часто используется понятие, характеризующее величину, обратную периоду колебания (v).В большинстве случаев для расчета используется формула T = 1/v.

    Период колебаний рассчитывается по несколько сложной формуле. Он таков: T = 2п√m/k. Для определения частоты вибрации используется формула: v = 1/2п√k/m.

    Рассматриваемая частота циклических колебаний пружинного маятника зависит от следующих моментов:

    1. Масса груза, прикрепленного к пружине. Этот показатель считается самым важным, так как влияет на множество параметров.От массы зависит сила инерции, скорость и многие другие показатели. Кроме того, масса груза – это величина, которую можно без проблем измерить благодаря наличию специального измерительного оборудования.
    2. Коэффициент эластичности. Для каждой весны этот показатель существенно отличается. Коэффициент упругости указывается для определения основных параметров пружины. Этот параметр зависит от количества витков, длины изделия, расстояния между витками, их диаметра и многого другого.Его определяют различными способами, часто с применением специального оборудования.

    Не забывайте, что при сильном растяжении пружины закон Гука перестает действовать. В этом случае период колебаний пружины начинает зависеть от амплитуды.

    Период измеряется в универсальной единице времени, в большинстве случаев в секундах. В большинстве случаев амплитуда колебаний рассчитывается при решении самых разных задач. Для упрощения процесса строится упрощенная схема, на которой отображаются основные силы.

    Формулы для амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

    Определившись с особенностями протекающих процессов и зная уравнение колебаний пружинного маятника, а также начальные значения, можно рассчитать амплитуда и начальная фаза пружинного маятника. Значение f используется для определения начальной фазы, амплитуда обозначается буквой A.

    Для определения амплитуды можно использовать формулу: A = √x 2 + v 2 / w 2 .Начальная фаза рассчитывается по формуле: tgf = -v/xw.

    Применяя эти формулы, можно определить основные параметры, которые используются при расчетах.

    Энергия колебаний пружинного маятника

    Рассматривая колебания груза на пружине, необходимо учитывать момент, когда движение маятника можно описать двумя точками, т. е. оно является прямолинейным . Этот момент определяет выполнение условий относительно рассматриваемой силы.Можно сказать, что полная энергия является потенциальной.

    Можно рассчитать энергию колебаний пружинного маятника с учетом всех особенностей. Основные моменты следующие:

    1. Колебания могут быть горизонтальными и вертикальными.
    2. В качестве положения равновесия выбрана нулевая потенциальная энергия. Именно в этот момент устанавливается начало координат. Как правило, в этом положении пружина сохраняет форму при условии отсутствия деформирующей силы.
    3. В рассматриваемом случае при расчете энергии пружинного маятника не учитывается сила трения. При вертикальном размещении груза сила трения незначительна; когда груз расположен горизонтально, тело находится на поверхности и при движении может возникать трение.
    4. Для расчета энергии вибрации используется следующая формула: E = -dF / dx.

    Приведенная выше информация указывает на то, что закон сохранения энергии выглядит следующим образом: mx 2/2 + mw 2 x 2/2 = const.Прикладная формула гласит следующее:

    Определить энергию колебаний пружинного маятника можно при решении самых разных задач.

    Свободные колебания пружинного маятника

    При рассмотрении причин свободных колебаний пружинного маятника следует обратить внимание на действие внутренних сил. Они начинают формироваться почти сразу после того, как тело перенесло движение. Особенности гармонических колебаний заключаются в следующих пунктах:

    1. Могут возникать и другие виды сил влияющего характера, удовлетворяющие всем нормам закона, называются квазиупругими.
    2. Основными причинами действия закона могут быть внутренние силы, образующиеся непосредственно в момент изменения положения тела в пространстве. В этом случае груз имеет определенную массу, усилие создается за счет закрепления одного конца за неподвижный предмет с достаточной прочностью, другого за сам груз. При отсутствии трения тело может совершать колебательные движения. В этом случае фиксированный вес называется линейным.

    Не забывайте, что существует просто огромное количество различных типов систем, в которых осуществляется колебательное движение.Также они развивают упругую деформацию, что становится причиной использования их для выполнения какой-либо работы.

    Цель … Ознакомиться с основными характеристиками непрерывных и затухающих свободных механических колебаний.

    Задача … Определить период собственных колебаний пружинного маятника; проверить линейность зависимости квадрата периода от массы; определить жесткость пружины; определить период затухающих колебаний и логарифмический декремент затухания пружинного маятника.

