(напомним, что m — это обозначение предела погрешности.) Погрешность (m) дает нам максимальную ошибку оценки с определенной достоверностью. В этом случае это говорит нам о том, что p-hat отличается от p (параметр, который он оценивает) не более чем на m единиц.

Из нашего предыдущего обсуждения доверительных интервалов мы также знаем, что предел погрешности является произведением двух компонентов:

Раздел «Распределение выборки» блока «Вероятность» о распределении выборки p-hat. Мы обнаружили, что при определенных условиях (к которым мы вернемся позже) p-hat имеет нормальное распределение со средним значением p и

Этот результат упрощает для нас задачу, поскольку показывает, из каких двух компонентов состоит погрешность:

• Поскольку, как и выборочное распределение x-bar, выборочное распределение p-hat является нормальным , множители достоверности, которые мы будем использовать в доверительном интервале для p , будут теми же множителями z*, которые мы используем для доверительного интервала для µ (mu), когда известно σ (сигма) (используя точно  те же рассуждения и результаты с одинаковой вероятностью). Множители, которые мы будем использовать, будут следующими:  1,645, 1,96 и 2,576 при доверительном уровне 90%, 95% и 99% соответственно.

• Стандартное отклонение нашей оценки p-hat равно
.

Собрав все вместе, мы находим, что доверительный интервал для p должен быть:

Нам просто нужно решить одну практическую задачу, и все готово. Мы пытаемся оценить неизвестных

Мы заменим p его образцом, p-hat, и будем работать с оценкой стандартной ошибки p-hat

Теперь мы закончили. Доверительный интервал для доли населения p составляет:

ПРИМЕР:

Препарат Виагра стал доступен в США в мае 1998 года после беспрецедентной по масштабу и интенсивности рекламной кампании. Опрос Гэллапа показал, что к концу первой недели мая 643 из случайной выборки из 1005 взрослых знали, что Виагра является лекарством от импотенции (на основе «Виагры — популярный хит», анализа опроса Гэллапа, проведенного Лидией Саад, 19 мая98).

Давайте оценим долю p среди всех взрослых в США, которые к концу первой недели мая 1998 года уже знали о виагре и ее назначении, установив 95% доверительный интервал для p.

Сначала нам нужно рассчитать долю выборки p-hat. Из 1005 отобранных взрослых 643 знали, для чего используется Виагра, поэтому p-hat = 643/1005 = 0,64

Следовательно, 95% доверительный интервал для p равен

. доля всех взрослых американцев, которые к тому времени уже были знакомы с виагрой, составляла от 0,61 до 0,67 (или от 61% до 67%).

Тот факт, что предел погрешности равен 0,03, говорит о том, что мы можем быть на 95 % уверены в том, что доля неизвестной популяции p находится в пределах 0,03 (3%) от наблюдаемой доли выборки 0,64 (64%). Другими словами, мы на 95% уверены, что 64% ​​«отклоняются» не более чем на 3%.

Я понял?: Доверительные интервалы – Пропорции #1  

Комментарий:

• Мы хотели бы поделиться с вами методологической частью официального опроса на примере Виагры. Надеемся, вы видите, что теперь у вас есть инструменты для понимания того, как анализируются результаты опроса:

«Результаты основаны на телефонных интервью со случайно выбранной национальной выборкой из 1005 взрослых в возрасте 18 лет и старше, проведенных 8-10 мая 1998 г. Для результатов, основанных на выборках такого размера, можно с 95-процентной уверенностью сказать, что ошибка, связанная с выборкой и другими случайными эффектами, может составлять плюс-минус 3 процентных пункта. Помимо ошибки выборки, формулировка вопроса и практические трудности в проведении опросов могут внести ошибку или предвзятость в результаты опросов общественного мнения».

Целью следующего занятия является практическое руководство расчетом и интерпретацией доверительного интервала для доли населения p и получением на его основе выводов.

Учись на практике:

Два важных результата, которые мы подробно обсуждали, когда говорили о доверительном интервале для μ (мю), также применимы и здесь:

1. Существует компромисс между уровнем достоверности и шириной (или точностью) доверительного интервала. Чем больше точности вы хотите, чтобы доверительный интервал для p имел, тем больше вам придется платить за более низкий уровень достоверности.

