Модуль упругости второго рода: Определение модуля упругости II рода (сдвига)

alexxlab | 27.01.1978 | 0 | Разное

Лекция 2. Упругие и прочностные характеристики материалов

Диаграммы напряжений

На сегодняшний день существует несколько методик испытания образцов материалов. При этом одним из самых простых и показательных являются испытания на растяжение (на разрыв), позволяющие определить предел пропорциональности, предел текучести, модуль упругости и другие важные характеристики материала. Так как важнейшей характеристикой напряженного состояния материала является деформация, то определение значения деформации при известных размерах образца и действующих на образец нагрузок позволяет установить вышеуказанные характеристики материала.

Тут может возникнуть вопрос: почему нельзя просто определить сопротивление материала? Дело в том, что абсолютно упругие материалы, разрушающиеся только после преодоления некоторого предела – сопротивления, существуют только в теории. В реальности большинство материалов обладают как упругими так и пластическими свойствами, что это за свойства, рассмотрим ниже на примере металлов.

Испытания металлов на растяжение проводятся согласно ГОСТ 1497-84. Для этого используются стандартные образцы. Методика испытаний выглядит приблизительно так: к образцу прикладывается статическая нагрузка, определяется абсолютное удлинение образца

Δl, затем нагрузка увеличивается на некоторое шаговое значение и снова определяется абсолютное удлинение образца и так далее. На основании полученных данных строится график зависимости удлинений от нагрузки. Этот график называется диаграммой напряжений.

Рисунок 318.1. Диаграмма напряжений для стального образца.

На данной диаграмме мы видим 5 характерных точек:

1. Предел пропорциональности 

Р_п (точка А)

Нормальные напряжения в поперечном сечении образца при достижении предела пропорциональности будут равны:

σ_п = Р_п/F_o (318.2.1)

Предел пропорциональности ограничивает участок упругих деформаций на диаграмме. На этом участке деформации прямо пропорциональны напряжениям, что выражается законом Гука:

Р_п = kΔl (318.2.2)

где k – коэффициент жесткости:

k = EF/l (318.2.3)

где l – длина образца, F – площадь сечения, Е – модуль Юнга.

Модули упругости

Главными характеристиками упругих свойств материалов являются модуль Юнга Е (модуль упругости первого рода, модуль упругости при растяжении), модуль упругости второго рода G (модуль упругости при сдвиге) и коэффициент Пуассона μ (коэффициент поперечной деформации).

Модуль Юнга Е показывает отношение нормальных напряжений к относительным деформациям в пределах пропорциональности

Модуль Юнга также определяется опытным путем при испытании стандарт­ных образцов на растяжение. Так как нормальные напряжения в материале равны силе, деленной на начальную площадь сечения:

σ = Р/F_о (318.3.1), (317.2)

а относительное удлинение ε – отношению абсолютной деформации к начальной длине

ε_пр = Δl/l_o

(318.3.2)

то модуль Юнга согласно закону Гука можно выразить так

Е = σ/ε_пр = Pl_o/F_oΔl = tgα (318.3.3)

Рисунок 318.2. Диаграммы напряжений некоторых сплавов металлов

Коэффициент Пуассона μ показывает отношение поперечных деформаций к продольным

Под воздействием нагрузок не только увеличивается длина образца, но и уменьшается площадь рассматриваемого поперечного сечения (если предположить, что объем материала в области упругих деформаций остается постоянным, то значит увеличение длины образца приводит к уменьшению площади сечения). Для образца, имеющего круглое сечение, изменение площади сечения можно выразить так:

ε_поп = Δd/d_o (318.3.4)

Тогда коэффициент Пуассона можно выразить следующим уравнением:

μ = ε_поп/ε_пр (318.3.5)

Модуль сдвига G показывает отношение касательных напряжений

т к углу сдвига

Модуль сдвига G может быть определен опытным путем при испытании образцов на кручение.

При угловых деформациях рассматриваемое сечение перемещается не линейно, а под некоторым углом – углом сдвига γ к начальному сечению. Так как касательные напряжения равны силе, деленной на площадь в плоскости которой действует сила:

т = Р/F (318.3.6)

а тангенс угла наклона можно выразить отношением абсолютной деформации Δl к расстоянию h от места фиксации абсолютной деформации до точки, относительно которой осуществлялся поворот:

tgγ = Δl/h (318.3.7)

то при малых значениях угла сдвига модуль сдвига можно выразить следующим уравнением:

G = т/γ = Ph/FΔl (318.3.8)

Модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассона связаны между собой следующим отношением:

Е = 2(1 + μ)G (318.3.9)

Значения постоянных Е, G и µ приводятся в таблице 318.1

Таблица 318.1. Ориентировочные значения упругих характеристик некоторых материалов

Примечание: Модули упругости являются постоянными величинами, однако технологии изготовления различных строительных материалов меняются и более точные значения модулей упругости следует уточнять по действующим в настоящий момент нормативным документам. Модули упругости бетона зависят от класса бетона и потому здесь не приводятся.

Упругие характеристики определяются для различных материалов в пределах упругих деформаций, ограниченных на диаграмме напряжений точкой А. Между тем на диаграмме напряжений можно выделить еще несколько точек:

2. Предел упругости Р

_у

Нормальные напряжения в поперечном сечении образца при достижении предела упругости будут равны:

σ_у = Р_у/F_o (318.2.4)

Предел упругости ограничивает участок на котором появляющиеся пластические деформации находятся в пределах некоторой малой величины, нормированной техническими условиями (например 0,001%; 0,01% и т. д.). Иногда предел упругости обозначается соответственно допуску σ

0.001, σ_0.01 и т.д.

3. Предел текучести Р

_т 

σ_т = Р_т/F_o (318.2.5)

Ограничивает участок диаграммы на котором деформация увеличивается без значительного увеличения нагрузки (состояние текучести). При этом по всему объему образца происходит частичный разрыв внутренних связей, что и проводит к значительным пластическим деформациям. Материал образца полностью не разрушается, но его начальные геометрические размеры претерпевают необратимые изменения. На отшлифованной поверхности образцов наблюдаются фигуры текучести – линии сдвигов (открытые профессором В. Д. Черновым). Для различных металлов углы наклона этих линий различны, но находятся в пределах 40-50^о. При этом часть накопленной потенциальной энергии необратимо расходуется на частичный разрыв внутренних связей. При испытании на растяжение принято различать верхний и нижний пределы текучести – соответственно наибольшее и наименьшее из напряжений, при которых возрастает пластическая (остаточная) деформация при почти постоянной величине действующей нагрузки.

На диаграммах напряжений отмечен нижний предел текучести. Именно этот предел для большинства материалов принимается за нормативное сопротивление материала.

Некоторые материалы не имеют выраженной площадки текучести. Для них за условный предел текучести σ_0.2 принимается напряжение, при котором остаточное удлинение образца достигает значения ε ≈0,2%.

4. Предел прочности Р

_макс (временное сопротивление)

Нормальные напряжения в поперечном сечении образца при достижении предела прочности будут равны:

σ_в = Р_макс/F_o (318.2.6)

После преодоления верхнего предела текучести (на диаграммах напряжения не показан) материал снова начинает сопротивляться нагрузкам. При максимальном усилии Р_макс начинается полное разрушение внутренних связей материала. При этом пластические деформации концентрируются в одном месте, образуя в образце так называемую шейку.

Напряжение при максимальной нагрузке называется пределом прочности или временным сопротивлением материала.

В таблицах 318.2 – 318.5 приведены ориентировочные величины пределов прочности для некоторых материалов:

Таблица 318.2 Ориентировочные пределы прочности на сжатие (временные сопротивления) некоторых строительных материалов.

Примечание: Для металлов  и сплавов значение пределов прочности следует определять согласно нормативных документов. Значение временных сопротивлений для некоторых марок стали можно посмотреть здесь.

Таблица 318.3. Ориентировочные пределы прочности (временные сопротивления) для некоторых пластмасс

 

Таблица 318.4. Ориентировочные пределы прочности для некоторых волокон

 

Таблица 318.5. Ориентировочные пределы прочности для некоторых древесных пород

 

5. Разрушение материала Р

_р

Если посмотреть на диаграмму напряжений, то создается впечатление, что разрушение материала наступает при уменьшении нагрузки. Такое впечатление создается потому, что в результате образования “шейки” значительно изменяется площадь сечения образца в районе “шейки”. Если построить диаграмму напряжений для образца из малоуглеродистой стали в зависимости от изменяющейся площади сечения, то будет видно, что напряжения в рассматриваемом сечении увеличиваются до некоторого предела:

Рисунок 318.3. Диаграмма напряжений: 2 – по отношению к начальной площади поперечного сечения, 1 – по отношению к изменяющейся площади сечения в районе шейки.

Тем не менее более правильным является рассмотрение прочностных характеристик материала по отношению к площади первоначального сечения, так как расчетами на прочность изменение первоначальной геометрической формы редко предусматривается.

Одной из механических характеристик металлов является относительное изменение ψ площади поперечного сечения в районе шейки, выражаемое в процентах:

ψ = 100(F_o – F)/F_o (318.2.7)

где F_o – начальная площадь поперечного сечения образца (площадь поперечного сечения до деформации), F – площадь поперечного сечения в районе “шейки”. Чем больше значение ψ, тем более ярко выражены пластические свойства материала. Чем меньше значение ψ, тем больше хрупкость материала.

Если сложить разорванные части образца и измерить его удлинение, то выяснится, что оно меньше удлинения на диаграмме (на длину отрезка NL), так как после разрыва упругие деформации исчезают и остаются только пластические. Величина пластической деформации (удлинения) также является важной характеристикой механических свойств материала.

За пределами упругости, вплоть до разрушения, полная деформация состоит из упругой и пластической составляющих. Если довести материал до напряжений, превышающих предел текучести (на рис. 318.1 некоторая точка между пределом текучести и пределом прочности), и затем разгрузить его, то в образце останутся пластические деформации, но при повторном загружении через некоторое время предел упругости станет выше, так как в данном случае изменение геометрической формы образца в результате пластических деформаций становится как бы результатом действия внутренних связей, а изменившаяся геометрическая форма, становится начальной. Этот процесс загрузки и разгрузки материала можно повторять несколько раз, при этом прочностные свойства материала будут увеличиваться:

Рисунок 318.4. Диаграмма напряжений при наклепе (наклонные прямые соответствуют разгрузкам и повторным загружениям)

Такое изменение прочностных свойств материала, получаемое путем повторяющихся статических загружений, называется наклепом. Тем не менее при повышении прочности металла путем наклепа уменьшаются его пластические свойства, а хрупкость увеличивается, поэтому полезным как правило считается относительно небольшой наклеп.

Работа деформации

Прочность материала тем выше, чем больше внутренние силы взаимодействия частиц материала. Поэтому величина сопротивления удлинению, отнесенная к единице объема материала, может служить характеристикой его прочности. В этом случае предел прочности не является исчерпывающей характеристикой прочностных свойств данного материала, так как он характеризует только поперечные сечения. При разрыве разрушаются взаимосвязи по всей площади сечения, а при сдвигах, которые происходят при всякой пластической деформации, разрушаются только местные взаимосвязи. На разрушение этих связей затрачивается определенная работа внутренних сил взаимодействия, которая равна работе внешних сил, затрачиваемой на перемещения:

А = РΔl/2 (318.4.1)

где 1/2 – результат статического действия нагрузки, возрастающей от 0 до Р в момент ее приложения (среднее значение (0 + Р)/2)

При упругой деформации работа сил определяется площадью треугольника ОАВ (см. рис. 318.1). Полная работа, затраченная на деформацию образца и его разрушение:

А = ηР_максΔl_макс (318.4.2)

где η – коэффициент полноты диаграммы, равный отношению площади всей диаграммы, ограниченной кривой АМ и прямыми ОА, MN и ON, к площади прямоугольника со сторонами 0Р_макс (по оси Р) и Δl_макс (пунктир на рис. 318.1). При этом надо вычесть работу, определяемую площадью треугольника MNL (относящуюся к упругим деформациям).

Работа, затрачиваемая на пластические деформации и разрушение образца, является одной из важных характеристик материала, определяющих степень его хрупкости.

Деформация сжатия

Деформации сжатия подобны деформациям растяжения: сначала происходят упругие деформации, к которым за пределом упругости добавляются пластические. Характер деформации и разрушения при сжатии показан на рис. 318.5:

Рисунок 318.5

а – для пластических материалов; б – для хрупких материалов ; в – для дерева вдоль волокон, г – для дерева поперек волокон.

Испытания на сжатие менее удобны для определения механических свойств пластических материалов из-за трудности фиксирования момента разрушения. Методы механических испытаний металлов регламентируются ГОСТ 25.503-97. При испытании на сжатие формы образца и его размеры могут быть различными. Ориентировочные значения пределов прочности для различных материалов приведены в таблицах 318.2 – 318.5.

Если материал находится под нагрузкой при постоянном напряжении, то к практически мгновенной упругой деформации постепенно прибавляется добавочная упругая деформация. При полном снятии нагрузки упругая деформация уменьшается пропорционально уменьшающимся напряжениям, а добавочная упругая деформация исчезает медленнее.

Образовавшаяся добавочная упругая деформация при постоянном напряжении, которая исчезает не сразу после разгрузки, называется упругим последействием.

Влияние температуры на изменение механических свойств материалов

Твердое состояние – не единственное агрегатное состояние вещества. Твердые тела существуют только в определенном интервале температур и давлений. Повышение температуры приводит к фазовому переходу из твердого состояния в жидкое, а сам процесс перехода называется плавлением. Температуры плавления, как и другие физические характеристики материалов, зависят от множества факторов и также определяются опытным путем.

Таблица 318.6. Температуры плавления некоторых веществ

Примечание: В таблице приведены температуры плавления при атмосферном давлении (кроме гелия).

Упругие и прочностные характеристики материалов, приведенные в таблицах 318.1-318.5, определяются как правило при температуре +20^оС. ГОСТом 25.503-97 допускается проводить испытания металлических образцов в диапазоне температур от +10 до +35^оС.

При изменении температуры изменяется потенциальная энергия тела, а значит, изменяется и значение внутренних сил взаимодействия. Поэтому механические свойства материалов зависят не только от абсолютной величины температуры, но и от продолжительности ее действия. Для большинства материалов при нагреве прочностные характеристики (σ_п, σ_т и σ_в) уменьшаются, при этом пластичность материала увеличивается. При снижении температуры прочностные характеристики увеличиваются, но при этом повышается хрупкость. При нагреве уменьшается модуль Юнга Е, а коэффициент Пуассона увеличивается. При снижении температуры происходит обратный процесс.

Рисунок 318.6. Влияние температуры на механические характеристики углеродистой стали.

При нагревании цветных металлов и сплавов из них прочность их сразу падает и при температуре, близкой к 600° С, практически теряется. Исключение составляет алюмотермический хром, предел прочности которого с увеличением температуры увеличивается и при температуре равной 1100° С достигает максимума σ_в1100 = 2σ_в20.

Характеристики пластичности меди, медных сплавов и магния с ростом температуры уменьшаются, а алюминия – увеличиваются. При нагреве пластмасс и резины их предел прочности резко снижается, а при охлаждении эти материалы становятся очень хрупкими.

Влияние радиоактивного облучения на изменение механических свойств

Радиоактивное облучение по-разному влияет на различные материалы. Облучение материалов неорганического происхождения по своему влиянию на механические характеристики и характеристики пластичности подобно понижению температуры: с увеличением дозы радиоактивного облучения увеличивается предел прочности и особенно предел текучести, а характеристики пластичности снижаются.

Облучение пластмасс также приводит к увеличению хрупкости, причем на предел прочности этих материалов облучение оказывает различное влияние: на некоторых пластмассах оно почти не сказывается (полиэтилен), у других вызывает значительное понижение предела прочности (катамен), а в третьих – повышение предела прочности (селектрон).

Лекция 3. Методики расчета конструкций.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ВТОРОГО РОДА

Механика ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ВТОРОГО РОДА

Количество просмотров публикации ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ВТОРОГО РОДА – 1490

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ВТОРОГО РОДА
Рубрика (тематическая категория)	Механика

(МОДУЛЯ СДВИГА)

Физическая постоянная G называется модулем упругости второго рода (модулем сдвига) и является коэффициентом зависимости, выражающей закон Гука при сдвиге t = Gg. Модуль сдвига характеризует жесткость материала при упругой деформации сдвига. Модуль сдвига G в отличие от модуля продольной упругости E и коэффициента поперечной деформации ν является производной величинои̌ и должна быть найден как опытным способом, так и теоретическим. Для изотропных материалов существует зависимость между этими величинами

. (39)

Определить значение модуля G непосредственно из опыта на сдвиг (срез) не представляется возможным. Это связано с тем, что обеспечить дефор­мацию чистого сдвига в опыте, т.е. свободного от побочных деформаций технически трудно. Но, так как кручение стержня круглого поперечного сечения можно представить как чистый сдвиг материала за счёт взаимного поворота поперечных сечений, поэтому опытное определение модуля G удобнее про­изводить при кручении стержня сплошного круглого, а лучше кольцевого сечения (образца в виде тонкостенной трубки).

Испытаниями установлено, что для материалов, деформирующихся по закону Гука при растяжении или сжатии, закон Гука справедлив и при деформациях сдвига, а значит и кручения. Закон Гука при кручении выражается зависимостью

, (40)

где T – крутящий момент на участке стержня;

l – длина участка стержня;

G – модуль сдвига;

J_p – полярный момент инерции поперечного сечения;

Δφ ‒ абсолютная угловая деформация.

---

---

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ВТОРОГО РОДА – понятие и виды. Классификация и особенности категории “ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ВТОРОГО РОДА” 2015, 2017-2018.

Модуль – упругость – второе – род

Модуль – упругость – второе – род

Cтраница 3

Разрушение происходит, когда напряжение сжатия равно модулю упругости второго рода. Следует иметь в виду, что модуль упругости второго рода изменяется с возрастанием напряжений сжатия. На рис. 5.12 в качестве примера показана зависимость X от Vf.  [31]

Сдвигу и срезу, как и другим деформациям, материал оказывает определенное сопротивление. Способность упругих материалов оказывать сопротивление сдвигу характеризует модуль упругости второго рода или модуль сдвига.  [33]

Формула ( 67) представляет математическое выражение закона Гука при сдвиге. Входящая в эту формулу величина G называется модулем сдвига, или модулем упругости второго рода.  [34]

Формула ( 45) представляет математическое выражение закона Гука при сдвиге. Входящая в эту формулу величина G называется модулем сдвига, или модулем упругости второго рода.  [35]

Формула (6.6.1) носит название закона Гука при сдвиге. Величина G, имеющая размерность напряжения, называется модулем сдвига, или модулем упругости второго рода.  [36]

Разъясняется физический смысл модуля сдвига G как физической постоянной материала, характеризующей его жесткость при сдвиге. В учебной литературе и в практике преподавания для величины G применяют различные наименования: модуль сдвига, модуль упругости при сдвиге, модуль упругости второго рода.  [37]

Величина G характеризует способность материала сопротивляться сдвигу и называется модулем упругости второго рода или модулем сдвига. G имеет размерность напряжения, т.е. МПа. Величина модуля упругости второго рода определяется экспериментально и для каждого материала имеет свое значение.  [38]

Формулу ( 79) называют законом Гука для сдвига. Сравнивая формулу ( 77) с формулой ( 5), формулы ( 78) и ( 7), а также ( 79) и ( 6), видим, что все основные формулы, сдвига совершенно аналогичны формулам растяжения и сжатия. Величина G, входящая в формулы ( 78) и ( 79), называется модулем упругости при сдвиге или модулем упругости второго рода.  [39]

Страницы:      1    2    3

46.Основные механические свойства. Модуль сдвига

46.Основные механические свойства. Модуль сдвига

Механические свойства материалов,

 совокупность показателей, характеризующих сопротивление материала воз действующей на него нагрузке, его способность деформироваться при этом, а также особенности его поведения в процессе разрушения. В соответствии с этим М. с. м. измеряют напряжениями (обычно в кгс/мм² или Мн/м²), деформациями (в %), удельной работой деформации и разрушения (обычно в кгс×м/см² или Мдж/м²), скоростью развития процесса разрушения при статической или повторной нагрузке (чаще всего в мм за 1 сек или за 1000 циклов повторений нагрузки, мм/кцикл). М. с. м. определяются при механических испытаниях образцов различной формы.

