Формула упругости модуля: Модуль упругости (Модуль Юнга): понятие, формулы, как определить

alexxlab | 18.02.1990 | 0 | Разное

Содержание

Формула силы упругости в физике

Содержание:

При действии на тело внешней силы онодеформируется (происходит изменение размеров, объема и часто формы тела). В ходе деформации твердого тела возникают смещения частиц, находящихся в узлах кристаллической решетки из начальных положений равновесия в новые положения. Такому сдвигу препятствуют силы, с которыми частицы взаимодействуют. В результате появляются внутренние силы упругости, уравновешивающие внешние силы. Эти силы приложены к деформированному телу. Величина сил упругости пропорциональна деформации тела.

Определение и формула силы упругости

Определение

Силой упругости называют силу, имеющую электромагнитную природу, которая возникает в результате деформации тела, как ответ на внешнее воздействие.

Упругой называют деформацию, при которой после прекращения действия внешней силы тело восстанавливает свои прежние форму и размеры, деформация исчезает. Деформация носит упругий характер только в том случае, если внешняя сила не превышает некоторого определенного значения, называемого пределом упругости. Сила упругости при упругих деформациях является потенциальной. Направление вектора силы упругости противоположно направлению вектора перемещения при деформации. Или по-другому можно сказать, что сила упругости направлена против перемещения частиц при деформации.

Характеристики упругих свойств твердых тел

Упругие свойства твердых тел характеризуют при помощи напряжения, которое часто обозначают буквой $\sigma$ . Напряжение – это физическая величина, равная упругой силе, которая приходится на единичное сечение тела:

$$\sigma=\frac{d F_{u p r}}{d S}(1)$$

где dFupr – элемент силы упругости тела; dS – элемент площади сечения тела. Напряжение называется нормальным, если вектор $d \bar{F}_{u p r}$ перпендикулярен к dS.

Формулой для расчета силы упругости служит выражение:

$$d F_{u p r}=\sigma d S=K \frac{\Delta x}{x} d S(2)$$

где $\frac{\Delta x}{x}$ – относительная деформация, $\Delta x$ – абсолютная деформация, x–первоначальное значение величины, которая характеризовала форму или размеры тела; K – модуль упругости ( $k = \sigma$ при ( $\frac{\Delta x}{x} = 1$ ). Величину обратную модулю упругости называют коэффициентом упругости. Проще говоря, сила упругости по величине пропорциональная величине деформации.

Продольное растяжение (сжатие)

Продольное (одностороннее) растяжение состоит в том, что под действием растягивающей (сжимающей) силы происходит увеличение (уменьшение) длины тела. Условием прекращения такого рода деформации является выполнение равенства:

$F = F_{upr} (3)$

где F – внешняя сила, приложенная к телу, Fupr – сила упругости тела. Мерой деформации в рассматриваемом процессе является относительное удлинение (сжатие) $\left(\frac{\Delta l}{l}\right)$ .

Тогда модуль силы упругости можно определить как:

$$F_{u p r}=E \frac{\Delta l}{l} S(4)$$

где E – модуль Юнга, который в рассматриваемом случае равен модулю упругости (E=K) и характеризующий упругие свойства тела; l – первоначальная длина тела; $\Delta l$ – изменение длины при нагрузке F=F_upr. При $\Delta l=l E=\frac{F}{S}=\sigma$ – площадь поперечного сечения образца.{\prime}}{A B}$ . Этим углом ? (относительный сдвиг) характеризуют относительную деформацию. При этом напряжение $\sigma$ равно:

$$\sigma=G \alpha(6)$$

где G – модуль сдвига.

Единицы измерения силы упругости

Основной единицей измерения сил упругости (как и любой другой силы) в системе СИ является: [Fupr]=H

В СГС: [Fupr]=дин

Примеры решения задач

Пример

Задание. Какова работа силы упругости при деформации пружины жёсткость, которой равна k? Если первоначальное удлинение пружины составляло x1, последующее удлинение составило x2.

Решение. В соответствии с законом Гука модуль силы упругости найдем как:

$$F = kx (1.1)$$

При этом сила упругости при первой деформации будет равна:

$$F_1 = kx_1 (1.2)$$

В случае второй деформации имеем:

$$F_2 = kx_2 (1.3)$$

Работу (A) сил упругости можно найти как:

$$A=\langle F\rangle S \cos \alpha(1.{\circ}\right)=-\frac{k x_{1}+k x_{2}}{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)$$

Ответ. $A=-\frac{k}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)$

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Тело массой m (которое можно считать материальной точкой) привязано к резиновому шнуру. Это тело описывает в горизонтальной плоскости окружность с частотой вращения n. Угол отклонения шнура от вертикали равен $\alpha$. Жёсткость шнура равна k. Какова длина нерастянутого шнура (l0)?

Решение. Сделаем рисунок.

Сила натяжения (N) шнура вызывает его растяжениена величину ($\Delta l$). При этом возникающая сила упругости равна по модулю и противоположна по направлению силе натяжения:

$$\bar{F}_{u p r}=-\bar{N}(2.1)$$

Сила натяжения шнура равна (из рис.{2} m}-\frac{1}{k}\right) \frac{m g}{\cos \alpha}$

Читать дальше: Формула скорости.

3. Закон Гука при упругой деформации. Модуль упругости (модуль Юнга). Жесткость сечения и податливость материала

Рассмотрим характеристики упругой деформации на примере одноосного растяжения (рис. 1в). Пусть к образцу длины L с площадью поперечного сечения S приложена сила F (см. рис. 1в), которая растягивает образец. Она направлена перпендикулярно поперечному сечению образца.

Длина образца увеличится на L= L–L0 – абсолютное удлинение (измеряется в СИ в метрах).

Величина деформации характеризуется относительным удлинением

(«эпсилон»):

, (2)

где L0 – первоначальная длина образца, L – абсолютное удлинение. Относительное удлинение – величина безразмерная, часто приводится в процентах (%).

Закон Гука: при упругой деформации напряжение , которое возникает в образце, прямо пропорционально его относительному удлинению :

, (3)

где Е – коэффициент пропорциональности, который называется модуль упругости (модуль Юнга).

Модуль Юнга – характеристика материала, из которого сделан образец, в СИ измеряется в Н/м2=Па (Паскаль).

Из закона Гука: . Откуда с учетом получим:

или . (4)

Из последнего выражения следует, что чем больше модуль Юнга E, тем меньше деформируется образец. Таким образом, модуль Юнга характеризует способность материала сопротивляться упругой деформации растяжения (сжатия). В СИ модуль Юнга измеряется в Н/м2=Па.

Величина ES в формуле (4) называется жесткостью сечения при растяжении (сжатии), а обратная ей величина 1/ЕS – податливостью.

Формула (4) применима и в случае уменьшения длины образца при его одноосном сжатии, при этом направление силы изменяется на противоположное (рис. 1б).

4. Изменение поперечных размеров образца при его деформации. Коэффициент Пуассона. Относительное изменение объема

При растяжении и сжатии тел всегда изменяются их поперечные размеры (толщина) (рис. 1 в). Пусть d0 – первоначальный поперечный размер тела, а d = d – d

0 – его абсолютное изменение при деформации, тогда относительное изменение поперечного размера тела определяется по формуле:

.

При растяжении:  0 (положительно),  0 (отрицательно).

При сжатии   0 (отрицательно), 0 (положительно).

Коэффициент Пуассона μ связывает относительное изменение продольного и поперечного размеров тела:

, > 0. (5)

Коэффициент Пуассона зависит только от свойств материала, из которого сделан деформируемый образец.

Коэффициент Пуассона важно знать для правильного выбора материалов пломб и вкладок. Для продления срока службы пломб и вкладок должно выполняться условие:

зуба  пломбы

Для стоматологических материалов   0,3.

Знание коэффициента Пуассона  и величины  позволяет вычислить относительное изменение объема тела (V – первоначальный объем, а V – абсолютное изменение объема при деформации). При упругой деформации:

. (6)

При μ = 0.5 значение ∆V/V = 0 и такой материал называется несжимаемым. Примером несжимаемых сред являются жидкости.

Для большинства материалов μ  0.5, поэтому при сжатии объем всегда уменьшается V  0, а при растяжении – увеличивается (V  0).

И вывод расчетной формулы

Прибор для выполнения работы (рис. 3.3) состоит из махового колеса 1, шкива 3, укрепленных на одной оси 2. На шкив наматывается нить, к концу которой прикрепляется груз 4. При падении груза с высоты h, отсчитываемой по линейке

5 до приемного столика 6, вся система приводится во вращательное движение.

Груз массой m, поднятый на высоту h от приемного столика, обладает потенциальной энергией mgh. Освобожденный без толчка груз начинает двигаться с ускорением, а маховое колесо приводится во вращение. В момент, когда груз коснется приемного столика, вся потенциальная энергия перейдет в кинетическую энергию поступательного движения падающего груза:

 

и в кинетическую энергию вращательного движения колеса и шкива:

.

Частью энергии, затрачиваемой на преодоление трения в подшипнках, в данной работе пренебрегают.

