Формула амплитуды колебаний пружинного маятника: Формулы пружинного маятника в физике

alexxlab | 26.06.1973 | 0 | Разное

Содержание

Пружинный маятник, формулы и примеры

Определения и формулы пружинного маятника

Рис.1. Пружинный маятник: а) в положении равновесия; б) в состоянии колебаний

Когда пружина не деформирована, тело находится в положении равновесия (рис.1,а). Если растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, на него будет действовать сила упругости со стороны деформированной пружины. Эта сила направлена к положению равновесия и в данном случае является возвращающей силой.

Сила упругости в пружинном маятнике

Сила упругости пропорциональна смещению тела (удлинению пружины):

здесь — коэффициент жесткости пружины.

В положении, соответствующем максимальному отклонению тела от положения равновесия (смещение тела равно амплитуде колебаний) сила упругости максимальна, поэтому максимально и ускорение тела. По мере приближения тела к положению равновесия удлинение пружины уменьшается, и, следовательно, уменьшается ускорение тела, которое обусловлено силой упругости.

Достигнув положения равновесия, тело не остановится, хотя в этот момент сила упругости равна нулю. Скорость тела в момент прохождения им положения равновесия имеет максимальное значение, и тело по инерции будет двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости будет тормозить тело, так как теперь она направлена в сторону, противоположную движению тела. Дойдя до крайнего положения, тело остановится и начнет движение в противоположном направлении. Движение тела будет повторяться в описанной последовательности.

Таким образом, причинами свободных колебаний пружинного маятника является сила упругости деформированной пружины (возвращающая сила) и инертность тела.

Период свободных колебаний пружинного маятника

Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Гармонические колебания пружинного маятника

Рассмотрим систему, которая состоит из:

упругой спиральной пружины,

очень небольшого тела массы $m$.2y=0(4).$

Функция вида:

$y=y_m\cos (\omega t+\delta) (5),$

где $y_m$ – амплитуда колебаний (максимальное смещение груза от положения равновесия), является решением уравнения (4) при любых постоянных значениях $y_m$ и $\delta$.

Частота и период колебаний пружинного маятника

Груз на пружине выполняет гармонические колебания:

круговая (циклическая) частота которых равна:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}(6)$
период колебаний составляет:
$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}(7).$
частота колебаний его:

$\nu=\frac{1}{T}=\frac {\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}(8).$

Мы видим в (7), что период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды. Данное свойство колебаний называют изохронностью. Колебания пружинного маятника являются изохронными, пока выполняется закон Гука. Если растяжения становятся большими, то закон Гука будет нарушаться, тогда возникает зависимость периода колебаний от амплитуды.2 (16).$

Выражение (5) является решением дифференциального уравнения (15), если круговая частота колебаний определятся при помощи выражения (6), амплитуда – формулой (16). Так, если задана полная механическая энергия $E$, то амплитуда колебаний ($y_m$) не является произвольной величиной. При этом произвол имеется только в определении начальной фазы колебаний $\delta$, которую определяют начальные условия. Чтобы определить $\delta$ достаточно одного начального условия:

либо нужно иметь начальное смещение;
либо начальную скорость.

Наличие в решении единственной произвольной константы связывают с тем, что уравнение (15) является дифференциальным уравнением первого порядка по времени.

Заметим, что энергию в уравнении (15) можно рассматривать как параметр, принимающий любые значения большие нуля, которые определяют начальные условия колебаний. В этом случае уравнение (15) считают эквивалентным уравнению (4).

На основе закона сохранения энергии (15) сделаем следующие выводы:

Наибольшая кинетическая энергия пружинного маятника равна его наибольшей энергии потенциальной энергии.2}{4}(19)$.
Сравнивая (18) и (19) мы видим, что:
$U_{sr}= E_{k,sr}=\frac {1}{2}E$.

Как найти амплитуду колебаний пружинного маятника

1. Жесткость пружинного маятника 8000 Н/м. Чему равен период и частота его колебаний?

2. Два одинаковых пружинных маятника колеблются с амплитудами – 3 и 6 см. Как различаются периоды их колебаний?

3. Пружинный маятник совершил 15 колебаний за одну минуту. Каковы период и частота колебаний?

4. Координаты пружинного маятника изменяются по закону

Чему равны амплитуда, период и частота колебаний. В формуле все величины выражены в системе СИ.

Краткая теория:

Пружинный маятник – это груз, колеблющийся на пружине. Он соверщает возвратно-поступательное движение. Пружинный маятник подчиняется законам движения, по которым можно определить период его колебаний, зная массу груза и жесткость пружины. Период колебаний пружинного маятника не зависит от места его расположения и амплитуды колебаний.

Формулы для решения :

Алгоритм решения типовой задачи:

1. Кратко записываем условие, изображаем его графически. На рисунке обозначаем необходимые данные: силы, действующие на маятник, направление его движения и другие.
2. Записываем основную формулу для определения периода колебаний пружинного маятника и другие необходимые формулы колебательного движения. Определяем, какие величины надо найти из других механических соотношений, записываем их.

3. Решаем полученные уравнения в общем виде.
4. Подставляем данные, вычисляем. Перед подстановкой переводим все данные в единую систему.
5. Записываем ответ.

Примеры решения:

Задача 1.

Масса груза пружинного маятника 0,5 кг, жесткость пружины 8000 Н/м. Чему равен период и частота его колебаний?

1. Кратко записываем условие, изображаем его графически.

2. Записываем основную формулу для определения периода колебаний пружинного маятника и соотношение между периодом и частотой колебаний.

3. Решаем полученные уравнения в общем виде. Формулы сразу дают общее решение.

4. Подставляем данные, вычисляем.

5. Ответ: Частота колебаний примерно 20 герц, их период – 0,05 секунды.

Задача 2.

Два одинаковых пружинных маятника колеблются с амплитудами – 3 и 6 см. Как различаются периоды их колебаний?

1. Кратко записываем условие, изображаем его графически.

2. Записываем основную формулу для определения периода колебаний пружинного маятника.

3. Решаем полученные уравнения в общем виде.

4. Подставляем данные, вычисляем.

5. Ответ: Период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды.

Задача 3.

Пружинный маятник совершил 15 колебаний за одну минуту. Каковы период и частота колебаний?

1. Кратко записываем условие, изображаем его графически.

2. Частота колебаний – это их количество в единицу времени. Единица времени в системе СИ – секунда. Значит, надо просто найти количество колебаний в секунду. Для этого количество колебаний в минуту надо разделить на 60, так как в минуте 60 секунд.

Период – величина, обратная частоте.

3. Решаем полученные уравнения в общем виде. Формулы сразу дают общее решение.

4. Подставляем данные, вычисляем.

5. Ответ: период колебаний равен 4 секундам, их частоту – 0,25 герца.

Задача 4.

Координаты пружинного маятника изменяются по закону

Чему равны амплитуда, период и частота колебаний. В формуле все величины выражены в системе СИ.

1. Кратко записываем условие, изображаем его графически.

2. Записываем общее уравнение гармонического колебания. Сравниваем заданное уравнение движения маятника с общим уравнением.

3. Из сравнения получаем:

Отсюда легко вычисляется частота и период колебаний.

4. Подставляем данные, вычисляем

5. Ответ: Амплитуда колебаний равна 0,5 метра, период – четырем секундам, частота – 0,25 Гц.

Механическими колебаниями называются движения, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Гармоническими называются колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (или косинуса).

Пружинный маятник – это колебательная система, состоящая из груза массой т

, закрепленного на пружине, совершающая гармонические колебания под действием упругой силы , зависящей от величины линейной деформации x по закону Гука (F_x= – kx, где k – жесткость пружины.

Согласно второму закону Ньютона уравнение движения маятника:

Так как ускорение a является второй производной от смещения x (), то

или .

