Цена 656,15 руб

Изделие для ЛЭП Анкерный болт АБ-1 со сварной головкой (3.407.9-158.3) производится по типовому проекту. Вес каждой детали можно посмотреть в чертеже. Изготовим металлоизделия по Вашим чертежам. Цена согласовывается по телефону и зависит от партии товара

Изделие для ЛЭП Анкерный болт АБ-1 со сварной головкой (3.407.9-158.3) цена согласовывается по телефону и зависит от партии товара. производится по типовому проекту. Вес каждой детали можно посмотреть в представленном фото изделия. Изготовим металлоиздели

«МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИИ КАЧЕСТВЕННО И В СРОК»

Благодарственные письма

Наши преимущества

Демократичная цена

Индивидуальный подход в рамках проекта

Опыт государственных оборонных проектов

Точные сроки поставки

Отдел контроля качества

Работаем без выходных в две смены

Гарантия монтажа

Собственное производство

Соответсвие ГОСТу и ТУ

Фотографии с Завода

Фото Портала ОРУ с нашего объекта

Линия обработки уголка

Мачта прожекторная

Портал ОРУ

Больше фотографий

АБ 1-18-1 АIV по стандарту: Серия ПК 01-06

Стандарт изготовления изделия: Серия ПК 01-06

Балки двускатные предварительно напряженные АБ 1-18-1 АIV – высокопрочный строительный материал, широко применяемый в промышленном строительстве. Данный конструктивный элемент разработан для покрытия производственных зданий пролетами 12 и 18 метров при шаге балок 6 м. Рабочие чертежи балок содержит Серия ПК 01-06. Изделия армируются предварительно напрягаемой стержневой или прядевой арматурой, что придает элементу особую прочность. Балка рассчитана на принятие нормативных нагрузок от снега, от покрытий, от подвесного транспорта. Элементы разработаны в виде специальной двускатной конструкции. Допускается применение балок для односкатной кровли, с установкой их по деталям, разработанным в выпуске 8*. Данные конструктивные элементы применяются для эксплуатирования в зданиях с агрессивной средой.

1.Расшифровка маркировки

Разработана лаконичная маркировка, для условного обозначения балки. Она представляет собой буквенно-числовое выражение. Рассмотрим подробнее расшифровку марки АБ 1-18-1 АIV где:

1. АБ – тип конструкции – балка для агрессивной среды;

2. 1 – укороченная с одной стороны;

3. 18 – длина пролета;

4. 1 – нагрузка;

5. AIV – класс арматуры напрягаемой.

При разработке проекта, к маркировке добавляется дополнительный буквенный индекс, указывающий на прочность бетона.

Выпускаются балки двускатные в заводских условиях, с соблюдением всех технологических норм. Основными материалами, используемыми для изготовления изделий, являются бетон и стальная арматура. Принято использовать тяжелый конструктивный бетон марок 400 и 500. Компоненты для приготовления бетонной смеси должны быть сертифицированы, и подтверждены соответствующими документами. Дополнительные требования по плотности бетона и другим показателям принимаются в конкретном проекте. В качестве рабочей напрягаемой арматуры принято использовать горячекатаную сталь периодического профиля классов AIV, AIIIB ГОСТ 5781-61 или семипроволочные пряди класса П7 диаметром 15 мм. Натяжение арматуры производится механическим способом на упоры металлической формы или стенда. В качестве ненапрягаемой арматуры используется стержневая сталь класса AIII и обычная арматурная проволока В-1

3.Транспортировка и хранение

Хранят балки на складе готовой продукции. Изделия, которые не прошли проверку, должны храниться отдельно. Температурный режим хранения нормативный документ не предусматривает. Балки следует хранить рассортированные по маркам и выпущенным партиям. Конструкции складируют в вертикальном положении с обязательной опорой на инвентарные изделия. При транспортировании изделия должны быть надежно зафиксированы, чтобы исключить их непроизвольное поперечное или продольное смещение. Подъем

Уважаемые покупатели! Сайт носит информационный характер. Указанные на сайте информация не являются публичной офертой (ст.435 ГК РФ). Стоимость и наличие товара просьба уточнять в офисе продаж или по телефону 8 (800) 500-22-52

обратная матрица

Обратная матрица

Определение и примеры

Напомним, что функции f и g обратны, если

        f(g(x)) =  г (f (х))  =  х

Позже мы увидим, что матрицы можно рассматривать как функции из R

Пусть А и B быть n x n матриц, то A и B являются обратными друг от друга, то

AB = BA = I _n

Пример

Рассмотрим матрицы

Мы можно проверить, что когда мы умножаем A и B в любом порядке мы получаем единичную матрицу. (Проверьте это.)

