Напряжение изгиба на внешней стороне волокна определяется по формуле:

Уравнение 3
s = ( M · h _o ) / ( A · e · r _i )

Где:

h _o = расстояние от центральной нейтральной оси до внутреннего волокна, дюймы ( ч _о = r _o – r _i )
r _o = radius of curvature on the outside fiber, inches
A = b _i t _i + b _o t _o + (H – T _I – T _O ) T

I -BEAM Стакулярная форма

R _N = [(B _I – T) T _I + (B _O – т ) (т _о ) + й ] / [ _i лог _E (( _I + T _I ) / R _I ) + T LOG _E ((R _O – T _O ) / (R _I + T _I )+ B _O Log _E (R _O / (R _O – T _O ))]

E = R – R _N

R _N

R. r _i + [ (1/2) h ² t + (1/2) t _i ² ( b _i – t ) + ( b _o – t ) ( t _o ) ( h – (1/2) t _o ) ( h – (1/2) t _o ] / [ ( b _i – t ) ( t _i ) + ( b _o – t ) ( t _o ) – th ]

Где:

b _i = ширина полки двутавровой балки, в
b _o = толщина полки двутавровой балки, в
t _i = толщина стенки полки, в
t _o = толщина стенки полки, в
t _i = толщина стенки полки, дюйм
час _{= толщина стенки полки, дюймы}

Метод двойного интегрирования Пример 5. Балка с опорой на штифтах

Каталожные номера:

• McGraw Hill Machine Design (1968)

Неравнополочное двутавровое сечение (двутавр) | calcresource

Содержание

– Геометрия

– Момент инерции

– Большая ось

-Незначительная ось

-Polar

-Применение

-Модуль упругого сечения

-Эластичное изгибное напряжение

-Модуль пластической секции

-около сильной оси

-Около слабая ось

-пластиковый беннинг

. –  Радиус вращения

–  Формулы неравнополочного двутаврового сечения

–  Связанные страницы

Геометрия

Площадь A и периметр P двойного тройника с неравными полками можно найти по следующим двум формулам:

A = b_u t_u + b_d t_d +h_w t_w

P = 2b_u+2b_d + 2h – 2t_w

Высота стенки в свету, h_w, указанная в приведенных выше формулах, представляет собой расстояние в свету между двумя полками:

h_{w}=h-t_u-t _d

Из-за симметрии вокруг оси y центроид поперечного сечения также должен лежать на оси y. Следовательно, х_с=0. Однако этого нельзя сказать о другой оси (xx), поскольку вокруг нее не существует симметрии из-за неравных фланцев. Следовательно, необходимо рассчитать точное местоположение центроида. Чтобы найти его расстояние, y_c, от удобной оси отсчета, скажем, нижней кромки поперечного сечения, используются первые моменты площади стенки и двух полок относительно одной и той же кромки (примечание: первый момент площади определяется как площадь, умноженная на расстояние центра тяжести площади от оси отсчета). То есть:

A \ y_{c} = A_{d} \ y_{d} + A_{u} \ y_{u} +A_w \ y_{w}

, где

• A_{d}=b_{d} t_{d} , площадь нижней полки
• A_{u}=b_{u} t_{u} , площадь верхней полки,
• A_{w}=h_{w} t_{w } , — площадь стенки,
• y_{d}=\frac{ t_{d}}{2}, — расстояние от центра тяжести нижней полки до нижнего края,
• y_{u}=h- \frac{ t_{u}}{2} , расстояние от центра тяжести верхней полки до нижнего края,
• y_{w}=t_{d}+\frac{ h_{w}}{2} — расстояние от центра тяжести полотна до нижнего края.

Из последнего выражения можно напрямую рассчитать положение центроида, как:

\ y_{c} = { A_{d} \ y_{d} + A_{u} \ y_{u} +A_w \ y_{w} \over A}

Момент инерции

Большая ось

Аналогично, чтобы найти момент инерции неравнополочного двутавра, полное сечение разбивается на три, меньшие, одно для нижнего фланца, один для верхнего и один для стенки. Следовательно, момент инерции I_x относительно центральной оси x-x определяется следующим образом: 92, момент инерции полотна относительно центроидальной оси х-х.

Для каждого из приведенных выше выражений использовалась так называемая «теорема о параллельных осях» для оценки соответствующих моментов инерции трех частей. Для получения дополнительной информации об этой технике, проверьте здесь.

Второстепенная ось

Опять же, общая площадь поперечного сечения разделена на три части: одна для нижней полки, одна для верхней и одна для стенки. Однако на этот раз ось изгиба (y-y) также является осью симметрии (для всех трех частей), и поэтому вычисления немного проще (поскольку использование теоремы о параллельных осях не требуется). Суммарный момент инерции I_y находится как: 93}{12}, момент инерции стенки относительно центральной оси y,

Полярный

Полярный момент инерции описывает жесткость поперечного сечения по отношению к крутящим моментам, тогда как плоские моменты инерции описанные выше, связаны с изгибом. Расчет полярного момента инерции I_z вокруг оси z (перпендикулярной сечению) можно выполнить с помощью теоремы о перпендикулярных осях:

I_z = I_x + I_y

, где I_x и I_y — моменты инерции вокруг осей x и y, взаимно перпендикулярные оси z и встречающиеся в общем начале координат.

Приложения

Момент инерции (секундный момент или площадь) используется в теории балок для описания жесткости балки при изгибе. Изгибающий момент M, приложенный к поперечному сечению, связан с его моментом инерции следующим уравнением:

M = E\times I \times \kappa

где E – модуль Юнга, свойство материала, и \kappa, кривизна балки из-за приложенной нагрузки. Таким образом, из предыдущего уравнения видно, что при приложении определенного изгибающего момента M к поперечному сечению балки развиваемая кривизна обратно пропорциональна моменту инерции I. 94 .

Модуль упругости сечения

Модуль упругости сечения S_x любого поперечного сечения вокруг оси x (центроидальной) описывает реакцию сечения на упругий изгиб при изгибе. Он определяется как:

S_x = \frac{I_x}{Y}

, где I_x – момент инерции сечения вокруг оси x, а Y – расстояние волокна сечения (как правило, самого удаленного) от одного и того же ось х. Поскольку неравнополочная двутавровая балка несимметрична относительно оси x, расстояние Y должно быть разным для верхнего и нижнего волокна секции. В результате можно рассчитать два разных модуля сечения. Как правило, представляет интерес меньший (соответствующий большему Y), потому что он связан с более напряженным волокном, как объясняется далее в этом разделе.

Аналогично, модуль сечения S_y вокруг оси y, которая для неравнополочного двутавра также является осью симметрии, записывается как:

S_y = \frac{I_y}{X}

, где I_y – момент инерции сечения вокруг оси y и X, расстояние бокового краевого волокна от той же оси y. Однако на этот раз расстояние X одинаково для левого и правого волокон поперечного сечения и равно \max(0,5b_{u}; 0,5b_{d}).

Упругое изгибающее напряжение

Если к оси x приложен изгибающий момент M_x, сечение будет реагировать нормальными напряжениями, линейно изменяющимися в зависимости от расстояния от нейтральной оси (которая в упругом режиме совпадает с центроидальной осью x). Вдоль нейтральной оси напряжения равны нулю. Абсолютный максимум \сигма будет иметь место на самом удаленном волокне, величина которого определяется формулой: 93 .

Модуль пластического сечения

Модуль пластического сечения аналогичен упругому, но определяется в предположении полной пластической текучести поперечного сечения при изгибе. В этом случае все сечение разделено на две части, одну на растяжение и одну на сжатие, каждая из которых находится в однородном поле напряжений. Для материалов с равными напряжениями текучести при растяжении и сжатии это приводит к разделению сечения на две равные области, A_t при растяжении и A_c при сжатии, разделенные нейтральной осью. Это результат уравновешивания внутренних сил в поперечном сечении при пластическом изгибе. В самом деле, сжимающая сила будет равна A_cf_y, если предположить, что предел текучести равен f_y при сжатии, и что материал по всей площади сжатия поддался (таким образом, напряжения везде равны f_y). Точно так же растягивающая сила будет равна A_t f_y, если использовать те же предположения. Обеспечение равновесия:

A_cf_y = A_t f_y\Rightarrow

A_c= A_t

Ось называется пластической нейтральной осью , и для несимметричных сечений она не идентична упругой нейтральной оси (которая снова является центроидальной). Неравное сечение I/H действительно не симметрично относительно сильной оси (оси x). В результате пластическая нейтральная ось неравнополочного двутавра при сильном изгибе оси не проходит через центр тяжести.