 

 

Рис. 3.3.

 

Момент инерции системы можно определить из закона сохранения энергии: полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих консервативными силами, не изменяется. В рассматриваемом случае

, (3.1)

где u – скорость груза в момент касания пола;

w – угловая скорость колеса.

В уравнение (3.1) подставим значение (при падении без начальной скорости пройденный путь , отсюда ) и значение . В результате получим:

,

отсюда

. (3.2)

Здесь момент инерции колеса определяется через массу падающего груза m, высоту h, с которой падает груз, и время падения груза, но от них не зависит. При выполнении лабораторной работы убедитесь в этом, изменяя массу падающего груза и высоту падения.

 

ИЗУЧЕНИЕ УПРУГИХ

ДЕФОРМАЦИЙ

При изучении обратите внимание на то, что, несмотря на существование различных видов деформаций тел (одностороннее растяжение или сжатие, всестороннее растяжение или сжатие, кручение, сдвиг, изгиб), все они подчиняются закону Гука, согласно которому сила упругости Fупр, возникающая при малых деформациях любого вида, пропорциональна деформации (смещению) Dх, т. е.

, (4.1)

где k – коэффициент упругости.

Знак минус указывает на противоположность направлений силы упругости и смещения.

Необходимо твердо уяснить, что все виды деформаций, в том числе и деформация изгиба, могут быть сведены к деформациям одностороннего сжатия и растяжения. При деформации изгиба стержня одни части его испытывают растяжение, а другие – сжатие (рис. 4.1). Средняя часть стержня почти не оказывает сопротивление изгибу. По этой причине сплошной стержень и трубчатый одинакового диаметра обладают почти одинаковым сопротивлением изгибу.

Обратите внимание на практическое использование этого вывода, а именно, стержни, работающие на изгиб, обычно делают полыми (трубчатыми), чем достигается экономия материала и облегчение конструкций без ущерба их прочности. С такими же явлениями встречаются и в природе: трубчатое строение имеют стебли злаковых растений, кости птиц и др.

 

 

Рис. 4.1.

 

Физический смысл модуля Юнга уясните на примере деформации одностороннего растяжения. Пусть к нижнему концу закрепленного стержня длиной l и площадью поперечного сечения S приложена деформирующая сила F. Стержень удлиняется на , и в нем возникает сила упругости Fупр (рис. 4.2). Следует помнить, что при этом , т. е. сила упругости равна по величине, но противоположна по направлению приложенной к телу силе.

 

 

Рис. 4.2.

 

Опыт показывает, что удлинение стержня пропорционально деформирующей силе, длине стержня и обратно пропорционально площади его поперечного сечения, т. е.

; (4.2)

 

, (4.3)

где – коэффициент, характеризующий упругие свойства ве-

щества стержня. Он называется модулем упругости, или

модулем Юнга.

Физический смысл модуля Юнга заключается в следующем. Из формулы (4.2) следует, что

. (4.4)

Полагая и , получим:

т. е. модуль упругости вещества численно равен силе, растягивающей стержень единичного поперечного сечения в два раза. Измеряется модуль упругости в паскалях (Па).


Узнать еще:

Часть 2: получаем данные по материалам для механики конструкций исходя из результатов измерений

В первой части мы обсудили некоторые факторы, которые следует учитывать при преобразовании ваших результатов измерений характеристик материалов в модель состояния. Мы достаточно подробно рассмотрели гиперупругие материалы. Сегодня мы обсудим способы применения нелинейных упругих и упругопластических материалов, а также изучим метод, позволяющий использовать результаты измерений непосредственно в COMSOL Multiphysics.

Нелинейные упругие материалы

Некоторые материалы проявляют существенную нелинейность уже при малых деформациях. Примерами являются чугун и некоторые керамические материалы. Однако при снятии нагрузки, ведущей к умеренной деформации, они возвращаются в исходное состояние по той же диаграмме деформации, то есть их отклик является упругим. Для описания таких материалов необходима нелинейная упругая модель.

В предыдущей публикации блога мы обсудили гиперупругие материалы. Почему бы не воспользоваться одной из таких моделей, чтобы обеспечить соответствие с диаграммой деформации, построенной на основе результатов измерений, для, например, мелкозернистого чугуна? Проблема в том, что модели гиперупругих материалов рассчитаны на большие деформации. Для эластомеров растяжение может достигать сотен процентов от исходной длины, тогда как область упругих деформаций для металлов и более хрупких материалов составляет обычно менее 1%.

Например, крайне популярная модель Муни — Ривлина является существенно линейной при малых деформациях. Поэтому для нашей задачи она не подходит. В модели Огдена напряжение вычисляется как сумма значений растяжения, возведенных в определенные степени. Однако для малых деформаций растяжение может быть ограничено значениями порядка 0.999 — 1.001. Чтобы модель отражала существенную нелинейность материала, показатель степени в формуле должен быть чрезвычайно большим. Данные измерений вряд ли будут хорошо соответствовать такому закону. Для хрупких материалов более естественной характеристикой деформации является техническая деформация. О различных величинах, используемых для измерения напряжений и деформаций, можно прочитать в публикации «Why All These Stresses and Strains?»

Для решения этой задачи COMSOL предлагает набор нелинейных упругих моделей, рассчитанных на малые деформации. Для работы этих моделей материалов необходим модуль Nonlinear Structural Materials (Нелинейные конструкционные материалы) или Geomechanics (Геомеханика). Эти модели доступны в интерфейсах Solid Mechanics (Механика твердого тела) и Membrane (Мембрана). Рассмотрим способы применения этих материалов.


Выбор модели нелинейного упругого материала в COMSOL Multiphysics.

Всего доступно девять моделей нелинейных упругих материалов. Некоторые из них представляются в виде простой математической формулы с небольшим количеством параметров. Одна из этих моделей материалов является особенно полезной при обработке экспериментальных данных о зависимости деформации от напряжения: Uniaxial data (Однонаправленные данные). Эта модель предназначена именно для анализа на основе результатов измерений. Рассмотрим настройки этой модели:


Настройки нелинейной упругой модели Однонаправленные данные.

Основная часть данных передается в модель в виде функции, которая описывает зависимость однонаправленной деформации от однонаправленного напряжения. В этом примере результаты измерений представлены в виде функции интерполяции, которая называется stress_strain_curve, однако их можно задать и аналитическим выражением. Функцию интерполяции можно задать в явном виде, как набор результатов измерений, или же выбрать файл, из которого будут считаны эти данные. В нашем примере данные импортируются непосредственно из файла Excel®. Для этого необходим модуль расширения LiveLink™ для Excel®. Однако данные также можно импортировать из текстовых файлов с разделителем-табуляцией.


Импортированная диаграмма зависимости однонаправленной деформации от однонаправленного напряжения.

Однако эта кривая для однонаправленных характеристик не содержит достаточной информации для того, чтобы полностью определить многонаправленный основной закон. Необходимо сделать еще одно предположение. Вам требуется задать либо постоянную величину коэффициента Пуассона, либо модуль объемной упругости. Для многих материалов хорошим приближением является постоянный коэффициент Пуассона в диапазоне от 0,2 до 0,3. Это все, что нужно для построения полной модели материала.

Обратите внимание на диаграмму деформации выше: кривые для растяжения и сжатия не совпадают. Однако при многонаправленном напряжении определенная точка материала может испытывать натяжение в одном направлении и сжатие в другом. Какую ветвь кривой для материала следует применять в таком случае? Модель материала является изотропной: она обладает одинаковой жесткостью во всех направлениях. Однако определяющей характеристикой является изменение объема. Если локальное изменение объема отрицательно, то применяется ветвь, характеризующая сжатие.

Примечания: теория

Существование изотропного нелинейного упругого материала теоретически возможно только при соблюдении следующих условий:

  • Среднее напряжение («давление») или модуль объемной упругости является функцией только объемной деформации.
  • Напряжение сдвига или модуль сдвига является функцией только относительной деформации сдвига.

Если эти условия не выполняются, то можно создать нагрузочный цикл, который будет прэнергию, то естьвечный двигатель.

Все встроенные материалы разрабатывались так, чтобы соответствовать этим условиям. Рассмотрим, например, настройки для Двухлинейного упругого материала (Bilinear elastic material). В них вам необходимо указать модули объемной упругости для растяжения и сжатия — не модули Юнга, как можно было ожидать.

Чаще всего специалисты по расчету строительных конструкций имеют дело с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона. Это основные характеристики упругого материала. Однако, в соответствии с требованиями выше, если модуль Юнга зависит от деформации, то…

  • Функция, описывающая эту зависимость, может принимать только очень специфичные формы.
  • Коэффициент Пуассона также должен быть функцией деформации. В результате получается функция, которую очень сложно выразить.

Как тогда можно задать однонаправленные данные при постоянном коэффициенте Пуассона? Для решения этой задачи мы разработали скрытые от пользователя допустимые функции для модуля объемной упругости и модуля поперечной упругости. Модуль Юнга при этом не используется, хотя при взгляде на график этого можно было ожидать.