Если обозначить , то получим дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний пружинного маятника:

Решением этого дифференциального уравнения является функция x(t):

где – отклонение тела от положения равновесия в момент времени t;

А – амплитуда колебания, то есть максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия;

w_{– круговая (циклическая) частота;}

j_{– начальная фаза колебания.
Круговая частота , где Т – период колебаний: .
Кинетическая энергия колебаний пружинного маятника:
.
Потенциальная энергия колебаний пружинного маятника:
.
Полная энергия колебаний пружинного маятника:
,
откуда видно, что полная энергия свободных незатухающих гармонических колебаний пружинного маятника остается со временем постоянной.
Свободные затухающие гармонические колебания пружинного маятника (рис. 6). Для пружинного маятника массой т, совершающего колебания под действием упругой силы (F_x = – kx)с учетомсилы сопротивления , пропорциональной скорости движения груза (), второй закон Ньютона имеет вид:
,
где r – коэффициент сопротивления.
Обозначив и ( – коэффициент затухания), получим дифференциальное уравнение свободных затухающих гармонических колебаний пружинного маятника:
.
Решением этого дифференциального уравнения в случае малых затуханий
является функция x(t):
,
где – амплитуда затухающих колебаний в момент времени t;
– начальная амплитуда, т.е. амплитуда в момент времени t = 0,
– круговая (циклическая) частота:
Период затухающих гармонических колебаний пружинного маятника:
.
Декремент затухания. Если A(t)и А(t+Т) – амплитуды двух последовательных колебаний (рис. 6), то отношение этих величин называется декрементом затухания .
Логарифм называется логарифмическим декрементом затухания :
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10138 – | 7770 – или читать все.
78.85.5.182 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Пружинный маятник представляет собой материальную точку массой , прикрепленную к абсолютно упругой невесомой пружине с жесткостью . Различают два наиболее простых случая: горизонтальный (рис.15,а) и вертикальный (рис.15, б) маятники.
а) Горизонтальный маятник (рис. 15,а). При смещении груза из положения равновесия на величину на него действует в горизонтальном направлениивозвращающая упругая сила (закон Гука).
Предполагается, что горизонтальная опора, по которой скользит груз при своих колебаниях, абсолютно гладкая (трения нет).
б) Вертикальный маятник (рис.15, б). Положение равновесия в этом случае характеризуется условием:
где – величина упругой силы, действующей на груз при статическом растяжении пружины на под действием силы тяжести груза.
Рис.15. Пружинный маятник: а – горизонтальный и б – вертикальный
Если растянуть пружину и отпустить груз, то он начнет совершать вертикальные колебания. Если смещение в какой-то момент времени будет , то сила упругости запишется теперь как .
В обоих рассмотренных случаях пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом
(27)
и циклической частотой
_. (28)
На примере рассмотрения пружинного маятника можно сделать вывод о том, что гармонические колебания – это движение, вызванное силой, возрастающей пропорционально смещению . Таким образом, если возвращающая сила по виду напоминает закон Гука (она получила название квазиупругой силы), то система должна совершать гармонические колебания. В момент прохождения положения равновесия на тело не действует возвращающая сила, однако, тело по инерции проскакивает положение равновесия и возвращающая сила меняет направление на противоположное.
Математический маятник
Рис.16. Математический маятник
Математический маятник представляет собой идеализированную систему в виде материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной , которая совершает малые колебания под действием силы тяжести (рис. 16).
Колебания такого маятника при малых углах отклонения (не превышающих 5º) можно считать гармоническими, и циклическая частота математического маятника:
, (29)
. (30)
2.3. Энергия тела при гармонических колебаниях
Энергия, сообщенная колебательной системе при начальном толчке, будет периодически преобразовываться: потенциальная энергия деформированной пружины будет переходить в кинетическую энергию движущегося груза и обратно.
Пусть пружинный маятник совершает гармонические колебания с начальной фазой , т.е.(рис.17).
Рис.17. Закон сохранения механической энергии
при колебаниях пружинного маятника
При максимальном отклонении груза от положения равновесия полная механическая энергия маятника (энергия деформированной пружины с жесткостью ) равна . При прохождении положения равновесия () потенциальная энергия пружины станет равной нулю, и полная механическая энергия колебательной системы определится как .
На рис.18 представлены графики зависимостей кинетической, потенциальной и полной энергии в случаях, когда гармонические колебания описываются тригонометрическими функциями синуса (пунктирная линия) или косинуса (сплошная линия).
Рис.18. Графики временной зависимости кинетической
и потенциальной энергии при гармонических колебаниях
Из графиков (рис.18) следует, что частота изменения кинетической и потенциальной энергии в два раза выше собственной частоты гармонических колебаний.
Гармонические колебания — формулы, законы, примеры
Механические колебания
Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.
Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.
Свободные колебания
Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.
Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.
Вынужденные колебания
А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.
Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.
Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.
Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.
Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.
Автоколебания
Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.
У автоколебательной системы есть три важных составляющих:
сама колебательная система
источник энергии
устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой
Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.
Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний
Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.
Формула периода колебаний
T = t/N
T — период [с]
t — время [с]
N — количество колебаний [-]
Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.
Формула частоты
ν = N/t = 1/T
ν — частота [Гц]
t — время [с]
T — период [с]
N — количество колебаний [-]
Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо xmax.
Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Гармонические колебания
Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:
Уравнение гармонических колебаний
x = xmaxcos(2πνt)
x — координата в момент времени t [м]
xmax— амплитуда [м]
ν — частота [Гц]
t — момент времени [с]

π=3,14
2πνtв этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ
Фаза колебаний
φ =2πνt

φ — фаза [рад]
xmax— амплитуда [м]
ν — частота [Гц]
t — момент времени [с]

π=3,14
Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.
На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.
На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.
В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линии.
Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Математический маятник
Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.2]
На планете Земля g = 9,8 м/с2
π=3,14
Пружинный маятник
Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.
В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника

T — период [с]
m — масса маятника [кг]
k — жесткость пружины [Н/м]

π=3,14
Закон сохранения энергии для гармонических колебаний
Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.
Рассмотрим его на примере математического маятника.
Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальна.

Колебания груза на пружине — урок. Физика, 9 класс.
Механическая колебательная система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) $k$, один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы $m$, называется пружинным маятником.

Рассмотрим простейший пружинный маятник — движущееся по горизонтальной плоскости твёрдое тело (груз), прикреплённое пружиной к стене. Допустим, что силы трения не оказывают существенного влияния на движение груза.
Первоначально пружина не деформирована (не растянута и не сжата), поэтому никакие силы в горизонтальном направлении на груз не действуют. Точка О — положение равновесия груза.
Переместим груз вправо. Пружина при этом растянется, и в ней возникнет сила упругости, направленная влево, к положению равновесия, и по модулю равная:

Fупр=kx=kA,

где $x=A$ — максимальное (амплитудное) отклонение груза от положения равновесия.

Если отпустить груз, то под действием силы упругости он начнёт ускоренно перемещаться влево, к точке $О$, по мере приближения к которой скорость груза будет возрастать от нуля до некоторого максимального значения. При приближении к точке равновесия деформация пружины уменьшается, а значит, уменьшается и сила упругости. Так как груз имеет скорость при прохождении положения равновесия, то он по инерции продолжает свое движение влево. Теперь пружина начинает сжиматься (деформация сжатия), что приводит к возникновению силы упругости, направленной вправо, т.е. к положению равновесия. По мере возрастания степени деформации пружины сила растет и все больше тормозит движение груза. В конце концов, груз останавливается.
Но сила упругости, направленная к точке $О$, будет продолжать действовать, поэтому груз вновь придёт в движение в обратную сторону, вправо, и на обратном пути его скорость будет возрастать от нуля до максимального значения в точке $О$.
Движение груза от точки $О$ к крайней правой точке снова приведёт к растяжению пружины, опять возникнет сила упругости, направленная к положению равновесия и замедляющая движение груза до полной его остановки.
Мы описали одно полное колебание.
В каждой точке траектории, кроме положения равновесия, на груз действует сила упругости пружины, которая направлена к положению равновесия.
Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:

ma=−kx, откуда

a=−kmx — ускорение пружинного маятника.
Обрати внимание!
Данная формула справедлива и для вертикального пружинного маятника, в котором действуют сила тяжести груза и сила упругости пружины.
Обрати внимание!
Ускорение тела, колеблющегося на пружине, не зависит от силы тяжести, действующей на это тело. Сила тяжести только приводит к первоначальному изменению (смещению вниз) положения равновесия.
Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле Гюйгенса:

T=2πmk, где

$m$ — масса груза,
$k$ — коэффициент жёсткости пружины.
Пружинные маятники широко используются в качестве акселерометра в системах управления баллистических ракет, контактных взрывателях артиллерийских и авиационных боеприпасов и т. п.
Акселерометр (лат. accelero — «ускоряю» и др.-греч. μετρέω — «измеряю») — прибор, измеряющий проекцию кажущегося ускорения (разности между истинным ускорением объекта и гравитационным ускорением). Как правило, акселерометр представляет собой чувствительную массу, закреплённую в упругом подвесе. Отклонение массы от её первоначального положения при наличии кажущегося ускорения несёт информацию о величине этого ускорения.

