процесс определения значений p, d и q, которые являются лучшими для данного времени серия будет обсуждаться в последующих разделах заметок (ссылки на которые находятся в вверху этой страницы), но дается предварительный просмотр некоторых типов несезонных моделей ARIMA, которые часто встречаются. ниже.

ARIMA(1,0,0) = авторегрессия первого порядка модель: , если ряд стационарный и автокоррелированный, возможно, его можно предсказать как кратное его собственному предыдущему значению, плюс постоянный. Уравнение прогнозирования в данном случае

Ŷ _т   = μ  +  ϕ ₁ Y _t-1

…который представляет собой регрессию Y по сам отстал на один период. Это «ARIMA(1,0,0)+константа» модель. Если среднее значение Y равно нулю, постоянный член не будет включен.

Если коэффициент наклона ϕ ₁ положителен и меньше 1 по величине (он должен быть меньше 1 по величине, если Y стационарен), модель описывает поведение с возвратом к среднему, при котором значение следующего периода должно быть предсказано как ϕ ₁ раз дальше от среднего, чем значение этого периода. Если ϕ ₁  отрицательное, оно предсказывает поведение с возвратом к среднему с чередованием знаков, т. е. он также предсказывает, что Y будет ниже среднего значения в следующем периоде, если оно выше среднего значения в этом периоде.

В второго порядка авторегрессионной модели (ARIMA(2,0,0)), справа также будет член Y _t-2 , и поэтому на. В зависимости от признаков и величины коэффициентов, модель ARIMA(2,0,0) могла бы описать систему средняя реверсия которого происходит в синусоидально колеблется образом, подобно движению массы на пружине, которая подвергается случайным ударам.

АРИМА(0,1,0) = случайное блуждание:  Если ряд Y не является стационарным, простейшей возможной моделью для него является модель случайного блуждания, которую можно рассматривается как предельный случай модели AR (1), в которой авторегрессионный коэффициент равен 1, т. е. ряд с бесконечно медленным средним реверсия. Уравнение предсказания для этой модели можно записать как:

Ŷ _t   – Y _t-1   =  μ

или эквивалентно

Ŷ _t   =   μ + Y _t-1

…где постоянный срок — это среднее изменение от периода к периоду (т. е. долгосрочное дрейф) в Y. Эту модель можно подогнать как регрессионную модель без перехвата , в которой первое отличие Y является зависимой переменной. С тех пор включает (только) несезонную разницу и постоянный член, классифицируется как «модель ARIMA (0,1,0) с константой». Случайное блуждание- без -дрифтовая модель была бы Модель ARIMA(0,1,0) без константы

ARIMA(1,1,0) = разностная авторегрессионная модель первого порядка: Если ошибки модель случайного блуждания автокоррелированы, возможно, проблему можно решить, добавив один лаг зависимой переменной к уравнение предсказания, то есть путем регрессии 90 325 первой разности 90 326 90 325 Y 90 326 90 325 90 326 на себя, отстающую на один период. Это даст следующее уравнение предсказания:

Ŷ _т – Y _т-1  = μ + ϕ ₁ (Y _t-1 – Y _t-2 )

Ŷ _t   – Y _t-1   =  μ

изменить на

Ŷ _t   = μ + Y _t-1   + ϕ ₁ (Y _t-1 – Y _t-2 )

Это авторегрессионная модель первого порядка с одним порядком несезонного дифференцирования и постоянный член, т. е. модель ARIMA(1,1,0).

АРИМА(0,1,1) без константы = простое экспоненциальное сглаживание: Другая стратегия для исправления автокоррелированных ошибок в модели случайного блуждания предлагается простая модель экспоненциального сглаживания. Напомним, что для некоторого нестационарного времени серии (например, те, которые демонстрируют шумовые флуктуации вокруг медленно меняющейся среднее значение), модель случайного блуждания работает не так хорошо, как скользящее среднее прошлые ценности. Другими словами, вместо того, чтобы принимать самое последнее наблюдение за прогноз следующего наблюдения лучше использовать средний из несколько последних наблюдений, чтобы отфильтровать шум и точнее оценить местное среднее значение. Простая модель экспоненциального сглаживания использует экспоненциально. взвешенное скользящее среднее прошлых значений для достижения этого эффекта. уравнение прогноза для простой модели экспоненциального сглаживания может быть записано в ряде математических эквивалентные формы, одной из которых является так называемая «коррекция ошибок» форма, в которой предыдущий прогноз корректируется в сторону ошибки получилось:

Ŷ _t    =  Ŷ _{t-1  + αe t-1}  

Потому что e _т-1 = Y _т-1 – Ŷ _т-1 по Определение, это может быть переписано как:

ŷ _T = Y _{T-1 -(1-α) E T-1}

= Y _{T-1 -θ 1 E-1 -θ 1 E-1 -θ 1 7. т-1}

который уравнение прогнозирования ARIMA(0,1,1) без констант с θ ₁ = 1-α. Это означает, что вы можете установить простой экспоненциальное сглаживание, указав его как модель ARIMA(0,1,1) без постоянна, а расчетный коэффициент MA(1) соответствует 1-минус-альфа в Формула СЭС. Напомним, что в Модель СЕС, средний возраст данные в прогнозах на 1 период вперед равны 1/α, что означает, что они будет иметь тенденцию отставать от тенденций или точек разворота примерно на 1/α периода. Отсюда следует, что средний возраст данные в прогнозах на 1 период вперед модели ARIMA(0,1,1) без констант равно 1/(1-θ ₁ ). Так, например, если θ ₁ = 0,8, средний возраст — 5 лет. Поскольку θ ₁ приближается к 1, Модель ARIMA(0,1,1) без констант становится очень долгосрочной скользящей средней, а так как θ ₁ приближается к 0 ит становится моделью случайного блуждания без дрейфа.