Нет у всех квадратных матриц есть обратные. Если матрица имеет обратную, мы называем ее не единственное число или обратимый . Иначе он называется единственное число . В следующем разделе мы увидим, как определить, матрица вырожденная или невырожденная.

Свойства инверсий

Ниже приведены четыре свойства инверсий.

1. Если А неособый, то и A ^-1 и

            

   (A ^-1 ) ^-1   =  А
2. Если А и Б невырожденные матрицы, то АБ неособый и (AB) ^-1   =  B ^-1 A ^{-1
   -1}
   
   
3. Если А неособо тогда (А ^Т ) ^-1   =  (А ^-1 ) ^Т
   
   
4. Если А и Б матрицы с АВ = I _п
   
   затем и Б являются инверсиями друг друга.

Обратите внимание, что четвертое свойство подразумевает, что если AB =  I затем BA  =  I.

Доказательство первых трех свойств элементарно, а четвертого слишком продвинутый для этого обсуждения. Докажем второе.

Доказательство того, что (AB) ^-1   =  B ^-1

По свойству 4 нам нужно только показать, что

        (AB)(B ^-1 A ^-1 )  =  I

У нас есть

        (AB)(B ^-1 A ^-1 )  =  A(BB ^-1 )A ^-1 ассоциативное свойство

= АИА ^-1      определение обратного

        =  АА ^-1      определение идентификационная матрица

       =  I определение обратного

Нахождение обратного

Теперь, когда мы поняли, что такое инверсия, мы хотели бы найти способ вычисление и обращение невырожденной матрицы. Мы используем определения обратное и матричное умножение. Пусть А — невырожденная матрица, а B — обратная к ней. Затем

        АВ =  Я

Напомним, что мы находим j ^-й столбец произведения путем умножения A на j

        Топор _j = е _j  

Мы можем записать это в расширенной форме

        [A|e _j ]

Вместо того, чтобы решать эти расширенные задачи по одной за раз, используя строку операций, мы можем решать их одновременно. Решаем

        [А | я]

Пример

Найти обратную матрицу

Раствор

обратная матрица — это правая часть окончательной расширенной матрицы

Это Пример показывает, что если A эквивалентна по строкам единичной матрице, то A неособый.

Линейные системы и инверсии

Мы можем использовать обратную матрицу для решения линейных систем. Предполагать что

        Топор =  б

Тогда так же, как мы делим на коэффициент, чтобы изолировать x, мы можем применить A ^-1 с обеих сторон для изолировать х.

        A ^-1 Топор =  А ^-1 б

        IX =  A ^-1 b        x =  А ^-1 б

Пример

Решить

х + 4z =  2
х + у + 6z = 3
-3x – 10z = 4

Раствор

Мы представить эту систему в матричной форме

Топор = b

с

Решение

        x  =  A ^-1 б

Мы уже вычислили обратное. Мы прибываем в

решение

х  =  -18        y  = -9        z  =  5

Уведомление что если b нулевой вектор, то

Топор =  0

может решить с помощью

х =  А ^-1 0  =  0

Это демонстрирует теорему

Теорема неособых эквивалентностей

Следующие эквивалентны (TFAE)

1. А неособый
2. Топор = 0 имеет только тривиальное решение
3. А является строковым эквивалентом I
4. линейная система Ax = b имеет единственный решение для каждой матрицы n x 1 б

Назад на главную страницу матриц и приложений

Назад на домашнюю страницу линейной алгебры

Назад к математике Домашняя страница отдела

электронная почта Вопросы и предложения

Обратные матрицы

Цели

1. Поймите, что означает обратимость квадратной матрицы.
2. Узнайте об обратимых преобразованиях и поймите взаимосвязь между обратимыми матрицами и обратимыми преобразованиями.
3. Рецепты: вычислить обратную матрицу, решить линейную систему, взяв обратные.
4. Изображение: обратное преобразование.
5. Словарные слова: обратная матрица , обратное преобразование .