Вокруг сильной оси

Для неравнополочной двутавровой балки ось x, параллельная полкам, обычно является сильной осью поперечного сечения. Поскольку пластическая нейтральная ось делит поперечное сечение на равные площади, она должна быть:

A_c=A_t = \frac{A}{2}

Приведенное выше выражение можно использовать для расчета положения нейтральной оси. Во-первых, давайте предположим, что пластическая нейтральная ось имеет расстояние, равное y_{pna} от нижнего края. Также предположим, что он расположен где-то между двумя фланцами. В математических терминах:

t_d \lt y_{pna} \lt h-t_u

Это всего лишь предположение. Несмотря на то, что кажется интуитивно понятным, что пластиковая нейтральная ось расположена между двумя фланцами, это не всегда так. Это действительно зависит от относительных размеров двух фланцев. Тем не менее, будем считать, что приведенное выше предположение на данный момент верно. Площадь половины сечения ниже нейтральной пластиковой оси должна быть:

A_t=b_{d} t_{d}+ t_w \left(y_{pna}-t_{d}\right) =\frac{A}{2}

Единственным неизвестным является y_{pna}. Преобразовывая уравнение, получаем:

y_{pna}=t_{d}+\frac{ A-2b_{d} t_{d} }{2t_w}

Последнее выражение позволяет рассчитать расстояние пластической нейтральной оси от нижний край, если наше исходное предположение справедливо. Для этого легко найти подходящие условия. Подставляя вычисленное y_{pna} в предполагаемое неравенство, получаем:

t_d \lt t_{d}+\frac{ A-2b_{d} t_{d} }{2t_w} \lt h-t_u\Rightarrow

0\lt \frac{ A-2b_{d} t_{d } }{2t_w} \lt h_w\Rightarrow

0 \lt A-2b_{d} t_{d} \lt 2t_wh_w\Rightarrow

0 \lt A-2A_{d} \lt 2(A-A_d-A_u )

, где A_{d} — площадь нижней полки, а A_{u} — площадь верхней полки. Приведенное выше неравенство эквивалентно выполнению двух следующих неравенств:

A_d \lt {A\over2}

A_u \lt {A\over2}

двутавра неравнополочного сечения, если ни одна из двух полок не занимает более половины общей площади сечения. 92\over 2} + \\&+A_w(y_w-y_\textit{pna})+A_u(y_u-y_\textit{pna})\end{split}

где:

• y_{u}= h-\frac{ t_{u}}{2} ,
• y_{w}=t_{d}+\frac{ h_{w}}{2} ,
• A_{u}=b_{u} t_ {u} ,
• A_{w}=h_w t_w .

Наконец, если нейтральная ось пластика проходит через верхний фланец (должно происходить, когда этот фланец имеет более половины общей площади сечения, т. е. A_u\ge{A\over2}), выводится следующая формула для пластического модуль:

где:

• y_{d}=\ frac{ t_{d}}{2} ,
• y_{w}=t_{d}+\frac{ h_{w}}{2} ,
• A_{d}=b_{d} t_{d} ,
• A_{w}=h_w t_w .

Вокруг слабой оси

Для неравнополочной двутавровой балки ось Y, перпендикулярная полкам, обычно является слабой осью. Это также ось симметрии поперечного сечения. В результате пластическая нейтральная ось на этот раз не нуждается в расчетах. Она идентична центроидальной оси Y. Кроме того, модуль пластичности гораздо легче оценить. Этому способствуют три прямоугольные области, все симметрично расположенные вокруг оси Y: две области для фланцев и одна для стенки. Выводится следующая формула: 92}{4}

Пластический изгиб

Модуль пластичности связан с напряжениями поперечного сечения при изгибе в пластическом режиме, аналогичным образом модуль упругости относится к упругому режиму. Если вокруг оси x приложен изгибающий момент M_x, и все сечение становится полностью пластифицированным, так что каждое волокно достигает предела текучести материала, \sigma_y, то следующая формула верна:

\sigma_y = \frac{M_x }{Z_x}

Из последнего уравнения можно определить изгибающий момент, вызывающий полную деформацию поперечного сечения, обычно называемый пластическим моментом. 93 .

Радиус вращения

Радиус вращения R_g поперечного сечения относительно оси определяется по формуле:

R_g = \sqrt{\frac{I}{A}}

где I момент инерции поперечного сечения вокруг той же оси и A его площади. Размеры радиуса вращения [Длина]. Он описывает, насколько далеко от центра тяжести распределена область. Малый радиус указывает на более компактное сечение. Круг — это форма с минимальным радиусом вращения по сравнению с любым другим сечением той же площади A.

Формулы неравнополочного двутаврового сечения

В следующей таблице перечислены основные формулы, относящиеся к механическим свойствам неравнополочного двутаврового сечения (также называемого двутавровым сечением).