Формула период колебаний: Формула периода колебаний пружинного маятника в физике

alexxlab | 14.10.1990 | 0 | Разное

Содержание

Вынужденные колебания — формулы, уравнение, график

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе, называют свободными. Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Какие колебания называются вынужденными?

  • Вынужденные колебания

    – это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели — если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку, такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

  • сама колебательная система
  • источник энергии
  • устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Например, часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.



Характеристики колебаний

Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Формула периода колебаний

T = t/N

T — период [с]

t — время [с]

N — количество колебаний [-]

Кстати, для математического и пружинного маятника есть свои формулы периода:

Формула периода колебания математического маятника


T — период [с]

l — длина нити [м]

g — ускорение свободного падения [м/с^2]

На планете Земля g = 9,8 м/с2

π = 3,14

Формула периода колебания пружинного маятника


T — период [с]

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

π = 3,14

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

ν — частота [Гц]

t — время [с]

T — период [с]

N — количество колебаний [-]

  • Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо xmax.

Она используется в уравнении гармонических колебаний:



Уравнение гармонических колебаний


x — координата в момент времени t [м]

xmax— амплитуда [м]

ν — частота [Гц]

t — момент времени [с]

π = 3,14

В данном уравнении 2πνt является фазой и обозначается греческой буквой φ.

Фаза колебаний

φ = 2πνt

φ — фаза [рад]

xmax— амплитуда [м]

ν — частота [Гц]

t — момент времени [с]

π = 3,14

  • Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

Курсы по физике за 9 класс в онлайн-школе Skysmart помогут разобраться в любой сложной теме.

Выведите формулу для периода колебаний физического маятника

43. Дайте определение и выведите формулу периода колебаний физического маят­ника.

В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Принято различать математический и физический маятники.

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим. При отклонении от положения равновесия на угол возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен:

,

где m – масса маятника, l – расстояние между точкой подвеса

О и центром инерции C маятника. Знак “ – ” имеет тоже значение, что и в случае квазиупругой силы . Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой I, можно написать основной закон динамики:

В случае малых колебаний это уравнение переходит в уже известное нам уравнение незатухающих гармонических колебаний:

,

где через обозначена в данном случае следующая величина:

Из этого уравнения следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания. При этом период колебаний физического маятника определяется выражением:

Проведенное выше рассмотрение имеет место и для математического маятника. В этом случае маятник представляет собой материальную точку, момент инерции которой относительно оси, проходящей через точку подвеса, равен . С учетом этого, получаем формулу для периода колебаний математического маятника:

Для физического маятника вводится понятие приведенной длины . Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника, т.е. .

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (см. точку на рисунке). Можно показать, что при подвешивании маятника в центре качания приведенная длина, а значит, и период колебаний будут теми же, что и вначале. Следовательно, точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания точка подвеса становится новым центром качания.

Получите дифференциальное уравнение затухающих гармонических колебаний.

45. По какому закону изменяется колеблющаяся величина при затухающих гармо­нических колебаниях? Приведите график зависимости

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

43. Дайте определение и выведите формулу периода колебаний физического маят­ника.

В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Принято различать математический и физический маятники.

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим. При отклонении от положения равновесия на угол возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен:

,

где m – масса маятника, l – расстояние между точкой подвеса О и центром инерции C маятника. Знак “ – ” имеет тоже значение, что и в случае квазиупругой силы . Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой I, можно написать основной закон динамики:

В случае малых колебаний это уравнение переходит в уже известное нам уравнение незатухающих гармонических колебаний:

,

где через обозначена в данном случае следующая величина:

Из этого уравнения следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания. При этом период колебаний физического маятника определяется выражением:

Проведенное выше рассмотрение имеет место и для математического маятника. В этом случае маятник представляет собой материальную точку, момент инерции которой относительно оси, проходящей через точку подвеса, равен . С учетом этого, получаем формулу для периода колебаний математического маятника:

Для физического маятника вводится понятие приведенной длины . Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника, т.е. .

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (см. точку на рисунке). Можно показать, что при подвешивании маятника в центре качания приведенная длина, а значит, и период колебаний будут теми же, что и вначале. Следовательно, точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания точка подвеса становится новым центром качания.

Получите дифференциальное уравнение затухающих гармонических колебаний.

45. По какому закону изменяется колеблющаяся величина при затухающих гармо­нических колебаниях? Приведите график зависимости

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Все Формулы по Физике здесь

Давай те выведем формулу для периода физического маятника.

При небольших углах отклонения

физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла

Так как угол маленький, у нас получается, что F равно:

Для вывода закона движения физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения:

Так как момент силы определить в явном виде нельзя. Надо записать дифференциальное уравнение колебаний физического маятника:

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний:

Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:

Тогда период колебаний математического маятника будет равен:

Период пружинного маятника

Период математического маятника

Период крутильного маятника

В Формуле мы использовали :

T — Период физического маятника

J — Момент силы маятника относительно оси вращения

l — Расстояние от оси вращения до центра масс

формула расчета, как найти для физического маятника

Что такое колебательный процесс 

Колебания — это движения или процессы, которые повторяются с определенным интервалом времени.

Систему, совершающую колебания, называют колебательной системой или осциллятором.

Исходя из физической природы, колебательные процессы бывают механического, электромагнитного и других видов.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Свободные или собственные колебания — колебания, которые наблюдают в системе, предоставленной себе после выведения из равновесного состояния.

Вынужденными колебаниями называют колебания, происходящие под действием внешней силы, изменяющейся периодически.

При механических колебаниях, которые относят к категории вынужденных:

\(F=F_{0}\cos \cot\)

Гармоническими колебаниями называют колебания, определяемые физической величиной, которая изменяется, согласно закону синуса или косинуса.

Разные периодические процессы, повторяющиеся в течение равных временных интервалов, могут быть записаны в виде суммы или суперпозиции гармонических колебаний.

Определение периода колебаний, формула

Колебательный процесс можно представить в виде уравнения. Тогда гармоническое колебание значения х будет представлено следующей формулой:

\(x(t)=A\times \cos \left(\omega _{0}t+\phi _{0} \right)\)

Где \(x(t)\) является отклонением колеблющейся физической величины от равновесного значения;

А представляет собой амплитуду гармонических колебаний;

\(\omega _{0}\) равно циклической или круговой частоте колебаний;

\(\phi _{0}\) является начальной фазой колебаний, характерной для момента времени t=0, что можно определить с помощью выбора начала отсчета времени;

\(cp(t)=(co_{0}t+cp_{0})\) описывает фазу колебаний в момент времени t, определяется в радианах, соответствует значению колеблющейся величины в данное время.

В случае, когда имеется какая-либо материальная точка с массой m, характеристика х будет соответствовать смещению тела из равновесного положения. Следует заметить, что амплитуда и частота гармонических колебаний обладают постоянными значениями. Исходя из того, что cos меняет значение в интервале от +1 до -1, параметр х будет изменяться от +А до –А. Так как:

\(\cos \left(\alpha +2\pi \right)=\cos \alpha,\)

то х остается без изменений при фазе колебаний, получающей приращение в $$2\pi$$

Период колебаний Т представляет собой минимальный временной интервал, в течение которого колебательная система возвращается в то состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, определенный произвольно.

В этом случае фаза будет увеличена на \(2\pi:\)

\(\omega _{0}(t+T)+\phi _{0}=\left(\omega _{0}t+\phi _{0} \right)+2\pi\)

Из данного равенства можно вычислить период колебаний:

\(T=\frac{2\pi }{\omega _{0}}\)

Частота колебаний v является величиной, которая обратна периоду колебаний. Это количество полных колебаний, выполняемых за единицу времени:

\(v=\frac{\omega _{0}}{2\pi}\)

 

На графике изображены гармонические колебания, где а — зависимость смещения х от времени /, б — зависимость скорости vx от времени С, в — зависимость ускорения ах от времени t.{2}x(t)=0\)

Таким образом, получается, что формула циклической частоты пружинного маятника имеет следующий вид:

\(\omega =\sqrt{\frac{mgl}{J}}\)

В таком случае для расчета периода колебаний математического маятника будет использоваться формула:

\(T =\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{J}{mgl}}\)

Исходя из расчетов, можно сделать следующие выводы:

  1. Период пружинного маятника \(T =2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)
  2. Период математического маятника \(T =2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\)
  3. Период крутильного маятника \(T =2\pi \sqrt{\frac{I}{K}}\)

В приведенных формулах:

  • T — период физического маятника;
  • J — момент силы маятника относительно оси вращения;
  • l — расстояние от оси вращения до центра масс;
  • m — масса маятника;
  • g=9.8 — ускорение свободного падения.

Примеры решений

Задача № 1

Шариком, привязанным к нити, совершено 60 колебаний в течение 2 минут. Необходимо определить, каковы период и частота колебаний шарика.

Решение

\(T =\frac{t}{N}=\frac{120}{60}=2\)

\(V=\frac{1}{T}=\frac{1}{2}=0.5\)

Ответ: период колебаний маятника равен 2 секундам, а частота составляет 0,5 Гц.

Задача № 2

Согласно изображенного графика зависимости координаты от времени, необходимо рассчитать характеристики колебательного движения тела.

 

Решение

А = 20

Т = 0,8

\(V=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,8}=1,25\)

\(x(t)=A\sin 2\pi Vt=0.2\sin 2\pi \times 1.25t=0.2\sin 2.5\pi t\)

Ответ: амплитуда колебаний маятника составляет 0,2 метра, период колебаний соответствует 0,8 с, частота колебаний равна 1,25 Гц, уравнение координаты будет записано в следующем виде: \(x(t)=0.2\sin 2.5\pi t\)

Задача № 3

Необходимо определить, какой длиной обладает математический маятник, который совершает гармонические колебания при частоте 0,5 Гц на поверхности Луны. Ускорение свободного падения в данном случае составляет 1,6 м/с2.{2}}\approx 0.16\)

Ответ: длина математического маятника примерно составляет 0,16 метра.

Период колебаний математического маятника – формула определения

В Природе очень широко распространены колебательные процессы. Простейшей системой, на которой можно изучать колебания, является маятник. Получим формулу периода колебаний математического маятника.