На рисунке — схема простейшего акселерометра. Груз закреплён на пружине. Демпфер подавляет колебания груза. Чем больше кажущееся ускорение, тем сильнее деформируется пружина, изменяя показания прибора.
Физика – 10
Уравнение (4.12) показывает, что колебания пружинного маятника с циклической частотой ω являются свободными гармоническими колебаниями. Из математики известно, что решением этого уравнения является: x = x_mcos(ωt + φ₀).
Так как тригонометрическая функция является гармонической функцией, то и колебания пружинного маятника являются гармоническими колебаниями.
Здесь ωt + φ₀ = φ фаза колебания, φ⁰ – начальная фаза. Единица измерения фазы в СИ – радиан (1 рад). Фазу также можно измерять в градусах: π (рад) = 180°.
Значение начальной фазы зависит от выбора начального момента времени. Начальный момент времени можно выбрать так, чтобы φ₀ = 0. В этом случае формулу гармонических колебаний пружинного маятника можно записать так: x = x_m cosωt или x = x_m sinωt. (4.13)
Из сравнения выражений (4.11) и (4.5) определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний пружинного маятника:
Из выражений (4.14) и (4.15) видно, что период и частота пружинного маятника зависят от жесткости пружины и массы груза, подвешенного к нему.
Исследование-2. Применение. Как изменятся период и частота колебания?
Задача. Как изменятся частота и период колебаний пружинного маятника, если амплитуду его
колебаний увеличить в 2 раза, а массу груза, подвешенного к пружине, уменьшить в 2 раза?
Обсуждение результатов:Как период и частота колебаний пружинного маятника зависят от амплитуды колебаний и
массы груза?
Применение в повседневной жизни: Какие параметры упругих рессор, связанные с осью вращения колес автомобиля, вагона и самолета, необходимо принять во внимание при их создании? Провести самооценку:Какие понятия повторили на уроке? Что из этого вы хорошо поняли, а что осталось вам не ясным?
От каких величин зависит период колебания пружинного маятника? Представьте графики этих зависимостей.
От каких величин зависит частота колебания пружинного маятника? Представьте графики этих зависимостей.
От каких величин зависит циклическая частота пружинного маятника? Представьте графики этих зависимостей.
ЧТО ВЫ УЗНАЛИ? Дайте краткое объяснение нижеприведенных понятий: “пружинный маятник”, “период колебания пружинного маятника”, “частота колебания пружинного маятника”.Колебания математического и пружинного маятника. Период колебания математического и пружинного маятника.
Урок №_____ Дата ___________________________________ Класс 9
Глава IV: Колебания.
Тема урока: Колебания математического и пружинного маятника. Период колебания математического и пружинного маятника.
Цели урока: формирование научного мировоззрения учащихся;
воспитать устойчивый интерес к предмету;
развить способности ориентироваться в основных понятия физики.
Тип урока: комбинированный.
ХОД УРОКА
Огр. момент.
Проверка домашнего задания.
Объяснение нового материала.
КОЛЕБАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ПРУЖИННОГО МАЯТНИКОВ. Устройства, в которых могут осуществляться колебательные процессы, называются колебательными системами. Рассмотрим колебания простейшей из таких систем — математического маятника. Математическим маятником называют тяжелый шарик малого размера, подвешенный на длинной, невесомой, нерастяжимой нити.
Математический маятник обладает всеми признаками колебательной системы. Если его отклонить от положения равновесия, то он будет возвращаться в него под действием равнодействующей силы. Из наблюдений над подобными маятниками можно установить следующие простые законы:
Если, сохраняя одну и ту же длину маятника, подвешивать разные грузы, то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит, от массы груза.
Если при пуске маятника отклонять его на разные (но не слишком большие) углы, то он будет колебаться с одним и тем
же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока не слишком велики амплитуды, колебания достаточно близки по своей форме к гармоническим. Период математического маятника не зависит от амплитуды, колебаний.
Независимость периода колебаний груза на нити и груза на пружине от амплитуды колебаний открыл в 1583 г. выдающийся итальянский физик и астроном Галилео Галилей. Это открытие является одним из первых замечательных законов механических колебаний. Согласно легенде, Галилей сделал это открытие в соборе, наблюдая колебания люстры. В качестве часов он использовал собственный пульс. В течение богослужения размахи качаний постепенно затухали, т. е. амплитуда колебаний уменьшалась, но период оставался одним и тем же. Доказав на опыте, что период колебаний маятника не зависит от его амплитуды, Галилей предложил использовать маятники для измерения времени, т. е. в часах. Спустя более 70 лет, в 1656 г., X. Гюйгенс осуществил эту идею и сконструировал первые маятниковые часы. Это свойство маятников получило название изохронность (от греч. изос — “равный, постоянный”, хронос — “время”).
3. Если повторим опыт, меняя длину маятника, то убедимся в том, что период колебаний зависит от длины маятника. Итак, чем длиннее маятник, тем больше период колебаний. И наоборот, чем короче маятник, тем меньше период колебаний.
Выведем формулу для периода колебаний математического маятника. При колебании маятника груз движется ускоренно по дуге АВ под действием возвращающей, т. е. равнодействующей, силы F . Величина этой силы меняется при движении. Расчет движения тела под действием такой непостоянной силы довольно сложен. Поэтому мы для упрощения поступим следующим образом. Заставим маятник совершать не колебание в одной плоскости, а описывать конус так, чтобы груз двигался по окружности (рис. 85).
Период обращения маятника равен периоду его колебаний:
Т_об=Т_к =Т.
Период обращения конического маятника равен длине описываемой грузом окружности, деленной на скорость:T=2πR/v
Если угол отклонения от вертикали невелик (малые амплитуды), то можно считать, что равнодействующая сила направлена по радиусу окружности ВС. В этом случае она равна центростремительной силе: F=mv²/R
Подставив эти значения в выражение периода Т, находим: T=2π√l/g
Итак, период математического маятника зависит только от ускорения свободного падения g и длины маятника l. Из полученной формулы следует, что период колебания маятника не зависит от его массы и амплитуды (при условии, что она достаточно мала), а зависит только от длины маятника / и ускорения свободного падения g. Зависимость периода колебаний маятника от ускорения свободного падения используется на практике для точных измерений ускорения свободного падения в разных точках поверхности Земли. Так как основной деталью таких приборов является маятник, то их называют маятниковыми приборами. Для измерения ускорения свободного падения в нужном месте на поверхности Земли устанавливают маятниковый прибор и измеряют период Т колебаний маятника. По найденному значению периода и известной длине / маятника вычисляется ускорение свободного падения в данном месте. По результатам измерений ускорения свободного падения можно обнаружить районы залегания полезных ископаемых. В тех местах, где имеются полезные ископаемые, плотность вещества которых выше, чем средняя плотность земной коры (например, залежи железной руды), g имеет повышенное значение. Скопления нефти и газа под землей связаны с пористыми породами пониженной плотности, поэтому над нефтяными и газовыми месторождениями g имеет пониженное значение. Другими словами, мы получили путем расчетов основные законы, которые были установлены ранее из наблюдений. Рассмотрим теперь колебания груза, подвешенного на пружине. Такую простейшую колебательную систему называют пружинным маятником. Если пружина сжата или растянута на длину I, то возникает сила F, возвращающая тело в положение равновесия. Если величина растяжения х = 1-1₀ мала, то эта сила пропорциональна растяжению пружины, т. е. по закону Гука
F= –kx.
Используя второй закон Ньютона, уравнение движения тела можно записать в следующем виде: та =-kx, отсюда а =-kx/m . Чем больше величина смещения х, тем больше ускорение, т. е. максимальному смещению соответствует максимальное ускорение. Если частота v гармонических колебаний показывает число колебаний в 1 с, то циклическая частота со равна числу колебаний маятника за 2 πс, т. е.
ω= 2 πv = 2π/T.
Тогда ma=-mω²x . Сравнивая это выражение с уравнением движения, получим: – тω^гх =-kx, отсюда ω=√k/m. Если учесть, что ω=2π/T, то период колебания пружинного маятника будет равен:T=2π√m/k. Полученный результат показывает, что период колебаний, возникающих под действием силы упругости, не зависит от амплитуды. Таким образом, период колебаний пружинного маятника зависит только от массы груза и жесткости пружины.
Заключение.
1. Что называют периодом колебаний маятника?
2. Что называют частотой колебаний маятника? Какова единица частоты колебаний?
3. От каких величин и как зависит период колебаний математического маятника?
4. От каких величин и как зависит период колебаний пружинного маятника?
5. Какие колебания называют собственными?
Задание 23
1. Каков период колебаний маятника, если 20 полных колебаний он совершает за 15 с?
2. Чему равна частота колебаний, если период колебаний равен 0,25 с?
3. Какой должна быть длина маятника в маятниковых часах, чтобы период его колебаний был равен 1 с? Считать g = 10 м/с2; p2 = 10.
4. Чему равен период колебаний маятника, длина нити которого равна 28 см, на Луне? Ускорение свободного падения на Луне 1,75 м/с2.
5. Определите период и частоту колебаний пружинного маятника, если жесткость его пружины равна 100 Н/м, а масса груза 1 кг.
6. Во сколько раз изменится частота колебаний автомобиля на рессорах, если в него положить груз, масса которого равна массе ненагруженного автомобиля?
Домашнее задание.
Читать §28.
Подведение итога урока.
Гармоническое движение
Гармоническое движение Гармоническое движение
Говорят, что объект, движущийся по оси x, проявляет простое гармоническое движение , если его положение как функция времени изменяется как
x (t) = x ₀ + A cos (ωt + φ).
Объект колеблется около положения равновесия x ₀. Если мы
выберите начало нашей системы координат так, чтобы x ₀ = 0, тогда
смещение x из положения равновесия как функция времени определяется выражением
x (t) = A cos (ωt + φ).
А – амплитуда колебаний,
т.е. максимальное смещение объекта из равновесия, либо в
положительное или отрицательное направление оси x. Простое гармоническое движение повторяется. В период T – время, необходимое объекту для
совершить одно колебание и вернуться в исходное положение. В Угловая частота ω определяется как ω = 2π / T.
Угловая частота измеряется в радианах в секунду.Обратное
период – частота f = 1 / T. В
частота f = 1 / T = ω / 2π движения дает количество полных колебаний
в единицу времени. Он измеряется в герцах (1 Гц = 1 / с).
Скорость объекта как функция времени определяется как
. v (t) = -ω A sin (ωt + φ),
, а ускорение –
. a (t) = -ω ² A cos (ωt + φ) = -ω ² x.
Величина φ называется фазовой постоянной .
Он определяется начальными условиями движения. Если при t = 0
объект имеет максимальное смещение в положительном направлении оси x, тогда φ = 0, если
он имеет максимальное смещение в отрицательном направлении оси x, тогда φ = π. Я толстый
t = 0 частица движется через положение равновесия с максимальным
скорость в отрицательном направлении оси x, то φ = π / 2. Величина ωt + φ равна
называется этап .
На рисунке ниже положение и скорость отложены как функция времени.
для колебательного движения с периодом 5 с. Амплитуда и максимум
скорость имеют произвольные единицы. Положение и скорость не в фазе . Скорость равна нулю при максимальном смещении, и
смещение равно нулю при максимальной скорости.