2. Поскольку n появляется в знаменателе погрешности доверительного интервала для p, при фиксированном уровне достоверности чем больше выборка, тем она уже или точнее. Это естественным образом подводит нас к следующему пункту.

Расчет размера выборки

Как и в случае со средними значениями, когда у нас есть некоторый уровень гибкости в определении размера выборки, мы можем установить желаемую погрешность для оценки доли генеральной совокупности и найти размер выборки, который позволит этого достичь.

Например, для финального опроса за день до выборов требуется, чтобы погрешность была довольно малой (с высоким уровнем достоверности), чтобы можно было предсказать результаты выборов с максимальной точностью. Это особенно актуально, когда между кандидатами идет напряженная гонка. Опросная компания должна выяснить, сколько избирателей, имеющих право голоса, она должна включить в свою выборку, чтобы добиться этого.

Посмотрим, как мы это сделаем.

( Комментарий:  Для нашего обсуждения здесь мы сосредоточимся на доверительном уровне 95 % (z* = 1,96), так как это наиболее часто используемый уровень достоверности. )

Доверительный интервал для p – тогда

Теперь мы изолируем n (т. е. выражаем его как функцию m).

С этим выражением связана практическая проблема, которую нам нужно решить.

На практике вы сначала определяете размер выборки, затем выбираете случайную выборку такого размера, а затем используете собранные данные для поиска p-hat.

Таким образом, тот факт, что приведенное выше выражение для определения размера выборки зависит от p-hat, является проблематичным.

Чтобы решить эту проблему, используйте консервативный подход, установив p-hat = 1/2 = 0,5.

Почему мы называем этот подход консервативным?

Он консервативен, потому что выражение, которое появляется в числителе,

максимально, когда p-hat = 1/2 = 0,5.

Таким образом, полученное значение n будет давать нам желаемую погрешность независимо от значения p-hat. Это подход «наихудшего случая». Итак, когда мы это делаем, мы получаем:

В целом, для любого уровня достоверности мы имеем

• Если мы знаем разумную оценку пропорции, мы можем использовать:

• Если мы выбираем консервативную оценку, предполагая, что мы ничего не знаем об истинной пропорции, мы используем:

ПРИМЕР:

Похоже, что в опросах СМИ обычно используется размер выборки от 1000 до 1200 человек. Это может озадачить.

Каким образом результаты, полученные, скажем, от 1100 взрослых жителей США, могут дать нам информацию обо всем взрослом населении США? 1100 — это такая крошечная часть фактического населения. Вот ответ:

Какой размер выборки n необходим, если требуется погрешность m = 0,03?

(помните, всегда округляйте). Фактически, 0,03 — очень часто используемая погрешность, особенно для опросов СМИ. По этой причине большинство опросов СМИ работают с выборкой около 1100 человек.

Я понял?: Доверительные интервалы – Пропорции #2

Когда безопасно использовать эти методы?

Как мы упоминали ранее, одна из самых важных вещей, которую нужно изучить при работе с любым методом логического вывода, — это условия, при которых его безопасно использовать.

Как и для среднего значения, для разработки методов в этом подразделении мы сделали допущение о том, что выборочное распределение доли выборки p-hat является примерно нормальным. Напомним из блока вероятности, что условия, при которых это происходит, следующие: использовать методы, которые мы разработали в этом разделе.

Вот последнее упражнение для этих доверительных интервалов!!

Я понял?:  Доверительные интервалы – пропорции #3

Подведем итоги. , 1,96 для достоверности 95% и 2,576 для достоверности 99%.

Чтобы получить желаемую погрешность (m) в доверительном интервале для неизвестной доли населения, консервативный размер выборки составляет

Если известна разумная оценка истинной доли, размер выборки можно рассчитать с помощью

В год выборов мы видим в газетах статьи, в которых доверительные интервалы указываются в пропорциях или процентах. Например, опрос конкретного кандидата, баллотирующегося на пост президента, может показать, что кандидат имеет 40% голосов в пределах трех процентных пунктов (если выборка достаточно велика). Часто предвыборные опросы рассчитываются с 95% уверенности, поэтому социологи будут на 95% уверены, что истинная доля избирателей, поддерживающих кандидата, будет между 0,37 и 0,43: (0,40 – 0,03, 0,40 + 0,03).