Математический маятник

Обычный нитяной маятник представляет собой груз, подвешенный на нити, способный совершать колебательные движения после выведения его из состояния равновесия. Для описания движения такого маятника удобно использовать модель, называемую математическим маятником. Математический маятник имеет следующие отличия от реального маятника.

  • Математический маятник, в отличие от реального маятника, не получает и не теряет энергию, трение в математическом маятнике принимается равным нулю.
  • Масса математического маятника представляет собой материальную точку, закрепленную на конце нити. Другой конец неподвижен в принятой Системе Отсчета.
  • Гравитационное поле, в котором маятник совершает колебания, однородно и направлено в сторону от точки закрепления нити к точке равновесия маятника.
  • Нить не имеет веса, и не изменяет свою длину.

Рис. 1. Математический маятник.

Для того, чтобы обычный нитяной маятник хорошо описывался формулами математического маятника, необходимо, чтобы его груз имел малый размер, нить была бы нерастяжимой, и максимальное отклонение маятника было бы намного меньше (более, чем в 10 раз) его длины.

Формула периода колебаний

Для определения формулы периода колебаний математического маятника учтем, что колебания совершаются по некоторой дуге. Радиус этой дуги равен длине нити $l$, угол, на который происходит отклонение, обозначим $α$. Мгновенная скорость материальной точки всегда направлена по касательной к траектории, а значит, для математического маятника мгновенная скорость направлена по касательной к этой дуге. Проекция силы тяжести на нее будет равна:

$$F=-mgsinalpha$$

Ускорение движения материальной точки находится по второму закону Ньютона. После проецирования получаем:

$$a_т={Fover m}$$

После подстановки можно сократить массу, получаем:

$$a_т=-gsinalpha$$

Для малых углов дуги $sinalpha=alpha$ и $s=alpha l$, поэтому:

$$a_т=-{gover {l}}s$$

Ускорение – это вторая производная перемещения. Единственная функция, производная которой пропорциональна самой себе со знаком минус – это круговая функция (синусоида). То есть, решение полученного уравнения:

$$s(t)=S_{max} cos sqrt{gover l}t$$

Рис. 2. График колебаний математического маятника.

Периодом этой функции (а, значит, и периодом колебаний математического маятника) будет величина:

$$T=2pisqrt {lover g}$$

Данная формула была установлена Х. Гюйгенсом.

Отметим, что формула периода колебаний математического маятника очень похожа на формулу колебаний пружинного маятника. Ускорение свободного падения в математическом маятнике соответствует жесткости пружины в пружинном маятнике. Длина маятника соответствует массе груза. Это объясняется тем, что в обоих случаях причиной колебаний является сила, зависящая от отклонения, направленная против него.

Рис. 3. Нитяной и пружинный маятники.

Что мы узнали?

Математический маятник является идеализированной моделью обычного нитяного маятника. Он совершает колебания под действием силы тяжести, проекция которой на вектор мгновенной скорости пропорциональна отклонению. Это обеспечивает возможность свободных колебаний.

Предыдущая

ФизикаПериод и частота колебаний – формула зависимости

Следующая

ФизикаПериод свободных колебаний – формула

Лабораторная работа 112

Лабораторная работа № 112

Физический маятник

Цель работы: Экспериментальное определение ускорения свободного падения методом колебания физического маятника. Определение момента инерции физического маятника.


Приборы и принадлежности:
универсальный маятник ФП-1, секундомер, линейка.


Теоретическое введение

 В теории колебаний физическим маятником называется твердое тело, укрепленное на неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс и способное совершать колебания относительно этой оси (рис.1).


Можно показать, что маятник, отклоненный на малый угол a от положения равновесия, будет совершать гармонические колебания.

 Обозначим через J момент инерции маятника относительно оси О. Пусть точка С является центром масс. Силу тяжести  можно разложить на две составляющие, одна из которых  уравновешивается реакцией оси. Маятник приходит в движение под действием другой составляющей , величина, которой:

 

 

Для малых углов sina » a и выражение (1) запишем:

 

 

Знак минус означает, что сила  направлена в сторону, противоположную отклонению маятника от положения равновесия.

 Основное уравнение динамики вращательного движения для физического маятника запишется:

 

 

Момент силы относительно оси О с учетом (2):

 

 

где l – расстояние от центра масс С до оси О.

 

Угловое ускорение маятника:

 

 

Поставив (4) и (5) в уравнение (3), получим:

 

 

откуда

 

Обозначив

 

получим:

 

 

По структуре уравнение (6) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний с циклической частотой w. Период колебаний физического маятника равен:

 

 

Отсюда момент инерции физического маятника:

 

 

Величина

 

 

называется приведенной длиной физического маятника, равной длине математического маятника, имеющего тот же период колебаний, что и физический, т.е.

 

 

Точка О1, лежащая на прямой, проведенной через точку подвеса О и центр масс С, на расстоянии приведенной длины l0 от оси вращения, называется центром качания маятника (рис.1). Центр качания лежит всегда ниже центра масс. Точка подвеса О и центр качания О1 сопряжены друг с другом, т.е. перенос точки подвеса в центр качания не меняет периода колебания маятника. Точка подвеса и центр качания обратимы, а расстояние между этими точками представляет собой приведенную длину l0 одного из типов физического маятника, так называемого оборотного маятника.

 Обозначим через J0 момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс. На основании теоремы Штейнера момент инерции J относительно любой оси, параллельной первой:

 

 

где m – масса маятника, l – расстояние между осями.

 Тогда при подвешивании маятника за точку подвеса О период колебаний:

 

 

а при подвешивании за центр качания О1, когда маятник находится в перевернутом положении, период:

 

 

где l2 и l1 – расстояние между центром масс и соответствующими осями колебаний.

Из уравнений (9) и (10):

 

 

откуда:

 

 

Формула (11) остается справедливой при колебаниях маятника относительно двух произвольных осей О и О/, не обязательно сопряженных, но расположенных по разные стороны от центра масс маятника.

 

Описание рабочей установки и метода измерений.

 Для определения ускорения свободного падения применяется прибор ФП-1 (рис.2),


состоящий из настенного кронштейна 1, на котором смонтированы подушки 2 опорных призм и физического маятника представляющего собой однородный металлический стержень 11, на котором крепятся чечевицы 5 и 9. Чечевица 9 закреплена жестко и является неподвижной. Чечевица 5, находящаяся на конце стержня, может перемещаться по шкале 3 с нониусом 4 и фиксируется в нужном положении винтом 6. Маятник можно подвешивать на опорные призмы 7 и 10. В комплект прибора входит специальная подставка для определения положения центра масс маятника. Перемещением чечевицы 5 можно добиться равенства периодов колебаний маятника при подвесе его на опорные призмы 7 и 10, и тогда оси колебаний становятся сопряженными, расстояние между опорными призмами становится равным приведенной длине физического маятника.

 Величина ускорения свободного падения определяется на основе формулы (11). Эксперимент сводится к измерению величин Т1, Т2, l1, l2. Формула (8) является исходной для определения момента инерции физического маятника.

 

Ход работы

1)      Определение ускорения свободного падения.

1.      Подвесить маятник на опорную призму 7, отклоняют на небольшой угол и измеряют секундомером время t1 30-50 полных колебаний. Опыт повторяют не менее 5 раз и находят среднее значение времени <t1> выбранного числа колебаний.

2.      Определяют период колебания:

где n – число колебаний.

3.      Для нахождения положения центра масс маятника снять его с подушек опорных призм и балансировать на горизонтальном ребре призмы, укрепленном на столе до тех пор, пока моменты сил тяжести, действующие на правую и левую часть маятника окажутся равными. В случае равновесия центр масс маятника будет расположен в стержне против точки опоры. Не снимая маятник с ребра призмы, линейкой измеряют расстояние l1 между опорой 7 и центром масс.

4.      Перевернув маятник, подвешивают его на опорную призму 10. Выбрать то же число колебаний n и, повторить опыт не менее 5 раз, находят период колебания:

При этом измеренные значения периодов Т1 и Т2 должны отличаться не более чем на 5%

5.      Найти  расстояние l2 между ребром опорной призмы 10 и центром масс: l2 = l0l1, где l0 – расстояние между ребрами опорных призм 7 и 10 (для данного маятника l0=0,730м).

6.      Вычисляют среднее значение <g> по формуле (11)

7.      Оценивают абсолютную погрешность результата, исходя из табличного значения искомой величины gтабл для широты г. Братска. Найти относительную погрешность.

8.      Результаты измерений и вычислений заносят в таблицу 1.

 

Таблица 1

п

t1

<t1>

T1

t2

<t2>

T2

l1

l2

g

Dg

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Определение момента инерции физического маятника.

1.      Найти среднее значение момента инерции физического маятника J относительно оси колебаний по формуле (8). Для колебаний маятника, подвешенного на опору 10, Т =Т2 и l = l2. Масса маятника    m = 10,65кг.

2.      Методом расчета погрешностей косвенных измерений найти абсолютную погрешность результата DJ.

3.      Данные результатов измерений и вычислений заносят в таблицу 2.

 

Таблица 2

т

l

T

J

DJ

E

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы для допуска к работе

1.      Какова цель работы?

2.      Что называется физическим маятником? Какой маятник называется оборотным?

3.      Запишите формулу периода колебаний физического маятника и поясните физический смысл величин, входящих в нее. При каких условиях справедлива эта формула?

4.      Опишите рабочую установку и ход эксперимента.

5.      Оцените погрешность метода измерения момента инерции физического маятника.

 

Вопросы для защиты работы

1.      Выведите формулу для периода колебаний физического маятника.

2.      Получите дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника, приведите его решение.

3.      Что называется приведенной длиной физического маятника?

4.      Сформулируйте теорему Штейнера.

5.      Выведите рабочую формулу:

для определения ускорения свободного падения;

для определения момента инерции физического маятника.

6.      Получите дифференциальным методом формулу для расчета относительной погрешности DJ/J и укажите пути повышения точности результата эксперимента.

Период колебаний пример. Период колебаний

Определение

Период – это минимальное время, за которое совершается одно полное колебательное движение.

Обозначают период буквой $T$.

где $\Delta t$ – время колебаний; $N$ – число полных колебаний.