В общем случае материалы в конструкциях могут подвергаться самым различным по характеру нагрузкам (рис. 1): работать нарастяжение, сжатие, изгиб, кручение, срез и т. д. или подвергаться совместному действию нескольких видов нагрузки, например растяжению и изгибу. Также разнообразны условия эксплуатации материалов и по температуре, окружающей среде, скорости приложения нагрузки и закону её изменения во времени. В соответствии с этим имеется много показателей М. с. м. и много методов механических испытаний. Для металлов и конструкционных пластмасс наиболее распространены испытания на растяжение, твёрдость, ударный изгиб; хрупкие конструкционные материалы (например, керамику, металлокерамику) часто испытывают на сжатие и статический изгиб; механические свойства композиционных материалов важно оценивать, кроме того, при испытаниях на сдвиг.

Диаграмма деформации. Приложенная к образцу нагрузка вызывает его деформацию. Соотношения между нагрузкой и деформацией описываются т. н. диаграммой деформации (рис. 2). Вначале деформация образца (при растяжении — приращение длины Dl ) пропорциональна возрастающей нагрузке Р, затем в точке n эта пропорциональность нарушается, однако для увеличения деформации необходимо дальнейшее повышение нагрузки Р; при Dl > Dl_в деформация развивается без приложения усилия извне, при постепенно падающей нагрузке. Вид диаграммы деформации не меняется, если по оси ординат откладывать напряжение

а по оси абсцисс — относительное удлинение

(F₀ и l₀ — соответственно начальная площадь поперечного сечения и расчётная длина образца).

Сопротивление материалов измеряется напряжениями, характеризующими нагрузку, приходящуюся на единицу площади поперечного сечения образца

в кгс/мм². Напряжение

при котором нарушается пропорциональный нагрузке рост деформации, называется пределом пропорциональности. При нагрузкеР < Р_n разгрузка образца приводит к исчезновению деформации, возникшей в нём под действием приложенного усилия; такая деформация называется упругой. Небольшое превышение нагрузки относительно Р_n может не изменить характера деформации — она по-прежнему сохранит упругий характер. Наибольшая нагрузка, которую выдерживает образец без появления остаточной пластической деформации при разгрузке, определяет предел упругости материала:

У конструкционных неметаллический материалов (пластмассы, резины) приложенная нагрузка может вызвать упругую, высокоэластическую и остаточную деформации. В отличие от упругой, высокоэластическая деформация исчезает не сразу после разгрузки, а с течением времени. Высокопрочные армированные полимеры (стеклопластики, углепластики и др.) разрушаются при удлинении 1—3%. На последних стадиях нагружения у некоторых армированных полимеров появляется высокоэластическая деформация. Высокоэластический модуль ниже модуля упругости, поэтому диаграмма деформации в этом случае имеет тенденцию отклоняться к оси абсцисс.

Упругие свойства. В упругой области напряжение и деформация связаны коэффициентом пропорциональности. При растяжении s = Еd, где Е — т. н. модуль нормальной упругости, численно равный тангенсу угла наклона прямолинейного участка кривой s = s(d) к оси деформации (рис. 2). При испытании на растяжение цилиндрического или плоского образца одноосному (s₁>0; (s₂ = s₃ = 0) напряжённому состоянию соответствует трёхосное деформированное состояние (приращение длины в направлении действия приложенных сил и уменьшение линейных размеров в двух других взаимно перпендикулярных направлениях): d₁>0; d₂ = d₃ < 0. Соотношение между поперечной и продольной деформацией (коэффициент Пуассона)

в пределах упругости для основных конструкционных материалов колеблется в довольно узких пределах (0,27—0,3 для сталей, 0,3—0,33 для алюминиевых сплавов). Коэффициент Пуассона является одной из основных расчётных характеристик. Зная m и Е, можно расчётным путём определить и модуль сдвига

и модуль объёмной упругости

Для определения Е, G, и m пользуются тензометрами.

Сопротивление пластической деформации. При нагрузках Р > Р_в наряду со всё возрастающей упругой деформацией появляется заметная необратимая, не исчезающая при разгрузке пластическая деформация. Напряжение, при котором остаточная относительная деформация (при растяжении — удлинение) достигает заданной величины (по ГОСТ — 0,2 %), называется условным пределом текучести и обозначается

Практически точность современных методов испытания такова, что s_п и s_е определяют с заданными допусками соответственно на отклонение от закона пропорциональности [увеличение ctg(90 — a) на 25—50 %] и на величину остаточной деформации (0,003—0,05 %) и говорят об условных пределах пропорциональности и упругости. Кривая растяжения конструкционных металлов может иметь максимум (точка в на рис. 2) или обрываться при достижении наибольшей нагрузки Р_в’. Отношение

характеризует временное сопротивление (предел прочности) материала. При наличии максимума на кривой растяжения в области нагрузок, лежащих на кривой левее в, образец деформируется равномерно по всей расчётной длине l₀, постепенно уменьшаясь в диаметре, но сохраняя начальную цилиндрическую или призматическую форму. При пластической деформации металлы упрочняются, поэтому, несмотря на уменьшение сечения образца, для дальнейшей деформации требуется прикладывать всё возрастающую нагрузку. s_в, как и условные s_0,2, s_n и s_е, характеризует сопротивление металлов пластической деформации. На участке диаграммы деформации правее в форма растягиваемого образца изменяется: наступает период сосредоточенной деформации, выражающейся в появлении “шейки”. Уменьшение сечения в шейке “обгоняет” упрочнение металлов, что и обусловливает падение внешней нагрузки на участке Р_в — P_k.

У многих конструкционных материалов сопротивление пластической деформации в упруго-пластической области при растяжении и сжатии практически одинаково. Для некоторых металлов и сплавов (например, магниевые сплавы, высокопрочные стали) характерны заметные различия по этой характеристике при растяжении и сжатии. Сопротивление пластической деформации особенно часто (при контроле качества продукции, стандартности режимов термической обработки и в др. случаях) оценивается по результатам испытаний на твёрдость путём вдавливания твёрдого наконечника в форме шарика (твёрдость по Бринеллю или Роквеллу), конуса (твёрдость по Роквеллу) или пирамиды (твёрдость по Виккерсу). Испытания на твёрдость не требуют нарушения целостности детали и потому являются самым массовым средством контроля механических свойств. Твёрдость по Бринеллю (HB) при вдавливании шарика диаметром D под нагрузкой Р характеризует среднее сжимающее напряжение, условно вычисляемое на единицу поверхности шарового отпечатка диаметром d:

Характеристики пластичности. Пластичность при растяжении конструкционных материалов оценивается удлинением

или сужением

при сжатии — укорочением

(где h₀ и h_k — начальная и конечная высота образца), при кручении — предельным углом закручивания рабочей части образца Q,рад или относительным сдвигом g = Qr (где r — радиус образца). Конечная ордината диаграммы деформации (точка k на рис. 2) характеризует сопротивление разрушению металла S_k, которое определяется

(F_k — фактическая площадь в месте разрыва).

Модуль сдвига-величина, характеризующая деформацию сдвига.  Модуль сдвига равен отношению касательного напряжения к величине угла сдвига. В начальной части диаграмма сдвига (на рисунке) линейная, т.е. угол сдвига  пропорционален касательному напряжению . Закон пропорциональности, называемый законом Гука при сдвиге, может быть записан:

 где коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига сдвига или модулем упругости 2-го рода. Он характеризует сопротивление материала упругим деформациям и является его упругой постоянной. 

7.5. Сопротивление материалов – Ассоциация EAM

Модуль Юнга (модуль упругости первого рода) Е, МПа, Н/мм² — постоянная упругости в законе Гука в пределах, когда деформация пропорциональна напряжению.

Модуль Юнга численно равен напряжению, увеличивающему длину образца в два раза: для стали, Е_ст = (2,0-2,2)×10⁵ МПа; для чугуна, Е_ч = 1,2×10⁵ МПа;
для меди, Е_м = 1,0×10⁵ МПа; для алюминия, Е_ал = 0,6×10⁵ МПа; для каната, Е_к = (1,1-1,7)×10⁵ МПа: канат с органическим сердечником, Е_о = (1,1-1,3)×10⁵ МПа; канат с металлическим сердечником, Е_мет = 1,4×10⁵ МПа; канат закрытый, Е_з = 1,7×10⁵ МПа.

Закон Гука: возникающее удлинение образца Δl под действием внешней силы Р пропорционально величине действующей силы, первоначальной длине l и обратно пропорционально площади поперечного сечения S:

Δl = (l × Р) / (Е × S) или р = Е × ε,

где р = Р / S — напряжение; ε = Δl / l — относительная продольная деформация.

Материалы разделяются на хрупкие и пластичные. Хрупкие вещества
разрушаются при очень малых относительных удлинениях. Хрупкие материалы обычно выдерживают, не разрушаясь, большее сжатие, чем растяжение.

Совместно с деформацией растяжения наблюдается уменьшение диаметра образца. Если Δd — изменение диаметра образца, то ε₁ = Δd / d принято называть относительной поперечной деформацией. Абсолютная величина μ = ε₁ / ε носит название коэффициента поперечной деформации — коэффициента Пуассона. Коэффициент Пуассона для стали: μ_ст = 0,3.

Сдвиг — деформация, при которой все слои тела, параллельные некоторой плоскости, смещаются друг относительно друга.

Закон Гука для деформации сдвига: р = G × α, где G — модуль сдвига;
α — угол сдвига (относительный сдвиг). Модуль упругости стали при сдвиге:
G_ст = 0,8×10⁵ МПа.

Соотношение между упругими постоянными: G = Е / 2 × (1 + μ).

Температурный коэффициент линейного расширения — величина, равная среднему (в интервале температур [0; t] °С) относительному удлинению тела (град^-1):  α = (l₁ – l) / (t × l₀). Температурный коэффициент линейного
расширения: для стали, α_ст = (11-12)×10^-6 град^-1; для меди, α_м = 16,5×10^-6 град^-1;
для алюминия, α_ал = 23,0×10^-6 град^-1.

Отсутствие тепловых зазоров приводит к возникновению значительных сил, определяемых площадью сечения вала:

F_a = E × S × α × Δt,

где E — модуль Юнга, МПа; S — площадь сечения вала, м²; α — коэффициент линейного расширения, град^-1; Δt — повышение температуры, °С.

Предел текучести — напряжение, при котором появляется текучесть (увеличение деформации без увеличения деформирующей силы). Предел текучести: рядовая сталь, σ_т = 200 МПа; сталь средней прочности, σ_т = 400 МПа; легированная сталь, σ_т = 800 МПа.

Предел упругости — напряжение, при котором остаточные деформации впервые достигают некоторой величины, характеризуемой определенным допуском, устанавливаемым техническими условиями.

Предел прочности — напряжение, отвечающее наибольшей нагрузке,
предшествовавшей разрушению образца.

Усталость — процесс постепенного возникновения и развития трещины в материале под воздействием многократно повторяющихся силовых
воздействий.

Предел выносливости — наибольшее напряжение, которое может выдержать материал при заданном числе циклов нагружения.

Ползучесть — нарастание во времени пластической деформации материала при силовых воздействиях, меньших чем те, которые вызывают остаточную деформацию.

0 0 голоса

Рейтинг статьи

Оп­ределение модуля упругости и коэффициента Пуассона

0. ВВЕДЕНИЕ

В методических указаниях к лабораторной работе N 3 “Оп­ределение модуля упругости и коэффициента Пуассона” указывает­ся цель работы, приводится характеристика испытуемого образца и даётся методика проведения испытаний.

Для лучшего усвоения материала по темам: “Растяжение и сжатие” и “Упруго – механические свойства материалов” приво­дятся основные теоретические положения, позволяющие квали­фицированно провести испытания, экспериментально определить по одному испытанию образца величины упругих постоянных (Е и μ) и проанализировать полученные результаты.

Завершаются методические указания перечнем возможных вопросов при защите отчета по этой лабораторной работе.

2. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Определить опытным путем величину модуля упругости Ε и коэффициент Пуассона μ и сравнить полученные результаты со справочными данными.

 

3. ОБОРУДОВАНИЕ, ПРИБОРЫ И ИНСТРУМЕНТЫ

Испытательная машина – МР-0,5. Тензометрическая станция – ЦТМ-5. Штангенциркуль.

4. ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАЗЦОВ

Вид образца, имеющего прямоугольное поперечное сечение, представлен на рис.1. На больших сторонах поперечного сечения образца наклеены по одному тензодатчику в продольном направлении и по одному в поперечном. Каждый тензодатчик под­ключен к отдельному каналу тензометрической станции ЦТМ-5.

Рис. 1. Вид обра о тензо датчиками

5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

При деформациях подавляющего большинства материалов в упругой стадии справедлив закон Гука, который устанавливает прямую пропорциональную зависимость между напряжениями и деформациями:

σ = Ε·ε        (1)

Величина Ε представляет собой коэффициент пропорцио­нальности и называется модулем упругости первого рода. Так как относительное удлинение – величина безразмерная, модуль упруго­сти Ε имеет размерность напряжения. Закон Гука справедлив при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности апц.). Поперечную деформацию обозначим:

абсолютную – ДЬ (Ab = bi – b),

относительную – ε1 (ε1 = Ab / b). Как показывает опыт ε’= – μ · ε,

где μ – безразмерный коэффициент пропорциональности, называе­мый коэффициентом Пуассона, величина которого зависит только от материала и характеризует его свойства. Знак ” – ” указывает, что продольная и поперечная деформации всегда противоположны по знаку. Коэффициент Пуассона принято считать положительной величиной, поэтому относительные линейные деформации берутся по абсолютной величине (μ= ε11 /1 ε |).

6. ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ

1.­        Перед испытанием студентам необходимо ознакомиться с устройством машины МР-0,5 ( первое занятие ) и правилами поведения  в  лаборатории   при   проведении   испытаний  (вводный инструктаж ).

2.        Измеряют штангенциркулем характерные линейные размеры испытуемого образца.

3.        Убеждаются в подключении тензодатчиков к тензометрической станции ЦТМ-5.

4.­        Наблюдают за включением машины, процессом нагружения образца  начальной нагрузкой (0 – 100 Η­ ), которая задается  преподавателем.

5.­        Путем последовательного переключения соответствующих каналов тензометрической станции снимают показания каждого из тензометров. Эти данные заносятся в журнал наблюдений. В отчете по лабораторной работе в разделе “Результаты испытаний” предварительно готовится таблица..

6. Наблюдают за последующими двумя ступенями нагружения (100 – 200 Η каждая по указанию преподавателя ) образца, снимают показания тензодатчиков и заносят их в таблицу.

7. В процессе проведения испытаний внимательно следят за ком­ментариями преподавателя и при завершении испытаний по его указанию приступают к обработке результатов испытания.

7. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЯ

В журнале наблюдений ( табл. ) подсчитываются прираще­ния соответствующих отсчетов и определяются их средние значе­ния (АсрР, АсрАь АсрА2, ДсрВь АсрВ2). Затем подсчитываются средние приращения по тензометрам в продольном (АсрА) и попе­речном (АсрВ) направлениях.

По найденным АсрА и АсрВ находятся значения относи­тельной линейной деформации соответственно в продольном и поперечном направлениях:

ε = АсрА · с , ε1 = АсрВ · с ,

где с – коэффициент чувствительности тензодатчика, который оп­ределяется тарировкой и сообщается преподавателем.

Определяются значение нормального напряжеия, средин для каждой ступени нагружения образца:

σ = АсрР / F, где F – площадь поперечного сечения образца ( F = b · d).

Исходя из закона Гука при растяжении – сжатии (σ= Ε-ε) находится модуль упругости материала образца:

Ε = σ/ε.

По найденным значениям относительных деформаций в продольном и поперечном направлениях определяется величина коэффициента Пуассона:

μ=Η/Ιε|.

Для любого материала величина коэффициента Пуассона должна находиться в пределах от 0 до 0,5.

Найденные значения модуля упругости Ε и коэффициента Пуассона μ следует сравнить с соответствующими величинами, приведенными  в справочной литературе и сделать выводы.

известняк с модулем упругости

Модуль упругости стали 245

11 Показатель предела нагрузки на сталь — модуль упругости Юнга 11.1 Физический смысл 11.1.1 Определение 11.1.2 Модули упругости, их виды 11.2 Как определить модуль упругости стали

Узнай цену

Упругие свойства горных пород. Коэффициент …

2021-8-21 · Упругие свойства горных пород характеризуются модулем Юнга (Е сж у и коэффициентом Пуассона (цсж), определяемым методом одноосного сжатия модулем деформации (С) по штампу. В задачах механики горных пород основное …

Узнай цену

Модуль упругости стали мпа

Модуль упругости (Модуль Юнга) Если на изделие из определенного материала воздействовать некой силой, то он начинает сопротивляться этому действию: сжиматься, растягиваться или …

Узнай цену

Известняк, измельчение

Подобрать машину для первой стадии измельчения известняка высокой плотности с начальным размером кусков нтах = 40-10″ м, пределом прочности при сжатии о .,. = 200х X 10 Па, модулем упругости = 5-10 Па, насыпной плотностью Рн = 1800

Узнай цену

Модуль упругости | Справочник

2021-7-11 · Выше были рассмотрены вопросы, связанные с модулем упругости при сжатии, однако для ряда бетонов модуль упругости при растяжении имеет те же значения, что и модуль упругости …

Узнай цену

Модуль упругости бетона: В15, В20, В25, В30

С их помощью можно определить начальный модуль упругости бетона В20, В25, В30 и других классов. Зная классность материала, его плотность и технологию производства, можно легко узнать этот параметр.

Узнай цену

Модуль сдвига меди

2020-3-23 · 3.3 модуль упругости при сдвиге в плоскости, модуль сдвига в плоскости G, ГПа: Модуль упругости при сдвиге изотропных материалов в направлении, отличном от направления материала армирования, данную величину измеряют в …

Узнай цену

Модуль упругости, коэффициент Пуассона, модуль …

Известняк 41,19 — — Инвар 137,29 54,92 — Каучук 0,00786 — 0,47 Константан 162,79 60,80 0,33 Латунь корабельная катаная 98,07 — 0,36 Латунь холоднотянутая 89,24-97,09 34,32-36,29 0,32-0,42 Лёд 9,81 2,75-2,94 — Манганин 123,56 46,09 0,33

Узнай цену

Модуль упругости

СПЛАВЫ С ПОСТОЯННЫМ МОДУЛЕМ УПРУГОСТИ Состав конкретных марок элинваров и других промышленных сплавов с низким температурным коэффициентом модуля упругости приведен в …

Узнай цену

Модуль упругости меди | Все своими руками

2021-8-4 · Модуль упругости меди Модуль Юнга Модуль Юнга (модуль упругости) — это физическая величина, которая характеризует свойства какого-либо материала сгибаться или растягиваться под воздействием силы; по сути именно от …

Узнай цену

MasterSeal NP 440 Masterflex

2020-9-29 · модулем упругости Не применять MasterSeal NP440 при температуре ниже +5°С и выше +35°С. Уложенный материал необходимо защищать от дождя и влаги в течении 24 часов.

Узнай цену Модуль упругости

– обзор

9.5 Статические и динамические модули

Модуль Юнга E можно определить двумя способами. Касательный модуль Юнга, E _T , принимается как наклон кривой осевого напряжения-деформации при некотором фиксированном процентном соотношении, обычно 50% от максимальной прочности. Секущий модуль Юнга, E _S , принимается как наклон линии, соединяющей начало кривой осевого напряжения-деформации с точкой на кривой при некотором фиксированном проценте от максимальной прочности (рис.9.6).

Рис. 9.6. Статический модуль Юнга по одноосному профилю напряжения-деформации.

Статические модули измеряются по наклону линии нагружения в «упругой» области (II):

(9,5a) Estat = ΔσΔɛ

Этот подход требует лабораторных измерений одноосной нагрузки. Статические модули – это решающее механическое свойство, обычно используемое для обеспечения устойчивости ствола скважины и в приложениях для измерения напряжения на месте, например, для оценки потенциального порового давления прорыва и распределения тектонических напряжений.В отсутствие такого лабораторного исследования модули упругости можно альтернативно оценить с помощью измерений акустического каротажа, которые называются «динамическими».

Между статическим и динамическим модулями есть заметное различие, но между ними есть и выраженная ассоциация / корреляция. Таким образом, знание динамических модулей обеспечивает оценку статических данных. Динамический модуль Юнга и динамический коэффициент Пуассона оцениваются по скоростям акустических волн ( V _p и V _s ) как:

(9.5b) Edyn = ρbVS23Vp2−4VS2Vp2 − VS2; νdyn = Vp2−2VS22Vp2−2VS2

Аналогично, динамические объемные модули и модули сдвига оцениваются по скоростям как:

(9,5c) Kdyn = ρbVp2−4VS23; В различных исследованиях (Birch, 1961; Ide, 1936; Simmons and Brace, 1965; King, 1969; Cheng and Johnston, 1981; Fjær, 2009; Bakhorji, 2010) наблюдалось, что в целом статические модули намного ниже, чем соответствующие динамические модули. Однако оба модуля увеличиваются с увеличением давления. Разница между статическим и динамическим модулями велика при низком давлении и уменьшается с увеличением напряжения.Для песчаника отношение статических модулей Юнга к динамическим обычно близко к 0,5 (рис. 9.7) в «упругих» областях.

