Расчет на прогиб балки: Расчет балки на прогиб и прочность

alexxlab | 16.07.1992 | 0 | Разное

Содержание

Расчет прогиба балки на двух опорах

Процесс проектирования современных строений и построек регулируется огромным количеством различных строительных норм и правил. В большинстве случаев нормы требуют обеспечения определенных характеристик, например, деформации или прогиба балок плит перекрытия под статической или динамической нагрузкой. Например, СНиП № 2.09.03-85 определяет для опор и эстакад прогиб балки не более чем в 1/150 длины пролета. Для чердачных перекрытий этот показатель составляет уже 1/200, а для межэтажных балок и того меньше – 1/250. Поэтому одним из обязательных этапов проектирования является выполнение расчета балки на прогиб.

Способы выполнить расчет и проверку на прогиб


Причина, по которой СНиПы устанавливают столь драконовские ограничения, проста и очевидна. Чем меньше деформация, тем больше запас прочности и гибкости конструкции. Для прогиба менее 0,5% несущий элемент, балка или плита все еще сохраняет упругие свойства, что гарантирует нормальное перераспределение усилий и сохранение целостности всей конструкции. С увеличением прогиба каркас здания прогибается, сопротивляется, но стоит, с выходом за пределы допустимой величины происходит разрыв связей, и конструкция лавинообразно теряет жесткость и несущую способность.

Просчитать прогиб конструкции можно несколькими способами:

  • Воспользоваться программным онлайн-калькулятором, в котором «зашиты» стандартные условия, и не более того;
  • Использовать готовые справочные данные для различных типов и видов балок, для различных опор схем нагрузок. Нужно только правильно идентифицировать тип и размер балки и определить искомый прогиб;
  • Посчитать допустимый прогиб руками и своей головой, большинство проектировщиков так и делают, в то время как контролирующие архитектурные и строительные инспекции предпочитают второй способ расчета.

Измерив, насколько просела балка потолочного перекрытия, можно с 99% уверенностью определить, находится ли конструкция в аварийном состоянии или нет.

Методика выполнения расчета на прогиб


Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета.

Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото.

В нашем случае балка:

  1. Имеет прямоугольное сечение S=b*h, длина опирающейся части составляет L;
  2. Линейка нагружена силой Q, проходящей через центр тяжести изгибаемой плоскости, в результате чего концы поворачиваются на небольшой угол θ, с прогибом относительно начального горизонтального положения, равным f;
  3. Концы балки опираются шарнирно и свободно на неподвижных опорах, соответственно, не возникает горизонтальной составляющей реакции, и концы линейки могут перемещаться в произвольном направлении.

Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ, где Е – справочная величина, R— усилие, Δ— величина деформации тела.

Вычисляем моменты инерции и сил


Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е). Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е).

Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже.

Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е).

Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил Mmax = q*L*2/8, соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е). Величину b·h2/6 называют моментом инерции и обозначают W. В итоге получается Δх = M·х/(W·Е) основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E через момент инерции и изгибающий момент.

Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L

2/8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления.

Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h3/12, где b и h – размеры сечения балки.

Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150.

Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя.

Формулы для практического использования


На практике чаще всего стоит обратная задача – определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии.

Совет! В вопросе расчета предельного состояния балки по величине прогиба неоценимую услугу оказывают требования СНиПа. Устанавливая предел прогиба в относительной величине, например, 1/250, строительные нормы существенно облегчают определение аварийного состояния балки или плиты.

Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения.

Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем:

  • Первоначально измеряется геометрия плиты или балки, фиксируется величина прогиба;
  • По измеренным параметрам определяется сортамент балки, далее по справочнику выбирается формула момента инерции;
  • По прогибу и моменту инерции определяют момент силы, после чего, зная материал, можно выполнить расчет реальных напряжений в металлической, бетонной или деревянной балке.

Вопрос – почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L

2/(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия.

Ответ  прост — необходимо непросто рассчитать, но и сохранить на бумаге ход выполнения проверочного расчета, чтобы сделанные выводы о состоянии перекрытия можно было проверить и перепроверить по всем этапам проверки.

Совет! Используйте в своих расчетах существующие ведомственные сборники различных проектных организаций, в которых в сжатом виде сведены все необходимые формулы для определения и расчета предельного нагруженного состояния.

Заключение


Аналогичным образом поступает большинство разработчиков и проектантов серьезных построек. Программа – это хорошо, она помогает очень быстро выполнить расчет прогиба и основных параметров нагружения перекрытия, но важно также предоставить заказчику документальное подтверждение полученных результатов в виде конкретных последовательных расчетов на бумаге.

Что еще почитать по теме?

Автор статьи:

Сергей Новожилов – эксперт по кровельным материалам с 9-летним опытом практической работы в области инженерных решений в строительстве.

Понравилась статья? Поделись с друзьями в социальных сетях:

Facebook

Twitter

Вконтакте

Одноклассники

Google+

Основные формулы для расчета прогиба балки

Балка является основным элементом несущей конструкции сооружения. При строительстве важно провести расчет прогиба балки. В реальном строительстве на данный элемент действует сила ветра, нагружение и вибрации. Однако при выполнении расчетов принято принимать во внимание только поперечную нагрузку или проведенную нагрузку, которая эквивалентна поперечной.

Балки в доме

При расчете балка воспринимается как жесткозакрепленный стержень, который устанавливается на двух опорах. Если она устанавливается на трех и более опорах, расчет ее прогиба является более сложным, и провести его самостоятельно практически невозможно. Основное нагружение рассчитывается как сумма сил, которые действуют в направлении перпендикулярного сечения конструкции. Расчетная схема требуется для определения максимальной деформации, которая не должна быть выше предельных значений. Это позволит определить оптимальный материал необходимого размера, сечения, гибкости и других показателей.

Виды балок

Для строительства различных сооружений применяются балки из прочных и долговечных материалов. Такие конструкции могут отличаться по длине, форме и сечению. Чаще всего используются деревянные и металлические конструкции. Для расчетной схемы прогиба большое значение имеет материал элемента. Особенность расчета прогиба балки в данном случае будет зависеть от однородности и структуры ее материала.

Деревянные

Для постройки частных домов, дач и другого индивидуального строительства чаще всего используются деревянные балки. Деревянные конструкции, работающие на изгиб, могут использоваться для потолочных и напольных перекрытий.

Деревянные перекрытия

Для расчета максимального прогиба следует учитывать:

  1. Материал. Различные породы дерева обладают разным показателем прочности, твердости и гибкости.
  2. Форма поперечного сечения и другие геометрические характеристики.
  3. Различные виды нагрузки на материал.

Допустимый прогиб балки учитывает максимальный реальный прогиб, а также возможные дополнительные эксплуатационные нагрузки.

Конструкции из древесины хвойных пород

Стальные

Металлические балки отличаются сложным или даже составным сечением и чаще всего изготавливаются из нескольких видов металла. При расчете таких конструкций требуется учитывать не только их жесткость, но и прочность соединений.

Стальные перекрытия

Металлические конструкции изготавливаются путем соединения нескольких видов металлопроката, используя при этом такие виды соединений:

  • электросварка;
  • заклепки;
  • болты, винты и другие виды резьбовых соединений.

Стальные балки чаще всего применяются для многоэтажных домов и других видов строительства, где требуется высокая прочность конструкции. В данном случае при использовании качественных соединений гарантируется равномерно распределенная нагрузка на балку.

Для проведения расчета балки на прогиб может помочь видео: 

Прочность и жесткость балки

Чтобы обеспечить прочность, долговечность и безопасность конструкции, необходимо выполнять вычисление величины прогиба балок еще на этапе проектирования сооружения. Поэтому крайне важно знать максимальный прогиб балки, формула которого поможет составить заключение о вероятности применения определенной строительной конструкции.

Использование расчетной схемы жесткости позволяет определить максимальные изменения геометрия детали. Расчет конструкции по опытным формулам не всегда эффективен. Рекомендуется использовать дополнительные коэффициенты, позволяющие добавить необходимый запас прочности. Не оставлять дополнительный запас прочности – одна из основных ошибок строительства, которая приводит к невозможности эксплуатации здания или даже тяжелым последствиям.

Существует два основных метода расчета прочности и жесткости:

  1. Простой. При использовании данного метода применяется увеличительный коэффициент.
  2. Точный. Данный метод включает в себя использование не только коэффициентов для запаса прочности, но и дополнительные вычисления пограничного состояния.

Последний метод является наиболее точным и достоверным, ведь именно он помогает определить, какую именно нагрузку сможет выдержать балка.

Расчет балок на прогиб

Расчет на жесткость

Для расчета прочности балки на изгиб применяется формула:

Где:

M – максимальный момент, который возникает в балке;

Wn,min – момент сопротивления сечения, который является табличной величиной или определяется отдельно для каждого вида профиля.

Ry является расчетным сопротивлением стали при изгибе. Зависит от вида стали.

γc представляет собой коэффициент условий работы, который является табличной величиной.

Расчет жесткости или величины прогиба балки является достаточно простым, поэтому расчеты может выполнить даже неопытный строитель. Однако для точного определения максимального прогиба необходимо выполнить следующие действия:

  1. Составление расчетной схемы объекта.
  2. Расчет размеров балки и ее сечения.
  3. Вычисление максимальной нагрузки, которая воздействует на балку.
  4. Определение точки приложения максимальной нагрузки.
  5. Дополнительно балка может быть проверена на прочность по максимальному изгибающему моменту.
  6. Вычисление значения жесткости или максимально прогиба балки.

Чтобы составить расчетную схему, потребуются такие данные:

  • размеры балки, длину консолей и пролет между ними;
  • размер и форму поперечного сечения;
  • особенности нагрузки на конструкцию и точно ее приложения;
  • материал и его свойства.

Если производится расчет двухопорной балки, то одна опора считается жесткой, а вторая – шарнирной.