Уравнение колебаний пружинного маятника

Рассмотрим простейшую колебательную систему, в которой можно реализовать механические колебания. Это груз массы $m$, подвешенный на пружине, коэффициент упругости которой равен $k\ $(рис.1). Рассмотри вертикальное движение груза, которое обусловлено действием силы тяжести и силы упругости пружины.2_0=\frac{k}{m}$ – циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (7) (это проверяется непосредственной подстановкой) является функция:

где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ – амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi)$ – фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ – начальные фазы колебаний.

Формулы периода колебаний пружинного маятника

Мы получили, что колебания пружинного маятника описывается функцией косинус или синус. Это периодические функции, значит, смещение $x$ будет принимать равные значения через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют периодом колебаний. Обозначают период буквой T.

Еще одной величиной, характеризующей колебания является величина обратная периоду колебаний, ее называют частотой ($\nu $):

Период связан с циклической частотой колебаний как:

Выше мы получали для пружинного маятника ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, следовательно, период колебаний пружинного маятника равен:

Формула периода колебаний пружинного маятника (11) показывает, что $T$ зависит от массы груза, прикрепленного к пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Данное свойство колебаний называют изохронностью. Изохронность выполняется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, появляется зависимость колебаний от амплитуды. Подчеркнем, что формула (11) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедлива при малых колебаниях.

Примеры задач на период колебаний

Пример 1

Задание. Пружинный маятник совершил 50 полных колебаний за время равное 10 с. Каков период колебаний маятника? Чему равна частота этих колебаний?

Решение. Так как период – это минимальное время необходимое маятнику для совершения одного полного колебания, то найдем его как:

Вычислим период:

Частота – величина обратная периоду, следовательно:

\[\nu =\frac{1}{T}\left(1.2\right).\]

Вычислим частоту колебаний:

\[\nu =\frac{1}{0,2}=5\ \left(Гц\right).\]

Ответ. $1)\ T=0,2$ с; 2) 5Гц

Пример 2

Задание. Две пружины, имеющие коэффициенты упругости $k_1$ и $k_2$ соединены параллельно (рис.2), к системе присоединен груз массы $M$. Каков период колебаний полученного пружинного маятника, если массами пружин можно пренебречь, сила упругости, действующая на груз, подчиняется закону Гука?

Решение. Воспользуемся формулой для вычисления периода колебаний пружинного маятника:

При параллельном соединении пружин результирующая жесткость системы находится как:

Это означают, что вместо $k$ в формулу для вычисления периода пружинного маятника подставим правую часть выражения (2.2), имеем:

Ответ. $T=2\pi \sqrt{\frac{M}{k_1{+k}_2}}$

Время, в течение которого совершается одно полное изме­нение ЭДС, то есть один цикл колебания или один полный оборот радиуса-вектора, называется периодом колебания пере­менного тока (рисунок 1).

Рисунок 1. Период и амплитуда синусоидального колебания. Период – время одного колебания; Аплитуда – его наибольшее мгновенное значение.

Период выражают в секундах и обозначают буквой Т .

Так же используются более мелкие единицы измерения периода это миллисекунда (мс)- одна тысячная секунды и микросекунда (мкс)- одна миллионная секунды.

1 мс =0,001сек =10 -3 сек.

1 мкс=0,001 мс = 0,000001сек =10 -6 сек.

1000 мкс = 1 мс.

Число полных изменений ЭДС или число оборотов ради­уса-вектора, то есть иначе говоря, число полных циклов колеба­ний, совершаемых переменным током в течение одной секунды, называется частотой колебаний переменного тока .

Частота обо­значается буквой f и выражается в периодах в секунду или в герцах.

Одна тысяча герц называется килогерцом (кГц), а миллион герц – мегагерцом (МГц). Существует так же единица гигагерц (ГГц) равная одной тысячи мегагерц.

1000 Гц = 10 3 Гц = 1 кГц;

1000 000 Гц = 10 6 Гц = 1000 кГц = 1 МГц;

1000 000 000 Гц = 10 9 Гц = 1000 000 кГц = 1000 МГц = 1 ГГц;

Чем быстрее происходит изменение ЭДС, то есть чем бы­стрее вращается радиус-вектор, тем меньше период колебания Чем быстрее вращается радиус-вектор, тем выше частота. Таким образом, частота и период переменного тока являются величинами, обратно пропорциональными друг другу. Чем больше одна из них, тем меньше другая.

Математическая связь между периодом и частотой переменного тока и напряжения выра­жается формулами

Например, если частота тока равна 50 Гц, то период будет равен:

Т = 1/f = 1/50 = 0,02 сек.

И наоборот, если известно, что период тока равен 0,02 сек, (T=0,02 сек.), то частота будет равна:

f = 1/T=1/0,02 = 100/2 = 50 Гц

Частота переменного тока, используемого для освещения и промышленных целей, как раз и равна 50 Гц.

Частоты от 20 до 20 000 Гц называются звуковыми часто­тами. Токи в антеннах радиостанций колеблются с частотами до 1 500 000 000 Гц или, иначе говоря, до 1 500 МГц или 1,5 ГГц. Такие вы­сокие частоты называются радиочастотами или колебаниями высокой частоты.

Наконец, токи в антеннах радиолокационных станций, станций спутниковой связи, других спецсистем (например ГЛАНАСС, GPS) колеблются с частотами до 40 000 МГц (40 ГГц) и выше.

Амплитуда переменного тока

Наибольшее значение, которого достигает ЭДС или сила тока за один период, называется амплитудой ЭДС или силы переменного тока . Легко заметить, что амплитуда в масштабе равна длине радиуса-вектора. Амплитуды тока, ЭДС и напряжения обозначаются соответственно бук­вами Im, Em и Um (рисунок 1).

Угловая (циклическая) частота переменного тока.

Скорость вращения радиуса-вектора, т. е. изменение ве­личины угла поворота в течение одной секунды, называется угловой (циклической) частотой переменного тока и обозначается греческой буквой ? (оме­га). Угол поворота радиуса-вектора в любой данный момент относительно его начального положения измеряется обычно не в градусах, а в особых единицах – радианах.

Радианом называется угловая величина дуги окружности, длина которой равна радиусу этой окружности (рисунок 2). Вся окружность, составляющая 360°, равна 6,28 радиан, то есть 2.

Рисунок 2.

1рад = 360°/2

Следовательно, конец радиуса-вектора в течение одного периода пробегают путь, равный 6,28 радиан (2). Так как в тече­ние одной секунды радиус-вектор совершает число оборотов, равное частоте переменного тока f , то за одну секунду его ко­нец пробегает путь, равный 6,28 * f радиан. Это выражение, характеризующее скорость вращения радиуса-вектора, и будет угловой частотой переменного тока – ? .

? = 6,28*f = 2f

Угол поворота радиуса-вектора в любое данное мгновение относительно его начального положения называется фазой переменного тока . Фаза характеризует величину ЭДС (или тока) в данное мгновение или, как говорят, мгновенное значение ЭДС, ее направление в цепи и направление ее изменения; фаза пока­зывает, убывает ли ЭДС или возрастает.

Рисунок 3.

Полный оборот радиуса-вектора равен 360°. С началом но­вого оборота радиуса-вектора изменение ЭДС происходит в том же порядке, что и в течение первого оборота. Следова­тельно, все фазы ЭДС будут повторяться в прежнем поряд­ке. Например, фаза ЭДС при повороте радиуса-вектора на угол в 370° будет такой же, как и при повороте на 10°. В обо­их этих случаях радиус-вектор занимает одинаковое положе­ние, и, следовательно, мгновенные значения ЭДС будут в обоих этих случаях одинаковыми по фазе.

Так и к ангармоническим строго периодическими колебаниям (а приближенно – с тем или иным успехом – и непериодическим колебаниям, по крайней мере к близким к периодичности).

В случае, когда речь идет о колебаниях гармонического осциллятора с затуханием , под периодом понимается период его осциллирующей составляющей (игнорируя затухание), который совпадает с удвоенным временным промежутком между ближайшими прохождениями колеблющейся величины через ноль. В принципе, это определение может быть с большей или меньшей точностью и пользой распространено в некотором обобщении и на затухающие колебания с другими свойствами.

Обозначения: обычное стандартное обозначение периода колебаний: T {\displaystyle T} (хотя могут применяться и другие, наиболее часто это τ {\displaystyle \tau } , иногда Θ {\displaystyle \Theta } и т. д.).

T = 1 ν , ν = 1 T . {\displaystyle T={\frac {1}{\nu }},\ \ \ \nu ={\frac {1}{T}}.}

Для волновых процессов период связан кроме того очевидным образом с длиной волны λ {\displaystyle \lambda }

v = λ ν , T = λ v , {\displaystyle v=\lambda \nu ,\ \ \ T={\frac {\lambda }{v}},}

где v {\displaystyle v} – скорость распространения волны (точнее – фазовая скорость).

В квантовой физике период колебаний прямо связан с энергией (поскольку в квантовой физике энергия объекта – например, частицы – есть частота колебаний его волновой функции).

Теоретическое нахождение периода колебаний той или иной физической системы сводится, как правило, к нахождению решения динамических уравнений (уравнения), описывающего эту систему. Для категории линейных систем (а приближенно – и для линеаризуемых систем в линейном приближении, которое зачастую является очень хорошим) существуют стандартные сравнительно простые математические методы, позволяющие это сделать (если известны сами физические уравнения, описывающие систему).

Для экспериментального определения периода используются часы , секундомеры , частотомеры , стробоскопы , строботахометры, осциллографы . Также применяются биения, метод гетеродинирования в разных видах, используется принцип резонанса . Для волн можно померить период косвенно – через длину волны, для чего применяются интерферометры , дифракционные решетки итп. Иногда требуются и изощренные методы, специально разработанные для конкретного трудного случая (трудность могут представлять как само измерение времени, особенно если речь идет о предельно малых или наоборот очень больших временах, так и трудности наблюдения колеблющейся величины).

Энциклопедичный YouTube

  • 1 / 5

    Представление о периодах колебаний различных физических процессов дает статья Частотные интервалы (учитывая то, что период в секундах есть обратная величина частоты в герцах).

    Некоторое представление о величинах периодов различных физических процессов также может дать шкала частот элетромагнитных колебаний (см. Электромагнитный спектр) .