    Приборы и принадлежности … Штатив со шкалой, пружина, набор гирь различного веса, сосуд с водой, секундомер.

    1. Свободные колебания пружинного маятника. Общая информация

    Колебания – это процессы, при которых одна или несколько физических величин, описывающих эти процессы, периодически изменяются. Колебания могут быть описаны различными периодическими функциями времени. Простейшими колебаниями являются гармонические колебания — колебания, при которых колебательная величина (например, перемещение груза на пружине) изменяется во времени по закону косинуса или синуса.Колебания, возникающие после действия внешней кратковременной силы на систему, называются свободными.

    Если груз вывести из положения равновесия путем отклонения на величину x , то сила упругости увеличится: F управление = – kx 2 = – к ( x 1 + х ). Достигнув положения равновесия, груз будет иметь скорость, отличную от нуля, и проходить положение равновесия по инерции.При дальнейшем движении отклонение от положения равновесия будет увеличиваться, что приведет к увеличению силы упругости, и процесс будет повторяться в обратном направлении. Таким образом, колебательное движение системы обусловлено двумя причинами: 1) стремлением тела вернуться в положение равновесия и 2) инерцией, не позволяющей телу мгновенно остановиться в положении равновесия. В отсутствие сил трения колебания продолжались бы сколь угодно долго.Наличие силы трения приводит к тому, что часть энергии колебаний переходит во внутреннюю энергию и колебания постепенно затухают. Такие колебания называются затухающими.

    Непрерывные свободные колебания

    Сначала рассмотрим колебания пружинного маятника, на который не действуют силы трения – непрерывные свободные колебания. По второму закону Ньютона с учетом знаков проекций на ось X

    Из состояния равновесия перемещение, вызванное силой тяжести:.Подставляя в уравнение (1), получаем: Дифференциальное “href=”/text/category/дифференциальное/”rel=”bookmark” > дифференциальное уравнение

    https://pandia.ru/text/77/494/images/image008_28.gif”width=”152″height=”25 src=”>.(3)

    Это уравнение называется гармоническим уравнением колебаний … Наибольшее отклонение груза от положения равновесия А 0 называется амплитудой колебаний … Величина в аргументе косинуса называется фазой качания … Постоянная φ0 является значением фазы в начальный момент времени ( t = 0) и называется начальной фазой колебаний … Магнитуда

    есть круговая или циклическая собственная частота относящаяся к период колебаний Т соотношение https://pandia.ru/text/77/494/images/image012_17.gif”width=”125″height=” 55″>. (5)

    Затухающие колебания

    Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника при наличии силы трения (затухающие колебания).В самом простом и в то же время наиболее распространенном случае сила трения пропорциональна скорости υ механизм:

    Ф тр = – руб , (6)

    , где r — константа, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус указывает на то, что сила трения и скорость направлены в противоположные стороны. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось X при наличии силы упругости и силы трения

    мА = – кх руб . (7)

    Это дифференциальное уравнение с учетом υ = дх / dt можно записать

    https://pandia.ru/text/77/494/images/image014_12.gif”width=”59″height=”48src=”> – коэффициент демпфирования ; – циклическая частота свободных незатухающих колебаний данной колебательной системы, т. е. при отсутствии потерь энергии (β = 0).Уравнение (8) называется дифференциальным уравнением затухающих колебаний .

    Чтобы получить зависимость смещения х от времени t , необходимо решить дифференциальное уравнение (8) .. gif “width=” 172 “height=” 27″>, (9)

    где A 0 и φ0 – начальная амплитуда и начальная фаза колебаний;
    – циклическая частота затухающих колебаний при ω >> https://pandia.ru/text/77/494/images/image019_12.gif “width=”96” height=”27 src=”>. (10)

    На графике функции (9), рис.2 штриховыми линиями показано изменение амплитуды (10) затухающих колебаний.

    Рис. 2. Зависимость водоизмещения X груза от времени т при наличии силы трения

    Для количественной характеристики степени затухания колебаний вводится величина, равная отношению амплитуд, отличающихся на период, и называется декрементом затухания :

    . (11)

    Часто используется натуральный логарифм этой величины.Этот параметр называется логарифмическим декрементом демпфирования :

    .

