Что такое период колебаний: Период колебаний математического маятника, теория и онлайн калькуляторы

alexxlab | 29.09.1970 | 0 | Разное

Период колебаний – это… Что такое Период колебаний?

Период колеба́ний — наименьший промежуток времени, за который осциллятор совершает одно полное колебание (то есть возвращается в то же состояние^[1], в котором он находился в первоначальный момент, выбранный произвольно).

В принципе совпадает с математическим понятием периода функции, но имея ввиду под функцией зависимость физической величины, совершающей колебания, от времени.

Это понятие в таком виде применимо как к гармоническим, так и к ангармоническим строго периодическими колебаниям (а приближенно – с тем или иным успехом – и непериодическим колебаниям, по крайней мере к близким к периодичности).

В случае, когда речь идет о колебаниях гармонического осциллятора с затуханием, под периодом понимается период его осциллирующей составляющей (игнорируя затухание), который совпадает с удвоенным временным промежутком между ближайшими прохождениями колеблющейся величины через ноль. В принципе, это определение может быть с большей или меньшей точностью и пользой распространено в некотором обобщении и на затухающие колебания с другими свойствами.

Обозначения: обычное стандартное обозначение периода колебаний: (хотя могут применяться и другие, наиболее часто это , иногда и т. д.).

Единицы измерения: секунда

Период колебаний связан соотношением взаимной обратности с частотой:

Для волновых процессов период связан кроме того очевидным образом с длиной волны

где – скорость распространения волны (точнее^[2] – фазовая скорость).

В квантовой физике период колебаний прямо связан с энергией (поскольку в квантовой физике энергия объекта – например, частицы – есть частота^[3] колебаний его волновой функции).

Теоретическое нахождение периода колебаний той или иной физической системы сводится, как правило, к нахождению решения динамических уравнений (уравнения), описывающего эту систему. Для категории линейных систем (а приближенно – и для линеаризуемых систем в линейном приближении, которое зачастую является очень хорошим) существуют стандартные сравнительно простые математические методы, позволяющие это сделать (если известны сами физические уравнения, описывающие систему).

Для экспериментального определения периода используются часы, секундомеры, частотомеры, стробоскопы, строботахометры, осциллографы. Также применяются биения, метод гетеродинирования в разных видах, используется принцип резонанса. Для волн можно померить период косвенно – через длину волны, для чего применяются интерферометры, дифракционные решетки итп. Иногда требуются и изощренные методы, специально разработанные для конкретного трудного случая (трудность могут представлять как само измерение времени, особенно если речь идет о предельно малых или наоборот очень больших временах, так и трудности наблюдения колеблющейся величины).

Периоды колебаний в природе

Представление о периодах колебаний различных физических процессов дает статья Частотные интервалы (учитывая то, что период в секундах есть обратная величина частоты в герцах).

Некоторое представление о величинах периодов различных физических процессов также может дать шкала частот элетромагнитных колебаний (см. Электромагнитный спектр) .

Периоды колебаний слышимого человеком звука находятся в диапазоне

от 5·10^-5с до 0,2с

(четкие границы его несколько условны).

Периоды электромагнитных колебаний, соответствующих разным цветам видимого света – в диапазоне

от 1,1·10^-15с до 2,3·10^-15с.

Поскольку при экстремально больших и экстремально маленьких периодах колебаний методы измерения имеют тенденцию становятся всё более косвенными (вплоть до плавного перетекая в теоретические экстраполяции), трудно назвать четкую верхнюю и нижнюю границы для периода колебаний, измеренного непосредственно. Какую-то оценку для верхней границы может дать время существования современной науки (сотни лет), а для нижней – период колебаний волновой функции самой тяжелой из известных сейчас частиц ().

В любом случае границей снизу может служить планковское время, которое столь мало, что по современным представлениям не только вряд ли может быть вообще как-то физически измерено^[4], но и вряд ли в более-менее обозримом будущем представляется возможность приблизиться к измерению величин даже на много порядков меньших. а границей сверху – время существования Вселенной – более десяти миллиардов лет.

Периоды колебаний простейших физических систем

Пружинный маятник

Период колебаний пружинного маятника может быть вычислен по следующей формуле:

,

где  — масса груза,  — жёсткость пружины.

Математический маятник

Период колебаний математического маятника:

где  — длина подвеса (к примеру нити),  — ускорение свободного падения.

Период колебаний (на Земле) математического маятника длиной 1 метр с хорошей точностью^[5]

равен 2 секундам.

Физический маятник

Период колебаний физического маятника:

где — момент инерции маятника относительно оси вращения, — масса маятника, — расстояние от оси вращения до центра масс.

Крутильный маятник

Период колебаний крутильного маятника:

где  — момент инерции тела, а  — вращательный коэффициент жёсткости маятника.

Электрический колебательный (LC) контур

Период колебаний электрического колебательного контура:

,

где — индуктивность катушки, — ёмкость конденсатора.

Эту формулу вывел в 1853 году английский физик У. Томсон.

Примечания

1. ↑ Состояние механической системы характеризуется положениями и скоростями всех ее материальных точек (строже говоря – координатами и скоростями, соответствующими всем степеням свободы данной системы), для немеханической – их формальными аналогами (которые также можно назвать координатами и скоростями в смысле абстрактного описания динамической системы – в количестве, также равном количеству ее степеней свободы).
2. ↑ Для монохроматических волн это уточнение самоочевидно, для близких к монохроматическим – интуитивно очевидно по аналогии со строго монохроматическими, для существенно немонохроматических – наиболее ясный случай сводится к тому, что фазовые скорости всех монохроматических компонент совпадают друг с другом, поэтому комментируемое утверждение ьакже верно.
3. ↑ С точностью до единиц измерения: в традиционных (обычных) системах физических единиц частота и энергия измеряются в разных единицах (поскольку до появления квантовой теории совпадение энергии и частоты было неизвестно, и, естественно, для каждой из величин была выбрана своя независимая единица измерения), поэтому при измерении их в обычных (разных) единицах, например, джоулях и герцах требуется переводной коэффициент (так называемая константа Планка). Однако можно выбрать систему единиц измерения так, чтобы в ней константа Планка стала равной 1 и пропала из формул; в такой системе единиц энергия любой частицы просто равна частоте колебания ее волновой функции (а значит обрата периоду этого колебания).
4. ↑ Имеется в виду, конечно же, невозможность экспериментального измерения времен конкретных процессов или периодов колебаний такого порядка, а не просто вычисление некоторого числа.
5. ↑ Лучше, чем 0,5%, если взять метрологическое или принятое техническое значение ускорения свободного падения; И с разбросом ~0.53% для максимального и минимального значений ускорения свободного падения, наблюдаемых на земле.

Ссылки

Период колебания – это… Что такое Период колебания?

Период колебания

Пери́од колеба́ний — наименьший промежуток времени, за который система совершает одно полное колебание (то есть возвращается в то же состояние, в котором она находилась в первоначальный момент, выбранный произвольно).

Периоды простейших физических систем

Период колебаний математического маятника

Период колебаний математического маятника выражается по следующей формуле:

Период колебаний физического маятника

Период колебаний физического маятника выражается по следующей формуле: где J – момент инерции маятника относительно оси вращения, m – масса маятника, l – расстояние от оси вращения до центра масс.

Период колебаний пружинного маятника

,

где m — масса груза, k — жесткость пружины.

Wikimedia Foundation. 2010.

• Период инкубации
• Период кристаллической решетки

Смотреть что такое “Период колебания” в других словарях:

• ПЕРИОД КОЛЕБАНИЯ — (period of oscillation) Отрезок времени, который требуется колебательной функции, для того чтобы вернуться в любую заданную точку своего цикла. Функции y=acosx или z=bsinx имеют период колебания, равный 2π; если цикл достигает заданной точки,… …   Экономический словарь

• период колебания

  — 1. Наименьший промежуток времени, за который совершается один цикл колебания. Для периодических колебаний время, за которое совершается одно полное колебание. 2. Время, за которое совершается один полный цикл колебания. Единица измерения с [BS EN …   Справочник технического переводчика

• период колебания — svyravimo periodas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. oscillation period vok. Schwingungsperiode, f rus. период колебания, m pranc. période d’oscillation, f …   Fizikos terminų žodynas

• период колебания — svyravimo laikotarpis statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Svyruojamųjų judesių apibūdinimas – trumpiausias laiko tarpas, per kurį svyruojanti sistema grįžta į pradinę padėtį. Svyravimo laikotarpio dydis yra atvirkščias svyravimo… …   Sporto terminų žodynas

• основной период колебания здания в интересующем горизонтальном направлении — T1 — [Англо русский словарь по проектированию строительных конструкций. МНТКС, Москва, 2011] Тематики строительные конструкции Синонимы T1 EN fundamental period of the building in the horizontal direction of interest …   Справочник технического переводчика

• КОЛЕБАНИЯ — движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. К. свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звёзд, внутри к рых происходят циклич. яд. реакции; с высокой степенью периодичности вращаются планеты… …   Физическая энциклопедия

• период колебаний — период Наименьший промежуток времени, через который повторяется состояние механической системы, характеризуемое значениями обобщенных координат и их производных. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 106. Механические колебания. Академия наук… …   Справочник технического переводчика

• период колебаний (вибрации) — период Наименьший интервал времени, через который при периодических колебаниях (вибрации) повторяется каждое значение колеблющейся величины (характеризующей вибрацию). Пояснения Термины и определения для близких понятий, различающиеся лишь… …   Справочник технического переводчика

• КОЛЕБАНИЯ — КОЛЕБАНИЯ, процессы (в наиболее общем смысле), периодически меняющие свое направление со временем. Процессы эти могут быть весьма разнообразными. Если напр. подвесить на стальной спиральной пружине тяжелый шар, оттянуть его и затем предоставить… …   Большая медицинская энциклопедия

• ПЕРИОД КОЛЕБАНИЙ — наименьший промежуток времени, через к рый .система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в к ром она находилась в нач. момент, выбранный произвольно. Строго говоря, понятие «П. к.» применимо лишь, когда значения к. л.… …   Физическая энциклопедия

Книги

• Не сезон. Как поднять продажи в период спада, Имшинецкая Ия Анатольевна. Регулярные колебания спроса, называемые сезонностью, случаются в любом виде бизнеса. Эта книга – источник идей, которые будут зарабатывать деньги для вашей компании в период традиционного… Подробнее  Купить за 661 руб
• Не сезон. Как поднять продажи в период спада, Имшинецкая Ия Анатольевна. Регулярные колебания спроса, называемые сезонностью, случаются в любом виде бизнеса. Эта книга – источник идей, которые будут зарабатывать деньги для вашей компании в период традиционного… Подробнее  Купить за 560 грн (только Украина)
• Не сезон Как поднять продажи в период спада, Имшинецкая И.. “Не сезон. Как поднять продажи в период спада” . Регулярные колебания спроса, называемые сезонностью, случаются в любом виде бизнеса. Эта книга – источник идей, которые будут зарабатывать… Подробнее  Купить за 460 руб

Другие книги по запросу «Период колебания» >>

Урок 1. механические колебания – Физика – 11 класс

Физика, 11 класс

Урок 1. Механические колебания

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

Механические колебания;

Виды механических колебаний;

Характеристики колебательных движений;

Явление резонанса.