    Периоды колебаний слышимого человеком звука находятся в диапазоне

    От 5·10 −5 до 0,2

    (четкие границы его несколько условны).

    Периоды электромагнитных колебаний, соответствующих разным цветам видимого света – в диапазоне

    От 1,1·10 −15 до 2,3·10 −15 .

    Поскольку при экстремально больших и экстремально маленьких периодах колебаний методы измерения имеют тенденцию становятся всё более косвенными (вплоть до плавного перетекания в теоретические экстраполяции), трудно назвать четкую верхнюю и нижнюю границы для периода колебаний, измеренного непосредственно. Какую-то оценку для верхней границы может дать время существования современной науки (сотни лет), а для нижней – период колебаний волновой функции самой тяжелой из известных сейчас частиц ().

    В любом случае границей снизу может служить планковское время , которое столь мало, что по современным представлениям не только вряд ли может быть вообще как-то физически измерено , но и вряд ли в более-менее обозримом будущем представляется возможность приблизиться к измерению величин даже намного порядков больших, а границей сверху – время существования Вселенной – более десяти миллиардов лет.

    Периоды колебаний простейших физических систем

    Пружинный маятник

    Математический маятник

    T = 2 π l g {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}

    где l {\displaystyle l} – длина подвеса (к примеру, нити), g {\displaystyle g} – ускорение свободного падения .

    Период малых колебаний (на Земле) математического маятника длиной 1 метр с хорошей точностью равен 2 секундам.

    Физический маятник

    T = 2 π J m g l {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {J}{mgl}}}}

    где J {\displaystyle J} – момент инерции маятника относительно оси вращения, m {\displaystyle m} –

    Многообразие колебательных процессов, которые окружают нас, так значительно, что просто удивляешься – а есть что-нибудь, что не колеблется? Вряд ли, ведь даже совершенно неподвижный предмет, скажем камень, который тысячи лет лежит неподвижно, все равно совершает колебательные процессы – он периодически нагревается днем, увеличиваясь, а ночью остывает и уменьшается в размерах. И самый близкий пример – деревья и ветви – неутомимо колеблются всю свою жизнь. Но то – камень, дерево. А если точно так же колеблется от напора ветра 100 этажное здание? Известно, например, что верхушка отклоняется туда-сюда на 5-12 метров, ну чем не маятник высотой 500 м. А насколько увеличивается в размерах подобное сооружение от перепадов температур? Сюда же можно причислить и вибрации корпусов машин и механизмов. Только подумайте, самолет, в котором вы летите, непрерывно колеблется. Не передумали летать? Не стоит, потому что колебания – это сущность окружающего нас мира, от них нельзя избавиться – их можно только учитывать и применять “пользы ради”.

    Как водится, изучение самых сложных областей знания (а простыми они не бывают) начинается со знакомства с простейшими моделями. И нет более простой и понятной для восприятия модели колебательного процесса, чем маятник. Именно здесь, в кабинете физики, мы впервые слышим такую загадочную фразу – “период колебаний математического маятника”. Маятник – это нить и груз. И что ж это за такой особенный маятник – математический? А все очень просто, для этого маятника предполагается, что его нить не имеет веса, нерастяжима, а колеблется под действием Дело в том, что обычно, рассматривая некий процесс, например, колебания, нельзя абсолютно полностью учесть физические характеристики, например, вес, упругость и т.д. всех участников эксперимента. В то же время влияние некоторых из них на процесс пренебрежительно мало. Например, априори понятно, что вес и упругость нити маятника при определенных условиях не оказывают заметного влияния на период колебаний математического маятника, как ничтожно малые, поэтому их влияние исключают из рассмотрения.

    Определение маятника, едва ли не самое простое из известных, звучит так: период – это время, за которое совершается одно полное колебание. Давайте сделаем метку в одной из крайних точек движения груза. Теперь каждый раз, когда точка закрывается, делаем отсчет количества полных колебаний и засекаем время, скажем, 100 колебаний. Определить длительность одного периода совсем несложно. Проделаем этот эксперимент для колеблющегося в одной плоскости маятника в следующих случаях:

    Разная начальная амплитуда;

    Разная масса груза.

    Мы получим потрясающий на первый взгляд результат: во всех случаях период колебаний математического маятника остается неизменным. Иными словами, начальная амплитуда и масса материальной точки на длительность периода влияния не оказывают. Для дальнейшего изложения есть только одно неудобство – т.к. высота груза при движении меняется, то и возвращающая сила по траектории переменная, что неудобно для расчетов. Слегка схитрим – качнем маятник еще и в поперечном направлении – он начнет описывать конусообразную поверхность, период Т его вращения останется прежним, скорость V – постоянная, по которой движется груз S = 2πr, а возвращающая сила направлена по радиусу.

    Тогда вычислим период колебаний математического маятника:

    Т = S/V = 2πr/v

    Если длина нити l значительно больше размеров груза (хотя бы в 15-20 раз), и угол наклона нити небольшой (малые амплитуды), то можно считать, что возвращающая сила P равна центростремительной силе F:
    Р = F = m*V*V/r

    С другой стороны, момент возвращающей силы и груза равны, и тогда

    P * l = r *(m*g), откуда получаем, если учесть, что P = F, следующее равенство: r * m * g/l = m*v*v/r

    Совсем нетрудно найти скорость маятника: v = r*√g/l.

    А теперь вспоминаем самое первое выражение для периода и подставляем значение скорости:

    Т=2πr/ r*√g/l

    После тривиальных преобразований формула периода колебаний математического маятника в окончательном виде выглядит так:

    Т = 2 π √ l/g

    Теперь уже ранее экспериментально полученные результаты независимости периода колебаний от массы груза и амплитуды получили свое подтверждение в аналитическом виде и совсем не кажутся такими “потрясающими”, как говорится, что и требовалось доказать.

    Кроме всего прочего, рассматривая последнее выражение для периода колебания математического маятника, можно видеть прекрасную возможность для измерения ускорения силы тяжести. Для этого достаточно собрать некий эталонный маятник в любой точке Земли и провести измерение периода его колебаний. Вот так, совсем неожиданно, простенький и незамысловатый маятник подарил нам великолепную возможность исследования распределения плотности земной коры, вплоть до поиска залежей земных ископаемых. Но это уже совсем другая история.

    Колебательным называется любое периодически повторяющееся движение. Поэтому зависимости координаты и скорости тела от времени при колебаниях описываются периодическими функциями времени. В школьном курсе физики рассматриваются такие колебания, в которых зависимости и скорости тела представляют собой тригонометрические функции , или их комбинацию, где – некоторое число. Такие колебания на-зываются гармоническими (функции и часто называют гармоническими функциями). Для решения задач на колебания, входящих в программу единого государственного экзамена по физике, нужно знать определения основных характеристик колебательного движения: амплитуды, периода, частоты, круговой (или циклической) частоты и фазы колебаний. Дадим эти определения и свяжем перечисленные величины с параметрами зависимости координаты тела от времени , которая в случае гармонических колебаний всегда может быть представлена в виде

    где , и – некоторые числа.

    Амплитудой колебаний называется максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. Поскольку максимальное и минимальное значение косинуса в (11.1) равно ±1, то амплитуда колебаний тела, совершающего колебания (11.1), равна величине . Период колебаний – это минимальное время, через которое движение тела повторяется. Для зависимости (11.1) период можно установить из следующих соображений. Косинус – периодическая функция с периодом . Поэтому движение полностью повторяется через такое значение , что . Отсюда получаем

    Круговой (или циклической) частотой колебаний называется число колебаний, совершаемых за единиц времени. Из формулы (11.3) заключаем, что круговой частотой является величина из формулы (11.1).

    Фазой колебаний называется аргумент тригонометрической функции, описывающей зависимость координаты от времени. Из формулы (11.1) видим, что фаза колебаний тела, движение которого описывается зависимостью (11.1), равна . Значение фазы колебаний в момент времени = 0 называется начальной фазой. Для зависимости (11.1) начальная фаза колебаний равна величине . Очевидно, начальная фаза колебаний зависит от выбора начала отсчета времени (момента = 0), которое всегда является условным. Изменением начала отсчета времени начальная фаза колебаний всегда может быть «сделана» равной нулю, а синус в формуле (11.1) «превращен» в косинус или наоборот.

    В программу единого государственного экзамена входит также знание формул для частоты колебаний пружинного и математического маятников. Пружинным маятником принято называть тело, которое может совершать колебания на гладкой горизонтальной поверхности под действием пружины, второй конец которой закреплен (левый рисунок). Математическим маятником называется массивное тело, размерами которого можно пренебречь, совершающее колебания на длинной, невесомой и нерастяжимой нити (правый рисунок). Название этой системы – «математический маятник» связано с тем, что она представляет собой абстрактную математическую модель реального (физического ) маятника. Необходимо помнить формулы для периода (или частоты) колебаний пружинного и математического маятников. Для пружинного маятника

    где – длина нити, – ускорение свободного падения. Рассмотрим применение этих определений и законов на примере решения задач.

    Чтобы найти циклическую частоту колебаний груза в задаче 11.1.1 найдем сначала период колебаний, а затем воспользуемся формулой (11.2). Поскольку 10 м 28 с – это 628 с, и за это время груз совершает 100 колебаний, период колебаний груза равен 6,28 с. Поэтому циклическая частота колебаний равна 1 c -1 (ответ 2 ). В задаче 11.1.2 груз за 600 с совершил 60 колебаний, поэтому частота колебаний – 0,1 с -1 (ответ 1 ).

    Чтобы понять, какой путь пройдет груз за 2,5 периода (задача 11.1.3 ), проследим за его движением. Через период груз вернется назад в точку максимального отклонения, совершив полное колебание. Поэтому за это время груз пройдет расстояние, равное четырем амплитудам: до положения равновесия – одна амплитуда, от положения равновесия до точки максимального отклонения в другую сторону – вторая, назад в положение равновесия – третья, из положения равновесия в начальную точку – четвертая. За второй период груз снова пройдет четыре амплитуды, а за оставшиеся половину периода – две амплитуды. Поэтому пройденный путь равен десяти амплитудам (ответ 4 ).

    Величина перемещения тела – расстояние от начальной точки до конечной. За 2,5 периода в задаче 11.1.4 тело успеет совершить два полных и половину полного колебания, т.е. окажется на максимальном отклонении, но с другой стороны от положения равновесия. Поэтому величина перемещения равна двум амплитудам (ответ 3 ).