    Амплитуда уменьшается в n раз, тогда из уравнения (10) следует, что

    Отсюда для логарифмического декремента получаем выражение

    Если во время т амплитуда уменьшается в е один раз ( е = 2,71 – основание натурального логарифма), тогда система успеет совершить число колебаний

    где – уклон прямой Т 2 от м .

    Задание 1. Определение зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза.

    1. Определить период колебаний пружинного маятника при различных значениях массы груза м … Для этого с помощью секундомера на каждое значение м измерить время трижды t полный n колебаний ( n ≥10) и по среднему времени https://pandia.ru/text/77/494/images/image030_6.gif “width=”57 height=28” height=”28″> Внесите результаты в таблицу 1.

    2. По результатам измерений построить график зависимости квадрата периода Т 2 от массы м … По наклону графика определите жесткость пружины. k по формуле (16).

    Стол 1

    Результаты измерений для определения периода собственных колебаний

    3. Дополнительное задание. Оценить случайную, полную и относительную ε t погрешности измерения времени для значения массы m = 400 г.

    Задание 2. Определение логарифмического декремента демпфирования пружинного маятника.

    1. Подвесьте груз на пружине м = 400 г с кольцом и поместите в емкость с водой так, чтобы кольцо полностью было в воде.Определить период затухающих колебаний для заданной величины м по методике, описанной в п. 1 задания 1. Повторить измерения трижды и занести результаты в левую часть таблицы. 2.

    2. Вывести маятник из положения равновесия и, отметив на линейке его начальную амплитуду, измерить время t , при котором амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза. Проведите измерения трижды. Внесите результаты в правую часть таблицы.2.

    Стол 2

    Результаты измерений

    для определения логарифмического декремента демпфирования

    Рис.3. Схема установки

    Установка состоит из штатива 1 с измерительной шкалой 2 … К пружинному штативу 3 подвешенный груз 4 различной массы. При исследовании затухающих колебаний в задаче 2 кольцо используется для усиления затухания 5 в прозрачном сосуде 6 с водой.

    В задаче 1 (выполняется без сосуда с водой и кольца) затуханием колебаний в первом приближении можно пренебречь и считать гармоническим.Как следует из формулы (5) для гармонических колебаний зависимость Т 2 = f ( м ) – линейная, из которой можно определить коэффициент жесткости пружины k по формуле

    Измерение периода колебаний

    Измерение времени

    уменьшение амплитуды в 2 раза

    4.Контрольные вопросы и задания

    1. Какие колебания называются гармоническими? Дайте определение их основным признакам.

    2. Какие колебания называются затухающими? Дайте определение их основным признакам.

    3. Объясните физический смысл логарифмического декремента демпфирования и коэффициента демпфирования.

    4. Получить зависимость от времени скорости и ускорения груза на пружине, совершающей гармонические колебания. Приведите графики и проанализируйте.

    5. Получить зависимость кинетической, потенциальной и полной энергии от времени для груза, колеблющегося на пружине. Приведите графики и проанализируйте.

    6. Получите дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение.

    7. Построить графики гармонических колебаний с начальными фазами π/2 и π/3.

    8. В каких пределах может изменяться логарифмический декремент затухания?

    9. Приведите дифференциальное уравнение затухающих колебаний пружинного маятника и его решение.

    10. По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Периодичны ли затухающие колебания?

    11. Какое движение называется апериодическим? В каких условиях он наблюдается?

    12. Что называют собственной частотой колебаний? Как она зависит от массы колеблющегося тела для пружинного маятника?

    13. Почему частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний системы?

    14. Медный шарик, подвешенный на пружине, колеблется вертикально.Как изменится период колебаний, если вместо медного шарика к пружине подвешивать алюминиевый шарик того же радиуса?

    15. При каком значении логарифмического декремента затухания колебания затухают быстрее: при θ1 = 0,25 или θ2 = 0,5? Приведите графики этих затухающих колебаний.

    Библиографический список

    1. И … Курс физики/. – 11-е изд. – М.: Академия, 2006. – 560 с.

    2. V … Курс общей физики: в 3 т. /.- СПб. : Лань, 2008. – Т. 1. – 432 с.

    3. С … Лабораторный практикум по физике/.
    – М.: Высшее. школа., 1980. – 359 с.

    Определение 1

    Свободные колебания могут возникать под действием внутренних сил только после выведения всей системы из положения равновесия.

    Для того чтобы колебания происходили по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена ​​в сторону, противоположную смещению.

