TranscriptPractice

Привет и добро пожаловать на это видео о вращении! В этом видео мы рассмотрим вращение фигуры вокруг точки. Давайте узнаем о ротациях!

Вращения везде, куда ни глянь. Земля — наиболее распространенный пример, вращающийся вокруг оси. Колесо автомобиля или велосипеда вращается вокруг центрального болта. Эти два примера вращаются на 360°. Существуют и другие формы вращения, которые меньше, чем полное вращение на 360 °, например, персонаж или объект, вращающийся в видеоигре. Говоря более формально, вращение — это форма преобразования, при котором фигура поворачивается вокруг точки. Мы называем эту точку центр вращения . Фигура и ее вращение сохраняют ту же форму и размер, но смотрят в другом направлении. Фигуру можно вращать по часовой или против часовой стрелки. Еще один отличный пример вращения в реальной жизни — колесо обозрения, центральная ступица которого является центром вращения.

Мера, на которую фигура поворачивается вокруг центра вращения, называется углом поворота . Угол поворота обычно измеряется в градусах. Указываем градусную меру и направление вращения. Вот фигура повернута на 90° по часовой стрелке и против часовой стрелки относительно центральной точки.

Отличный математический инструмент, который мы используем для отображения поворотов, — это координатная сетка. Давайте начнем с вращения точки вокруг центра (0,0). Если вы возьмете координатную сетку и нанесете точку, а затем повернете бумагу на 90° или 180° по часовой стрелке или против часовой стрелки вокруг начала координат, вы сможете найти положение повернутой точки. Давайте посмотрим на реальный пример, здесь мы нанесли точку A в (5,6), затем повернули бумагу на 90° по часовой стрелке, чтобы создать точку A’, которая находится в (6,-5).

Вот та же точка A в (5,6), повернутая на 180° против часовой стрелки относительно начала координат, чтобы получить A’(-5,-6).

Давайте подробнее рассмотрим два вращения из нашего эксперимента. В нашем первом эксперименте, когда мы поворачивали точку A (5,6) на 90° по часовой стрелке вокруг начала координат, чтобы создать точку A’ (6,-5), значение y точки A стало значением x точки A’ и значение x точки A стало значением y точки A’, но с противоположным знаком.

В нашем втором эксперименте точка A (5,6) повернута на 180° против часовой стрелки вокруг начала координат, чтобы создать A’ (-5,-6), где значения x и y такие же, как у точки A, но с противоположные знаки.

К счастью для нас, эти эксперименты позволили математикам разработать правила для наиболее распространенных поворотов на координатной сетке, приняв начало координат (0,0) за центр вращения. Вот правила вращения :

• Вращение на 90° по часовой стрелке: (x,y) становится (y,-x)
• Вращение на 90° против часовой стрелки: (x,y) становится (-y,x)
• 180 ° вращение по часовой стрелке и против часовой стрелки: (x, y) становится (-x,-y)
• вращение на 270° по часовой стрелке: (x,y) становится (-y,x)
• Вращение на 270° против часовой стрелки: (x,y) становится (y,-x)

Как видите, два наших эксперимента следуют этим правилам.

Примеры вращения

Теперь, когда мы знаем, как вращать точку, давайте рассмотрим вращение фигуры на координатной сетке. Чтобы повернуть треугольник ABC вокруг начала координат на 90° по часовой стрелке, мы должны следовать правилу (x,y) → (y,-x), где значение y исходной точки становится новым значением x, а значение x исходной точки исходная точка становится новым значением y с противоположным знаком. Давайте применим правило к вершинам, чтобы создать новый треугольник A’B’C’:

• A (-4, 7) становится A’ (7, 4)
• B (-6, 1) становится B’ (1, 6)
• C (-2, 1) становится C’ (1, 6) 2)

Давайте посмотрим на другую ротацию. Повернем треугольник ABC на 180° вокруг начала координат против часовой стрелки, хотя при вращении фигуры на 180° по часовой стрелке и против часовой стрелки используется то же правило, что (x,y) становится (-x,-y), где координаты вершин повернутый треугольник – это координаты исходного треугольника с противоположным знаком. Давайте применим правило к вершинам, чтобы создать новый треугольник A’B’C’:

• A (2,7) становится A’ (-2,-7)
• B (2,1) становится B’ (-2,-1)
• C (6,1) становится C’ (- 6,-1)