Рис. 9.7. Типичные статические и динамические модули Юнга для песчаника.

На основе обширного исследования выборок из разных источников предложена логарифмическая связь между статическими и динамическими модулями Юнга (Eissa and Kazi, 1988) как:

(9,5d) Log10Estat = 0,02 + 0,77Log10ρEdyn

Плотность ( ρ ) выражается в г / куб.см, в то время как модули выражаются в единицах ГПа.Было обнаружено, что соотношение имеет сильный коэффициент корреляции 0,96. Основываясь на эмпирических наблюдениях (Fjær, 1999), для песчаника предлагается взаимосвязь между статическими и динамическими объемными модулями, описываемая как:

(9,5e) Kstat = Kdyn1 + 3Kdyna + bσ

Позже была предложена конститутивная модель (Fjær, 2009), соединяющий динамический и статический модули как:

(9,5f) Kstat = Kdyn1 + 3PKdyn

(9,5g) Estat = Edyn1 + 3PZKdyn1 − F

P является мерой неупругой части объемной деформации ( ɛ _V ), вызванные увеличением гидростатического напряжения. F – это мера неупругой части деформации сдвига, вызванной увеличением напряжения сдвига, и определяется относительным изменением осевой деформации ( ɛ _Z ). Параметры P и F задаются следующим образом:

(9,5h) P = ΔɛV − ΔɛVe3Δσ

(9,5i) F = ΔɛZ − ΔɛZe − ΔɛZpΔɛZ

(9,5j) ΔɛZeΔσ17 (9,5k) ΔɛZp = PZΔσZ

В исследовании Северного моря (Gommesen and Fabricius, 2001) было найдено логарифмическое соотношение для модулей сжатия ( M ) в случае статических и динамических измерений с эффективным напряжением 5– 13 МПа как:

(9.5l) lnMstat = lnMdyn − βϕ / ϕc

Здесь ϕ – пористость, ϕ _c – критическая пористость (для исследования предполагается 67,7%), а β – постоянная, имеющая значение 7,6 ± 0,7. В исследовании известняка Саравак (Asef and Najib, 2013), влияние ограничивающего давления на соотношение статических и динамических модулей Юнга предлагается (рис. 9.8) как:

Рис. 9.8. Влияние ограничивающего давления на соотношение статического и динамического модуля Юнга для известняка (Asef and Najib, 2013).

(9,5 м) EstatEdyn = aPb

Здесь P – ограничивающее давление в единицах МПа, а коэффициенты a и b равны 0,23283 и 0,337 соответственно. Ожидается, что общая тенденция будет применима для всех литологий, но коэффициенты a и b могут измениться.

В исследовании песчаника (Al-Tahini et al., 2004) было замечено, что нормализованная разница модулей ( E _дин – E _стат ) / E _дин уменьшается с увеличением увеличение эффективного индекса роста кварца и стресса.Йель и Джеймисон (1994) предложили динамический коэффициент преобразования статических модулей Юнга, основанный на литологии, как 0,79, 0,73 и 0,68 для известняка и доломита, алевролита с доломитовым цементом и алевролита / аргиллита, соответственно. Было замечено, что динамический сухой коэффициент Пуассона ниже, чем статический коэффициент Пуассона. На рис. 9.9 показан типичный отклик статического и динамического модуля объемной упругости в карбонате (Bakhorji, 2010) при давлении 15 МПа. Отношение статического к динамическому модулю объемной упругости колеблется в пределах 0.5 и 0,75 для карбонатов.

Рис. 9.9. Типичные статические и динамические объемные модули для карбоната (Бахоржи, 2010).

В целом, аналогичные качественные выводы сделаны из различных исследований, но нет особой последовательности для получения единообразно применимого количественного отношения между статическими и динамическими модулями. Применение большинства этих моделей к конкретным полям может потребовать некоторой параметрической настройки.

Разница между статическими и динамическими модулями заключается в некоторых основных различиях между их методологиями тестирования.В динамических адиабатических измерениях используются упругие волны с ультразвуковыми лабораторными частотами, акустическими каротажными частотами или сейсмическими частотами. Статический – это изотермическое измерение, выполненное на нулевых частотах или на очень низких частотах в случае циклических испытаний. Также существует значительная разница в амплитуде деформации между двумя измерениями. Амплитуда деформации для динамических измерений составляет порядка 10 ^{– 8} –10 ^{– 6} , тогда как для статических испытаний она составляет порядка 10 ^{– 4} –10 ^{– 2} .Другой важный источник несоответствия между статическими и динамическими модулями часто связан с закрытием трещин, выровненных перпендикулярно направлению напряжения, и открытием трещин, выровненных параллельно напряжению при статических измерениях. Это дополнительно снижает статические модули упругости. При высоких давлениях большая часть трещин закрывается, и статические модули приближаются к значению динамических модулей. Но во всех случаях статические модули остаются намного меньше динамических. Напротив, ожидается, что статический коэффициент Пуассона дренированной породы (сухая порода) будет выше, чем динамический коэффициент Пуассона в сухом состоянии, в то время как коэффициент Пуассона для насыщенной породы может не сильно отличаться при статических и динамических измерениях.

Единицы упругости при растяжении, коэффициенты и таблица материалов

Напряжение, деформация и модуль Юнга

Модуль Юнга (E) определяется как отношение напряжения, приложенного к материалу вдоль продольной оси испытуемого образца, и деформации или деформации, измеренных на той же оси. Модуль Юнга также известен как модуль упругости при растяжении, модуль упругости или модуль упругости.

Когда к объекту прикладывается растягивающая сила (растягивающая сила), он расширяется, и его поведение можно получить с помощью кривой зависимости напряжения от деформации в области упругой деформации (известной как закон Гука).Расширение, создаваемое силой, зависит не только от материала, но и от других факторов, таких как размеры объекта (например, длина, толщина и т. Д.)

Напряжение определяется как сила на единицу площади пластика и измеряется в Нм ^-2 или Па.

σ (напряжение) = F / A

Где σ – это напряжение (в Ньютонах на квадратный метр или, что эквивалентно, в Паскалях), F – это сила (в Ньютонах, обычно обозначаемая как N), а A – площадь поперечного сечения образца.

В то время как Деформация определяется как удлинение на единицу длины. А поскольку это отношение длин, деформация не имеет единиц.

ε (деформация) = ΔL / L ₀ ; ΔL = L-L ₀

где L ₀ – исходная длина растягиваемого стержня, а L – его длина после растяжения. ΔL – это удлинение стержня, разница между этими двумя длинами.

Используя измерения растягивающего напряжения и деформации растяжения, жесткость различных материалов сравнивается с модулем Юнга , E .E постоянна и не меняется для данного материала. Формула модуля упругости :

E = напряжение / деформация = σ / ε

Чем больше значение модуля Юнга, тем жестче материал

Единицы модуля упругости / модуля Юнга : Нм ^-2 или Па.

Практические единицы, используемые в пластмассах, – мегапаскалях (МПа или Н / мм ² ) или гигапаскалях (ГПа или кН / мм ² ) .В обычных единицах измерения США это часто выражается в фунтах (силах) на квадратный дюйм (psi).

Посмотреть все полимеры и эластомеры с высокой прочностью на разрыв »

Области применения включают:

Модуль упругости является важным механическим свойством для выбора материала, проектирования изделий и анализа производительности в нескольких инженерных областях, а также в медицинских приложениях .

• Используется для выбора материалов различного назначения с учетом того, как они будут реагировать на различные типы сил
• В помощь процессу проектирования
• Для снижения затрат на материалы, определение качества партии и стабильности производства

Узнайте больше о модуле Юнга:

»Как рассчитать модуль Юнга пластика
» Факторы, влияющие на модуль упругости
»Значения модуля Юнга для нескольких пластиков

Как рассчитать модуль упругости?

Как правило, применяются «методы испытаний на растяжение» для измерения модуля упругости материалов.Обычно используются следующие методы:

• ASTM D638 – Стандартный метод испытаний свойств при растяжении пластмасс
• ISO 527-1: 2012 – Определение свойств при растяжении. Общие принципы

Конечно, существует несколько других методов, перечисленных ниже, но они здесь не обсуждаются.

Методы испытаний ASTM D638 и ISO 527

Методы испытаний ASTM D638 и ISO 527 охватывают определение свойств растяжения пластмасс и пластиковых композитов в определенных условиях в виде стандартных образцов для испытаний в форме гантелей.Определяемые условия могут варьироваться от предварительной обработки, температуры, влажности до скорости испытательной машины.

Методы используются для исследования поведения испытуемых образцов при растяжении.

И, по результатам испытаний на растяжение можно сделать следующие расчеты:

Для ASTM D638 скорость испытания определяется спецификацией материала. Для ISO 527 скорость испытания обычно составляет 5 или 50 мм / мин для измерения прочности и удлинения и 1 мм / мин для измерения модуля.

Экстензометр используется для определения модуля удлинения и растяжения.

Посмотрите интересное видео, демонстрирующее метод испытания модуля упругости (Источник: ADMET Testing Systems)

Факторы, влияющие на модуль Юнга

Модуль тесно связан с энергией связи атомов . Связующие силы и, следовательно, модуль упругости обычно выше для материалов с высокой температурой плавления. Модуль Юнга действительно зависит от ориентации монокристаллического материала.

Более высокая температура в материале увеличивает атомную вибрацию, что, в свою очередь, снижает необходимую энергию для дальнейшего отделения атомов друг от друга (и, таким образом, в целом снижает напряжение, необходимое для создания заданной деформации.)

Наличие примесных атомов , легирующих атомов, неметаллических включений, частиц вторичной фазы, дислокаций (сдвигов или рассогласований в структуре решетки) и дефектов (трещин, границ зерен и т. Д.). Все это может служить как для ослабления, так и для усиления материала.

– Все, что препятствует движению дислокаций через решетку, будет иметь тенденцию увеличивать модуль упругости и, следовательно, предел текучести.

– Все, что способствует перемещению дислокаций (например, повышение температуры) или создает локальные концентраторы напряжения (например, трещины, включения и т. Д.)) будет иметь тенденцию к снижению силы (например, способствуя раннему началу отказа).

Вдохновляйтесь: предотвращайте выход из строя пластмассовых компонентов, понимая 3 основных причины и выполняя корректирующие действия с самого начала.

Модуль упругости пластмасс намного меньше, чем у металлов, керамики и стекла. Например:

• Модуль упругости нейлона составляет 2,7 ГПа (0,4 x 10 ⁶ psi)
• Модуль стекловолокна составляет 72 ГПа (10.5 x 10 ⁶ фунт / кв. Дюйм)
• Модуль Юнга композитов, таких как композитов, армированных стекловолокном (GFRC) или композитов, армированных углеродным волокном (CFRC), находится между значениями для матричного полимера и фазы волокна (углеродное или стекловолокно) и зависит от их относительные объемные доли.

Полимеры с высокой прочностью на разрыв

Просмотрите широкий ассортимент полимеров с высокой прочностью на разрыв, проанализируйте технические данные каждого продукта, получите техническую помощь или запросите образцы.

Значения модуля упругости некоторых пластмасс

Щелкните, чтобы найти полимер, который вы ищете:
A-C | E-M | PA-PC | PE-PL | ПМ-ПП | PS-X

Название полимера	Мин. Значение (ГПа)	Максимальное значение (ГПа)
ABS – Акрилонитрилбутадиенстирол	1,79	3,20
Огнестойкий ABS	2.00	3,00
АБС для высоких температур	1,50	3,00
АБС ударопрочный	1,00	2,50
Смесь АБС / ПК – Смесь акрилонитрилбутадиенстирола / поликарбоната	2,00	2,20
Смесь АБС / ПК, 20% стекловолокна	6,00	6,00
Огнестойкий ABS / PC	2,60	3.00
Смесь аморфного ТПИ, сверхвысокого нагрева, химическая стойкость (высокая текучесть)	3,50	3,50
Аморфный TPI, высокая температура нагрева, высокая текучесть, бессвинцовая пайка, 30% GF	10,53	10,53
Аморфный TPI, высокая температура нагрева, высокая текучесть, прозрачный, бессвинцовый припой (высокая текучесть)	3,10	3,10
Аморфный TPI, высокотемпературный, высокоточный, прозрачный, бессвинцовый припой (стандартный поток)	3.16	3,16
Аморфный TPI, высокая температура нагрева, химическая стойкость, 260 ° C UL RTI	3,90	3,90
Аморфный TPI, умеренный нагрев, прозрачный	3,11	3,11
Аморфный TPI, умеренный нагрев, прозрачный (одобрен для контакта с пищевыми продуктами)	3,11	3,10
Аморфный TPI, умеренно нагретый, прозрачный (степень удаления плесени)	3.12	3,12
Аморфный TPI, умеренное нагревание, прозрачный (в форме порошка)	3,11	3,11
ASA – Акрилонитрилстиролакрилат	2,00	2,60
Смесь ASA / PC – Смесь акрилонитрил-стиролакрилата / поликарбоната	2,00	2,60
ASA / PC огнестойкий	2,50	2,50
Смесь ASA / ПВХ – смесь акрилонитрил-стиролакрилата / поливинилхлорида	2.00	2,20
CA – Ацетат целлюлозы	0,60	2,80
CAB – Бутират ацетата целлюлозы	0,40	1,70
Пленки из диацетата целлюлозы с перламутровым эффектом	2,00	2,50
Глянцевая пленка из диацетата целлюлозы	2,00	2,50
Пленки из диацетата целлюлозы, покрывающие оболочку	2.50	2,90
Пленка диацетат-матовая целлюлоза	2,00	2,90
Пленка для окошек из диацетата целлюлозы (пищевая)	2,00	2,50
Металлизированная пленка из диацетата целлюлозы-Clareflect	2,10	2,60
Пленки, окрашенные диацетатом целлюлозы	2,00	2,50
Пленка из диацетата целлюлозы – огнестойкая	2.00	2,50
Пленка с высоким скольжением из диацетата целлюлозы	2,30	2,80
Пленки диацетат-полутон целлюлозы	2,00	2,50
CP – пропионат целлюлозы	0,45	1,40
COC – Циклический олефиновый сополимер	2,60	3,20
ХПВХ – хлорированный поливинилхлорид	2.50	3,20
ECTFE	1,70	1,70
ETFE – этилентетрафторэтилен	0,80	0,80
EVA – этиленвинилацетат	0,01	0,20
EVOH – Этиленвиниловый спирт	1,90	3,50
FEP – фторированный этиленпропилен	0,30	0.70
HDPE – полиэтилен высокой плотности	0,50	1,10
HIPS – ударопрочный полистирол	1,50	3,00
HIPS огнестойкий V0	2,00	2,50
Иономер (сополимер этилена и метилакрилата)	0,80	0,40
LCP – Жидкокристаллический полимер	10,00	19.00
LCP, армированный углеродным волокном	31,00	37,00
Армированный стекловолокном LCP	13.00	24.00
LCP Минеральное наполнение	12.00	22.00
LDPE – полиэтилен низкой плотности	0,13	0,30
LLDPE – линейный полиэтилен низкой плотности	0,266	0,525
MABS – Прозрачный акрилонитрилбутадиенстирол	1.90	2,00
PA 11 – (Полиамид 11) 30% армированный стекловолокном	3,80	5,20
PA 46 – Полиамид 46	1,00	3,30
PA 46, 30% стекловолокно	7,80	8,20
PA 6 – Полиамид 6	0,80	2,00
PA 6-10 – Полиамид 6-10	1,00	2.00
PA 66 – Полиамид 6-6	1,00	3,50
PA 66, 30% стекловолокно	5,00	8,00
PA 66, 30% Минеральное наполнение	1,40	5,50
PA 66, ударно-модифицированная, 15-30% стекловолокна	2,00	11.00
PA 66, ударно-модифицированный	0,80	1,20
Полиамид полуароматический	2.07	2,23
PAI – Полиамид-имид	4,00	5,00
PAI, 30% стекловолокно	11.00	15,00
PAI, низкое трение	5,00	7,00
PAN – Полиакрилонитрил	3,10	3,80
PAR – Полиарилат	2,00	2,30
PARA (Полиариламид), 30-60% стекловолокна	11.50	24.00
PBT – полибутилентерефталат	2,00	3,00
PBT, 30% стекловолокно	9,00	11,50
ПК (поликарбонат) 20-40% стекловолокно	6,00	10,00
ПК (поликарбонат) 20-40% стекловолокно огнестойкое	7,00	8,00
PC – Поликарбонат, жаропрочный	2.20	2,50
Смесь ПК / ПБТ – Смесь поликарбоната / полибутилентерефталата	1,80	2,30
Смесь ПК / ПБТ со стеклянным наполнением	4,50	5,10
PCL – поликапролактон	0,38	0,43
PCTFE – Полимонохлортрифторэтилен	1,20	1,50
PE – Полиэтилен 30% стекловолокно	4.90	6,30
Смесь ПЭ / ТПС – полиэтилен / термопластический крахмал	0,19	0,30
PEEK – Полиэфирэфиркетон	3,50	3,90
PEEK, армированный 30% углеродным волокном	13.00	22.30
PEEK, армированный стекловолокном, 30%	9,00	11,40
PEI – Полиэфиримид	3.00	3,00
PEI, 30% армированный стекловолокном	9,00	9,00
PEI, с минеральным наполнителем	5,00	7,00
PEKK (Полиэфиркетонекетон), с низкой степенью кристалличности	3,40	3,50
PESU – Полиэфирсульфон	2,30	2,80
PESU 10-30% стекловолокно	3,50	8.50
ПЭТ – полиэтилентерефталат	2,80	3,50
ПЭТ, 30% армированный стекловолокном	9,00	12.00
ПЭТ, 30/35% армированный стекловолокном, модифицированный при ударе	7,00	9,00
PETG – полиэтилентерефталат гликоль	1,90	2,00
PFA – перфторалкокси	0.70	0,80
PGA – Полигликолиды	6,50	6,90
PHB – Полигидроксибутират	3,10	3,30
PI – Полиимид	1,30	4,00
PLA – полилактид	3,40	3,60
PLA, высокотемпературные пленки	3,30	3,50
PLA, литье под давлением	3.50	3,60
PMMA – Полиметилметакрилат / акрил	2,50	3,50
PMMA (акрил) High Heat	2,50	4,30
ПММА (акрил) с модифицированным ударным воздействием	1,50	3,50
PMP – Полиметилпентен	0,50	1,60
PMP, армированный 30% стекловолокном	5,00	6.00
PMP Минеральное наполнение	1,70	2,00
ПОМ – Полиоксиметилен (Ацеталь)	2,80	3,70
ПОМ (Ацеталь) с модифицированным ударным воздействием	1,40	2,30
ПОМ (Ацеталь) с низким коэффициентом трения	1,80	3,00
ПОМ (Ацеталь) Минеральное наполнение	4,00	5,50
PP – полипропилен 10-20% стекловолокно	2.80	4,00
ПП, 10-40% минерального наполнителя	1,00	3,50
ПП, наполненный тальком 10-40%	1,50	3,50
PP, 30-40% армированный стекловолокном	4,00	10,00
Сополимер PP (полипропилен)	1,00	1,20
Гомополимер PP (полипропилен)	1,10	1.60
Гомополимер ПП, длинное стекловолокно, 30% наполнителя по весу	7,00	7,00
Гомополимер ПП, длинное стекловолокно, 40% наполнителя по весу	9,00	9,00
Гомополимер ПП, длинное стекловолокно, 50% наполнителя по весу	12.00	13,50
ПП, модифицированный при ударе	0,40	1,00
PPA – полифталамид	3.70	3,70
PPA, усиленный стекловолокном на 33% – High Flow	13.00	13.20
PPA, 45% армированный стекловолокном	17,10	17.30
PPE – Полифениленовый эфир	2,10	2,80
СИЗ, 30% армированные стекловолокном	7,00	9,00
СИЗ, огнестойкий	2.40	2,50
СИЗ, модифицированные при ударе	2,10	2,80
СИЗ с минеральным наполнителем	2,90	3,50
PPS – полифениленсульфид	3,30	4,00
PPS, армированный стекловолокном на 20-30%	6,00	11.00
PPS, армированный 40% стекловолокном	8,00	14.00
PPS, проводящий	13.00	19.00
PPS, стекловолокно и минеральное наполнение	10,00	17.00
PPSU – полифениленсульфон	2,34	2,34
PS (полистирол) 30% стекловолокно	10,00	10,00
ПС (полистирол) Кристалл	2,50	3,50
PS, высокая температура	3.00	3,50
PSU – Полисульфон	2,50	2,70
Блок питания, 30% армированный стекловолокном	7,60	10,00
PSU Минеральное наполнение	3,80	4,50
PTFE – политетрафторэтилен	0,40	0,80
ПТФЭ, армированный стекловолокном на 25%	1,40	1.70
ПВХ (поливинилхлорид), армированный 20% стекловолокном	4,50	7,00
ПВХ, пластифицированный	0,001	1,800
ПВХ, пластифицированный наполнитель	0,001	1,00
ПВХ жесткий	2,40	4,00
ПВДХ – поливинилиденхлорид	0,35	0,50
PVDF – поливинилиденфторид	1.50	2,00
SAN – Стиролакрилонитрил	2,80	4,00
SAN, армированный стекловолокном на 20%	8,00	11.00
SMA – малеиновый ангидрид стирола	2,40	3,00
SMA, армированный стекловолокном на 20%	5,00	6,00
SMA, огнестойкий V0	1,80	2.00
SMMA – метилметакрилат стирола	2,10	3,40
SRP – Самоусиленный полифенилен	5,90	8.30
Смесь TPI-PEEK, сверхвысокая температура, химическая стойкость, высокая текучесть, 240C UL RTI	4,20	4,20
TPS, впрыск общего назначения	0,80	3,00
TPS, водонепроницаемость для инъекций	0.63	0,72
UHMWPE – сверхвысокомолекулярный полиэтилен	0,30	0,60
XLPE – сшитый полиэтилен	0,35	3,50

Посмотреть все полимеры и эластомеры с высокой прочностью на разрыв »

Elasticity – The Physics Hypertextbook

Обсуждение

основы

Эластичность – это свойство твердых материалов возвращаться к своей первоначальной форме и размеру после устранения деформирующих их сил.Вспомните закон Гука – впервые официально сформулированный Робертом Гуком в Истинная теория упругости или упругости (1676)…

uttensio, sic vis

, что буквально можно перевести как…

Как расширение, так и сила.