    По определению фаза колебаний – это аргумент тригонометрической функции, которой описывается зависимость координаты колеблющегося тела от времени. Поэтому правильный ответ в задаче 11.1.5 3 .

    Период – это время полного колебания. Это значит, что возвращение тела назад в ту же точку, из которой тело начало движение, еще не означает, что прошел период: тело должно вернуться в ту же точку с той же скоростью. Например, тело, начав колебания из положения равновесия, за период успеет отклониться на максимальную величину в одну сторону, вернуться назад, отклонится на максимум в другую сторону и снова вернуться назад. Поэтому за период тело успеет два раза отклониться на максимальную величину от положения равновесия и вернуться обратно. Следовательно, на прохождение от положения равновесия до точки максимального отклонения (задача 11.1.6 ) тело затрачивает четвертую часть периода (ответ 3 ).

    Гармоническими называются такие колебания, при которых зависимость координаты колеблющегося тела от времени описывается тригонометрической (синус или косинус) функцией времени. В задаче 11.1.7 таковыми являются функции и , несмотря на то, что входящие в них параметры обозначены как 2 и 2 . Функция же – тригонометрическая функция квадрата времени. Поэтому гармоническими являются колебания только величин и (ответ 4 ).

    При гармонических колебаниях скорость тела изменяется по закону , где – амплитуда колебаний скорости (начало отсчета времени выбрано так, чтобы начальная фаза колебаний равнялась бы нулю). Отсюда находим зависимость кинетической энергии тела от времени
    (задача 11.1.8 ). Используя далее известную тригонометрическую формулу, получаем

    Из этой формулы следует, что кинетическая энергия тела изменяется при гармонических колебаниях также по гармоническому закону, но с удвоенной частотой (ответ 2 ).

    За соотношением между кинетической энергий груза и потенциальной энергией пружины (задача 11.1.9 ) легко проследить из следующих соображений. Когда тело отклонено на максимальную величину от положения равновесия, скорость тела равна нулю, и, следовательно, потенциальная энергия пружины больше кинетической энергии груза. Напротив, когда тело проходит положение равновесия, потенциальная энергия пружины равна нулю, и, следовательно, кинетическая энергия больше потенциальной. Поэтому между прохождением положения равновесия и максимальным отклонением кинетическая и потенциальная энергия один раз сравниваются. А поскольку за период тело четыре раза проходит от положения равновесия до максимального отклонения или обратно, то за период кинетическая энергия груза и потенциальная энергия пружины сравниваются друг с другом четыре раза (ответ 2 ).

    Амплитуду колебаний скорости (задача 11.1.10 ) проще всего найти по закону сохранения энергии. В точке максимального отклонения энергия колебательной системы равна потенциальной энергии пружины , где – коэффициент жесткости пружины, – амплитуда колебаний. При прохождении положения равновесия энергия тела равна кинетической энергии , где – масса тела, – скорость тела при прохождении положения равновесия, которая является максимальной скоростью тела в процессе колебаний и, следовательно, представляет собой амплитуду колебаний скорости. Приравнивая эти энергии, находим

    (ответ 4 ).

    Из формулы (11.5) заключаем (задача 11.2.2 ), что от массы математического маятника его период не зависит, а при увеличении длины в 4 раза период колебаний увеличивается в 2 раза (ответ 1 ).

    Часы – это колебательный процесс, который используется для измерения интервалов времени (задача 11.2.3 ). Слова часы «спешат» означают, что период этого процесса меньше того, каким он должен быть. Поэтому для уточнения хода этих часов необходимо увеличить период процесса. Согласно формуле (11.5) для увеличения периода колебаний математического маятника необходимо увеличить его длину (ответ 3 ).

    Чтобы найти амплитуду колебаний в задаче 11.2.4 , необходимо представить зависимость координаты тела от времени в виде одной тригонометрической функции. Для данной в условии функции это можно сделать с помощью введения дополнительного угла. Умножая и деля эту функцию на и используя формулу сложения тригонометрических функций, получим

    где – такой угол, что . Из этой формулы следует, что амплитуда колебаний тела – (ответ 4 ).

Урок 40. Лабораторная работа № 10. Изучение зависимости периода колебаний нитяного маятника от длины нити (отчет)

Лабораторная работа.

Тема: Изучение зависимости периода колебаний нитяного маятника от длины нити. 

Оборудование: штатив с перекладиной и муфтой, нить с петлями на концах, груз с крючком, линейка, электронный секундомер

Цель работы: состоит в экспериментальной проверке формулы, связывающей пе­риод колебаний маятника с длиной его подвеса.

Основные сведения

Рассмотрим колебания нитяного маятника, т.е. небольшого тела (например, шарика), подвешенного на нити, длина которой значительно превышает размеры самого тела. Если шарик отклонить от положения равновесия и отпустить, то он начнет колебаться. Сначала маятник движется с нарастающей скоростью вниз. В положении равновесия скорость шарика не равна нулю, и он по инерции движется вверх. По достижении наивысшего положения шарик снова начинает двигаться вниз. Это будут свободные колебания маятника.

Свободные колебанияэто колебания, которые возникают  в системе под действием внутренних сил, после того, как система была выведена из положения устойчивого равновесия.

   Колебательное движение характеризуют амплитудой, периодом и частотой колебаний.

   Амплитуда колебаний – это наибольшее смещение колеблющегося тела от положения равновесия. Обозначается А. Единица измерения – метр [1м].

   Период колебаний – это время, за которое тело совершает одно полное колебание. Обозначается Т. Единица измерения – секунда [1с].

   Частота колебаний – это число колебаний, совершаемых за единицу времени. Обозначается ν. Единица измерения – герц [1Гц].

   Тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити называют математическим маятником.

   Период колебаний математического маятника определяется формулой:  (1), где l – длина подвеса, а gускорение свободного падения.

   Период колебаний математического маятника зависит:

   1) от длины нити. Период колебаний математического маятника пропорционален корню квадратному из длины нити . Т.е., например при уменьшении длины нити в 4 раза, период уменьшается в 2 раза; при уменьшении длины нити в 9 раз, период уменьшается в 3 раза.

   2) от ускорения свободного падения той местности, где происходят колебания. Период колебаний математического маятника обратнопропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения .

   Тело, подвешенное на пружине называют пружинным маятником.

   Период колебаний пружинного маятника определяется формулой  , где m – масса тела, k – жесткость пружины.

 

  Период колебаний пружинного маятника зависит:

   1) от массы тела. Период колебаний пружинного маятника пропорционален корню квадратному из массы тела .

   2) от жесткости пружины. Период колебаний пружинного маятника обратнопропорционален корню квадратному из жесткости пружины.

   В работе мы исследуем колебания математического маятника. Из формулы  следует, что период колебаний изменится вдвое при изменении длины подвеса в четыре раза.

   Это следствие и проверяют в работе. Поочередно испытывают два маятника, длины подвесов которых отличаются в четыре раза. Каждый из маятников приводят в движение и измеряют время, за которое он совершит определённое количество колебаний. Чтобы уменьшить влияние побочных факторов, опыт с каждым маятником проводят несколько раз и находят среднее значение времени, затраченное маятником на совершение заданного числа колебаний. Затем вычисляют периоды маятников и находят их отношение.

Выполнение работы. 

  1. Подготовьте таблицу для записи результатов измерений и вычислений:

l, м

№ опыта

N

t, с

tср, с

Т, с

ν, Гц

l1 =

1

30

 

 

 

 

2

30

 

3

30

 

4

30

 

l2 =

1

30

 

 

 

 

2

30

 

3

30

 

4

30

 

 

   2. Закрепите перекладину в муфте у верхнего края стержня штатива. Штатив разместите на столе так, чтобы конец перекладины выступал за край поверхности стола. Подвесьте к перекладине с помощью нити один груз из набора. Расстояние от точки повеса до центра груза должно быть 25-30 см.

   3. Подготовьте электронный секундомер к работе в ручном режиме.

   4. Отклоните груз на 5-6 см от положения равновесия и замерьте время, за которое груз совершит 30 полных колебаний (при отклонении груза следите, чтобы угол отклонения не был велик).

   5. Повторите измерение 3-4 раза и определите среднее время tср1=(t1+t2+t3+t4)/4

   6. Вычислите период колебания груза с длиной подвеса 25-30 см по формуле .

   7. Увеличьте длину подвеса в четыре раза.

   8. Повторите серию опытов с маятником новой длины и вычислите его период колебаний по формуле . 

   9. Вычислите частоты колебаний для обеих маятников по формулам  и .

   10. Сравните периоды колебаний двух маятников, длины которых отличались в четыре раза, и сделайте вывод относительно справедливости формулы (1). Укажите возможные причины расхождения результатов.

   11. Ответьте на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

   1. Что называют периодом колебаний маятника?

   2. Что называют частотой колебаний маятника? Какова единица частоты колебаний?

   3. От каких величин и как зависит период колебаний математического маятника?

   4. От каких величин и как зависит период колебаний пружинного маятника?

   5. Какие колебания называют собственными?

Какова формула периода колебаний? – JanetPanic.com

Какова формула периода колебаний?

T = 2π
каждое полное колебание, называемое периодом, является постоянным. Формула для периода T маятника: T = 2π Квадратный корень из √L/g, где L — длина маятника, а g — ускорение свободного падения.

Как найти период простого гармонического движения?

Период T и частота f простого гармонического осциллятора определяются как T=2π√mk T = 2 π m k и f=12π√km f = 1 2 π k m , где m — масса системы.

Как написать уравнение для простого гармонического движения?

Для простого гармонического осциллятора цикл движения объекта может быть описан уравнением Acos(2πft)x, левая скобка, t, правая скобка, equals, A, косинус, левая скобка, 2, pi, f, t, правая скобка, где амплитуда не зависит от …

Как найти период, зная колебания и время?

Формула периода T = 2π√m/k дает точное соотношение между временем колебаний T и отношением параметров системы m/k.

Как рассчитать период времени?

Начиная с первого дня менструации, начните отсчет. День перед следующей менструацией — это последний день менструального цикла. Вот когда ты перестанешь считать. Именно столько дней у вас было в менструальном цикле в этом месяце.