Вот четырехугольник ABCD. Чтобы повернуть четырехугольник ABCD на 90° против часовой стрелки вокруг начала координат, мы воспользуемся правилом (x,y) превращается в (-y,x). Давайте применим правила к вершинам, чтобы создать четырехугольник A’B’C’D’:

• A (-8,-2) становится A’ (2,-8)
• B (-7,-7) становится B’ (7,-7)
• C (-2,-6) становится C’ (6,-2)
• D (-3,-2) становится D’ (2,-3)

Теперь я хочу, чтобы вы сами попробовали несколько практических задач. Воздушный змей KLMN показан на координатной сетке. Воздушный змей был повернут вокруг исходной точки, чтобы создать воздушный змей K’L’M’N’. Можете ли вы определить, какое вращение воздушного змея KLMN создало воздушный змей K’L’M’N’?

Начнем с определения координат вершин воздушного змея KLMN и нашего повернутого воздушного змея:

• K (-8,3) становится K’ (8,-3)
• L (-5,5) становится L ‘(5,-5)
• М (-2,3) становится М’ (2,-3)
• N (-5,-3) становится N’ (5,3)

Более пристальный взгляд на координаты вершин показывает, что координаты K’L’M’N’ совпадают с координатами вершин оригинальный воздушный змей, но с обратным знаком. Давайте посмотрим на правила, единственное правило, при котором значения x и y не меняются, но меняется их знак, — это поворот на 180°.

• Вращение на 90° по часовой стрелке: (x,y) становится (y,-x)
• Вращение на 90° против часовой стрелки: (x,y) становится (-y,x)
• Вращение на 180° по часовой и против часовой стрелки: (x ,y) становится (-x,-y)
• Вращение на 270° по часовой стрелке: (x,y) становится (-y,x)
• Вращение на 270° против часовой стрелки: (x,y) становится (y,-x)

Таким образом, воздушный змей KLMN был повернут на 180° вокруг происхождение для создания воздушного змея K’L’M’N’.

Давайте рассмотрим другую задачу. Пентагон QRSTU показан на координатной сетке. Поверните пятиугольник QRSTU на 90° против часовой стрелки, чтобы создать пятиугольник Q’R’S’T’U’.

Начнем с определения координат вершин нашего исходного пятиугольника. Правило для поворота на 90° против часовой стрелки: (x,y) становится (-y,x), давайте применим правило, чтобы найти вершины нашего нового пятиугольника.

(x,y) становится (-y,x)

• Q (-6,6) становится Q’ (-6,-6)
• R (-4,7) становится R’ (-7, -4)
• S (0,4) становится S’ (-4,0)
• T (-4,1) становится T’ (-1,-4)
• U (-6,2) становится U ‘ (-2,-6)

Теперь давайте нанесем точки на координатную сетку и пометим вершины.

Последнее практическое задание. Трапеция PQRS, где P (-3,-5), Q (3,-5), R (5,-2) и S (-5,-2) повернута на 90 ° по часовой стрелке вокруг начала координат для создания трапеции P ‘Вопросы’. Создайте обе трапеции на координатной сетке.

Мы начнем с решения, какое правило использовать для поворота на 90° по часовой стрелке вокруг начала координат. Мы собираемся использовать (x,y) в (y,-x). Теперь применим правило к координатам вершин PQRS.

• P (-3,-5) становится P’ (-5,3)
• Q (3,-5) становится Q’ (-5,-3)
• R (5,-2) становится R ‘ (-2,-5)
• S (-5,-2) становится S’ (-2,5)

Теперь давайте нанесем точки и создадим трапеции на координатной сетке.

Надеюсь, этот обзор ротации был полезен! Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Практические вопросы

Вопрос №1:

 
На координатной плоскости точка A \((3,-4)\) поворачивается на 180° против часовой стрелки вокруг начала координат, образуя повернутую точку \( А’\). Что из следующего является упорядоченной парой для \(A’\)?

\((4,-3)\)

\((-3,-4)\)

\((-3,4)\)

\((-4,3)\)

Показать ответ

Ответ:

Поворот точки с координатами \((x,y)\) на 180° вокруг начала координат против или по часовой стрелке дает точку с координатами \((-x ,-у)\). Подставляя координаты точки \(A\) в нашу формулу для нахождения повернутой точки, мы получаем:

\(A’\влево(-3,-\влево(-4\вправо)\вправо)=A'(-3,\ 4)\)

Скрыть ответ

Вопрос №2:

Координаты вершин треугольника ABC, которые можно нанести на координатную плоскость, равны \(A(-8,-6)\), \(B(-2,-6)\) и \(C(- 5,-3)\). Треугольник поворачивается на 90° по часовой стрелке вокруг начала координат, образуя треугольник \(A’B’C’\). Какие из следующих вершин являются вершинами треугольника \(A’B’C’\)?