Для простого гармонического движения ускорение a = -ω ² x равно
пропорционально перемещению, но в противоположном направлении.Простой
гармоническое движение – это ускоренное движение . Если объект демонстрирует простое гармоническое движение, сила должна действовать на
объект. Сила
F = ma = -mω ² x.
Он подчиняется закону Гука , F = -kx, с k = mω ².
Ссылка:
Простой
гармоническое движение (Youtube)
Сила пружины подчиняется закону Гука. Предположим, что объект
прикреплен к пружине, которая растягивается или сжимается.Тогда пружина проявляет
сила на объекте. Эта сила пропорциональна перемещению x
пружина из положения равновесия и находится в направлении, противоположном
смещение.
F = -kx
Предположим, что пружина растягивается на расстояние A от положения равновесия, а затем отпускается. Объект
прикрепленный к пружине, ускоряется по мере движения назад к положению равновесия.
a = – (к / м) x
Он набирает скорость по мере продвижения к положению равновесия, потому что его
ускорение происходит в направлении его скорости.Когда он находится в состоянии равновесия
положение, ускорение равно нулю, но объект имеет
максимальная скорость. Он выходит за пределы положения равновесия и начинает замедляться.
вниз, потому что ускорение теперь в направлении, противоположном направлению
его скорости. Пренебрегая трением, он останавливается, когда пружина
сжимается на расстояние A, а затем ускоряется обратно к равновесию
позиция. Он снова проскакивает и останавливается в исходном положении, когда
пружина растягивается на расстояние А.Движение повторяется. Объект
колеблется вперед и назад. Он выполняет простое гармоническое движение. Угловой
частота движения
ω = √ (к / м),
период
Т = 2π√ (м / к),
и частота
f = (1 / (2π)) √ (к / м).
Резюме:
Если единственная сила, действующая на объект с массой m, – это сила закона Гука,
F = -kx
тогда движение объекта является простым гармоническим движением.
Поскольку x – смещение от равновесия, имеем
x (t) = Acos (ωt + φ),
v (t) = -ωAsin (ωt + φ),
a (t) = -ω ² Acos (ωt + φ) = -ω ² x.
ω = (к / м) ^½ = 2πf = 2π / T.
A = амплитуда
ω = угловая частота
f = частота
T = период
φ = фазовая постоянная
Проблема:
Частица колеблется с простым гармоническим движением, так что ее
смещение изменяется согласно выражению x = (5 см) cos (2t + π / 6)
где x в сантиметрах, а t в секундах.При t = 0 найти
(а) смещение частицы,
(б)
его скорость и
(c) его ускорение.
(d) Найдите период и амплитуду движения.
Решение:
Рассуждение:
Анализируйте простое гармоническое движение.
x (t) = A cos (ωt + φ). A = амплитуда, ω = угловая частота,
φ = фазовая постоянная.
v (t) = -ω A sin (ωt + φ), a (t) = -ω ² A cos (ωt + φ) = -ω ² x.
Детали расчета:
(а) Смещение как функция времени: x (t) = Acos (ωt +
φ).Здесь ω = 2 / с, φ = π / 6, A = 5 см.
Смещение при t = 0 составляет x (0) = (5 см) cos (π / 6) = 4,33 см.
(b) Скорость при t = 0 равна v (0) = -ω (5 см) sin (π / 6) = -5 см / с.
(c) Ускорение при t = 0 равно a (0) = -ω ² (5
см) cos (π / 6) = -17,3 см / с ².
(d) Период движения T =
2π / ω = π s, а амплитуда 5
см.
Проблема:
Частица массой 20 г движется простым гармоническим движением с частотой 3
колебаний в секунду и амплитудой 5 см.
(a) На какое общее расстояние перемещается частица за один цикл
его движение?
(b) Какова его максимальная скорость? Где это происходит?
(c) Найдите максимальное ускорение частицы. Где в движении
максимальное ускорение происходит?
Решение:
Рассуждение:
Проанализируйте простое гармоническое движение, x (t) = A cos (ωt + φ).
Детали расчета:
(а) Общее расстояние d, на которое частица перемещается за один цикл, равно
от x = -A до x = + A и обратно до x = -A, поэтому d = 4A = 20 см.
(б) Максимальная скорость частицы составляет
в _макс. = ωA = 2πfA = 2π 15 см / с =
0,94 м / с.
Частица развивает максимальную скорость, когда проходит через
положение равновесия.
(c) Максимальное ускорение частицы составляет
a _max. = ω ² A = (2πf) ² A = 17,8 м / с ².
Частица имеет максимальное ускорение в точках поворота, где
он имеет максимальное смещение.
Предположим, что груз подвешен на вертикальной пружине с жесткостью пружины k.В
В равновесии пружина растягивается на расстояние x ₀ = мг / к. Если
масса смещается из положения равновесия вниз и пружина растягивается
дополнительное расстояние x, тогда полная сила, действующая на массу, равна mg – k (x ₀ + x) = -kx, направленная к положению равновесия. Если масса
смещен вверх на расстояние x, то полная сила, действующая на массу, равна mg – k (x ₀ – x) = kx, направленная к положению равновесия.Масса будет
выполнить простое гармоническое движение. Угловая частота ω = SQRT (k / m) такая же
для массы, колеблющейся на пружине в вертикальном или горизонтальном положении.
Но равновесная длина пружины, вокруг которой она колеблется, различна для
вертикальное положение и горизонтальное положение.
Предположим, что объект, прикрепленный к пружине, демонстрирует простое гармоническое движение. Позволять
один конец пружины прикрепите к стене и позвольте объекту двигаться горизонтально
на столе без трения.
Какова полная энергия объекта?
Кинетическая энергия объекта
K = ½ мВ ² = ½ мВт ² A ² sin ² (ωt
+ φ).
Его потенциальная энергия – это упругая потенциальная энергия. Упругий потенциал
энергия, запасенная в пружине, смещенная на расстояние x от ее положения равновесия
U = ½kx ². Таким образом, потенциальная энергия объекта составляет
. U = ½kx ² = ½mω ² x ² =
½mω ² A ² cos ² (ωt + φ).
Суммарная механическая энергия объекта
E = K + U = ½mω ² A ² (sin ² (ωt
+ φ) + cos ² (ωt + φ)) = ½mω ² A ².
Энергия E в системе пропорциональна квадрату амплитуды .
E = ½kA ².
Это постоянно меняющаяся смесь кинетической и потенциальной энергии.
Для любого объекта, совершающего простое гармоническое движение с угловой частотой ω, величина
восстанавливающая сила F = -mω ² x подчиняется закону Гука и, следовательно, является консервативная сила . Мы можем определить потенциальную энергию U = ½mω ² x ²,
а полная энергия объекта равна E = ½mω ² A ². Поскольку v _max = ωA,
мы также можем написать E = ½mv _max ².
проблема:
Частица, свисающая с пружины, колеблется с угловой частотой 2
рад / с.Пружина подвешена к потолку кабины лифта и свисает.
неподвижен (относительно автомобиля), так как автомобиль спускается с постоянной скоростью 1,5
РС. Затем машина внезапно останавливается. Пренебрегайте массой пружины.
С какой амплитудой колеблется частица?
Решение:
Рассуждение:
При движении в лифте с постоянной скоростью общая сила, действующая на
масса равна нулю. Сила, прилагаемая пружиной, равна по величине
силы тяжести на массу, пружина имеет равновесную длину
вертикальная пружина.Когда лифт внезапно останавливается, конец пружины
крепятся к потолку упоры. Однако масса имеет импульс, p = mv,
и поэтому пружина начинает растягиваться. Он движется через
равновесное положение вертикальной пружины с максимальной скоростью v _max = 1,5 м / с.
Его скорость как функция времени равна v (t) = -ωAsin (ωt + φ).
Детали расчета:
Поскольку v _max = ωA и ω = 2 / с, амплитуда амплитуды
колебания A = 0.75 м.
Проблема:
Система масса-пружина колеблется с амплитудой 3,5 см. Если сила
жесткость пружины 250 Н / м и масса 0,5 кг определяют
(а) механическая энергия системы,
(б) максимальная скорость массы, и
(c) максимальное ускорение.
Решение:
Рассуждение:
Механическая энергия системы, совершающей простое гармоническое движение, составляет E = ½kA ² = ½mω ² A ².
Детали расчета:
(а) Имеем m = 0,5 кг, A = 0,035 м, k = 250 Н / м, ω ² = к / м
= 500 / с ², ω = 22,36 / с.
Механическая энергия системы E = ½kA ² = 0,153 Дж.
(б) Максимальная скорость массы v _max. = ωA = 0,78 м / с.
(c) Максимальное ускорение – _макс. = ω ² А =
17,5 м / с ².
Простое гармоническое движение – концепции
Введение
Вы когда-нибудь задумывались, почему напольные часы показывают точное время? Движение маятника – это особый вид повторяющегося или периодического движения, называемого простым гармоническим движением или SHM.Положение колеблющегося объекта изменяется синусоидально со временем. Многие объекты колеблются взад и вперед. Движение ребенка на качелях можно приблизительно представить как синусоидальное и, следовательно, рассматривать как простое гармоническое движение. Некоторые сложные движения, такие как турбулентные волны на воде, не считаются простым гармоническим движением. Когда объект находится в простом гармоническом движении, можно легко определить скорость, с которой он колеблется взад и вперед, а также его положение относительно времени.В этой лабораторной работе вы проанализируете простой маятник и систему пружина-масса, которые демонстрируют простое гармоническое движение. Обсуждение принципов
Частица, которая колеблется вертикально в простом гармоническом движении, перемещается вверх и вниз между двумя крайними точками y = ± A . Максимальное смещение A называется амплитудой . Это движение показано графически на графике зависимости положения от времени на рисунке 1. Одно полное колебание или цикл или колебание – это движение, например, от y = −A
до y = + A
и обратно до y = −A.
Временной интервал T , необходимый для завершения одного колебания, называется периодом . Связанная величина – частота f , которая представляет собой количество колебаний, которые система делает за единицу времени. Частота обратно пропорциональна периоду и измеряется в герцах, сокращенно Гц; 1 Гц = 1 с ⁻¹.
Если частица колеблется вдоль оси y , ее положение на оси y в любой момент времени t , измеренное от начала колебания, определяется уравнением Напомним, что скорость объекта – это первая производная, а ускорение – вторая производная функции смещения по времени.Скорость v и ускорение a частицы в момент времени t определяются следующим образом. (3)
v = 2 π fA cos (2 π фут)
(4)
a = – (2 π f) ² [A sin (2 π футов)]