Расчет моментов инерции и сопротивления сечения

Для выполнения расчетов жесткости потребуется значение момент инерции сечения (J) и момента сопротивления (W). Для расчета момента сопротивления сечения лучше всего воспользоваться формулой:

Важной характеристикой при определении момента инерции и сопротивления сечения является ориентация сечения в плоскости разреза. При увеличении момента инерции увеличивается и показатель жесткости.

Определение максимальной нагрузки и прогиба

Для точного определения прогиба балки, лучше всего применять данную формулу:

Где:

q является равномерно-распределенной нагрузкой;

E – модуль упругости, который является табличной величиной;

l – длина;

I – момент инерции сечения.

Чтобы рассчитать максимальную нагрузку, следует учитывать статические и периодические нагрузки. К примеру, если речь идет о двухэтажном сооружении, то на деревянную балку будет постоянно действовать нагрузка от ее веса, техники, людей.

Особенности расчета на прогиб

Расчет на прогиб проводится обязательно для любых перекрытий. Крайне важен точный расчет данного показателя при значительных внешних нагрузках. Сложные формулы в данном случае использовать необязательно. Если использовать соответствующие коэффициенты, то вычисления можно свести к простым схемам:

  1. Стержень, который опирается на одну жесткую и одну шарнирную опору, и воспринимает сосредоточенную нагрузку.
  2. Стержень, который опирается на жесткую и шарнирную опору, и при этом на него действует распределенное нагружение.
  3. Варианты нагружения консольного стержня, который закреплен жестко.
  4. Действие на конструкцию сложной нагрузки.

Применение этого метода вычисления прогиба позволяет не учитывать материал. Поэтому на расчеты не влияют значения его основных характеристик.

Пример подсчета прогиба

Чтобы понять процесс расчета жесткости балки и ее максимального прогиба, можно использовать простой пример проведения расчетов. Данный расчет проводится для балки с такими характеристиками:

  • материал изготовления – древесина;
  • плотность составляет 600 кг/м3;
  • длина составляет 4 м;
  • сечение материала составляет 150*200 мм;
  • масса перекрывающих элементов составляет 60 кг/м²;
  • максимальная нагрузка конструкции составляет 249 кг/м;
  • упругость материала составляет 100 000 кгс/ м²;
  • J равно 10 кг*м².

Для вычисления максимальной допустимой нагрузки учитывается вес балки, перекрытий и опор. Рекомендуется также учесть вес мебели, приборов, отделки, людей и других тяжелых вещей, который также будут оказывать воздействие на конструкцию. Для расчета потребуются такие данные:

  • вес одного метра балки;
  • вес м2 перекрытия;
  • расстояние, которое оставляется между балками;
  • временная нагрузка;
  • нагрузка от перегородок на перекрытие.

Чтобы упросить расчет данного примера, можно принять массу перекрытия за 60 кг/м², нагрузку на каждое перекрытие за 250 кг/м², нагрузки на перегородки 75 кг/м², а вес метра балки равным 18 кг. При расстоянии между балками в 60 см, коэффициент k будет равен 0,6.

Если подставить все эти значения в формулу, то получится:

q = ( 60 + 250 + 75 ) * 0,6 + 18 = 249 кг/м.

Для расчета изгибающего момента следует воспользоваться формулой f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] £ [¦].

Подставив в нее данные, получается f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 44) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 м = 0,83 см.

Именно это и является показателем прогиба при воздействии на балку максимальной нагрузки. Данные расчеты показывают, что при действии на нее максимальной нагрузки, она прогнется на 0,83 см. Если данный показатель меньше 1, то ее использование при указанных нагрузках допускается.

Использование таких вычислений является универсальным способом вычисления жесткости конструкции и величины их прогибания. Самостоятельно вычислить данные величины достаточно легко. Достаточно знать необходимые формулы, а также высчитать величины. Некоторые данные необходимо взять в таблице. При проведении вычислений крайне важно уделять внимание единицам измерения. Если в формуле величина стоит в метрах, то ее нужно перевести в такой вид. Такие простые ошибки могут сделать расчеты бесполезными. Для вычисления жесткости и максимального прогиба балки достаточно знать основные характеристики и размеры материала. Эти данные следует подставить в несколько простых формул.

 

Расчет деревянной балки Онлайн, расчет несущей способности и прогиба деревянных балок

Распределенная нагрузка (перекрытия)

Шаг балок,мм

Нагрузка по площади, кг/кв.м

Распределенная нагрузка, кг/кв.м 150

При относительном прогибе 1/2501/2001/150

максимально допустимый прогиб для междуэтажных перекрытий, мм 16

Расчетный прогиб, мм 12

Расчетный относительный прогиб 1/333

Запас по прогибу в 1.33 раза

Разрушающая нагрузка, кг 2475

Сосредоточенная нагрузка (ригели)

Сосредоточенная нагрузка, кг

Расчетный прогиб, мм 16

Запас по прогибу в 1.33 раза

Разрушающая нагрузка, кг 1238

Выполнение расчета прогиба деревянной балки

При действии нагрузки деревянные балки могут получать довольно большие прогибы, в результате которых нарушается их нормальная эксплуатация. Поэтому кроме расчетов по первой группе предельных состояний (прочность), необходимо выполнить расчет деревянных балок и по второй группе т. е.

по прогибам. Расчет деревянных балок на прогиб выполняется на действие нормативных нагрузок. Нормативную нагрузку получаем разделением расчетной нагрузки на коэффициент надежности по нагрузке.

Вычесление нормативной нагрузки выполнятся в сервисе расчет деревянных балокавтоматически. Нормальная эксплуатация балок возможна, в случае если расчетный прогиб деревянной балки не превышает прогиб, установленный нормами. Нормативными документами установлены конструктивные и эстетико-психологические требования.

1. Конструктивные требования к прогибам деревянных балок.

Представлены в СП64.13330.2011 “ДЕРЕВЯННЫЕ КОНСТРУКЦИИ” Таблица 19Элементы конструкцийПредельные прогибы в долях пролета, не более1 Балки междуэтажных перекрытий 2 Балки чердачных перекрытий 3 Покрытия (кроме ендов): а) прогоны, стропильные ноги б) балки консольные в) фермы, клееные балки (кроме консольных) г) плиты д) обрешетки, настилы 4 Несущие элементы ендов 5 Панели и элементы фахверха1/2501/2001/2001/1501/3001/250 1/1501/4001/250

1. Эстетическо-психологические требования к прогибам деревянных балок.

Представлены в СП20.13330.2011 “НАГРУЗКИ И ВОЗДЕЙСТВИЯ” Приложение Е.2

Элементы конструкцийВертикальные предельные прогибы 2 Балки, фермы, ригели, прогоны, плиты, настилы (включая поперечные ребра плит и настилов):а) покрытий и перекрытий, открытых для обзора, при пролете l, м: l<1 l<3 l<6 l<12 l<24 1/1201/150 1/2001/2501/300В случае если балка скрыта (к примеру, под подшивным потолком) то соблюдение эстетико-психологических требований не является обязательным. В данном случае необходимо выполнить расчет прогибов балкина соблюдение только конструктивных требований по прогибам.

Чтобы построить деревянный дом необходимо провести расчёт несущей способности деревянной балки. Также особое значение в строительной терминологии имеет определение  прогиба.

Без качественного математического анализа всех параметров просто невозможно построить дом из бруса. Именно поэтому перед тем как начать строительство крайне важно правильно рассчитать прогиб деревянных балок. Данные расчёты послужат залогом вашей уверенности в качестве и надёжности постройки.

Что нужно для того чтобы сделать правильный расчёт

Расчёт несущей способности и прогиба деревянных балок не такая простая задача, как может показаться на первый взгляд. Чтобы определить, сколько досок вам нужно, а также, какой у них должен быть размер необходимо потратить немало времени, или же вы просто можете воспользоваться нашим калькулятором.

Во-первых, нужно замерить пролёт, который вы собираетесь перекрыть деревянными балками.

Во-вторых, уделите повышенное внимание методу крепления. Крайне важно, насколько глубоко фиксирующие элементы будут заходить в стену. Только после этого вы сможете сделать расчёт несущей способности вместе с прогибом и ряда других не менее важных параметров.

Длина

Перед тем как рассчитать несущую способность и прогиб, нужно узнать длину каждой деревянной доски.

Данный параметр определяется длиной пролёта. Тем не менее это не всё. Вы должны провести расчёт с некоторым запасом.

Важно! Если деревянные балки заделываться в стены — это напрямую влияет на их длину и все дальнейшие расчёты.

При подсчёте особое значение имеет материал, из которого сделан дом. Если это кирпич, доски будут монтироваться внутрь гнёзд. Приблизительная глубина около 100—150 мм.

Когда речь идёт о деревянных постройках параметры согласно СНиПам сильно меняются. Теперь достаточно глубины в 70—90 мм. Естественно, что из-за этого  также изменится конечная несущая способность.

Если в процессе монтажа применяются хомуты или кронштейны, то длина брёвен или досок соответствует проёму. Проще говоря, высчитайте расстояние от стены до стены и в итоге сможете узнать несущую способность всей конструкции.

Важно! При формировании ската крыши брёвна выносятся за стены на 30—50 сантиметров. Это нужно учесть при подсчёте способности конструкции противостоять нагрузкам.

К сожалению, далеко не всё зависит от фантазии архитектора, когда дело касается исключительно математики. Для обрезной доски максимальная длина шесть метров. В противном случае несущая способность уменьшается, а прогиб становится больше.

Само собой, что сейчас не редкость дома, у которых пролёт достигает 10—12 метров. В таком случае используется клееный брус.

Он может быть двутавровым или же прямоугольным. Также для большей надёжности можно использовать опоры. В их качестве идеально подходят дополнительные стены или колоны.

Совет! Многие строители при необходимости перекрыть длинный пролёт используют фермы.

Общая информация по методологии расчёта

В большинстве случаев в малоэтажном строительстве применяются однопролётные балки.

Они могут быть в виде брёвен, досок или брусьев. Длина элементов может варьироваться в большом диапазоне. В большинстве случаев она напрямую зависит от параметров строения, которые вы собираетесь возвести.

Внимание! Представленный в конце странички калькулятор расчета балок на прогиб позволит вам просчитать все значения с минимальными затратами времени. Чтобы воспользоваться программой, достаточно ввести базовые данные.

Роль несущих элементов в конструкции выполняют деревянные бруски, высота сечения которых составляет от 140 до 250 мм, толщина лежит в диапазоне 55—155 мм. Это наиболее часто используемые параметры при расчёте несущей способности деревянных балок.

Очень часто профессиональные строители для того чтобы усилить конструкцию используют перекрёстную схему монтажа балок. Именно эта методика даёт наилучший результат при минимальных затратах времени и материалов.

Если рассматривать длину оптимального пролёта при расчёте несущей способности деревянных балок, то лучше всего ограничить фантазию архитектора в диапазоне от двух с половиной до четырёх метров.

Внимание! Лучшим сечением для деревянных балок считается площадь, у которой высота и ширина соотносятся как 1,5 к 1.

Как рассчитать несущую способность и прогиб

Стоит признать, что за множество лет практики в строительном ремесле был выработан некий канон, который чаще всего используют для того, чтобы провести расчёт несущей способности:

M/W<=Rд

Расшифруем значение каждой переменной в формуле:

    Буква Мвначале формулы указывает на изгибающий момент. Он исчисляется в кгс*м.Wобозначает момент сопротивления. Единицы измерения см3.

Расчёт прогиба деревянной балки является частью, представленной выше формулы. Буква Муказывает нам на данный показатель. Чтобы узнать параметр применяется следующая формула:

M=(ql2)/8

В формуле расчёта прогиба есть всего две переменных, но именно они в наибольшей степени определяют, какой в конечном итоге будет несущая способность деревянной балки:

    Символ q показывает нагрузку, которую способна выдержать доска.В свою очередь буква l— это длина одной деревянной балки.

Внимание! Результат расчёт несущей способности и прогиба зависит от материала из которого сделана балка, а также от способа его обработки.

Насколько важно правильно рассчитать прогиб

Этот параметр крайне важен для прочности всей конструкции. Дело в том, что одной стойкости бруса недостаточно для долгой и надёжной службы, ведь со временем его прогиб под нагрузкой может увеличиваться.

Прогиб не просто портит эстетичный вид перекрытия. Если данный параметр превысит показатель в 1/250 от общей длины элемента перекрытия, то вероятность возникновения аварийной ситуации возрастёт в десятки раз.

Так зачем нужен калькулятор

Представленный ниже калькулятор позволит вам моментально просчитать прогиб, несущую способность и многие другие параметры без использования формул и подсчётов. Всего несколько секунд и данные по вашему будущему дому будут готовы.

В современном индивидуальном строительстве деревянные балки используются почти в каждом проекте. Найти постройку, в которой не используются деревянные перекрытия, практически невозможно. Деревянные балки применяются и для устройства полов, и в качестве несущих элементов, как опоры для межэтажных и чердачных перекрытий.

Формула расчета прогиба балки.

Известно, что деревянные балки, как и любые другие, могут прогибаться под воздействием различных нагрузок.

Эта величина — стрелка прогиба — зависит от материала, характера нагрузки и геометрических характеристик конструкции. Небольшой прогиб вполне допустим. Когда мы ходим, например, по деревянному настилу, то чувствуем, как пол слегка пружинит, однако если такие деформации незначительны, то нас это мало беспокоит.

Насколько можно допустить прогиб, определяется двумя факторами:

    Прогиб не должен превышать расчетных допустимых значений.Прогиб не должен мешать эксплуатации здания.

Чтобы узнать, насколько будут деформироваться деревянные элементы в конкретном случае, нужно произвести расчеты на прочность и жесткость. Подробные и детальные расчеты такого рода — это работа инженеров-строителей, однако, имея навык математических вычислений и зная несколько формул из курса сопротивления материалов, вполне можно самостоятельно рассчитать деревянную балку.

Вспомогательная таблица для расчета количества балок.

Любая постройка должна быть прочной.

Именно поэтому балки перекрытия проверяют в первую очередь на прочность, чтобы конструкция могла выдерживать все необходимые нагрузки, не разрушаясь. Кроме прочности конструкция должна обладать жесткостью и устойчивостью. Величина прогиба является элементом расчета на жесткость.

Прочность и жесткость неразрывно связаны между собой. Вначале делают расчеты на прочность, а затем, используя полученные результаты, можно сделать расчет прогиба.

Чтобы правильно спроектировать собственный загородный дом, необязательно знать полный курс сопротивления материалов. Но углубляться в слишком подробные вычисления не стоит, как и просчитывать различные варианты конструкций.

Чтобы не ошибиться, лучше воспользоваться укрупненными расчетами, применяя простые схемы, а высчитывая нагрузки на несущие элементы, всегда делать небольшой запас в большую сторону.

Алгоритм вычисления прогиба

Рассмотрим упрощенную схему расчета, опуская некоторые специальные термины, и формулы для расчета двух основных случаев нагружения, принятых в строительстве.

Нужно выполнить следующие действия:

    Составить расчетную схему и определить геометрические характеристики балки.Определить максимальную нагрузку на этот несущий элемент.При необходимости проверить брус на прочность по изгибающему моменту.Вычислить максимальный прогиб.

Расчетная схема балки и момент инерции

Расчетную схему сделать довольно просто. Нужно знать размеры и форму поперечного сечения элемента конструкции, способ опирания, а также пролет, то есть расстояние между опорами. Например, если вы укладываете опорные брусья перекрытия на несущие стены дома, а расстояние между стенами 4 м, то пролет будет l=4 м.

Деревянные балки рассчитывают как свободно опертые. Если это балка перекрытия, то принимается схема с равномерно распределенной нагрузкой q. В случае если нужно определить изгиб от сосредоточенной нагрузки (например, от небольшой печки, выложенной прямо на перекрытии), принимается схема с сосредоточенной нагрузкой F, равной весу, который будет давить на конструкцию.

Для определения величины прогиба f необходима такая геометрическая характеристика, как момент инерции сечения J.4.

Здесь нужно обратить внимание на то, что момент инерции прямоугольного сечения зависит от того, как оно сориентировано в пространстве. Если брус положить широкой стороной на опоры, то момент инерции будет значительно меньше, а прогиб — больше.

Этот эффект каждый может прочувствовать на практике. Все знают, что доска, положенная обычным способом, прогибается гораздо сильнее, чем та же доска, положенная на ребро. Это свойство очень хорошо отражается в самой формуле для вычисления момента инерции.

Определение максимальной нагрузки

Для определения максимальной нагрузки на балку нужно сложить все ее составляющие: вес самого бруса, вес перекрытия, вес обстановки вместе с находящимися там людьми, вес перегородок.

Все это нужно сделать в пересчете на 1 пог. м балки. Таким образом, нагрузка q будет состоять из следующих показателей:

Расчет на смятие опорных участков балки.

вес 1 пог.

м балки;вес 1 кв. м перекрытия;временная нагрузка на перекрытие;нагрузка от перегородок на 1 кв.3/48*E*J, где:

F — сила давления на брус, например, вес печи или другого тяжелого оборудования.

Модуль упругости Е для разных видов древесины различен, эта характеристика зависит не только от породы дерева, но и от вида бруса — цельные балки, клееный брус или оцилиндрованное бревно имеют различные модули упругости.

Подобные вычисления могут производиться с различными целями. Если вам нужно просто узнать, в каких пределах будут находиться деформации элементов конструкции, то после определения стрелки прогиба дело можно считать завершенным. Но если вас интересует, насколько полученные результаты соответствуют строительным нормам, то необходимо выполнить сравнение полученных результатов с цифрами, приведенными в соответствующих нормативных документах.

Балка является основным элементом несущей конструкции сооружения.

При строительстве важно провести расчет прогиба балки. В реальном строительстве на данный элемент действует сила ветра, нагружение и вибрации. Однако при выполнении расчетов принято принимать во внимание только поперечную нагрузку или проведенную нагрузку, которая эквивалентна поперечной.

При расчете балка воспринимается как жесткозакрепленный стержень, который устанавливается на двух опорах.

Если она устанавливается на трех и более опорах, расчет ее прогиба является более сложным, и провести его самостоятельно практически невозможно.Основное нагружение рассчитывается как сумма сил, которые действуют в направлении перпендикулярного сечения конструкции. Расчетная схема требуется для определения максимальной деформации, которая не должна быть выше предельных значений. Это позволит определить оптимальный материал необходимого размера, сечения, гибкости и других показателей.

Виды балок

Для строительства различных сооружений применяются балки из прочных и долговечных материалов. Такие конструкции могут отличаться по длине, форме и сечению.

Чаще всего используются деревянные и металлические конструкции. Для расчетной схемы прогиба большое значение имеет материал элемента. Особенность расчета прогиба балки в данном случае будет зависеть от однородности и структуры ее материала.

Деревянные

Для постройки частных домов, дач и другого индивидуального строительства чаще всего используются деревянные балки. Деревянные конструкции, работающие на изгиб, могут использоваться для потолочных и напольных перекрытий.

Для расчета максимального прогиба следует учитывать:

    Материал. Различные породы дерева обладают разным показателем прочности, твердости и гибкости.Форма поперечного сечения и другие геометрические характеристики.Различные виды нагрузки на материал.

Допустимый прогиб балки учитывает максимальный реальный прогиб, а также возможные дополнительные эксплуатационные нагрузки.

Конструкции из древесины хвойных пород

Стальные

Металлические балки отличаются сложным или даже составным сечением и чаще всего изготавливаются из нескольких видов металла. При расчете таких конструкций требуется учитывать не только их жесткость, но и прочность соединений.

Металлические конструкции изготавливаются путем соединения нескольких видов металлопроката, используя при этом такие виды соединений:

    электросварка;заклепки;болты, винты и другие виды резьбовых соединений.

Стальные балки чаще всего применяются для многоэтажных домов и других видов строительства, где требуется высокая прочность конструкции. В данном случае при использовании качественных соединений гарантируется равномерно распределенная нагрузка на балку.

Для проведения расчета балки на прогиб может помочь видео:

Прочность и жесткость балки

Чтобы обеспечить прочность, долговечность и безопасность конструкции, необходимо выполнять вычисление величины прогиба балок еще на этапе проектирования сооружения. Поэтому крайне важно знать максимальный прогиб балки, формула которого поможет составить заключение о вероятности применения определенной строительной конструкции.

Использование расчетной схемы жесткости позволяет определить максимальные изменения геометрия детали.

Расчет конструкции по опытным формулам не всегда эффективен. Рекомендуется использовать дополнительные коэффициенты, позволяющие добавить необходимый запас прочности. Не оставлять дополнительный запас прочности – одна из основных ошибок строительства, которая приводит к невозможности эксплуатации здания или даже тяжелым последствиям.

Существует два основных метода расчета прочности и жесткости:

    Простой. При использовании данного метода применяется увеличительный коэффициент.Точный. Данный метод включает в себя использование не только коэффициентов для запаса прочности, но и дополнительные вычисления пограничного состояния.

Последний метод является наиболее точным и достоверным, ведь именно он помогает определить, какую именно нагрузку сможет выдержать балка.

Расчет на жесткость

Для расчета прочности балки на изгиб применяется формула:

Где:

M – максимальный момент, который возникает в балке;

Wn,min– момент сопротивления сечения, который является табличной величиной или определяется отдельно для каждого вида профиля.

Ryявляется расчетным сопротивлением стали при изгибе. Зависит от вида стали.

γcпредставляет собой коэффициент условий работы, который является табличной величиной.

Расчет жесткости или величины прогиба балки является достаточно простым, поэтому расчеты может выполнить даже неопытный строитель. Однако для точного определения максимального прогиба необходимо выполнить следующие действия:

    Составление расчетной схемы объекта.Расчет размеров балки и ее сечения.Вычисление максимальной нагрузки, которая воздействует на балку.Определение точки приложения максимальной нагрузки.Дополнительно балка может быть проверена на прочность по максимальному изгибающему моменту.Вычисление значения жесткости или максимально прогиба балки.

Чтобы составить расчетную схему, потребуются такие данные:

    размеры балки, длину консолей и пролет между ними;размер и форму поперечного сечения;особенности нагрузки на конструкцию и точно ее приложения;материал и его свойства.

Если производится расчет двухопорной балки, то одна опора считается жесткой, а вторая – шарнирной.

Расчет моментов инерции и сопротивления сечения

Для выполнения расчетов жесткости потребуется значение момент инерции сечения (J) и момента сопротивления (W). Для расчета момента сопротивления сечения лучше всего воспользоваться формулой:

Важной характеристикой при определении момента инерции и сопротивления сечения является ориентация сечения в плоскости разреза. При увеличении момента инерции увеличивается и показатель жесткости.

Определение максимальной нагрузки и прогиба

Для точного определения прогиба балки, лучше всего применять данную формулу:

Где:

q является равномерно-распределенной нагрузкой;

E – модуль упругости, который является табличной величиной;

l – длина;

I – момент инерции сечения.

Чтобы рассчитать максимальную нагрузку, следует учитывать статические и периодические нагрузки. К примеру, если речь идет о двухэтажном сооружении, то на деревянную балку будет постоянно действовать нагрузка от ее веса, техники, людей.

Особенности расчета на прогиб

Расчет на прогиб проводится обязательно для любых перекрытий.

Крайне важен точный расчет данного показателя при значительных внешних нагрузках. Сложные формулы в данном случае использовать необязательно. Если использовать соответствующие коэффициенты, то вычисления можно свести к простым схемам:

    Стержень, который опирается на одну жесткую и одну шарнирную опору, и воспринимает сосредоточенную нагрузку.Стержень, который опирается на жесткую и шарнирную опору, и при этом на него действует распределенное нагружение.Варианты нагружения консольного стержня, который закреплен жестко.Действие на конструкцию сложной нагрузки.

Применение этого метода вычисления прогиба позволяет не учитывать материал. Поэтому на расчеты не влияют значения его основных характеристик.

Пример подсчета прогиба

Чтобы понять процесс расчета жесткости балки и ее максимального прогиба, можно использовать простой пример проведения расчетов. Данный расчет проводится для балки с такими характеристиками:

    материал изготовления – древесина;плотность составляет 600 кг/м3;длина составляет 4 м;сечение материала составляет 150*200 мм;масса перекрывающих элементов составляет 60 кг/м²;максимальная нагрузка конструкции составляет 249 кг/м;упругость материала составляет 100 000 кгс/ м²;J равно 10 кг*м².

Для вычисления максимальной допустимой нагрузки учитывается вес балки, перекрытий и опор. Рекомендуется также учесть вес мебели, приборов, отделки, людей и других тяжелых вещей, который также будут оказывать воздействие на конструкцию. Для расчета потребуются такие данные:

    вес одного метра балки;вес м2 перекрытия;расстояние, которое оставляется между балками;временная нагрузка;нагрузка от перегородок на перекрытие.

Чтобы упросить расчет данного примера, можно принять массу перекрытия за 60 кг/м², нагрузку на каждое перекрытие за 250 кг/м², нагрузки на перегородки 75 кг/м², а вес метра балки равным 18 кг. При расстоянии между балками в 60 см, коэффициент k будет равен 0,6.

Если подставить все эти значения в формулу, то получится:

q = ( 60 + 250 + 75 ) * 0,6 + 18 = 249 кг/м.

Для расчета изгибающего момента следует воспользоваться формулой f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] £ [¦].

Подставив в нее данные, получается f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 44) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 м = 0,83 см.

Именно это и является показателем прогиба при воздействии на балку максимальной нагрузки. Данные расчеты показывают, что при действии на нее максимальной нагрузки, она прогнется на 0,83 см. Если данный показатель меньше 1, то ее использование при указанных нагрузках допускается.

Использование таких вычислений является универсальным способом вычисления жесткости конструкции и величины их прогибания. Самостоятельно вычислить данные величины достаточно легко. Достаточно знать необходимые формулы, а также высчитать величины.

Некоторые данные необходимо взять в таблице. При проведении вычислений крайне важно уделять внимание единицам измерения. Если в формуле величина стоит в метрах, то ее нужно перевести в такой вид.

Такие простые ошибки могут сделать расчеты бесполезными. Для вычисления жесткости и максимального прогиба балки достаточно знать основные характеристики и размеры материала. Эти данные следует подставить в несколько простых формул.

Источники:

  • rascheta.net
  • bouw.ru
  • 1poderevu.ru
  • viascio.ru

Расчет прогиба балки методом начальных параметров

В этой статье будут рассмотрены основные нюансы расчета прогибов, методом начальных параметров, на примере консольной балки, работающей на изгиб. А также рассмотрим пример, где с помощью универсального уравнения, определим прогиб балки и угол поворота.

Теория по методу начальных параметров

Возьмем консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, моментом, а также распределенной нагрузкой. Таким образом, зададимся такой расчетной схемой, где присутствуют все виды нагрузок, тем самым, охватим всю теоретическую часть по максимуму. Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки:

Выбор базы и обозначение системы координат

Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки. Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат:

Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа. Тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях, упростит  немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа, придет с опытом решения задач на метод начальных параметров.

Универсальное уравнение прогибов для балки

После введения базы, системы координат и обозначении расстояний а, б, в, г записываем универсальную формулу, с помощью которой, будем рассчитывать прогиб балки (вертикальное перемещение сечения K, находящегося на свободном торце балки): Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем так сказать:

  • E – модуль упругости;
  • I – момент инерции;
  • Vk – прогиб сечения K;
  • VO – прогиб сечения O;
  • θO – угол поворота сечения О.

Не буду приводить вывод этой формулы, не хочу отпугивать читателей, продвинутые студенты могут ознакомиться с выводом самостоятельно в учебнике по сопромату. Я только расскажу об основных закономерностях этого уравнения и как записать его для любой балки постоянного сечения.

Итак, изучаем эту формулу с лева направо. В левой части уравнения обознается искомый прогиб, в нашем случае Vk, который дополнительно умножается на жесткость балки — EI:В уравнении всегда учитывается прогиб сечения балки, совпадающего с нашей базой EIVO:

Также всегда учитывается угол поворота сечения совпадающего с выбранной базой. Причем, произведение EIθO всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого рассчитывается, в нашем примере — это расстояние г.

Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку находящуюся слева от рассматриваемого сечения. В скобках расстояния от базы до сечения отнимаются расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.

Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом:

В случае с моментами, скоба возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен почасовой стрелке и отрицательным, соответственно, когда против часовой стрелки.

Учет распределенной нагрузки

Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось, в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки, но конец ее совпадает с сечением, прогиб которого мы хотим вычислить, поэтому в уравнение попадает только ее начало.

Причем важно, даже если бы в этом сечении была бы сила или момент, их бы так же не учитывали. Нас интересует все, что находится слева от рассматриваемого сечения.

Для распределенной нагрузки скобочка возводится в 4 степень и делится на 24. Правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил:

Граничные условия

Чтобы решить уравнение нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: VK, VO и θO. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы. Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и ни каких поворотов, то есть VO=0 и θO=0, это и есть так называемые начальные параметры или их еще называют граничными условиями. Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K.

Если бы балка была закреплена с помощью шарнирно подвижной и неподвижной опоры, тогда мы бы приняли прогибы в опорах равными нулю, но угол поворота в опорах был бы уже отличен от нуля. Более подробно об этом рассказано в другой моей статье, посвященной методу начальных параметров на примере балки на двух опорах.

Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров.  Как известно, при изгибе, поперечные сечения балок помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью.

Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:

Пример расчета прогиба балки

Для закрепления пройденного материала, предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок. Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца. Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·105 МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см4). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.

Подготовительный этап

Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки, проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:

В методе начальных параметров, есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае, рассматриваемый метод будет работать. В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м. от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае, нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно-направленной нагрузкой. Тем самым, в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки:

Расчет прогиба

Записываем граничные условия для заданной расчетной схемы:

VA = 0 при x = 6м

θA = 0 при x = 6м

Напомню, что нас, в этом примере, интересует прогиб сечения O (VO). Для его нахождения составим уравнение, для сечения A, в которое будет входить искомая величина:

В полученном уравнении, у нас содержится две неизвестные величины: искомый прогиб VO и угол поворота этого сечения — θO:

Таким образом, чтобы решить поставленную задачу, составим дополнительное уравнение, но только теперь, не прогибов, а углов поворотов, для сечения A:Из второго уравнения, найдем угол поворота:После чего, рассчитываем искомый прогиб:

Таким образом, свободный торец такой балки, прогнется практически на 6 см. Данную задачу, можно решить несколько проще, если ввести базу с правого торца. В таком случае, для решения потребовалось бы лишь одно уравнение, однако, оно было бы немного объемнее, т.к. включало реакции в заделке.

Балки под сосредоточенной нагрузкой | Онлайн калькулятор

В данном разделе можно выполнить онлайн расчеты статически определимых балок в условиях прямого поперечного изгиба под действием сосредоточенной нагрузки. Расчеты определяют прогиб, угол поворота и изгибающий момент в произвольно заданной точке балки при различных граничных условиях. Определив наибольший изгибающий момент и соответствующее опасное сечение балки легко подобрать его размеры исходя из допускаемых напряжений в сечении.

Исходные данные:

L – длина балки, в миллиметрах;

a – координата точки приложения сосредоточенной нагрузки, в миллиметрах;

X – координата точки нахождения изгибающего момента, угла поворота и прогиба балки, в миллиметрах;

F – нагрузка, в ньютонах;

Ix – момент инерции сечения относительно оси, перпендикулярной действию нагрузки, в метрах 4;

Е – модуль упругости материала балки, в паскалях.

Расчет балки # 1.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке консольно закрепленной балки под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

RL = 0 – реакция опоры в крайней левой точке;

ML = 0 – изгибающий момент в крайней левой точке;

θR = 0 – угол поворота в крайней правой точке;

YR = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Расчет балки # 2.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c защемленным концом и скользящей опорой под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

RL = 0 – реакция опоры в крайней левой точке;

θL = 0 – угол поворота в крайней левой точке;

θR = 0 – угол поворота в крайней правой точке;

YR = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Расчет балки # 3.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c защемленным концом и шарнирной опорой под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

МL = 0 – изгибающий момент в крайней левой точке;

YL = 0 – прогиб балки в крайней левой точке;

θR = 0 – угол поворота в крайней правой точке;

YR = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Расчет балки # 4.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c защемленными концами под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

θL = 0 – угол поворота в крайней левой точке;

YL = 0 – прогиб балки в крайней левой точке;

θR = 0 – угол поворота в крайней правой точке;

YR = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Расчет балки # 5.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c шарнирными опорами под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

МL = 0 – изгибающий момент в крайней левой точке;

YL = 0 – прогиб балки в крайней левой точке;

МR = 0 – изгибающий момент в крайней правой точке;

YR = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Расчет балки # 6.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c шарнирной и скользящей опорами под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

RL = 0 – реакция опоры в крайней левой точке;

θL = 0 – угол поворота балки в крайней левой точке;

МR = 0 – изгибающий момент в крайней правой точке;

YR = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

©ООО”Кайтек”, 2020. Любое использование либо копирование материалов или подборки материалов сайта, может осуществляться лишь с разрешения автора (правообладателя) и только при наличии ссылки на сайт www.caetec.ru

Расчет балки

Подробный ход решения – расчет балки, построение эпюр

Заменим распределенную нагрузку равнодействующей

Q1 = 6·2 = 12кН

Составим уравнения равновесия для определения реакций опор

Σ MA = + P · 2 + M + Q1 · 3 – RE · 6= + 12 · 2 + 8 + 12 · 3 – RE · 6=0

Σ ME = – P · 4 + M – Q1 · 3 + RA · 6= – 12 · 4 + 8 – 12 · 3 + RA · 6=0

Из этих уравнений находим реакции опор

RA = 12.67кН.

RE = 11.33кН.

Записываем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на участках балки , используя метод сечений

На участке AB: (0 ≤ z1 ≤ 2 м )

Q(z1) = + RA = + 12.67 = 12.667 кН

M(z1) = + RA · z = + 12.67 · z

M(0) = 0 кНм

M(2) = 25.333 кНм

На участке BC: (2 ≤ z2 ≤ 4 м )

Q(z2) = + RA – P – q1·(z – 2) = + 12.67 – 12 – 6·(z – 2)

Q(2) = 0.667 кН

Q(4) = -11.333 кН

M(z2) = + RA · z – P·(z – 2) – q1·(z – 2)2/2 = + 12.67 · z – 12·(z – 2) – 6·(z – 2)2/2

M(2) = 25.333 кНм

M(4) = 14.667 кНм

Поскольку поперечная сила на участке пересекает ноль при z = 2.11 м, в этой точке будет экстремум на эпюре M

M(2.11) = 25.4 кНм

На участке CD: (4 ≤ z3 ≤ 5 м )

Q(z3) = + RA – P – Q1 = + 12.67 – 12 – 12 = -11.333 кН

M(z3) = + RA · z – P·(z – 2) – Q1·(z – 3) = + 12.67 · z – 12·(z – 2) – 12·(z – 3)

M(4) = 14.667 кНм

M(5) = 3.333 кНм

На участке DE: (5 ≤ z4 ≤ 6 м )

Q(z4) = + RA – P – Q1 = + 12.67 – 12 – 12 = -11.333 кН

M(z4) = + RA · z – P·(z – 2) + M – Q1·(z – 3) = + 12.67 · z – 12·(z – 2) + 8 – 12·(z – 3)

M(5) = 11.333 кНм

M(6) = 0 кНм

Максимальный момент в балке составляет Mmax = 25.4 кНм. По этому значению подбираем сечение балки.

Условие прочности при изгибе σ = Mmax / W ≤ [σ]

Отсюда, минимально необходимый момент сопротивления вычисляем по формуле Wmin=Mmax / [σ]

Лучшее руководство по определению прогиба в балках переменного сечения

Таблицы балок дают информацию и предполагают, что отклонение Расчет основан на постоянном поперечном сечении. Итак, что мы делаем, если наш луч имеет крест сечение, изменяющееся по длине балки?

Для определения величины отклонения в балка переменного сечения, необходимо интегрировать формулу прогиба балки с моментом инерции, являющимся переменной по отношению к длине и применять граничные условия.Луч формула отклонения: v’’ = M(x)/[E*I(x)].

Непрерывная или дискретная – Существует два типа секций балки: непрерывная и дискретная. Большинство балок представляют собой непрерывных балок и имеют либо постоянное сечение, либо сечение, которое постепенно изменяется по длине балки. Балки крыши в больших стальных зданиях являются отличным примером непрерывной переменной балки. Балка относительно короткая по высоте на концах и очень высокая в середине.

Дискретные лучи являются лучами которые имеют внезапные разрывы в разрезе.Хотите верьте, хотите нет, иногда это проще для расчета, потому что дискретные сечения обычно постоянны, что приводит к более легкий расчет.

Формула отклонения луча является универсальной формула, которая позволяет настраивать несколько нагрузок и балок разделы. Я предупрежу вас, что чем больше точным должен быть ваш расчет, тем сложнее будет сделать математику. Упрощение здесь сэкономит много времени и усилие. Как упоминалось перед формула:

в’’ = М(х)/[Е*I(х)]

Где v’’ — вторая производная прогиба ( ускорение отклонения), M — момент, который обычно является функцией положение по длине балки, х. E — модуль упругости, I — момент инерции площади. луч. Все табличные лучи будут считать это константой, и поэтому ни одна из формул отклонения может быть использован.

Теперь, когда мы проинтегрируем приведенное выше уравнение, мы получим выполнение неопределенного интеграла, что означает, что мы должны добавить константу, C n, к многочлену каждый раз, когда мы интегрируем. Поскольку мы будем интегрировать уравнение два раза, мы получим две константы. Если у нас есть дискретный случае у нас будет два или более уравнений.

Граничные условия требования, которым должна соответствовать формула отклонения луча, когда она находится в окончательном виде. Окончательная форма приходит только тогда, когда мы используем граничные условия для решения констант образован неопределенным интегралом. Общий случаи, когда концы свободно опертой балки должны быть 0 (дюймы, мм и т. д.) или наклон консольной балки должен быть 0 радиан.

В этой статье мы рассмотрим три примера обычных балок переменного сечения.

  1. Двухсекционная консольная балка с точечной нагрузкой на конце.
  2. Двухсекционная свободно опертая балка под собственным весом.
  3. Постоянно меняющаяся неразрезная свободно опертая балка с постоянной распределенной нагрузкой.

Пример 1: Двухсекционная консольная балка с точечной нагрузкой на конце.

Эта задача состоит из 100-дюймового длинного консольная стальная балка с нагрузкой 500 фунтов на конец.4.

Теперь определим момент и дважды проинтегрируем уравнение прогиба балки, каждый раз добавляя переменную для неопределенного интеграла. Я выбрал, чтобы моя система координат (переменная x) начиналась с основания. Это немного усложняет интегрирование, но переменные C 1 и C 2 взаимно компенсируются из-за граничных условий 1 и 2. Через секунду вы увидите.

Мне нужно только выполнить интегрирование для одного из разделов, а затем изменить I 1 на I 2 в уравнениях.Я также сохранил переменную «v» как отклонение балки, но изменил первую производную отклонения на переменную «s», чтобы указать наклон. Я также указал переменные.

Теперь, когда проблема определена, давайте настроим граничные условия. Нам нужно, чтобы положение и наклон на фиксированном конце балки были равны 0 дюймов и 0 радиан. Также нам потребуются еще два граничных условия на стыке отрезков. Наклон и положение в этом положении должны быть одинаковыми.

Найдем граничные условия 1 и 2

Как упоминалось выше, я предвидел, что переменные C1 и C2 будет равно 0, если я решу, чтобы система координат начиналась с основание.

Далее мы рассмотрим граничные условия 3 и 4. Они немного сложнее.

Обратите внимание на галочку, которую я поставил в блоке поиска, чтобы чтобы мы могли убедиться, что v 1 = v 2 и s 1 = s 2 на 50 дюймов.Это подтверждает что положение и наклон будут непрерывными в этой точке.

Следующим шагом является проверка результатов. Это делается в два этапа. Во-первых, построить каждый сегмент по всей длине. Мы ищем четыре граничных условия, которые должны быть выполнены. Как видите, линии пересекаются и касаются друг друга на расстоянии 50 дюймов. Кроме того, v 1 не имеет отклонения или наклона в основании.

Наконец, мы объединим два графика вместе, сформировав окончательное уравнение для отклонения нашей консольной балки.

Как вы можете видеть, отклонение быстро увеличивается после 50 дюймов от основания. Это ясно видно на обоих графиках.

4 лучших способа улучшить характеристики торсионной балки

Пример 2: Двухсекционная свободно опертая стальная балка под собственным весом.

Эта задача состоит из свободно опертой стальной балки длиной 300 дюймов с распределенной нагрузкой 30 фунтов/дюйм на левом конце. На правый конец распределена нагрузка 50 фунтов.4.

Теперь определимся с моментом и интегрируем уравнение отклонения луча дважды каждый раз добавляя переменную. Я выбрал две системы координат. Координата x идет слева направо и координата y идет справа налево. Они связаны:

г. = л-х

Я выбрал эту систему координат так, что C 2 и C 4 сокращаются, когда мы находим граничные условия 1 и 2. Это также упрощает математику. чрезвычайно.Вы увидите через секунду.

Мне нужно только выполнить интегрирование для одного из разделов, а затем изменить I 1 на I 2 и w 1 на w 2 в уравнениях. В уравнениях правого сечения я также заменю «у» на «х». Я также сохранил переменную «v» как отклонение балки, но изменил первую производную отклонения на переменную «s», чтобы указать наклон. Я также указал переменные.

Теперь, когда проблема определена, давайте настроим граничные условия.Нам нужно, чтобы концы балки имели отклонение 0 дюймов (BC 1 и 2). Также нам потребуются еще два граничных условия на стыке отрезков. Наклон и положение в этом месте должны быть одинаковыми в месте соединения сегментов.

Найдем граничные условия 1 и 2

Как упоминалось выше, я предвидел, что переменные C 2 и C 4 будет равно 0, когда я выберу координату запуск системы на базе.

Далее мы рассмотрим граничные условия 3 и 4. Они немного сложнее.

Обратите внимание на галочку, которую я поставил в блоке поиска, чтобы чтобы мы могли убедиться, что v 1 = v 2 и s 1 = s 2 на 200 дюймов. Это подтверждает что положение и наклон будут непрерывными в этой точке.

Следующим шагом является проверка результатов. Это делается в два этапа. Во-первых, построить каждый сегмент по всей длине.Мы ищем четыре граничных условия, которые должны быть выполнены.

О-о, что случилось!? Линии определенно пересекаются на расстоянии 200 дюймов, и каждый конец имеет 0 дюймов отклонение, но они не касаются в месте пересечения. Я не только иллюстрирую силу построение графика решения для точности, а также демонстрация того, что использование двух различные системы координат представляли собой проблему. Согласно уравнениям, склоны приближаются к месту узел на нисходящем склоне равный по величине.Однако сделать эту работу одним из склонов на самом деле должен подойти. Мы можем устраните эту проблему, внеся одно небольшое изменение.

с 1 = -s 2

Давайте внесем это изменение и приступим к решению.

Да, намного лучше! Наконец, мы объединим два графика вместе, сформировав окончательное уравнение для отклонения нашей консольной балки.

Как и ожидалось, более длинная жесткая секция меньше прогибается.

Как рассчитать данные луча, если вашего дела нет в таблице

Пример 3: Постоянно меняющаяся, неразрезная, свободно опертая балка с постоянной распределенной нагрузкой.

Эта задача состоит из свободно опертой стальной балки длиной 300 дюймов с распределенной нагрузкой 1000 фунтов/дюйм поперек балки. Секция начинается с высоты 10 дюймов и линейно увеличивается к центру, где достигает высоты 24 дюймов. Затем он сужается до 10 дюймов.

Чтобы определить, как изменяется момент инерции по отношению к x, мы будем моделировать в Solidworks и брать сечения через каждые 30 дюймов. Мы сведем эти данные в таблицу и подгоним к ним строку.

Вы, наверное, заметили, что я составил таблицу только для значений от 0 до 150 дюймов.  Это потому, что я собираюсь использовать симметрию, чтобы упростить эту сложную задачу. Мы можем использовать симметрию, потому что и нагрузка, и сечение балки симметричны относительно середины балки. Из-за симметрии нам нужно, чтобы конечная точка имела отклонение 0 дюймов, а наклон в середине луча был 0 градусов. Затем мы можем отразить это, чтобы получить непрерывное отклонение луча. В этом случае у нас будет координата x слева направо.

Здесь видно, что рассчитанные значения I(x) близко соответствуют значениям, указанным в таблице выше. Я назвал вторую производную от положения «а1» (ускорение). Как видите, с верхней и нижней частью, имеющей переменную «x», будет очень весело интегрировать это. Итак, есть одна вещь, которую вам нужно знать обо мне. У меня есть ограничения в том, что я не буду делать. Интеграция — одна из таких вещей. Вот почему у нас есть MathCAD!

Как видите, очень кропотливая работа по интеграции был замазан, и мы смогли напрямую решить для нашей границы условия.В уравнениях s(x) и v(x), на самом деле были натуральные бревна и каким-то образом появился арктангенс (не показано). я до сих пор не жалею позволяя MathCAD делать всю работу.

Следующим шагом является проверка результатов. Это делается в два этапа. Во-первых, построить каждый сегмент по всей длине. Мы ищем, чтобы наши граничные условия были выполнены. Как видите, отклонение при x = 0 дюймов составляет 0 дюймов, а наклон кажется плоским при x = 150 дюймов.

Наконец, мы зеркально отразим графики вместе, образуя окончательное уравнение для отклонения нашей консольной балки.

Как видите, отклонение составляет 0 дюймов в конечных точках и имеет максимальное отклонение в центре.

Лучшее руководство по решению статически неопределимых балок

Заключение

В этой статье рассматриваются три популярных варианта нагрузки, в которых балка имеет переменное поперечное сечение. Хотя это требует исчисления, часто это очень легко сделать вручную, потому что это многочлены. Если нет, будьте благодарны надежным программам, таким как MathCAD, которые сделают это за вас.Эта статья должна дать вам хорошее представление о процедуре, используемой для анализа таких лучей. Если ваша балка не загружена именно так, вы всегда можете найти расчет момента в таблице и интегрировать свое сердце.

Родственные

(Отклонение – TotalConstructionHelp)

Балки и перемычки на самом деле просто балки.

Балка – это конструктивный элемент, обычно располагаемый горизонтально и способный выдерживать нагрузки, в первую очередь за счет сопротивления изгибу.Изгибающая сила индуцированных в материале балки в результате нагрузок, включающих ее собственный вес (вес балки) и дополнительные нагрузки (другие нагрузки, называемые динамическими нагрузками). и неподвижные грузы, такие как люди и мебель). Эти нагрузки производят то, что называются изгибающими моментами в балке, а также могут иметь изгибающие моменты в каждой поддерживаемый конец, когда концы закреплены на торцевых опорах. Фиксированный означает, что они прикреплены таким образом, что часть нагрузки на балку приходится на переносятся на торцевые соединения (такие как стены или колонны).

Балки бывают разных размеров и форм. Они, как правило, либо однородны или композитный. Однородный пучок — это пучок из одного материала, например, дерево или сталь. Композит – это материал, изготовленный из разных материалов, таких как как, бетонная балка со стальной арматурой.

Некоторые типы балок:

Нагрузка на балку и опоры:

Все это может показаться чрезмерным, но это не так.

Некоторые эксперты говорят, что инженерия состоит на 80% из логики и на 20% из приложений. Некоторые могут обсудить это. но здесь мы предоставим вам основную инженерную информацию и приложения, которые вы не всегда можете найти доступными.

Пока балки нагружены по-разному. Свободно опертая балка представляет собой обычно используемый луч (как показано выше).

Ниже вам будет показано, как все это работает и как выбрать балку (деревянную или сталь).

Мы также коснемся выбора бетонной балки в разделе Балка.



Простая опорная равномерно распределенная балка с уравнениями и решениями:





В приведенном выше примере есть шаги, необходимые для выбора и проектирования дерева. Луч. Если вы хотите выбрать и спроектировать стальную балку, шаги будут такими: такой же.Есть несколько вещей, которые меняются, например, напряжение на изгиб в Материал, момент инерции, модуль упругости и сечение Модуль. Все остальные уравнения были бы такими же, если бы у вас было то же самое. нагрузка (W) и пролет (L).