Как найти период движения?

Угловая частота зависит только от постоянной силы и массы, но не от амплитуды. Угловая частота определяется как ω = 2 π / T , ω = 2 π / T , что дает уравнение для периода движения: T = 2 π m k .

Что такое период колебаний?

Период – это время, за которое частица совершает одно полное колебание. Частоту колебаний можно получить, взяв обратную величину частоты. …

Какое колебание или колебания являются SHM?

Система может колебаться по-разному, но нас особенно будут интересовать плавные синусоидальные колебания, называемые простым гармоническим движением (SHM). Характеристическое уравнение для SHM представляет собой функцию косинуса.

Когда частица совершает простое гармоническое движение, то ее?

Когда частица совершает простое гармоническое движение, то ее скорость и ускорение постоянно меняются. Итак, при изменении положения (т. е. смещения) скорость и ускорение непрерывно изменяются.

16.3 Простое гармоническое движение: особое периодическое движение

Связь между простым гармоническим движением и волнами

Если сделать фотографию подпрыгивающей машины с временной выдержкой, когда она проезжает мимо, фара сделает волнообразную полосу, как показано на рисунке 16.10. Точно так же на рис. 16.11 показан объект, подпрыгивающий на пружине, оставляющий волнообразный след своего положения на движущейся полоске бумаги. Обе волны являются синусоидальными функциями. Все простые гармонические движения тесно связаны с синусоидальными и косинусоидальными волнами.

Рис. 16.10 Подпрыгивающая машина совершает волнообразное движение. Если возвращающую силу в подвесной системе можно описать только законом Гука, то волна является синусоидальной функцией. Волна — это след, создаваемый фарой, когда автомобиль движется вправо.

Рис. 16.11 Вертикальное положение объекта, подпрыгивающего на пружине, записывается на полоске движущейся бумаги, оставляя синусоиду.

Перемещение как функция времени t при любом простом гармоническом движении, то есть таком, при котором результирующая восстанавливающая сила может быть описана законом Гука, определяется как

16,20 xt=Xcos2πtT,xt=Xcos2πtT, размер 12 {x слева (t справа) = X “cos” { {2π`t} над {T} } } {}

, где размер XX 12{X} {} — амплитуда. При t=0t=0 size 12{t=0} {} начальное положение x0=Xx0=X size 12{x rSub { size 8{0} } =X} {}, и смещение колеблется взад и вперед с периодом ТТ . (Когда t=Tt=T, мы снова получаем размер x=Xx=X 12{x=X} {}, потому что cos2π=1cos2π=1.). Кроме того, из этого выражения для xx size 12{x} {} скорость vv size 12{v} {} как функция времени определяется выражением

16,21 v(t)=−vmaxsin2πtT,v(t) =-vmaxsin2πtT, size 12{v \( t \) = – v rSub { size 8{“max”} } “sin” left ( {{2π`t} over {T} } right )} {}

, где vmax =2πX/T=Xk/mvmax=2πX/T=Xk/m size 12{v rSub { size 8{“max”} } =2πX/T=X sqrt {k/m} } {}. Объект имеет нулевую скорость при максимальном смещении, например, v=0v=0 размер 12{v=0} {}, когда t=0t=0 размер 12{t=0} {}, и в этот момент x=Xx= Размер X 12{x=X} {}.Знак минус в первом уравнении для v(t)v(t) size 12{v \( t \) } {} указывает правильное направление скорости. Сразу после начала движения, например, скорость отрицательна, потому что система движется обратно к точке равновесия. Наконец, мы можем получить выражение для ускорения, используя второй закон Ньютона. [Тогда мы имеем x(t), v(t), t,x(t), v(t), t, размер 12{x \(t\),v\(t\),t} {} и a(t)a(t) size 12{a \( t \) } {}, количества, необходимые для кинематики и описания простого гармонического движения.] Согласно второму закону Ньютона ускорение равно a=F/m=kx/ma=F/m=kx/m size 12{a=F/m= ital “kx”/m} {} . Итак, a(t)a(t) size 12{a \( t \) } {} также является функцией косинуса:

16,22 a(t)=−kXm cos 2πtT.a(t)=−kXm cos 2πtT . size 12{a \( t \) = – { { ital “kX”} над {m} } ” cos ” { {2π t} над {T} } } {}

Следовательно, a(t)a(t) размер 12{a \( t \) } {} прямо пропорционален x(t)x(t) и в обратном направлении.

На рис. 16.12 показано простое гармоническое движение тела на пружине и представлены графики x(t), v(t), x(t), v(t), размера 12{x \( t \) ,v \( t \) `} {} и a(t)a(t) size 12{`a \( t \) } {} в зависимости от времени.

Рис. 16.12 Графики x(t),v(t),x(t),v(t), размера 12{x \(t\),v \(t\) `} {} и a(t)a (t) размер 12{`a \( t \)} {} по сравнению с размером tt 12{t} {} для движения объекта на пружине. Суммарная сила, действующая на объект, может быть описана законом Гука, поэтому объект совершает простое гармоническое движение. Обратите внимание, что исходное положение имеет вертикальное смещение при максимальном значении размера XX 12{X} {}; vv size 12{v} {} изначально равен нулю, а затем становится отрицательным по мере движения объекта вниз; и начальное ускорение отрицательное, возвращается к положению равновесия и становится равным нулю в этой точке.

Наиболее важным моментом здесь является то, что эти уравнения математически просты и справедливы для всех простых гармонических движений. Они очень полезны для визуализации волн, связанных с простым гармоническим движением, включая визуализацию того, как волны складываются друг с другом.

Проверьте свое понимание

Предположим, вы дергаете струну банджо. Вы слышите одну ноту, которая начинается громко и постепенно затихает. Опишите, что происходит со звуковыми волнами с точки зрения периода, частоты и амплитуды по мере уменьшения громкости звука.

Решение

Частота и период остаются практически неизменными. С уменьшением громкости уменьшается только амплитуда.

Проверьте свое понимание

Няня качает ребенка на качелях. В точке, где колебание достигает xx размера 12{x} {}, где будет располагаться соответствующая точка на волне этого движения?

Решение

xx размер 12{x} {} – максимальная деформация, которая соответствует амплитуде волны.Точка на волне будет либо в самом верху, либо в самом низу кривой.

уравнений для простого маятника Рона Куртуса

SfC Главная > Физика > Механика >

Рона Куртуса

Уравнения для простого маятника показывают, как найти частоту и период движения.

Простой маятник состоит из точечной массы, подвешенной на нити или проволоке с незначительной массой.Если груз маятника или груз потянуть на относительно небольшой угол от вертикали и отпустить, он будет качаться вперед и назад с постоянным периодом и частотой. Эти требования позволяют уравнениям быть относительно простыми и называются простым гармоническим движением .

Если грузик больше, проволока имеет массу или угол больше, то такой маятник называется физическим маятником со сложными уравнениями движения.

Хотя демпфирующие эффекты от сопротивления воздуха и трения являются фактором, им можно пренебречь для основных уравнений, касающихся частоты или периода маятника.

Возможные вопросы:

  • Каковы факторы и параметры движения маятника?
  • Какие уравнения для частоты и периода?
  • Каковы уравнения для длины струны маятника?

Этот урок ответит на эти вопросы. Полезный инструмент: Преобразование единиц измерения



Факторы и параметры

Основным фактором, включаемым в уравнения для расчета частоты простого маятника, является длина стержня или проволоки при условии, что начальный угол или амплитуда качания малы.Масса или вес боба не влияет на частоту простого маятника, но ускорение под действием силы тяжести является фактором.

Примечание : Это означает, что частота и период будут отличаться на Луне и на Земле.

Зная длину маятника, можно определить его частоту. Или, если вы хотите конкретную частоту, вы можете определить необходимую длину.

Факторы и параметры простого маятника

( См. Демонстрация маятника, чтобы увидеть маятник в движении )

Уравнение периода

Период движения маятника — это время, которое требуется, чтобы раскачиваться туда-сюда, измеряемое в секундах.Уравнение для периода простого маятника, начинающегося под малым углом α (альфа):

Т = 2π√(л/г)

где

  • T период в секундах (с)
  • π — это греческая буква пи и приблизительно равна 3,14
  • .
  • — это квадратный корень из числа, заключенного в скобки
  • .
  • L длина стержня или проволоки в метрах или футах
  • г — ускорение свободного падения (9.8 м/с² или 32 фута/с² на Земле)

Таким образом, если L = 2 метра:

T = 2 * 3,14 * √(2/9,8) = 6,28 * √(0,204) = 6,28 * 0,4517

T = 2,837 секунды или немного округлить до T = 2,8 с.

Частотное уравнение

Частота маятника — это количество колебаний маятника вперед и назад в секунду, измеряемое в герцах.

Частота f является обратной величиной периода T :

f = 1/T

f = 1/[2π√(л/г)]

Уравнение также можно изменить следующим образом:

f = [√(г/л)]/2π

Таким образом, если L = 2 метра,

f = [√(9.8/2)]/2*3,14

f = [√(4,9)]/6,28 = 2,21/6,28 = 0,353 Гц.

Длина провода

Вы можете найти длину стержня или провода для заданной частоты или периода.

Частота

Решите уравнение для L :

f = [√(г/л)]/2π

2πf = √(г/л)

Возведение в квадрат обеих частей уравнения:

2 f 2 = г/л

Решить для L :

L = г/(4π 2 f 2 )

Например, длина маятника с частотой 1 Гц (1 цикл в секунду) равна примерно 0.25 метров.

Период

Аналогично, длина провода за данный период:

Т = 2π√(л/г)

Квадрат с обеих сторон:

T 2 = 4π 2 (л/г)

Решить для L :

L = gT 2 /4π 2

Резюме

Если вес маятника или груз простого маятника потянуть на относительно небольшой угол и отпустить, он будет качаться взад и вперед с постоянной частотой.Эти требования позволяют уравнениям быть относительно простыми и называются простым гармоническим движением .

Если демпфирующие эффекты от сопротивления воздуха и трения пренебрежимо малы, можно рассчитать уравнения, касающиеся частоты и периода колебаний маятника, а также длины струны.