При этом я видел несколько успешных моделей, в которых аналитик добавил зависимости деформации в модулях Юнга для изотропных или ортотропных материалов в модели упругого материала. Для решения прикладных задач такой метод может подойти. Учебное приложение Modeling Stress-Dependent Elasticity является примером определения зависимого от напряжения модуля Юнга. Чтобы такой подход работал, необходимо, чтобы структура подвергалась преимущественно пропорциональному нагружению (т. е. без поворота направлений главных деформаций).


Консольная балка с различными значениями модуля Юнга для растяжения и сжатия. Свободный конец балки подвергается изгибному моменту. На верхнем графике показано напряжение по Мизесу, на нижнем — текущее значение модуля Юнга.

Когда вы задаете для модели свойство нелинейной упругости при помощи встроенных моделей или собственных выражений, важно сохранять строгое разделение между тангенциальной жесткостью и секущей жесткостью. Выражение для нелинейной упругой модели часто похоже на формулу для линейной модели, но с зависимостью коэффициента упругости (который уже не является константой!) от напряжения или деформации. Предположим, что напряжение сдвига \tau связано с деформацией сдвига \gamma как

\tau = G_S(\gamma) \cdot \gamma

В таком случае модуль сдвига G_S(\gamma) является секущим модулем сдвига. Произведение полной деформации на секущий модуль дает полное напряжение. С другой стороны, тангенциальным модулем сдвига G_T(\gamma) называется жесткость, проявляемая при малых изменениях деформации, как показано на рисунке ниже.

Математическая зависимость между двумя модулями:

G_T(\gamma) = \frac{d \tau}{d \gamma} = G_S(\gamma) + \frac{d G_S(\gamma)}{d \gamma} \gamma

Обычно результаты измерений представляются в форме

\tau = f(\gamma)

Это означает, что секущая жесткость представляется в виде

G_S(\gamma) = \frac{f(\gamma)}{\gamma}

При преобразовании диаграммы деформации в форму секущей с помощью этого выражения необходимо избегать возможного деления на ноль при нулевой деформации.n

Модель Степенная зависимость (Power law) в COMSOL Multiphysics основана на первом, более распространенном определении, в котором показатель степени для деформации n связан с наклоном кривой на диаграмме деформации, построенной в полулогарифмических координатах.

Аппроксимация пластичности с помощью нелинейной упругости

Эксперимент на чистое растяжение не позволяет определить, обусловлена ли нелинейность определенных результатов измерений пластичностью. Необходимо также проанализировать кривую разгрузки. Иллюстрацией к этому утверждению служит анимация ниже из предыдущей публикации в блоге.

Применение нелинейной модели упругости для моделирования пластичности рассматривалось в предыдущей публикации в блоге.

Нелинейная модель упругого материала Рамберга— Осгуда, как и модель однонаправленных данных, создавалась в качестве простой замены полной упругопластической модели. Применение нелинейного упругого материала значительно менее требовательно к компьютерным ресурсом. Но каковы ограничения такого подхода?

  • Очевидно, она допускает только непрерывное возрастание нагрузки.
  • Если в системе действует несколько внешних нагрузок одновременно, например, сжимающая нагрузка и тепловое расширение, то обычно они не связаны между собой пропорционально. Это может обусловить непропорциональную зависимость локальных напряжений.
  • Трехмерные отклики обычно не будут совпадать даже в том случае, если диаграммы однонаправленных деформаций для нелинейной упругой модели и для полной эластопластической модели идентичны. Для пластичности металлов, например, при условии текучести Мизеса, пластическая деформация сохраняет объем. В случае соответствующей нелинейной упругой модели объем не сохраняется.

Заключение

При выборе подходящей модели материала необходимо учитывать общую точность анализа. При решении инженерных задач часто приходится пользоваться неполной информацией: данным о нагрузках, однородности материалов и размерам структуры обычна присуща некоторая неопределенность. Выбор граничных условий также является аппроксимацией. В этой цепочке качество результатов определяется самым слабым звеном, и таким звеном не всегда является точный математический фундамент модели материала.

В предыдущей публикации в блоге я писал, что не стоит просто вводить диаграмму деформаций напрямую.

Почему же сегодня я поступил иначе? Дело в том, что при работе с моделью однонаправленных данных используются фактические результаты измерений. Для всех гиперупругих моделей, а также большей части других нелинейных упругих моделей, под результаты измерений необходимо подогнать математическую модель с малым количеством параметров. Безопасно выполнить такую подгонку возможно только при участии человека.

Упругость модуль Юнга – Справочник химика 21

    Модуль упругости (модуль Юнга) для различных материалов, кг/мм  [c.372]

    Модуль упругости, сдвига, коэффициент Пуассона. Модуль упругости (модуль Юнга) Е =  [c.499]

    Самым прочным металлом является 1г, если оценивать его прочность по модулю нормальной упругости (модуль Юнга). [c.378]

    ГУКА ЗАКОН, устанавливает линейную зависимость между упругой деформацией твердого тела и приложенным мех напряжением Напр, если стержень длиной I и поперечным сечением S растянуть продольной силой F, то удлинение стержня Д/ = FI/ES, где -модуль упругости (модуль Юнга), зависящий от материала стержня Для деформации сдвига (см рис) Г з имеет вид т = Gy, где [c.618]


    Модуль продольной упругости (модуль Юнга) Сосредоточенная сила воздействие вообще Модуль упругости при сдвиге постоянная нагрузка (вес) [c.375]

    Величина О однозначно связана с модулем упругости (модулем Юнга) Е по формуле [c.77]

    В работе [228] исследовали эволюцию структуры и упругие свойства Си, подвергнутой интенсивной деформации РКУ-прессованием при комнатной температуре и последующему отжигу при температурах до 500° С. Упругие модули Юнга Е и сдвига О вычисляли из величин скоростей VI и VI соответственно продольных и поперечных ультразвуковых волн по известным соотношениям [c.169]

    Упругие характеристики изотропных твердых тел определяются двумя независимыми параметрами постоянной Ламе Л и модулем упругости при сдвиге Сили жесткостью) ц. При практических исследованиях механических свойств твердых полимеров, кроме того, измеряют другие независимые упругие постоянные модуль продольной упругости (модуль Юнга) Е, коэффициент Пуассона V и объемный модуль упругости (модуль упругости при всестороннем сжатии) В - [c.283]

    Начальной стадией деформации металла является упругая деформация (участок АВ рис. 2.8). С точки зрения кристаллического строения, упругая деформация проявляется в некотором увеличении расстояния между атомами в кристаллической решетке. После снятия нафузки атомы возвращаются в прежнее положение и деформация исчезает. Другими словами, упругая деформация не вызывает никаких последствий в металле. Чем меньщую деформацию вызывают напряжения, тем более жесткий и более упругий металл. Характеристикой упругости металла являются дна вида модуля упругости модуль нормальной упругости (модуль Юнга) – характеризует силы, стремящиеся оторвать атомы друг от друга, и модуль касательной упругости (модуль Гука) – характеризует силы, стремящиеся сдвинуть атомы относительно друг друга. Значения модулей упругости являются константами материала и зависят от сил межатомного взаимодействия. Все конструкции и изделия из металлов эксплуатируются, как правило, в упругой области. Таким образом, упругость – это свойство твердого тела восстанавливать свою первоначальнуто фор.му и объем после прекращения действия внешней нафузки. Модуль упругости практически не зависит от структуры металла и определяется, в основном, типом кристаллической решетки. Так, например, модуль Юнга для магния (кристаллическая решетка ГП% ) равен 45-10 Па, для меди (ГКЦ) – 105-10 Па, для железа (ОЦК) – 210-10 Па. [c.28]


    X — степень кристалличности полимера У — модуль упругости (модуль Юнга) [c.6]

    Термостойкость стекла зависит от цел ого ряда его свойств, важнейшими и з которых являются коэффициент термического расширения, прочность на разрыв и модуль упругости (модуль Юнга). [c.19]

    Модуль продольной упругости (модуль Юнга) Е и [c.37]

    Модуль упругости (модуль Юнга) — одна из существенных характеристик эластомеров. Этот параметр коррелирует с молекулярной массой между узлами поперечной сшивки [76, с. 165] по кинетике изменения с наибольшей достоверностью можно судить о степени завершенности процесса структурирования. Значение модуля упругости является определяющим при расчете конструкций ряда изделий из эластомеров, например шин, акустических устройств и т. д. Представляет интерес по изменению модуля упругости исследовать поведение эластомеров при воздействии температуры в различных средах. [c.116]

    Пластич. деформация твердого тола всегда сопровождается его упрочнением, т. е. ростом напряжения по мере роста пластич. деформации. У п р о ч н е-н и е в процессе пластич. деформации характеризуется коэфф. упрочнения к = йР1модулем нормальной пластичности. Его величина на 2—3 порядка меньше модуля нормальной упругости (модуля Юнга). [c.34]

    Кристаллические твердые вещества обладают модулем продольной упругости (модулем Юнга) порядка 10 —10 дин1см и очень малым конечным удлинением. Если такое тело растянуто до постоянной длины и температура понижается при сохранении той же длины тела, то напряжение непрерывно возрастает. По ур. (XVII, 3) это означает, что изменение внутренней энергии, связан- [c.576]