Инвесторы на фондовом рынке заинтересованы в истинном соотношении акций, которые растут и падают каждую неделю. Предприятия, продающие персональные компьютеры, интересуются долей домохозяйств в США, владеющих персональными компьютерами. Доверительные интервалы можно рассчитать для истинной доли акций, которые растут или падают каждую неделю, и для истинной доли домохозяйств в США, владеющих персональными компьютерами.

Процедура определения доверительного интервала, размера выборки, границы ошибки и уровня достоверности для пропорции аналогична процедуре для среднего значения генеральной совокупности, но формулы разные.

Откуда вы знаете, что имеете дело с проблемой пропорций? Во-первых, базовое распределение является биномиальным распределением . (Нет упоминания о среднем или среднем значении.) Если X является биномиальной случайной величиной, то X ~ B 9, читайте “P hat”. )

Когда n велико, а p не близко ни к нулю, ни к единице, мы можем использовать нормальное распределение для аппроксимации бинома.

X~N(np,npq)X~N(np,npq)

Если мы разделим случайную величину, среднее и стандартное отклонение на n , мы получаем нормальное распределение пропорций P′ , называемое расчетная доля, как случайная величина. (Напомним, что пропорция количество успехов разделить на n .)

Xn=P′~ N(npn,npqn)Xn=P′~ N(npn,npqn)

Использование алгебры для упрощения: npqn=pqnnpqn=pqn

P0 следует за 9 нормальное распределение для пропорций : Xn=P′~ N(npn,npqn)Xn=P′~ N(npn,npqn)

Доверительный интервал имеет вид ( p′ – EBP , p′ + EBP ). EBP является ошибкой для пропорции.

р’ = xnxn

р’ = расчетная доля успехов ( p′ – это точечная оценка для p , истинная пропорция.)

Погрешность пропорции равна

EBP=(zα2)(p′q′n)EBP=(zα2)(p′q′n), где q′ = 1 – p′

Эта формула аналогична формуле границы ошибки для среднего , за исключением того, что «соответствующее стандартное отклонение» отличается. Для среднего значения, когда известно стандартное отклонение совокупности, используемое нами соответствующее стандартное отклонение равно σnσn. Для пропорции соответствующее стандартное отклонение равно pqnpqn.

Однако в формуле оценки погрешности мы используем p’q’np’q’n в качестве стандартного отклонения вместо pqnpqn.

В формуле ограничения погрешности пропорции выборки p′ и q′ являются оценками неизвестных долей совокупности p и q . Расчетные пропорции p′ и q′ используются, потому что p и q неизвестны. Пропорции образца p′ и q′ рассчитываются по данным: p′ – расчетная доля успешных операций, а q′ – расчетная доля неудач.

Доверительный интервал можно использовать только в том случае, если количество успешных операций np’ и количество неудачных попыток nq’ больше пяти.

Примечание

Для нормального распределения пропорций формула z баллов выглядит следующим образом.

Если P′~N(p,pqn)P′~N(p,pqn), то z – формула оценки: z=p’-ppqnz=p’-ppqn

Пример 8.10

Проблема

Предположим, что фирма, занимающаяся исследованием рынка, нанята для оценки доли взрослых жителей большого города, имеющих мобильные телефоны. Пятьсот случайно выбранных взрослых жителей этого города опрашиваются, чтобы определить, есть ли у них сотовые телефоны. Из из 500 опрошенных 421 человек ответил утвердительно – у них есть сотовые телефоны. Используя уровень достоверности 95%, вычислите оценку доверительного интервала для истинной доли взрослых жителей этого города, имеющих мобильные телефоны.

Решение 1

• Первое решение — пошаговое.
• Второе решение использует функцию калькуляторов TI-83, 83+ или 84.

Пусть X = количество людей в выборке, у которых есть сотовые телефоны. х биномиально. Х~В(500,421500)Х~В(500,421500).