Как лучше всего исправить автокорреляция: добавление терминов AR или добавление терминов MA? В двух предыдущих моделях, рассмотренных выше, проблема автокоррелированных ошибок в модели случайного блуждания была исправлена ​​в двух различными способами: путем добавления запаздывающего значение разностного ряда к уравнению или добавление запаздывающего значения ошибка прогноза. Какой подход лучший? Эмпирическое правило для этого Ситуация, которая будет обсуждаться более подробно позже, состоит в том, что положительная автокорреляция обычно лучше лечится добавлением члена AR к модели, а отрицательная автокорреляция обычно лучше всего лечится добавлением MA срок. В деловое и экономическое время ряд, отрицательный автокорреляция часто возникает как артефакт разность . (В общем, разность уменьшает положительную автокорреляцию и может даже вызвать переход от положительной к отрицательной автокорреляции.) Так, модель ARIMA(0,1,1), в которой дифференцирование сопровождается Термин MA используется чаще, чем модель ARIMA(1,1,0).

АРИМА(0,1,1) с константой = простое экспоненциальное сглаживание с ростом: Путем реализации модель SES как модель ARIMA, вы действительно получаете некоторую гибкость. Первый из всего расчетный коэффициент MA(1) может быть отрицательным : это соответствует коэффициенту сглаживания больше 1 в модели SES, т. е. обычно не допускается процедурой подбора модели SES. Во-вторых, у вас есть возможность включения постоянного члена в модель ARIMA, если хотите, чтобы оценить средний ненулевой тренд. Модель ARIMA(0,1,1) с константой имеет уравнение прогноза:

Ŷ _t    =  μ + Y _{t-1  – θ 1 e t-1}

прогнозы на один период вперед по этой модели качественно аналогичны модели SES, за исключением того, что траектория долгосрочных прогнозов обычно это наклонная линия (наклон которой равен mu), а не горизонтальная линия.

АРИМА(0,2,1) или (0,2,2) без константы = линейное экспоненциальное сглаживание: Линейная экспоненциальная модели сглаживания – это модели ARIMA, в которых используется два несезонные различия в сочетании с терминами MA. Второе отличие от серия Y — это не просто разница между Y и сам отстал на два периода, а скорее это первая разница первая разность — т. е. изменение-в-изменении Y в период t. Таким образом, вторая разница Y в период t равна (Y _т – Y _т-1 )   – (Y _т-1 – Y _t-2 )  =  Y _t – 2Y _t-1 + Y _т-2 . Второе отличие дискретного аналогична второй производной непрерывной функции: она измеряет «ускорение» или «кривизну» в функции в данный момент времени.

Модель ARIMA(0,2,2) без константы предсказывает, что вторая разность ряд равен линейной функции двух последних ошибок прогноза:

× _т – 2Y _{t -1  + Y t-2 =  – θ 1 e t-1 – θ 2 e t-2}

который может переставить:

ŷ _T = 2 Y _{T -1} – Y _{T -2} – θ ₁ E _-2 – θ ₁ E _-2 – θ ₁ E _-2 – θ ₁ E _-2 -θ -2

где θ ₁ и θ ₂ – коэффициенты MA(1) и MA(2). это вообще модель линейного экспоненциального сглаживания , по существу такая же, как Модель Холта и модель Брауна представляют собой частный случай. Он использует экспоненциально взвешенный скользящие средние для оценки как локальных уровень и локальный тренд в ряд. Долгосрочные прогнозы этой модели сходятся к прямой линии, наклон которой зависит от среднего Тенденция наблюдается к концу серии.

АРИМА(1,1,2) без константы = линейное экспоненциальное сглаживание с затухающим трендом :

Ŷ _t    =   Y _{t-1  + ϕ 1 (Y т-1 – Y т-2 ) – θ 1 e т-1 – θ 1 e 0390 3090 390 90 90 т-1 проиллюстрировано на прилагаемых слайдах на моделях ARIMA. Это экстраполирует локальный тренд в конце ряда, но сглаживает его в более длительные горизонты прогнозирования, чтобы внести нотку консерватизма, практику, которая имеет эмпирическую поддержку. См. статью «Почему затухающий тренд работает” Гарднер и Маккензи и «золотое правило» статья Армстронга и др. для деталей.}

Это в целом рекомендуется придерживаться моделей, в которых хотя бы одно из p и q отсутствует. больше 1, т. е. не пытайтесь подогнать такую ​​модель, как ARIMA(2,1,2), так как это может привести к переоснащению и проблемам с «общим фактором», которые подробнее в примечаниях к математическому структура моделей ARIMA.

Электронная таблица реализация: АРИМА модели, подобные описанным выше, легко реализовать в электронной таблице. Уравнение прогноза — это просто линейное уравнение, которое относится к прошлым значениям. исходного временного ряда и прошлых значений ошибок. Таким образом, вы можете настроить Электронная таблица прогнозирования ARIMA, сохраняя данные в столбце A, прогнозирование формулу в столбце B, а ошибки (данные минус прогнозы) в столбце C. формула прогнозирования в типичной ячейке в столбце B будет просто линейной выражение, относящееся к значениям в предыдущих строках столбцов A и C, умноженное соответствующими коэффициентами AR или MA, хранящимися в ячейках в другом месте на электронная таблица.