Обычные этапы проектирования балки:

  1. Решите, какой материал вы хотите использовать (дерево или сталь). мы не проектируем Бетонные балки в разделе сайта.
    1. Если загрузка будет Тяжелой, вы можете использовать Сталь, так как она иметь возможность воспринимать большую нагрузку на тот же пролет.
    2. Если пролет короткий, вероятно, лучше использовать дерево.
    3. Полевые условия иногда диктуют, что лучше использовать.
  2. Определите, какие нагрузки будут воздействовать на балку.
    1. Нагрузка обычно берется из СНиП. Кодекс содержит список каковы минимальные нагрузки для большинства видов использования. В жилых помещениях Кодекс обычно требует, чтобы для чего использовалось минимум 40 фунтов на квадратный фут. называется жилыми помещениями. Будьте осторожны, потому что Код имеет гораздо большую загрузку Требования к балконам и лестницам. Дается ссылка на СНиП в разделе строительных норм и правил данного веб-сайта.
    2. Иногда бывают условия загрузки, которые больше, чем указано в Кодексе. Имейте в виду, что Кодекс предусматривает минимальные требования, и вы можете превысить минимум.
  3. Проверьте пролет (длину) и то, что будет поддерживать балку на каждом конце.
    1. Пролет – это расстояние между одной опорой и другой опорой на каждом конце. Луча.
  4. Как только у вас будет вся вышеуказанная информация, вы начнете Actual Beam. Дизайн.
    1. Уравнение Общая нагрузка = W x L предназначено для определения общей нагрузки на балку.
    2. Получив общую нагрузку на балку, ее нужно разделить на 2, чтобы определить нагрузка, которая передается на каждый конец балки, которая переносится либо на стена или колонна.Это важно, так как вам нужно убедиться, что стена или колонна может нести нагрузки.
    3. Получите Момент, должен быть получен Максимальный Момент, по этой причине Моменты в других точках вдоль Луча не учитывались. Мы хотим, чтобы Beam быть разработан для максимальной безопасности. Для свободно опертой балки с Равномерно распределенная нагрузка M = WL 2 /8.
    4. Пока у нас есть Загрузка и Момент для Балки. Теперь нам нужно знать если луч будет деревянным или стальным. Если Луч – это Дерево, то, в зависимости для типа древесины типичное fb (напряжение при изгибе) может варьироваться от 1000 фунтов на квадратный дюйм (фунт на квадратный дюйм) до 1200 psi. Как правило, консервативное значение будет около 1000 фунтов на квадратный дюйм, если вы используете пихту или болиголов, это также можно получить из Строительного кодекса, для различных пород древесины.Точно так же, если вы намерены для использования стали, тогда значение Fy = 36000 Steel будет равно fb = 24000 фунтов на квадратный дюйм (где, fb = 0,66 x Fy). Как видно, Сталь стоит 24000, а Дерево 1000, что указывает на то, что сталь примерно в 24 раза прочнее дерева при изгибе. Что также указывало на то, что стальная балка будет меньше деревянной. Так если у вас ограниченное пространство, стальная балка может быть лучшим выбором.
    5. Теперь нам нужно вычислить Sx (модуль сечения), требуемый кодом. Этот делается с помощью уравнения Sx = M / fb. У нас есть М (Момент) из нашего вычисления. Просто примените расчеты. Этот расчет и есть требуется и должно быть минимально допустимым. Вы можете выбрать деревянную балку из Таблицы сечений древесины, которая доступна в большинстве руководств по дереву или из наш веб-сайт, или вы таким же образом выбираете стальную балку.Естественно, вы можете выбрать деревянный элемент, а затем рассчитать модуль сечения для этого Член, как показано в примере. Модуль сечения должен быть равен или больше чем вычисленный модуль сечения.
    6. Остался последний шаг — найти отклонение луча, вызванное загрузка. Когда вы нагружаете балку, она изгибается вниз, и это вертикальное смещение вниз называется прогибом и измеряется в дюймов (или мм).Как видно из примера, мы вычислили Максимум Прогиб в центре балки. В примере максимальное отклонение разрешено контролируется Кодексом. Различные допустимые отклонения показаны на пример. Чтобы вычислить отклонение, нам нужна дополнительная информация, который равен E (модулю упругости) материала и I (моменту упругости). Инерция) для выбранного элемента. (См. раздел «Расчет момента инерции»). на этом веб-сайте)
      Модуль упругости (E) древесины колеблется в пределах 11

      , для этих Например, было использовано значение 119000.Если используется сталь, то значение E будет около 2

      00, как показано в примерах.
      Момент инерции (I) будет либо рассчитан, либо выбран из таблиц. предоставлено или вычислено. (См. раздел «Расчет момента инерции»)
      Допустимый прогиб: опорные полы и потолки L/360, опорные Крыши с уклоном менее 3 из 12 L/240 и несущие крыши больше чем 3 в 12 наклон L/180.L = пролеты, например: 12 футов, умножить 12 футов на 12 дюймов = 144 дюйма, разделенных на 360, 240 или 180, в зависимости от того, что применимо.

    7. Наконец, сравните расчетное отклонение с допустимым отклонением. Если Расчетное отклонение больше, чем допустимое отклонение, то вы должны выберите элемент балки большего размера и выполните повторный расчет.


Простая балка с сосредоточенной нагрузкой на опорной точке с уравнениями и решениями:



Structural Engineering Library > Модули расчета > Балки > Результаты прогиба

 

Важно понимать, что на вкладке «Сводные результаты» любого из балочных модулей программа сообщает об условиях, которые обеспечивают управляющие коэффициенты отклонения…не обязательно максимальные значения прогиба.

 

Чтобы понять значение этого различия, рассмотрим следующую балку с консолью:

 

 

Предположим, что загрузка выглядит так:

 

 

Программа сделает следующее:

 

1. Выполните структурный анализ балки для каждого варианта основной нагрузки (постоянная нагрузка, динамическая нагрузка, снеговая нагрузка и т. д.).).

2. Определить прогибы для каждого загружения при множестве небольших приращений по длине балки.

3. Комбинируйте прогибы при каждом небольшом приращении в пропорциях, определяемых коэффициентами нагрузки в сочетаниях эксплуатационных нагрузок.

4.Определить максимальные прогибы вверх и вниз для каждого пролета балки.

5.Рассчитайте результирующее отношение для каждого пролета балки, разделив длину пролета на максимальное отклонение вверх и вниз для этого пролета.

6. Запишите (на вкладке «Сводные результаты») условия, при которых определяется управляющее отношение для:

• Максимальное отклонение вниз только на временных нагрузках

• Максимальное отклонение вверх на основании только временных нагрузок

• Максимальное отклонение вниз на основе временных нагрузок при общей нагрузке

•Максимальное отклонение вверх при общей нагрузке

 

Еще одна деталь, которую важно иметь в виду, заключается в том, что для консолей принято рассчитывать коэффициент прогиба путем деления удвоенной длины пролета на прогиб.

Теперь, когда мы установили, что на самом деле приводит к результатам отклонения, вот результаты для балки, указанной выше:

 

Пролет

1

2

Длина

360 дюймов

240 дюймов

Максимальное отклонение вниз

0.447 дюймов благодаря D+L

0,457 дюйма благодаря D+S

Коэффициент

360/0,447 = 805

2×240/0,457 = 1050

 

Обратите внимание, что общее максимальное отклонение вниз происходит в пролете 2 (на свободном конце кантилевера) и составляет 0,457 дюйма из-за постоянных и снеговых нагрузок. Тем не менее, контрольное соотношение фактически создается в пролете 1, который испытывает немного меньшую величину отклонения.Поэтому программа будет сообщать о отрезке 1 на вкладке «Сводные результаты». Это хороший пример того, как эти значения отклонения могут давать интересные результаты. Это также иллюстрирует важное различие между контролем отклонений и контролем коэффициентов отклонения. Если в вашем проекте вас интересуют абсолютные прогибы, вы можете изучить их на вкладке «Отклонения рабочей нагрузки» на вкладке «Сводка M-V-D».

Прогиб балки поддона

: насколько допустимо?

Когда технические характеристики опорной балки для поддонов определяются квалифицированным инженером-проектировщиком стеллажей, в расчеты включается максимально допустимая величина отклонения или искривления, как указано в разделе 5.3 ANSI Mh26.1-2012 RMI: Спецификация для проектирования, испытаний и использования промышленных стальных стеллажей для хранения. Предел прогиба равен горизонтальной длине балки, деленной на 180 (или 0,55% чистого расстояния между колоннами).

Однако этот предел прогиба не обеспечивает структурную целостность балки или стойки. Вместо этого это делается для того, чтобы персонал, взаимодействующий со стеллажом и работающий вокруг него, чувствовал себя в безопасности, когда видит нормальное отклонение балки поддона.В 1960-х годах RMI определила, что расчетная длина, деленная на 180, количественно определяет точку, в которой люди считают, что ситуация небезопасна, когда наблюдается отклонение в стеллаже для поддонов.

Некоторые установки, в частности те, к которым будут иметь доступ роботизированные грузоподъемные устройства или устройства для вставки и извлечения поддонов в автоматизированных системах хранения и извлечения (AS/RS), обычно определяют более жесткий предел отклонения для грузовых балок, например, длину балок, деленную на 240. (или 0,42%). Этот меньший допустимый прогиб сводит к минимуму риск контакта автоматики (или нагрузки) с балками во время размещения или удаления.

Хотя предельные значения прогиба балки поддона не имеют прямого отношения к безопасности стеллажа, неправильно размещенные грузы на поддонах могут вызвать проблемы с безопасностью при их извлечении или отдельных продуктах или ящиках, уложенных на поддоны. Причина в том, что, поскольку балки естественным образом прогибаются под весом грузов (обычно по два на пролет), грузы будут наклоняться друг к другу, приближаясь к вершине. При неправильном размещении в отсеке (асимметрично, неравномерно или с неравномерным распределением веса) увеличивается риск того, что один поддон с продуктом соприкоснется с другим во время размещения или удаления груза и может упасть или травмировать работника.

Ищете дополнительную информацию о несущих балках? Подробнее читайте в разделе «Нагрузочная балка» RMI в списке часто задаваемых вопросов.

Расчет уклона и прогиба балки по методу Маколея

Проблема 6-2

Используйте метод Маколея для определения значений уклона и прогиба на расстоянии 5 м от левой опоры из-за приложенной нагрузки как показано на рис. 6-2(а).Материал балки имеет модуль эластичность 200 ГПа. Сечение балки двутавровое с вершиной и ширина нижней полки 250 мм и толщина 20 мм, высота стенки 250 мм 300 мм и толщина полотна 15 мм.