Обратите внимание, что скорость и ускорение также синусоидальны. Однако функция скорости имеет разность фаз 90 ° или π /2, в то время как функция ускорения имеет разность фаз 180 ° или π относительно функции смещения.Например, когда смещение является положительным максимумом, скорость равна нулю, а ускорение – отрицательному максимуму. Подстановка из уравнения 2 в уравнение 4 дает Из уравнения 5 мы видим, что ускорение объекта в SHM пропорционально смещению и имеет противоположный знак. Это основное свойство любого объекта, совершающего простое гармоническое движение. Рассмотрим несколько критических точек в цикле, как в случае колебательной системы пружина-масса. Система пружина-масса состоит из массы, прикрепленной к концу пружины, подвешенной на стойке.Масса слегка опускается и отпускается, чтобы заставить пружину и массу колебаться в вертикальной плоскости. На рисунке 2 показаны пять критических точек, когда нагрузка на пружину проходит полный цикл. Положение равновесия для системы пружина-масса – это положение массы, когда пружина не растягивается и не сжимается. Масса завершает полный цикл, перемещаясь из положения A в положение E. Описание каждой позиции приводится ниже. Положение A: пружина сжата; масса выше точки равновесия при y =
A и вот-вот будет выпущена.Положение B: Масса движется вниз, когда проходит через точку равновесия. Положение C: Груз на мгновение находится в состоянии покоя в самой нижней точке перед тем, как начать движение вверх. Положение D: Масса движется вверх, проходя через точку равновесия. Положение E: гиря на мгновение находится в состоянии покоя в наивысшей точке, прежде чем снова двинуться вниз. Отметив время, когда отрицательное максимальное, положительное максимальное и нулевое значения возникают для положения, скорости и ускорения колеблющегося объекта, вы можете построить график функции синуса (или косинуса).Это сделано для случая колеблющейся системы пружина-масса в таблице ниже, а три функции показаны на рисунке 3. Обратите внимание, что положительное направление обычно выбирается как направление, в котором пружина растягивается. Следовательно, положительное направление в этом случае – вниз, а исходное положение A на фиг. 2 фактически является отрицательным значением. Самый сложный параметр для анализа – это ускорение. Это помогает использовать второй закон Ньютона, который говорит нам, что отрицательное максимальное ускорение происходит, когда результирующая сила равна отрицательному максимуму, положительное максимальное ускорение происходит, когда результирующая сила равна положительному максимуму, и ускорение равно нулю, когда результирующая сила равна нулю.Для этого конкретного начального условия (начальное положение в точке A на рисунке 2) кривая положения является функцией косинуса (фактически отрицательной функцией косинуса), кривая скорости является функцией синуса, а кривая ускорения является просто отрицательной функцией кривой положения. . Масса и пружина
Масса, подвешенная на конце пружины, растянет ее на некоторое расстояние . Сила, с которой пружина тянет вверх груз, определяется формулой Гук ‘ s закон где k, – жесткость пружины, а y – растяжение пружины при приложении к ней силы F .Константа пружины k является мерой жесткости пружины. Жесткость пружины можно определить экспериментально, позволив грузу неподвижно висеть на пружине, а затем добавив дополнительную массу и записав дополнительное растяжение пружины, как показано ниже. На рисунке 4а подвеска груза подвешена к концу пружины. На рисунке 4b к подвеске была добавлена дополнительная масса, и теперь пружина выдвинута на величину Δy.
Эта экспериментальная установка также показана на фотографии устройства на рисунке 5.Когда масса неподвижна, ее ускорение равно нулю. Следовательно, согласно второму закону Ньютона, результирующая сила должна быть равна нулю. На массу действуют две силы: сила тяжести, направленная вниз, и сила пружины, направленная вверх. См. Диаграмму свободного тела на Рисунке 6 ниже. Итак, второй закон Ньютона дает нам где Δm
– изменение массы, Δy
– изменение растяжения пружины, вызванное изменением массы, g, – ускорение свободного падения, и k – жесткость пружины.Уравнение 7 также можно выразить как Второй закон Ньютона, примененный к этой системе, равен ma = F = −ky.
Подставим из уравнения 5 a = −4 π ² f ² y.
для разгона получить (9)
м (−4 π ² f ² y) = −ky
откуда получаем выражение для частоты f и периода T . (10)
f =
(11)
Т = 2 π
Используя уравнение 11, мы можем предсказать период, если мы знаем массу пружины и ее жесткость.В качестве альтернативы, зная массу на пружине и экспериментально измеряя период, мы можем определить жесткость пружины. Обратите внимание, что в уравнении 11 связь между T и m не является линейной. График зависимости периода от массы не будет прямой линией. Если возвести в квадрат обе части уравнения 11, мы получим Теперь график зависимости T ²
от м будет прямой, а жесткость пружины можно определить по наклону. Простой маятник
Другой пример простого гармонического движения, который вы исследуете, – это простой маятник . Простой маятник состоит из массы м , называемой бобом маятника, прикрепленной к концу веревки. Длина L простого маятника измеряется от точки подвешивания струны до центра боба, как показано на Рисунке 7 ниже. Если боб перемещен из положения покоя на некоторый угол смещения θ , как на рисунке 8, возвращающая сила вернет боб обратно в положение равновесия.Силы, действующие на боб, – это сила тяжести и сила натяжения струны. Сила натяжения струны уравновешивается составляющей силы тяжести, которая соответствует струне (то есть перпендикулярна движению боба). Возвращающей силой здесь является тангенциальная составляющая гравитационной силы. Когда мы применяем тригонометрию к меньшему треугольнику на рисунке 8, мы получаем величину возвращающей силы | F | = мг sin θ .Эта сила зависит от массы боба, ускорения свободного падения g и синуса угла, на который натянута струна. Снова должен применяться второй закон Ньютона, поэтому (13)
ма = F = −mg sin θ
где отрицательный знак означает, что возвращающая сила действует противоположно направлению движения боба. Поскольку боб движется по дуге окружности, угловое ускорение определяется как α = a / L.
Из уравнения 13 получаем На рисунке 9 синяя сплошная линия представляет собой график зависимости sin ( θ ) от θ , а прямая линия представляет собой график θ в градусах по сравнению с θ в радианах. Для малых углов эти две кривые почти неразличимы. Следовательно, пока смещение θ мало, мы можем использовать приближение sin θ ≈ θ . В этом приближении уравнение 14 принимает вид Уравнение 15 показывает, что (угловое) ускорение пропорционально отрицательному значению (углового) смещения, и поэтому движение боба является простым гармоническим, и мы можем применить уравнение 5 a = −4 π ² f ² г.
получить Комбинируя уравнение 15 и уравнение 16 и упрощая, мы получаем (17)
f =
и (18)
T = 2 π
. Обратите внимание, что частота и период простого маятника не зависят от массы. Copyright © 2013 Advanced Instructional Systems, Inc. и Государственный университет Северной Каролины | Кредиты
15.S: Колебания (Резюме) – Physics LibreTexts
Связь между частотой и периодом $$ f = \ frac {1} {T} $$
Позиция в SHM с \ (\ phi \) = 0,00 $$ x (t) = A \ cos (\ omega t) $$
Общее положение в ШМ $$ x (t) = A \ cos (\ omega t + \ phi) $$
Общая скорость в ШМ $$ v (t) = -A \ omega \ sin (\ omega t + \ phi) $$
Общее ускорение в ШМ $$ a (t) = -A \ omega ^ {2} \ cos (\ omega t + \ phi) $$
Максимальное смещение (амплитуда) ШМ $$ x_ {max} = A $$
Максимальная скорость ШМ $$ | v_ {max} | = A \ omega $$
Максимальное ускорение ШМ $$ | a_ {max} | = A \ omega ^ {2} $$
Угловая частота системы масса-пружина в ШМ $$ \ omega = \ sqrt {\ frac {k} {m}} $$
Период системы масса-пружина в ШМ $$ T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {m} {k}} $$
Частота системы масса-пружина в ШМ $$ f = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {k} {m}} $$
Энергия в системе масса-пружина в ШМ $$ E_ {Total} = \ frac {1} {2} kx ^ {2} + \ frac {1} {2} mv ^ {2} = \ frac {1} {2} kA ^ {2} $ $
Скорость движения массы в системе пружина-масса в ШМ $$ v = \ pm \ sqrt {\ frac {k} {m} (A ^ {2} – x ^ {2})} $$
Х-составляющая радиуса вращающегося диска $$ x (t) = A \ cos (\ omega t + \ phi) $$
Х-компонента скорости кромки вращающегося диска $$ v (t) = -v_ {max} \ sin (\ omega t + \ phi) $$
Х-составляющая ускорения края вращающегося диска $$ a (t) = -a_ {max} \ cos (\ omega t + \ phi) $$
Уравнение силы для простого маятника $$ \ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}} = – \ frac {g} {L} \ theta $$
Угловая частота для простого маятника $$ \ omega = \ sqrt {\ frac {g} {L}} $$
Период простого маятника $$ T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {L} {g}} $$
Угловая частота физического маятника $$ \ omega = \ sqrt {\ frac {mgL} {I}} $$
Период физического маятника $$ T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {I} {mgL}} $$
Период крутильного маятника $$ T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {I} {\ kappa}} $$
Второй закон Ньютона для гармонического движения $$ m \ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}} + b \ frac {dx} {dt} + kx = 0 $$
Решение для слабозатухающего гармонического движения $$ x (t) = A_ {0} e ^ {- \ frac {b} {2m} t} \ cos (\ omega t + \ phi) $$
Собственная угловая частота системы масса-пружина $$ \ omega_ {0} = \ sqrt {\ frac {k} {m}} $$
Угловая частота недемпфированного гармонического движения $$ \ omega = \ sqrt {\ omega_ {0} ^ {2} – \ left (\ dfrac {b} {2m} \ right) ^ {2}} $$
Второй закон Ньютона для вынужденных затухающих колебаний $$ – kx -b \ frac {dx} {dt} + F_ {0} \ sin (\ omega t) = m \ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}} $$
Решение второго закона Ньютона для вынужденных затухающих колебаний $$ x (t) = A \ cos (\ omega t + \ phi) $$
Амплитуда системы при вынужденных затухающих колебаниях $$ A = \ frac {F_ {0}} {\ sqrt {m (\ omega ^ {2} – \ omega_ {0} ^ {2}) ^ {2} + b ^ {2} \ omega ^ { 2}}} $$
15.КОЛЕБАНИЯ
15. КОЛЕБАНИЯ
Любое движение, которое повторяется через равные промежутки времени, называется гармоникой .
Движение . Частица испытывает движение простых гармоник , если ее
смещение от начала координат как функция времени дается формулой}