    F (t) = m a (t) = – m ω 2 x (t).

    Соотношение указывает, что ω — это частота гармонических колебаний. Это свойство характерно для силы упругости в пределах применимости закона Гука:

    F y p p = – k x.

    Определение 2

    Силы любой природы, удовлетворяющие условию, называются квазиупругими .

    То есть груз массой m прикреплен к пружине жесткости k с закрепленным концом, показанной на рисунке 2.2.1, представляют собой систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.

    Определение 3

    Груз, помещенный на пружину, называется линейным гармоническим осциллятором.

    Чертеж 2 . 2 . 1 . Вибрации груза на пружине. Трения нет.

    Круговая частота

    Нахождение угловой частоты ω 0 осуществляется по формуле второго закона Ньютона:

    м а = – к х = м ω 0 2 х.

    Отсюда получаем:

    Определение 4

    Частота ω 0 называется собственной частотой колебательной системы .

    Определение периода гармонических колебаний груза на пружине Т находится по формуле:

    T = 2 π ω 0 = 2 π m k.

    Горизонтальное расположение пружинной системы, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. Когда груз подвешен на пружине, направление силы тяжести соответствует линии движения груза.Положение равновесия растянутой пружины равно:

    x 0 = m g k, при этом совершаются колебания вокруг нового состояния равновесия. Формулы для собственной частоты ω 0 и периода колебаний T в приведенных выше выражениях справедливы.

    Определение 5

    При существующей математической связи между ускорением тела а и координатой х поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение есть вторая производная координаты х тела по времени t:

    Описание второго закона Ньютона с нагрузкой на пружину запишется так:

    m a – m x = – k x, или x ¨ + ω 0 2 x = 0, где свободная частота ω 0 2 = k m.

    Если физические системы зависят от формулы x ¨ + ω 0 2 x = 0, то они способны совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, поскольку применяется x = x m cos (ω t + φ 0).

    Определение 6

    Уравнение вида x¨ + ω 0 2 x = 0 называется уравнениями свободных колебаний … Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω 0 или период T.

    Амплитуда x m и начальная фаза φ 0 находятся методом, выводящим их из состояния равновесия начального момента времени.

    Пример 1

    При наличии смещенного от положения равновесия груза на расстояние ∆l и момент времени, равный t = 0, он опускается без начальной скорости. Тогда x m = ∆ l, φ 0 = 0. Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ± υ 0, следовательно, x m = m k υ 0, φ 0 = ± π 2.

    Амплитуда x m с начальной фазой φ 0 определяется наличием начальных условий.

    Рис. 2.2. 2. Модель свободных колебаний груза на пружине.

    Механические колебательные системы отличаются наличием в каждой из них сил упругой деформации. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог гармонического осциллятора, совершающего крутильные колебания. Диск расположен горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ, то возникает момент силы упругой деформации кручения M y p p:

    M y p p = – x θ.

    Это выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Значение x аналогично k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска имеет вид

    .

    I ε = M y p p = – x θ или I θ ¨ = – x θ, где момент инерции обозначен I = I C, а ε – угловое ускорение.

    Аналогично с формулой пружинного маятника:

    ω 0 = х I, Т = 2 π I х.

    Использование крутильного маятника можно увидеть в механических часах.Он получил название балансира, в котором создание момента сил упругости осуществляется с помощью спиральной пружины.

    Рис. 2. 2. 3. Крутильный маятник.

    Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

    Пружинный маятник представляет собой материальную точку с массой, прикрепленную к абсолютно упругой невесомой пружине с жесткостью… Возможны два простейших случая: горизонтальный (рис. 15, а ) и вертикальный (рис.15, б ) маятники.

    а) Маятник горизонтальный (рис. 15, а). При смещении груза
    из равновесия на величину, действующую на него в горизонтальном направлении восстанавливающая сила упругости
    (закон Гука).

    Предполагается, что горизонтальная опора, по которой скользит груз
    при его колебаниях, абсолютно гладкая (трение отсутствует).

    б) Вертикальный маятник (рис. 15, б ).Положение равновесия в этом случае характеризуется условием:

    где – величина силы упругости, действующей на груз
    при статическом растяжении пружины силой тяжести
    .

    и

    Рис. 15. Пружинный маятник: а – горизонтальный и б – вертикальный

    Если растянуть пружину и отпустить груз, она начнет вибрировать вертикально.Если смещение в какой-то момент времени равно
    , , то сила упругости теперь будет записана как
    .