или официально переведен на…

Вытягивание прямо пропорционально силе.

Скорее всего, мы заменим слово «расширение» символом (∆ x ), «сила» – символом ( F ), а «прямо пропорционально» – знаком равенства (=) и константа пропорциональности ( k ), тогда, чтобы показать, что упругий объект пытается вернуться в исходное состояние, мы добавили бы знак минус (-).Другими словами, мы бы написали уравнение…

F = – k ∆ x

Это закон Гука для пружины – простого объекта, который по сути одномерный. Закон Гука можно обобщить до…

Напряжение пропорционально деформации.

, где деформация относится к изменению некоторого пространственного измерения (длина, угол или объем) по сравнению с его исходным значением, а напряжение относится к причине изменения (сила, приложенная к поверхности).

Коэффициент, который связывает конкретный тип напряжения с возникающей деформацией, называется модулем упругости (множественное число, модули). Модули упругости – это свойства материалов, а не объектов. Есть три основных типа напряжения и три связанных модуля.

Модули упругости

модуль (символы)	напряжение (символ)	штамм (символ)	конфигурация изменить
Янг ( E или Y )	перпендикулярно противоположным граням (σ)	длина ε = ∆ℓ / ℓ 0	длиннее и тоньше или короче и толще
ножницы ( G или S )	по касательной к противоположным граням (τ)	касательная γ = ∆ x / y	прямоугольников становятся параллелограммами
навалом ( K или B )	нормально ко всем граням, давление ( P )	объем θ = ∆ V / V 0	объем изменяется, но форма не изменяется

Международные стандартные символы для модулей являются производными от соответствующих неанглийских слов – E для élasticité (французское слово «эластичность»), G для glissement (французский язык для скольжения) и K для . компрессия (нем. компрессия).Некоторые американские учебники решили порвать с традициями и использовать первую букву каждого модуля на английском языке – Y для Юнга, S для сдвига и B для пухлости.

Напряжения в твердых телах всегда описываются как сила, деленная на площадь. Направление сил может измениться, а единицы – нет. Единица измерения напряжения в системе СИ – ньютон на квадратный метр , которому присвоено специальное название паскаль в честь Блеза Паскаля (1623–1662), французского математика (треугольник Паскаля), физика (принцип Паскаля), изобретателя (принцип Паскаля). калькулятор) и философ (пари Паскаля).

⎡ ⎢ ⎣	Па =	N	⎤ ⎥ ⎦
		м 2

Штаммы всегда безразмерны.

Единицы напряжения

тип штамма	наименование символа	определение	единица СИ
линейный	эпсилон	ε = ∆ℓ / ℓ 0	м / м = 1
ножницы	гамма	γ = ∆ x / y	м / м = 1
объем	тета	θ = ∆ В / В 0	м 3 / м 3 = 1

Это означает, что паскаль также является единицей СИ для всех трех модулей.

	напряжение	=	модуль	×	штамм
[	Па	=	Па	×	1	]

отказ – вариант

• предел упругости, предел текучести
• предел прочности, предел прочности
• Прочность материала – это мера его способности выдерживать нагрузку без разрушения.
• Banerjee, et al. показывают, что когда иглы из монокристаллического алмаза в нанометровом масштабе упруго деформируются, они выходят из строя при максимальной локальной прочности на разрыв от ~ 89 до 98 ГПа.
• Экспериментальные результаты и расчеты ab initio показывают, что модуль упругости углеродных нанотрубок и графена приблизительно равен 1 ТПа.
• Напротив, заявленная прочность на разрыв объемного кубического алмаза составляет <10 ГПа

Модуль Юнга

Представьте себе кусок теста.Растяните это. Он становится длиннее и тоньше. Раздавите это. Он становится короче и толще. А теперь представьте кусок гранита. Проведите тот же мысленный эксперимент. Изменение формы обязательно должно произойти, но невооруженным глазом незаметно. Некоторые материалы довольно легко растягиваются и сжимаются. Некоторые этого не делают.

Величина, которая описывает реакцию материала на напряжения, приложенные перпендикулярно противоположным граням, называется модулем Юнга в честь английского ученого Томаса Янга (1773–1829). Янг был первым, кто определил работу как продукт замещения силы, первым использовал слово энергия в его современном смысле и первым показал, что свет – это волна.Он не был первым, кто измерил сопротивление материалов растяжению и сжатию, но он стал самым известным ранним сторонником модуля, который теперь носит его имя. Янг не назвал модуль в честь себя. Он назвал его модулем упругости . Символ модуля Юнга обычно E от французского слова élasticité (эластичность), но некоторые предпочитают Y в честь ученого.

Модуль Юнга

определяется для всех форм и размеров по одному и тому же правилу, но для удобства представим стержень длиной ₀ и площадью поперечного сечения A , растянутый силой F до новой длины ℓ ₀ + ∆ℓ.

Растягивающее напряжение – внешняя нормальная сила на единицу площади (σ = F / A ), а деформация растяжения – частичное увеличение длины стержня (ε = ∆ℓ / ℓ ₀ ). Константа пропорциональности, которая связывает эти две величины вместе, представляет собой отношение растягивающего напряжения к растягивающей деформации – , модуль Юнга .

То же соотношение справедливо и для сил в противоположном направлении; то есть напряжение, которое пытается сократить объект.

Заменить прилагательное «растяжение» на «сжатие». Нормальная сила на площадь, направленная внутрь (σ = F / A ), называется напряжением сжатия , а частичное уменьшение длины (ε = ∆ℓ / ℓ ₀ ) называется деформацией сжатия . Это делает модуль Юнга отношением напряжения сжатия к деформации сжатия. Прилагательное могло быть изменено, но математическое описание – нет.

Единицы измерения модуля Юнга в системе СИ – паскаль [Па]…

Па

⎡ ⎢ ⎣	N	=	кв.м.	⎤ ⎥ ⎦
	А		кв.м.

, но для большинства материалов более подходящим является значение гигапаскаль [ГПа].

1 ГПа = 10 ⁹ Па

Коэффициент Пуассона

Растяжение и сжатие – противоположные типы линейной деформации. Продлить – значит стать длиннее. Сокращение означает стать короче. Когда материал растягивается или сжимается под действием линейного напряжения в одном направлении (называемом осью x ), обратная деформация обычно имеет место в перпендикулярных направлениях (оси y и z ). Направление линейного напряжения называется осевым направлением .Все направления, которые перпендикулярны этому, называются поперечными направлениями.

Осевое разгибание обычно сопровождается поперечным сокращением. Растягивание теста делает его тоньше и длиннее. Так делают китайскую лапшу, вытянутую вручную (拉面, la mian ). Точно так же осевое сокращение обычно сопровождается поперечным растяжением. Если кусок теста расплющить, он станет шире, длиннее и тоньше. Так делают итальянскую свежую пасту ( pasta fresca ).

Отношение поперечной деформации к осевой деформации известно как коэффициент Пуассона (ν) в честь его изобретателя, французского математика и физика Симеона Пуассона (1781–1840). Отрицательный знак необходим, чтобы показать, что изменения обычно противоположного типа (+ растяжение против – сужение). Если придерживаться традиции, согласно которой x – это осевое направление, а y и z – поперечные направления, то коэффициент Пуассона можно записать как…

ν = –	∆ y / y 0	= –	∆ z / z 0
	∆ x / x 0		∆ x / x 0

Символ, который, к сожалению, похож на латинскую букву v (vee), на самом деле является греческой буквой ν (nu), которая связана с латинской буквой n (en).

в	ν	n
Латинское “vee” скорость	Греческое “nu” Коэффициент Пуассона	Латинское “en” число

Типичные значения коэффициента Пуассона находятся в диапазоне от 0,0 до 0,5. Пробка является примером материала с низким коэффициентом Пуассона (почти нулевым). Когда в винную бутылку вставляют пробку, она становится короче, но не толще. (Есть некоторая осевая деформация, но практически отсутствует поперечная.) Резина, с другой стороны, имеет высокий коэффициент Пуассона (почти 0,5). Когда резиновую пробку вставляют в колбу с химическим веществом, она становится короче на определенную величину и шире почти вдвое. (Осевая деформация сопровождается большой поперечной деформацией.) Пробки можно толкать в бутылки с помощью молотка. Забить резиновую пробку в стеклянную колбу молотком, скорее всего, закончится катастрофой.

Удивительно, но отрицательные коэффициенты Пуассона также возможны. Такие материалы называются ауксетическими .Они увеличиваются в поперечном направлении при растяжении и уменьшаются при сжатии. Большинство ауксетичных материалов представляют собой полимеры с мятой пенистой структурой. Вытягивание пены вызывает разворачивание складок и расширение всей сети в поперечном направлении.

Одноосные свойства выбранных материалов (ГПа)

материал	модуль Юнга	на сжатие прочность	разрыв прочность
алюминий	70	0.040
морковь, свежая	0,00136		0,000504
морковь, хранится 1 неделя	0,00103		0,000507
бетон	17	0,021	0,0021
бетон высокой прочности	30	0,040
медь	130	0.22
кость компактная	18	0,17	0,12
кость губчатая	76	0,0022
латунь	110	0,25
алмаз	1100
стекло	50–90	0,050
гранит	52	0.145	0,0048
золото	74
утюг	210
мрамор		0,015
зефир	0,000029
никель	170
нейлон	2–4	0.075
дуб	11	0,059	0,12
пластик, ♳ ПЭТ	2,0–2,7	0,055
пластик, ♴ HDPE	0,80	0,015
пластик, ♵ ПВХ
пластик, ♶ LDPE
пластик, ♷ PP	1.5–2,0	0,040
пластик, ♸ PS	3,0–3,5	0,040
плутоний	97
фарфор		0,55	0,0055
кремний	110
карбид кремния	450
сталь, нержавеющая		0.86
сталь конструкционная	200	0,40	0,83
сталь высокопрочная		0,76
резина	0,01–0,10		0,0021
банка	47
титан	120
вольфрам	410
карбид вольфрама	500
уран	170

Модуль сдвига

Сила, прикладываемая по касательной (или поперек, или сбоку) к поверхности объекта, называется напряжением сдвига.Возникающая в результате деформация называется деформацией сдвига. Приложение напряжения сдвига к одной грани прямоугольной коробки сдвигает эту сторону в направлении, параллельном противоположной грани, и изменяет прилегающие грани с прямоугольников на параллелограммы.

Коэффициент, который связывает напряжения сдвига (τ = F / A ) к деформации сдвига (γ = ∆ x / y ), называется модулем сдвига , модулем жесткости , или Кулоновский модуль .Обычно он представлен символом G от французского слова glissement (скольжение), хотя некоторые предпочитают использовать вместо этого S от английского слова shear.

Жидкости (жидкости, газы и плазма) не могут противостоять напряжению сдвига. Они скорее текут, чем деформируются. Величина, которая описывает, как текучие среды текут в ответ на напряжения сдвига, называется вязкостью и рассматривается в других частях этой книги.

Их неспособность к сдвигу также означает, что жидкости непрозрачны для поперечных волн, таких как вторичных волн землетрясения (также известных как поперечных волн или s-волн ).Жидкое внешнее ядро ​​Земли было обнаружено по тенью s-волны, которую она отбрасывала на сети сейсмометров. Типы волн обсуждаются в других разделах этой книги.

Жидкости могут противостоять нормальному стрессу. Это означает, что жидкости и газы прозрачны для первичных волн землетрясения (также известных как волн давления или p-волн ). Твердое внутреннее ядро ​​Земли было обнаружено в сигналах p-волны, которые прошли весь путь от одной стороны Земли через жидкое внешнее ядро ​​к другой стороне.Также слышны зубцы P. Вы можете услышать их, когда они передаются в воздух.

Сопротивление материала нормальному напряжению описывается модулем объемной упругости, который является следующей темой в этом разделе.

Сдвиговые свойства выбранных материалов (ГПа)

материал	сдвиг модуль	сдвиг прочность
алюминий
бетон
бетон высокой прочности
медь
кость компактная
кость губчатая
латунь
алмаз
стекло
гранит
золото
утюг
мрамор
зефир
никель
нейлон
дуб
пластик, ♳ ПЭТ
пластик, ♴ HDPE
пластик, ♵ ПВХ
пластик, ♶ LDPE
пластик, ♷ PP
пластик, ♸ PS
плутоний
фарфор
кремний
карбид кремния
сталь, нержавеющая
сталь конструкционная
сталь высокопрочная
резина
банка
титан
вольфрам
карбид вольфрама
уран

Модуль объемной упругости

Сила, приложенная равномерно к поверхности объекта, будет равномерно сжимать его.Это изменяет объем объекта без изменения его формы.

Напряжение в этом случае просто описывается как давление ( P = F / A ). Результирующая объемная деформация измеряется по частичному изменению объема (θ = ∆ V / V ₀ ). Коэффициент, который связывает напряжение с деформацией при равномерном сжатии, известен как модуль объемной упругости или модуль сжатия .Его традиционный символ – K от немецкого слова kompression (сжатие), но некоторым нравится использовать B от английского слова bulk, которое является другим словом для обозначения объема.

Модуль объемной упругости – это свойство материалов в любой фазе, но чаще обсуждают модуль объемной упругости для твердых тел, чем для других материалов. У газов есть объемный модуль, который изменяется в зависимости от начального давления, что делает его более важным для термодинамики, в частности, для газовых законов.

Обратный модуль объемного сжатия называется сжимаемостью .Его символ обычно β (бета), но некоторые люди предпочитают κ (каппа). Материал с высокой сжимаемостью испытывает большое изменение объема при приложении давления.

Единица сжимаемости в системе СИ – это обратный паскаль [Па ^-1 ].

Объемные свойства выбранных материалов (ГПа)

материал	объемный модуль	материал	объемный модуль
алюминий		пластик, ♳ ПЭТ
морковь, свежая		пластик, ♴ HDPE
морковь, хранится 1 неделя		пластик, ♵ ПВХ
бетон		пластик, ♶ ПВД
бетон высокой прочности		пластик, ♷ PP
медь		пластик, ♸ PS
кость компактная		плутоний
кость губчатая		фарфор
латунь		кремний
алмаз		карбид кремния
стекло		сталь, нержавеющая
гранит		сталь конструкционная
золото	Сталь	, высокопрочная
утюг		резина
мрамор		банка
зефир		титан
никель		вольфрам
нейлон		карбид вольфрама
дуб		уран

масштабирование

• без гигантских животных
• площадь поверхности пропорциональна длине ²
• масса и объем пропорциональны длине ³
• BMR пропорционален массе ^3/4
• напряжение пропорционально длине (закон Гука)
• давление пропорционально длине ² (растяжение желудка, мочевого пузыря)

поверхностное натяжение

поверхностное натяжение для выбранных жидкостей

T ~ 300 K, если не указано иное

материал	поверхностное натяжение (мН / м)
спирт этиловый (зерновой)	22.3
спирт изопропиловый (15 ° C)	21,8
спирт метиловый (дерево)	22,6
галлий (30 ° C)	500
молоко сырое	1-2
молоко гомогенизированное	3–4
вода чистая	72,8
вода, мыльная	25–45

Капиллярность

• Средний диаметр капилляров составляет около 20 мкм, хотя некоторые из них имеют диаметр всего 5 мкм.На 1 кг мышцы приходится около 190 км капилляров, площадь поверхности капилляров на 1 кг мышцы составляет около 12 м ² .

Механические свойства – инструменты для нанотехнологий

Измерение и понимание механической реакции имеет решающее значение для исследования материалов, разработки продукции и управления процессами. Механический отклик этих материалов зависит от сценариев применения, а также от химического состава материала. Основными параметрами, которые считаются для измерения этих механических свойств, являются нагрузка (P), скорость нагружения (Ṗ) или скорость деформации (), время нагружения (t).

Традиционно механические свойства определялись по кривой зависимости деформации от нагрузки, создаваемой приложенной нагрузкой, но наноиндентирование оказалось гораздо более продвинутым, обеспечивая множество свойств, таких как твердость, модуль упругости, по результатам одного теста менее чем за секунду. Некоторые общие термины, используемые в механических испытаниях, – это напряжение, деформация, предел текучести. Напряжение (σ) – мгновенная нагрузка, приложенная к образцу, деленная на его площадь поперечного сечения до любой деформации. Деформация (ε) – это изменение расчетной длины образца, деленное на его исходную расчетную длину. Предел текучести (σ _y ) – это напряжение в точке, где материал больше не реагирует упруго, называемое пределом текучести.

Из основных данных определены механические свойства:

• Модуль упругости
• Твердость
• Комплексный модуль упругости вязкоупругих материалов
• Вязкость разрушения

Схема кривой напряжения-деформации с упругими и пластическими участками до разрушения.

Модуль упругости

Два механических свойства, модуль упругости и твердость, можно определить с помощью наноиндентирования.

Модуль упругости (E), часто называемый модулем Юнга, представляет собой отношение напряжения (σ) к деформации (ε), когда деформация является полностью упругой. В упругой области напряжение и деформация пропорциональны закону Гука: σ = Eε

Модуль упругости – это внутреннее свойство материала. На фундаментальном уровне E – это мера прочности связи между атомами. Чем больше модуль, тем жестче материал и меньше деформация. Эластичный отклик непостоянен, поэтому при снятии приложенной нагрузки образец возвращается к своей исходной форме.

Твердость

Твердость (H) – это мера сопротивления материала деформации за счет вмятин на поверхности. Пластическая деформация вызывается движением дислокаций в атомной структуре материала. Предел текучести материала можно изменить, подавляя движение дислокаций через дефекты, сплавы или границы зерен.

Твердость материала может быть увеличена различными способами, включая упрочнение внедрения или замещения, когда атомы либо добавляются между атомной решеткой, либо замещаются в ней:

Промежуточное и заместительное упрочнение.

Испытание на микротвердость и наноиндентирование – стандартные методы определения твердости. Дополнительным преимуществом наноиндентирования является обеспечение модуля упругости.

Твердость материала – самый важный параметр при проектировании контактов. Чем тверже материал, тем мягче изнашивается при контакте друг с другом. В механике твердость определяется как сопротивление материала остаточной деформации во время приложения нагрузки.

Традиционно твердость измеряется по относительной шкале, такой как твердость по шкале Мооса или Виккерса.Каждому материалу присваивается числовое значение от 1 до 10 в зависимости от его относительной твердости по шкале Мооса. Недавний прогресс в технологии наноиндентирования позволяет измерять твердость различных материалов и определяется в терминах площади отпечатка на материале при заданной приложенной нагрузке. Твердость H по методу наноиндентирования рассчитывается как:

В наноиндентировании H (твердость) равна P (приложенная нагрузка), деленному на A (площадь вдавливания).

Здесь P – приложенная нагрузка, A – площадь вдавливания.Существуют разные шкалы измерения, основанные на материалах, таких как твердость по Шору, твердость по Виккерсу, твердость по Моосу и твердость по Кнупу, чтобы упомянуть несколько. Все они представляют собой относительную твердость материала по отношению к стандартному образцу. Наноиндентирование устраняет неоднозначность в различных масштабах, обеспечивая физическое измерение с точки зрения абсолютной твердости.