В разделе 3.1 мы научились перемножать матрицы. В этом разделе мы научимся «делить» по матрице. Это позволяет нам элегантно решить матричное уравнение Ax=b:

Ах=b⇐⇒x=A−1b.

Однако при «делении на матрицы» следует соблюдать осторожность, поскольку не каждая матрица имеет обратную, а порядок умножения матриц важен.

, обратное , или , обратное ненулевого числа a, — это число b, которое характеризуется тем свойством, что ab=1. Например, обратное число 7 равно 1/7. Мы используем эту формулировку для определения обратной матрицы.

Определение

Пусть A — матрица размера n × n (квадратная). Мы говорим, что А равно обратимое , если существует матрица B размера n × n такая, что

AB=In и BA=In.

В этом случае матрица B называется обратной матрицы A, и мы пишем B=A−1.

Мы должны потребовать AB=In и BA=In, потому что в общем случае умножение матриц не является коммутативным. Однако в этом следствии в разделе 3.6 мы покажем, что если A и B являются матрицами размера n × n, такими что AB = In, то автоматически BA = In.

Пример

Факты об обратимых матрицах

Пусть A и B — обратимые матрицы размера n × n.

1. A−1 обратим, и его инверсия равна (A−1)−1=A.
2. AB обратим, и его инверсия равна (AB)−1=B−1A−1 (обратите внимание на порядок).

Доказательство

1. Уравнения AA-1=In и A-1A=In одновременно отображают A-1 как инверсию A и A как инверсию A-1.
2. Мы вычисляем

   (B-1A-1)AB=B-1(A-1A)B=B-1InB=B-1B=In.

   Здесь мы использовали ассоциативность матричного умножения и тот факт, что InB=B. Это показывает, что B−1A−1 является инверсией AB.

Почему инверсия AB не равна A−1B−1? Если бы это было так, то у нас было бы

In=(AB)(A-1B-1)=ABA-1B-1.

Но нет никаких оснований для того, чтобы ABA-1B-1 равнялась единичной матрице: нельзя поменять местами A-1 и B, поэтому в этом выражении нечего отменять. На самом деле, если In=(AB)(A−1B−1), то мы можем умножить обе части справа на BA, чтобы сделать вывод, что AB=BA. Другими словами, (AB)-1=A-1B-1 тогда и только тогда, когда AB=BA.

В более общем случае обратным произведением нескольких обратимых матриц является произведение обратных в обратном порядке; доказательство такое же. Например,

(АВС)-1=С-1В-1А-1.

До сих пор мы определяли обратную матрицу, не давая никакой стратегии ее вычисления. Мы делаем это сейчас, начиная со специального случая матриц 2×2. Затем мы дадим рецепт для случая n×n.

Определение

Определитель матрицы 2×2 есть число

detFabcdG=ad-bc.

Предложение

Пусть A=FabcdG.

1. Если det(A)A=0, то A обратим, и A-1=1det(A)Fd-b-caG.
2. Если det(A)=0, то A необратима.

Существует аналогичная формула для обратной матрицы размера n×n, но она не так проста и требует больших вычислительных ресурсов. Заинтересованный читатель может найти его в этом подразделе Раздела 4.2.

Пример

Следующая теорема дает общую процедуру вычисления A−1.

Теорема

Пусть A — матрица размера n × n, и пусть (A|In) — матрица, полученная путем увеличения A единичной матрицей. Если редуцированная ступенчатая форма строки (A|In) имеет форму (In|B), то A обратима и B=A−1. В противном случае A необратима.

Доказательство

Сначала предположим, что редуцированная ступенчатая форма строки (A|In) не имеет формы (In|B). Это означает, что в первых n столбцах (нерасширенная часть) содержится менее n опорных точек, поэтому у A меньше n опорных точек. Отсюда следует, что Nul(A)A={0} (уравнение Ax=0 имеет свободную переменную), поэтому в Nul(A) существует ненулевой вектор v. Предположим, что существует матрица B такая, что BA=In. Затем

v=Inv=BAv=B0=0,

, что невозможно, так как vA=0. Следовательно, A необратима.