    В обоих рассмотренных случаях пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом

    (27)

    и циклической частотой

    . (28)

    На примере рассмотрения пружинного маятника можно сделать вывод, что гармонические колебания – это движение, вызываемое силой, возрастающей пропорционально смещению… Таким образом, , если возвращающая сила имеет вид закона Гука
    ( она получила название квазиупругая сила ), то система должна совершать гармонические колебания. В момент прохождения положения равновесия возвращающая сила не действует на тело, однако по инерции тело проскальзывает через положение равновесия и возвращающая сила меняет направление на противоположное.

    Математический маятник

    Рис. 16. Математический маятник

    Математический маятник представляет собой идеализированную систему в виде материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной , которая под действием силы тяжести совершает небольшие колебания (рис.16).

    Колебания такого маятника при малых углах отклонения
    (не более 5º) можно считать гармоническими, а циклическая частота математического маятника равна:

    , (29)

    и период:

    . (30)

    2.3. Энергия тела при гармонических колебаниях

    Энергия, сообщаемая колебательной системе при начальном ударе, будет периодически преобразовываться: потенциальная энергия деформированной пружины будет преобразовываться в кинетическую энергию движущегося груза и обратно.

    Пусть пружинный маятник совершает гармонические колебания с начальной фазой
    , т.е.
    (рис. 17).

    Рис. 17. Закон сохранения механической энергии

    при колебаниях пружинного маятника

    При максимальном отклонении груза от положения равновесия полная механическая энергия маятника (энергия деформированной пружины с жесткостью ) равно
    . При прохождении положения равновесия (
    ) потенциальная энергия пружины станет равной нулю, а полная механическая энергия колебательной системы определится как
    .

    На рис. 18 представлены графики зависимостей кинетической, потенциальной и полной энергии в случаях, когда гармонические колебания описываются тригонометрическими функциями синуса (штриховая линия) или косинуса (сплошная линия).

    Рис. 18. Графики кинетического времени

    и потенциальной энергии при гармонических колебаниях

    Из графиков (рис. 18) следует, что частота изменения кинетической и потенциальной энергии в два раза превышает собственную частоту гармонических колебаний.

    Федеральное агентство железнодорожного транспорта

    Уральский государственный университет путей сообщения

    Филиал УГУПС в Нижнем Тагиле

    Кафедра «Общепрофессиональных дисциплин»

    Лабораторный отчет №5

    «Масса на пружине»

    Преподаватель:

    Нижний Тагил

    Колебания массы на пружине в отсутствие движущей силы называются свободными. Свободные колебания в отсутствие трения являются гармоническими.

    Колебательное движение груза на пружине происходит под действием силы упругости в вертикальном направлении.

    По второму закону Ньютона

    где – масса колеблющегося тела, – коэффициент упругости (жесткости) пружины. Пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону с циклической частотой и периодом. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т. е. масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника равна.

    Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса … Уравнение гармонических колебаний

    где – коэффициент упругости (жесткости) , – вес колебательная система, – уклон колебательная система, – сила упругости (возвращающая сила) … Решение дифференциального уравнения имеет вид

    где – колеблющаяся величина (перемещение, скорость, ускорение, сила, импульс и т.), – раз , – амплитуда колебаний, равная максимальному отклонению колеблющейся величины от положения равновесия, – циклическая (круговая) частота … Циклическая частота численно равна числу полных колебаний, совершаемых за время с, т. е. – частота колебаний равна числу полных колебаний в единицу времени. Период колебаний – время, в течение которого происходит одно полное колебание. Фаза колебаний определяет значение в данный момент времени, или какую часть амплитуды составляет смещение в данный момент времени. Колебания начальной фазы определяют момент начала отсчета времени, т.е.

    Характеристика гармонического свободного колебания материальной точки (массы на пружине), совершаемого по закону, при

    Здесь индекс 0 отмечены (,,,,,,) – максимальные (амплитудные) значения величин.

    М.т. скорость , где.

    Ускорение м.т. ;.

    Возвращающая сила, действующая на m. Т.;.

    Пульс м.т. ;.

    Кинетическая энергия м.т. ;.

    Среднее значение кинетической энергии м.т. за один период.

    Потенциальная энергия м.т. ;.

    Среднее значение потенциальной энергии м.т. …

    Колебание м.т. делается по закону , в,.

    М.т. скорость , где.