    Если течение не является типичным свойством твердообразных систем, что особенно характерно для конденсационно-кристаллизационных структур, то реологические зависимости строят по отношению к деформации, а не к ее скорости. Типичная кривая зависимости деформации от напряжения для твердых тел показана на рис. VII. 15. Прямолинейный участок кривой ОА отвечает пропорциональности деформации напряжению сдвига в соответствии с законом Гука (VII. 3). До напряжения Ри отвечающего точке А, размер и форма тела восстанавливаются после снятия нагрузки. Важными параметрами такой системы являются модуль упругости (модуль Юнга) и модуль эластической деформации. Считают, что в суспензиях с коагуляционной структурой модуль упругости (модуль быстрой эластической деформации) характеризует твердую фазу дисперсий, а модуль медленной эластической деформации — пространственную сетку с прослойками дисперсионной среды (возможно скольжение частиц относительно друг друга без разрыва связей). Напряжение Р соответствует пределу текучести (правильнее — пределу упругости). С увеличением напряжения проявляется пластичность, а после его снятия — остаточные деформации. При напряжении Рг (точка ) происходит течение твердообразной системы. При дальнейшем увеличении напряжения до величины Рз (точка В), соответствующей пределу прочности, обычно наблюдается негупрочнение тела, затем наступает разрушение системы. [c.380]

    Удобным методом определения модуля упругости жестких материало в со слабым поглощением является возбуждение свободных колебаний и определение собственных частот, которые завмодуля упругости (модуля Юнга Е) материала. При динамических измерениях модуль Юнга заменяется модулем накопления при растяжении Е.  [c.148]

    Обозначения основных величин, принятые ниже, следующие р — плотность (объемная масса) Ею — модуль упругости (модуль Юнга) 8 — диэлектрическая проницаемость tg б— тангенс угла диэлектрических потерь Q — добротность / — частота А///о — уход резонансной частоты в указанном интервале температур Сзв — скорость звука d — пьезоэлектрический модуль 33 — пьезоэлектрический модуль продольных колебаний 31 — пьезоэлектрический модуль радиальных колебаний d/e, d/Y — характеристика эффективности в режиме приема iotgS. ro/etg6 — характеристики эффективности в режиме излучения  [c.339]

    Кристаллические твердые вещества обладают модулем продольной упругости (модулем Юнга) порядка 10 —дин/см и очень малым конечным удлинением. Если такое тело растянуто до постоянной длины и температура понижается при сохранении той же длины тела, то напряжение непрерывно возрастает. По ур. (XVII, 3) это означает, что изменение внутренней энергии, связанное с этим напряжением dUldl)T,v, значительно по величине и положительно по знаку, т. е. внутренняя энергия тела возрастает. [c.568]

    С коэфф. т.ер.чического расширения 8,28 10 град коэфф. теплопроводности 0,0218 кал см X X сек град теплоемкость 6,56 кал г-атом – град электрическое сопротивление 140,5 мком см. Отличается самым высоким поперечным сечением захвата тепловых нейтронов — 460С0 барн. Работа выхода электронов — 3,07 эв. Кюри точка 17° С (290 К). Модуль норм, упругости (модуль Юнга) 5730 кгс мм предел прочности 18,6 кгс мм НВ = = 60. Легко поддается мех. обработке. Химически активен. При высоких т-рах активно взаимодействует с кислородом, галогенами, серой, азотом, углеродом и др. неметаллами. Во время длительного хранения на воздухе при наличии водяных паров подвергается коррозии (см. Коррозия металлов). Г. сплавляется [c.240]


Как рассчитать коэффициент Пуассона

Обновлено 15 декабря 2020 г.

Автор Samuel Markings

Инженерам часто приходится наблюдать, как различные объекты реагируют на силы или давления в реальных ситуациях. Одним из таких наблюдений является то, как длина объекта увеличивается или уменьшается под действием силы.

Это физическое явление известно как деформация и определяется как изменение длины, деленное на общую длину.​ Коэффициент Пуассона ​ определяет изменение длины в двух ортогональных направлениях при приложении силы.Эту величину можно рассчитать по простой формуле.

Формула коэффициента Пуассона

​ Коэффициент Пуассона ​ представляет собой отношение относительной деформации сжатия (то есть поперечной, поперечной или радиальной деформации) ​ перпендикулярно ​приложенной нагрузки к относительной деформации растяжения ( то есть осевая деформация) в направлении приложенной нагрузки. Коэффициент Пуассона может быть выражен как

, где μ = коэффициент Пуассона, ε t = поперечная деформация (м/м или фут/фут) и ε l = продольная или осевая деформация (опять же м/м или фут/фут ).

Модуль Юнга и коэффициент Пуассона являются одними из наиболее важных величин в области расчета напряжений и деформаций.

    Подумайте о том, как сила оказывает деформацию в двух ортогональных направлениях объекта. Когда к объекту прикладывается сила, он укорачивается в направлении действия силы (продольном), но удлиняется в ортогональном (поперечном) направлении. Например, когда автомобиль проезжает по мосту, он прикладывает усилие к вертикальным опорным стальным балкам моста.Это означает, что лучи становятся немного короче, поскольку они сжимаются в вертикальном направлении, но становятся немного толще в горизонтальном направлении.

    Рассчитайте продольную деформацию, ε l , используя формулу

    \epsilon_l=-\frac{dL}{L}

    где dL — изменение длины в направлении действия силы, а L — первоначальная длина по направлению силы. Следуя примеру с мостом, если стальная балка, поддерживающая мост, имеет высоту примерно 100 метров, а изменение длины равно 0.01 метр, то продольная деформация равна

    \epsilon_l=-\frac{0.01}{100}=-0.0001

    Поскольку деформация представляет собой длину, деленную на длину, величина безразмерна и не имеет единиц измерения. Обратите внимание, что в этом изменении длины используется знак минус, так как луч становится короче на 0,01 метра.

    Рассчитайте поперечную деформацию ε t , используя формулу t — исходная длина, ортогональная силе.Следуя примеру моста, если стальная балка расширяется примерно на 0,0000025 м в поперечном направлении, а ее первоначальная ширина составляла 0,1 м, то поперечная деформация равна

    \epsilon_t=\frac{0,0000025}{0,1}=0,000025

    Запишите формула коэффициента Пуассона . Еще раз обратите внимание, что коэффициент Пуассона делит две безразмерные величины, поэтому результат безразмерен и не имеет единиц измерения. Продолжая пример автомобиля, движущегося по мосту, и воздействия на несущие стальные балки, коэффициент Пуассона в этом случае равен

    \mu = -\frac{0.000025}{-0,0001}=0,25

    Это близко к табличному значению 0,265 для литой стали.

Коэффициент Пуассона для обычных материалов

Большинство обычных строительных материалов имеют μ в диапазоне от 0 до 0,50. Резина близка к высокому уровню; свинец и глина более 0,40. Сталь, как правило, ближе к 0,30, а производные железа еще ниже, в диапазоне от 0,20 до 0,30. Чем ниже число, тем менее подвержен «растягивающим» силам рассматриваемый материал.

Единицы модуля упругости (модуль Юнга)

Прежде чем углубиться в изучение различных типов и единиц модуля упругости (модуль Юнга), давайте сначала рассмотрим широкое определение этого очень важного механического имущество.

Основное определение модуля упругости

Модуль упругости, также известный как модуль упругости, представляет собой измеренное значение, отражающее сопротивление материала упругой деформации, т.е.д., его «растяжимость». Это относится только к непостоянной деформации под действием напряжения.

Модуль упругости определяется градиентом кривой напряжения-деформации в области, где она упруго деформируется (см. ниже – линейный участок перед «пределом текучести»). Менее эластичный (или более жесткий ) материал имеет сравнительно высокий модуль упругости, тогда как эластичный или упругий материал имеет более низкий модуль упругости.

Модуль упругости часто обозначается греческим символом лямбда, λ.Он принимает форму напряжения, деленного на деформацию, таким образом:

λ= напряжение/деформация
  • Напряжение определяется как сила, вызывающая деформацию, деленная на пораженную площадь.
  • Деформация определяется как смещение частиц вещества относительно определенной длины.

Типы модуля упругости

Существует 3 основных типа модуля упругости:

  • Модуль Юнга
  • Модуль сдвига
  • Объемный модуль

Это модули упругости, наиболее часто используемые в технике.Давайте рассмотрим каждый тип и то, как их можно использовать, прежде чем мы перейдем к единицам модуля упругости.

Модуль Юнга

Именно его имеет в виду большинство людей, когда говорят «модуль упругости». Он описывает степень деформации материала вдоль заданной оси при приложении растягивающих усилий, также известную как эластичность при растяжении. Его можно описать простыми словами как меру жесткости.

Модуль Юнга можно упростить как тенденцию вещества становиться длиннее и тоньше.

Он определяется как напряжение растяжения, деленное на деформацию растяжения (или отношение напряжения к деформации), и в расчетах обозначается буквой E.