Для расчета доверительного интервала необходимо найти p′ , q′ и EBP .

п = 500

x = количество успехов = 421

p′=xn=421500=0,842p′=xn=421500=0,842

p′ = 0,842 – доля выборки; это точечная оценка доли населения.

Q ′ = 1 – P ′ = 1 – 0,842 = 0,158

С CL = 0,95, затем α = 1 – CL = 1 – 0,95 = 0,05 (α2) (α2) (α2) (α2). = 0,025.

Тогда zα2=z0,025=1,96zα2=z0,025=1,96

Используйте команду калькулятора TI-83, 83+ или 84+ invNorm(0,975,0,1) найти z _0,025 . Помните, что площадь справа от z _0,025 равна 0,025, а слева от z _0,025 равна 0,975. Это также можно найти с помощью соответствующих команд на других калькуляторах, с помощью компьютера или с помощью таблицы вероятностей Standard Normal.

EBP=(zα2)p′q′n=(1,96)(0,842)(0,158)500=0,032EBP=(zα2)p′q′n=(1,96)(0,842)(0,158)500=0,032

p’ –ЭВП=0,842–0,032=0,81р’–ЭВП=0,842–0,032=0,81

p′+EBP=0,842+0,032=0,874p′+EBP=0,842+0,032=0,874

Доверительный интервал для истинной биномиальной доли населения равен ( p′ – EBP , p′ 3 EBP ) = (0,810, 0,874).

Интерпретация: Мы оцениваем с достоверностью 95%, что от 81% до 87,4% всех взрослых жителей этого города имеют сотовые телефоны.

Объяснение уровня достоверности 95%: 95% доверительных интервалов, построенных таким образом, будут содержать истинное значение доли всех взрослых жителей этого города, имеющих мобильные телефоны.

Решение 2

Пример 8.11

Проблема

В рамках классного проекта студент-политолог крупного университета хочет оценить процент студентов, зарегистрированных в качестве избирателей. Он опрашивает 500 студентов и обнаруживает, что 300 из них являются зарегистрированными избирателями. Вычислить 90% доверительный интервал для истинного процента учащихся, зарегистрированных в качестве избирателей, и интерпретировать доверительный интервал.

Решение 1

• Первое решение — пошаговое.
• Второе решение использует функцию калькуляторов TI-83, 83+ или 84.

х = 300 и n = 500

p’=xn=300500=0,600p’=xn=300500=0,600

q′=1-p′=1-0,600=0,400q′=1-p′=1-0,600=0,400

Так как CL = 0,90, то α = 1 – CL = 1 – 0,90 = 0,10(α2)(α2) = 0,05

zα2zα2 = z _0,05 = 1,645

Используйте команду калькулятора TI-83, 83+ или 84+ invNorm(0,95,0,1) найти z _0,05 . Помните, что площадь справа от z _0,05 равна 0,05, а слева от z _0,05 равна 0,95. Это также можно найти с помощью соответствующих команд на других калькуляторах, с помощью компьютера или с помощью стандартной таблицы нормальных вероятностей.

EBP=(zα2)p′q′n=(1,645)(0,60)(0,40)500=0,036EBP=(zα2)p′q′n=(1,645)(0,60)(0,40)500=0,036

p’–EBP=0,60-0,036=0,564p’-EBP=0,60-0,036=0,564

p′+EBP=0,60+0,036=0,636p′+EBP=0,60+0,036=0,636

Доверительный интервал для истинной биномиальной доли населения равен ( p′ – EBP , p′ + 3 EBP 6 ) = (0,564,0,636).

• Интерпретация: Мы оцениваем с достоверностью 90%, что истинный процент всех учащихся, зарегистрированных в качестве избирателей, составляет от 56,4% до 63,6%.
• Альтернативная формулировка: Мы оцениваем с достоверностью 90%, что от 56,4% до 63,6% ВСЕХ студентов являются зарегистрированными избирателями.

Объяснение уровня достоверности 90%: Девяносто процентов всех доверительных интервалов, построенных таким образом, содержат истинное значение процента учащихся, зарегистрированных в качестве избирателей.

Решение 2

Доверительный интервал «плюс четыре» для