    Ускорение м.т. ;.

    Возвращающая сила, действующая на m.т. ;.

    Пульс м.т. ;.

    Кинетическая энергия м.т. ;.

    Потенциальная энергия м.т. ;. По закону сохранения механической энергии максимальные значения, средние значения за период. Полная энергия колеблющихся м.т. равно … Потому что ,.

    Согласно выражениям (2), квадрат синуса и косинуса в кинетической и потенциальной энергиях показывает, что эти величины изменяются во времени с удвоенной частотой.

    Ускорение, скорость, перемещение mt идут последовательно.Ускорение опережает скорость по фазе, а перемещение – по фазе. Скорость опережает смещение фазы на . Вторая производная смещения по времени пропорциональна смещению и имеет противоположный знак. Сила, действующая на колеблющийся m. Т.,. Он пропорционален смещению м.т. от положения равновесия и направлена ​​к положению равновесия.

    Затухающие колебания — это колебания, энергия которых со временем уменьшается. Энергия тратится на борьбу с силами трения.Затухающие колебания возникают при одновременном действии сил: силы упругости и силы сопротивления среды. Уравнение затухающих колебаний при малом демпфировании следует из второго закона Ньютона, т.е. , – сила сопротивления среды, – коэффициент сопротивления среды, = – скорость движения тела в среде.Решение дифференциального уравнения (3) дает зависимость перемещения от времени

    где – коэффициент демпфирования , – циклическая частота затухающих колебаний системы, – собственная циклическая частота собственных колебаний системы. Отношение двух последовательных амплитуд одного знака, разнесенных на период, называется декрементом затухания . Натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд, разнесенных на период, называется логарифмическим декрементом затухания . Время релаксации равно интервалу времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в один раз. Логарифмический декремент затухания, где = / Т — число колебаний, совершаемых за время релаксации, т. е. за время уменьшения амплитуды в раз. Добротностью колебательной системы называют число, равное отношению полной энергии, умноженной на 2π, к величине потерь энергии за период за счет ее диссипации.Добротность пропорциональна количеству колебаний, совершаемых системой за время релаксации.

    Simple Harmonic Motion — Explore Sound

    ШАГ 3. Используя уравнение, связывающее период, массу и жесткость пружины, постройте T 2  по вертикальной оси и m по горизонтальной оси. Каковы наклон и точка пересечения и полученной прямой?

    ШАГ 4. Теперь создайте график и используйте его наклон, чтобы определить  k .

     

    Простой маятник  

    Движение маятника можно рассматривать как простое гармоническое, если:

    1. нет трения и
    2. , если смещение массы м от положения равновесия мало, q ≤ 15 o

    Процедура

    Материалы и оборудование: гири, струна, секундомер или таймер другого типа.

    А) Нахождение ускорения свободного падения, g

    1. Прикрепите один конец веревки к крюку, а на другом конце подвесьте груз возле пола.
    2. Приняв во внимание начальную амплитуду (помните, что для движения СГМ q ≤ 15 o ), оттяните массу в сторону, отпустите ее и определите период ее движения.
    3. Экспериментально определите периоды пяти простых маятников разной длины, но одинаковой массы. В качестве длины используйте расстояние от точки опоры до центра масс. Запишите длины и соответствующие им периоды в таблицу.
    4. Нанесите данные на график, чтобы получить прямую линию, а затем используйте наклон для определения g.
    5. Используйте процентную ошибку, чтобы сравнить полученное экспериментальным путем значение g с принятым значением.

    Б) Зависит ли период движения от массы?

    1. Пожалуйста, запишите прогноз с причиной вопроса D
    2. Используйте лабораторию Pendulum Lab для моделирования PhET, чтобы исследовать этот вопрос. Напишите описание процедуры, которой вы следовали, и данных, которые вы собрали, чтобы ответить на этот вопрос.

    C) Зависит ли период движения от длины?

    1. Пожалуйста, запишите прогноз с причиной вопроса E.
    2. Исследуйте этот вопрос с помощью Pendulum Lab. Напишите описание процедуры, которой вы следовали, и данных, которые вы собрали, чтобы ответить на этот вопрос.

    Руководство по физике, как базовое простое гармоническое движение Пружинный маятник Smh

    «Простое гармоническое движение» — довольно сложный термин для чего-то, что на поверхности относительно простое. Каждый день вы видите простое гармоническое движение вокруг себя в мире. Часовые маятники, детские качели, карусели в парках, велосипедное колесо, все, что движется в цикле.