Теперь предположим, что сокращенная ступенчатая форма строки (A|In) имеет вид (In|B). В этом случае все опорные точки содержатся в нерасширенной части матрицы, поэтому расширенная часть не играет роли в сокращении строк: элементы расширенной части не влияют на выбор используемых операций над строками. Следовательно, редукция строк (A|In) эквивалентна решению n систем линейных уравнений Ax1=e1,Ax2=e2,…,Axn=en, где e1,e2,…,en стандартные векторы координат :

Столбцы x1,x2,…,xn матрицы B в приведенной по строкам форме являются решениями следующих уравнений:

В соответствии с этим фактом в разделе 3. 3 произведение Bei является просто i-м столбцом xi матрицы B, поэтому

ei=Axi=ABei

для всех i. По тому же факту i-й столбец матрицы AB равен ei, а это означает, что матрица AB единична. Таким образом, B является инверсией A.

Пример (обратимая матрица)

Пример (необратимая матрица)

В этом подразделе мы научимся решать Ax=b путем «деления на A».

Теорема

Пусть A — обратимая матрица размера n × n, а b — вектор в Rn. Тогда матричное уравнение Ax=b имеет ровно одно решение:

х=А-1б.

Пруф

Считаем:

Ax=b=⇒A-1(Ax)=A-1b=⇒(A-1A)x=A-1b=⇒Inx=A-1b=⇒x=A-1b.

Здесь мы использовали ассоциативность матричного умножения и тот факт, что Inx=x для любого вектора b.

Пример (Решение системы 2 × 2 с использованием инверсий)

Пример (Решение системы 3 × 3 с использованием инверсий)

Преимущество решения линейной системы с использованием обратных величин заключается в том, что решение матричного уравнения Ax=b для других или даже неизвестных значений b становится намного быстрее. Например, в приведенном выше примере решение системы уравнений

E2x1+3×2+2×3=b1x1+3×3=b22x1+2×2+3×3=b3,

, где b1,b2,b3 неизвестны, равно

Cx1x2x3D=C232103223D-1Cb1b2b3D=C-6-5932−422−3DCb1b2b3D=C−6b1−5b2+9b33b1+2b2−4b32b1+2b2−3b3D.

Как и в случае умножения матриц, обращение матриц полезно понимать как операцию линейных преобразований. Напомним, что тождественное преобразование на Rn обозначается IdRn.

Определение

Преобразование T:Rn→Rn является обратимым , если существует преобразование U:Rn→Rn такое, что T◦U=IdRn и U◦T=IdRn. В этом случае преобразование U называется обратным к T, и мы пишем U=T−1.

Инверсия U к T «отменяет» все, что сделал T. У нас есть

T◦U(x)=xandU◦T(x)=x

для всех векторов x. Это означает, что если вы примените T к x, затем примените U, вы получите вектор x обратно, и то же самое в другом порядке.

Пример (функции одной переменной)

Пример (Расширение)

Пример (вращение)

Пример (Отражение)

Не пример (проекция)

Предложение

1. Преобразование T:Rn→Rn обратимо тогда и только тогда, когда оно взаимно однозначно и на.
2. Если уже известно, что Т обратимо, то U:Rn→Rn является инверсией T при условии, что либо T◦U=IdRn, либо U◦T=IdRn: необходимо проверить только одно.

Как и следовало ожидать, матрица, обратная линейному преобразованию, является обратной матрицей преобразования, как утверждает следующая теорема.

Теорема

Пусть T:Rn→Rn — линейное преобразование со стандартной матрицей A. Тогда T обратимо тогда и только тогда, когда A обратимо, и в этом случае T−1 линейно со стандартной матрицей A−1.

Доказательство

Предположим, что T обратим. Пусть U:Rn→Rn — обратное к T. Мы утверждаем, что U линейно. Нам нужно проверить определяющие свойства в Разделе 3.3. Пусть u,v — векторы в Rn. Затем

u+v=T(U(u))+T(U(v))=T(U(u)+U(v))

по линейности T. Применение U к обеим сторонам дает

U(u+v)=UAT(U(u)+U(v))B=U(u)+U(v).

Пусть c — скаляр. Затем

cu=cT(U(u))=T(cU(u))

по линейности T. Применение U к обеим сторонам дает

U(cu)=UAT(cU(u))B=cU(u).