Глоссарий по теме

Механические колебания – это физические процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые интервалы времени.

Колебания, происходящие под действием внутренних сил в колебательной системе, называют свободными.

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодически меняющейся силы.

Амплитуда – это наибольшее смещение колеблющейся величины от положения равновесия.

Период – это время одного полного колебания.

Частота колебаний – это число колебаний за единицу времени.

Фаза колебаний – это физическая величина определяющая отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени.

Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему с частотой свободных колебаний.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Чаругин В.М. Физика.11 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – С. 53 – 73.

Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс. – М.: Дрофа, 2009. – С. 59 – 61.

• Степанова. Г.Н. Сборник задач по физике. 10-11 класс. М., Просвещение 1999 г.
• Е.А. Марон, А.Е. Марон. Контрольные работы по физике. М., Просвещение, 2004

Основное содержание урока

Мир удивителен и многообразен. Мы каждый день наблюдаем разные движения тел. Все мы видели, как раскачивается ветка на ветру, лодка на волнах, качели, деревья при ветре. Чем эти движения отличаются от движения тележки движущейся прямолинейно? Мы видим, что в отличие от движения тележки движущейся прямолинейно, движения всех этих тел повторяются через определенный промежуток времени.

Механические колебания – это физические процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые интервалы времени.

Колебания играют огромную роль в нашей жизни. Примерами колебаний в нашем организме являются биение сердца, движение голосовых связок. Колебания происходят и в жизни нашей планеты (приливы, отливы, землетрясения) и в астрономических явлениях (пульсации звезд). Одним из грозных явлений природы является землетрясение – колебание земной поверхности. Строители рассчитывают возводимые ими сооружения на устойчивость при землетрясении.

Без знания законов колебаний нельзя было бы создать, телевидение, радио и многие современные устройства и машины. Неучтенные колебания могут привести к разрушению сложных технических сооружений и вызвать серьезные заболевания человека. Все это делает необходимым их всестороннее изучение.

Основным признаком колебательного движения является его периодичность. Колеблющееся тело за одно колебание дважды проходит положение равновесия. Колебания характеризуются такими величинами как период, частота, амплитуда и фаза колебаний.

Амплитуда – это наибольшее смещение колеблющейся величины от положения равновесия.

При малых амплитудах путь пройденный телом за одно полное колебание равен примерно четырем амплитудам.

Промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание, называют периодом колебаний.

Период – это время одного полного колебания.

Чтобы найти период колебаний нужно разделить время колебаний на число колебаний.

[T] = 1с

Частота колебаний – это число колебаний за единицу времени.

[v] = 1 Гц (герц)

Единица частоты названа в честь немецкого ученого Г. Герца.

Фаза колебаний – это физическая величина определяющая отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени.

[ω] = 1 рад/ с

Во всех колебательных системах действуют силы, стремящиеся вернуть тело в состояние устойчивого равновесия. Существуют несколько типов маятников: нитяные и, пружинные и т.д. Под словом «маятник» понимают твердое тело способное совершать колебания под действием приложенных сил около неподвижной точки или вокруг оси.

Мы с вами будем рассматривать пружинный и математический маятники.

Пружинный маятник. Колебательная система в этом случае представляет собой тело, прикрепленное к пружине. Колебания в таком маятнике возникают под действием силы упругости пружины и силы тяжести.

Период колебаний пружинного маятника:

T- период колебаний пружинного маятника

m – масса подвешенного груза

𝑘 – жесткость пружины

Математический маятник.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на длинной нерастяжимой нити.

Математический маятник – это идеализированная модель. Реальный маятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного тела и масса нити ничтожна по сравнению с массой тела. Колебания такого маятника происходят под действием силы натяжения нити и силы тяжести. Формула для расчета периода колебаний математического маятника была выведена Гюйгенсом.

T – период колебаний математического маятника

𝑙 – длина нити маятника

𝑔 – ускорение свободного падения

Гюйгенс доказал, что период малых колебаний маятника не зависят от времени. Используя это свойство, названное изохронностью маятника Гюйгенс в тысяча шестьсот пятьдесят седьмом году, сконструировал первые маятниковые часы. Это свойство маятника было открыто 19-летним Галилеем более чем за 20 лет до открытия Гюйгенса. Наблюдая за тем, как раскачиваются в соборе светильники, подвешенные на нитях одинаковой длины, он заметил, что их период колебаний не зависит от времени. Наручных часов тогда не было, и юный Галилей пришёл к решению, которое для многих поколений будет служить образцом блеска и остроумия человеческой мысли: он сравнил колебания маятника с частотой биения собственного сердца.

Гармоническими являются колебания, происходящие под действием силы пропорциональной смещению колеблющейся точки и направленной противоположно этому смещению. Уравнение гармонических колебаний:

x – координата колеблющейся величины

– амплитуда колебаний

ω – циклическая частота

При наличии сил трения в системе колебания затухают. Амплитуда колебаний в этом случае со временем уменьшается. Иногда возникает необходимость в гашении колебаний, к примеру колебания кузова, на рессорах при езде на автомобиле. Для гашения колебаний применяют специальные амортизаторы. С кузовом связывают поршень, который при колебаниях движется в цилиндре, заполненном жидкостью. Большое сопротивление жидкости приводит к гашению колебаний.

Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными.

Если частота изменения внешней силы не равна частоте свободных колебаний системы, то внешняя сила будет действовать не в такт со свободными колебаниями самой системы. В этом случае амплитуда колебаний будет определяться максимальным значением действующей на систему внешней силы.

Если частота изменения внешней силы совпадет с частотой свободных колебаний, то будет наблюдаться резкое возрастание амплитуды колебаний, так как внешняя сила в этом случае будет действовать в такт со свободными колебаниями этой системы.

ω – частота изменения внешней силы.

ω₀ – частота свободных колебаний системы.

Впервые явление резонанса было описано Галилеем. Явление резонанса играет большую роль в природе, технике и науке. Большинство сооружений и машин обладая определенной упругостью, способно совершать свободные колебания. Поэтому внешние периодические воздействия могут вызвать их резонанс, что может стать причиной катастроф. Известно много случаев, когда источником опасных колебаний были люди, идущие в ногу. Так, в 1831 году в городе Манчестер при прохождении по мосту колонны солдат строевым шагом мост разрушился. Аналогичный случай был в г. Петербурге в 1905 году. При прохождении моста через реку Фонтанка эскадроном гвардейской кавалерии мост обрушился. Для предотвращения резонансных явлений используют разные способы гашения вынужденных колебаний. Один способ состоит в изменении частоты свободных колебаний в системе. Другой способ состоит в увеличении силы трения в системе: чем больше сила трения, тем меньше амплитуда резонансных колебаний

Разбор тренировочных заданий

1. Найдите массу груза, который на пружине жесткостью 250 Н/м делает 20 колебаний за 16 с.

Дано:

𝑘=250 Н/м

N= 20

t= 16 с

_______

m=?

Решение:

Напишем формулу периода пружинного маятника

T=2π√(m/k)

Из этой формулы выразим массу

Период колебаний груза найдём через время колебаний и число колебаний по формуле:

Подставляем числовые значения величин

T=0,8 с.

Следовательно масса равна:

m=4 кг

Ответ: m=4 кг

2. На нити подвешен шарик массой 0,1 кг. Шарик отклонили на высоту 2,5 см (по отношению к положению равновесия) и отпустили. Определите максимальную скорость шарика.

Дано:

m= 0,1 кг

h=2,5 см = 0.025 м

_________

v_m=?

Решение:

Скорость колеблющегося шарика максимальна в момент прохождения положения равновесия.

Для решения задачи применим закон сохранения энергии:

Подставляем числовые значения величин:

Ответ:

Глава 11. Механические колебания и волны

Колебательным называется любое периодически повторяющееся движение. Поэтому зависимости координаты и скорости тела от времени при колебаниях описываются периодическими функциями времени. В школьном курсе физики рассматриваются такие колебания, в которых зависимости и скорости тела представляют собой тригонометрические функции , или их комбинацию, где — некоторое число. Такие колебания на-зываются гармоническими (функции и часто называют гармоническими функциями). Для решения задач на колебания, входящих в программу единого государственного экзамена по физике, нужно знать определения основных характеристик колебательного движения: амплитуды, периода, частоты, круговой (или циклической) частоты и фазы колебаний. Дадим эти определения и свяжем перечисленные величины с параметрами зависимости координаты тела от времени , которая в случае гармонических колебаний всегда может быть представлена в виде

(11.1)

где , и — некоторые числа.

Амплитудой колебаний называется максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. Поскольку максимальное и минимальное значение косинуса в (11.1) равно ±1, то амплитуда колебаний тела, совершающего колебания (11.1), равна величине . Период колебаний — это минимальное время, через которое движение тела повторяется. Для зависимости (11.1) период можно установить из следующих соображений. Косинус — периодическая функция с периодом . Поэтому движение полностью повторяется через такое значение , что . Отсюда получаем

(11.2)

Частотой колебаний тела называется число колебаний, совершаемых в единицу времени. Очевидно, что частота колебаний связана с периодом колебаний по формуле

(11.3)

Круговой (или циклической) частотой колебаний называется число колебаний, совершаемых за единиц времени. Из формулы (11.3) заключаем, что круговой частотой является величина из формулы (11.1).

Фазой колебаний называется аргумент тригонометрической функции, описывающей зависимость координаты от времени. Из формулы (11.1) видим, что фаза колебаний тела, движение которого описывается зависимостью (11.1), равна . Значение фазы колебаний в момент времени = 0 называется начальной фазой. Для зависимости (11.1) начальная фаза колебаний равна величине . Очевидно, начальная фаза колебаний зависит от выбора начала отсчета времени (момента = 0), которое всегда является условным. Изменением начала отсчета времени начальная фаза колебаний всегда может быть «сделана» равной нулю, а синус в формуле (11.1) «превращен» в косинус или наоборот.

В программу единого государственного экзамена входит также знание формул для частоты колебаний пружинного и математического маятников. Пружинным маятником принято называть тело, которое может совершать колебания на гладкой горизонтальной поверхности под действием пружины, второй конец которой закреплен (левый рисунок). Математическим маятником называется массивное тело, размерами которого можно пренебречь, совершающее колебания на длинной, невесомой и нерастяжимой нити (правый рисунок). Название этой системы – «математический маятник» связано с тем, что она представляет собой абстрактную математическую модель реального (физического) маятника. Необходимо помнить формулы для периода (или частоты) колебаний пружинного и математического маятников. Для пружинного маятника

(11.4)

где — коэффициент жесткости пружины, — масса груза. Период колебаний математического маятника определяется следующим соотношением

(11.5)

где — длина нити, — ускорение свободного падения. Рассмотрим применение этих определений и законов на примере решения задач.

Чтобы найти циклическую частоту колебаний груза в задаче 11.1.1 найдем сначала период колебаний, а затем воспользуемся формулой (11.2). Поскольку 10 м 28 с — это 628 с, и за это время груз совершает 100 колебаний, период колебаний груза равен 6,28 с. Поэтому циклическая частота колебаний равна 1 c^-1 (ответ 2). В задаче 11.1.2 груз за 600 с совершил 60 колебаний, поэтому частота колебаний — 0,1 с^-1 (ответ 1).

Чтобы понять, какой путь пройдет груз за 2,5 периода (задача 11.1.3), проследим за его движением. Через период груз вернется назад в точку максимального отклонения, совершив полное колебание. Поэтому за это время груз пройдет расстояние, равное четырем амплитудам: до положения равновесия — одна амплитуда, от положения равновесия до точки максимального отклонения в другую сторону — вторая, назад в положение равновесия — третья, из положения равновесия в начальную точку — четвертая. За второй период груз снова пройдет четыре амплитуды, а за оставшиеся половину периода — две амплитуды. Поэтому пройденный путь равен десяти амплитудам (ответ 4).

Величина перемещения тела — расстояние от начальной точки до конечной. За 2,5 периода в задаче 11.1.4 тело успеет совершить два полных и половину полного колебания, т.е. окажется на максимальном отклонении, но с другой стороны от положения равновесия. Поэтому величина перемещения равна двум амплитудам (ответ 3).

По определению фаза колебаний — это аргумент тригонометрической функции, которой описывается зависимость координаты колеблющегося тела от времени. Поэтому правильный ответ в задаче 11.1.5 — 3.

Период — это время полного колебания. Это значит, что возвращение тела назад в ту же точку, из которой тело начало движение, еще не означает, что прошел период: тело должно вернуться в ту же точку с той же скоростью. Например, тело, начав колебания из положения равновесия, за период успеет отклониться на максимальную величину в одну сторону, вернуться назад, отклонится на максимум в другую сторону и снова вернуться назад. Поэтому за период тело успеет два раза отклониться на максимальную величину от положения равновесия и вернуться обратно. Следовательно, на прохождение от положения равновесия до точки максимального отклонения (задача 11.1.6) тело затрачивает четвертую часть периода (ответ 3).

Гармоническими называются такие колебания, при которых зависимость координаты колеблющегося тела от времени описывается тригонометрической (синус или косинус) функцией времени. В задаче 11.1.7 таковыми являются функции и , несмотря на то, что входящие в них параметры обозначены как ² и ². Функция же — тригонометрическая функция квадрата времени. Поэтому гармоническими являются колебания только величин и (ответ 4).

При гармонических колебаниях скорость тела изменяется по закону , где — амплитуда колебаний скорости (начало отсчета времени выбрано так, чтобы начальная фаза колебаний равнялась бы нулю). Отсюда находим зависимость кинетической энергии тела от времени (задача 11.1.8). Используя далее известную тригонометрическую формулу, получаем

Из этой формулы следует, что кинетическая энергия тела изменяется при гармонических колебаниях также по гармоническому закону, но с удвоенной частотой (ответ 2).

За соотношением между кинетической энергий груза и потенциальной энергией пружины (задача 11.1.9) легко проследить из следующих соображений. Когда тело отклонено на максимальную величину от положения равновесия, скорость тела равна нулю, и, следовательно, потенциальная энергия пружины больше кинетической энергии груза. Напротив, когда тело проходит положение равновесия, потенциальная энергия пружины равна нулю, и, следовательно, кинетическая энергия больше потенциальной. Поэтому между прохождением положения равновесия и максимальным отклонением кинетическая и потенциальная энергия один раз сравниваются. А поскольку за период тело четыре раза проходит от положения равновесия до максимального отклонения или обратно, то за период кинетическая энергия груза и потенциальная энергия пружины сравниваются друг с другом четыре раза (ответ 2).

Амплитуду колебаний скорости (задача 11.1.10) проще всего найти по закону сохранения энергии. В точке максимального отклонения энергия колебательной системы равна потенциальной энергии пружины , где — коэффициент жесткости пружины, — амплитуда колебаний. При прохождении положения равновесия энергия тела равна кинетической энергии , где — масса тела, — скорость тела при прохождении положения равновесия, которая является максимальной скоростью тела в процессе колебаний и, следовательно, представляет собой амплитуду колебаний скорости. Приравнивая эти энергии, находим

(ответ 1), где использовано выражение для круговой частоты колебаний груза на пружине:

По формуле (11.4) получаем в задаче 11.2.1

(ответ 4).

Из формулы (11.5) заключаем (задача 11.2.2), что от массы математического маятника его период не зависит, а при увеличении длины в 4 раза период колебаний увеличивается в 2 раза (ответ 1).

Часы — это колебательный процесс, который используется для измерения интервалов времени (задача 11.2.3). Слова часы «спешат» означают, что период этого процесса меньше того, каким он должен быть. Поэтому для уточнения хода этих часов необходимо увеличить период процесса. Согласно формуле (11.5) для увеличения периода колебаний математического маятника необходимо увеличить его длину (ответ 3).

Чтобы найти амплитуду колебаний в задаче 11.2.4, необходимо представить зависимость координаты тела от времени в виде одной тригонометрической функции. Для данной в условии функции это можно сделать с помощью введения дополнительного угла. Умножая и деля эту функцию на и используя формулу сложения тригонометрических функций, получим

где — такой угол, что . Из этой формулы следует, что амплитуда колебаний тела — (ответ 4).

В задаче 11.2.5 имеем при см. Откуда см (ответ 2).

Задачи 11.2.6 и 11.2.7 посвящены механическим волнам. Волна – некоторый колебательный процесс, который может распространяться в среде. При этом каждая точка среды совершает колебания около определенного положения и в среднем не перемещается в пространстве. Волна характеризуется периодом (или связанной с ним частотой ), скоростью и длиной волны , которая определяется как минимальное расстояние между точками, колеблющимися в одинаковой фазе. Для решения задач ЕГЭ по этой теме необходимо помнить формулу, дающую связь между параметрами волны

(11.6)

которую легко запомнить, поскольку эта связь имеет такой же вид как обычное соотношение между расстоянием, скоростью и временем. Например, в задаче 11.2.6 по формуле (11.6) находим длину волны м (ответ 2).

Как следует из рисунка в задаче 11.2.7 длина волны, распространяющейся по шнуру, равна м. Поэтому по формуле (11.6) имеем Гц (ответ 4).

Поскольку в момент максимального отклонения пружинного маятника, механическая энергия системы равна потенциальной энергии пружины, то

где — амплитуда колебаний, — жесткость пружины. Поэтому при увеличении механической энергии пружинного маятника в 2 раза амплитуда колебаний увеличилась в раз (задача 11.2.8 – ответ 1).

Используя известную тригонометрическую формулу, получим в задаче 11.2.9

Эта зависимость представляет собой гармоническую функцию, но колеблющуюся вокруг точки . Амплитудой этих колебаний является множитель перед косинусом — (так как сам косинус меняется в интервале от -1 до 1). Циклической частотой — величина (ответ 4).

Вертикальный пружинный маятник отличается от горизонтального (задача 11.2.10) наличием силы тяжести. Однако сила тяжести приводит только к сдвигу положения равновесия маятника, а возвращающая сила по прежнему будет зависеть от смещения маятника от положения равновесия по закону (так как возвращающей силой будет разность силы упругости и постоянной силы тяжести). Поэтому период колебаний груза на вертикальной и горизонтальной пружине — одинаков (конечно, при условии, что и сам груз и пружины одинаковы). Правильный ответ в задаче — 3.

Амплитуда, частота, период колебаний — урок. Физика, 9 класс.

Рассмотрим величины, с помощью которых можно охарактеризовать колебания.

 

 

Сравним колебания двух качелей на рисунке — пустых качелей и качелей с мальчиком. Качели с мальчиком колеблются с большим размахом, то есть их крайние положения находятся дальше от положения равновесия, чем у пустых качелей.

Амплитудой колебаний \(A\) называется максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

\([A]=1~м\)

Полным колебанием называют движение, за которое тело возвращается в исходную точку (из которой началось колебание).

За одно полное колебание тело дважды максимально отклоняется от положения равновесия, поэтому один полный путь одного полного колебания равен четырём амплитудам: \(s=4A\).

  

Период колебаний — это промежуток времени, за который тело совершает одно полное колебание.
\([T]=1~с\) 

Пример:

ударим по столу двумя линейками — металлической и деревянной. Линейки после этого начнут колебаться, но за один и тот же промежуток времени металлическая линейка (А) сделает больше колебаний, чем деревянная (В).

 

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний.

Обрати внимание!

Обозначается частота греческой буквой ν («ню»). За единицу частоты принято одно колебание в секунду. Эта единица в честь немецкого учёного Генриха Герца названа герцем (Гц).

Период колебания \(T\) и частота колебаний ν связаны следующей зависимостью:

T=1ν.

Свободные колебания в отсутствие трения и сопротивления воздуха называются собственными колебаниями, а их частота — собственной частотой колебательной системы.

Для описания закономерностей колебательной системы необходимо учитывать зависимость параметров колебания от параметров системы. Например, период колебаний и их частота зависят от массы груза и жёсткости пружины для физического маятника.

 

 

Рассмотрим колебания двух одинаковых пустых качелей на рисунке выше. В один и тот же момент времени красные качели из положения равновесия начинают движение вперед, а зелёные качели из положения равновесия движутся назад. Движение качелей таково, что их амплитуды и периоды колебаний одинаковы. А если одинаковы периоды, то и частота колебаний совпадает. Однако, направлений движения качелей противоположно. О таких движениях говорят, что они движутся в противофазах.

 

Красные пустые качели и качели с мальчиком тоже колеблются с одинаковыми частотами. Направление скоростей этих качелей тоже совпадает. Это означает, что колебания происходят в одинаковых фазах, т.е. совпадают по фазе.

Фаза — физическая величина. Её используют для описания колебания тела.

Исходя из выше сказанного следует, что характеристиками колебательного движения являются:

• амплитуда,
• частота (можно использовать период),
• фаза.

Колебания – Физика – Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Гармонические колебания

К оглавлению…

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебаниями называют изменения физической величины, происходящие по определенному закону во времени. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник. Для существования в системе гармонических колебаний необходимо, чтобы у нее было положение устойчивого равновесия, то есть такое положение, при выведении из которого на систему начала бы действовать возвращающая сила.

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными.

Простейшим видом колебательного процесса являются колебания, происходящие по закону синуса или косинуса, называемые гармоническими колебаниями. Уравнение описывающее физические системы способные совершать гармонические колебания с циклической частотой ω₀ задаётся следующим образом:

Решение предыдущего уравнения является уравнением движения для гармонических колебаний, которое имеет вид:

где: x – смещение тела от положение равновесия, A – амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний (ω = 2Π/T), t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса: φ = ωt + φ₀, называется фазой гармонического процесса. Смысл фазы колебаний: стадия, в которой колебание находится в данный момент времени. При t = 0 получаем, что φ = φ₀, поэтому φ₀ называют начальной фазой (то есть той стадией, из которой начиналось колебание).

Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Если же количество колебаний N, а их время t, то период находится как:

Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – Герц (Гц). Частота колебаний связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

Зависимость скорости от времени при гармонических механических колебаниях выражается следующей формулой:

Максимальное значение скорости при гармонических механических колебаниях:

Максимальные по модулю значения скорости υ_m = ωA достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = a_x тела при гармонических колебаниях. Зависимость ускорения от времени при гармонических механических колебаниях:

Максимальное значение ускорения при механических гармонических колебаниях:

Знак минус в предыдущем выражении означает, что ускорение a(t) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x(t), и, следовательно, возвращает тело в начальное положение (x = 0), т.е. заставляет тело совершать гармонические колебания.

Следует обратить внимание на то, что:

• физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω₀ или период T.
• Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда A = x_m и начальная фаза φ₀, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени, т.е. начальными условиями.
• При колебательном движении тело за время, равное периоду, проходит путь, равный 4 амплитудам. При этом тело возвращается в исходную точку, то есть перемещение тела будет равно нулю. Следовательно, путь равный амплитуде тело пройдет за время равное четверти периода.

Чтобы определить, когда в уравнение колебаний подставлять синус, а когда косинус, нужно обратить внимание на следующие факторы:

• Проще всего, если в условии задачи колебания названы синусоидальными или косинусоидальными.
• Если сказано, что тело толкнули из положения равновесия – берем синус с начальной фазой, равной нулю.
• Если сказано, что тело отклонили и отпустили – косинус с начальной фазой, равной нулю.
• Если тело толкнули из отклоненного от положения равновесия состояния, то начальная фаза не равна нолю, а брать можно и синус и косинус.

 

Математический маятник

К оглавлению…

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой, длинной и нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. Только в случае малых колебаний математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть системой, способной совершать гармонические (по закону sin или cos) колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 5–10°. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Циклическая частота колебаний математического маятника рассчитывается по формуле:

Период колебаний математического маятника:

Полученная формула называется формулой Гюйгенса и выполняется, когда точка подвеса маятника неподвижна. Важно запомнить, что период малых колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Такое свойство маятника называется изохронностью. Как и для любой другой системы, совершающей механические гармонические колебания, для математического маятника выполняются следующие соотношения:

1. Путь от положения равновесия до крайней точки (или обратно) проходится за четверть периода.
2. Путь от крайней точки до половины амплитуды (или обратно) проходится за одну шестую периода.
3. Путь от положения равновесия до половины амплитуды (или обратно) проходится за одну двенадцатую долю периода.

 

Пружинный маятник

К оглавлению…

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. Таким свойством обладает сила упругости.

Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно, составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют пружинным маятником.

Циклическая частота колебаний пружинного маятника рассчитывается по формуле:

Период колебаний пружинного маятника:

При малых амплитудах период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды (как и у математического маятника). При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x₀, равную:

А колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω₀ и периода колебаний T справедливы и в этом случае. Таким образом, полученная формула для периода колебаний груза на пружине остается справедливой во всех случаях, независимо от направления колебаний, движения опоры, действия внешних постоянных сил.

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а, следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная энергия – это энергия упругой деформации пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией (как правило, потенциальную энергию в положении равновесия полагают равной нулю). Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и так далее.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной. При этом, максимальное значение кинетической энергии при механических гармонических колебаниях задаётся формулой:

Максимальное значение потенциальной энергии при механических гармонических колебаниях пружинного маятника:

Взаимосвязь энергетических характеристик механического колебательного процесса (полная механическая энергия равна максимальным значениям кинетической и потенциальной энергий, а также сумме кинетической и потенциальной энергий в произвольный момент времени):

 

Механические волны

К оглавлению…

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Механические волны бывают разных видов. Если при распространении волны частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, такая волна называется поперечной. Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, такая волна называется продольной.

Как в поперечных, так и в продольных волнах не происходит переноса вещества в направлении распространения волны. В процессе распространения частицы среды лишь совершают колебания около положений равновесия. Однако волны переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Характерной особенностью механических волн является то, что они распространяются в материальных средах (твердых, жидких или газообразных). Существуют немеханические волны, которые способны распространяться и в пустоте (например, световые, т.е. электромагнитные волны могут распространяться в вакууме).

• Продольные механические волны могут распространяться в любых средах – твердых, жидких и газообразных.
• Поперечные волны не могут существовать в жидкой или газообразной средах.

Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой ν и длиной волны λ. Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ.

Длиной волны λ называют расстояние между двумя соседними точками, колеблющимися в одинаковых фазах. Расстояние, равное длине волны λ, волна пробегает за время равное периоду T, следовательно, длина волны может быть рассчитана по формуле:

где: υ – скорость распространения волны. При переходе волны из одной среды в другую длина волны и скорость ее распространения меняются. Неизменными остаются только частота и период волны.

Разность фаз колебаний двух точек волны, расстояние между которыми l рассчитывается по формуле:

 

Электрический контур

К оглавлению…

В электрических цепях, так же, как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный LC-контур. В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими. Энергетические характеристики и их взаимосвязь при колебаниях в электрическом контуре:

Период гармонических колебаний в электрическом колебательном контуре определяется по формуле:

Циклическая частота колебаний в электрическом колебательном контуре:

Зависимость заряда на конденсаторе от времени при колебаниях в электрическом контуре описывается законом:

Зависимость электрического тока протекающего через катушку индуктивности от времени при колебаниях в электрическом контуре:

Зависимость напряжения на конденсаторе от времени при колебаниях в электрическом контуре:

Максимальное значение силы тока при гармонических колебаниях в электрическом контуре может быть рассчитано по формуле:

Максимальное значение напряжения на конденсаторе при гармонических колебаниях в электрическом контуре:

Все реальные контура содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в теплоту, выделяющуюся на резисторе, и колебания становятся затухающими.

 

Переменный ток. Трансформатор

К оглавлению…

Основная часть электроэнергии в мире в настоящее время вырабатывается генераторами переменного тока, создающими синусоидальное напряжение. Они позволяют наиболее просто и экономно осуществлять передачу, распределение и использование электрической энергии.

Устройство, предназначенное для превращения механической энергии в энергию переменного тока, называется генератором переменного тока. Он характеризуется переменным напряжением U(t) (индуцированной ЭДС) на его клеммах. В основу работы генератора переменного тока положено явление электромагнитной индукции.

Переменным током называется электрический ток, который изменяется с течением времени по гармоническому закону. Величины U₀, I₀ = U₀/R называются амплитудными значениями напряжения и силы тока. Значения напряжения U(t) и силы тока I(t), зависящие от времени, называют мгновенными.