где x _m, [omega] и [phi] – константы, не зависящие от время.Величина x _м называется амплитудой движение и является максимальным перемещением массы. Изменяющийся во времени величина ([omega] t + [phi]) называется фазой движения а [phi] называется фазовой постоянной . Фазовая постоянная равна определяется начальными условиями. Угловая частота [омега] является характеристикой системы и не зависит от начального условия. Единица угловой частоты – рад / с.В период Т движения определяется как время, необходимое для совершить одно колебание. Следовательно, смещение x (t) должно вернуться к своему начальное значение через один период

x (t) = x (t + T)

Это эквивалентно

Используя соотношение

сразу видно, что

Количество колебаний, совершаемых за секунду, называется частота колебаний .Обозначение частоты – [ню]. и его единицей является Герц (Гц):

1 Гц = 1 колебание в секунду = 1 с ^-1

Период T и частота [nu] связаны следующим образом:

Скорость объекта, совершающего простое гармоническое движение, может быть легко рассчитывается

Положительная величина [омега] x _м называется , амплитуда скорости и максимальная скорость объекта.Обратите внимание, что фазы скорости и смещения отличаются на 90 градусов. Это означает, что скорость максимальна, когда смещение равно нулю, и наоборот. наоборот . Ускорение объекта, совершающего простое гармоническое движение. выдается

Положительная величина [омега] ² x _м – это Амплитуда ускорения a _м. Используя выражение для x (t) выражение для a (t) можно переписать как

Это показывает, что ускорение пропорционально смещению, но противоположный по знаку.Силу, действующую на массу, можно рассчитать с помощью Второй закон Ньютона

Это уравнение силы аналогично силе пружины. (Закон Гука)

F = – k x

Сравнивая эти последние два уравнения, мы заключаем, что

k = m [omega] ²

“ Простое гармоническое движение – это движение, совершаемое частицей масса m, подверженная действию силы F, которая пропорциональна перемещению частица, но противоположная по знаку. “

Система, показанная на рисунке 15.1, образует простой гармонический осциллятор. Так и будет колебаться с угловой частотой [омега], заданной

Период колебаний T равен

Полная механическая энергия простого гармонического осциллятора состоит из потенциальной и кинетической энергии. Потенциальная энергия системы задана по

Рисунок 15.1. Простой гармонический осциллятор.

Кинетическая энергия системы определяется как

Теперь можно рассчитать полную механическую энергию системы

Полная механическая энергия простого гармонического осциллятора равна константа (не зависит от времени). Однако кинетическая и потенциальная энергии – это функции времени.

Пример: торсионный маятник

Работа торсионного маятника связана с закручиванием подвесной трос.Движение, описываемое торсионным маятником, называется угловое простое гармоническое движение . Восстанавливающий момент равен

где [каппа] – постоянная, зависящая от свойств подвесной трос (его длина, диаметр и материал). Для заданного крутящего момента мы можем рассчитать угловое ускорение a

или

Сравнивая это уравнение с соотношением линейных ускорение и линейное перемещение объекта, заключаем, что

Период торсионного маятника равен
.

Пример: классический простой маятник
Классический простой маятник показан на рисунке 15.2. Он состоит из массы m, подвешенной на безмассовой струне длиной L. Силы на массу действуют гравитационная сила m g и натяжение T в нить. Радиальная составляющая гравитационной силы, m g cos ([theta]), определяет натяжение проволоки, но не изменяет движение массы. Тангенциальная составляющая гравитационной силы, m g sin ([theta]), равна всегда направлен в сторону покоя маятника. Этот компонент гравитационная сила называется возвращающей силой:

Для малых углов sin ([theta]) ~ [theta].Это показывает, что

где s – перемещение массы по дуге. Снова мы сделать вывод, что восстанавливающая сила пропорциональна смещению, и противоположного знака . Следовательно, движение – это движение гармонического осциллятора. Ускорение массы связано с перемещением s
Рисунок 15.2. Классический простой маятник.

Это сразу указывает на то, что задана угловая частота [омега] по

и, следовательно, период движения равен

Рисунок 15.3. Физический маятник.
Пример: физический маятник
В реальном мире маятники – дело непростое. В целом масса маятник не сосредоточен в одной точке, а будет распределен. На рисунке 15.3 показан физический маятник. Физический маятник приостановлен через точку О. Действие силы тяжести можно заменить действие единственной силы величиной m g, действующей на центр гравитация маятника (который равен центру масс, если ускорение свободного падения постоянно).Результирующий крутящий момент (относительно к O) дается

где h – расстояние между осью вращения и центром сила тяжести. В пределе малых углов этот крутящий момент можно переписать как

Угловое ускорение маятника a связано с крутящим моментом [тау] и инерция вращения I

Таким образом, мы заключаем, что

Это снова уравнение гармонического движения с угловым частота по

и период равный

Обратите внимание, что простой маятник – это частный случай физического маятник: h = L и I = m L ².Период колебаний равен затем присвоено

Примечание : Уравнения движения, описывающие гармоническое движение, все имеют следующий вид:

Общее решение этого дифференциального уравнения:

Это легко показать, дважды дифференцируя x (t) по время

и

Простое гармоническое движение – это частный случай, когда амплитуды A и B равны.В этом случае x (t) можно переписать как

Это уравнение описывает простое гармоническое движение с угловым частота равна [омега].
Пример: проблема 33P
Две пружины прикреплены к блоку массой m и к неподвижному поддерживает, как показано на рисунке 15.4. Покажите, что частота колебаний на поверхность без трения –
Рисунок 15.4. Задача 33П.

Когда пружина 1 растягивается на x, пружина 2 сжимается тем же расстояние. Полная сила, действующая на массу, представляет собой сумму прилагаемых сил. этими двумя источниками. Обратите внимание, что обе силы всегда указывают на одно и то же. направление.

Это похоже на уравнение движения простой гармоники осциллятор. Это уравнение можно переписать как

или

Мы заключаем, что угловая частота равна

а период T на

Пример: проблема 35P
Две пружины соединены и соединены с массой m, как показано на Рисунок 15.5. Поверхности без трения. Если каждая пружина имеет силу константа k, покажите, что частота колебаний m равна

Рисунок 15.5. Проблема 35П
Предположим, что пружинные постоянные не совпадают. Поскольку масса колеблется, пружина 1 растягивается или сжимается на расстояние x ₁; соответствующее расстояние для другой пружины называется x ₂. К Согласно третьему закону Ньютона силы, действующие друг на друга пружинами, равны по величине, но направлены в противоположные стороны.Сила пружины 1 на весну 2 выдается

Это уравнение означает, что если пружина 1 растянута (x ₁> 0) сила, прилагаемая пружиной 1 к пружине 2, имеет отрицательное значение. направление. Усилие, прилагаемое пружиной 2 к пружине 1, равно
.

Это уравнение означает, что если пружина 2 растянута (x ₂> 0) сила, прилагаемая пружиной 2 к пружине 1, указана в положительном направление.Применяя третий закон Ньютона, заключаем, что

Смещение самой массы равно
.

и, следовательно,

F ₁ – единственная сила, действующая на массу, а F ₁ равно k ₁ x ₁. Теперь можно использовать предыдущее соотношение чтобы выразить силу F ₁ через смещение x:

Мы заключаем, что две пружины с жесткостью пружины k ₁ и k ₂ и соедините, как показано на рисунке 15.5, действовать как сингл пружина с жесткостью пружины k, где k равно

До сих пор мы обсуждали системы, в которых сила пропорциональна к смещению, но указал в противоположном направлении. В этих случаях движение системы можно описать простым гармоническим движением. Однако если включив силу трения, движение больше не будет простым гармоническим. Система по-прежнему будет колебаться, но ее амплитуда будет медленно уменьшаться в течение время.
Предположим, что общая сила, действующая на массу, не только пропорциональна его смещение, но также и его скорость. Суммарная сила может быть представлена следующим образом

В этой формуле b называется постоянной демпфирования . Подставляя выражение для силы через ускорение, мы получить следующее дифференциальное уравнение

Общее решение этого дифференциального уравнения будет иметь вид

Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение, получаем

Это уравнение можно переписать как

и решения для [omega]:

Подставляя это в выражение для x (t), получаем

Мы видим, что амплитуда движения со временем постепенно уменьшается.Это также верно для кинетической энергии осциллятора. В любой момент механическую энергию осциллятора можно рассчитать, используя выражение для х (т):

Пример: проблема 87P
Генератор затухающих гармоник включает в себя блок (m = 2 кг), пружина (k = 10 Н / м) и демпфирующая сила F = – b v. Сначала она колеблется амплитудой 0,25 м; из-за затухания амплитуда падает до три четверти от первоначального значения после четырех полных циклов.а) Что такое значение b? (б). Сколько энергии теряется за эти четыре цикла?
Зависимость амплитуды колебаний от времени определяется выражением
.

Период одного колебания равен
.

Следовательно, амплитуда после 4 колебаний равна
.

Угловая частота [омега] связана с жесткостью пружины k и масса m следующим образом

Используя это выражение, получаем для b

Механическая энергия, теряемая во время этих 4 колебаний, также может быть уменьшена. легко рассчитывается

Случай гармонического осциллятора, управляемого синусоидальной переменной силой чрезвычайно важен во многих областях физики.В предыдущем в разделах мы обсудили несколько примеров гармонических осцилляторов, а для Каждой системе мы смогли рассчитать собственную частоту [omega] ₀, (например, для весны [омега] ₀ ² = к / м). Уравнение движения для осциллятор, на котором не действует демпфирующая сила и внешняя сила подано по

Предположим, что к этой системе приложена внешняя сила F (t).Внешний сила имеет амплитуду m F ₀ и угловую частоту [омега]. В уравнение движения, описывающее систему, теперь дается

Устойчивое состояние (состояние системы после любого переходные эффекты утихли) срабатывание системы будет точно на частота возбуждения. В противном случае относительная фаза между силой и ответом со временем изменится. Таким образом, стационарный отклик гармоники осциллятор находится на управляющей частоте [омега], а не на собственная частота [омега] ₀ .
Общее решение уравнения движения

Подставляя это выражение в уравнение движения, получаем

Это уравнение можно переписать с помощью некоторых тригонометрических соотношений

Это уравнение может быть выполнено только в том случае, если коэффициенты при cos ([omega] t) и sin ([omega] t) равны нулю.Это означает, что

и

Обычно A! = 0 и [omega]! = [Omega] ₀. Первый условие, чем показывает, что

Второе условие теперь можно переписать как
.

Амплитуда гармонического осциллятора равна
.