\(A’\влево(6,-8\вправо),B’\влево(6,-2\вправо), C’(3,-5)\)

\(A’\влево(-6,\8\вправо), B’\влево(-6,2\вправо), C'(-3,\ 5)\)

\(A’\влево (-8,\ 6\право), B’\лево(-6,\ 2\право), C'(5,\ -3)\)

\(A’\лево(8,\ 6\право) ), B’\left(2,\ 6\right), C'(-5,\ -3)\)

Показать ответ

Ответ:

Вращение точки с координатами \((x ,y)\) 90° вокруг начала координат по часовой стрелке дает точку с координатами \((y,-x)\). Подставляя координаты наших точек в нашу формулу для нахождения повернутых точек, мы получаем:

\(A’\влево(-6,-\влево(-8\вправо)\вправо)=A’\влево(-6,\8\вправо)\)
\(B’\влево(-6 ,-\влево(-2\вправо)\вправо)=B’\влево(-6,\ 2\вправо)\)
\(C’\влево(-3,-\влево(-5\вправо)\ right)=C'(-3,\ 5)\)

Таким образом, координаты вершин треугольника \(A’B’C’ равны A’\left(-6,\ 8\right)\), \(B’\влево(-6,\2\вправо)\) и \(C'(-3,\5)\).

Скрыть ответ

Вопрос №3:

 
График четырехугольника ABCD показан ниже.

Четырехугольник поворачивается на 270° против часовой стрелки вокруг начала координат, образуя четырехугольник \(A\простой B\простой C\простой D\простой\). Что из следующего является графиком четырехугольника \(A\простое число B\простое число C\простое число D\простое число\)?

Показать ответ

Ответ:

Вращение точки с координатами \((x,y)\) на 270° вокруг начала координат в направлении против часовой стрелки дает точку с координатами \((y,- Икс)\). Подставив координаты вершин четырехугольника \(ABCD\) в нашу формулу для нахождения повернутых вершин четырехугольника \(A\простое число B\простое число C\простое число D\простое число\), мы получим:

\(A\простое число\). \left(4,-8\right)\ B\prime\left(7,-8\right)\ C\prime\left(8,-2\right)\ D\prime\left(2,\-2 \справа)\)

График четырех повернутых точек показан на координатной плоскости ниже.

Соединив последовательно вершины из \(A\prime\) в \(D\prime\) отрезками из четырех прямых, получим график четырехугольника \(A\prime B\prime C\prime D\prime\) показано ниже.

Скрыть ответ

Вопрос № 4:

 
Часы наложены на координатную плоскость так, что их центр находится в начале координат, как показано ниже.

Часы показывают 12:10. Сколько будет времени, если минутную стрелку повернуть на 180° вокруг начала координат по часовой стрелке?

12:40

12:25

11:40

11:55

Показать Ответ

Ответ:

900 Ответ:

900 \) 180° вокруг начала координат по часовой стрелке или против часовой стрелки дает точку с координатами \((-x,-y)\). Хотя конец минутной стрелки часов не лежит в точке \((7,4)\), там находится время, которое она представляет в минутах. Подставив координаты этой точки в нашу формулу для нахождения повернутой точки, мы получим \(\left(-7,-4\right)\).

Вращая минутную стрелку часов в направлении повернутой точки, мы можем узнать, который сейчас час.

Каждое числовое значение на часах соответствует 5 минутам для минутной стрелки и 1 часу для часовой стрелки. Поскольку повернутая точка лежит на цифре 8 часов, показание минутной стрелки равно 40 минутам. Поскольку вращение происходит по часовой стрелке, часовая стрелка также вращается по часовой стрелке, чтобы представить время позже 12:10, правильное время после вращения минутной стрелки – 12:40.

Скрыть ответ

Вопрос № 5:

 
Водяное колесо имеет диаметр 20 футов. Вода из поилки, расположенной над водяным колесом, выливается на лопасти водяного колеса, заставляя его вращаться по часовой стрелке. Вода в весле начинает вытекать из водяного колеса после того, как оно повернется на 90°.