Основным применением модуля Юнга является предсказание растяжения, которое может произойти при растяжении, или укорочения, которое может произойти при сжатии. Это полезно, например, при проектировании балок или колонн в строительстве.

Модуль сдвига

Модуль сдвига материала является мерой его жесткости. Он используется, когда сила, параллельная данной оси, встречает противодействующую силу, например трение.Его можно упростить как тенденцию вещества изменяться от прямоугольной формы до параллелограмма.

Модуль сдвига определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига и обозначается символами G, S или µ.

Модуль сдвига чаще всего используется в расчетах, в которых два материала находятся в контакте и подвергаются действию противоположных сил, т. е. трению друг о друга.

Объемный модуль

Объемный модуль упругости — это термодинамическое свойство, определяющее устойчивость вещества к сжатию.Его можно упростить как тенденцию изменения объема вещества при неизменной форме.

Определяется как отношение увеличения давления к уменьшению относительного объема. Обозначается символами К или В.

Чаще всего используется при изучении свойств жидкостей при сжатии.

Как измеряется модуль упругости?

В этом разделе мы сосредоточимся на модуле Юнга, так как он чаще всего ассоциируется с эластичностью.

Наиболее распространенными методами измерения являются испытание на растяжение, испытание на изгиб или испытание на вибрацию собственной частоты. Методы испытаний на изгиб и растяжение основаны на применении закона Гука и называются статическими методами. Использование собственной частоты обеспечивает динамический модуль упругости, поскольку испытание проводится с использованием вибраций.

Статические методы осуществляются путем приложения измеримых параллельных или перпендикулярных сил и регистрации изменения длины или величины деформации.Используются точные устройства для измерения очень малых длин, известные как «экстензометры» или механические тензодатчики.

Единицы модуля упругости

Единицами модуля упругости являются единицы давления, поскольку он определяется как напряжение (единицы давления), деленное на деформацию (безразмерную). Чаще всего единицами измерения являются паскали (Па), которые являются единицей СИ, или фунты на квадратный дюйм (psi) в зависимости от отрасли или географического положения. В Европе наиболее распространена Па, в США более распространена единица измерения модуля упругости в фунтах на квадратный дюйм.

Ниже приведены некоторые примеры значений модуля упругости (модуля Юнга) материалов:

  • Каучук  имеет низкий модуль Юнга от 0,01 до 0,1 ГПа, поскольку он очень эластичный.
  • Алмаз  имеет высокий модуль Юнга 1050–1200 ГПа, поскольку он очень жесткий.
  • Карбин  имеет самый высокий из известных модулей Юнга 32 100 ГПа, что означает, что это наименее эластичный или самый жесткий материал, известный на данный момент.

 

Научные статьи, журналы, авторы, подписчики, издатели

 
 
Как крупный международный издатель академических и исследовательских журналов, Science Alert публикует и разрабатывает игры в партнерстве с самыми престижные научные общества и издательства.Наша цель заключается в проведении высококачественных исследований в максимально широком аудитория.
   
 
 
Мы прилагаем все усилия, чтобы поддержать исследователей которые публикуются в наших журналах. Существует огромное количество информации здесь, чтобы помочь вам опубликоваться у нас, а также ценные услуги для авторов, которые уже публиковались у нас.
   
 
 
2022 цены уже доступны. Ты может получить личную / институциональную подписку на перечисленные журналы непосредственно из Science Alert. В качестве альтернативы вы возможно, вы захотите связаться с предпочитаемым агентством по подписке. Пожалуйста, направляйте заказы, платежи и запросы в службу поддержки клиентов в службу поддержки клиентов журнала Science Alert.
   
 
 
Science Alert гордится своим тесные и прозрачные отношения с обществом. Так как некоммерческий издатель, мы стремимся к самому широкому возможное распространение материалов, которые мы публикуем, и на предоставление услуг самого высокого качества нашим издательские партнеры.
   
 
 
Здесь вы найдете ответы на наиболее часто задаваемые вопросы (FAQ), которые мы получили по электронной почте или через контактную веб-форму.В соответствии с характером вопросов мы разделили часто задаваемые вопросы на разные категории.
   
 
 
Азиатский индекс научного цитирования (ASCI) обязуется предоставлять авторитетный, надежный и значимая информация путем охвата наиболее важных и влиятельные журналы для удовлетворения потребностей глобального научное сообщество.База данных ASCI также предоставляет ссылку до полнотекстовых статей до более чем 25 000 записей с ссылка на цитируемые источники.
   
 

Модуль упругости бетона – определение и значение при проектировании

🕑 Время чтения: 1 минута

Модуль упругости бетона (Ec) определяется как отношение приложенного напряжения к соответствующей деформации.Он демонстрирует не только способность бетона противостоять деформации из-за приложенного напряжения, но и его жесткость. Другими словами, он отражает способность бетона упруго прогибаться. Модуль упругости бетона чувствителен к пропорциям заполнителя и смеси бетона.

При проектировании бетонных конструкций очень важен модуль упругости, который необходимо определить. Линейный расчет элементов, основанный на теории упругости, используется в некоторых случаях для удовлетворения требований предельного состояния по несущей способности и пригодности к эксплуатации, например, при расчете предварительно напряженных железобетонных конструкций.

Общие применимые нормы во всем мире, такие как Кодекс ACI, Европейский кодекс, Британские стандарты, Канадская ассоциация стандартов и Индийский стандарт, предоставили формулу для расчета модуля упругости бетона.

Расчет модуля упругости бетона

Расчет модуля упругости бетона с использованием уравнений различных кодов представлен ниже:

1. Модуль упругости на основе ACI 318-14

Согласно ACI 318-14, раздел 19.2.2, модуль упругости бетона оценивается следующим образом:

Для бетона удельный вес (wc) колеблется от 1440 до 2560 кг на кубический метр.

Для обычного бетона:

2. Модуль упругости на основе CSA

Модуль упругости для бетона с нормальным весом на основе Канадской ассоциации стандартов (CSA A23.3):

Для высокопрочного бетона:

3. Модуль упругости на основе EC

Модуль упругости бетона по Еврокоду можно оценить с помощью следующего выражения:

Где,

Ecm: средний модуль упругости

fcm: средняя прочность бетона на сжатие через 28 дней согласно таблице 3.1 БС ЕН 1992-1-1:2004

4. Модуль упругости на основе британского стандарта

.

Значение модуля упругости при 28-дневном возрасте бетона указано в BS 8110: Часть II 1985:

Где:

ko: 20 кН за квадратный миллиметр для нормального бетона

fcu,28: прочность бетона на сжатие через 28 дней.

5. Модуль упругости по IS 456

Модуль упругости бетона по индийскому стандарту можно рассчитать с помощью следующего выражения:

Значение при проектировании бетонной конструкции

Очень важно определить модуль упругости бетона при проектировании бетонной конструкции.Линейный анализ элементов, основанный на теории упругости, используется для удовлетворения требований как предельного состояния, так и предельного состояния по эксплуатационной пригодности, например, в случае предварительно напряженного бетона, который демонстрирует сечение без трещин вплоть до разрушения.

В дополнение к расчету прогибов, которые должны быть ограничены в соответствии с требованиями эксплуатационной пригодности во всех конструкциях. Наконец, знание модуля упругости высокопрочного бетона очень важно для предотвращения чрезмерной деформации, обеспечения удовлетворительной эксплуатационной пригодности и отказа от наиболее экономичных конструкций.

как найти модуль упругости

Как найти модуль упругости?

Формула модуля упругости

Модуль упругости (E) равен наклону начального линейного участка кривой напряжения-деформации в упругой области — изменению напряжения (Δσ), деленному на изменение деформации (Δϵ). 17 сентября 2021 г.

Как рассчитать модуль упругости?

Модуль = (σ2 – σ1) / (ε2 – ε1) , где напряжение (σ) – это сила, деленная на площадь поперечного сечения образца, а деформация (ε) – это изменение длины материала, деленное на исходную расчетную длину материала. .

Как рассчитать модуль упругости по прочности на растяжение?

Уравнение модуля Юнга: E = напряжение растяжения/деформация растяжения = (FL) / (A * изменение L) , где F — приложенная сила, L — начальная длина, A — площадь квадрата, а E — коэффициент Юнга. модуль в Паскалях (Па). С помощью графика можно определить, проявляет ли материал эластичность.

Как рассчитать эластичность материала?

Модуль упругости рассчитывается путем деления напряжения на деформацию , и это свойство полностью зависит от ТИПА материала, а не от размера и формы.

Как рассчитать модуль упругости в Excel?

Как рассчитать модуль?

Модуль на стандартном калькуляторе

  1. Разделить a на n.
  2. Вычесть целую часть полученного количества.
  3. Умножьте на n, чтобы получить модуль.

Является ли модуль упругости таким же, как модуль Юнга?

Модуль Юнга — это мера способности материала выдерживать изменения длины при продольном растяжении или сжатии.Модуль Юнга , иногда называемый модулем упругости, равен продольному напряжению, деленному на деформацию .