Уравнение периода: T = 2π√(л/г)

Частотное уравнение: f = [√(г/л)]/2π

Уравнения длины:

Почувствуйте себя хорошо, делая все возможное


Ресурсы и ссылки

Полномочия Рона Куртуса

веб-сайтов

Как работают маятниковые часы – От Как работают разные вещи

Ресурсы по физике

Книги

(Примечание: Школа чемпионов может получать комиссионные за покупку книг)

Лучшие книги о маятниках

Лучшие книги по периодическому движению

Лучшие книги по физике движения


Поделиться этой страницей

Нажмите кнопку, чтобы добавить эту страницу в закладки или поделиться ею через Twitter, Facebook, электронную почту или другие службы:


Студенты и исследователи

Веб-адрес этой страницы:
www.school-for-champions.com/science/
pendulum_equations.htm

Разместите его в качестве ссылки на своем веб-сайте или в качестве ссылки в своем отчете, документе или диссертации.

Copyright © Ограничения


Где ты сейчас?

Школа Чемпионов

Темы по физике

Уравнения для простого маятника

Как найти период колебаний пружины? – идвотер.ком

Как найти период колебаний пружины?

Период массы m на пружине жесткости k можно рассчитать как T=2π√mk T = 2 π m k .

Какова формула для периода колебаний?

T = 2π√m/k
Формула периода T = 2π√m/k дает точное соотношение между временем колебаний T и отношением параметров системы m/k.

Как масса связана с периодом колебаний?

Период системы пружины-массы пропорционален квадратному корню из массы и обратно пропорционален квадратному корню из постоянной пружины.

Каков период колебаний?

период: время, необходимое для совершения одного колебания. периодическое движение: движение, которое повторяется через равные промежутки времени. частота: количество событий в единицу времени.

Каков период колебаний простого маятника?

Период колебаний простого маятника равен $T=2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}$. Измеренное значение L составляет 10 см с точностью до 1 мм, а время для 100 колебаний маятника составляет 50 с с использованием наручных часов с разрешением 1 с.

Каков период кругового движения?

Время одного оборота по окружности называется периодом и обозначается символом T. Таким образом, средняя скорость объекта, движущегося по окружности, определяется выражением 2•pi•R / T. Часто постановка задачи обеспечивает частоту вращения в оборотах в минуту или оборотах в секунду.

Каков период колебательного движения?

Время

простых гармонических движений называется T, периодом колебаний, так что ωT = 2π, или T = 2π/ω.Обратная величина периода или частоты f в колебаниях в секунду определяется как f = 1/T = ω/2π.

Что происходит, когда период пружинной константы удваивается?

Масса m, подвешенная на струне с жесткостью k, совершает простое гармоническое движение с периодом T. Таким образом, если массу удвоить, период увеличится в √2 раз. Массу, подвешенную на пружине, опускают из положения равновесия на расстояние A, а затем отпускают при t = 0,

.

Как рассчитать жесткость пружины?

Постоянная пружины рассчитывается путем деления силы на смещение.Поскольку температура не является частью уравнения, проблемы нет. Жесткость пружины является физическим следствием свойств материала и свойств формы.

Какова формула жесткости пружины?

Постоянная пружины — это сила, необходимая для растяжения или сжатия пружины, деленная на расстояние, на которое пружина становится длиннее или короче. Он используется для определения стабильности или нестабильности пружины и, следовательно, системы, для которой он предназначен. В качестве формулы он перерабатывает закон Гука и выражается уравнением: k = – F/x.

Какова формула весны?

Формула усилия пружины выражается уравнением: F = – kx. Где F — приложенная сила, k — постоянная пружины, измеряющая, насколько жесткая и прочная пружина пропорционально, а x — расстояние, на которое пружина растягивается или сжимается от своего положения равновесия или покоя, обычно в ньютонах на метр (Н/м). ).

Как измерить жесткость пружины?

Жесткость пружины измеряется в единицах, которые представляют собой силу, деленную на длину.В единицах СИ жесткость пружины обычно измеряется в ньютонах/метрах.

Схема — Простое гармоническое движение

Пример простого гармонического движения — масса на конце пружины

Пружина, подчиняющаяся закону Гука, является примером простой гармоники движение. Если вы сместите пружину на максимальную величину x = A, амплитуду, отпустить из состояния покоя (v o = 0), сфотографировать и постройте положение как функцию времени, вы найдете, как показано на рис.3а ниже, что x(t) = A cos (2pt/T), где Т — период — время одного полного колебания.

Для экономии времени я напишу:

x(t) = A cos (2pt/T), так как
x(t) = A cos wt

тогда

v(t) = dx/dt = – wA sin wt,
, как показано на рис. 3b ниже:

Примечание. Максимальное значение v = wA потому что максимальное значение синуса =1.
а(t) = dv/dt = – w 2 (А cos вес), как показано на рис.3c ниже:

Примечание: максимальное значение a = w 2 A потому что максимальное значение косинуса =1.
а(т) = -[ш 2 ] х(т) ( Уравнение 2 )

   В общем,

Fnet =

ма

   Для прикрепленной массы к пружине,

-кх =

мА

   Замена из уравнения 2

-кх = м[-ш 2 ] х

   Таким образом,

(к/м) = w 2

 

Вт = [к/м] 1/2

 

f = (1/2п)[к/м] 1/2

 

Т = (2р) [м/к] 1/2


Использование Рис.3 выше до:

A. Запишите x(t) для этого графика. Сначала найдите A, T, f и w. Из рис. 3а видно, что максимальное значение x или амплитуда А равно 0,20 м. График повторяется через один период = T = 2 с, f = 1/T = 0,5 с -1 и w = 2пф = р с -1 . В общем случае x(t) = A cos wt. Для этого случая x(t) = 0,20 м cos p s -1 t

B. Найдите общее выражение для скорости, примените его к этому случае и сверьтесь с рис.3b, чтобы убедиться, что это правильно. Что максимальное значение скорости для рис. 3б? Найдите х, когда v = -0,1 п м/с. Поскольку х(т) = 0,20 м cos p s -1 t, dx/dt = v(t) = -(0,20p м/с) sin p с -1 т. На рис. 3б мы видим, что v как функция t представляет собой отрицательный синус кривая с максимальным значением 0,2(3,14) м/с. v = -0,1p м/с
= -(0,20p м/с) sin p с -1 т.Или 1/2 = sin p с -1 т. Синус угла равен 1/2, если угол составляет 30 0 или p/6 радиан. Итак, р/6 = р с -1 t или t = 1/6 с. x(1/3 с)
= 0,20 м, потому что p/6 = 0,173 см. Из рис. 3а и 3б видно, что это правильные значения.

C. Найдите общее выражение для ускорения, примените его к этом случае и сверьтесь с рис. 3с, чтобы убедиться, что он правильный.какой максимальное значение ускорения для рис. 3б? Поскольку v(t) = -(0,20p м/с) sin p s -1 t, dv/dt = a(t) =
-(0,20p 2 м/с) cos р с -1 т.р. На рис. 3в мы видим, что v как функция от t представляет собой отрицательную косинусоидальную кривую с максимальным значением 0,2(3,14) 2 м/с 2 примерно
равно 2 м/с 2 .

Д.Примеры задач в 104 Набор задач для простого гармонического движения : 1-6,
   10 и 12-16.

Как рассчитать колебания: Исчерпывающие идеи

Куда бы мы ни посмотрели, повсюду происходят колебания. Даже атомы, из которых мы состоим, тоже в настоящее время колеблются. Итак, в этом посте мы собираемся получить представление о том, как рассчитать колебания.

Нам нужно знать период колебаний для расчета колебаний. И из периода времени мы получим частоту колебаний, приняв ее обратно.Частота колебаний даст нам количество колебаний в единицу времени.

Прежде чем углубиться в то, как рассчитать колебания, мы сначала получим краткое представление о колебаниях, их цикле, периоде времени и частоте.

Физика колебаний:

Колебание — это движение, которое повторяется по величине или положению вокруг своей точки равновесия или центральной точки на одном и том же пути. Например, качающийся маятник, вибрирующая пружина в гитаре и т. д., являются примерами колебаний.

Один цикл колебаний — это одно полное колебание, которое включает возврат в исходную точку и повторение движения. Чтобы завершить этот один цикл, сколько бы времени ни потребовалось, это не что иное, как период времени. Далее, беря обратное , мы будем иметь частоту колебаний, которая считается количеством колебаний за период времени.

Давайте теперь посмотрим, какова формула колебаний.

Какова формула колебаний?

Формула колебаний – это просто частота формулы колебаний.Таким образом, мы можем записать это как

Когда вы думаете о колебаниях, первое, что приходит на ум, это простой гармонический осциллятор. Итак, давайте сначала взглянем на уравнение движения для простого гармонического осциллятора, прежде чем узнаем, как рассчитать колебания.

Уравнение движения для SHM (Simple Harmonic Oscillator):

Предположим, что частица подвешена и колеблется вдоль оси Y. В результате в любой момент времени t уравнение для положения имеет вид:

 y(t) = A sin⍵t …..(1)

Здесь A – амплитуда или максимальное смещение от положения равновесия.

& – угловая частота колеблющейся частицы и определяется как,

Или

Таким образом, уравнение (1) может быть записано как

y(t) = A sin(2𝜋f)t …..(2)

Первая производная уравнения (2) даст скорость частицы, а вторая производная даст ускорение частицы.

Таким образом,

v(t) = 2𝜋fA cos(2𝜋ft) …..(3)

a(t) = -(2𝜋f) 2 [A sin(2𝜋ft)] …..(4)

Подставив значение уравнения (2) в (4), получим,

a(t) = -(2𝜋f) 2 y(t) …..(5)

∴ a = -4𝜋 2 f 2 y …..(6)

Итак, если мы хотим выяснить, как рассчитать колебания, мы рассмотрим два разных сценария: система с пружиной и массой и маятник.

➠ Как рассчитать колебания системы пружинных масс:

Рассмотрим груз, подвешенный к одному концу пружины, как показано на рисунке ниже.Под действием веса груза пружина растянется на расстояние y. Таким образом, натяжение пружины вверх по закону Гука составляет:

F = -ky

, где k — постоянная пружины, которая измеряет жесткость пружины, а y — растяжение пружины.