Рисунок 6-2(а)

Решение:

Загрузка везде не одинаковая диапазон, поэтому мы используем Метод Маколея для определения наклона и отклонение данной балки.

То данный пучок имеет две неизвестные составляющие реакции, которые рассчитываются в Проба 4-1 так как A y = 66 кН и B y = 24 кН;

Эквивалентная нагрузка показана на рис. 6-2(б).

Рисунок 6-2(б)

Дифференциальное уравнение упругой кривой для этот луч можно записать следующим образом;

EI (d 2 y/dx 2 ) = 66[x] – 20[x] 2 /2 +20[x-4] 2 /2 – 10[x-8]         Ур. 1

Интегрирование уравнения. 1 мы получать;

EI(dy/dx) = 66[x] 2 /2 – 20[x] 3 /6 +20[x-4] 3 /6 – 10[x-8] 2 /2 +C1 уравнение2

У нас нет информация об уклоне на концах,

Продолжаем интегрируя уравнение 2 для нахождения прогиба;

EIy = 66[х] 3 /6 – 20[х] 4 /24 +20[x-4] 4 /24 – 10[x-8] 3 /6 +C1x + C2

Теперь применим условие прогиба на опорах;

при x=0, y=0 (пренебрегаем членами, которые становятся отрицательными при x=0)

получаем С2=0;

Далее при х=10, у=0; мы получаем

0=11000 – 200000/24 ​​+ 1080 – 80/6 + 10C1

С1=-374.66

Поэтому уравнение для наклона можно записать как

EI(dy/dx) = 66[x] 2 /2 – 20[x] 3 /6 +20[x-4] 3 /6 – 10[x-8] 2 /2 – 374,66

и уравнение отклонения будет

EIy = 66[х] 3 /6 – 20[х] 4 /24 +20[x-4] 4 /24 – 10[x-8] 3 /6 – 374,66x

Наклон при x=5;

   dy/dx = (37)/EI

Прогиб при x=5;

   у = (- 1018)/ЕИ

Значение момента инерции можно рассчитать, используя момент вычислитель инерции

  я хх = 29008.3 см 4

  EI= (200×10 9 Н/м 2 )х(29008,3 см 4 ) = 58016,6 кН м 2

заменив получаем значение EI в выражениях для наклона и прогиба;

  dy/dx = 37/58016,6 = 0,00064 рад.

у = – 1018/58016,6 = – 0,0175 м (знак минус указывает на отклонение вниз)

Вы также можете использовать наш Склон калькулятор прогиба для различных комбинаций нагрузки на Простой луч.

Вы также можете посетить следующие связанные ссылки с решенными примерами

statics – Какие единицы используются в уравнениях изгиба балки? Они имеют значение?

В жизни есть два типа уравнений:

  • теоретические уравнения получены из первых принципов: сделайте несколько предположений, а затем поиграйте с переменными, пока не получите полезное уравнение
  • эмпирические уравнения получены путем эксперимента и последующего нахождения уравнения, адекватно описывающего наблюдаемое поведение.2$. Но, тем не менее, каждое уравнение (с использованием 3, 3000, 0,3, 0,048 или любого другого коэффициента, который вы можете придумать) будет действительным только для определенных единиц, используемых для определения этого коэффициента. И более сложные случаи могут сделать это гораздо более сложным для понимания.

    Что ж, теперь ответить на ваш вопрос очень просто: уравнения изгиба балки на 100% теоретические. Эйлер и Бернулли сделали предположения (параллельные сечения остаются параллельными и т. д.), поигрались с переменными и — пуф! — появилось основное уравнение балки, из которого мы можем затем вывести прогибы для различных граничных условий.

    Будучи теоретическими уравнениями, мы можем быть уверены, что они по определению не зависят от единиц измерения.

    Что такое прогиб? (Плюс как рассчитать)

    1. Карьерный рост
    2. Что такое прогиб инженерия? (Плюс как рассчитать)
    Автор: редакционная группа Indeed

    25 ноября 2021 г.

    Инженеры-архитекторы и инженеры-технологи отвечают за обеспечение безопасности конструкций. Прогнозирование и измерение прогиба опорных балок является одной из их важных задач по обеспечению безопасности.Изучение различных типов отклонений и способов их расчета может помочь вам решить, подходит ли вам эта профессия. В этой статье мы обсудим определение прогиба в технике, различные типы прогиба, основные причины и способы расчета скорости прогиба различных типов балок.

    Что такое отклонение в технике?

    Прогиб в технике — это перемещение балки от ее первоначального положения. Некоторые называют отклонение в технике смещением.Это относится к движению, которое исходит от инженерных сил, либо от самого объекта, либо от внешнего источника, такого как вес стен или крыши. Большинство конструкций подвержены риску прогиба, включая балки и рамы.

    Прогиб в технике является мерой длины. Вычисление отклонения луча дает вам угол или расстояние, которое относится к расстоянию движения луча.

    Связанный: Что делают инженеры? Типы инженеров и их обязанности

    Какие существуют типы отклонения?

    Важно знать различные типы отклонения, так как это может повлиять на направление и перемещение балок.Существует два основных типа отклонения, в том числе:

    Угловое отклонение

    Угловое отклонение, которое также можно назвать отклонением вращения, измеряет поворот конструкции от ее исходной точки. Большие нагрузки могут привести к вращению конструкций от их исходного положения. Вычисление углового отклонения измеряет отклонение углового движения от начальной точки до положения после поворота.

    Линейное

    Линейное отклонение, которое также можно назвать поступательным отклонением, измеряет перемещение определенной точки конструкции от ее исходного положения.Линейное движение может быть всего в нескольких миллиметрах от начальной точки. Линейное отклонение также может быть вертикальным или горизонтальным отклонением, которое относится к направлению его движения. Линейное отклонение обычно является пределом расстояния между кривой и ее мозаичным изображением, которое представляет собой концепцию повторения одной и той же формы снова и снова.

    Каковы причины отклонения?

    Существует четыре основные причины прогиба, в том числе:

    • Вес на верхней части конструкции: Вес груза, который находится на конструкции, влияет на то, насколько она перемещается или изгибается.Более высокая нагрузка на верхнюю часть балки может привести к ее большему прогибу.

    • Момент инерции: Момент инерции относится к размеру поперечного сечения. Это измерение, которое инженеры в основном используют для измерения отклонения.

    • Длина неподдерживаемой конструкции: Какая часть конструкции без опоры также влияет на прогиб. Это относится к тому, какой части конструкции не хватает поддержки.

    • Материал конструкции: материалы, из которых изготовлена ​​конструкция, также влияют на ее прогиб.Некоторые материалы более долговечны, чем другие, причем алюминий прогибается больше, чем сталь.

    Связанный: инженер-строитель и инженер-строитель: определения и примеры

    Как рассчитать прогиб балки?

    Вы можете рассчитать прогиб балки, выполнив следующие действия:

    1. Определите исходное положение балки

    Перед расчетом прогиба балки важно сначала узнать ее исходное положение.Сюда входит ее расположение, а также тип балочной опоры. Некоторые инженеры могут записать это число при первоначальном проектировании конструкции. Два распространенных типа балок включают:

    • Консольная балка: Консольные балки имеют только одну опорную точку. При ограниченной поддержке консольные балки обычно больше прогибаются.

    • Свободно опертая балка: Свободно опертая балка имеет опору с обеих сторон. Он по-прежнему подвержен отклонению, но отклонение обычно более равномерное и в центре.

    Связано: Структура балки: определение и типы

    2. Выберите метод прогиба

    Существует несколько методов измерения прогиба. Некоторые из наиболее распространенных методов расчета прогиба в инженерии включают:

    • Метод прямого интегрирования: Метод прямого интегрирования измеряет прогиб от деформации конструкции. Этот метод предполагает, что при изгибе балки некоторые ее части остаются нетронутыми.

    • Метод перемещения по площади: Метод перемещения по площади измеряет уклон, а также изгиб в различных точках балки.Он использует диаграммы для измерения нескольких точек изгиба на склоне.

    • Метод сопряженных лучей: метод сопряженных лучей использует воображаемый луч рядом с исходным лучом той же длины. В нем рассматриваются сходства между двумя балками и сравниваются различия и взаимосвязь между нагрузкой и движением изгиба.

    • Метод наложения: Метод наложения подразумевает, что все линейные конструкции изгибаются в одинаковой степени, если они имеют одинаковые размеры.В этом методе используется принцип суперпозиции, который заключается в том, что линейная упругая конструкция равна сумме эффектов нагрузки после загрузки каждой балки по отдельности.

    Связанные: 14 типов компонентов строительных конструкций

    3. Выберите лучшую формулу

    Существует несколько формул для прогиба, которые позволяют пользователям измерять все различные типы балок и типы изгиба. Основной расчет состоит в том, чтобы взять двойной интеграл уравнения изгибающего момента.Существуют также формулы как для свободно опертых, так и для консольных балок. Вот формулы:

    • Консольная балка: Формула для прогиба консольной балки: (WL**3**)/(3EI)

    • Свободно опертая балка: Формула для прогиба просто поддерживаемая балка (5wL4)/384EI

    4. Введите данные формулы

    Введите свои расчеты в форму по вашему выбору. Вы можете использовать следующее руководство:

    • W: W относится к усилию в конечной точке.

    • L: L относится к длине балки.

    • E: E относится к уравнению модуля Юнга, которое имеет вид E = Ó / є, где Ó = одноосное напряжение на единицу поверхности и є = деформация или пропорциональные размеры деформации. Уравнение модуля Юнга относится к материалу и тому, насколько он эластичен, что влияет на скорость его прогиба.

    • Я: Я имею в виду точку инерции. Для этого необходимо знать жесткость балки и вес нагрузки или силы.

    После ввода ваших данных результатом уравнения будет единица длины. Преобразуйте его в миллиметры, где один дюйм равен 25,4 миллиметра.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.