Как рассчитать модуль упругости бетона?

Расчет

  1. Начальный модуль касательной = напряжение/деформация.
  2. Касательный модуль при рабочем напряжении = напряжение/деформация.
  3. Секущий модуль = напряжение/деформация.

Как рассчитать модуль Юнга композитных материалов?

Модуль Юнга Композита задается «правилом смесей», т.е.е. E C = E F V F + E M V M , также (V M + V F ) = 1 502 M V 902 = 1 5 02 или V 9026 902 Ф ). Модуль упругости вдоль направления волокон можно контролировать, выбирая объемную долю волокон.

Как рассчитать модуль упругости по кривой напряжения-деформации?

Модуль упругости Юнга (E), также известный как модуль упругости, представляет собой отношение между напряжением и деформацией: 90 429 E = s / e 90 430 и имеет те же единицы измерения, что и напряжение.E — наклон графика напряжения-деформации: чем круче наклон, тем жестче материал.

Что означает модуль упругости?

: отношение напряжения в теле к соответствующей деформации (как по объемному модулю, модулю сдвига и модулю Юнга) — называется также коэффициентом упругости, модулем упругости.

Что такое модуль упругости E50?

С другой стороны, лабораторно стабилизированный торф (для стабилизации использовался стабилизатор 80% Merit 5000 и 20% цемента, количество 200 кг/м3) имеет высокий модуль упругости ( E50 = 149 – 230 МПа для волокнистого торфа и E50 = 131 – 141 МПа для псевдоволокнистого торфа), жесткость (ML = 9.3 МПа для волокнистого торфа и …

Как рассчитать модуль Юнга по графику расширения силы?

  1. Штамм. Стресс. Б. …
  2. Модуль Юнга = напряжение (сила/площадь поперечного сечения) деформация (удлинение/исходная длина) …
  3. Когда упругий объект, такой как пружина, растягивается, увеличение длины называется его удлинением. . удлинение упругого тела прямо пропорционально приложенной к нему силе: …
  4. расширение (м) для.

Что такое модуль упругости алюминия?

Материал Модуль упругости при растяжении (модуль Юнга, модуль упругости) – E – (ГПа) Предел прочности при растяжении – σ u – (МПа)
Алюминий 69 110
Алюминиевые сплавы 70
Сурьма 78
Арамид 70 – 112

Что означает модуль 8?

Проще говоря, по модулю математическая операция нахождения остатка при делении двух чисел вместе .Если вы спросите: «Что такое 8 mod 8?» тогда вам действительно нужно знать: «Каков остаток при делении 8 на 8?».

Чему равен модуль 4 2?

4 по модулю 2 равно 0 , так как 4/2 = 2 с остатком 0. Чтобы найти 4 по модулю 2 с использованием метода модуля, мы сначала находим максимальное возможное кратное делителя 2, которое равно или меньше чем делимое, 4. Затем мы вычитаем из делимого наибольшее кратное, чтобы получить ответ на 4 по модулю 2.

Что означает 1 мод 3?

1 mod 3 равно 1 , так как 1/3 = 0 с остатком 1.Чтобы найти 1 по модулю 3 с помощью метода модуля, мы сначала находим наибольшее кратное делителя 3, которое равно или меньше делимого, 1. Затем мы вычитаем наибольшее кратное из делимого, чтобы получить ответ на 1 по модулю. 3.

Какая связь между модулем упругости и модулем жесткости?

Где K — объемный модуль. G — модуль сдвига или модуль жесткости.
…
Формула упругой константы.

Формула Единицы СИ
Связь между модулем упругости и модулем жесткости Е=2G(1+мк) Н/м 2 или паскаль(Па)
Связь между модулем Юнга и объемным модулем Е=3К(1−2мк) Н/м 2 или паскаль(Па)

Что такое модуль упругости Какова его единица класса 11?

Единицы давления – это единицы модуля упругости, которые определяются как единицы напряжения или давления, деленные на единицы деформации (безразмерные).Паскали (Па), единица СИ, являются наиболее часто используемыми единицами измерения.

Что такое 3 модуля упругости?

Модуль Юнга, модуль жесткости и объемный модуль — это три типа модуля упругости.

Код модуля упругости?

В последние годы в нормах проектирования указывается требуемый минимальный модуль упругости бетона, который необходимо соблюдать. Цель состоит в том, чтобы ограничить чрезмерную деформацию и раскачивание в высоких зданиях. … Величина деформации усадки и ползучести того же порядка, что и упругая деформация при нормальном диапазоне напряжений.

Что такое модуль упругости бетона?

Модуль упругости бетона относительно постоянен при низких уровнях напряжения, но начинает уменьшаться при более высоких уровнях напряжения по мере развития трещин в матрице. Модуль упругости затвердевшей пасты может составлять порядка 10-30 ГПа, а заполнители примерно от 45 до 85 ГПа .

Какой модуль упругости у бетона м40?

Марка

М40 – смесь бетона с характеристической прочностью на сжатие 40 Н/мм2….
…
Что такое модуль упругости бетона марки М40?

Средняя расчетная прочность через 28 дней (МПа) Эффективное водоцементное отношение
20 0,61 0,7
25 0,53 0,62
30 0,46 0,55
35 0,40 0,48

Как рассчитать композит?

Два распространенных метода расчета сводных баллов:

  1. Взвешенная единица – каждая единица имеет одинаковый вес, т.е.g., X = среднее (A, B, C, D)
  2. Регрессионно-взвешенный — каждый элемент взвешивается в соответствии с его факторной нагрузкой, например, X = . 5*А + 0,4*В + 0,4*С + 0,3*Г.

Как найти поперечный модуль?

Как рассчитать модуль поперечного растяжения?

Какой метод используется здесь для расчета модуля жесткости?

Модуль жесткости Формула

τxy=FA τ x y = FA равно касательному напряжению .F – сила, действующая на объект.

Как найти модуль жесткости на графике?

Формула модуля жесткости равна G=E/(2(1+v)) , модуль жесткости обозначается через G, модуль упругости обозначается через E, а коэффициент Пуассона равен v в формуле.

Сколько существует модулей упругости?

Модули упругости могут быть трех типов: модуль Юнга, модуль сдвига и объемный модуль.

Что такое модуль упругости в механике твердого тела?

Модуль упругости — это мера соотношения между напряжением и деформацией объекта .Модуль упругости является основной характеристикой при расчете реакции бетона на деформацию при приложении напряжения.

Как рассчитать деформацию в Excel?

Что такое пружинная жесткость грунта?

Жесткость боковых пружин рассчитывается путем приравнивания жесткости оголовка сваи из моделей конечных элементов к расчетному значению из балки по теории упругой опоры. Жесткость пружины коррелирует с механическими свойствами грунта, диаметром ствола и коэффициентом гибкости сваи с использованием методов подбора кривой .

Что такое физика жесткости?

Кнопка «Вернуться к началу»

Расчет профиля полного прогиба и оптимизация модуля Юнга для конструкционных материалов с высокими эксплуатационными характеристиками

Расчет профиля полного прогиба

Образцы были подготовлены и испытаны, как описано в разделах «Методы». Поле смещения луча (рис. 2) дискретизировано в регулярной сетке, и для каждого кадра программа DIC рассчитывает вертикальное (d v ) и горизонтальное (d h ) смещение каждой ячейки сетки.Среднее вертикальное смещение стержня вдоль горизонтальной оси w’(x) вычисляется для каждого кадра путем усреднения смещения соответствующих ячеек по высоте луча, как показано в уравнении (1). Усредненное вертикальное смещение балки затем корректируют путем фиксации вертикального смещения левой w(x l ) и правой w(x r ) опор равным нулю. Это делается путем применения к усредненному вертикальному перемещению жесткого переноса C и поворота φ , как определено в уравнениях (2) и схематично показано на рис.3. Эффектами вращения вокруг горизонтальной оси можно пренебречь, так как они намного меньше, чем дискретизация ячейки. Скорректированный профиль отклонения может быть рассчитан для каждого кадра записанного эксперимента с помощью уравнения (3), и пример показан на рис. 4.

Рисунок 2

( a ) поле балки во время испытания на трехточечный изгиб, ( b ) поле вертикального смещения d v и ( c ) поле горизонтального смещения d h до разрушения.

Рисунок 3

( a ) Пример конфигурации до (черный) и во время теста (красный). Схематическое изображение коррекции среднего вертикального смещения путем применения ( b ) жесткого вертикального перемещения и ( c ) поворота для получения ( d ) скорректированного профиля полного отклонения для каждого кадра.

Рис. 4: Типичная последовательность профилей прогиба перед разрушением (серый).

В частности, показан профиль при 20 % (черная пунктирная линия), 60 % (черная пунктирная линия) и 100 % (красная пунктирная линия) пиковой нагрузки.