    Меня учили этому в колледже в терминах маятника, если представить маятник часов, он качается из одной точки через середину качания (начало или точку равновесия), достигая точки, где он останавливается, а затем качается обратно в другом направлении через равновесие и обратно туда, где оно началось, это одно колебание, и время, необходимое для его завершения, называется «Периодом» (обозначается «Т»)

    в базовом SHM (при условии, что ничто не замедляет или не «демпфирует» движение маятника (это означает, что он будет двигаться с постоянной скоростью всегда, так что это нереалистичная модель) уравнение для периода одного колебания:

    T = 2 x (Pi) x Квадратный корень (длина струны/ускорение под действием силы тяжести)

    это относится ко всем маятникам, а ускорение свободного падения (обозначаемое как «g») равно 9.81 м/с/с на Земле, поэтому, зная только длину нити, вы можете рассчитать точное время, за которое маятник совершает один полный период.

    Частота очень похожа на период, где период — это время, за которое совершается одно колебание, а частота — это количество колебаний, происходящих за одну секунду. Он измеряется в герцах и имеет единицы измерения «в секунду»

    .

    Соотношение между периодом (T) и частотой (f) очень простое: T = 1/f, что также можно согласовать; Tf = 1 и f = 1/T

    Хорошо, теперь о более сложном. Когда объект движется по круговой траектории, он на самом деле ускоряется от центральной точки (центра круга). Это происходит из-за центростремительной силы, с которой вы сталкиваетесь при вращении. на ярмарочных аттракционах вы чувствуете, как будто вас толкают на свое место, когда вы вращаетесь быстрее, но на самом деле вас отталкивает движение, и сила, которую вы чувствуете, – это сиденье, оказывающее на вас равную, но противоположную силу.

    Таким образом, все в SHM (простое гармоническое движение) на самом деле ускоряется, что также означает, что оно имеет изменяющуюся скорость, и это ускорение происходит из-за неуравновешенной силы, которая действует вокруг центральной точки (в данном случае конец струна маятника).2)

    Амплитуда (обозначается «А») — это максимальное расстояние, на которое маятник может пройти от начала координат, прежде чем вернуться в исходное положение (может быть положительным и отрицательным в разных направлениях), а смещение — это расстояние от начала координат в момент времени, когда вы хотите найти скорость.поэтому, если вы хотите найти максимальную скорость, она находится в равновесии, а смещение (обозначаемое «X») равно нулю, поэтому уравнение можно упростить до…

    .

    Vmax = 2(Pi)fA

    В максимальных точках качания маятников (амплитуда) Скорость фактически равна нулю, так как квадрат амплитуды минус квадрат смещения в последних скобках компенсируются. Интересно, что в этих точках ускорение максимальное, несмотря на то, что маятник неподвижен. Это происходит потому, что если происходит ускорение из одного направления в другое, маятник возвращается к равновесию.Уравнение ускорения маятника выглядит следующим образом:

    а = – [2(Pi)f]квадрат x (X)

    , где «a» — ускорение, «f» — частота, а «X» — смещение.

    Окончательное комплексное уравнение должно показать смещение «X» от начала координат в момент времени «t»:

    X = A cos [2(pi)f] x t

    , где «A» — амплитуда, «f» — частота, а «cos» — функция косинуса.

    Наконец, в маятнике мы можем рассчитать полную энергию системы, это сумма кинетической энергии (KE) и потенциальной энергии (PE) в любой заданной точке.2

    Где «m» — масса на конце маятника, а «V» — скорость. В этот момент потенциальная энергия равна нулю, и поэтому это решение дает полную энергию системы. Аналогично, когда KE = 0, PE достигает своего максимума.

    Другим распространенным примером SHM является система массы и пружины, что интересно, на эти системы не действует гравитация, масса на пружине, подпрыгивающая вверх и вниз на поверхности Марса, будет иметь тот же период и частоту, и та же система здесь, на Земле. .Это зависит от жесткости пружины (k) и размера массы пружины (m) и определяется как:

    T = 2(Pi) x квадратный корень(m/k)

    в этой системе другие полезные уравнения:

    а = – (к/м)X

    и

    мг = ке

    где; «k» — жесткость пружины, «e» — удлинение, вызванное массой, «m» — масса, а «g» — величина гравитационной силы.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.