Переменный ток характеризуется действующими значениями силы тока и напряжения. Действующим (эффективным) значением переменного тока называется сила такого постоянного тока, который, проходя по цепи, выделил бы в единицу времени такое же количество теплоты, что и данный переменный ток. Для переменного тока действующее значение силы тока может быть рассчитано по формуле:

Аналогично можно ввести действующее (эффективное) значение и для напряжения, рассчитываемое по формуле:

Таким образом, выражения для мощности постоянного тока остаются справедливыми и для переменного тока, если использовать в них действующие значения силы тока и напряжения:

Обратите внимание, что если идет речь о напряжении или силе переменного тока, то (если не сказано иного) имеется в виду именно действующее значение. Так, 220В – это действующее напряжение в домашней электросети.

Конденсатор в цепи переменного тока

Строго говоря, конденсатор ток не проводит (в том смысле, что носители заряда через него не протекают). Поэтому, если конденсатор подключен в цепь постоянного тока, то сила тока в любой момент времени в любой точке цепи равна нулю. При подключении в цепь переменного тока из-за постоянного изменения ЭДС конденсатор перезаряжается. Ток через него по-прежнему не течет, но ток в цепи существует. Поэтому условно говорят, что конденсатор проводит переменный ток. В этом случае вводится понятие сопротивления конденсатора в цепи переменного тока (или емкостного сопротивления). Это сопротивление определяется выражением:

Обратите внимание, что емкостное сопротивление зависит от частоты переменного тока. Оно в корне отличается от привычного нам сопротивления R. Так, на сопротивлении R выделяется теплота (поэтому его часто называют активным), а на емкостном сопротивлении теплота не выделяется. Активное сопротивление связано со взаимодействием носителей заряда при протекании тока, а емкостное – с процессами перезарядки конденсатора.

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

При протекании переменного тока в катушке возникает явление самоиндукции, и, следовательно, ЭДС. Из-за этого напряжение и сила тока в катушке не совпадают по фазе (когда сила тока равна нулю, напряжение имеет максимальное значение и наоборот). Из-за такого несовпадения средняя тепловая мощность, выделяющаяся в катушке, равна нулю. В этом случае вводится понятие сопротивления катушки в цепи переменного тока (или индуктивного сопротивления). Это сопротивление определяется выражением:

Обратите внимание, что индуктивное сопротивление зависит от частоты переменного тока. Как и емкостное сопротивление, оно отличается от сопротивления R. Как и на емкостном сопротивлении, на индуктивном сопротивлении теплота не выделяется. Индуктивное сопротивление связано с явлением самоиндукции в катушке.

Трансформаторы

Среди приборов переменного тока, нашедших широкое применение в технике, значительное место занимают трансформаторы. Принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении электромагнитной индукции. Простейший трансформатор состоит из сердечника замкнутой формы, на который намотаны две обмотки: первичная и вторичная. Первичная обмотка подсоединяется к источнику переменного тока с некоторым напряжением U₁, а вторичная обмотка подключается к нагрузке, на которой появляется напряжение U₂. При этом, если число витков в первичной обмотке равно n₁, а во вторичной n₂, то выполняется следующее соотношение:

Коэффициент трансформации вычисляется по формуле:

Если трансформатор идеальный, то выполняется следующее соотношение (мощности на входе и выходе равны):

В неидеальном трансформаторе вводится понятие КПД:

 

Электромагнитные волны

К оглавлению…

Электромагнитные волны – это распространяющееся в пространстве и во времени электромагнитное поле. Электромагнитные волны поперечны – векторы электрической напряженности и магнитной индукции перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Электромагнитные волны распространяются в веществе с конечной скоростью, которая может быть рассчитана по формуле:

где: ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества, ε₀ и μ₀ – электрическая и магнитная постоянные: ε₀ = 8,85419·10^–12 Ф/м, μ₀ = 1,25664·10^–6 Гн/м. Скорость электромагнитных волн в вакууме (где ε = μ = 1) постоянна и равна с = 3∙10⁸ м/с, она также может быть вычислена по формуле:

Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме является одной из фундаментальных физических постоянных. Если электромагнитная волна распространяется в какой-либо среде, то скорость ее распространения также выражается следующим соотношением:

где: n – показатель преломления вещества – физическая величина, показывающая во сколько раз скорость света в среде меньше чем в вакууме. Показатель преломления, как видно из предыдущих формул, может быть рассчитан следующим образом:

• Электромагнитные волны переносят энергию. При распространении волн возникает поток электромагнитной энергии.
• Электромагнитные волны могут возбуждаться только ускоренно движущимися зарядами. Цепи постоянного тока, в которых носители заряда движутся с неизменной скоростью, не являются источником электромагнитных волн. А вот цепи, в которых протекает переменный ток, т.е. такие цепи в которых носители заряда постоянно меняют направление своего движения, т.е. двигаются с ускорением – являются источником электромагнитных волн. В современной радиотехнике излучение электромагнитных волн производится с помощью антенн различных конструкций, в которых возбуждаются быстропеременные токи.

Механические колебания – материалы для подготовки к ЕГЭ по Физике

 

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания – это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания – это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия – это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела – это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний – это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний – это величина, обратная периоду: . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

Гармонические колебания.

 

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них – синус и косинус – являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания – это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

(1)

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому – амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина , равная значению фазы при , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: .

Величина называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное радиан: , откуда

(2)

(3)

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):

.

График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.

Рис. 1. График гармонических колебаний

 

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае , поэтому можно положить . Мы получаем закон косинуса:

.

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.

Рис. 2. Закон косинуса

 

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае , так что можно положить . Получаем закон синуса:

.

График колебаний представлен на рис. 3.

Рис. 3. Закон синуса

 

Уравнение гармонических колебаний.

 

Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:

. (4)

Теперь дифференцируем полученное равенство (4):

. (5)

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем :

. (6)

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

. (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой и только их. Две константы определяются из начальных условий – по начальным значениям координаты и скорости.

Пружинный маятник.

 

Пружинный маятник – это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

 

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

. (8)

Если (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и . Наоборот, если , то . Знаки и всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

Тогда соотношение (8) принимает вид:

или

.

Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

.

Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:

. (9)

Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:

. (10)

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).

Математический маятник.

 

Математический маятник – это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

 

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Запишем для маятника второй закон Ньютона:

,

и спроектируем его на ось :

.

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. ), то:

.

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. ), то:

.

Итак, при любом положении маятника имеем:

. (11)

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):

,

или

.

Это – уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

.

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:

. (12)

Отсюда период колебаний математического маятника:

. (13)

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

Свободные и вынужденные колебания.

 

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).

Рис. 6. Затухающие колебания

 

Вынужденные колебания – это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).

Предположим, что собственная частота колебаний системы равна , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:

.

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.

Рис. 7. Резонанс

 

Мы видим, что вблизи частоты наступает резонанс – явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при .

 

Период и частота колебаний

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Наблюдайте за колебаниями гитарной струны.
• Определите частоту колебаний.

Рис. 1. Струны этой гитары периодически вибрируют. (кредит: JAR)

Когда вы дергаете гитарную струну, звук становится ровным и длится долгое время. Каждое последующее колебание струны занимает то же время, что и предыдущее.Мы определяем периодическое движение как движение, которое повторяется через регулярные промежутки времени, например, демонстрируемое гитарной струной или объектом на пружине, движущимся вверх и вниз. Время завершения одного колебания остается постоянным и называется периодом T . Обычно это секунды, но это может быть любая удобная единица времени. Слово «период» относится ко времени некоторого события, повторяющегося или нет; но нас в первую очередь будет интересовать периодическое движение, которое по определению является повторяющимся.Понятие, тесно связанное с периодом, – это частота события. Например, если вы получаете зарплату два раза в месяц, частота выплат – два в месяц, а период между проверками – полмесяца. Частота f определяется как количество событий в единицу времени. Для периодического движения частота – это количество колебаний в единицу времени. Связь между частотой и периодом равна

.

[латекс] f = \ frac {1} {T} \\ [/ latex].

Единицей измерения частоты в системе СИ является циклов в секунду , которая определяется как герц (Гц):

[латекс] \ displaystyle1 \ text {Hz} = 1 \ frac {\ text {cycle}} {\ text {sec}} \ text {или} 1 \ text {Hz} = \ frac {1} {\ text { s}} \\ [/ latex]

Цикл – это одно полное колебание.Обратите внимание, что вибрация может быть единичным или многократным событием, тогда как колебания обычно повторяются в течение значительного количества циклов.

Пример 1. Определение частоты двух колебаний: медицинского ультразвука и периода среднего C

Мы можем использовать формулы, представленные в этом модуле, чтобы определить как частоту на основе известных колебаний, так и колебания на основе известной частоты. Давайте попробуем по одному примеру каждого из них.

1. Медицинское устройство визуализации генерирует ультразвук путем колебаний с периодом 0.400 мкс. Какая частота этого колебания?
2. Частота средней C на типичном музыкальном инструменте составляет 264 Гц. Сколько времени на одно полное колебание?

Стратегия

Ответить на части 1 и 2 можно, используя соотношение между периодом и частотой. В Части 1 дан период T , и нам предлагается найти частоту f . В Части 2 дана частота f , и нам предлагается найти период T .{-6} \ text {s}} \\ [/ latex]

Решите, чтобы найти f = 2,50 × 10 ⁶ Гц.

Обсуждение части 1

Частота звука, обнаруженная в Части 1, намного выше, чем самая высокая частота, которую люди могут слышать, и поэтому называется ультразвуком. Соответствующие колебания на этой частоте генерируют ультразвук, используемый для неинвазивной медицинской диагностики, такой как наблюдение за плодом в утробе матери.

Решение для части 2

Определите известные значения: Время одного полного колебания – это период T :

[латекс] f = \ frac {1} {T} \\ [/ latex].{-3} \ text {s} = 3,79 \ text {ms} \\ [/ latex]

Обсуждение части 2

Период, указанный в Части 2, – это время за цикл, но это значение часто указывается как просто время в удобных единицах (мс или миллисекундах в данном случае).

Проверьте свое понимание

Определите событие в вашей жизни (например, получение зарплаты), которое происходит регулярно. Определите период и частоту этого события.

Решение

Я навещаю родителей на обед каждое второе воскресенье.Частота моих посещений – 26 в календарный год. Срок – две недели.

Сводка раздела

• Периодическое движение – это повторяющиеся колебания.
• Время одного колебания составляет период T .
• Число колебаний в единицу времени – частота f .
• Эти количества связаны соотношением [латекс] f = \ frac {1} {T} \\ [/ latex].

Задачи и упражнения

1. Какой период 60.Электропитание 0 Гц?
2. Если ваш пульс составляет 150 ударов в минуту во время интенсивных упражнений, сколько времени в каждом ударе в секундах?
3. Найдите частоту камертона, которая занимает 2,50 × 10 ⁻³ с, чтобы совершить одно колебание.
4. Стробоскоп настроен на мигание каждые 8,00 × 10 ⁻⁵ с. Какая частота вспышек?
5. Шина имеет рисунок протектора с щелью через каждые 2,00 см. Каждая щель совершает одиночную вибрацию при движении шины.Какова частота этих колебаний, если машина движется со скоростью 30,0 м / с?
6. Инженерное приложение. Каждый поршень двигателя издает резкий звук при каждом втором обороте двигателя. (а) Насколько быстро движется гоночный автомобиль, если его восьмицилиндровый двигатель издает звук частотой 750 Гц, если двигатель делает 2000 оборотов на километр? (б) На сколько оборотов в минуту вращается двигатель?

Глоссарий

период: время, необходимое для завершения одного колебания

периодическое движение: движение, которое повторяется через равные промежутки времени

частота: количество событий в единицу времени

Избранные решения проблем и упражнения

1. 16.7 мс
2. 0,400 с / уд
3. 400 Гц
4. 12 500 Гц
5. 1,50 кГц
6. (а) 93,8 м / с; (б) 11,3 × 10 ³ об / мин

Физика – простое гармоническое движение

Колебания происходят повсюду вокруг нас, от биения человеческого сердца до вибрирующих атомов, из которых все состоит. Простое гармоническое движение – очень важный тип периодических колебаний, где ускорение ( α ) пропорционально смещению ( x ) от положения равновесия в направлении положения равновесия.

Каковы частота и период?

Поскольку простое гармоническое движение является периодическим колебанием, мы можем измерить его период (время, которое требуется для одного колебания) и, следовательно, определить его частоту (количество колебаний в единицу времени или обратную величину периода).

Два наиболее распространенных эксперимента, которые демонстрируют это:

1. Маятник – где масса м , прикрепленная к концу маятника длиной l , будет колебаться с периодом ( T ).Описывается как: T = 2π√ (л / г) , где g – ускорение свободного падения.

2. Масса на пружине – если масса м , прикрепленная к пружине с жесткостью пружины k , будет колебаться с периодом ( T ). Описание: T = 2π√ (m / k) .

Измеряя продолжительность одного полного колебания, мы можем определить период и, следовательно, частоту. Обратите внимание, что в случае маятника период не зависит от массы, в то время как в случае массы на пружине период не зависит от длины пружины.Период простого гармонического осциллятора также не зависит от его амплитуды.

По определению, ускорение a объекта в простом гармоническом движении пропорционально его перемещению x :

, где ω, – угловая частота, и ее можно определить, зная период ( ω = 2π / T ) или частоту ( ω = 2πf ). Вспоминая, что скорость ( v ) – это производная по времени от расстояния, а ускорение – это производная от скорости по времени, можно показать, что, начиная с амплитуды ( A ), решение следует синусоидальной функции вида x = A cos (ωt)

Тогда смещение от времени будет выглядеть примерно так:

С графиками скорости и ускорения, заданными производными по времени.Эти осцилляторы также демонстрируют передачу между кинетической и потенциальной энергией. При максимальном смещении вся энергия в системе находится в форме потенциальной энергии, а скорость равна нулю, но все это преобразуется в кинетическую энергию, когда масса достигает положения равновесия, при котором она имеет максимальную скорость.

Как мы измеряем колебания?

Простые гармонические колебания

Насколько точными могут быть наши измерения?

Описанные здесь эксперименты демонстрируют использование аналогового и цифрового оборудования для измерения величин, включая массу, длину и время.В этом эксперименте одним из основных источников ошибок является время реакции человека при измерении периода. Чтобы повысить точность определения периода, отсчет времени может производиться по нескольким колебаниям и путем усреднения по нескольким измерениям периода. Чтобы получить более точные измерения жесткости пружины и ускорения свободного падения, следует проводить повторные измерения с использованием маятников различной длины и массы.

Кроме того, измерение периода в более длительном временном интервале (и, следовательно, в течение нескольких колебаний) повысит точность, поскольку человеческая ошибка будет составлять меньшую часть записанного времени.Также может быть полезно использовать булавку или бирку в качестве фидуциарного маркера, показывающего положение равновесия. Предполагая простое гармоническое движение, периодический характер этих систем означает, что не должно быть оправдания, когда дело доходит до проведения нескольких измерений!

Лабораторные признания

Исследователи подкаста In the Laboratory Confessions рассказывают о своем лабораторном опыте в контексте практических экзаменов A Level. В этом выпуске мы рассмотрим генерацию и измерение волн и использование соответствующих цифровых инструментов.

Что означают ваши измерения?

Вибрации и колебания, которые окружают нас в повседневной жизни, обычно намного сложнее, чем те, с которыми мы сталкиваемся при простом гармоническом движении. Это означает, что такие эффекты, как демпфирование, которое снижает амплитуду за счет удаления энергии из системы, являются хорошим примером того, как простое гармоническое движение способствует улучшению нашей повседневной жизни. Хотя простое гармоническое движение является упрощением, это все же очень хорошее приближение.

Простое гармоническое движение важно в исследованиях для моделирования колебаний, например, в ветряных турбинах и колебаний в подвесках автомобилей. В Университете Бирмингема одним из исследовательских проектов, в которых мы участвовали, является обнаружение гравитационных волн в обсерватории гравитационных волн с лазерным интерферометром (LIGO). Там детекторы настолько чувствительны, что тщательное моделирование и минимизация окружающих вибраций и шума имеют решающее значение. Другой известный исследовательский проект – это работа Бирмингемской сети солнечных колебаний (BiSON), которая сосредоточена на измерении колебаний Солнца (гелиосейсмология) и близлежащих звезд (астросейсмология), чтобы узнать об их внутренней структуре.

Следующие шаги

Эти ссылки предоставляются только для удобства и в информационных целях; они не означают одобрения или одобрения Бирмингемским университетом какой-либо информации, содержащейся на внешнем веб-сайте. Бирмингемский университет не несет ответственности за точность, законность или содержание внешнего сайта или последующих ссылок. Пожалуйста, свяжитесь с внешним сайтом для получения ответов на вопросы относительно его содержания.

Как рассчитать период движения в физике

Обновлено 28 декабря 2020 г.

Крис Дезил

В естественном мире есть множество примеров периодического движения, от орбит планет вокруг Солнца до электромагнитных колебаний фотонов и т. Д. наше собственное сердцебиение.

Все эти колебания связаны с завершением цикла, будь то возвращение движущегося по орбите тела в исходную точку, возврат вибрирующей пружины в точку равновесия или расширение и сжатие сердцебиения.Время, необходимое колебательной системе для завершения цикла, известно как ее период .

Период системы – это мера времени, и в физике он обычно обозначается заглавной буквой T . Период измеряется в единицах времени, подходящих для этой системы, но наиболее распространенными являются секунды. Вторая – это единица времени, первоначально основанная на вращении Земли вокруг своей оси и по ее орбите вокруг Солнца, хотя современное определение основано на колебаниях атома цезия-133, а не на каком-либо астрономическом явлении.

Периоды некоторых систем интуитивно понятны, например, вращение Земли, которое составляет сутки или (по определению) 86 400 секунд. Вы можете рассчитать периоды некоторых других систем, таких как колеблющаяся пружина, используя характеристики системы, такие как масса и жесткость пружины.

Когда дело доходит до колебаний света, все становится немного сложнее, потому что фотоны движутся поперек пространства, пока они колеблются, поэтому длина волны является более полезной величиной, чем период.

Период – величина, обратная частоте

Период – это время, необходимое колебательной системе для завершения цикла, тогда как частота ( f ) – это количество циклов, которое система может завершить за заданный период времени. Например, Земля вращается один раз в день, поэтому период составляет 1 день, а частота также составляет 1 цикл в день. Если вы установите стандарт времени на годы, период составит 1/365 года, а частота – 365 циклов в год.Период и частота являются обратными величинами:

T = \ frac {1} {f}

В расчетах, связанных с атомными и электромагнитными явлениями, частота в физике обычно измеряется в циклах в секунду, также известных как Герцы (Гц), с ⁻¹ или 1 / сек. При рассмотрении вращающихся тел в макроскопическом мире число оборотов в минуту (об / мин) также является общепринятой единицей. Период может быть измерен в секундах, минутах или другом подходящем периоде времени.

Период простого гармонического осциллятора

Самый основной тип периодического движения – это движение простого гармонического осциллятора, который определяется как тот, который всегда испытывает ускорение, пропорциональное его расстоянию от положения равновесия и направленное к равновесию. позиция.В отсутствие сил трения и маятник, и масса, прикрепленная к пружине, могут быть простыми гармоническими осцилляторами.

Можно сравнить колебания массы на пружине или маятнике с движением тела, вращающегося с равномерным движением по круговой траектории с радиусом r . Если угловая скорость тела, движущегося по окружности, равна ω, его угловое смещение ( θ ) от начальной точки в любой момент времени t составляет θ = ωt , и компоненты его положения x и y : x = r cos ( ωt ) и y = r sin ( ωt ).

Многие осцилляторы движутся только в одном измерении, и если они движутся горизонтально, они движутся в направлении x . Если амплитуда, наиболее удаленная от положения равновесия, составляет A , то положение в любой момент времени t составляет x = A cos ( ωt ). Здесь ω известна как угловая частота, и она связана с частотой колебаний ( f ) уравнением ω = 2π f .Поскольку f = 1/ T , вы можете записать период колебаний следующим образом:

T = \ frac {2π} {ω}

Пружины и маятники: уравнения периода

Согласно Согласно закону Гука, масса на пружине подвергается действию восстанавливающей силы F = – kx , где k – характеристика пружины, известная как жесткость пружины, а x Это смещение. Знак минус указывает, что сила всегда направлена ​​против направления смещения.Согласно второму закону Ньютона, эта сила также равна массе тела ( м ), умноженной на его ускорение ( a ), поэтому ма = – kx .

Для объекта, колеблющегося с угловой частотой ω , его ускорение равно – Aω ² cos ωt или, упрощенно, – ω ² х . Теперь вы можете написать м (- ω ² x ) = – kx , исключить x и получить ω = √ ( к / м ).Тогда период колебаний массы на пружине равен:

T = 2π \ sqrt {\ frac {m} {k}}

Вы можете применить аналогичные соображения к простому маятнику, на котором вся масса центрируется на конце строки. Если длина струны равна L , уравнение периода в физике для малоуглового маятника (то есть такого, в котором максимальное угловое смещение от положения равновесия мало), которое оказывается независимым от массы, имеет вид

T = 2π \ sqrt {\ frac {L} {g}}

где g – ускорение свободного падения.

Период и длина волны

Как и простой осциллятор, волна имеет точку равновесия и максимальную амплитуду по обе стороны от точки равновесия. Однако, поскольку волна распространяется через среду или пространство, колебания растягиваются вдоль направления движения. Длина волны определяется как поперечное расстояние между любыми двумя идентичными точками в цикле колебаний, обычно точками максимальной амплитуды на одной стороне положения равновесия.

Период волны – это время, за которое одна полная длина волны проходит через контрольную точку, тогда как частота волны – это количество длин волн, которые проходят через контрольную точку за данный период времени. Если период времени равен одной секунде, частота может быть выражена в циклах в секунду (герц), а период выражен в секундах.

Период волны зависит от скорости ее движения и длины волны ( λ ). Волна перемещается на расстояние в одну длину волны за время, равное одному периоду, поэтому формула скорости волны такова: v = λ / T , где v – скорость.Если преобразовать период в другие величины, получим:

T = \ frac {λ} {v}

Например, если волны на озере разделены 10 футами и движутся со скоростью 5 футов в секунду, период каждой волны 10/5 = 2 секунды.

Использование формулы скорости волны

Все электромагнитное излучение, к одному типу которого относится видимый свет, распространяется с постоянной скоростью, обозначенной буквой c , через вакуум. Вы можете написать формулу скорости волны, используя это значение, и поступить так, как обычно делают физики, заменив период волны ее частотой.Формула принимает следующий вид:

c = \ frac {λ} {T} = f × λ

Поскольку c является константой, это уравнение позволяет вычислить длину волны света, если вы знаете его частоту, и наоборот. наоборот. Частота всегда выражается в герцах, и, поскольку свет имеет чрезвычайно малую длину волны, физики измеряют ее в ангстремах (Å), где один ангстрем равен 10 ⁻¹⁰ метрам.

Колебание простого маятника

Уравнение движения

Простой маятник состоит из шара (острия) м , подвешенного на (безмассовой) веревке длиной L и закрепленной в точке поворота P.2} + \ frac {g} {L} \ theta = 0 $$ Простое гармоническое решение $$ \ theta (t) = \ theta_o \ cos (\ omega t) \, $$ где \ (\ theta_o \) – начальное угловое смещение, а \ (\ omega = \ sqrt {g / L} \) – собственная частота движения. Период этой системы (время одного колебания) равен $$ T = \ frac {2 \ pi} {\ omega} = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {L} {g}}. $$

Период маятника не зависит от массы шара, а только от длины струны. Два маятника с разной массой, но одинаковой длины будут иметь одинаковый период.Два маятника разной длины будут иметь разные периоды; маятник с более длинной струной будет иметь больший период.

Сколько полных колебаний совершают синий и коричневый маятник за время за одно полное колебание более длинного (черного) маятника?

На основании этой информации и определения периода простого маятника, каково соотношение длин трех маятников?

При условии малых углов частота и период маятника не зависят от начальной амплитуды углового смещения. 2} + \ frac {g} {L} \ sin \ theta = 0 $$ Это дифференциальное уравнение не имеет решения в замкнутой форме, но вместо этого его необходимо решать численно с помощью компьютера. Mathematica очень легко численно решает это дифференциальное уравнение с помощью встроенной функции NDSolve [] .

Приближение малых углов справедливо для начальных угловых смещений около 20 ° или меньше. Если начальный угол меньше этой величины, то достаточно простого гармонического приближения. Но, если угол больше, тогда разница между приближением малого угла и точным решением быстро становится очевидной.

На анимации внизу слева начальный угол небольшой.Темно-синий маятник – это приближение малого угла, а голубой маятник (изначально скрытый позади) – точное решение. Для небольшого начального угла требуется довольно большое количество колебаний, прежде чем разница между приближением малого угла (темно-синий) и точным решением (светло-синий) начнет заметно расходиться.

На анимации внизу справа начальный угол большой. Черный маятник – это приближение малого угла, а более светлый серый маятник (изначально скрытый позади) – точное решение.Для большого начального угла разница между приближением малого угла (черный) и точным решением (светло-серый) становится очевидной почти сразу.

16.2 Период и частота колебаний – College Physics for AP® Courses

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Свяжите повторяющиеся механические колебания с частотой и периодом гармонического движения, например, с движением гитарной струны.
• Вычислить частоту и период колебаний.

Информация, представленная в этом разделе, поддерживает следующие цели обучения AP® и научные практики:

• 3.B.3.3 Учащийся может анализировать данные, чтобы определить качественные или количественные отношения между заданными значениями и переменными (например, сила, смещение, ускорение, скорость, период движения, частота, жесткость пружины, длина струны, масса). связаны с объектами в колебательном движении, чтобы использовать эти данные для определения неизвестного значения. (С.П. 2.2, 5.1)

Рисунок 16.8 Струны этой гитары периодически вибрируют. (кредит: JAR)

Когда вы дергаете гитарную струну, получаемый звук имеет устойчивый тон и длится долгое время. Каждое последующее колебание струны занимает то же время, что и предыдущее. Мы определяем периодическое движение как движение, которое повторяется через регулярные промежутки времени, например, демонстрируемое гитарной струной или объектом на пружине, движущимся вверх и вниз.Время завершения одного колебания остается постоянным и называется периодом TT размером 12 {T} {}. Обычно это секунды, но это может быть любая удобная единица времени. Слово «период» относится ко времени некоторого события, повторяющегося или нет; но нас в первую очередь будет интересовать периодическое движение, которое по определению является повторяющимся. Понятие, тесно связанное с периодом, – это частота события. Например, если вы получаете зарплату два раза в месяц, частота выплат – два в месяц, а период между проверками – полмесяца.Размер Frequencyff 12 {f} {} определяется как количество событий в единицу времени. Для периодического движения частота – это количество колебаний в единицу времени. Связь между частотой и периодом составляет

f = 1T.f = 1T. размер 12 {f = {{1} over {T}}} {}

16,8

Единицей измерения частоты в системе СИ является циклов в секунду , что определяется как герц (Гц):

1 Гц знак равно 1 цикл сек или 1 Гц знак равно 1 s 1 Гц знак равно 1 цикл сек или 1 Гц знак равно 1 s размер 12 {1` “Hz” = 1` {{“cycle”} больше {“sec”}} `” или 1 Hz “= {{1} over {s}}} {}

16.9

Цикл – это одно полное колебание. Обратите внимание, что вибрация может быть единичным или многократным событием, тогда как колебания обычно повторяются в течение значительного количества циклов.

Пример 16.3

Определите частоту двух колебаний: медицинский ультразвук и период среднего C

Мы можем использовать формулы, представленные в этом модуле, для определения как частоты на основе известных колебаний, так и колебания на основе известной частоты. Давайте попробуем по одному примеру каждого из них.(а) Устройство медицинской визуализации излучает ультразвук путем колебаний с периодом 0,400 мкс. Какая частота этого колебания? (б) Частота среднего до на типичном музыкальном инструменте составляет 264 Гц. Сколько времени на одно полное колебание?

Стратегия

На оба вопроса (а) и (b) можно ответить, используя соотношение между периодом и частотой. В вопросе (а) дается период TT, размер 12 {T} {} , и нас просят найти частоту ff размером 12 {f} {}.В вопросе (b) дана частота ff, размер 12 {f} {}, и нам предлагается найти период TT, размер 12 {T} {} .

Решение

1. Запасной 0 . 400 μ s 0 . 400 μ s размер 12 {0 “.” “400” `” мкс “} {} для TT размер 12 {T} {} in f = 1Tf = 1T размер 12 {f = {{1} over {T}}} {}: f = 1T = 10,400 × 10-6 с. f = 1T = 10,400 × 10-6 с. размер 12 {f = {{1} больше {T}} = {{1} больше {0 “.”” 400 “умножить на” 10 “rSup {размер 8 {- 6}} с}}} {}

   16,10

   Решите, чтобы найти

   f = 2,50 × 106 Гц. F = 2,50 × 106 Гц. Размер 12 {f = 2″ . “” 50 “умножить на” 10 “rSup {размер 8 {6}}” Гц “} {}

   16,11

Обсуждение

Частота звука, найденная в (а), намного выше, чем самая высокая частота, которую люди могут слышать, и поэтому называется ультразвуком. Соответствующие колебания на этой частоте генерируют ультразвук, используемый для неинвазивной медицинской диагностики, такой как наблюдение за плодом в утробе матери.

Решение b

1. Определите известные значения:

   Время одного полного колебания – период TT размер 12 {T} {} :

   f = 1Т. f = 1Т. размер 12 {f = {{1} больше {T}}} {}

   16,12

2. Решение для TT, размер 12 {T} {} : T = 1f.T = 1f. размер 12 {T = {{1} больше {f}}} {}

   16,13

3. Подставьте заданное значение частоты в полученное выражение: T = 1f = 1264 Гц = 1264 цикла / с = 3.79 × 10–3 с = 3,79 мс. T = 1f = 1264 Гц = 1264 цикла / с = 3,79 × 10–3 с = 3,79 мс. размер 12 {T = {{1} более {f}} = {{1} более {“264” “Гц”}} = {{1} более {“264” “циклов / с”}} = 3 “. ” “79” умножить на “10” rSup {size 8 {- 3}} s = 3 “.” “79” “мс”} {}

   16,14

Обсуждение

Период, указанный в (b), – это время за цикл, но это значение часто указывается как просто время в удобных единицах (мс или миллисекундах в данном случае).

Проверьте свое понимание

Определите событие в вашей жизни (например, получение зарплаты), которое происходит регулярно.Определите период и частоту этого события.

Решение

Я навещаю родителей на обед каждое второе воскресенье. Частота моих посещений – 26 в календарный год. Срок – две недели.

Колебания и периодические движения в физике

Колебание относится к повторяющемуся движению чего-то вперед и назад между двумя положениями или состояниями. Колебание может быть периодическим движением, которое повторяется в регулярном цикле, например синусоидальной волной – волной с постоянным движением, как при качании маятника из стороны в сторону, или движением пружины вверх и вниз. с гирькой.Колебательное движение происходит около точки равновесия или среднего значения. Это также известно как периодическое движение.

Одиночное колебание – это полное движение вверх и вниз или из стороны в сторону за определенный период времени.

Генераторы

Осциллятор – это устройство, которое демонстрирует движение вокруг точки равновесия. В маятниковых часах происходит переход от потенциальной энергии к кинетической с каждым движением. В верхней части колебания потенциальная энергия максимальна, и эта энергия преобразуется в кинетическую энергию при падении и движется обратно вверх с другой стороны.Теперь снова вверху кинетическая энергия упала до нуля, а потенциальная энергия снова высока, что приводит к обратному колебанию. Частота качелей передается через шестерни, чтобы отсчитывать время. Маятник со временем теряет энергию из-за трения, если часы не корректируются пружиной. Современные часы используют колебания кварцевых и электронных осцилляторов, а не движение маятника.

Колебательное движение

Колебательное движение в механической системе колеблется из стороны в сторону.Его можно перевести во вращательное движение (поворот по кругу) с помощью паза и шпильки. Таким же способом вращательное движение можно заменить на колебательное.

Колебательные системы

Колебательная система – это объект, который движется вперед и назад, неоднократно возвращаясь в исходное состояние через определенный период времени. В точке равновесия на объект не действуют никакие результирующие силы. Это точка качания маятника, когда он находится в вертикальном положении. Постоянная сила или возвращающая сила действует на объект, вызывая колебательное движение.

Переменные колебания

• Амплитуда – максимальное смещение от точки равновесия. Если маятник отклоняется на один сантиметр от точки равновесия до начала обратного пути, амплитуда колебаний составляет один сантиметр.
• Период – это время, которое требуется для полного обхода объекта и возврата в исходное положение. Если маятник запускается справа, и ему требуется одна секунда, чтобы переместиться влево, а другая секунда – чтобы вернуться вправо, его период составляет две секунды.Период обычно измеряется в секундах.
• Частота – это количество циклов в единицу времени. Частота равна единице, деленной на период. Частота измеряется в герцах или циклах в секунду.

Простое гармоническое движение

Движение простой гармонической колебательной системы, когда возвращающая сила прямо пропорциональна силе смещения и действует в направлении, противоположном направлению смещения, можно описать с помощью функций синуса и косинуса.Примером может служить груз, прикрепленный к пружине. Когда вес находится в состоянии покоя, он находится в равновесии. Если вес опускается, на массу действует восстанавливающая сила (потенциальная энергия). Когда он высвобождается, он набирает импульс (кинетическую энергию) и продолжает двигаться за точку равновесия, приобретая потенциальную энергию (восстанавливающую силу), которая заставляет его снова колебаться вниз.

Источники и дополнительная информация

• Фитцпатрик, Ричард. «Колебания и волны: введение», 2-е изд.Бока-Ратон: CRC Press, 2019.
• Mittal, P.K. «Колебания, волны и акустика». Нью-Дели, Индия: И.К. Международный издательский дом, 2010.

Цикл колебаний

– обзор

8.3.4 Сегрегация, вызванная трением

В этом разделе рассматривается сегрегация , непосредственно вызванная трением , в отличие от влияния трения на другие механизмы. Интересно, что в то время как последний вопрос (который подробно обсуждается в разд.11.7) исследована в разумной степени, существует лишь скудная литература, касающаяся чисто фрикционной сегрегации. Сегрегация, вызванная трением, в сочетании с сегрегацией по размерам была описана в геометриях вращающегося барабана в 1994 г. Zik et al. [1361], и сам по себе обсуждался Lai et al. [656] снова в геометрии вращающегося барабана. Только в новом тысячелетии этот вопрос был исследован в вибрирующих системах.

В 2003 году Kondic et al. [630] исследовали экспериментальную систему с горизонтальной вибрацией на частоте ω и амплитуде a (Γ = aω2 / g), содержащую один слой сфер – наполовину гладких, остальные же идентичны, но не протравлены таким образом, что их поверхности были шероховатыми и, следовательно, имели высокое трение.Энергия передавалась частицам за счет их взаимодействия с поверхностью пластины и столкновений с окружающими боковыми стенками. Авторы исследуют две геометрии: первая имеет простое плоское основание, а вторая – небольшой «холм» и «колодец» (см. Рис. 8.4), спроектированные таким образом, что частицы пересекают «вершину» холма слева вправо не может вернуться.

Рисунок 8.4. Простая схема «холмистой» системы, использованная Кондичем и др. [630].

Для геометрии плоского основания, в которой система является квазидвумерной и влияние гравитации по существу отсутствует, полное смешивание наблюдается между двумя частицами для большого числа циклов колебаний.Для второй геометрии при подходящих условиях движения и после достаточного количества циклов колебаний наблюдается выраженная сегрегация. Почти все гладкие частицы переместились в правую сторону, ⁷ , в то время как большинство грубых частиц осталось слева.

Авторы объяснили наблюдаемое поведение, рассматривая правую часть системы как бесконечно глубокую потенциальную яму, а холм как (гравитационный) потенциальный барьер с энергией Eb = mgh (где h – физическая высота). холма).Вероятность P того, что данная частица сможет преодолеть этот энергетический барьер (т. Е. Пересечь холм с правой стороны системы), таким образом, может быть задана как

(8.12) P = exp⁡ ( −EbET)

где ET – температура гранул частицы.

В предположении, что частицы поддерживают постоянный контакт с колеблющейся подложкой системы, потери энергии на расстояние ( x ), пройденное частицей, могут быть определены как

(8.13) dETdx = −μmg.

Если частица имеет начальную энергию ETo, ее энергия после прохождения расстояния x будет уменьшена до значения

(8.14) ET = ETo − μmgx.

Очевидно, что если ET достигает нуля для значения x , которое меньше расстояния, необходимого для пересечения холма, частица останется в левой части системы, и наоборот. Это очевидно из формул. Согласно (8.13) и (8.14) частица с более высоким коэффициентом трения будет терять энергию быстрее, чем более гладкая частица.Следовательно, расстояние перемещения грубой частицы в гору будет меньше, чем у гладкой частицы. В экспериментах начальная движущая энергия, передаваемая полом и стенами ЕТо, выбиралась путем регулировки ускорения Γ так, чтобы все гладкие частицы пересекали холм и падали в «колодец». При этом грубые частицы эффективно отделялись от гладких. Количество гладких частиц ns, которые падают в скважину, моделируется законом скорости вида

(8.15) dnsdt = κns

, где κ (ns) = A + Bns, а A, B – подгоночные параметры. Было обнаружено, что решение

(8.16) нс (t) = AnosBnos− (A − Bnos) eAt

, где nos: = ns (0) достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными. Более того, их исследования моделирования дискретных элементов, аналогичные экспериментальной конфигурации, показали, что трение качения и скольжения необходимо для достижения наблюдаемого разделения гладких и шероховатых частиц. Из экспериментов, относящихся к вибрирующим системам, можно сделать вывод, что различия в коэффициентах трения частиц могут способствовать сегрегации.Однако степень фрикционных влияний, скорее всего, будет заметной для потоков с непрерывными трущимися контактами между частицами. Это мнение частично подтверждается результатами исследования дискретных элементов [318], в котором изучались комбинированные эффекты трения и конвекции в вертикально вибрирующем двумерном слое.

Модель фрикционной сегрегации для более общих систем, чем те, которые рассматривались Кондичем и др. [630] был рассмотрен Сребро и Левином [1100] на основе известной модели статистической механики гранулированных систем, предложенной Эдвардсом [233,311,776].Модель Эдвардса предполагала существование гранулированной свободной энергии,

(8.17) Y = V − XS,

, где V – объем системы, S – ее энтропия и X – ее «уплотняемость» – альтернативный аналог температуры для формализма Эдвардса. ⁸ Уплотнение, по сути, является мерой «рыхлости» слоя частиц, т.е. X = 0 для идеально уплотненного слоя и X = ∞, когда слой находится в его наименее плотной конфигурации.

Рассмотрим систему, состоящую из двух видов частиц, α и β , идентичных во всех аспектах, кроме их коэффициентов трения, для которых μα> μβ.