Расчет модуля Юнга

Последовательности профилей отклонения балки были синхронизированы с историями нагрузки, записанными датчиком испытательного стенда, в результате чего было получено значение приложенной нагрузки для каждого профиля. Предполагая, что поперечные сечения балки остаются плоскими и нормальными к деформированной оси балки, теоретический профиль вертикального смещения (w EB ), связанный с приложенной нагрузкой, может быть выражен как функция модуля Юнга (E) эквивалентной линейно-упругая изотропная и однородная балка с заданной геометрией.В уравнении (4) теоретическое вертикальное смещение определяется как функция местоположения (x) и E, тогда как момент инерции (I) и пролет между двумя опорами (s) являются двумя константами, которые фиксируются геометрией тестируемого пучка. Затем можно определить единственное значение модуля Юнга для каждого кадра, индекс = i , путем минимизации суммы квадратов разностей между теоретическим и соответствующим экспериментальным прогибом (наименьшие квадраты) по всей длине балки между опоры.Повторяя минимизацию, показанную в уравнении (5) для каждой рамы, можно определить ряд промежуточных модулей Юнга ( E i ), которые лучше всего представляют отклонение балки для каждой приложенной нагрузки на каждой раме . Затем эти промежуточные модули можно использовать для определения единственного значения модуля Юнга, которое лучше всего представляет линейную зависимость между напряжением и деформацией для испытуемого материала в любом выбранном диапазоне приложенной нагрузки. Диапазон между 20% и 80% пиковой нагрузки был выбран для определения единого значения модуля Юнга для каждого образца.Таким образом, промежуточные модули были преобразованы в соответствующие значения прогиба в середине пролета, и была выполнена линейная регрессия методом наименьших квадратов для переменной прогиба для приложенной нагрузки в определенном диапазоне. Затем для каждого образца определяли значение модуля Юнга по уравнению (6), где H — высота образца, а м — наклон соответствующей линии наилучшего соответствия.

Неопределенность и оптические искажения

Предлагаемый подход основан на допущении, что плоскость мишени не смещается значительно в направлении, нормальном к этой плоскости, то есть в сторону или от камеры, что могло бы ложно указывать на расширение или сжатие соответственно.Можно сказать, что для этих экспериментов это верно, поскольку максимальные смещения в плоскости в направлении нагрузки, которые были бы преобладающими, были порядка всего 1 или 2 пикселей. Для оценки погрешности возможного оптического искажения был рассмотрен независимый эксперимент. Постоянное вертикальное смещение применялось к идентичной спекл-панели, соединенной с верхним пуансоном станка для трехточечной гибки, как показано на рис. 5(а). Эксперимент проводился в режиме управления водоизмещением, скорость крейцкопфа равна 0.4 мм/сек, что в среднем соответствует вертикальному смещению 0,8  мкм м за кадр. Поскольку максимальное вертикальное смещение перед коррекцией, испытываемое в среднем стержнями до разрушения, обычно составляет 30–40  мк м, в зависимости от испытанного образца, т.е. на рис. 2 ошибка была консервативно оценена по 100 кадрам, соответствующим полному вертикальному смещению 80  мк м, что вдвое превышает типичный диапазон смещений тестируемого образца. Та же процедура, примененная к образцам пучка, использовалась для расчета горизонтального профиля вертикального смещения спекл-панели.На рис. 5(б) показано скорректированное отклонение луча для каждого рассматриваемого кадра. Поскольку панель подвергается жесткому вертикальному перемещению без прогиба, погрешность оценки для каждого положения профиля прогиба, рассчитанная по предлагаемой методике, может быть определена как максимальное абсолютное значение профиля прогиба в каждом кадре. Расчетная ошибка, как показано на рис. 5(с) (штриховая линия), стремится к значению от 0,1 до 0,2  мк м. Эта ошибка слишком консервативна, когда профиль прогиба используется для расчета модуля Юнга.В этом случае все местоположения профиля отклонения сравниваются с теоретическим отклонением в процессе оптимизации. Оценка ошибки отклонения в этом случае может быть определена как максимальное отклонение (на полпути между двумя опорами) наилучшей кривой интерполяции, заданной теоретическим профилем отклонения Эйлера-Бернулли. В этом случае расчетная ошибка, как показано на рис. 5(с) (сплошная линия), ниже, чем в предыдущем случае. Максимальное значение этой оценочной ошибки стремится к 0.1  μ м и соответствует вертикальному смещению, близкому к максимальному перед разрушением в реальных испытаниях. Поскольку модуль Юнга для любой приложенной нагрузки является линейной функцией максимального (среднего) значения профиля прогиба балки, и что это значение варьируется от 15 до 20  мк м, в зависимости от испытуемого образца, относительная ошибка, вызванная оптические искажения по последним оценкам модуля Юнга, рассчитанного до разрушения, составляют от 0,5% до 0,7%.

Рисунок 5

( a ) Конфигурация балки до и после приложения движения твердого тела.( b ) Оптические искажения в горизонтальном профиле вертикального смещения спекл-панели во время эксперимента. ( c ) Тенденция предполагаемых максимальных ошибок для каждого кадра.

Точность и аккуратность

Далее следует сравнение между предложенной методологией и стандартными подходами, предложенными в EN 843-2:2006, с использованием данных как о перемещении, так и о деформации, извлеченных в дискретных точках из данных о деформации полного поля ДИК. Как показано на рис.6(а), мы сравниваем следующее:

  • Предлагаемая методика;

  • Три виртуальных смещения (в середине пролета и на обеих опорах, три набора размещены на разной высоте на видимой поверхности балки;

  • Два виртуальных тензорезистора, размещенных вблизи нижней поверхности балки

Рисунок 6

( a ) Представление точек, из которых вертикальные смещения рассчитываются стандартным методом с использованием трех различных наборов виртуальных датчиков перемещений (оранжевые квадраты , синие треугольники и красные кресты) и площади, используемой с предлагаемой методикой (черная пунктирная линия).Две стрелки (зеленая и пурпурная) обозначают расположение двух виртуальных тензодатчиков. ( b ) Схематическое изображение различного определения вертикальных перемещений стандартным методом из трех точек данных в двух разных местах (желтый, синий и красный) и с помощью предлагаемой методологии из наилучшей интерполяции профиля полного отклонения (черный ).

Для целей этого сравнения использовались наборы данных из одного репрезентативного испытания на изгиб.Алгоритм, предложенный в EN 843-2:2006 для преобразователей перемещений, эквивалентен расчету модуля Юнга по теории изгиба Эйлера-Бернулли, но использует только максимальное вертикальное смещение в середине пролета относительно среднего вертикального смещения на двух опорах, как показано на рис. 6(б).

В предлагаемом методе используется весь набор данных о вертикальном смещении, охватывающий всю наблюдаемую поверхность балки, чтобы получить профиль полного отклонения образца.Этот профиль отклонения корректируется, чтобы исключить перемещение и вращение твердого тела, а затем анализируется, чтобы определить кривую отклонения Эйлера-Бернулли, наиболее подходящую, как показано на рис. 6(b). Повторяя этот процесс для каждой рамы, можно определить ряд промежуточных модулей Юнга, которые лучше всего представляют отклонение балки для каждой приложенной нагрузки на каждой раме. Эти промежуточные модули впоследствии можно использовать для определения единственного значения модуля Юнга, которое лучше всего представляет линейную зависимость между напряжением и деформацией для испытуемого материала.Использование большего набора данных о перемещении для определения изгиба балки и более сложного метода для учета перемещения и вращения твердого тела являются ключевыми особенностями, которые позволяют предлагаемому методу иметь более высокий уровень точности по сравнению с стандартный метод с тремя датчиками перемещения.

Чтобы сравнить уровни точности двух методологий, промежуточные модули Юнга, определенные с помощью предложенной методики, были преобразованы обратно в соответствующие значения прогиба в середине пролета для каждой приложенной нагрузки.Таким образом, можно сравнить кривую сила-прогиб по предлагаемой методологии (т. е. для всего поля) с кривыми, полученными с помощью стандартного метода, эквивалентного DIC, на основе наборов виртуальных датчиков смещения, размещенных на разных высотах балки. Значения силы и прогиба при 20% и 80% пиковой нагрузки затем использовались для оценки модуля Юнга по трем кривым в соответствии с процедурой, предложенной в стандарте EN 843-2:2006, раздел 4.

Кривые сила-прогиб показано на рис.7(a) показывают, что стандартный метод может быть чувствителен к выбору местоположения виртуальных датчиков на поверхности балки, в частности к тому, где виртуальные датчики расположены вблизи внутренней или внешней дуги отклоняющей балки. Эта изменчивость результатов стандартного метода указывает на более низкую точность, поскольку в наших примерах она дает три значения модуля Юнга, отличающиеся более чем на 3%, при этом более низкое значение получается в расположении самых нижних позиций, которые аналогичны положения датчика, указанные в EN 843-2:2006, раздел 4.В вспомогательной ссылке на EN 843-2:2006 22 отмечается, что стандартный метод квазистатического изгиба обычно дает более низкие значения, чем другие стандартные методы для керамических материалов. Вместо этого предлагаемая методология использует данные со всей поверхности балки, от внутренней до внешней дуги, устраняя изменчивость из-за выбора местоположения виртуальных преобразователей. Предлагаемая методология дает более высокий модуль Юнга, чем те, которые определяются виртуальными измерителями перемещений (с использованием данных DIC) и применением стандартных методов расчета.Это говорит о том, что предложенная методика обеспечивает более высокую точность и может устранять потенциальное смещение в сторону более низких значений, которое, вероятно, будет наложено стандартным методом квазистатического изгиба.