В системе пружинных масс сила пружины направлена ​​вверх, а сила тяжести направлена ​​вниз. Когда обе силы уравновешивают друг друга, масса становится неподвижной. Таким образом, мы можем написать:

mg =-ky

Так как g – ускорение свободного падения, подставив значение уравнения (6) в приведенное выше уравнение, мы получим,

∴m(-4𝜋 2 f 2 y) = -ky

Делая из уравнения частоту f, получаем

…..(7)

Таким образом, период времени может быть задан как:

…..(8)

После системы масс пружины теперь давайте посмотрим, как рассчитать колебания маятника.

. простой маятник:

Простой маятник состоит из нити, прикрепленной к массе m. Как показано на рисунке ниже, если груз массой m отклоняется от положения равновесия на угол 𝜃, то восстанавливающая сила возвращает его в положение равновесия. Боб подвергается действию сил гравитации и натяжения струны. Натяжение пружины уравновешивается составляющей cos веса боба. Возвращающая сила здесь, в маятнике, обусловлена ​​тангенциальной составляющей или синусоидальной составляющей гравитационной силы.

Таким образом, величина возвращающей силы равна,

|F| = mgsin𝜃

Боб сможет ускориться за счет восстанавливающей силы.В результате, согласно второму закону Ньютона,

ma = F = -mgsin𝜃

, где отрицательный знак показывает здесь, что восстанавливающая сила направлена ​​в сторону, противоположную движению груза.

Ускорение будет угловым, поскольку движение боба происходит по дуге окружности. Угловое ускорение определяется как

Таким образом, из приведенных выше уравнений

Но поскольку смещение мало, мы можем рассмотреть sin𝜃 = 𝜃. Таким образом,

Приведенное выше уравнение показывает зависимость углового ускорения от углового смещения.Таким образом, из уравнения (6)

𝛼= 4𝜋 2 f 2 𝜃

Таким образом, частота и период времени простого маятника:

Система, состоящая из подвешивания твердого тела к неподвижной горизонтальной оси, известна как физический маятник. Если «I» — это момент инерции колеблющегося твердого тела, частота и период времени физического маятника: конец тонкой проволоки или стержня прикреплен к дискообразной массе. Если «I» — это инерция диска, то частота и период крутильного маятника могут быть выражены как длины шнура и не зависит от массы тела . Вам может быть интересно, как практически рассчитать период колебаний. Итак, давайте посмотрим, как рассчитывается время колебаний.

Как рассчитывается время колебаний?

Период колебаний можно рассчитать как экспериментально, так и математически.

Методика эксперимента системы пружинных масс и маятника почти одинакова. Разница в том, что вам не нужно узнавать жесткость пружины , так как мы не используем пружину в маятнике.

  • Чтобы рассчитать колебания пружинной системы, вам нужно найти жесткость пружины k. Чтобы найти жесткость пружины, пусть груз висит на пружине в неподвижном состоянии. Затем добавьте дополнительную массу и запишите изменения в растяжении пружины.

mg -ky =0

  • После нахождения жесткости пружины необходимо записать время десяти колебаний каждой массы. Чтобы получить точный ответ, повторите этот процесс трижды. Среднее значение этих трех периодов времени рассматривается как период времени этой конкретной массы. После этого возьмем обратное значение и получим количество колебаний в единицу времени. Вы можете сравнить свои ответы, подставив значения в соответствующие уравнения частоты и периода времени.

Мы надеемся, что устранили все ваши сомнения по поводу расчета колебаний.

Об Альпе П. Раджаи

Я Альпа Раджаи, получил степень магистра естественных наук со специализацией в области физики. Я с большим энтузиазмом пишу о своем понимании передовой науки. Уверяю, что мои слова и методы помогут читателям разобраться в своих сомнениях и прояснить, что они ищут. Помимо физики, я обученный танцор катхак, а также иногда пишу свои чувства в форме стихов.Я постоянно обновляю себя в физике, и все, что я понимаю, я упрощаю и придерживаюсь сути, чтобы это было ясно донесено до читателей.
Вы также можете связаться со мной по адресу: https://www.linkedin.com/in/alpa-rajai-858077202/

Формула частоты период времени частота цикл в секунду герц Гц амплитуда продолжительность период период времени к угловой частоте формуляр длина волны акустическое уравнение соотношение длина волны Гц миллисекунды вычисление мс расчет калькулятор t=1/f Гц герц в мс T в f рабочий лист

формула частоты период время частота цикл в секунду герц Гц амплитуда продолжительность периодический период времени к угловой частоте формула длина волны акустическое уравнение отношение длина волны Гц миллисекунды мс расчет Калькулятор расчета t=1/f Гц от герц до мс Рабочий лист от T до f – sengpielaudio Sengpiel Berlin
 

Заполните серое поле выше и нажмите на полосу расчета соответствующего столбца.

Частота означает количество колебаний (циклов) в секунду в Гц = герц = 1/с.
1 секунда = 1 с = 1000 мс | 1 мс = 0,001 с | 1 мкс = 0,000001 с
cps = число циклов в секунду


Чтобы использовать калькулятор, просто введите значение.
Калькулятор работает в обе стороны от знака .

Осциллограф: Ввод ящиков (разд.) и временная развертка (Y) дают частоту.

Формула периода (длительности цикла) T

Физическое значение  символ   шт. аббревиатура формула
Продолжительность цикла Т = 1/ж   второй с Т = λ/с
Частота f = 1/T   Гц Гц = 1/с f = с/λ
Длина волны λ метр м λ = к/ф
Скорость волны с метр в секунду м/с с = λ × f
 

Преобразование времени – по ходу времени

Формулы и уравнения для частоты и длины волны

Формула для частоты: f (частота) = 1 / T (период).
f = c / λ = скорость волны c (м/с) / длина волны λ (м).
Формула времени: T (период) = 1/ f (частота).
Формула для длины волны λ (m) = C / F

0 λ
= C / F = волновая скорость C (м / с) / частота f (Гц).

Единица измерения герц (Гц) когда-то называлась cps = циклы в секунду.


c = λ × f          λ = c / f = c × T          f = c / λ
Различие скорости среды:
Скорость звука или скорость света

Выберите: Скорость звука в воздухе при температуре 20°C: c = 343 м/с
или скорость радиоволн и света в вакууме: c = 299 792 458 м/с.
 
Скорость распространения электрических сигналов по оптическому волокну составляет около 9/10
. скорость света, то есть ≈ 270 000 км/с.
Скорость распространения электрических сигналов по медным кабелям составляет около 2/3
скорость света, то есть ≈ 200 000 км/с.
 
Скорость звука c = 343 м/с также равна 1235 км / ч, 767 миль в час, 1125 фут/с.

  Волна состоит из четырех частей:
длина волны, период, частота и амплитуда

Изменение частоты (Гц, Гц) никогда не меняет амплитуду и наоборот

Угловая частота равна ω = 2 π × f

Дано уравнение: y = 50 sin (5000 t)
Определить частоту и амплитуду.
Ответ: амплитуда составляет 50 и ω = 5000.
, поэтому частота составляет = 1/ T = ω /2 /2 π = 795,77 Гц.

Чтобы использовать калькулятор, просто введите значение.
Калькулятор работает в обе стороны от знака .

Преобразование: частота в длину волны и наоборот


Синусоида или синусоида и период T
В физике и электротехнике для синусоидального процесса часто используется
угловая частота ω вместо частоты f .Скорость или частота вращения
размер при – предпочтительно механических – вращательных движениях с указанием частоты
революций. Например, это важная функция для двигателей. Это будет дано в
1/мин, как число оборотов в минуту или как число оборотов в минуту.

 
Ось y показывает звуковое давление p (амплитуда звукового давления).
Если на графике по оси X отобразить время t , мы увидим период T = 1 / f .
Если на графике по оси X отобразить расстояние d , мы увидим длину волны λ .
Наибольшее отклонение или удлинение называют амплитудой a .

 
Амплитуда не имеет абсолютно никакого отношения к частоте…
тоже ничего с длиной волны.

 
 
● Графики волн ●
Волны можно изобразить в виде графика как функцию времени или расстояния.Одна частота
волна будет выглядеть как синусоида (синусоида) в любом случае. С расстояния
график длина волны может быть определена. На временном графике период
и частоту можно получить. От обоих вместе скорость волны может быть
определенный. Источник:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/sound/wavplt.html

В акустике выражение для синусоиды записывается в видеГде ω = 2 π f и A — амплитуда и
где f — частота волны, измеряемая в герцах.
Сравнивая математическую форму y = A sin ( B T + φ ):
С этой акустической формой мы видим, что | Б | = 2 π f . Следовательно, у нас есть
частота f = | Б | / 2 π и период T = 2 π / | Б | = 1/ f .
 
 
Кратность SI для герц (Гц)
Значение Символ Имя     Значение Символ Имя
10 −1 Гц дБ децигерц 10 1 Гц даГц декагерц
10 −2 Гц Гц сантигерц 10 2 Гц Гц гектогерц
10 −3 Гц мГц миллигерц 10 3 Гц кГц килогерц
10 −6 Гц мкГц микрогерц 10 6 Гц МГц мегагерц
10 −9 Гц нГц наногерц 10 9 Гц ГГц гигагерц
10 −12 Гц пГц пикогерц 10 12 Гц ТГц терагерц
10 −15 Гц фГц фемтогерц 10 15 Гц Гц петагерц
10 −18 Гц Гц аттогерц 10 18 Гц Гц экзагерц
10 −21 Гц Гц зептогерц 10 21 Гц Гц зеттагерц
10 −24 Гц Гц йоктогерц 10 24 Гц Гц йоттагерц
Общие единицы с префиксом выделены жирным шрифтом.

Типичный вопрос: как связаны длина волны, температура и частота?

Объясните взаимосвязь между расстоянием, временем и частотой при определении
Длина волны или: Что такое уравнение с частотой, расстоянием и временем?

Скорость = расстояние/время
Скорость = длина волны × частота
поэтому
Длина волны × частота = расстояние/время
поэтому
Длина волны = расстояние / (время × частота)

Калькулятор Masterclock (тактовая частота)

Чтобы использовать калькулятор, просто введите значение.
Калькулятор работает в обе стороны от знака .

Калькулятор опорной частоты

Для настройки вниз можно изменить опорную частоту и настройку фортепиано.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.