В отличие от модуля упругости, который является неотъемлемым свойством материалов, твердость показывает размерную зависимость в материалах, у которых приповерхностная твердость отличается от объемной твердости.Непрерывное измерение жесткости – отличный метод измерения зависимости от глубины для изучения размерного эффекта твердости в различных материалах. Зависимость твердости от размера можно понять, сравнив два сплава, состоящих из одного и того же материала, но с разными размерами зерен. Более мелкие зерна приводят к более высокой твердости большинства материалов из-за компактности набивки.

Вязкоупругость

Динамический механический анализ (DMA) используется для полимеров и резиновых материалов с фиксированной геометрией.Колебание применяется во время развертки частоты при повышении температуры. Затем определяется комплексный модуль упругости, модуль накопления и потери в зависимости от частоты и температуры.

Модуль упругости (E ’) – это мера эластичности полимерного материала. Модуль потерь (E ”) – это мера способности полимера преобразовывать механическую энергию в тепло. Коэффициент потерь, обозначаемый как tan δ, представляет собой отношение E ”к E’.

Когда размер образца или функция требует небольшого объема, для определения E ’и E” используется тест динамического наноиндентирования, аналогичный DMA.Наноиндентирование можно использовать для характеристики более широкого частотного диапазона, чем прямой доступ к памяти. Меньший размер образца может быть нагрет меньше.

Поперечное сечение шины с трехмерными картами накопления и модуля потерь по данным наноиндентирования.

Вязкость разрушения

Вязкость разрушения – это свойство сопротивления материала хрупкому разрушению. Поскольку появление дефектов невозможно избежать во время обработки материала или детали, вязкость разрушения является важным свойством материала.Материалы с высокой вязкостью разрушения будут склонны к вязкому разрушению. Материалы с низкой вязкостью разрушения обычно имеют хрупкое разрушение.

Модели

можно использовать для расчета вязкости разрушения и соотнесения с данными наноиндентирования при высоких нагрузках. Обычно эти методы учитывают размер дефекта, геометрию компонента и состояние нагрузки. Вязкость разрушения используется для оценки способности компонента с уже существующими дефектами противостоять разрушению.

Раскрашенное СЭМ-изображение трещин в стали с плазменным напылением.

Картирование упругих свойств двумерного MoS2 с помощью бимодальной атомно-силовой микроскопии и моделирования методом конечных элементов

Моно- и двухслойный MoS

₂

Моно- и двухслойный MoS ₂ был микромеханически отслоен от объемного MoS ₂ на подложку Si / SiO ₂ с термическим оксидом толщиной 300 нм с использованием скотча, как подробно описано в разделе «Материалы и методы», ^27,28 , и процесс показан на рис. S1 в дополнительной информации (SI). .Оптическое изображение расслоенного MoS ₂ показано на рис. 1a, наложенное на схематическую решетку MoS ₂ , причем одно- и двухслойный, а также более толстый MoS ₂ можно увидеть, судя по их отчетливым оптическим контрастам. ²⁹ Чтобы подтвердить подсчет слоев, сканирование АСМ в режиме постукивания проводилось над голубым прямоугольником, отмеченным на рис. 1a, с результирующими топографическими картами на рис. 1b, показывающими четкую границу раздела между MoS ₂ и Si / SiO ₂ . Соответствующее линейное сканирование топографии AFM показывает шаг примерно 0.8 нм высотой, и таким образом подтверждают монослой MoS ₂ в соответствующей области. ³⁰ Красный прямоугольник на рис. 1a показывает интерфейс между моно- и двухслойным MoS ₂ , который будет рассмотрен позже. Эти подсчеты слоев дополнительно подтверждаются измерениями комбинационного рассеяния света с использованием лазера с длиной волны 532 нм для возбуждения, как подробно описано в разделе «Материалы и методы», выявляя пики с центрами на 385,9 см ⁻¹ и 404,5 см ⁻¹ (голубая область) и 383,9 см ^−1. и 405.1} \ right) \) фононные моды MoS ₂ соответственно. Различия рамановского сдвига между двумя пиками в голубой и красной областях составляют 18,6 см ^-1 и 21,5 см ^-1 , соответственно, подтверждая, что есть однослойный и двухслойный MoS ₂ . ^31,32,33 Спектры комбинационного рассеяния света, возбуждаемые лазером с длиной волны 633 нм, также были получены, как показано на рис. S2, что дает согласованные данные.

Рис.1

Exfoliated MoS ₂ на подложке Si / SiO ₂ . a Оптическое изображение; b Топография АСМ-топографии голубой области, отмеченной позицией a , с границей раздела между Si / SiO ₂ и монослоем MoS ₂ ; c Рамановские спектры моно- и двухслойного MoS ₂

Бимодальная атомно-силовая микроскопия (AM – FM)

Мы стремимся отобразить упругие свойства монослоя MoS ₂ на подложке Si / SiO ₂ количественно с использованием бимодального АСМ, в котором одновременно используются первая и вторая моды изгиба кантилевера, имеющего жесткость пружины k ₁ и k ₂ , с соответствующими резонансными частотами f ₁ и f ₂ , амплитуда \ (A_1 ^ 0 \) и \ (A_2 ^ 0 \) и коэффициенты качества Q ₁ и Q ₂ при свободной вибрации в воздухе.При взаимодействии с образцом в режиме постукивания во время сканирования, кантилевер имеет амплитуды колебаний первой и второй моды, а также частоту первой моды, предварительно установленную на A ₁ , A ₂ и f ₁ , при этом вторая мода поддерживается в резонансе за счет поддержания постоянной фазы ϕ ₂ π / 2, как схематично показано на рис. 2а. ²⁶ При такой конфигурации отклонение кантилевера первой моды используется для отслеживания топографии образца на основе амплитудной модуляции (AM) с большой амплитудой и его амплитуды A ₁ и фазы ϕ ₁ используются для измерения жесткости взаимодействия зонд-образец.Кроме того, измерение частотного сдвига Δ f ₂ более высокой собственной моды с малой амплитудой A ₂ на основе частотной модуляции (FM) дает дополнительную информацию о взаимодействии зонда и образца. Таким образом, метод упоминается как AM – FM, ^25,34 , который позволяет различать изменения глубины вдавливания и модуля упругости образца, и оба этих независимых измерения могут использоваться для определения эффективной жесткости пружины системы зонд-образец. {- 1}.$

(2)

Рис.2

AM-FM зондирование монослоя MoS ₂ на подложке Si / SiO ₂ . a Схема AM – FM изображения; b – d сопоставления b фазы ϕ ₁ первого режима изгиба, c сдвиг частоты Δ f ₂ второго режима изгиба и d максимальная глубина вдавливания δ , все наложено на топографию монослоя MoS ₂ (справа) и Si / SiO ₂ (слева), с A ₁ увеличено с 70 нм до 120 нм за 5 шагов, а размер сканирования 5 мкм; и e соответствующая эффективная жесткость пружины k _* наложена на топографию

Обратите внимание, что тангенс угла потерь первой или второй собственных мод может использоваться для извлечения информации о диссипации на любой из частот f ₁ и f ₂ .В качестве примера показаны отображения фазы ϕ ₁ первой изгибной моды и частотного сдвига Δ f ₂ второй изгибной моды, полученные при сканировании AM-FM монослоя MoS ₂ на Si / SiO _{. 2} показаны на рис. 2b, c, вместе с соответствующей максимальной глубиной вдавливания δ на рис. 2d. Во время сканирования A ₁ постепенно увеличивался с 70 нм до 120 нм за 5 шагов, что приводило к различным фазам, частотным сдвигам и глубине вдавливания, очевидным из этих сопоставлений, как и ожидалось из теории. ^34,35 Тем не менее, эффективная жесткость пружины образца k _* , рассчитанная по формуле. (1) стабильна и не меняется в этих различных экспериментальных условиях как для SiO ₂ , так и для MoS ₂ , как показано на рис. 2e. В то время как преднамеренная регулировка уставки приводит к появлению горизонтальных полос в сопоставлениях фазы ϕ ₁ , сдвига частоты Δ f ₂ и глубины вдавливания δ , отображение эффективной жесткости пружины показывает только контраст между MoS ₂ и SiO ₂ без каких-либо полос, демонстрируя, что метод является надежным, а измеренная эффективная жесткость пружины нечувствительна к применяемым экспериментальным параметрам.Особый интерес представляет показанная на рис. 2d глубина вдавливания в диапазоне нескольких нанометров. Это намного меньше, чем 10% от толщины 300 нм SiO ₂ , необходимой для испытания на вдавливание, и, таким образом, эффективная жесткость пружины для SiO ₂ является точной. Однако глубина больше, чем толщина MoS ₂ , и, таким образом, эффективная жесткость пружины, отображенная на MoS ₂ , отражает влияние как MoS ₂ , так и нижележащего SiO ₂ .Таким образом, мы прибегаем к МКЭ, основанному на механике контакта, чтобы учесть влияние подложки и помочь нам определить внутренние упругие свойства монослоя MoS ₂ на основе отображения эффективной жесткости пружины.

Контактная механика и анализ методом конечных элементов

Эффективная жесткость пружины, измеренная с помощью AM-FM, позволяет определить модуль Юнга образца с использованием теории контактной механики. Для плоского пуансона радиусом R , контактирующего с однородным эластичным материалом в полупространстве, эффективная жесткость пружины k _* равна ^25,34,36

$$ k_ \ ast = 2RE_ \ ast,

долларов США

(3)

, так что эффективный модуль Юнга E _* можно вывести из уравнения.2}} {{E _ {\ rm s}}} $$

(5)

, где в E _t , E _s , ν _t и ν _s – это модуль Юнга и коэффициент Пуассона наконечника и образца, соответственно, из которых модуль Юнга E _s образца можно определить. Обратите внимание, что явная характеристика геометрической формы наконечника не требуется, так как эталонный материал с известным модулем Юнга и коэффициентом Пуассона можно использовать для калибровки вместо этого, чтобы получить нормированную эффективную жесткость пружины \ (\ bar k \) образца по отношению к этому справочного материала.В нашем случае модуль Юнга и коэффициент Пуассона SiO ₂ известны, что дает нам естественный выбор эталона для калибровки. Однако эффективная жесткость пружины MoS ₂ , измеренная как таковая, зависит от нижележащего SiO ₂ , и поэтому мы прибегаем к МКЭ для учета этого эффекта. Такой континуальный анализ оказался подходящим для плоской деформации монослоя. ^20,21

MoS ₂ представляет собой поперечно-изотропный слоистый материал с пятью независимыми упругими постоянными, ³⁷ а именно модуль Юнга в плоскости и вне плоскости E ₁₁ и E ₃₃ , коэффициент Пуассона в плоскости и вне плоскости υ ₁₂ и υ ₁₃ , и модуль сдвига вне плоскости G ₄₄ , как подробно описано в разделе «Материалы и методы».На основе расчетов из первых принципов и моделирования молекулярной динамики коэффициенты Пуассона MoS ₂ можно принять равными 0,25. ^38,39,40,41 Следовательно, необходимо определить только три неизвестных материальных константы: E ₁₁ , E ₃₃ и G ₄₄ . Обратите внимание, что мы проигнорировали вязкоупругость в нашей текущей модели, поскольку образец жесткий. Конфигурация модели МКЭ показана на рис. 3а, где поперечно-изотропный слоистый материал толщиной 0 мкм.8 нм и радиусом 150 нм поверх объемной подложки SiO ₂ толщиной 99,2 нм вдавлен плоский штамп из кремния с радиусом 5 нм, а распределение радиальных напряжений в зонде и образце показано, когда наконечник прижать к поверхности образца. Что нас действительно интересует, так это наклон моделированной кривой силы-смещения для прямого сравнения с экспериментом AM-FM, и оказывается, что такая кривая довольно нечувствительна к внеплоскостному модулю Юнга E ₃₃ (рис.3b) и модуль сдвига G ₄₄ (рис. S3a), при этом большие изменения в E ₃₃ и G ₄₄ не приводят к заметной разнице в кривой силы-смещения. Это можно понять из распределения результирующего смещения в плоскости и вне плоскости в зависимости от радиального расстояния от датчика (рис. S4), которое показывает, что смещение в плоскости намного больше, чем смещение вне плоскости. и его вариации охватывают гораздо большие области, что позволяет предположить, что режим деформации в основном находится в плоскости, что оправдывает непрерывное рассмотрение.В результате смоделированная нормализованная эффективная жесткость пружины \ (\ bar k \) показывает небольшие изменения в большом диапазоне модуля Юнга E ₃₃ и модуля сдвига G ₄₄ (рис. 3c), что делает возможным для нас определить E ₁₁ , независимо от E ₃₃ и G ₄₄ . Отметим, что в приближении плоского штампа эффективная жесткость пружины \ (\ bar k \) нечувствительна к радиусу наконечника для достаточно большой области расчета и достаточно толстого SiO ₂ , как показано на рис.S5 и рис. S6, и влияние Si под SiO ₂ незначительно.

Рис.3

FEM-моделирование поперечно-изотропного слоистого материала с различным модулем упругости на подложке Si / SiO ₂ , подвергнутой индентированию кремниевым наконечником, с G ₄₄ и E ₁₁ на 50 и 300 ГПа соответственно. a Распределение радиальных напряжений с E ₃₃ 300 ГПа; b Кривые сила-перемещение, рассчитанные для различных значений модуля Юнга вне плоскости; и c нормализованная эффективная жесткость пружины \ (\ bar k \), оцененная при различных значениях модуля Юнга вне плоскости E ₃₃ и модуля сдвига G ₄₄

Из-за нечувствительности кривой силы-смещения относительно модуля упругости 2D материалов в плоскости, становится возможным определить их модуль Юнга в плоскости E ₁₁ из эксперимента AM-FM.Чтобы понять это, мы оценили с помощью МКЭ кривые сила-смещение при различных E ₁₁ с модулем Юнга вне плоскости E ₃₃ и модулем сдвига G ₄₄ , установленным как 100 ГПа и 50 ГПа на основе расчетов из первых принципов MoS ₂ , ^37,42 , который показывает отчетливый наклон и, следовательно, k _* (рис. 4a). Смещение в плоскости и вне плоскости при различных E ₁₁ еще раз подтверждает, что преобладающая мода деформации – плоскостная (рис.4b), а нормализованная эффективная жесткость пружины \ (\ bar k \), смоделированная для монослоя MoS ₂ , показывает сильную зависимость от модуля Юнга в плоскости E ₁₁ (рис. 4c). Важно отметить, что мы можем напрямую сравнить эту кривую нормированной эффективной жесткости пружины \ (\ bar k \) с экспериментально измеренными данными из разных областей образца и в разных условиях, которая попадает в красноватую полосу с измеренным \ (\ bar k \) между 1,0669 и 1,0795, что может быть преобразовано в модуль Юнга в плоскости для монослоя MoS ₂ с помощью этой кривой.

Рис. 4

FEM-моделирование поперечно-изотропного слоистого материала с различным модулем в плоскости на подложке Si / SiO ₂ , подвергнутой индентированию кремниевым наконечником, с E ₃₃ и G ₄₄ из 100 и 50 ГПа соответственно. {} \), смоделированная при различных модулях Юнга в плоскости по сравнению с экспериментальными данными

Модуль Юнга одно- и двухслойного MoS

₂

соотношение между нормированной эффективной жесткостью пружины \ (\ bar k \) и модулем Юнга в плоскости E ₁₁ , показанное на рис.4c позволяет преобразовать отображение AM-FM эффективной жесткости пружины (рис. 2e) в отображение модуля Юнга MoS ₂ . С этой целью сопоставления топографии и модуля Юнга в плоскости, полученные в оптимальных экспериментальных условиях, показаны на рис. 5a, b для монослоя MoS ₂ и SiO ₂ , демонстрируя отчетливый модуль Юнга в плоскости монослоя MoS. ₂ и SiO ₂ . Соответствующая гистограмма на рис. 5c показывает, что распределение модуля Юнга в плоскости достаточно резкое, составляя 70 ± 1 ГПа для SiO ₂ и 265 ± 13 ГПа для монослоя MoS ₂ , и это согласуется с более ранним отчетом. но с гораздо меньшим рассеянием. ²⁰ Как уже говорилось, мы использовали SiO ₂ в качестве естественного эталонного материала для калибровки, что позволило нам провести анализ всего за одно отображение с использованием как однослойной подложки MoS ₂ , так и подложки Si / SiO ₂ . Хотя они имеют существенно разные модули упругости, разница в глубине вдавливания довольно мала, как показано на рис. S7, что обеспечивает точность AM-FM с использованием эталонного метода. В отличие от предыдущего метода подвески, который определяет модуль Юнга только в одной точке на подложке с микрорельефом, наш метод позволяет пространственное отображение модуля Юнга непосредственно на обычной подложке, и, таким образом, он особенно удобен для изучения механических свойств 2D-материалов в устройстве. конфигурация, в которой важны как подложка, так и / или поверхность раздела, структурная неоднородность и дефекты.

Рис.5

Модуль Юнга в плоскости монослоя MoS ₂ на Si / SiO ₂ , с отображениями топографии a , b модуля Юнга в плоскости и c распределения гистограммы модуль Юнга в плоскости; размер сканирования составляет 5 мкм

Особый интерес представляет модуль Юнга двухслойного MoS ₂ , который, как ожидается, не будет отличаться от такового для монослоя из-за слабых ван-дер-ваальсовых взаимодействий между слоями, однако в предыдущем исследовании сообщалось о существенном различии, 270 ± 100 ГПа для монослоя и 200-60 ГПа для бислоя. ²⁰ Таким образом, мы исследовали красную рамку на рис. 1а, которая содержит как однослойный, так и двухслойный MoS ₂ , с его АСМ топографией, показанной на рис. 6а, с четким шагом 0,8 нм между моно- и двухслойными слоями. Однако отображение AM-FM эффективной жесткости пружины на рис. 6b не показывает заметной разницы между однослойным и двухслойным, что также видно из распределения гистограммы на рис. 6c. Чтобы понять этот результат, мы выполняем расчет DFT из первых принципов для двухслойного MoS ₂ , для которого межслоевое расстояние h является критическим параметром.Как видно из профиля плотности заряда на рис. 6d, существует сильное взаимодействие между атомами S в верхнем и нижнем слоях на небольшом межслоевом пространстве 1,50 Å, которое становится все слабее и слабее с увеличением h (рис. S8 ). Когда h приближается к 3,00 Å, как показано на рис. 6d, практически отсутствует какое-либо взаимодействие между атомами S в верхнем и нижнем слоях, что соответствует слабому ван-дер-ваальсовому взаимодействию вместо ковалентного взаимодействия между слоями. Действительно, энергетический анализ показывает, что энергия двухслойного MoS ₂ на примитивную ячейку быстро уменьшается с увеличением h и сходится к энергии монослоя MoS ₂ на уровне около 3.00 Å, при котором деформация вне плоскости становится равной нулю, и ожидается, что энергетическое поведение будет идентичным поведению монослоя MoS ₂ . В результате кривая напряжения-деформации и соответствующий модуль Юнга двухслойного MoS ₂ , показанные на рис. 6e, оцененные при одноосной нагрузке, сходятся с таковой для монослоя MoS ₂ , что согласуется с предыдущим отчетом. ²³ Другими словами, плоский модуль Юнга идеального однослойного и двухслойного MoS ₂ подтвержден расчетами DFT, как это наблюдалось в наших экспериментах AM-FM.

Рис.6

Модуль Юнга в плоскости двухслойного MoS ₂ , сопрягающихся с однослойными, с отображениями топографии a , b эффективная жесткость пружины k _* и ( c ) гистограмма распределения эффективной жесткости пружины k _* для однослойного и двухслойного MoS ₂ соответственно; размер скана 5 мкм. d Плотность заряда двухслойного MoS ₂ по отношению к межслоевому пространству h ; e энергетика двухслойного MoS ₂ относительно межслоевого пространства; f зависимость напряжения от деформации в зигзагообразном (ZZ) направлении двухслойного MoS ₂ с разным межслоевым интервалом h

12.3 Напряжение, деформация и модуль упругости – University Physics Volume 1

Учебные цели

К концу этого раздела вы сможете:

• Объясните концепции напряжения и деформации при описании упругих деформаций материалов
• Описать виды упругого деформирования предметов и материалов

Модель твердого тела – это идеализированный пример объекта, который не деформируется под действием внешних сил. Это очень полезно при анализе механических систем, а многие физические объекты действительно в значительной степени жесткие.Степень, в которой объект может восприниматься как жесткий, зависит от физических свойств материала, из которого он сделан. Например, мяч для пинг-понга, сделанный из пластика, является хрупким, а теннисный мяч, сделанный из резины, эластичен, когда на него воздействуют сжимающие силы. Однако при других обстоятельствах и мяч для пинг-понга, и теннисный мяч могут хорошо отскакивать как твердые тела. Точно так же тот, кто проектирует протезы конечностей, может приблизиться к механике человеческих конечностей, моделируя их как твердые тела; однако фактическая комбинация костей и тканей представляет собой эластичную среду.

В оставшейся части этой главы мы переходим от рассмотрения сил, влияющих на движение объекта, к тем, которые влияют на форму объекта. Изменение формы из-за приложения силы называется деформацией. Известно, что даже очень небольшие силы вызывают некоторую деформацию. Деформация испытывается объектами или физическими средами под действием внешних сил – например, это может быть сжатие, сжатие, разрыв, скручивание, срезание или растяжение объектов. На языке физики два термина описывают силы, действующие на объекты, подвергающиеся деформации: напряжение и напряжение .

Напряжение – это величина, которая описывает величину сил, вызывающих деформацию. Напряжение обычно определяется как силы на единицу площади . Когда силы притягивают объект и вызывают его удлинение, например, при растяжении эластичной ленты, мы называем такое напряжение растягивающим напряжением. Когда силы вызывают сжатие объекта, мы называем это напряжением сжатия. Когда объект сдавливается со всех сторон, как подводная лодка в глубинах океана, мы называем этот вид напряжения объемным напряжением (или объемным напряжением).В других ситуациях действующие силы могут быть ни растягивающими, ни сжимающими, и все же вызывать заметную деформацию. Например, предположим, что вы держите книгу в ладонях, затем одной рукой вы нажимаете и тянете переднюю обложку от себя, а другой рукой вы нажимаете и тянете заднюю обложку в направлении ты. В таком случае, когда деформирующие силы действуют по касательной к поверхности объекта, мы называем их «поперечными» силами, а вызываемое ими напряжение – поперечным напряжением.

Единицей измерения напряжения в системе СИ является паскаль (Па). Когда сила в один ньютон воздействует на единицу площади квадратного метра, результирующее напряжение составляет один паскаль:

один паскаль = 1.0Па = 1.0N1.0м2. один паскаль = 1.0Па = 1.0N1.0м2.

В британской системе единиц измерения напряжения используется «psi», что означает «фунт на квадратный дюйм» (фунт / дюйм2) (фунт / дюйм2). Другой единицей измерения объемного напряжения является атм (атмосфера). Коэффициенты пересчета:

1 фунт / кв. Дюйм = 6895 Па и 1 Па = 1,450 × 10−4 фунт / кв. Дюйм · атм = 1.013 × 105 Па = 14,7 фунтов на квадратный дюйм, 1 фунт на квадратный дюйм = 6895 Па и 1 Па = 1,450 × 10-4 фунтов на квадратный дюйм · атм = 1,013 × 105 Па = 14,7 фунтов на квадратный дюйм.

Объект или среда под напряжением деформируются. Величина, описывающая эту деформацию, называется деформацией. Деформация задается как частичное изменение длины (при растягивающем напряжении), объема (при объемном напряжении) или геометрии (при напряжении сдвига). Следовательно, деформация – это безразмерное число. Деформация под действием растягивающего напряжения называется деформацией растяжения, деформация под действием объемного напряжения называется объемной деформацией (или объемной деформацией), а деформация, вызванная напряжением сдвига, называется деформацией сдвига.

Чем больше напряжение, тем больше напряжение; однако связь между деформацией и напряжением не обязательно должна быть линейной. Только когда напряжение достаточно низкое, деформация, которую оно вызывает, прямо пропорциональна величине напряжения. Константа пропорциональности в этом отношении называется модулем упругости. В линейном пределе низких значений напряжения общее соотношение между напряжением и деформацией составляет

напряжение = (модуль упругости) × деформация. напряжение = (модуль упругости) × деформация.

12.33

Как видно из анализа размеров этого соотношения, модуль упругости имеет ту же физическую единицу, что и напряжение, поскольку деформация безразмерна.

Из уравнения 12.33 также видно, что, когда объект характеризуется большим значением модуля упругости, влияние напряжения невелико. С другой стороны, небольшой модуль упругости означает, что напряжение вызывает большую деформацию и заметную деформацию. Например, напряжение на резиновой ленте вызывает большую деформацию (деформацию), чем такое же напряжение на стальной ленте тех же размеров, потому что модуль упругости резины на два порядка меньше модуля упругости стали.

Модуль упругости при растяжении называется модулем Юнга; то, что для объемного напряжения называется объемным модулем; а напряжение сдвига называется модулем сдвига. Обратите внимание, что соотношение между напряжением и деформацией – это наблюдаемое соотношение , измеренное в лаборатории. Модули упругости для различных материалов измеряются при различных физических условиях, таких как изменяющаяся температура, и собираются в таблицах технических данных для справки (таблица 12.1). Эти таблицы являются ценными справочными материалами для промышленности и для всех, кто занимается проектированием или строительством.В следующем разделе мы обсудим отношения между деформацией и напряжением за пределами линейного предела, представленного уравнением 12.33, в полном диапазоне значений напряжения до точки разрушения. В оставшейся части этого раздела мы изучаем линейный предел, выражаемый уравнением 12.33.

Материал	Модуль Юнга × 1010 Па × 1010 Па	Объемный модуль × 1010 Па × 1010 Па	Модуль сдвига × 1010 Па × 1010 Па
Алюминий	7.0	7,5	2,5
Кость (напряжение)	1,6	0,8	8,0
Кость (компрессия)	0,9
Латунь	9,0	6,0	3,5
Кирпич	1,5
Бетон	2,0
Медь	11.0	14,0	4,4
Коронное стекло	6,0	5,0	2,5
Гранит	4,5	4,5	2,0
Волосы (человеческие)	1,0
Твердая древесина	1,5		1,0
Утюг	21,0	16,0	7,7
Свинец	1.6	4,1	0,6
Мрамор	6,0	7,0	2,0
Никель	21,0	17,0	7,8
Полистирол	3,0
Шелк	6,0
Паутинка	3,0
Сталь	20.0	16,0	7,5
Ацетон		0,07
Этанол		0,09
Глицерин		0,45
Меркурий		2,5
Вода		0,22

Стол 12.1 Приблизительные модули упругости для выбранных материалов

Напряжение при растяжении или сжатии, деформация и модуль Юнга

Напряжение или сжатие возникает, когда две антипараллельные силы равной величины действуют на объект только в одном из его измерений таким образом, что объект не перемещается. Один из способов представить себе такую ​​ситуацию показан на рисунке 12.18. Сегмент стержня либо растягивается, либо сжимается парой сил, действующих по его длине и перпендикулярно его поперечному сечению.Чистый эффект таких сил состоит в том, что стержень изменяет свою длину от исходной длины L0L0, которая была у него до появления сил, на новую длину L , которую он имеет под действием сил. Это изменение длины ΔL = L-L0ΔL = L-L0 может быть либо удлинением (когда L больше исходной длины L0) L0), либо сокращением (когда L меньше исходной длины L0) .L0) . Напряжение растяжения и деформация возникают, когда силы растягивают объект, вызывая его удлинение, и изменение длины ΔLΔL является положительным.Напряжение сжатия и деформация возникают, когда силы сжимают объект, вызывая его сокращение, а изменение длины ΔLΔL отрицательно.

В любой из этих ситуаций мы определяем напряжение как отношение деформирующей силы F⊥F⊥ к площади A поперечного сечения деформируемого объекта. Символ F⊥F⊥, который мы оставляем для деформирующей силы, означает, что эта сила действует перпендикулярно поперечному сечению объекта. Силы, действующие параллельно поперечному сечению, не изменяют длину объекта.Определение растягивающего напряжения –

растягивающее напряжение = F⊥A. растягивающее напряжение = F⊥A.

12,34

Деформация растяжения – это мера деформации объекта при растягивающем напряжении и определяется как частичное изменение длины объекта, когда объект испытывает растягивающее напряжение.

деформация растяжения = ΔLL0. деформация растяжения = ΔLL0.

12,35

Напряжение сжатия и деформация определяются теми же формулами, уравнением 12.34 и уравнением 12.35, соответственно. Единственное отличие от ситуации с растяжением состоит в том, что для сжимающего напряжения и деформации мы берем абсолютные значения правых частей в уравнении 12.34 и уравнение 12.35.

Фигура 12,18 Когда объект находится в состоянии растяжения или сжатия, результирующая сила, действующая на него, равна нулю, но объект деформируется, изменяя свою исходную длину L0.L0. (a) Натяжение: стержень удлинен на ΔL.ΔL. (b) Сжатие: стержень сжимается на ΔL.ΔL. В обоих случаях деформирующая сила действует по длине стержня и перпендикулярно его поперечному сечению. В линейном диапазоне малых напряжений площадь поперечного сечения стержня не изменяется.

Модуль Юнга Y – это модуль упругости, когда деформация вызвана либо растягивающим, либо сжимающим напряжением, и определяется уравнением 12.33. Разделив это уравнение на деформацию растяжения, мы получим выражение для модуля Юнга:

Y = растягивающая деформация растяжения = F⊥ / AΔL / L0 = F⊥AL0ΔL.Y = растягивающая деформация растяжения = F⊥ / AΔL / L0 = F⊥AL0ΔL.

12,36

Пример 12,7

Напряжение сжатия в опоре

Скульптура весом 10 000 Н покоится на горизонтальной поверхности на вершине вертикального столба высотой 6,0 м. Рис. 12.19. Площадь поперечного сечения столба 0,20 м 20,20 м 2, он выполнен из гранита плотностью 2700 кг / м3.2700кг / м3. Найдите сжимающее напряжение в поперечном сечении, расположенном на 3,0 м ниже вершины столба, и значение сжимающей деформации верхнего 3,0-метрового сегмента столба.

Фигура 12,19 Колонна Нельсона на Трафальгарской площади, Лондон, Англия. (кредит: модификация работы Кристиана Бортеса)

Стратегия

Сначала узнаем вес верхней части столба длиной 3,0 м. Нормальная сила, действующая на поперечное сечение, расположенное на 3,0 м ниже вершины, складывается из веса столба и веса скульптуры.Когда у нас есть нормальная сила, мы используем уравнение 12.34, чтобы найти напряжение. Чтобы найти деформацию сжатия, мы находим значение модуля Юнга для гранита в таблице 12.1 и инвертируем уравнение 12.36.

Решение

Объем сегмента колонны высотой h = 3,0мh = 3,0м и площадью поперечного сечения A = 0,20м2A = 0,20м2 составляет V = Ah = (0,20 м 2) (3,0 м) = 0,60 м 3. V = Ah = (0,20 м 2) (3,0 м) = 0,60 м 3.

При плотности гранита ρ = 2,7 × 103 кг / м3, ρ = 2,7 × 103 кг / м3 масса сегмента столба составляет

m = ρV = (2,7 × 103 кг / м3) (0.60 м3) = 1,60 × 103 кг.м = ρV = (2,7 × 103 кг / м3) (0,60 м3) = 1,60 × 103 кг.

Вес сегмента стойки

wp = mg = (1,60 × 103 кг) (9,80 м / с2) = 1,568 × 104 Н. wp = mg = (1,60 × 103 кг) (9,80 м / с2) = 1,568 × 104 Н.

Вес скульптуры составляет ws = 1,0 × 104 Н, ws = 1,0 × 104 Н, поэтому нормальная сила на поверхности поперечного сечения, расположенной на 3,0 м ниже скульптуры, составляет

F⊥ = wp + ws = (1,568 + 1,0) × 104N = 2,568 × 104N. F⊥ = wp + ws = (1,568 + 1,0) × 104N = 2,568 × 104N.

Следовательно, напряжение

напряжение = F⊥A = 2,568 × 104N0,20м2 = 1,284 × 105 Па = 128.4 кПа. Напряжение = F⊥A = 2,568 × 104N0,20м2 = 1,284 × 105Па = 128,4 кПа.

Модуль Юнга для гранита Y = 4,5 × 1010 Па = 4,5 × 107 кПа. Y = 4,5 × 1010 Па = 4,5 × 107 кПа. Следовательно, деформация сжатия в этом положении составляет

деформация = напряжение Y = 128,4 кПа 4,5 × 107 кПа = 2,85 × 10-6. деформация = напряжение Y = 128,4 кПа 4,5 × 107 кПа = 2,85 × 10-6.

Значение

Обратите внимание, что нормальная сила, действующая на площадь поперечного сечения колонны, не является постоянной по всей ее длине, а изменяется от наименьшего значения наверху до наибольшего значения внизу колонны.Таким образом, если опора имеет равномерную площадь поперечного сечения по всей длине, наибольшее напряжение у ее основания.

Проверьте свое понимание 12,9

Найдите сжимающее напряжение и деформацию в основании колонны Нельсона.

Пример 12,8

Растяжка стержня

Стальной стержень длиной 2,0 м имеет площадь поперечного сечения 0,30 см2 0,30 см2. Штанга является частью вертикальной опоры, которая удерживает тяжелую платформу весом 550 кг, которая подвешена к нижнему концу штанги.Пренебрегая весом стержня, каково растягивающее напряжение стержня и удлинение стержня под действием напряжения?

Стратегия

Сначала мы вычисляем растягивающее напряжение в стержне под весом платформы в соответствии с уравнением 12.34. Затем мы инвертируем уравнение 12.36, чтобы найти удлинение стержня, используя L0 = 2,0 м. L0 = 2,0 м. Из таблицы 12.1 модуль Юнга для стали составляет Y = 2,0 × 1011 Па. Y = 2,0 × 1011 Па.

Решение

Подстановка числовых значений в уравнения дает нам F⊥A = (550 кг) (9.8 м / с2) 3,0 × 10–5 м2 = 1,8 × 108 Па ΔL = F⊥AL0Y = (1,8 × 108 Па) 2,0 × 1011 Па = 1,8 × 10–3 м = 1,8 мм. F⊥A = (550 кг) (9,8 м / s2) 3,0 × 10–5 м2 = 1,8 × 108 Па ΔL = F⊥AL0Y = (1,8 × 108 Па) 2,0 × 1011 Па = 1,8 × 10–3 м = 1,8 мм.

Значение

Как и в примере с колонной, растягивающее напряжение в этом примере неоднородно по длине стержня. Однако, в отличие от предыдущего примера, если принять во внимание вес штанги, напряжение в штанге будет наибольшим в верхней части и наименьшим в нижней части штанги, к которой прикреплено оборудование.

Проверьте свое понимание 12.10

Проволока длиной 2,0 м растягивается на 1,0 мм под действием нагрузки. Какова деформация растяжения в проволоке?

Объекты часто могут одновременно испытывать напряжение сжатия и растяжения. Рис. 12.20. Один из примеров – длинная полка, загруженная тяжелыми книгами, которая провисает между концевыми опорами под весом книг. Верхняя поверхность полки испытывает напряжение сжатия, а нижняя поверхность полки – растягивающее напряжение.Точно так же длинные и тяжелые балки провисают под собственным весом. В современном строительстве такие деформации изгиба можно практически исключить с помощью двутавровых балок. Рисунок 12.21.

Фигура 12.20 (a) Объект, изгибающийся вниз, испытывает растягивающее напряжение (растяжение) в верхней части и сжимающее напряжение (сжатие) в нижней части. (б) Элитные тяжелоатлеты часто временно сгибают железные прутья во время подъема, как на Олимпийских играх 2012 года. (кредит б: модификация работы Александра Кочерженко)

Фигура 12.21 год Стальные двутавровые балки используются в строительстве для уменьшения деформаций изгиба. (Источник: модификация работы «Инженерный корпус армии США в Европе» / Flickr)

Объемное напряжение, деформация и модуль

Когда вы ныряете в воду, вы чувствуете силу, давящую на каждую часть вашего тела со всех сторон. Тогда вы испытываете объемный стресс или, другими словами, давление. Объемное напряжение всегда имеет тенденцию к уменьшению объема, заключенного на поверхности погружаемого объекта.Силы этого «сжатия» всегда перпендикулярны погружаемой поверхности. Рис. 12.22. Эффект этих сил заключается в уменьшении объема погруженного объекта на величину ΔVΔV по сравнению с объемом V0V0 объекта при отсутствии объемного напряжения. Этот вид деформации называется объемной деформацией и описывается изменением объема относительно исходного объема:

объемная деформация = ΔVV0. объемная деформация = ΔVV0.

12,37

Фигура 12,22 Объект при увеличении объемного напряжения всегда претерпевает уменьшение своего объема.Равные силы, перпендикулярные поверхности, действуют со всех сторон. Эффект этих сил заключается в уменьшении объема на величину ΔVΔV по сравнению с исходным объемом V0.V0.

Объемная деформация возникает в результате объемного напряжения, которое представляет собой силу F⊥F⊥, нормальную к поверхности, которая давит на единицу площади A погруженного объекта. Такая физическая величина, или давление p , определяется как

давление = p≡F⊥A. давление = p≡F⊥A.

12,38

Мы будем изучать давление в жидкостях более подробно в Гидромеханике.Важной характеристикой давления является то, что это скалярная величина, не имеющая определенного направления; то есть давление действует одинаково во всех возможных направлениях. Когда вы погружаете руку в воду, вы чувствуете такое же давление, действующее на верхнюю поверхность руки, как на нижнюю, или на боковую, так и на поверхность кожи между пальцами. В этом случае вы ощущаете увеличение давления ΔpΔp по сравнению с тем, что вы привыкли ощущать, когда ваша рука не погружена в воду.Когда ваша рука не погружена в воду, вы чувствуете нормальное давление p0p0 в одну атмосферу, которое служит точкой отсчета. Объемное напряжение – это увеличение давления, или Δp, Δp, по сравнению с нормальным уровнем, p0.p0.

Когда объемное напряжение увеличивается, объемная деформация увеличивается в соответствии с уравнением 12.33. Константа пропорциональности в этом соотношении называется модулем объемного сжатия, B или

. B = объемное напряжение, объемная деформация = −ΔpΔV / V0 = −ΔpV0ΔV. B = объемное напряжение, объемная деформация = −ΔpΔV / V0 = −ΔpV0ΔV.

12,39

Знак минус, который появляется в уравнении 12.39, предназначен для согласованности, чтобы гарантировать, что B является положительной величиной. Обратите внимание, что знак минус (-) (-) необходим, потому что увеличение ΔpΔp давления (положительная величина) всегда вызывает уменьшение ΔVΔV в объеме, а уменьшение объема является отрицательной величиной. Величина, обратная модулю объемного сжатия, называется сжимаемостью k, k или

. k = 1B = −ΔV / V0Δp.k = 1B = −ΔV / V0Δp.

12,40

Термин «сжимаемость» используется в отношении жидкостей (газов и жидкостей).Сжимаемость описывает изменение объема жидкости на единицу увеличения давления. Жидкости, характеризующиеся большой сжимаемостью, относительно легко сжимаются. Например, сжимаемость воды составляет 4,64 × 10–5 / атм. 4,64 × 10–5 / атм, а сжимаемость ацетона составляет 1,45 × 10–4 / атм. 1,45 × 10–4 / атм. Это означает, что при повышении давления на 1,0 атм относительное уменьшение объема для ацетона примерно в три раза больше, чем для воды.

Пример 12.9

Гидравлический пресс

В гидравлическом прессе, рис. 12.23, 250-литровый объем масла подвергается повышению давления на 2300 фунтов на квадратный дюйм. Если сжимаемость масла составляет 2,0 × 10–5 / атм, 2,0 × 10–5 / атм, найдите объемную деформацию и абсолютное уменьшение объема масла при работе пресса.

Фигура 12,23 В гидравлическом прессе, когда маленький поршень смещается вниз, давление в масле передается по маслу на большой поршень, заставляя большой поршень двигаться вверх.Небольшая сила, приложенная к маленькому поршню, вызывает большую прижимающую силу, которую большой поршень оказывает на объект, который либо поднимается, либо сжимается. Устройство действует как механический рычаг.

Стратегия

Мы должны обратить уравнение 12.40, чтобы найти объемную деформацию. Во-первых, мы преобразуем увеличение давления из фунтов на квадратный дюйм в атм, Δp = 2300psi = 2300 / 14,7atm≈160atm, Δp = 2300psi = 2300 / 14.7atm≈160atm, и определяем V0 = 250L.V0 = 250L.

Решение

Подставляя значения в уравнение, имеем объемная деформация = ΔVV0 = ΔpB = kΔp = (2.0 × 10-5 / атм) (160атм) = 0,0032 ответ: ΔV = 0,0032V0 = 0,0032 (250L) = 0,78L. Объемная деформация = ΔVV0 = ΔpB = kΔp = (2,0 × 10-5 / атм) (160атм) = 0,0032 ответ: ΔV = 0,0032V0 = 0,0032 (250 л) = 0,78 л.

Значение

Обратите внимание, что, поскольку сжимаемость воды в 2,32 раза больше, чем сжимаемость масла, если бы рабочее вещество в гидравлическом прессе этой задачи было заменено на воду, объемная деформация, а также изменение объема были бы в 2,32 раза больше.

Проверьте свое понимание 12.11

Если нормальная сила действует на каждую грань кубической 1.Стальной кусок 0-м31,0-м3 заменяют на 1,0 × 107 Н, 1,0 × 107 Н, найдите результирующее изменение объема стального куска.

Напряжение сдвига, деформация и модуль

Понятия напряжения сдвига и деформации относятся только к твердым объектам или материалам. Здания и тектонические плиты являются примерами объектов, которые могут подвергаться сдвиговым напряжениям. В общем, эти концепции не применимы к жидкостям.

Деформация сдвига возникает, когда две антипараллельные силы равной величины прикладываются по касательной к противоположным поверхностям твердого объекта, не вызывая деформации в поперечном направлении к силовой линии, как в типичном примере напряжения сдвига, показанном на рисунке 12.24. Сдвиговая деформация характеризуется постепенным смещением ΔxΔx слоев в направлении, касательном к действующим силам. Эта градация ΔxΔx происходит в поперечном направлении на некотором расстоянии L0.L0. Деформация сдвига определяется отношением наибольшего смещения ΔxΔx к поперечному расстоянию L0L0

деформация сдвига = ΔxL0. деформация сдвига = ΔxL0.

12,41

Деформация сдвига вызвана напряжением сдвига. Напряжение сдвига возникает из-за сил, которые действуют параллельно к поверхности. Для таких сил мы используем символ F∥F∥.Величина F∥F∥ на площадь поверхности A , где применяется сила сдвига, является мерой напряжения сдвига

напряжение сдвига = F∥A. напряжение сдвига = F∥A.

12,42

Модуль сдвига является константой пропорциональности в уравнении 12.33 и определяется отношением напряжения к деформации. Модуль сдвига обычно обозначается S :

. S = напряжение сдвига деформация сдвига = F∥ / AΔx / L0 = F∥AL0Δx.S = напряжение сдвига деформация сдвига = F∥ / AΔx / L0 = F∥AL0Δx.

12,43

Фигура 12.24 Объект под напряжением сдвига: две антипараллельные силы равной величины прикладываются по касательной к противоположным параллельным поверхностям объекта. Контур пунктирной линией показывает результирующую деформацию. Направление, перпендикулярное действующим силам, не изменяется, и поперечная длина L0L0 не изменяется. Сдвиговая деформация характеризуется постепенным смещением ΔxΔx слоев в направлении, касательном к силам.

Пример 12.10

Старая книжная полка

Уборщик пытается переместить тяжелый старый книжный шкаф по ковровому покрытию, тангенциально толкая поверхность самой верхней полки.Однако единственный заметный эффект от этого усилия аналогичен эффекту, показанному на рисунке 12.24, и он исчезает, когда человек перестает толкать. Книжный шкаф высотой 180 см и шириной 90 см с четырьмя полками глубиной 30 см, частично заполненными книгами. Общий вес книжного шкафа и книг составляет 600,0 Н. Если человек толкает верхнюю полку с силой 50,0 Н, которая смещает верхнюю полку по горизонтали на 15,0 см относительно неподвижной нижней полки, найдите модуль сдвига книжного шкафа.

Стратегия

Единственная важная информация – это физические размеры книжного шкафа, величина тангенциальной силы и смещение, вызываемое этой силой.Мы определяем F∥ = 50.0N, Δx = 15.0cm, F∥ = 50.0N, Δx = 15.0cm, L0 = 180.0cm, L0 = 180.0cm и A = (30.0 cm) (90.0 cm) = 2700.0 cm2, A = (30,0 см) (90,0 см) = 2700,0 см2, и мы используем уравнение 12.43 для вычисления модуля сдвига.

Решение

Подставляя числа в уравнения, получаем для модуля сдвига S = F∥AL0Δx = 50.0N2700.0cm2180.0cm.15.0cm. = 29Ncm2 = 29 × 104Nm2 = 209 × 103Pa = 2.222 кПа S = F∥AL0Δx = 50.0N2700.0cm2180.0cm.15.0cm. = 29Ncm2 = 29 × 104Нм2 = 209 × 103Па = 2,222 кПа.

Мы также можем найти напряжение сдвига и деформацию соответственно:

F∥A = 50.0N2700,0 см2 = 527 кПа = 185,2 Па ΔxL0 = 15,0 см 180,0 см = 112 = 0,083. F∥A = 50,0 N 2700,0 см2 = 527 кПа = 185,2 Па ΔxL0 = 15,0 см 180,0 см = 112 = 0,083.

Значение

Если человек в этом примере толкнет полку здоровым движением, может случиться так, что индуцированный сдвиг превратит ее в груду мусора. Примерно тот же механизм сдвига ответственен за разрушения засыпанных землей дамб и дамб; и в целом по оползням.

Проверьте свое понимание 12,12

Объясните, почему концепции модуля Юнга и модуля сдвига неприменимы к жидкостям.

Измерение модуля упругости одиночного волокна коллагена типа I

Abstract

Коллагеновые волокна являются основными компонентами внеклеточного матрикса и вносят основной вклад в механические свойства тканей. Здесь мы сообщаем о новом подходе к измерению продольного компонента модулей упругости биологических волокон в условиях, близких к найденным in vivo , и применяем его к коллагену типа I из сухожилия хвоста крысы. Этот подход сочетает в себе оптический пинцет, атомно-силовую микроскопию и использует теорию упругости Эйлера-Бернулли для анализа данных.Этот подход также позволяет избежать сушки для измерений или визуализации, поскольку образцы извлекаются только что. Важно отметить, что деформации не превышают 0,5%, что соответствует линейно-упругому режиму. Мы неожиданно обнаружили, что продольный модуль упругости коллагена типа I не может быть представлен одной величиной, а скорее представляет собой распределение, которое шире, чем неопределенность нашей экспериментальной методики. Продольный компонент модуля упругости одиночного волокна составляет от 100 до 360 МПа для образцов, взятых у разных крыс и / или разных частей одного хвоста.Также наблюдаются вариации диаметра пучка / фибриллы в среднем 325 ± 40 нм. Поскольку изгибающие силы зависят от диаметра в четвертой степени, это изменение диаметра важно для оценки диапазона модулей упругости. Остальные вариации модуля могут быть обусловлены различиями в составе пучков фибрилл или степенью протеогликанов, составляющих пучки фибрилл, или тем, что некоторые отдельные фибриллы могут иметь размер пучков фибрилл.

Образец цитирования: Дутов П., Антипова О., Варма С., Оргель JPRO, Шибер Дж. Д. (2016) Измерение модуля упругости одиночного волокна коллагена типа I.PLoS ONE 11 (1): e0145711. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0145711

Редактор: Этьен Даг, LAAS-CNRS, ФРАНЦИЯ

Поступила: 17 марта 2015 г .; Одобрена: 8 декабря 2015 г .; Опубликован: 22 января 2016 г.

Авторские права: © 2016 Dutov et al. Это статья в открытом доступе, распространяемая в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии указания автора и источника.

Доступность данных: Все соответствующие данные находятся в документе и его файлах с вспомогательной информацией.

Финансирование: Авторы выражают признательность DARPA за финансовую поддержку гранту W911NF-09-1-0378. Финансирующие организации не играли никакой роли в дизайне исследования, сборе и анализе данных, принятии решения о публикации или подготовке рукописи.

Конкурирующие интересы: Джозеф П. Р. О. Оргель не мог быть редактором этой рукописи, поскольку он является соавтором.

Введение

Коллаген – самый распространенный белок у позвоночных [1–6].У человека коллаген составляет более четверти сухой белковой массы. В настоящее время идентифицировано двадцать восемь различных типов коллагена. В то время как некоторые типы коллагена образуют фибриллы, другие образуют сети и мембранные ассоциации. Эти разные типы коллагена сочетаются друг с другом в различных соотношениях вместе с неколлагеновыми молекулами, образуя множество возможных тканевых каркасов, включая базальные мембраны, связки, сухожилия, роговицу, кожу и кровеносные сосуды.

Коллаген I типа является наиболее распространенным типом и основным компонентом внеклеточного матрикса соединительной ткани животных [1–6].Его основная структурная единица, называемая мономером, состоит из трех параллельных полипептидных цепей, намотанных друг на друга правой суперспиралью. Эти мономеры собираются в фибриллы, которые представляют собой поперечно-сшитые цилиндрические структуры. В свою очередь, фибриллы связываются друг с другом в присутствии протеогликанов, образуя пучки фибрилл, которые исторически также назывались фибриллами (хотя оба логически могут называться волокнами, как мы здесь). В то время как мономер с тройной спиралью имеет длину 300 нм и 1.Ширина коллагеновых фибрилл 4 нм [5–7] может превышать 1 мм в длину, по крайней мере, в случае хвоста крысы [8]. Литературные значения, соответствующие диаметру фибрилл, сильно различаются в пределах от 30 до 1000 нм [8,9]. Однако это изменение, по-видимому, является результатом обобщенного использования термина «фибриллы» для описания как дискретных фибрилл, так и пучков фибрилл [2,10]. Эта, казалось бы, безобидная деталь может объяснить различия между механическими свойствами фибриллы и пучка фибрилл.Переоценка литературных ценностей в контексте этой разницы между фибриллами и пучками фибрилл предполагает, что фибриллы обычно имеют диаметр ~ 45 нм [11], хотя можно найти отдельные фибриллы, которые становятся толще [8]. Эти фибриллы и пучки фибрилл связываются с другими типами коллагена и неколлагеновыми молекулами, образуя структуры более высокого порядка, такие как связки и сухожилия. В этих тканях коллаген I типа играет жизненно важную роль в макромолекулярной организации и передаче сигналов в клетках, а также наделяет их механическими свойствами, несущими нагрузку.

Понимание на молекулярном уровне того, как соединительная ткань реагирует на внешнее воздействие или как ее механические свойства чувствительны к геномным изменениям, требует точного количественного знания механических свойств отдельных фибрилл и пучков фибрилл. Здесь мы представляем новый метод измерения модуля упругости изолированных тонких волокон коллагена. Этот подход сочетает в себе оптический пинцет [12–16] с атомно-силовой микроскопией (АСМ) и использует теорию упругости Эйлера-Бернулли.Он преодолевает две проблемы в существующих методах. Чтобы обойти ограничение, связанное с максимальной силой, которая может создаваться оптическим пинцетом, в этом методе используется деформация изгиба, а не осевое растяжение. Во-вторых, он использует протокол подготовки или восстановления образцов, который позволяет проводить измерения в условиях, близких к in vivo . При текущих измерениях модуля упругости, практически независимо от метода, такого как дифракция рентгеновских лучей [17], AFM [18,19] и микро-электромеханические системы (MEMS) [20,21], используется либо только сушка, либо цикл сушки-замачивания для подготовки образца, который приводит к старению образца.Хотя старение приводит к термической денатурации [22], сушка также может привести к необратимым изменениям в структуре волокна [23,24].

Наши результаты показывают, что продольный модуль упругости коллагена типа I не может быть представлен одной величиной, а скорее представляет собой распределение, которое шире, чем неопределенность нашей экспериментальной методики. Продольный компонент модуля упругости отдельных волокон составляет от 100 до 360 МПа для образцов, взятых у разных крыс и / или разных частей одного хвоста.Также наблюдаются вариации диаметра пучка / фибриллы в среднем 325 ± 40 нм. Поскольку изгибающие силы зависят от диаметра в четвертой степени, это изменение диаметра важно для оценки диапазона модулей упругости. Остальные вариации модуля могут быть обусловлены различиями в составе пучков фибрилл или степенью протеогликанов, составляющих пучки фибрилл, или тем, что некоторые отдельные фибриллы могут иметь размер пучков фибрилл.

Материалы и методы

Мы используем теорию упругости Эйлера-Бернулли [25] для получения модулей упругости изолированных тонких волокон коллагена.Эта теория связывает модуль упругости E тонкой цилиндрической балки с ее длиной L , радиусом R и ее торцевым прогибом H , который возникает в результате действия силы F , перпендикулярной оси балки: (1)

Подробный вывод приведенного выше выражения представлен в файле S1. Оценка модуля упругости волокна по этому выражению требует независимых измерений отношения сила-смещение F / H , длины волокна L и радиуса волокна R .Кроме того, для этого требуется, чтобы выполнялись следующие три условия: (i) волокно представляет собой консольную балку, т. Е. Жестко закреплено на одном конце, а другой конец свободен; (ii) волокно имеет цилиндрическую форму с постоянным радиусом; (iii) чистый прогиб, вносимый в волокно, намного меньше длины волокна.

Мы получаем F / H и длину волокна из экспериментов с оптическим пинцетом и получаем радиус отдельно из экспериментов АСМ. Среднее значение модуля Юнга получается путем сравнения статистических данных, полученных в результате этих двух отдельных экспериментов.

Ниже мы даем краткое описание этих двух методов, а также обсуждаем, как мы проверяем, выполняются ли вышеупомянутые три условия, относящиеся к теории Эйлера-Бернулли.

Оптический пинцет, эксперименты

Инструмент.

Для всех наших экспериментов мы используем имеющийся в продаже оптический пинцет NanoTracker ^™ (JPK Instruments, Берлин, Германия) [26]. Установка основана на лазере мощностью 3 Вт 1064 нм, разделенном на две ловушки поляризацией.Точный контроль над положением и перемещением ловушки достигается за счет использования гальванических зеркал для перемещения каждого лазерного луча в фокальной плоскости плоскости объектива (рис. 1). Мы используем два конфокальных объектива 63x (Zeiss C-Apochromat, увеличение 63x, числовая апертура 1,2, иммерсионная вода, Carl Zeiss Microscopy, LLC, США) одновременно. Нижний объектив используется для фокусировки лазерного луча для создания оптической ловушки, а также для просмотра, а верхний объектив используется для сбора лазерного луча и фокусировки его на квадрантном фотодиоде (QPD) [26].

Рис. 1. Экспериментальная установка.

Лазерный луч 1 с длиной волны 1064 нм генерируется Nd: YAG-лазером 2, направляется гальваническими зеркалами 3 и направляется дихроичными зеркалами 4 в захватывающий объектив 5. Улавливающий объектив фокусирует лазерный луч внутри камеры 6 для образца для создания оптической ловушки. После прохождения камеры с образцом лазерный луч собирается следящим объективом 7 и проецируется дихроичным зеркалом 8 на GaAs-квадрантный фотодиод 9 (для XY-детектирования) и фотодиод 10 (для Z-детектирования) после разделения с помощью разделителя-куба 11.Эксперименты визуализируются с помощью камеры 12 ПЗС с видимым светом 13, генерируемым верхним светодиодом 14. Верх и дно камеры для образцов сделаны из стеклянных покровных стекол 15 и 16 с буфером 17 TBS между ними. Пучок 18 коллагеновых волокон с консольным волокном 19 помещают на нижнее покровное стекло. Микросфера 20 прикрепляется к консольному волокну с помощью оптической ловушки 21 и затем смещается перпендикулярно волокну (в направлении, показанном красной стрелкой).

https: // doi.org / 10.1371 / journal.pone.0145711.g001

Пробоподготовка

Коллаген I типа извлекается из сухожилий крысиного хвоста. Хвосты были взяты у умерщвленных контрольных животных, используемых для исследования сердца [27,28]. Хвосты хранят при -40 ° C и перед приготовлением оттаивают в течение 1 часа при комнатной температуре. После подготовки образца оставшийся хвост повторно замораживали. После отбора 2–3 образцов каждый хвост был отброшен. Сухожилия, извлеченные из хвоста, немедленно погружали в буферный раствор Трис (Sigma-Aldrich Co., Сент-Луис, Миссури). Небольшая часть сухожилия разрезается, растягивается и распространяется иглой, и помещается между двумя покровными стеклами в TBS. Зазор между покровными стеклами номинально составлял 100 мкм. Защитные стекла закрыты акриловым герметиком по краям, чтобы предотвратить испарение и соответствовать дизайну NanoTracker.

Соотношение сила-смещение

После размещения образца в NanoTracker, первая задача состоит в том, чтобы найти одиночное волокно, которое удовлетворяет критерию консольной балки, то есть волокно имеет один конец, жестко интегрированный с жгутом, а другой конец свободен.Обратите внимание, что мы не полагаемся исключительно на визуальный осмотр. Как мы подробно опишем ниже, любое поведение некантилевера силы-смещения также очевидно при анализе данных, и такие данные отбрасываются.

После идентификации кантилеверного волокна мы удаляем образец из NanoTracker и вводим полистирольные микросферы диаметром 1,034 мкм (Стандартные счетчики размеров частиц 3K1000 Duke, средний диаметр 1,034 мкм ± 0,015 мкм, стандартное отклонение 0,01 мкм, показатель преломления 1,59 @ 589 нм, Thermo Fisher Scientific, Фермонт, Калифорния).Из-за присутствия протеогликанов в растворе микросферы связываются с покровными стеклами или коллагеном, как только они соприкасаются. Среднее время жизни свободно плавающей (броуновской) микросферы в образце составляет около 1 часа. Чтобы избежать попадания нескольких микросфер в одну ловушку во время эксперимента, микросферы вводили на расстоянии 3–5 мм от рабочей области. Склонность прилипать к покровным стеклам предотвращает диффузию микросфер в рабочую область. Используя моторизованный столик, мы перемещаемся к «пулу микросфер», захватываем микросферу и возвращаем ее в рабочую область.Перед прикреплением бусинки к волокну мы калибруем оптическую ловушку [29–31] и проверяем, что в ловушке только одна микросфера и что задняя фокальная плоскость выровнена должным образом (более подробную информацию см. В файле S6). Мы приводим микросферу в контакт с волокном, где она сразу же связывается протеогликанами.

Начиная с положения равновесия (нулевого напряжения), мы перемещаем микросферу в направлении, перпендикулярном исходной оси. Это чистое смещение сохраняется в пределах 5% длины волокна, что соответствует инженерной деформации <0.5%. Скорость перемещения выбирается такой, чтобы сила вязкого сопротивления была меньше уровня шума. Все сигналы QPD сохраняются как функция смещения ловушки. После достижения максимального смещения ловушка с той же скоростью возвращается в точку равновесия. Этот процесс повторяется не менее пяти раз для проверки воспроизводимости и повышения точности. Вся процедура повторяется 5–6 раз, и каждый раз микросферы размещаются в разных местах вдоль волокна. Все эксперименты проводят в течение 3 часов после оттаивания, чтобы предотвратить любые эффекты старения, такие как деградация образца.

Чтобы измерить прочность связи между микросферой и волокном, мы прикрепляем микросферу к большому пучку волокон, смещаем оптическую ловушку и сравниваем измеренный сигнал (смещение микросферы от центра ловушки) со смещением ловушки. Поскольку микросфера и смещение ловушки согласованы в пределах погрешности измерения, мы заключаем, что взаимодействие между микросферой и волокном достаточно сильное для степени внесенных смещений. Мы также исследуем силу взаимодействия между волокном и оптической ловушкой и обнаруживаем, что взаимодействие является слабым.См. Рисунок K в файле S5 для получения подробной информации.

Смещение микросферы от исходного положения определяется с помощью чувствительности ловушки ( S _x , S _y ) (в м / В) [29], сигналы QPD ( V _x , V _y ) и смещение ловушки как (2)

Вектор смещения ловушки выбирается перпендикулярно исходной оси. Следовательно, проекция вектора смещения микросфер на вектор смещения ловушки равна прогибу волокна (рис. 2б).

Рис. 2.

a) Кадры координат: рамка координат NanoTracker xy , конец рамки волокна x ‘ y ‘. Обратите внимание, что рамка x ‘ y ‘ перемещается вместе с волокном. Исходное положение (до смещения ловушки) рамки x ‘ y ‘ отмечено x ‘ ₀ y ‘ ₀ . Угол поворота между xy и x ‘ ₀ y ‘ ₀ составляет α , между x ‘ ₀ y ‘ ₀ и x ‘ y равно Δ α .б) Отклонение волокна H – это проекция вектора смещения валика на вектор смещения ловушки. Векторы и не равны из-за конечной жесткости ловушки и силы, действующей на валик.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0145711.g002

Отметим, что когда ловушка смещается перпендикулярно оси волокна, волокно также может растягиваться. Однако прочности оптической ловушки недостаточно, чтобы создать какое-либо измеримое растяжение волокна.Вместо этого, вероятно, что микросфера смещается из центра ловушки в направлении, параллельном волокну. Тем не менее, отметим, что такие смещения невелики (<50 нм), и ловушка все еще находится в линейном режиме, и изгибающую силу можно извлечь с хорошей точностью, если нам известен мгновенный угол волокна Δ α ( Рис 2а). Последний может быть рассчитан на основе известной формы волокна h ( x ) (см. Уравнение C в файле S1 для определения формы волокна). (3)

В системе координат x ‘ y ‘ (рис. 2а) перпендикулярная сила является составляющей вектора силы, действующей на волокно. (4) где ( k _x , k _y ) – жесткость ловушки (в Н / м) [29], а Q – матрица вращения: (5)

Длина волокна

Оценка длины волокна L требует знания положения анкера, то есть положения, в котором волокно прикреплено к пучку.Поскольку это нельзя однозначно отличить от изображений ПЗС, мы получаем его, изгибая волокно в различных положениях по длине волокна (рис. 3а). Считайте x ₀ произвольным расстоянием между нашей первой оценкой точки привязки и фактической точкой привязки. Длина волокна для всех других измерений i = 1,2,… может быть записана как (6)

Рис 3. Оценка точки привязки.

а) ПЗС-изображение. Волокно изгибали в разных положениях с помощью микросфер 1–5.Точная оценка длины волокна L _i для каждого эксперимента i только по ПЗС-изображению проблематична, поскольку область точки привязки обычно размыта. б) Оценка точки привязки. Длина волокна L _i может быть представлена ​​как сумма расстояния между валиком и начальной оценкой точки привязки ( x _i ) и расстояния между оценкой точки привязки и фактической точкой привязки ( x ₀ ).Поскольку x ₀ одинаково для всех экспериментов и , его можно было точно оценить во время обработки данных.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0145711.g003

Вставив это в уравнение (1) и переставив доходности (7) Линейная подгонка дает наклон ( H / F ) ^1/3 как функцию x (обратите внимание, что мы используем только наклон и отбрасываем пересечение) (8) который можно использовать для оценки модуля Юнга, (9)

Линейность зависимости, задаваемой уравнением (7), также служит строгой проверкой того, можно ли смоделировать волокно как консольную балку.В случаях, когда линейность не соблюдается, например, в случаях, когда предполагаемая точка привязки ненадежна, данные могут быть отброшены. Использование уравнения (9) для оценки модуля Юнга волокна также требует знания радиуса волокна. Мы получаем радиус из измерений AFM, как описано ниже.

Атомно-силовая микроскопия

Радиус волокна.

Мы используем AFM производства Asylum Research MFP-3D, Asylum Research, Санта-Барбара, Калифорния. Волокна сканируются в буфере TBS с использованием режима постукивания AFM.Основная задача при сканировании АСМ состоит в том, чтобы получить соответствующий баланс между амплитудой колебаний, уставкой и параметрами контроллера – это необходимо для получения наилучшего пространственного разрешения, не вызывая заметных деформаций наконечника АСМ в волокне. Сканирование выполняется с помощью Olympus TR400PSA (жесткость пружины 0,02 Н / м). Мы контролировали пространственное разрешение, убедившись, что мы определяем период D волокна и непроникновение волокна, сравнивая отношение высоты к ширине просканированного профиля с рассчитанным теоретически для данной геометрии наконечника АСМ ( см. файл S3 для определения отношения высоты к ширине).

Результаты

Чтобы оценить модуль Юнга коллагеновых волокон с использованием модифицированной формы соотношения Эйлера-Бернулли (9), нам необходимо оценить [i] взаимосвязь между соотношением сила-смещение и длиной волокна (уравнение ( 7) и [ii] радиус волокна. Первое мы оцениваем с помощью экспериментов с оптическим пинцетом, а второе – с помощью экспериментов АСМ.

Взаимосвязь между отношением силы к смещению и длиной волокна

В экспериментах по изгибу, показанных на рис. 2 и 3, мы перемещаем микросферу на расстояние, перпендикулярное оси волокна.Скорость смещения составляет 0,1 мкм / с , так что сила вязкого сопротивления меньше уровня шума. Сигналы QPD ( В _x , В _y ) записываются с частотой 30 Гц. После каждого эксперимента по изгибу ловушка возвращается в исходное положение. Перекрытие сигналов во время движения и втягивания ловушки (см. Рисунок J в файле S5) свидетельствует о том, что точка привязки не перемещалась и что волокно не было повреждено.Эксперимент по изгибу повторяют пять раз для проверки воспроизводимости. Обратите внимание, что как V _x , так и V _y содержат смещения выравнивания, поэтому перпендикулярная сила, вычисленная согласно уравнению (4), также содержит некоторые бессмысленные смещения.

Мы аппроксимируем линейную часть кривой силы-смещения (рис. 4) линейной функцией, используя метод линейной регрессии [32]. Линейная часть обычно соответствует номинальным деформациям до 3–4%.Под «номинальной деформацией» мы подразумеваем отношение смещения к длине волокна. Мы также рассчитали инженерные деформации (см. Уравнение G в файле S1), которые оказались менее 0,5% для всех наших экспериментов, что должно быть достаточно для выполнения условия (iii). Мы исключаем область номинальной деформации <1% из подгонки, поскольку в этой области возможно некоторое предварительное натяжение соединения между валиком, небольшое скручивание волокна или вращение валика в оптической ловушке. Во время экспериментов по изгибу генерируемые изгибающие силы составляют порядка 10–50 пН, что соответствует 20–100 нм смещения шарика от центра ловушки.Такое смещение вполне соответствует линейному режиму ловушки (подробности см. На Рисунке I в файле S5).

Рис. 4. Кривая сила-смещение и ее линейная аппроксимация.

Номинальная деформация (верхняя ось) рассчитывается как отношение между длиной волокна и смещением валика. Подгоняемая область (от 1% до 3–4% номинальной деформации) показана цветом. Мы повторяем каждый эксперимент по изгибу пять раз (разные цвета), чтобы улучшить прецессию и проверить воспроизводимость. Средний наклон для пяти прогонов составляет 7,32 · 10 ⁻⁶ Н / м, а стандартное отклонение составляет 11%. x _i = 28,3 мкм.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0145711.g004

Согласно уравнению (1) наклон линейной аппроксимации равен 3 πER ⁴ /4 L ³ . Для большей точности значения наклона усредняются по 5 прогонам. Перехват соответствует смещению выравнивания и поэтому не имеет смысла.

Чтобы определить точку привязки, мы повторяем тот же эксперимент с 5–6 бусинами, прикрепленными к разным точкам волокна (рис. 3).Подгоняя экспериментальные данные с линейной функцией (рис. 5), мы определяем наклон (уравнение (8)) и x ₀ . Линейная зависимость на рис. 5 является строгой проверкой условия (i), поскольку уравнение (7) является линейным только в случае консольной балки. Пожалуйста, обратитесь к файлу S4 для дополнительной проверки (i) путем подгонки изображения CCD изогнутого волокна к теоретической форме консольной балки (уравнение C в файле S1).

Рис. 5. Метод определения точки привязки.

Линейная регрессия позволяет нам определить как ER ⁴ , так и x ₀ из подгоночных параметров.Результирующий наклон равен B = 1,65 · 10 ⁶ N ^-1/3 м ^-2/3 , а точка пересечения составляет x ₀ = – 9,86 мкм.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0145711.g005

Мы выполнили строгое распространение ошибок на всех этапах эксперимента, начиная с неопределенностей в измеренных силах, положениях и смещениях, и распространили их через нашу линейную аппроксимацию с использованием метод распространения ошибки линейной регрессии [32] (подробнее см. S7-файл).Однако неопределенности B и R (см. Следующий раздел об измерениях радиуса) не сходятся к единственному значению E , а скорее к распределению, которое мы объясняем в разделе «Обсуждение».

Измерение радиуса волокна

Чтобы исследовать влияние дисперсии в R ⁴ , мы измерили распределение радиуса волокна, используя ансамбль из 29 отдельных волокон. Во время сканирования мы использовали амплитуду свободных колебаний ~ 7 нм и заданную амплитуду ~ 3 нм.Можно заметить небольшой перекос профиля сканирования (рис. 6c), который является артефактом, вызванным формой держателя наконечника АСМ. Наши измерения показывают, что распределение радиуса волокна имеет форму, близкую к гауссовой со средним значением 162 нм и стандартным отклонением 20 нм (рис. 7). Измеренный период D волокна 67 ± 1 нм (рис. 6б) согласуется с результатами дифракции рентгеновских лучей [7]. Чтобы измерить профиль радиуса по длине волокна, мы сканировали участок волокна размером 75 мкм и обнаружили, что радиус изменяется менее чем на 5% в этом масштабе, что также согласуется с результатами рассеяния рентгеновских лучей [5].См. Подробности в файле S2.

Рис. 7. Кумулятивное распределение радиуса волокна и количества ( ER ⁴ / E _avg ) ^1/4 .

Чтобы построить измеренное распределение ER ⁴ вместе с распределением радиуса волокна, мы разделим его на параметр E _avg и возьмем корень четвертой степени. Значение E _avg , которое соответствует наилучшему совпадению между двумя графиками, является нашей наилучшей оценкой среднего модуля упругости.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0145711.g007

Обсуждение

Используя метод изгиба, мы смогли напрямую измерить распределение количества ER ⁴ для 10 волокон RTCT I, где E – продольный компонент модуля упругости, а R – волокно. радиус. Мы независимо измерили распределение радиусов волокон с помощью АСМ, чтобы найти среднее значение 162 нм и стандартное отклонение 20 нм. Чтобы оценить среднее значение продольного модуля упругости RTCT I, мы построили кумулятивное распределение количества ( ER ⁴ / E _avg ) ^1/4 и кумулятивное распределение RTCT I Радиус волокна на том же графике (рис. 7), где E _avg скорректирован так, чтобы обеспечить наилучшее соответствие между двумя графиками.Однако для выполнения всех 10 измерений ER ⁴ , E _avg должно изменяться от 100 до 360 МПа. Этот интервал согласуется со значениями, указанными другими исследователями (400 ± 200 МПа, АСМ [18], 470-410 МПа, МЭМС [20], 123-46 МПа, МЭМС [21]), тем не менее, наш метод позволяет определить ER ⁴ значение для каждого отдельного волокна со средней точностью 7%.

Поскольку два распределения на рис. 7 имеют разную ширину, не все расхождения в экспериментальных данных объясняются изменением радиуса.Очевидно, есть и другие источники изменения модуля. На модуль упругости может влиять плотность протеогликанов, распределение и состав их глюкозоамингликановых (ГАГ) цепей для пучков фибрилл и различия между модулем единичных фибрилл и пучков фибрилл. Согласно [7], фибрилла представляет собой не просто цилиндрический стержень, а трубку из молекул коллагена типа I, которая либо полая, либо, что более вероятно, упакована вокруг коллагенового ядра FACIT. Однако из-за высокой степени зависимости второго момента инерции от радиуса волокна больший вклад в модуль изгиба вносит внешний слой волокна, поэтому детали сердцевины имеют меньшее значение для этого вопроса.Максимальная инженерная деформация (см. Уравнение G в файле S1 для получения информации) в волокне составляет менее 0,5%. Все описанные эксперименты были выполнены в течение 3 часов после оттаивания замороженного хвоста крысы, поэтому мы также ожидаем некоторых (минимальных) эффектов разложения образца, поскольку это те же или более короткие временные рамки, которые использовались ранее для подготовки сухожилий хвоста крысы для более чувствительных экспериментов [33]. Наконец, также кажется правдоподобным, что модуль упругости волокна варьируется у разных людей или в зависимости от положения фибрилл или пучков фибрилл по длине хвоста крысы.Например, изменение концентрации протеогликана вдоль хвоста может дать менее эластичную / более жесткую композицию в частях хвоста, несущих вес.

Заключение

Тщательно минимизируя то, что может быть общим источником артефактов, вызванных препаратом, – высыхание образцов фибриллярного коллагена, и распознавая иерархическую структуру коллагеновых волокон, мы обеспечиваем правдоподобное объяснение широкого диапазона модулей упругости, о которых сообщается для сухожилия крысиного хвоста.Вероятны различия в содержании протеогликана и его значимости в коллагеновых волокнах, учитывая их известную роль в эластичности волокон. Более важным является четкое указание измеримых различий между вероятными фибриллами и пучками фибрилл (если судить по распределению диаметров волокон) в образце, где ранее не проводилось различий в исследованиях такого рода. Это объяснение также правдоподобно, поскольку структура обозначает функцию, а структура фибриллы по сравнению с пучком фибрилл, имея общие элементы, не одно и то же.

Благодарности

Мы благодарим DARPA за финансовую поддержку гранта W911NF-09-1-0378. Мы хотели бы поблагодарить JPK Instruments AG, особенно доктора Детлефа Кнебеля, доктора Виталия Олийныка и доктора Андреаса Гориса за техническую поддержку.

Вклад авторов

Задумал и спроектировал эксперименты: PD OA SV JO JS. Проведены эксперименты: ПД. Анализировал данные: PD JS. Предоставленные реагенты / материалы / инструменты анализа: OA JO. Написал статью: PD SV JO JS.

Список литературы

1. 1.Zeltz C, Orgel J, Gullberg D. Молекулярный состав и функция основанных на интегрине коллагеновых клеев – введение COLINBRIs. Biochim Biophys Acta. Авторы; 2014; 1840: 2533–48. pmid: 24361615
2. 2. Плечи М.Д., Рейнс Р.Т. Структура и стабильность коллагена. Анну Рев Биохим. 2009; 78: 929–958. pmid: 136
3. 3. Shayegan M, Forde NR. Микрореологическая характеристика коллагеновых систем: от молекулярных растворов до фибриллярных гелей. PLoS One.2013; 8: e70590. pmid: 234
4. 4. Münster S, Jawerth LM, Leslie BA, Weitz JI, Fabry B, Weitz DA. Зависимость нелинейного стрессового ответа фибриновых и коллагеновых сетей от истории деформации. Proc Natl Acad Sci U S. A. 2013; 110: 12197–202. pmid: 23754380
5. 5. Оргель JPRO, Ирвинг Т.К., Миллер А., Весс Т.Дж. Микрофибриллярная структура коллагена I типа in situ. Proc Natl Acad Sci U S. A. 2006; 103: 9001–5. pmid: 16751282
6. 6. Оргель JPRO, Персиков А.В., Антипова О.Вариация спиральной структуры нативного коллагена. PLoS One. 2014; 9: e89519. pmid: 24586843
7. 7. Orgel JPRO, Сан-Антонио Дж. Д., Антипова О. Молекулярное и структурное картирование взаимодействий коллагеновых фибрилл. Connect Tissue Res. 2011; 52: 2–17. pmid: 21182410
8. 8. Парри Д.А., Барнс Г.Р., Крейг А.С. Сравнение распределения размеров фибрилл коллагена в соединительных тканях в зависимости от возраста и возможной связи между распределением размеров фибрилл и механическими свойствами.Proc R Soc Lond B Biol Sci. 1978; 203: 305–21. Доступно: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/33395 pmid: 33395
9. 9. Гросс Дж., Шмитт Ф. Структура коллагена кожи человека при исследовании с помощью электронного микроскопа. J Exp Med. 1948; Доступно: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2135840/
10. 10. Бирк Д.Е., Зикбанд Е.И., Винкельманн Д.А., Трелстад Р.Л. Фибриллогенез коллагена in situ: сегменты фибрилл являются промежуточными звеньями в сборке матрикса. Proc Natl Acad Sci.1989; 86: 4549–4553. pmid: 2734306
11. 11. Магнуссон С.П., Квортруп К., Ларсен Дж.О., Росагер С., Хансон П., Аагаард П. и др. Размер коллагеновых фибрилл и морфология извитости разорванного и неповрежденного ахиллова сухожилия. Matrix Biol. 2002; 21: 369–77. Доступно: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/12128074 pmid: 12128074
12. 12. Ашкин А., Дзедзич Дж. М., Бьоркхольм Дж. Э., Чу С. Наблюдение однолучевой градиентно-силовой оптической ловушки для диэлектрических частиц. Opt Lett. 1986; 11: 288–290.pmid: 19730608
13. 13. Гиттес Ф., Шмидт К.Ф. Модель интерференции для обнаружения смещения задней фокальной плоскости в оптическом пинцете. Opt Lett. 1998; 23: 7–9. pmid: 18084394
14. 14. Pralle A, Prummer M, Florin EL, Stelzer EHK, Horber JKH. Трехмерное отслеживание частиц с высоким разрешением для оптического пинцета с помощью рассеянного вперед света. Microsc Res Tech. 1999. 44: 378–386. pmid: 100

15. 15. Sun YL, Luo ZP, Fertala A, An KN. Прямая количественная оценка гибкости мономера коллагена типа I.Biochem Biophys Res Commun. 2002; 295: 382–386. pmid: 12150960
16. 16. Велегол Д., Ланни Ф. Силы клеточной тяги на мягких биоматериалах. I. Микрореология коллагеновых гелей I типа. Biophys J. 2001; 81: 1786–1792. pmid: 11509388
17. 17. Fratzl P, Misof K, Zizak I., Rapp G, Bernstorff S. Фибриллярная структура и механические свойства коллагена. 1997. 122: 119–122.
18. 18. Ван дер Рийт Дж.А.Дж., ван дер Верф К.О., Беннинк М.Л., Дейкстра П.Дж., Фейен Дж. Микромеханическое тестирование отдельных коллагеновых фибрилл.Macromol Biosci. 2006; 6: 697–702. pmid: 16967482
19. 19. Ян Л., ван дер Верф К.О., Фитие КФК, Беннинк М.Л., Дейкстра П.Дж., Фейен Дж. Механические свойства нативных и поперечно-сшитых коллагеновых фибрилл типа I. Биофиз Дж. 2008; 94: 2204–11. pmid: 18032556
20. 20. Шен З.Л., Додж М.Р., Кан Х., Балларини Р., Эппелл С.Дж. Тестирование in vitro на излом образцов коллагеновых фибрилл субмикронного диаметра. Biophys J. Биофизическое общество; 2010; 99: 1986–95.
21. 21. Шен З.Л., Кан Х., Балларини Р., Эппелл С.Дж.Вязкоупругие свойства изолированных фибрилл коллагена. Biophys J. Биофизическое общество; 2011; 100: 3008–15.
22. 22. Лейкина Е., Мертц М.В., Кузнецова Н., Лейкин С. Коллаген I типа термически нестабилен при температуре тела. Proc Natl Acad Sci U S. A. 2002; 99: 1314–8. pmid: 11805290
23. 23. Оргель Дж. П., Весс Т. Дж., Миллер А. Конформация in situ и осевое расположение межмолекулярных поперечно-сшитых неспиральных телопептидов коллагена типа I. Состав. 2000; 8: 137–42.Доступно: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/10673433 pmid: 10673433
24. 24. Масич А., Бертинетти Л., Шуэц Р., Чанг С., Мецгер Т. Х., Бюлер М. Дж. И др. Осмотическое давление индуцировало растягивающие силы в коллагене сухожилия. Nat Commun. Издательская группа «Природа»; 2015; 6: 1–8.
25. 25. Eulero L. Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici lattissimo sensu accept. Opera Omnia; 1744.
26. 26. Возняк А., Ван Мамерен Дж., Рагона С.Спектроскопия силы одной молекулы с использованием платформы оптического пинцета NanoTracker ^™ : от проектирования к применению. 2009; 467–473.
27. 27. Фарман Г.П., Аллен Э.Дж., Шонфельт К.К., Бэккс РН, Де Томбе П.П. Роль кооперативности тонких филаментов в зависимой от длины сердца активации кальция. Biophys J. Биофизическое общество; 2010; 99: 2978–2986.
28. 28. Котло К., Джонсон К. Р., Грильон Дж. М., Джинен Д. Л., Де Томбе П., Данцигер Р. С.. Изменения количества фосфопротеинов при гипертоническом ремоделировании сердца.J Proteomics. 2012; 77: 1–13. pmid: 22659219
29. 29. Берг-Соренсен К., Фливбьерг Х. Анализ спектра мощности для оптического пинцета. Rev Sci Instrum. 2004. 75: 594–612.
30. 30. Аллерсма М.В., Гиттес Ф., деКастро М.Дж., Стюарт Р.Дж., Шмидт К.Ф. Двумерное отслеживание подвижности НКД с помощью интерферометрии в задней фокальной плоскости. Biophys J. Elsevier; 1998. 74: 1074–1085.
31. 31. Дутов П., Шибер Дж. Калибровка оптических ловушек двойным захватом одной бусины.Opt Lett. 2013; 38: 4923–6. pmid: 24322167
32. 32. Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP. Числовые рецепты в FORTRAN: искусство научных вычислений. 2-е изд. Нью-Йорк: издательство Кембриджского университета; 1992.
33. 33. Оргель JPRO, Миллер А., Ирвинг Т.К., Фишетти Р.Ф., Хаммерсли А.П., Весс Т.Дж. и др. Структура коллагена I типа. 2001; 9: 1061–1069.

.