Амплитуда колебаний системы становится очень большой, если [omega] приближается к [omega] ₀.Система считается в резонанс , когда это происходит.
Отправляйте комментарии, вопросы и / или предложения по электронной почте по адресу [email protected] и / или посетите домашнюю страницу Фрэнка Вольфса.
Глава 10 Концепции
Глава 10 Концепции
Глава 10
Концептуальные вопросы: 2, 6, 11, 17, 18
| ВЕРНУТЬСЯ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ |
2. Педагогические часы идут слишком быстро.Что делать, чтобы это исправить?
Проблема с напольными часами, которые бегают слишком быстро, в том, что сначала нужно поймать чертову штуку. Бегущие напольные часы особенно редки (поскольку у них нет ножек), но когда они заводятся, их действительно трудно сбить.
О. Ой.
«Слишком быстрый бег» означает, конечно, что период колебания маятника слишком короткий. Вы хотите увеличить период колебаний (также известный как уменьшение частоты), поэтому вы увеличиваете длину.
6. Объясните, как период системы масса-пружина может быть независимым от амплитуды, даже если расстояние, пройденное в течение каждого цикла, пропорционально амплитуде.
Это одно из моих любимых соотношений в физике. По мере того, как вы увеличиваете расстояние, которое необходимо пройти массе, вы также вкладываете больше энергии в систему. Таким образом, в результате он движется быстрее (в среднем). Оказывается, что скорость, на которую он перемещается, как раз и является той величиной, которая компенсирует дополнительное расстояние, которое ему нужно преодолеть.Откуда он знает, что это нужно делать, в самый раз, независимо от амплитуды? Я не знаю. Это просто так, что делает физическую систему очень простой и предсказуемой.
11. Пилот выполняет вертикальные петли над океаном в полдень. Самолет ускоряется по мере приближения к нижней части круговой петли и замедляется по мере приближения к верху петли. Наблюдатель в вертолете наблюдает за тенью самолета на поверхности воды. Есть ли в тени SHM? Объяснять.
А еще есть летающая тарелка и акула, которая выпрыгивает из воды и сожирает самолет. А затем летающая тарелка подхватывает акулу (с поглощенным самолетом) и улетает, оставляя наблюдателя с вертолета сидеть и тихо думать: «Хммммм, интересно, было ли это движение SHM?»
Глупые физики. Где они возникают в таких ситуациях?
Как видно из вышесказанного, колебания самолета будут происходить вперед и назад с одинаковой амплитудой каждый раз, но скорость, с которой он движется, изменяется с каждым полупериодом.То есть, поскольку он движется в одну сторону (внизу цикла), он движется быстро; но при движении в противоположном направлении (вверху петли) он движется медленно. Вы можете представить, что это нарушает симметрию графиков зависимости положения от времени, скорости от времени и т. Д. У каждой второй половины колебания будет другая часть периода. Или, говоря другими словами, это не выглядело бы так, будто сила прямо пропорциональна смещению. Так что это не имитирует SHM.
17.Период колебания простого маятника не зависит от массы боба. Напротив, период системы масса-пружина действительно зависит от массы. Объясните это кажущееся противоречие.
Причина, по которой простой маятник не зависит от массы, состоит в том, что масса «учитывается» для двух разных вещей. (То же самое происходит при свободном падении, когда все предметы любого веса падают с одинаковой скоростью.) Масса учитывается для инерции, или «m» в «F = ma». Это означает, что сопротивление изменениям в движении прямо пропорционально массе.Однако вес (сила) объекта также пропорционален массе. Поскольку масса влияет как на причину изменения движения, так и на сопротивление изменяющемуся движению, она компенсируется.
Для системы масса-пружина масса все еще влияет на инерцию, но , а не , вызывает силу. Пружина (и ее жесткость пружины) полностью отвечает за силу. Таким образом, масса влияет только на сопротивление ускорениям, и вы замечаете, что чем массивнее объект, тем медленнее он покачивается взад и вперед.
18. Масса, соединенная с идеальной пружиной, совершает колебания без трения на горизонтальной поверхности. Нарисуйте графики кинетической энергии, потенциальной энергии и полной энергии как функции времени для одного полного цикла.
[Сделал это в проблемном наборе. См. Номер 53.]
| ВЕРНУТЬСЯ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ |
Страница не найдена | MIT
Перейти к содержанию ↓
Образование
Исследовательская работа
Инновации
Прием + помощь
Студенческая жизнь
Новости
Выпускников
О MIT
Подробнее ↓
Прием + помощь
Студенческая жизнь
Новости
Выпускников
О MIT
Меню ↓ Поиск Меню Ой, похоже, мы не смогли найти то, что вы искали!
Попробуйте поискать что-нибудь еще! Что вы ищете? Увидеть больше результатов
Предложения или отзывы?
Простое гармоническое движение – обзор
2 Вектор смещения ядра в кристалле небравэ с колебаниями ядер
Предполагается, что межатомные силы между атомами (ионами) кристалла совершают простое гармоническое движение, при этом сила, действующая на смещенный ядро, пропорционально расстоянию смещения ядра от его положения равновесной решетки.Вектор смещения ядра u0d (0) в момент времени t = 0 и u0d (t) для того же ядра в более позднее время t , а также вектор смещения uld ′ (t) для другого ядра в более позднее время t , можно выразить как сумму перемещений, возникающих в результате набора нормальных режимов колебаний. Смещение ядер из их положений равновесия вызывается нагревом кристаллической решетки или другими средствами обмена энергией, такими как столкновения нейтронов. Сумма простых гармонических колебаний каждого ядра в зависимости от положения ядра в решетке и времени создает общую волну смещения в кристаллической решетке, которую можно выразить как сумму нормальных мод колебаний.
В этом разделе мы напоминаем результаты главы 5, а именно раздела 5. Амплитуда u _ld колебаний (вибрации) d ^th атом массы M _d в 3 направлениях ( j = 1,2,… 3 r ), относительно его положения равновесия в элементарной ячейке l ^th в кристаллической решетке элементарных ячеек N , является суммой вклад амплитуды колебаний от 3 мод колебаний Nr в каждом из трех направлений с частотой колебаний w _qj и волновым вектором колебаний q _q, где
(28) q = −N2,…, −2.qjd определяет направления смещения и фазы атома d ^th в элементарной ячейке l ^th в трех ортогональных направлениях. Амплитуда колебаний u _ld атома d ^th в элементарной ячейке l ^th выражается в терминах аннигиляции a _qj и создания aqj + лестницы операторы в их не зависящей от времени форме Шредингера.ld действует на волновую функцию ядра и возвращает его смещение из состояния равновесия. Оператор u _ld является функцией не зависящего от времени оператора лестницы уничтожения на основе Шредингера a _qj и оператора лестницы создания aqj +. Следовательно, векторы смещения u00 (0), u00 (t) и uld (t) становятся операторами, потому что они выражаются как сумма оператора уничтожения и создания. Зависящая от времени форма Гейзенберга аннигиляции aqj (t) и операторы созидания aqj + (t) получаются из их не зависящих от времени форм на основе Шредингера a _qj и aqj + через
(30) aqj (t) = expiHtℏaqjexp − iHtℏ
и
(31) aqj + (t) = expiHtℏaqj + exp − iHtℏ.также обозначается H (т.е. пишется без шляпы). Операторы уничтожения Шредингера и нестационарного Гейзенберга aqj = aqj (0) и aqj (t), а также операторы создания aqj + = aqj + (0) и aqj + (t) также написаны без шляп в этих обсуждениях для упрощения обозначений. Если оператор Гамильтона Шредингера H не зависит от времени, то его форма Гейзенберга также не зависит от времени как оператор Гейзенберга; т.е. H = H ( t ), где ∂H ∕ ∂t = 0.(т).
Теперь мы получаем форму Гейзенберга для операторов аннигиляции aqj (t) и создания aqj + (t) из соответствующих не зависящих от времени форм операторов Шредингера a _qj и aqj +. Вызывают коммутационные выражения для аннигиляции a _qj и создания операторов aqj + с оператором Гамильтона H , где
(40) [H, aqj] = – ℏwqjaqj
и
(41) [H, aqj +] = ℏwqjaqj +.
Получается
(42) daqj (t) dt = −iwqjaqj
и
(43) daqj + (t) dt = iwqjaqj +.

Связь между частотой и периодом	$$ f = \ frac {1} {T} $$
Позиция в SHM с \ (\ phi \) = 0,00	$$ x (t) = A \ cos (\ omega t) $$
Общее положение в ШМ	$$ x (t) = A \ cos (\ omega t + \ phi) $$
Общая скорость в ШМ	$$ v (t) = -A \ omega \ sin (\ omega t + \ phi) $$
Общее ускорение в ШМ	$$ a (t) = -A \ omega ^ {2} \ cos (\ omega t + \ phi) $$
Максимальное смещение (амплитуда) ШМ	$$ x_ {max} = A $$
Максимальная скорость ШМ	$$ \| v_ {max} \| = A \ omega $$
Максимальное ускорение ШМ	$$ \| a_ {max} \| = A \ omega ^ {2} $$
Угловая частота системы масса-пружина в ШМ	$$ \ omega = \ sqrt {\ frac {k} {m}} $$
Период системы масса-пружина в ШМ	$$ T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {m} {k}} $$
Частота системы масса-пружина в ШМ	$$ f = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {k} {m}} $$
Энергия в системе масса-пружина в ШМ	$$ E_ {Total} = \ frac {1} {2} kx ^ {2} + \ frac {1} {2} mv ^ {2} = \ frac {1} {2} kA ^ {2} $ $
Скорость движения массы в системе пружина-масса в ШМ	$$ v = \ pm \ sqrt {\ frac {k} {m} (A ^ {2} – x ^ {2})} $$
Х-составляющая радиуса вращающегося диска	$$ x (t) = A \ cos (\ omega t + \ phi) $$
Х-компонента скорости кромки вращающегося диска	$$ v (t) = -v_ {max} \ sin (\ omega t + \ phi) $$
Х-составляющая ускорения края вращающегося диска	$$ a (t) = -a_ {max} \ cos (\ omega t + \ phi) $$
Уравнение силы для простого маятника	$$ \ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}} = – \ frac {g} {L} \ theta $$
Угловая частота для простого маятника	$$ \ omega = \ sqrt {\ frac {g} {L}} $$
Период простого маятника	$$ T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {L} {g}} $$
Угловая частота физического маятника	$$ \ omega = \ sqrt {\ frac {mgL} {I}} $$
Период физического маятника	$$ T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {I} {mgL}} $$
Период крутильного маятника	$$ T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {I} {\ kappa}} $$
Второй закон Ньютона для гармонического движения	$$ m \ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}} + b \ frac {dx} {dt} + kx = 0 $$
Решение для слабозатухающего гармонического движения	$$ x (t) = A_ {0} e ^ {- \ frac {b} {2m} t} \ cos (\ omega t + \ phi) $$
Собственная угловая частота системы масса-пружина	$$ \ omega_ {0} = \ sqrt {\ frac {k} {m}} $$
Угловая частота недемпфированного гармонического движения	$$ \ omega = \ sqrt {\ omega_ {0} ^ {2} – \ left (\ dfrac {b} {2m} \ right) ^ {2}} $$
Второй закон Ньютона для вынужденных затухающих колебаний	$$ – kx -b \ frac {dx} {dt} + F_ {0} \ sin (\ omega t) = m \ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}} $$
Решение второго закона Ньютона для вынужденных затухающих колебаний	$$ x (t) = A \ cos (\ omega t + \ phi) $$
Амплитуда системы при вынужденных затухающих колебаниях	$$ A = \ frac {F_ {0}} {\ sqrt {m (\ omega ^ {2} – \ omega_ {0} ^ {2}) ^ {2} + b ^ {2} \ omega ^ { 2}}} $$