Рисунок 7

( a ) Сравнение кривых сила-прогиб, рассчитанных стандартным методом по трем наборам трех точек данных (оранжевая, синяя и красная) и предложенной методикой по наилучшей интерполяции полного профиль прогиба (черный). ( b ) Подмножество данных, показанных в ( a ) с усилием в процентах от пиковой нагрузки и ограниченным диапазоном 20% и 80%.Соответствующие линейные тренды (серые пунктирные линии), полученные из модуля Юнга, экстраполированного из двух кривых при 20% и 80% пиковой нагрузки, также нанесены для каждого набора. ( c ) Сравнение кривых сила-деформация двух виртуальных тензодатчиков и предложенной методики. Соответствующие линейные тренды (серые пунктирные линии), полученные из модуля Юнга, экстраполированного из трех кривых при 20% и 80% пиковой нагрузки, также представлены на графике.

На рис.7(b) сила нормирована с учетом пиковой нагрузки, а диапазон данных ограничен от 20% до 80% пиковой нагрузки (в пределах диапазона 10–90%, указанного в EN 843-2:2006). Также нанесены линии тренда, определенные стандартным методом анализа, который учитывает значения только в двух точках оценки, выбранных оператором (например, 20 % и 80 % пиковой нагрузки). Количественную оценку уровня точности можно получить путем вычисления суммы квадратов невязок (SSR) между значениями, указанными линейным трендом, и фактическими данными об отклонении, которые представляют собой отклонение измерения от значения, указанного этим трендом.Предлагаемая методология полного поля имеет более низкое SSR (таблица на рис. 7 (b), 4,28 против 5,51, 7,60 и 8,10  мкм 2 ) и, следовательно, более высокий уровень точности. Промежуточные модули Юнга из предложенной методики также использовались для обратного расчета соответствующих значений горизонтальной деформации на нижней поверхности образца в середине пролета для каждого значения приложенной нагрузки. Сопоставимые значения горизонтальной деформации также были извлечены непосредственно из данных деформации полного поля ДИК в двух дискретных точках непосредственно над нижним краем наблюдаемой поверхности.Каждое из них было скорректировано до эквивалентного значения на нижней поверхности. Полученные данные сила-деформация (от 20% до 80% пиковой нагрузки) представлена ​​на рис. 7 (с). Значения силы и деформации при 20 % и 80 % пиковой нагрузки затем использовались для оценки модуля Юнга, как это предлагается в EN 843-2:2006, раздел 4. Опять же, количественная оценка уровня точности может быть получена также из расчет SSR между значениями, указанными линейным трендом, и фактическими данными деформации. Предлагаемая методика, основанная на ДИК полного поля, имеет SSR на два порядка меньше, чем полученные стандартным методом (таблица на рис.7(c) 2,07 10 -8 против 1,44 10 -6 и 2,08 10 -6 ), и, следовательно, гораздо более высокий уровень точности.

Это сравнение было проведено для эксперимента, который был записан с помощью самого современного оборудования, поэтому с помощью ДИК анализировались только изображения с высоким разрешением. Разумно предположить, что повышение точности предлагаемой методологии будет более значительным для изображений с более низким разрешением, поскольку использовался весь набор данных о деформации (от опоры до опоры и по всей высоте), а не гораздо меньшие подмножества этих данных, представляющих всего несколько отдельных мест.

Модуль упругости – определение и графическое представление

Модуль упругости, также называемый модулем упругости или просто модулем, представляет собой количественную оценку коэффициента упругости материала. Модуль упругости измеряет сопротивление материала непостоянной или упругой деформации, когда к его телу приложено определенное соотношение напряжений. Под действием нагрузки материалы в первую очередь проявляют свои упругие свойства. Напряжение вызывает их деформацию, но материал вернется в прежнее состояние после устранения напряжения.После прохождения упругой области и через точку производства материалы попадают в пластическую область, где обнаруживают вечную деформацию даже после снятия растягивающего напряжения.

Графическое представление модуля упругости

Графически модуль описывается как наклон прямолинейной части кривой напряжения, обозначаемой (σ), и деформации, обозначаемой (ε). Сосредоточившись на упругой области, если наклон находится между двумя точками напряжения-деформации, модуль будет равен изменению напряжения, деленному на изменение деформации.Таким образом, Модуль =σ2−σ1/ε2−ε1.

В этом случае напряжение (σ) представляет собой силу, деленную на площадь поперечного сечения образца, а деформация (ε) представляет собой изменение длины материала, деленное на исходную мерную длину материала. Учитывая, что и напряжение, и деформация являются нормированными количественными показателями, модуль демонстрирует постоянное свойство материала, которое можно различать между образцами разных размеров. Огромный стальной образец будет иметь такой же модуль, как и небольшой стальной образец, хотя большому образцу потребуется большее максимальное усилие для деформации материала.

Примечание. Хрупкие материалы, такие как пластик, алюминий, медь и композиты, имеют более крутой наклон и более высокое значение модуля, чем пластичные материалы, такие как железо, резина, сталь и т. д.

См. ниже кривую деформации-напряжения.

(изображение будет загружено в ближайшее время)

Модуль упругости пластика или эластомеров

В отличие от хрупких материалов, таких как металлы и пластики, эластомерные материалы не имеют предела текучести и продолжают упруго деформировать материал до тех пор, пока не сломаются.В случае синтетических полимеров, обладающих эластичными свойствами, таких как каучук, модуль просто выражается как мера силы при заданном удлинении. Например, на приведенном ниже графике модуль показан как напряжение на разных уровнях для различных материалов.

(изображение будет загружено в ближайшее время)

Типы модуля упругости

Модуль упругости материала представляет собой количественную оценку его жесткости и для большинства материалов остается неизменным в диапазоне нагрузок.Ниже приведены различные типы модулей упругости:

Модуль Юнга

Отношение продольной деформации к продольному напряжению известно как модуль Юнга.

Объемный модуль

Отношение напряжения, приложенного к телу, к частичному уменьшению объема тела называется объемным модулем. Таким образом, когда тело подвергается трем взаимно перпендикулярным напряжениям одинаковой интенсивности, отношение прямого напряжения к соответствующей объемной деформации есть то, что мы называем объемным модулем.Объемный модуль обычно обозначается буквой K.

Модуль сдвига

Также известный как модуль жесткости, отношение тангенциальной силы, приложенной к единице площади, к угловой деформации в радианах называется модулем сдвига. Модуль сдвига обычно обозначается буквой C.

Как рассчитать различные типы модуля упругости

Существуют различные типы модуля упругости и особые способы расчета типов модуля упругости, которые мы обсудим ниже.

Расчет различных типов модуля упругости

Расчет модуля упругости обычно требуется пользователям, записывающим модуль. Следовательно, они должны быть хорошо знакомы с тем, что существуют различные способы измерения наклона начального линейного участка кривой напряжения/деформации. Помните, что при сравнении результатов модуля для данного материала в разных лабораториях важно знать, какой тип расчета модуля был выбран.

Таким образом, наклоны измеряются на начальном прямолинейном участке кривой с использованием аппроксимации тестовых данных методом наименьших квадратов.2}\]

Где, \[\frac {F} {A}\] = объемное напряжение или объемное напряжение

\[\frac {v} {V} \] = объемная деформация или объемная деформация

Таким образом, P = \[\frac {F} {A}\]

Модуль сдвига

Мы определяем модуль сдвига следующим образом.2}\]

Модуль хорды

Чтобы определить модуль хорды, мы должны выбрать начальную точку деформации и конечную точку деформации. Между двумя точками необходимо провести отрезок линии, а наклон этой линии указывается как модуль.

Модуль упругости

Модуль упругости определяется с использованием стандартной стратегии линейной регрессии. Часть кривой, используемая для расчета, выбирается автоматически и не включает начальную и конечную части упругой деформации в том месте, где кривая напряжения-деформации нелинейна.

Модуль гистерезиса

Модуль легко идентифицируется по петле гистерезиса, возникающей при частичном нагружении и повторном нагружении.

Секущий модуль

Используя нулевую точку напряжения/деформации в качестве начального значения и выбранную пользователем точку деформации в качестве конечного значения, мы можем определить этот тип модуля. Отрезок строится между двумя точками, и наклон этой линии сообщается как модуль.

Модуль сегмента

Нам нужно выбрать начальную точку деформации и конечную точку деформации.Используя метод наименьших квадратов для всех точек между начальной и конечной точками, строится отрезок. Таким образом, наклон линии наилучшего соответствия записывается как модуль.

Касательный модуль

Выбрав точку касания на кривой напряжения/деформации, мы можем вычислить модуль касательного типа. Таким образом, наклон касательной записывается как модуль.

Изменяется ли модуль Юнга при изменении радиуса проволоки?

Нет, модуль Юнга не меняется с изменением радиуса.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *