Формула упругости модуля: Ничего не найдено для %25D0%25Bc%25D0%25B5%25D1%2585%25D0%25B0%25D0%25Bd%25D0%25B8%25D0%25Ba%25D0%25B0 %25D0%25Bc%25D0%25Be%25D0%25B4%25D1%2583%25D0%25Bb%25D1%258C %25D1%2583%25D0%25Bf%25D1%2580%25D1%2583%25D0%25B3%25D0%25Be%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8

alexxlab | 05.11.1986 | 0 | Разное

Содержание

Модуль упругости (Модуль Юнга): понятие, формулы, как определить

При проектировании строительной конструкции стоит задача спрогнозировать ее поведение при заданных нагрузках и внешних условиях. Бетон воспринимает значительные усилия, поэтому важный этап расчета — определение деформаций и прогибов при статическом нагружении.

В расчете железобетонных конструкций по второй группе предельных состояний применяют физическую величину, называемую модулем упругости бетона, или модулем Юнга. Он характеризует свойства твердого вещества в зоне упругих деформаций.

Основные сведения

Модуль Юнга, (называемый также модулем продольной упругости и модулем упругости первого рода) это важная механическая характеристика вещества. Он является мерой сопротивляемости продольным деформациям и определяет степень жесткости. Он обозначается как E; измеряется н/м2 или в Па.

Это важный коэффициент применяют при расчетах жесткости заготовок, узлов и конструкций, в определении их устойчивости к продольным деформациям. Вещества, применяемые для изготовления промышленных и строительных конструкций, имеют, как правило, весьма большие значения E. И поэтому на практике значения Е для них приводят в гигаПаскалях (1012Па)

Величину E для стержней поддается расчету, у более сложных конструкций она измеряется в ходе опытов.

Приближенные величины E возможно узнать из графика, построенного в ходе тестов на растяжение.

График теста на растяжение

E- это частное от деления нормальных напряжений σ на относительное удлинение ε.

E=α/ε

Закон Гука также можно сформулировать и с использованием модуля Юнга.

Способы определения

Модуль упругости бетона определяют:

механическим испытанием образцов;
неразрушающим ультразвуковым методом, основанным на сравнении скорости распространения волн в существующей конструкции и испытанном образце с заданными характеристиками.

Механический способ

Исследование первым методом проводят согласно ГОСТ 24452-80. Изготавливают образцы с сечением в виде квадрата или круга с соотношением высоты к диаметру (ширине), равным 4.

Образцы сериями по три штуки выбуривают, высверливают или выпиливают из готовых изделий, либо набивают формы согласно ГОСТ 10180-78. До начала испытаний призмы или цилиндры выдерживают под влажной тканью.

Для определения модуля упругости бетона используют прессы со специальными базами для измерения деформаций. Они состоят из приборов, расположенных под разными углами к граням образца. Индикаторы крепят к стальным рамкам или приклеенным опорным вставкам.

Если испытания проводят для конструкций, работающих при повышенной влажности или высокой температуре, выполняют специальную подготовку по ГОСТ 24452-80.

Испытания проводят по схеме:

Образцы с индикаторами помещают под пресс, совмещая ось заготовки с центром плиты оборудования. Величину разрушающей нагрузки назначают, исходя из марочной прочности бетона.
Нагрузку увеличивают постепенно, ступенями по 10% от разрушающей. Выдерживают интервалы 4-5 минут.
Доводят усилие до 40-45% от максимального. Если программа не предусматривает другие требования, приборы снимают. Дальнейшее нагружение проводят с постоянной скоростью.
Производят обработку результатов для каждого образца при нагрузке, равной 30% от разрушающей. Все данные заносят в журнал испытаний.

На основе исследований можно судить о начальном модуле упругости бетона. Эта величина характеризует свойства материала при нагрузке, в пределах которой в образцах возникают обратимые изменения. Показатель обозначается как Eb, его значение для каждого класса бетона внесено в таблицы строительных норм и маркировку изделий.

Так, модуль упругости бетона В15 естественного твердения составляет 23, а подвергнутого тепловой обработке 25 МПа*10-3.

Величина модуля упругости бетона для классов В20, В25, В30, В35 и В40 равна 27, 30, 32,5, 34,5 и 36 МПа*10-3. В пропаренных конструкциях она соответствует 24,5, 27, 29, 31 и 32,5 МПа*10-3.

Ультразвуковой способ

Применяется для исследования конструкций без их локального разрушения. При повышенной влажности такой метод определяет модуль упругости с погрешностью 15-75%, так как скорость распространения ультразвуковых колебаний в водной среде возрастает.

Чтобы избежать ошибок при измерениях, разработан метод определения модуля Юнга с учетом влажности бетона. Он основан на опытных испытаниях серий образцов с различной водонасыщенностью.

Нормативные и расчетные значения сопротивления бетона получают, используя корректирующие коэффициенты с учетом условий работы конструкции. Методика расчета описана в СП 63.13330.2012.

Физический смысл модуля Юнга

Во время принудительного изменения формы предметов внутри них порождаются силы, сопротивляющиеся такому изменению, и стремящиеся к восстановлению исходной формы и размеров упругих тел.

Если же тело не оказывает сопротивления изменению формы и по окончании воздействия остается в деформированном виде, то такое тело называют абсолютно неупругим, или пластичным. Характерным примером пластичного тела является брусок пластилина.

Виды деформации

Р. Гук исследовал удлинение стрежней из различных веществ, под воздействием подвешенных к свободному концу гирь. Количественным выражением степени изменения формы считают относительное удлинение, равное отношению абсолютного удлинения и исходной длины.

В результате серии опытов было установлено, что абсолютное удлинение пропорционально с коэффициентом упругости исходной длине стрежня и деформирующей силе F и обратно пропорционально площади сечения этого стержня S:

Δl = α * (lF) / S

Величину, обратную α, и называют модулем Юнга:

1/α = E

Относительная деформация:

ε = (Δl) / l = α * (F/S)

Отношение растягивающей силы F к S называют упругим напряжением σ:

ε=α σ

Закон Гука, записанный с использованием модуля Юнга, выглядит так:

σ = ε/α = E ε

Теперь можно сформулировать физический смысл модуля Юнга: он соответствует напряжению, вызываемому растягиванием стержнеобразного образца вдвое, при условии сохранения целостности.

В реальности подавляющее большинство образцов разрушаются до того, как растянутся вдвое от первоначальной длины. Значение E вычисляют с помощью косвенного метода на малых деформациях.

Коэффициент жёсткости при упругой деформации стержня вдоль его оси k = (ES) / l

Модуль Юнга определяет величину потенциальной энергии тел или сред, подвергшихся упругой деформации.

Источники и примечания

[www.physel.ru/mainmenu-4/-mainmenu-9/101-s-98—-.html Упругая деформация] (рус.). [www.webcitation.org/68nxdCgZR Архивировано из первоисточника 30 июня 2012].
Dieter Meschede, Christian Gerthsen.
Physik. — Springer, 2004. — P.
[books.google.com/books?id=pfpkxqB-jGoC&pg=PA181&dq=Federkonstante 181]
..
Bruno Assmann.
Technische Mechanik: Kinematik und Kinetik. — Oldenbourg, 2004. — P.
[books.google.com/books?id=NGu2K3eosMoC&pg=PA11&dq=Federkonstante 11]
..
[www.edu.yar.ru/projects/socnav/prep/phis001/dyn/dyn10. html Динамика, Сила упругости] (рус.). [www.webcitation.org/68nxeMf0N Архивировано из первоисточника 30 июня 2012].
[www.edu.delfa.net/CONSP/meh5.htm Механические свойства тел] (рус.). [www.webcitation.org/68nxfaOO5 Архивировано из первоисточника 30 июня 2012].

Значения модуля юнга для некоторых материалов

В таблице показаны значения E ряда распространенных веществ.

Материал	модуль Юнга E, ГПа
Алюминий	70
Бронза	75-125
Вольфрам	350
Графен	1000
Латунь	95
Лёд	3
Медь	110
Свинец	18
Серебро	80
Серый чугун	110
Сталь	200/210
Стекло	70

Модуль продольной упругости стали вдвое больше модуля Юнга меди или чугуна. Модуль Юнга широко применяется в формулах прочностных расчетов элементов конструкций и изделий в целом.

Предел прочности материала

Это предел возникающего напряжения, после которого образец начинает разрушаться.

Статический предел прочности измеряется при продолжительном приложении деформирующего усилия, динамический — при кратковременном, ударном характере такого усилия. Для большинства веществ динамический предел больше, чем статический.

Инструмент для определения предела прочности

Кроме того, существуют пределы прочности на сжатие материала и на растяжение. Они определяются на испытательных стенда опытным путем, при растягивании или сжатии образцов мощными гидравлическим машинами, снабженными точными динамометрами и измерителями давления. В случае невозможности достижения требуемого давления гидравлическим способом иногда применяют направленный взрыв в герметичной капсуле.

Виды нагрузок

При использовании металлов прилагаются разные нагрузки статического и динамического воздействия. В теории прочности принято определять нагружения следующих видов.

Сжатие – действующая сила сдавливает предмет, вызывая уменьшение длины вдоль направления приложения нагрузки. Такую деформацию ощущают станины, опорные поверхности, стойки и ряд других конструкций, выдерживающих определённый вес. Мосты и переправы, рамы автомобилей и тракторов, фундаменты и арматура, – все эти конструктивные элементы находятся при постоянном сжатии.

Растяжение – нагрузка стремится удлинить тело в определенном направлении. Подъемно-транспортные машины и механизмы испытывают подобные нагружения при подъеме и переноске грузов.

Читать также: Какие бывают диодные ленты

Сдвиг и срез – такое нагружение наблюдается в случае действия сил, направленных вдоль одной оси навстречу друг другу. Соединительные элементы (болты, винты, заклепки и другие метизы) испытывают нагрузку подобного вида. В конструкции корпусов, металлокаркасов, редукторов и других узлов механизмов и машин обязательно имеются соединительные детали. От их прочности зависит работоспособность устройств.

Кручение – если на предмет действует пара сил, находящихся на определенном расстоянии друг от друга, то возникает крутящий момент. Эти усилия стремятся произвести скручивающую деформацию. Подобные нагружения наблюдаются в коробках передач, валы испытывают именно такую нагрузку. Она чаще всего непостоянная по значению. В течение времени величина действующих сил меняется.

Изгиб – нагрузка, которая изменяет кривизну предметов, считается изгибающей. Мосты, перекладины, консоли, подъемно-транспортные механизмы и другие детали испытывают подобное нагружение.

Допускаемое механическое напряжение в некоторых материалах при растяжении

Из жизненного опыта известно, что разные материалы по-разному сопротивляются изменению формы. Прочностные характеристики кристаллических и других твердых тел определяются силами межатомного взаимодействия. По мере роста межатомных расстояний возрастают и силы, притягивающие атомы друг к другу. Эти силы достигают максимума при определенной величине напряжения, равной приблизительно одной десятой от модуля Юнга.

Испытание на растяжение

Эту величину называют теоретической прочностью, при ее превышении начинается разрушение материала. В реальности разрушение начинается при меньших значениях, поскольку строение реальных образцов неоднородно. Это вызывает неравномерное распределение напряжений, и разрушение начинается с тех участков, где напряжения максимальны.

Значения σраст в МПа:

Материалы	σраст
Бор	5700	0,083
Графит	2390	0,023
Сапфир	1495	0,030
Стальная проволока	415	0,01
Стекловолокно	350	0,034
Конструкционная сталь	60	0,003
Нейлон	48	0,0025

Эти цифры учитываются конструкторами при выборе материала деталей будущего изделия. С их использованием также проводятся прочностные расчеты. Так, например, тросы, используемые для подъемно- транспортных работ, должны иметь десятикратный запас по прочности. Периодически их проверяют, подвешивая груз в десять раз больше, чем паспортная грузоподъемность троса.

Запасы прочности, закладываемые в ответственные конструкции, также многократны.

Общее понятие

Модуль упругости (также известный как модуль Юнга) – один из показателей механических свойств материала, который характеризует его сопротивляемость деформации растяжения. Другими словами, его значение показывает пластичность материала. Чем больше модуль упругости, тем менее будет растягиваться какой-либо стержень при прочих равных условиях (величина нагрузки, площадь сечения и прочее).

В теории упругости модуль Юнга обозначается буквой Е. Является составной частью закона Гука (закона о деформации упругих тел). Связывает напряжение, возникающее в материале, и его деформацию.

Согласно международной стандартной системе единиц измеряется в МПа. Но на практике инженеры предпочитают использовать размерность кгс/см2.

Определение модуля упругости осуществляется опытным путем в научных лабораториях. Суть данного способа заключается в разрыве на специальном оборудовании гантелеобразных образцов материала. Узнав напряжение и удлинение, при котором произошло разрушение образца, делят данные переменные друг на друга, тем самым получая модуль Юнга.

Отметим сразу, что таким методом определяются модули упругости пластичных материалов: сталь, медь и прочее. Хрупкие материалы – чугун, бетон – сжимают до появления трещин.

Дополнительные характеристики механических свойств

Модуль упругости дает возможность предугадать поведение материла только при работе на сжатие или растяжение. При наличии таких видов нагрузок как смятие, срез, изгиб и прочее потребуется введение дополнительных параметров:

Жесткость есть произведение модуля упругости на площадь поперечного сечения профиля. По величине жесткости можно судить о пластичности уже не материала, а узла конструкции в целом. Измеряется в килограммах силы.
Относительное продольное удлинение показывает отношение абсолютного удлинения образца к общей длине образца. Например, к стержню длиной 100 мм приложили определенную силу. Как результат, он уменьшился в размере на 5 мм. Деля его удлинение (5 мм) на первоначальную длину (100 мм) получаем относительное удлинение 0,05. Переменная является безразмерной величиной. В некоторых случаях для удобства восприятия переводится в проценты.
Относительное поперечное удлинение рассчитывается аналогично вышепредставленному пункту, но вместо длины здесь рассматривается диаметр стержня. Опыты показывают, что для большинства материалов поперечное удлинение в 3-4 раза меньше, чем продольное.
Коэффициент Пуансона есть отношение относительной продольной деформации к относительной поперечной деформации. Данный параметр позволяет полностью описать изменение формы под воздействием нагрузки.
Модуль сдвига характеризует упругие свойства при воздействии на образец касательных напряжений, т. е. в случае, когда вектор силы направлен под 90 градусов к поверхности тела. Примерами таких нагрузок является работа заклепок на срез, гвоздей на смятие и прочее. По большому счету, модуль сдвига связан с таким понятием как вязкость материла.
Модуль объемной упругости характеризуется изменением объема материала для равномерного разностороннего приложения нагрузки. Является отношением объемного давления к объемной деформации сжатия. Примером такой работы служит опущенный в воду образец, на который по всей его площади воздействует давление жидкости.

Читать также: Неисправности магнетрона микроволновой печи

Помимо вышесказанного необходимо упомянуть, что некоторые типы материалов имеют различные механические свойства в зависимости от направления нагрузки. Такие материалы характеризуются как анизотропные. Яркими примерами служит древесина, слоистые пластмассы, некоторые виды камня, ткани и прочее.

У изотропных материалов механические свойства и упругая деформация одинаковы в любом направлении. К ним относят металлы (сталь, чугун, медь, алюминий и прочее), неслоистые пластмассы, естественные камни, бетон, каучук.

Коэффициент запаса прочности

Для количественного выражения запаса прочности при конструировании применяют коэффициент запаса прочности. Он характеризует способность изделия к перегрузкам выше номинальных. Для бытовых изделий он невелик, но для ответственных узлов и деталей, могущих при разрушении представлять опасность для жизни и здоровья человека, его делают многократным.

Запас прочности

Точный расчет прочностных характеристик позволяет создать достаточный для безопасности запас прочности и одновременно не перетяжелить конструкцию, ухудшая ее эксплуатационные характеристики. Для таких расчетов используются сложные математические методы и совершенное программное обеспечение. Наиболее важные конструкции обсчитывают на суперкомпьютерах.

Часть 2: получаем данные по материалам для механики конструкций исходя из результатов измерений

В первой части мы обсудили некоторые факторы, которые следует учитывать при преобразовании ваших результатов измерений характеристик материалов в модель состояния. Мы достаточно подробно рассмотрели гиперупругие материалы. Сегодня мы обсудим способы применения нелинейных упругих и упругопластических материалов, а также изучим метод, позволяющий использовать результаты измерений непосредственно в COMSOL Multiphysics.

Нелинейные упругие материалы

Некоторые материалы проявляют существенную нелинейность уже при малых деформациях. Примерами являются чугун и некоторые керамические материалы. Однако при снятии нагрузки, ведущей к умеренной деформации, они возвращаются в исходное состояние по той же диаграмме деформации, то есть их отклик является упругим. Для описания таких материалов необходима нелинейная упругая модель.

В предыдущей публикации блога мы обсудили гиперупругие материалы. Почему бы не воспользоваться одной из таких моделей, чтобы обеспечить соответствие с диаграммой деформации, построенной на основе результатов измерений, для, например, мелкозернистого чугуна? Проблема в том, что модели гиперупругих материалов рассчитаны на большие деформации. Для эластомеров растяжение может достигать сотен процентов от исходной длины, тогда как область упругих деформаций для металлов и более хрупких материалов составляет обычно менее 1%.

Например, крайне популярная модель Муни — Ривлина является существенно линейной при малых деформациях. Поэтому для нашей задачи она не подходит. В модели Огдена напряжение вычисляется как сумма значений растяжения, возведенных в определенные степени. Однако для малых деформаций растяжение может быть ограничено значениями порядка 0.999 — 1.001. Чтобы модель отражала существенную нелинейность материала, показатель степени в формуле должен быть чрезвычайно большим. Данные измерений вряд ли будут хорошо соответствовать такому закону. Для хрупких материалов более естественной характеристикой деформации является техническая деформация. О различных величинах, используемых для измерения напряжений и деформаций, можно прочитать в публикации «Why All These Stresses and Strains?»

Для решения этой задачи COMSOL предлагает набор нелинейных упругих моделей, рассчитанных на малые деформации. Для работы этих моделей материалов необходим модуль Nonlinear Structural Materials (Нелинейные конструкционные материалы) или Geomechanics (Геомеханика). Эти модели доступны в интерфейсах Solid Mechanics (Механика твердого тела) и Membrane (Мембрана). Рассмотрим способы применения этих материалов.

Выбор модели нелинейного упругого материала в COMSOL Multiphysics.

Всего доступно девять моделей нелинейных упругих материалов. Некоторые из них представляются в виде простой математической формулы с небольшим количеством параметров. Одна из этих моделей материалов является особенно полезной при обработке экспериментальных данных о зависимости деформации от напряжения: Uniaxial data (Однонаправленные данные). Эта модель предназначена именно для анализа на основе результатов измерений. Рассмотрим настройки этой модели:

Настройки нелинейной упругой модели Однонаправленные данные.

Основная часть данных передается в модель в виде функции, которая описывает зависимость однонаправленной деформации от однонаправленного напряжения. В этом примере результаты измерений представлены в виде функции интерполяции, которая называется stress_strain_curve, однако их можно задать и аналитическим выражением. Функцию интерполяции можно задать в явном виде, как набор результатов измерений, или же выбрать файл, из которого будут считаны эти данные. В нашем примере данные импортируются непосредственно из файла Excel®. Для этого необходим модуль расширения LiveLink™ для Excel®. Однако данные также можно импортировать из текстовых файлов с разделителем-табуляцией.

Импортированная диаграмма зависимости однонаправленной деформации от однонаправленного напряжения.

Однако эта кривая для однонаправленных характеристик не содержит достаточной информации для того, чтобы полностью определить многонаправленный основной закон. Необходимо сделать еще одно предположение. Вам требуется задать либо постоянную величину коэффициента Пуассона, либо модуль объемной упругости. Для многих материалов хорошим приближением является постоянный коэффициент Пуассона в диапазоне от 0,2 до 0,3. Это все, что нужно для построения полной модели материала.

Обратите внимание на диаграмму деформации выше: кривые для растяжения и сжатия не совпадают. Однако при многонаправленном напряжении определенная точка материала может испытывать натяжение в одном направлении и сжатие в другом. Какую ветвь кривой для материала следует применять в таком случае? Модель материала является изотропной: она обладает одинаковой жесткостью во всех направлениях. Однако определяющей характеристикой является изменение объема. Если локальное изменение объема отрицательно, то применяется ветвь, характеризующая сжатие.

Примечания: теория

Существование изотропного нелинейного упругого материала теоретически возможно только при соблюдении следующих условий:

Среднее напряжение («давление») или модуль объемной упругости является функцией только объемной деформации.
Напряжение сдвига или модуль сдвига является функцией только относительной деформации сдвига.

Если эти условия не выполняются, то можно создать нагрузочный цикл, который будет прэнергию, то естьвечный двигатель.

Все встроенные материалы разрабатывались так, чтобы соответствовать этим условиям. Рассмотрим, например, настройки для Двухлинейного упругого материала (Bilinear elastic material). В них вам необходимо указать модули объемной упругости для растяжения и сжатия — не модули Юнга, как можно было ожидать.

Чаще всего специалисты по расчету строительных конструкций имеют дело с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона. Это основные характеристики упругого материала. Однако, в соответствии с требованиями выше, если модуль Юнга зависит от деформации, то…

Функция, описывающая эту зависимость, может принимать только очень специфичные формы.
Коэффициент Пуассона также должен быть функцией деформации. В результате получается функция, которую очень сложно выразить.

Как тогда можно задать однонаправленные данные при постоянном коэффициенте Пуассона? Для решения этой задачи мы разработали скрытые от пользователя допустимые функции для модуля объемной упругости и модуля поперечной упругости. Модуль Юнга при этом не используется, хотя при взгляде на график этого можно было ожидать.

При этом я видел несколько успешных моделей, в которых аналитик добавил зависимости деформации в модулях Юнга для изотропных или ортотропных материалов в модели упругого материала. Для решения прикладных задач такой метод может подойти. Учебное приложение Modeling Stress-Dependent Elasticity является примером определения зависимого от напряжения модуля Юнга. Чтобы такой подход работал, необходимо, чтобы структура подвергалась преимущественно пропорциональному нагружению (т. е. без поворота направлений главных деформаций).

Консольная балка с различными значениями модуля Юнга для растяжения и сжатия. Свободный конец балки подвергается изгибному моменту. На верхнем графике показано напряжение по Мизесу, на нижнем — текущее значение модуля Юнга.

Когда вы задаете для модели свойство нелинейной упругости при помощи встроенных моделей или собственных выражений, важно сохранять строгое разделение между тангенциальной жесткостью и секущей жесткостью. Выражение для нелинейной упругой модели часто похоже на формулу для линейной модели, но с зависимостью коэффициента упругости (который уже не является константой!) от напряжения или деформации. Предположим, что напряжение сдвига \tau связано с деформацией сдвига \gamma как

\tau = G_S(\gamma) \cdot \gamma

В таком случае модуль сдвига G_S(\gamma) является секущим модулем сдвига. Произведение полной деформации на секущий модуль дает полное напряжение. С другой стороны, тангенциальным модулем сдвига G_T(\gamma) называется жесткость, проявляемая при малых изменениях деформации, как показано на рисунке ниже.

Математическая зависимость между двумя модулями:

G_T(\gamma) = \frac{d \tau}{d \gamma} = G_S(\gamma) + \frac{d G_S(\gamma)}{d \gamma} \gamma

Обычно результаты измерений представляются в форме

\tau = f(\gamma)

Это означает, что секущая жесткость представляется в виде

G_S(\gamma) = \frac{f(\gamma)}{\gamma}

При преобразовании диаграммы деформации в форму секущей с помощью этого выражения необходимо избегать возможного деления на ноль при нулевой деформации.

Модель Степенная зависимость (Power law) в COMSOL Multiphysics основана на первом, более распространенном определении, в котором показатель степени для деформации n связан с наклоном кривой на диаграмме деформации, построенной в полулогарифмических координатах.

Аппроксимация пластичности с помощью нелинейной упругости

Эксперимент на чистое растяжение не позволяет определить, обусловлена ли нелинейность определенных результатов измерений пластичностью. Необходимо также проанализировать кривую разгрузки. Иллюстрацией к этому утверждению служит анимация ниже из предыдущей публикации в блоге.

Применение нелинейной модели упругости для моделирования пластичности рассматривалось в предыдущей публикации в блоге.

Нелинейная модель упругого материала Рамберга— Осгуда, как и модель однонаправленных данных, создавалась в качестве простой замены полной упругопластической модели. Применение нелинейного упругого материала значительно менее требовательно к компьютерным ресурсом.

Но каковы ограничения такого подхода?

Очевидно, она допускает только непрерывное возрастание нагрузки.
Если в системе действует несколько внешних нагрузок одновременно, например, сжимающая нагрузка и тепловое расширение, то обычно они не связаны между собой пропорционально. Это может обусловить непропорциональную зависимость локальных напряжений.
Трехмерные отклики обычно не будут совпадать даже в том случае, если диаграммы однонаправленных деформаций для нелинейной упругой модели и для полной эластопластической модели идентичны. Для пластичности металлов, например, при условии текучести Мизеса, пластическая деформация сохраняет объем. В случае соответствующей нелинейной упругой модели объем не сохраняется.

Заключение

При выборе подходящей модели материала необходимо учитывать общую точность анализа. При решении инженерных задач часто приходится пользоваться неполной информацией: данным о нагрузках, однородности материалов и размерам структуры обычна присуща некоторая неопределенность. Выбор граничных условий также является аппроксимацией. В этой цепочке качество результатов определяется самым слабым звеном, и таким звеном не всегда является точный математический фундамент модели материала.

В предыдущей публикации в блоге я писал, что не стоит просто вводить диаграмму деформаций напрямую.

Почему же сегодня я поступил иначе? Дело в том, что при работе с моделью однонаправленных данных используются фактические результаты измерений. Для всех гиперупругих моделей, а также большей части других нелинейных упругих моделей, под результаты измерений необходимо подогнать математическую модель с малым количеством параметров. Безопасно выполнить такую подгонку возможно только при участии человека.

Модуль общей деформации грунта и модуль упругости Методы определения в Сибгео

Модуль деформации – это одна из характеристик грунта, которая позволяет оценить его сжимаемость, с точки зрения теории упругости – это величина, связывающая напряжения с деформациями. Необходимость в определении этой характеристики возникает, если нужно рассчитать основания по деформациям. Известно, что расчет оснований по второй группе предельных оснований является основным, поэтому переоценить значение этой характеристики невозможно. В связи с тем, что грунт не является упругим телом, то использование модуля упругости приведет к большим расхождениям с экспериментом. Поэтому, в практике геотехники и механики используется модуль общей деформации грунта – это характеристика линейной взаимосвязи приращений давления и деформаций грунта, с использованием допущений работы грунта как упругого тела. Одно из этих допущений – работа грунта в условиях однократного нагружения, без фазы разгрузки. Действительно для задач массового проектирования и нового строительства грунт испытывает поэтапное нагружение в процессе строительства без фазы разгрузки. Однако, есть задачи в геотехнике, например, проектирование глубоких котлованов, расчет влияния нового строительства, где грунт испытывает снятие бытовых давлений, поэтому в решении этих задач также используется модуль упругости или модуль на ветви вторичного нагружения грунта.

Соотношение устанавливается экспериментально, для предварительных расчетов пользуются зависимостью Е_ur=5Е, где E_ur – модуль упругости, МПа.

Чтобы определить деформационные свойства грунтов, используются несколько способов. Одним из эффективных методов определения модуля деформации считают его оценку по результатам штамповых испытаний. С их помощью выполняется исследование в условиях природного залегания грунтов, а также искусственных оснований для контроля качества уплотнения путем сравнения с проектной деформацией. Модуль деформации, определенный таким способом, принято называть штамповым. Это значение используется в известных аналитических формулах при расчете осадки фундамента (модель слоя конечной толщины, метод послойного суммирования, метод эквивалентного слоя, метод Бронина и др.).

Методы определения модуля деформации грунта

Штамповый метод испытания предусматривает использование винтовых и плоских штампов. Он предназначен для применения на любых промышленных или общественных объектах первого и второго уровня ответственности. К таким объектам можно отнести:

промышленные сооружения;
жилые многоэтажные дома;
складские помещения;
логистические комплексы;
офисные центры;
ТРЦ;
газопроводы;
емкости;
газгольдеры и т.д.

На деформацию влияет степень напряжения в грунте, которая возникает в результате нагрузки от фундаментов сооружений. Исходя из этого, данный параметр необходимо определять при уровне деформации, соответствующем рассматриваемой глубине под подошвой основания здания.

В большинстве современных сооружений показатель вертикальной деформации составляет 0,01-0,1%. Такой показатель вынуждает использовать штампы и прессиометры. Данные способы определения модуля деформации считаются прямыми. Это обусловлено тем, что для определения модуля применяются результаты проведенных испытаний и решения теории упругости.

Существуют и другие методы полевых исследований, но они считаются косвенными. Данный факт обусловлен тем, что они предусматривают использование корреляционных зависимостей, а не решений теории упругости.

Алгоритм расчета модуля упругости грунта и модуля деформации

Для определения этих данных выполняются следующие действия:

Построение графика зависимости осадки штампа от изменения уровня давления. Для создания этого графика используются сведения, полученные в ходе исследований.

Определение диапазона давлений. Он размещается на линейном участке графика.
Определение приращения осадки для определенного диапазона давлений.
Если используется винтовой штамп, то потребуется определение коэффициента заглубления.
Расчет показателей согласно ГОСТ 20276.1-2020.

Для расчета модуля деформации используется специальная формула ГОСТ 20276.1-2020:

E = (1-ν²) · K₁· D· Δ_p / Δ_S

В этой формуле v означает коэффициент Пуассона. Это показатель деформируемости грунта, который характеризует соотношение продольных и поперечных деформаций. Для определения данного коэффициента проводятся исследования в приборах трехосного сжатия или компрессионных приборах с измерением бокового давления.

Чтобы определить модуль деформации для винтового штампа, используется несколько видоизмененная формула:

E=(1-ν²) ∙ K_p∙ K₁∙ D ∙ ∆_p/ ∆_S

Ключевое отличие этой формулы — наличие коэффициента K_p. Он зависит от степени заглубления штампа. Для его определения необходимо разделить глубину расположения на диаметр штампа.

Для создания формулы штампового модуля использовалось уравнение Буссинеска относительно единичной силы, которая была приложена к упругому полупространству.

Результаты деформационных испытаний зависят сразу от нескольких критериев:

степени ответственности возводимого объекта;
законодательных норм;
инженерно-геологических условий;
пожеланий заказчика.

Зачастую высокая точность модуля деформации грунтов неактуальна. Иногда будут актуальны табличные значения или корреляционная зависимость физических и деформационных характеристик. Также можно использовать корреляционную зависимость параметров зондирования и деформационных характеристик.

Примеры определения модуля деформации грунта:

Методы проверки модуля общей деформации грунта?

Наименование работ	Цены
Испытания мерзлых грунтов горячим штампом	от 55 000 руб
Штамповые испытания грунтов	от 30 000 руб
Испытания прессиометром	от 20 000 руб
Определение коэффициента уплотнения грунта с использованием ДПГ	от 10 000 руб

В ходе испытаний специалисты компании «СИБГЕОПРО» используют штамп, а также оборудование для создания нагрузки, замера осадки штампа, а также замачивания и отслеживания уровня влажности грунта. Для выполнения всех необходимых работ мы используем инновационное оборудование, высокое качество которого подтверждено техпаспортом и многочисленными сертификатами.

Наши специалисты учитывают специфику объекта и требования заказчиков. Поэтому для каждого объекта мы разрабатываем отдельную программу испытаний в соответствии с ГОСТ 20276.1-2020. Данный подход обеспечивает наших клиентов необходимыми данными при минимальных затратах.

Стоимость услуг наших специалистов определяется индивидуально для каждого проекта. Вы можете позвонить по указанным номерам телефонов или оставить сообщение в лайв-чате. Наши консультанты оперативно ответят на все поставленные вопросы.

Чтобы заказать подобное испытание, воспользуйтесь опцией обратного звонка на нашем сайте или напишите консультантам «СИБГЕОПРО»

Часто задаваемые вопросы

Как проводятся штамповые испытания?

Как можно определить несущую способность грунта с помощью штамповых испытаний?

Что такое деформация грунта?

Что такое модуль упругости грунта?

Что называют сжимаемостью грунта?

Что характеризует коэффициент консолидации?

Что такое модуль Менара?

Что такое коэффициент Пуассона в геотехнике?

Модули упругости грунтов

Эта статья посвящена одному из наиболее важных вопросов современной геотехники. Почему в большинстве случаев определения физико-механических свойств грунта в полевых и лабораторных условиях получаются разные модули деформации при определении их в приборах компрессионного сжатия, трёхосного сжатия, а также в ходе полевых штамповых испытаний? Ответ на этот вопрос в механическом обосновании используемых в настоящее время «моделей» грунта.

Рис. 1

Рис. 2

Ни для кого не секрет, что исторически механика грунтов приняла решение теории деформирования «твёрдого тела», а большинство расчётов основано на модели линейной упругой среды, т.е. модели Гука. В данной модели компоненты напряжения и деформации связаны между собой простыми линейными зависимостями, параметрами которой являются хорошо известные «модули деформации»: это модуль упругости, коэффициент Пуассона, модуль объемного сжатия и модуль сдвиговой (рис. 1). Между этими параметрами постоянно сохраняется пропорциональность выражающиеся через другие модули деформации. Эту информацию можно легко найти в таблицах нормативной документации и учебников по теории упругости (рис. 2) и «традиционно», как в большинстве конструкционных материалов, мы используем для описания деформируемости грунта пару модуль упругости + коэффициент Пуассона.

Однако в связи с тем, что в грунтах ярко выражены пластические деформации и всегда наблюдается нелинейность, принято называть их модулем общей деформации и коэффициентом отно сительного поперечного расширения. Однако в грунтах, как и во всех дисперсных средах, есть некоторая особенность механического поведения. Сопротивление объёмному сжатию и сопротивление сдвигу не линейны и носят обратный характер т.е. пропорциональность между ними не сохраняется в ходе деформирования. Проще говоря, если на начальном этапе модуль объемной деформации низкий, а сопротивление сдвигу высокое, то в конце разрушения наоборот, модуль объемной деформации высокий, а сопротивление сдвигу низкое. В результате соотношения между получаемыми модулями нарушаются и могут применяться только при условии рассмотрения какого-либо отдельного участка деформирования, но не всей диаграммы в целом.

В качестве иллюстрации рассмотрим, как выглядят три наиболее распространённых при требуемых нормативами испытания. Во всех трёх случаях использовалась однородная линейная упругая среда с известными параметрами:
Мд=30 Мпа;
Кп=0,3.

В виртуальной среде модулирования GeoSmart было симулировано нагружение. После оценки результатов с применением методик ГОСТ 12248 и ГОСТ 20276, были получены значения модулей деформации, а там, где это было возможно, коэффициенты Пуассона. Они полностью совпадают что в компрессионных испытаниях, что в трёхосных.

В штамповом испытании, даже в моделируемом упругом теле, была получена другая (хоть и не на много) цифра. Связано это с тем, что формула Шлейхера, которую используют ГОСТ и ОДН на штамповые испытания, не учитывает жесткости более низких слоев или фундамента, если он есть. Тем не менее, сходимость результатов есть, и можно сказать, что в условиях идеальной упругой среды всегда были бы хорошие результаты вне зависимости от вида испытаний.

Почему же для грунтовой среды всегда получаются разные модули деформации, на разных приборах приходится использовать разные эмпирические коэффициенты, подобные коэффициенту Магишевой, для перехода от компрессионных и трёхосных испытаний к штамповым? Связано это с так называемой траекторией нагружения, о которой говорилось в начале статьи. Если мы сравним траектории нагружения в различных приборах, в зависимости от типа испытаний, то будет очевидным, что в трехоснике будет преобладать девиаторное нагружение. По традиционной траектории девиаторного раздавливания, СТС, мы увеличиваем в первую очередь девиатор напряжение, но также прирастает и среднее напряжение.

Если же мы будем использовать траекторию ТС, то будем увеличивать исключительно девиатор напряжения, а объемные компоненты будут постоянными.

Таким образом, в приборе трёхосного сжатия, в первую очередь определяется жёсткость грунта при сжатии и сдвиге. В приборе компрессионного сжатия траектория нагружения не контролируется, а соотношение между горизонтальным и вертикальным напряжением задаётся коэффициентом бокового давления грунта. Однако совершенно очевидно, что в компрессионном приборе преобладает объемное сжатие и чем выше коэффициент давления, тем ближе расчётное состояние к идеальному гидростатическому обжатию.

Принцип Шлейхера, используемый при штамповых испытаниях на объекте, является линейнодеформируемым полупространством, т.е. напряжение основания во время испытания меняется с глубиной. Именно поэтому штамповые испытания являются наиболее точным определением модулей деформаций из всех доступных. Т.к. по сути мы получаем показатели грунта в виде отклика (отражения) среды на внешнее воздействие, а не наблюдаем отобранный образец в моделируемых условиях. Именно при проведении полевых штамповых испытаний и имея информацию по геологическому разрезу местности можно наиболее точно провести анализ и оценку всех геологических рисков при строительстве.

Поделиться в соцсетях:

Формула силы упругости в физике

Содержание:

Определение и формула силы упругости
Характеристики упругих свойств твердых тел
Продольное растяжение (сжатие)
Деформация сдвига
Единицы измерения силы упругости
Примеры решения задач

При действии на тело внешней силы онодеформируется (происходит изменение размеров, объема и часто формы тела). В ходе деформации твердого тела возникают смещения частиц, находящихся в узлах кристаллической решетки из начальных положений равновесия в новые положения. Такому сдвигу препятствуют силы, с которыми частицы взаимодействуют. В результате появляются внутренние силы упругости, уравновешивающие внешние силы. Эти силы приложены к деформированному телу. Величина сил упругости пропорциональна деформации тела.

Определение и формула силы упругости

Определение

Силой упругости называют силу, имеющую электромагнитную природу, которая возникает в результате деформации тела, как ответ на внешнее воздействие.

Упругой называют деформацию, при которой после прекращения действия внешней силы тело восстанавливает свои прежние форму и размеры, деформация исчезает. Деформация носит упругий характер только в том случае, если внешняя сила не превышает некоторого определенного значения, называемого пределом упругости. Сила упругости при упругих деформациях является потенциальной. Направление вектора силы упругости противоположно направлению вектора перемещения при деформации. Или по-другому можно сказать, что сила упругости направлена против перемещения частиц при деформации.

Характеристики упругих свойств твердых тел

Упругие свойства твердых тел характеризуют при помощи напряжения, которое часто обозначают буквой $\sigma$ . Напряжение – это физическая величина, равная упругой силе, которая приходится на единичное сечение тела:

$$\sigma=\frac{d F_{u p r}}{d S}(1)$$

где dF_upr – элемент силы упругости тела; dS – элемент площади сечения тела. Напряжение называется нормальным, если вектор $d \bar{F}_{u p r}$ перпендикулярен к dS.

Формулой для расчета силы упругости служит выражение:

$$d F_{u p r}=\sigma d S=K \frac{\Delta x}{x} d S(2)$$

где $\frac{\Delta x}{x}$ – относительная деформация, $\Delta x$ – абсолютная деформация, x–первоначальное значение величины, которая характеризовала форму или размеры тела; K – модуль упругости ( $k = \sigma$ при ( $\frac{\Delta x}{x} = 1$ ). Величину обратную модулю упругости называют коэффициентом упругости. Проще говоря, сила упругости по величине пропорциональная величине деформации.

Продольное растяжение (сжатие)

Продольное (одностороннее) растяжение состоит в том, что под действием растягивающей (сжимающей) силы происходит увеличение (уменьшение) длины тела. Условием прекращения такого рода деформации является выполнение равенства:

$F = F_{upr} (3)$

где F – внешняя сила, приложенная к телу, F_upr – сила упругости тела. Мерой деформации в рассматриваемом процессе является относительное удлинение (сжатие) $\left(\frac{\Delta l}{l}\right)$ .

Тогда модуль силы упругости можно определить как:

$$F_{u p r}=E \frac{\Delta l}{l} S(4)$$

где E – модуль Юнга, который в рассматриваемом случае равен модулю упругости (E=K) и характеризующий упругие свойства тела; l – первоначальная длина тела; $\Delta l$ – изменение длины при нагрузке F=F_upr. {\prime}}{A B}$ . Этим углом ? (относительный сдвиг) характеризуют относительную деформацию. При этом напряжение $\sigma$ равно:

$$\sigma=G \alpha(6)$$

где G – модуль сдвига.

Единицы измерения силы упругости

Основной единицей измерения сил упругости (как и любой другой силы) в системе СИ является: [F_upr]=H

В СГС: [F_upr]=дин

Примеры решения задач

Пример

Задание. Какова работа силы упругости при деформации пружины жёсткость, которой равна k? Если первоначальное удлинение пружины составляло x₁, последующее удлинение составило x₂.

Решение. В соответствии с законом Гука модуль силы упругости найдем как:

$$F = kx (1.1)$$

При этом сила упругости при первой деформации будет равна:

$$F_1 = kx_1 (1.2)$$

В случае второй деформации имеем:

$$F_2 = kx_2 (1. {\circ}\right)=-\frac{k x_{1}+k x_{2}}{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)$$

Ответ. $A=-\frac{k}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Тело массой m (которое можно считать материальной точкой) привязано к резиновому шнуру. Это тело описывает в горизонтальной плоскости окружность с частотой вращения n. Угол отклонения шнура от вертикали равен $\alpha$. Жёсткость шнура равна k. Какова длина нерастянутого шнура (l₀)?

Решение. Сделаем рисунок.

Сила натяжения (N) шнура вызывает его растяжениена величину ($\Delta l$). При этом возникающая сила упругости равна по модулю и противоположна по направлению силе натяжения:

$$\bar{F}_{u p r}=-\bar{N}(2. {2} m}-\frac{1}{k}\right) \frac{m g}{\cos \alpha}$

Читать дальше: Формула скорости.

Чему равна упругость пространства-времени?

Блоги Физика Давайте разберемся

19:45 07 Июнь 2018

Сложность 6.7

Дмитрий Трунин

Редактор

Можно ли рассматривать пространство-время как упругую среду, которая деформируется под действием гравитации? А если можно, как определить его упругие свойства, в частности модуль Юнга, отвечающий за энергию упругих деформаций? Американский физик-теоретик Адриан Мелиссинос (Adrian Melissinos) показал, как это можно сделать, и вычислил верхнюю границу для модуля Юнга нашего пространства-времени, полагаясь на данные недавних регистраций гравитационных волн. Оказалось, что она примерно в 10²⁰ раз меньше, чем упругость железа. В этом блоге мы попытаемся разобраться, что на самом деле посчитал ученый.

Прежде чем говорить об упругости пространства, разберемся с упругостью в обычном, общефизическом понимании. Возьмите в руки тонкий резиновый жгут (резинку) и растяните ее в разные стороны — вы почувствуете, как со стороны резинки начинает действовать сила, которая стремится сжать ее обратно. Эта сила называется силой упругости. Теперь отпустите резинку — если вы растягивали ее не слишком сильно, она снова вернется в прежнее состояние, а ее длина и объем примут те же значения, что и до деформации. Такие деформации называют упругими. Если же вы растягивали ее сильнее, чем следовало, после снятия нагрузки резинка восстановит свои формы не полностью и останется частично деформированной. Такие деформации называют пластическими.

В случае упругих деформаций сила и величина удлинения оказываются связаны законом Гука, открытым в конце XVII века английским физиком Робертом Гуком. В простейшем случае продольных деформаций (то есть происходящих в одном направлении, как в случае с резинкой) этот закон утверждает, что напряжение материала прямо пропорционально величине относительного смещения: σ = Y∙ε. Здесь σ — это нормальное напряжение в поперечном сечении (давление F/S), ε — относительная деформация ΔL/L, а Y — коэффициент пропорциональности, который называют модулем Юнга. В случае резинки длиной L и площадью поперечного сечения S этот закон можно переписать и привести к более привычной форме, которой учат на школьных уроках физики: F = k∙ΔL, где коэффициент упругости k = YS/L. Именно в таком виде закон был открыт Робертом Гуком. Тем не менее, форма записи с использованием модуля Юнга более предпочтительна, поскольку позволяет обобщить закон на случай тел произвольной формы.

Разумеется, свести все деформации тела к одним только продольным нельзя. В самом деле, при растяжении резинки меняется не только ее длина, но и толщина, хотя заметить это изменение гораздо сложнее. Поэтому в самом общем случае закон Гука надо записывать в тензорном виде, заменяя напряжение σ на тензор напряжений σ^ij, относительную деформацию ε на тензор деформаций ε^ij, а модуль Юнга Y на симметричный тензор упругих деформаций C^ijkl. Тензор ранга N — это, грубо говоря, матрица, которая содержит 3^N компонент (в трехмерном пространстве) и преобразуется определенным образом при преобразованиях координат. Такая форма позволяет описать не только продольные деформации, но и поперечные (сдвиги, изгибы и кручения).

Наконец, благодаря линейности закона Гука потенциальная энергия, запасенная в объеме деформированного материала, пропорциональна квадрату деформации. В самом деле, работа, которую нужно затратить для растяжения резинки на бесконечно малое расстояние dx, равна произведению силы на смещение: A = F∙dx = Y∙SL∙xdx/L² = Y∙V∙xdx/L², где V — объем резинки, а x = ΔL — величина смещения. Следовательно, при конечном смещении в единице объема материала запасается энергия u = ½Y(ΔL/L)² = ½Yε². Конечно, при учете поперечных деформаций этот закон немного усложняется, однако мы не будем вдаваться в такие подробности.

Однако причем тут пространство-время? Дело в том, что под действием гравитации — например, в окрестностях массивной звезды или при прохождении гравитационных волн — обычное, плоское пространство-время тоже немного растягивается и сжимается, будто резинка. Как правило, величина этого растяжения очень мала, однако ее все-таки можно почувствовать, если очень точно измерить расстояние между двумя заданными точками, которое в обычном пространстве-времени оставалось бы неизменным. Представим, что мы выстроили множество массивных шариков вдоль идеально ровной окружности, а потом направили на нее h₊ или h_×-поляризованнную гравитационную волну. Под действием переменной силы тяжести шарики будут немного смещаться, и окружность деформируется в эллипс — так, словно само пространство-время растягивается и сжимается в перпендикулярных направлениях. Заметить такие смещения очень сложно, однако в последнее время ученые все-таки научились их измерять с помощью точных интерферометров, что позволило им зарегистрировать гравитационные волны. Подробнее про эти измерения можно прочитать в нашем материале «Тоньше протона».

Деформация окружности во время прохождения h₊-поляризованной волны

Wikimedia Commons

Деформация окружности во время прохождения h_×-поляризованной волны

Wikimedia Commons

Важно, что гравитационные волны переносят определенную энергию, объемная плотность которой пропорциональна квадрату их частоты и — самое важное — квадрату относительного смещения шариков в нашем мысленном эксперименте. Это позволяет провести аналогию между гравитационными и упругими деформациями и найти «модуль упругости» нашего пространства-времени. Сравнивая выражение для энергии гравитационной волны (которое приводится в стандартных учебниках по теории поля, например, во втором томе Ландау-Лифшица) и выражение для энергии упругих деформаций, то можно получить, что Y = πc²f²/4G. Здесь c — это скорость света, G — гравитационная постоянная Ньютона, а f — частота гравитационных волн. Проще говоря, величина эффективного модуля Юнга пространства-времени тем больше, чем больше частота гравитационной волны, которая через него распространяется.

Тем не менее, не все ученые согласны с такой наивной интерпретацией деформаций пространства-времени, поскольку в ней предполагается, что оно обладает механическими свойствами. В частности, Адриан Мелиссинос также с ней не согласен и предлагает в своей работе альтернативный вывод, основанный на первых принципах. Для этого он рассматривает распространение поляризованной гравитационной волны в однородной среде, заполненной массивной жидкостью, выписывает уравнения движения для малого объема вещества и получает силу смещения, которая действует на него со стороны волны. В результате он получает похожее выражение для модуля Юнга, которое квадратично зависит от частоты волны: Y = (ρ/c²)(2πLf)², где ρ — плотность энергии среды, а L — поперечные размеры рассматриваемого объема. Тем не менее, ученый отмечает, что подобные рассуждения применимы только тогда, когда длина гравитационных волн много больше поперечных размеров объема — в противном случае говорить о какой-то конкретной силе, которая на него действует, просто некорректно. Это значит, что в действительности модуль Юнга пространства-времени не зависит от частоты гравитационной волны и много меньше плотности вещества, в которой она распространяется: Y ≪ ρ. При плотности космического пространства ρ_m ~ 10⁻²⁹ грамм на сантиметр кубический это дает ограничение порядка Y ~ 10⁻⁹ паскаль, что в 10¹⁴ раз меньше модуля упругости желе и в 10²⁰ раз меньше модуля упругости железа. При этом точное значение коэффициента Y вывести теоретически из первых принципов нельзя.

С другой стороны, коэффициент упругости можно оценить по затуханию гравитационных волн, которые доходят до нас от далеких объектов. Грубо говоря, волны теряют энергию, когда раскачивают частицы среды, поскольку обратным излучением волн во время таких колебаний можно пренебречь. Учитывая результаты измерений энергии гравитационных волн группами LIGO/Virgo, Мелиссинос вычислил такое ограничение и получил, что Y < a(c²f²/G), где коэффициент a ~ 10⁻¹⁷. Это противоречит стандартному значению, полученному из сравнения энергии волн с энергией упругих колебаний, поскольку в нем получается a ~ 1, однако согласуется с новым ограничением, выведенным теоретиком.

Стоит отметить, что этот результат следует воспринимать как интересную аналогию, которая в будущем позволит лучше разобраться со свойствами пространства-времени. Это ни в коем случае не означает, что пространство-время заполнено упругой средой, по которой распространяются гравитационные волны. В действительности гравитационные волны представляют собой колебания метрики и следуют из уравнений общей теории относительности, и их существование выражается не только в искажении расстояний (то есть в смещении шариков нашем мысленном эксперименте), но и в искривлении лучей света и замедлении времени, которые в рамках этой аналогии объяснить нельзя.

Ранее в этом блоге

11 апреля, 2022

Вышли и зашли как положено: опубликован новый вариант правил русской орфографии

08 апреля, 2022

Царский оргазм: что доказала Каролин из Эстонии

14 марта, 2022

Из пушки по генам: что не так с «этнически ориентированным» оружием

10 марта, 2022

Экстренное уничтожение: от каких бактерий избавлялись в украинских лабораториях

04 марта, 2022

Неопознанный лунный объект: чья-то ракета падает на Луну

17 декабря, 2021

Фальк и египетская синяя: как в картине советского авангардиста нашли античный пигмент

26 ноября, 2021

История с орфографией: как меняют русское правописание

12 ноября, 2021

Кто первый начал: что нам мешает считать микробов причиной аутизма

Кубсат LICIACube показал последствия тарана астероида Диморф зондом DART

Маленькость самцов колибри-пчелок объяснили половым отбором

Истребление человеком хищников разделило крупнейший в мире живой организм на три части

Клизма майя, алгоритм для сплетников и краш-лось

Рассказываем о лауреатах Шнобелевской премии 2022 года

Калькулятор модуля Юнга

Создано Лучано Мино

Рассмотрено Войцехом Сас, кандидатом наук и Аденой Бенн

Последнее обновление: 28 сентября 2022 г.

Содержание:

Что такое модуль упругости?
Уравнение модуля Юнга
Как рассчитать модуль Юнга?
Пример использования формулы модуля упругости
Как рассчитать модуль Юнга по кривой напряжения-деформации
Часто задаваемые вопросы

С помощью этого калькулятора модуля Юнга, , вы можете рассчитать модуль упругости материала, учитывая деформацию, вызванную известным растягивающим/сжимающим напряжением .

Мы также объясним, как автоматически рассчитать модуль Юнга по кривой напряжения-деформации с помощью этого инструмента или специального программного обеспечения для построения графиков.

Продолжайте читать, чтобы узнать больше о:

Что такое модуль упругости;
Как рассчитать модуль Юнга по формуле модуля упругости;
Что такое модуль Юнга?
Какой материал имеет самый высокий модуль Юнга; и более.

Что такое модуль упругости?

Модуль Юнга или модуль упругости — это свойство материала, которое говорит нам, насколько трудно растянуть или сжать материал по заданной оси.

Это говорит нам о том, что зависимость между продольной деформацией и вызывающим ее напряжением является линейной. Следовательно, мы можем записать его как частное обоих членов.

💡 Узнайте больше о деформации и напряжении в нашем калькуляторе истинной деформации и калькуляторе напряжения!

Однако эта линейная зависимость прекращается, когда мы прикладываем к материалу достаточное напряжение. Область, в которой пропорциональность деформации остается постоянной, называется упругой областью .

Если снять напряжение после растяжения/сжатия в этой области, материал вернется к своей первоначальной длине .

Из-за этого мы можем рассчитать модуль Юнга только в этой упругой области, где мы знаем соотношение между растягивающим напряжением и продольной деформацией.

🙋 Если вы хотите узнать, как растяжение и сжатие материала по заданной оси влияет на другие его размеры, воспользуйтесь нашим калькулятором коэффициента Пуассона!

Уравнение модуля Юнга

Прежде чем перейти к формуле модуля упругости, давайте определим продольную деформацию ϵ\epsilonϵ:

ϵ=L−L0L0,\epsilon =\frac{L – L_{0}}{L_{0 }},ϵ=L0L−L0,

где:

L0L_{0}L0 — начальная длина материала; и
LLL — это длина при растягивающем напряжении.

И растягивающее напряжение σ\sigmaσ как:

σ=FA,\sigma = \frac{F}{A},σ=AF,

где:

FFF сила, вызывающая растяжение/сжатие ; и
AAA — это площадь, к которой прикладывается сила.

Таким образом, уравнение модуля Юнга дает следующее:

E=σϵE = \frac{\sigma}{\epsilon}E=ϵσ

растягивающее напряжение (паскали или Па в единицах СИ).

Как рассчитать модуль Юнга?

Чтобы рассчитать модуль упругости E материала, выполните следующие действия:

Измерьте его начальную длину, L₀ без какого-либо напряжения, приложенного к материалу.
Измерить площадь поперечного сечения A .
Приложите известную силу F к площади поперечного сечения и измерьте длину материала во время приложения этой силы. это будет л .
Рассчитайте деформацию ϵ , ощущаемую материалом, используя формулу продольной деформации: ϵ = (L - L₀) / L₀ .
Рассчитайте приложенное растягивающее напряжение, используя формулу напряжения: σ = F / A .
Разделите растягивающее напряжение на продольную деформацию, чтобы получить модуль Юнга: E = σ / ϵ .

Пример использования формулы модуля упругости

Допустим, у нас есть тонкая проволока из неизвестного материала, и мы хотим получить ее модуль упругости.

Предположим, что мы измерили стороны поперечного сечения, получив площадь A = 0,5×0,4 мм . Затем измеряем его длину и получаем L₀ = 0,500 м .

Теперь приложим известную силу, например, F = 100 Н , и снова измерим ее длину, в результате чего L = 0,502 м .

Перед вычислением напряжения нам нужно преобразовать площадь в метры:

A = 0,5×0,4 мм = 0,0005×0,0004 м

С этими значениями мы теперь готовы вычислить напряжение σ = 100/(0,0005×0,0004) = 5·10⁸ Па и деформация ϵ = (0,502 - 0,500) / 0,500 = 0,004 .

Наконец, если мы разделим напряжение на деформацию в соответствии с уравнением модуля Юнга, мы получим: E = 5·10⁸ Па / 0,004 = 1,25·10¹¹ Па или E = 125 ГПа , что действительно близко к модуль упругости меди ( 130 ГПа ). Следовательно, наш провод, скорее всего, сделан из меди!

Как рассчитать модуль Юнга по кривой напряжения-деформации

Наш калькулятор модуля Юнга также позволяет рассчитать модуль Юнга по графику напряжения-деформации !

Чтобы построить кривую напряжения-деформации, нам сначала нужно знать исходную длину материала , L0L_{0}L0. Затем мы применяем набор известных растягивающих напряжений и записываем его новую длину , LLL, для каждого значения напряжения.

Наконец, мы вычисляем деформацию (независимо для каждого значения напряжения), используя формулу деформации, и строим график каждые напряжение-деформация 9Пара значений 0024 с использованием оси YYY и оси XXX соответственно.

Анализ диаграммы напряжения-деформации
Диаграмма напряжения-деформации. Черные линии представляют собой конец эластичной области.
Как видно из диаграммы выше, напряжение пропорционально (линейно) деформации до определенного значения . Это упругая область, и после пересечения этого участка материал не вернется в исходное состояние при отсутствии напряжения.

Поскольку модуль упругости представляет собой пропорцию между растягивающим напряжением и деформацией, градиент этой линейной области будет численно равен модулю Юнга материала.

Затем мы можем использовать линейную регрессию для точек внутри этой линейной области, чтобы быстро получить модуль Юнга из графика напряжение-деформация.

Наш калькулятор модуля Юнга автоматически идентифицирует эту линейную область и выводит для вас модуль упругости . Попробуйте!

Часто задаваемые вопросы

Является ли жесткость таким же, как модуль Юнга?

Нет, но похожи . Жесткость определяется как способность данного объекта противостоять деформации под действием внешней силы и зависит от физических компонентов и структуры объекта. Модуль Юнга – это интенсивное свойство, связанное с материалом, из которого вместо этого сделан объект.

Совпадает ли модуль упругости с модулем Юнга?

Да . Модуль упругости — это другое название модуля Юнга, модуля упругости или модуля упругости материала. Он связывает деформацию, возникающую в материале, с напряжением, необходимым для ее создания.

Какой материал имеет самый высокий модуль Юнга?

Алмазы имеют самый высокий модуль Юнга или модуль упругости около ~1200 ГПа . Алмазы — самые твердые из известных природных веществ, и они образуются при экстремальных давлениях и температурах внутри мантии Земли.

Является ли модуль упругости постоянным?

Да . Поскольку модуль упругости является интенсивным свойством материала, которое связывает растягивающее напряжение, приложенное к материалу, и вызываемую им продольную деформацию, его численное значение является постоянным. Полученное соотношение между этими двумя параметрами и есть модуль упругости материала.

Лучано Мино

Расчет из:

Напряжение

Сила (F)

Площадь (A)

напряжение (σ)

штамма

Конечная длина (L)

Начальная длина (L₀)

штамм (ε)

Результат

Молодые модуль (e)

Проверьте 82 аналогичные расчеты классической механики ⚙

AccelerationBank angleBelt length… 79 more

Единицы модуля упругости (модуль Юнга)

Прежде чем углубиться в изучение различных типов и единиц модуля упругости (модуль Юнга), определение этого чрезвычайно важного механического свойства.

Основное определение модуля упругости

Также известный как модуль упругости, модуль упругости представляет собой измеренное значение, которое представляет сопротивление материала упругой деформации, т. е. его «растяжение». Это относится только к непостоянной деформации под действием напряжения.

Модуль упругости определяется градиентом кривой напряжения-деформации в области, где она упруго деформируется (см. ниже – линейный участок перед «пределом текучести»). Менее эластичный (или более жесткий ) материал имеет сравнительно высокий модуль упругости, тогда как эластичное или упругое вещество имеет более низкий модуль упругости.

Модуль упругости часто обозначается греческим символом лямбда, λ. Он принимает форму напряжения, деленного на деформацию, таким образом:

λ= напряжение/деформация

Напряжение определяется как сила, вызывающая деформацию, деленная на зону воздействия.

Деформация определяется как смещение частиц вещества относительно определенной длины.

Типы модуля упругости

Существует 3 основных типа модуля упругости:

Модуль Юнга

Модуль сдвига

Объемный модуль

Это модули упругости, наиболее часто используемые в технике. Давайте рассмотрим каждый тип и то, как их можно использовать, прежде чем мы перейдем к единицам модуля упругости.

Модуль Юнга

Именно его имеет в виду большинство людей, когда говорят «модуль упругости». Он описывает степень деформации материала вдоль заданной оси при приложении растягивающих усилий, также известную как эластичность при растяжении. Его можно описать простыми словами как меру жесткости.

Модуль Юнга можно упростить как тенденцию вещества становиться длиннее и тоньше.

Определяется как напряжение растяжения, деленное на деформацию растяжения (или отношение напряжения к деформации), и в расчетах обозначается буквой E.

Основным применением модуля Юнга является предсказание растяжения, которое может произойти при растяжении, или укорочения, которое может произойти при сжатии. Это полезно, например, при проектировании балок или колонн в строительстве.

Подробнее о модуле Юнга

Модуль сдвига

Модуль сдвига материала является мерой его жесткости. Он используется, когда сила, параллельная данной оси, встречает противодействующую силу, например трение. Его можно упростить как тенденцию вещества изменяться от прямоугольной формы до параллелограмма.

Модуль сдвига определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига и обозначается символами G, S или µ.

Модуль сдвига чаще всего используется в расчетах, в которых участвуют два материала, находящихся в контакте и подверженных действию противоположных сил, т. е. трению друг о друга.

Подробнее о модуле сдвига

Модуль объемного сжатия

Модуль объемного сжатия представляет собой термодинамическое свойство, определяющее устойчивость вещества к сжатию. Его можно упростить как тенденцию изменения объема вещества при неизменной форме.

Определяется как отношение увеличения давления к уменьшению относительного объема. Обозначается символами К или В.

Чаще всего используется при изучении свойств жидкостей при сжатии.

Подробнее о модуле объемного сжатия

Как измеряется модуль упругости?

В этом разделе мы сосредоточимся на модуле Юнга, так как он чаще всего ассоциируется с эластичностью.

Наиболее распространенными методами измерения являются испытание на растяжение, испытание на изгиб или испытание на вибрацию собственной частоты. Методы испытаний на изгиб и растяжение основаны на применении закона Гука и называются статическими методами. Использование собственной частоты обеспечивает динамический модуль упругости, поскольку испытание проводится с использованием вибраций.

Статические методы осуществляются путем приложения измеримых параллельных или перпендикулярных сил и регистрации изменения длины или величины деформации. Используются точные устройства для измерения очень малых длин, известные как «экстензометры» или механические тензодатчики.

Единицы модуля упругости

Единицы модуля упругости являются единицами давления, поскольку оно определяется как напряжение (единицы давления), деленное на деформацию (безразмерную). Чаще всего единицами измерения являются паскали (Па), которые являются единицей СИ, или фунты на квадратный дюйм (psi) в зависимости от отрасли или географического положения. В Европе наиболее распространена Па, в США более распространена единица измерения модуля упругости в фунтах на квадратный дюйм.

Ниже приведены некоторые примеры значений модуля упругости (модуля Юнга) материалов:

Каучук имеет низкий модуль Юнга от 0,01 до 0,1 ГПа, поскольку он очень эластичный.

Алмаз имеет высокий модуль Юнга 1050-1200 ГПа, поскольку он очень жесткий.

Карбин имеет самый высокий из известных модулей Юнга 32 100 ГПа, что означает, что это наименее эластичный или самый жесткий материал, известный на данный момент.

Глава 2 (продолжение) — Руководство пользователя для LS-DYNA Concrete Material Model 159, май 2007 г.

Номер публикации: FHWA-HRT-05-062
Дата: май 2007 г.

PDF-версия (1,49 КБ)

PDF-файлы можно просматривать с помощью Acrobat® Reader®

Глава 2. Теоретическое руководство

Объемные модули и модули сдвига

Модуль Юнга бетона зависит от прочности бетона, как показано в таблице 1. Эти измерения взяты из уравнения в CEB, как показано на рисунке 74:

Рисунок 74. Уравнение. Модуль Юнга по умолчанию E .

Здесь E — модуль Юнга, а E _C = 18,275 МПа (2651 фунт/кв. дюйм) (что является значением модуля Юнга, когда f ‘ с = 10 МПа (1450 фунтов на кв. дюйм)). Это значение E _C предназначено для симуляций, которые моделируются линейно по отношению к пику (без предпикового упрочнения). Коэффициент Пуассона обычно принимается в пределах от 0,1 до 0,2. Здесь выбрано значение η = 0,15, и предполагается, что оно остается постоянным с прочностью бетона. Основываясь на этой информации, объемные модули и модули сдвига по умолчанию ( K и G ) в таблице 1 получены из классических соотношений между константами жесткости, как показано на рисунке 75:

Рисунок 75. Уравнение. Модули сдвига и объемного сжатия, G и K .

Уравнения на рис. 74 и рис. 75 реализованы в процедурах инициализации модели бетона для установки модулей бетона по умолчанию в зависимости от прочности бетона на сжатие.

В качестве альтернативы Комитет 318 ACI предлагает формулу для модуля упругости, показанную на рис. 76:

Рисунок 76. Уравнение. Модуль Юнга ACI, E _c .

, где w _c — плотность бетона в килограммах на кубический метр (кг/м ³ ). Для бетона нормальной массы с w _c = 2,286 кг/м ³ (5,040 фунтов на кубический фут (фунт/фут ³ )), эта формула сводится к уравнению, показанному на рисунке 77:

Рисунок 77. Уравнение. Приведенный модуль Юнга ACI, Е _с .

Эта формула дает модули Юнга, которые находятся в пределах ±9 процентов от значений, указанных на рисунке 74, как показано в таблице 2.

Таблица 1. Эти стандартные объемные модули бетона и модули сдвига получены из формулы для модуля Юнга, представленной в CEB.

Прочность на неограниченное сжатие, МПа (psi) Модуль Юнга, ГПа (тыс.фунтов/кв. дюйм) Коэффициент Пуассона Объемный модуль упругости, ГПа (тыс.фунтов/кв.дюйм) Модуль сдвига, ГПа (тыс.фунтов/кв.дюйм)

20 (2901) 23,0 (3336) 0,15 11,0 (1595) 10,0 (1450)

28 (4061) 25,8 (3742) 0,15 12,3 (1784) 11,2 (1624)

38 (5 511) 28,5 (4 134) 0,15 13,6 (1973) 12,4 (1798)

48 (6 962) 30,8 (4467) 0,15 14,7 (2132) 13,4 (1944)

58 (8 412) 32,8 (4 757) 0,15 15,6 (2 263) 14,3 (2074)

ГПа = гигапаскали

МПа = мегапаскали

ksi = тысяч фунтов на квадратный дюйм

psi = фунтов на квадратный дюйм
These bulk and shear moduli for concrete are derived from a formula for Young’s modulus suggested by ACI Code Committee.”>
Таблица 2. Эти объемные модули и модули сдвига для бетона получены из формулы для модуля Юнга, предложенной Комитетом по нормам ACI.

Прочность на неограниченное сжатие, МПа (psi) Модуль Юнга, ГПа (тыс.фунтов/кв.дюйм) Коэффициент Пуассона Объемный модуль упругости, ГПа (тыс.фунтов на кв. дюйм) Модуль сдвига, ГПа (тыс.фунтов/кв.дюйм)

20 (2901) 21,0 (3046) 0,15 10,0 (1450) 9,1 (1320)

28 (4061) 24,9 (3611) 0,15 11,9 (1726) 10,8 (1566)

38 (5 511) 28,9 (4192) 0,15 13,8 (2002) 12,6 (1827)

48 (6 962) 32,6 (4728) 0,15 15,5 (2 248) 14,2 (2060)

58 (8 412) 35,8 (5 192) 0,15 17,0 (2466) 15,6 (2 263)

Поверхность трехосного сжатия

Уравнение поверхности текучести TXC соответствует четырем измерениям прочности. Для приложений безопасности на дорогах представляют интерес, прежде всего, режимы растяжения и низкого ограничивающего давления. Следовательно, первое и наиболее распространенное измерение – это неограниченное сжатие, при котором давление составляет одну треть силы. Второе измерение — это одноосное натяжение, которое часто называют прямым натяжением. Третье измерение трехосного растяжения (равное растяжение в трех направлениях), которое устанавливает вершину поверхности текучести TXC. Четвертое измерение – TXC при заданном давлении. Выбранное давление составляет 70 МПа (10 153 фунтов на кв. дюйм). Подгонка к этому измерению фиксирует поверхность текучести при низком и умеренном давлении.

Измерения прочности приведены в таблице 3. Измерения одноосного сжатия и растяжения взяты из таблиц и информации, представленной в CEB. Измерение трехосного растяжения равно измерению одноосного растяжения. Этот выбор, наряду с соответствующим выбором трехинвариантных масштабных коэффициентов, будет моделировать двухосное растяжение, приблизительно равное одноосному растяжению. Это рекомендация CEB.

Измерение TXC (разность главных напряжений) взято из анализа данных испытаний. Например:

Измерения, выполненные для трех аналогичных бетонов с f ‘c = 45 МПа (6 527 фунтов на кв. дюйм), показывают, что средняя трехосная прочность составляет около 120 МПа (17 405 фунтов на кв. дюйм) (разность главных напряжений) при давлении 69 МПа (10 008 фунтов на кв. дюйм). ). ⁽²⁵⁾

Измерения, представленные ссылкой 28 для бетона нормальной прочности с f ‘ _C = 25 МПа (3626 фунтов на кв. дюйм), показывают, что основная разница напряжений составляет 69МПа (10 008 фунтов на кв. дюйм) при давлении 37 МПа (5 366 фунтов на кв. дюйм).

Таблица 3. Приблизительные измерения прочности, используемые для установки параметров поверхности текучести TXE по умолчанию.

Тип измерения Набор сильных сторон 1 Набор сильных сторон 2 Набор сильных сторон 3 Набор сильных сторон 4 Набор сильных сторон 5

Одноосное сжатие f ‘ _C МПа (psi) 20 (2901) 28 (4 061) 38 (5 511) 48 (6962) 58 (8 412)

Одноосное растяжение f ‘ _T
МПа (psi) 1,6 (232) 2,2 (319,1) 2,9 (421) 3,5 (508) 4,1 (595)

Трехосное натяжение
МПа (psi) 1,6 (232) 2,2 (319,1) 2,9 (421) 3,5 (508) 4,1 (595)

Трехосное сжатие
2,75 f ‘ _C при P = 1,5 f ‘ _C МПа (psi) 55 (7 977) 77 (11 168) 105 (15 229) 132 (19 145) 160 (23 206)

Уравнение поверхности текучести TXC связывает прочность с давлением через четыре параметра, как показано на рисунке 78:

Рисунок 78. Уравнение. Сила ТХС.

При каждом значении неограниченной прочности на сжатие четыре параметра прочности ( α, λ, β, θ ) одновременно подгоняются к четырем значениям прочности с помощью итерационной процедуры. Подобранные значения для пяти сил приведены в таблице 4.

Очевидно, что пользователь может захотеть проанализировать бетон с прочностью, отличной от пяти перечисленных. Для этого квадратные уравнения как функция прочности на неограниченное сжатие подгоняются через каждый параметр, P , как показано на рисунке 79:

Рисунок 79. Уравнение. Параметр интерполяции P .

Для поверхности текучести TXC параметр P представляет либо α, λ, β, , либо q . The fitted values of A _P , B _P , and C _P are given in Table 5. Fitted values of A _P , B _P , and C _P для всех остальных входных параметров модели бетона (поверхности текучести TOR и TXE, кепка, параметры повреждения, скорости воздействия) приведены в последующих разделах.

Таблица 4. Входные параметры поверхности текучести TXC в зависимости от прочности на неограниченное сжатие.

Неограниченный
Сжатие
Прочность
МПа (psi) α
МПа (psi) λ
МПа (psi) β
МПа ^-1 (psi ^-1 ) θ

20 (2901) 12,8 (1856) 10,5 (1523) 1.929E-02 0,266

28 (4061) 14,2 (2060) 10,5 (1523) 1.929E-02 0,290

38 (5 511) 15,4 (2 234) 10,5 (1523) 1. 929E-02 0,323

46 (6 672) 15,9 (2306) 10,5 (1523) 1,929Э-02 0,350

58 (8 412) 15,9 (2306) 10,5 (1523) 1.929E-02 0,395

МПа ^-1 = 0,006895 psi ^-1

Таблица 5. Коэффициенты квадратного уравнения, которые устанавливают параметры поверхности текучести TXE, TOR и TXE по умолчанию в зависимости от предела прочности при неограниченном сжатии.
Входной параметр P А _П Б _П С _П

Поверхность TXC α (МПа) -0,003
(МПа ^-1 ) 0,3169747 7,7047
(МПа)

λ (МПа) 0
(МПа ^-1 ) 0 10,5
(МПа)

β (МПа ^-1 ) 0
(МПа ^-3 ) 0
(МПа ^-2 ) 1. 929E-02
(МПа ^-1 )

θ 1.3216E-05
(МПа ^-2 ) 2.3548Э-03
(МПа ^-1 ) 0,2140058

TOR Поверхность α _λ 0
(МПа ^-2 ) 0
(МПа ^-1 ) 0,74735

λ _λ 0
(МПа ^-2 ) 0
(МПа ^-1 ) 0,17

β _λ (МПа ^-1 ) -1.9972e-05
(МПа ^-3 ) 2.2655e-04
(МПа ^-2 ) 8.1748e-02
(МПа ^-1 )

θ _λ (МПа ^-1 ) -3.8859e-07
(МПа ^-3 ) -3. 9317e-04
(МПа ^-2) 1.5820e-03
(МПа ^-1 )

Поверхность TXE α ₂ 0
(МПа ^-2 ) 0
(МПа ^-1 ) 0,66

λ ₂ 0
(МПа ^-2 ) 0
(МПа ^-1 ) 0,16
(МПа)

β ₂ (МПа ^-1 ) -1.9972e-05
(МПа ^-3 ) 2.2655e-04
(МПа ^-2 ) 8.2748e-02
(МПа ^-1 )

θ ₂ (МПа ^-1 ) -4.8697e-07
(МПа ^-3 ) -1.8883e-06
(МПа ^-2 ) 1.8822e-03
(МПа ^-1 )

psi = 145. 05 MPa

MPa ^-1 = 0.006895 psi ^-1

MPa ^-2 = 0.000047538 psi ^-2

MPa ^-3 = 0.000000328 psi ^-3

Трехосные выдвижные и торсионные поверхности

Масштабирующие функции Рубина определяют прочность бетона для любого напряженного состояния относительно прочности TXC. ⁽¹⁷⁾ Соотношение прочности показано на рисунке 80:

Рисунок 80. Уравнение. Наиболее общая форма для Q ₁ , Q ₂ .

, где Q ₁ — отношение прочности TOR/TXE, а Q ₂ — отношение прочности TXE/TXE. Каждое соотношение может оставаться постоянным или изменяться в зависимости от давления. Подгонки этих уравнений к данным по умолчанию приведены в Таблице 6 и Таблице 7 и основаны на следующих данных и предположениях:

Поверхность текучести в девиаторной плоскости имеет треугольную форму при растягивающем давлении. Это означает, что О ₁ = 0,5774 и О ₂ = 0,5. In this case, Q ₁ and Q ₂ are set internally, and the values of α _λ , λ _λ , β _λ , θ _λ и α _{2 9не используются. Эти посадки моделируют прочность на двухосное растяжение, которая находится в пределах 1 процента от прочности на одноосное растяжение, как указано в CEB.}

Форма поверхности текучести в девиаторной плоскости переходит от треугольника при P = 0 к неправильному шестиугольнику при P > 0. В этом случае Q ₂ устанавливается для получения прочности на двухосное сжатие что примерно на 15 процентов больше, чем прочность на одноосное сжатие ( f ‘ _BC = 1,15 f ‘ _C ), как указано в CEB. Эта спецификация CEB согласуется с данными ссылки 16. Эта ссылка предлагает двухосную прочность на сжатие, которая примерно на 16 процентов выше, чем неограниченная прочность на сжатие.

Посадки на растяжение и сжатие будут плавно пересекаться при значениях Q ₁ = 0,5774 и Q ₂ = 0,5 при чистом сдвиге ( Р = 0).

Таблица 6. Входные параметры поверхности текучести TOR в зависимости от предела прочности при неограниченном сжатии.

Неограниченный
Сжатие
Прочность
МПа (psi) α ₁ λ ₁ β ₁ МПа ^-1 (psi ^-1 ) θ ₁ МПа ^-1 (psi ^-1 )

20 (2901) 0,74735 0,170 0,07829 1. 372E-03

28 (4061) 0,74735 0,170 0,07252 1.204E-03

38 (5 511) 0,74735 0,170 0,06135 9.247e-04

46 (6 672) 0,74735 0,170 0,05004 6.382E-04

58 (8 412) 0,74735 0,170 0,02757 1.147Е-04

МПа ^-1 = 0,006895 psi ^-1

Таблица 7. Входные параметры поверхности текучести TXE в зависимости от прочности на неограниченное сжатие.

Прочность на неограниченное сжатие, МПа (psi) α ₂ λ ₂ β ₂ МПа ^-1 (psi ^-1 ) θ ₂ МПа ^-1 (psi ^-1 )

20 (2901) 0,66 0,16 0,07829 1. 649E-03

28 (4061) 0,66 0,16 0,07252 1.450E-03

38 (5 511) 0,66 0,16 0,06135 1.102e-03

46 (6 672) 0,66 0,16 0,05004 7.687e-04

58 (8 412) 0,66 0,16 0,02757 1.310E-04

МПа ^-1 = 0,006895 psi ^-1

Опять же, поскольку пользователи могут захотеть проанализировать бетон с прочностью, отличной от пяти перечисленных, квадратные уравнения как функция прочности на неограниченное сжатие подходят для каждого набора значений параметров для поверхностей TOR и TXE. Коэффициенты квадратного уравнения ранее были приведены в таблице 5.

Расположение крышки, форма и параметры закалки

Параметры колпачка выбираются путем подгонки кривых давление-объемная деформация, измеренных при испытаниях на гидростатическое сжатие и одноосную деформацию. Подгонки по умолчанию, приведенные в таблице 8, основаны на следующих данных и допущениях:

Исходное положение крышки — это инвариант давления, при котором гидростатическая кривая давление-объемная деформация становится нелинейной. Нелинейность возникает при более низких давлениях для бетона с меньшей прочностью. Следовательно, начальное расположение крышки уменьшается с уменьшением прочности бетона.

Форма крышки в сочетании с начальным расположением крышки задает давление, при котором кривая одноосной деформации становится нелинейной. Параметр формы крышки, равный 5, является типичным и обычно используется разработчиком для соответствия бетону с f ‘ c = 45 МПа (6527 фунтов на кв. дюйм).

Максимальное пластическое изменение объема задает диапазон объемной деформации, в котором кривая давление-объемная деформация является нелинейной (от начала до блокировки). Как правило, максимальное пластическое изменение объема примерно равно пористости воздушных полостей. Значение 0,05 указывает на пористость по воздуху, равную 5 процентам. Не ожидается, что поры в средствах обеспечения безопасности на дорогах полностью уплотнятся. Таким образом, этот параметр установлен для обеспечения разумной формы кривой давления-объемной деформации в режиме от низкого до среднего давления, применимого к испытаниям на безопасность на дорогах.

Параметр линейного поверхностного упрочнения задает форму кривой давления-объемной деформации, хотя он вызывает внезапный переход в начале нелинейности. Квадратичный параметр шапочного упрочнения сглаживает этот переход.

Пример кривой давление-объемная деформация из моделирования изотропного сжатия приведен на рисунке 81. На этом рисунке показано, как каждый параметр влияет на форму кривой.

Исходное положение колпачка зависит от прочности на сжатие. Квадратное уравнение используется для определения местоположения крышки при прочности на сжатие, отличной от пяти, указанных в таблице. Коэффициенты квадратного уравнения: A _P = 8. 769178E -03 MPA ^-1 , B _P = -7,3302306E -02 и C _P = 84. 84.85.85.85.85.85.854.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85. и C _.

Таблица 8. Форма крышки, расположение и параметры упрочнения в зависимости от прочности на неограниченное сжатие.

Прочность на неограниченное сжатие, МПа (psi) Форма крышки R Расположение крышки X o МПа (psi) Максимальное изменение объема пластика Вт Линейная закалка D ₁ МПа (psi) Квадратичная закалка D ₂ МПа ² (psi ² )

20 (2901) 5 87 (12 618) 0,05 2. 50е-04 3.49e-07

28 (4061) 5 90 (13 053) 0,05 2.50е-04 3.49e-07

38 (5 511) 5 95 (13 779) 0,05 2.50е-04 3.49e-07

48 (6 962) 5 102 (14 794) 0,05 2.50е-04 3.49e-07

58 (8 412) 5 110 (15 954) 0,05 2.50е-04 3.49e-07

фунтов на квадратный дюйм = 145,05 МПа

фунтов на квадратный дюйм = 145,05 МПа

Рис. 81. График. Это моделирование изотропного сжатия демонстрирует, как параметры крышки задают форму кривой давления-объемной деформации.

Параметры повреждений

Бетон размягчается в режимах растяжения и низкого всестороннего давления. Для целей моделирования энергия разрушения определяется как площадь под участком размягчения кривой напряжения-смещения от пикового напряжения до полного разупрочнения. Одно уравнение в CEB связывает измеренную энергию разрушения при растяжении с пределом прочности при неограниченном сжатии и максимальным размером заполнителя, как показано на рисунке 82:
.

Рисунок 82. Уравнение. Энергия разрушения по умолчанию Г _Ф .

Таблица 9. Коэффициенты уравнения энергии разрушения.
Максимальный размер заполнителя, мм (дюймы) G _F0 кПа-см (psi-дюймы)

8 (0,31 дюйма) 2,5

16 (0,62 дюйма) 3,0

32 (1,26 дюйма) 3,8

кПа-см = килопаскаль-сантиметр

1 кПа-см = 0,05710 фунтов на квадратный дюйм

Здесь G _F0 — энергия разрушения при f ¢c = 10 МПа (1450 фунтов на кв. дюйм) в зависимости от максимального размера заполнителя. CEB фактически указывает значение G _F0 как 5,8 для 32-мм (1,26-дюймового) заполнителя, но оно было заменено на 3,8, чтобы G _F соответствовало табличным значениям CEB. Подгонка квадратного уравнения к этим G _F0 values as a function of aggregate size in mm is A _P = 0.000520833 cm/KPa, B _P = 0.75 cm, and C _P = 1.9334 KPa -см.

Энергии разрушения при растяжении, рассчитанные по уравнению на Рисунке 82 для пяти удельных значений прочности бетона, приведены в Таблице 10.

Таблица 10. Энергии разрушения при растяжении в таблице CEB в зависимости от прочности бетона.

Прочность на неограниченное сжатие, МПа (psi) 8 мм (0,31 дюйма) Совокупный кПа-см (psi-дюймы) 16 мм (0,62 дюйма) Совокупный кПа-см (psi-дюймы) 32 мм (1,26 дюйма) Совокупный кПа-см (psi-дюймы)

20 (2901) 4,0 5,0 6,5

28 (4061) 5,0 6,0 8,0

38 (5 511) 6,5 7,5 9,5

48 (6 962) 7,0 9,0 1,15

58 (8 412) 8,5 1,05 1,30

1 кПа-см = 0,05710 фунтов на квадратный дюйм

Модель материала бетона требует указания энергий разрушения при одноосном растягивающем напряжении, одноосном сжимающем напряжении и чистом напряжении сдвига. Значения по умолчанию для энергии разрушения при растяжении задаются уравнением на рисунке 82. Значения по умолчанию для энергии разрушения при сжатии устанавливаются равными 100-кратной энергии разрушения при растяжении. Значения по умолчанию для энергии разрушения при сдвиге устанавливаются равными энергии разрушения при растяжении.

Другими требуемыми входными параметрами являются пороги хрупкого и пластичного повреждения и максимальные уровни повреждения:

Каждый порог повреждения устанавливает уровень энергии упругой деформации, при котором начинается размягчение. Порог хрупкого разрушения устанавливается равным уровню энергии упругой деформации при неограниченном растяжении при максимальном напряжении. Порог вязкого разрушения устанавливается равным уровню энергии упругой деформации при неограниченном сжатии при максимальном напряжении.

Форма кривых смягчения задается параметрами B и D . Значение B = 100,0 задается при сжатии для постепенного начального размягчения (плоская вершина). Значение D = 0,1 устанавливается на растяжение для хрупкого начального размягчения (заостренная вершина).

Параметры максимального урона задают максимальные уровни урона, достигаемые при неограниченном сжатии и растяжении. Максимальные уровни повреждения установлены равными 0,99 как для хрупких, так и для пластичных составов.

Параметры скорости деформации
Бетон
демонстрирует увеличение прочности с увеличением скорости деформации (см. Рисунок 13 и Рисунок 14). Данные обычно представляются в виде отношения динамической и статической прочности, называемого коэффициентом динамического увеличения (DIF). CEB предоставляет спецификации для DIF, как описано в приложении D. Однако спецификации CEB не очень хорошо соответствуют данным по растяжению, ранее показанным на рис. 14. Таким образом, DIF, используемый и показанный на рис. 83, основан на опыте разработчика различные оборонные контракты, особенно для бетона с прочностью около f ‘ c = 45 МПа (6527 фунтов на кв. дюйм). Эти характеристики хорошо согласуются с данными о растяжении и сжатии, показанными ранее на рисунках 13 и 14.
Спецификации
DIF приблизительно удовлетворяются путем проведения многочисленных расчетов и выбора параметров влияния скорости вязкопластичности методом проб и ошибок. Параметры вязкопластичности применяются к составам пластичности, повреждения и энергии разрушения. Эти параметры η _0t и n _t для подгонки данных одноосного растяжения и η _0c и n _c для подгонки данных одноосного сжатия. Коэффициенты квадратного уравнения зависят от прочности на неограниченное сжатие, но не зависят от размера заполнителя.

Параметры по умолчанию для растяжения: n _t = 0,48, с коэффициентами квадратного уравнения для η _0t из A _P = 8,0614774E-13 , B _P = −9,77736719E-10 и C _P = 5,0752351E-05 в квадрате времени в фунтах на дюйм в секунду. Параметры по умолчанию в сжатии составляют N _C = 0,78, с коэффициентами квадратичных уравнений для η _0C из A _P = 1,277233371111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111Р1н. , и С _Р = 3,203497-04. Параметры влияния скорости при чистом напряжении сдвига устанавливаются равными параметрам при растяжении через Srate = 1.

Пределы перенапряжения при растяжении ( overt ) и сжатии ( overc ) ограничивают эффекты скорости при высоких скоростях деформации (> 100). Коэффициенты квадратного уравнения перенапряжения для явного составляют0270 21,45 МПа. Они обеспечивают пределы перенапряжения при растяжении и сжатии 21 МПа (3046 фунтов на квадратный дюйм) при неограниченной прочности на сжатие 30 МПа (4351 фунт на квадратный дюйм).

В литературе содержится противоречивая информация о том, зависит ли энергия разрушения от скорости деформации. Одна из возможностей состоит в том, чтобы смоделировать энергию разрушения независимо от скорости деформации ( repow = 0). Другая возможность состоит в том, чтобы увеличить энергию разрушения со скоростью деформации, умножив статическую энергию разрушения на DIF ( повтор = 1). Опыт разработчика заключался в том, чтобы увеличить значение энергии разрушения со скоростью деформации; следовательно, repow = 1 является значением по умолчанию. Это значение обеспечивает хорошую корреляцию с тестовыми данными для большинства проблем, проанализированных и обсуждаемых в сопутствующем отчете об оценке конкретной модели. ⁽¹⁾ Однако моделирование рельсов моста Texas T4 лучше всего коррелирует с данными, если энергия разрушения увеличивается пропорционально квадратному корню из скорости деформации ( repow = 0,5).

Рис. 83. График. Приблизительное динамическое увеличение растяжения и сжатия

коэффициентов для поведения бетонной модели по умолчанию.

шт.

Предусмотрено пять систем единиц. Это:

Экв. 0. ГПа, мм, миллисекунды, кг/мм ³ , килоньютоны (кН)

экв. 1. МПа, мм, миллисекунды, граммы на миллиметр в кубе (г/мм ³ ), ньютонов (Н)

экв. 2. МПа, мм, секунды, миллиграмм на мм ³ (мг/мм ³ ), Н

экв. 3. psi, дюйм, секунды, фунт-секунды в квадрате на дюйм с точностью до четвертой (lb-s ² / дюйм ⁴ ), lb

экв. 4. Па, м, сек, кг/м ³ , Н

Предыдущий | Содержание | Следующий

Объемный модуль упругости и упругость жидкости

Объемный модуль упругости – или объемный модуль – это свойство материала, характеризующее сжимаемость жидкости – насколько легко можно изменить единицу объема жидкости при изменении действующего на нее давления.

Эластичность объема модуля может быть рассчитана как

К = – DP / (DV / V ₀ )

1 = -()

1 = -()

= -()

= -()

= -()

= -()

= -()

= -(). ) / ((V ₁ – V ₀ ) / V ₀) (1)

, где

K = Bulk Modulus of Elasticty (PA, N / M 255556 (PA, PA, PA, PA, N / M 257. )

dp = дифференциальное изменение давления на объект (Па, Н/м ² )

dV = дифференциальное изменение объема объекта (м ³ )

4 14 V = Начальный объем объекта (M ³)

P ₀ = начальное давление ( PA, N/M ² )

P _{1 6)}

P _{1 6 = Final}

P _{1 6)}

P _{1 6)}

P _{1 6)}

P
36). Н/м ² )
V ₁ = final volume ( m ³ )

The Bulk Modulus Elasticity can alternatively be expressed as

K = dp / (dρ / ρ ₀ )

= ( р ₁ – стр. 0002 , где

Dρ = дифференциальное изменение плотности объекта (кг/м ³)

ρ ₀ ρ ₀ ρ ₀ 3136 ρ ₀ ρ _{0 ρ ρ} ρ ρ . . )

ρ ₁ = final density of the object ( kg/m ³ )

An increase in the pressure will decrease the volume (1). Уменьшение объема приведет к увеличению плотности (2) .

Единица измерения объемного модуля упругости в системе СИ равна Н/м ² (Па)

Имперская единица (BG) составляет фунт lb _f /in ² (psi) = 6,894 10 ³ Н/м ² (Па)

Большой объемный модуль указывает на относительно несжимаемую жидкость.

Bulk Modulus for some common fluids:

1,338

Fluid Bulk Modulus
– K –

Imperial Units – BG
( 10 ⁵ psi, lb _f /in ² ) SI Units
( 10 ⁹ Pa, N/m ² )

Acetone 1. 34 0.92

Benzene 1.5 1.05

Carbon Tetrachloride 1.91 1.32

Ethyl Alcohol 1.54 1.06

Gasoline 1.9 1.3

Glycerin 6.31 4,35

Минеральное масло ISO 32 2,6 1,8

Керосин 1,9

Mercury 41.4 28.5

Paraffin Oil 2.41 1.66

Petrol 1.55 – 2.16 1.07 – 1.49

Phosphate ester 4.4 3

SAE 30 Oil 2.2 1.5

Seawater 3.39 2.34

Sulfuric Acid 4. 3 3.0

Water 3.12 2.15

Water – glycol 5 3.4

Water in oil emulsion 3.3 2.3

1 ГПа = 10 ⁹ Па (Н/м ² )

Нержавеющая сталь с модулем объемного сжатия 163 10 ⁹ Па составляет прибл. 80 раз труднее сжимать, чем воду, с модулем объемного сжатия 2,15 10 ⁹ Па .

Пример – Плотность морской воды в Марианской впадине

– самая глубокая известная точка в Мировом океане – 10994 м .

The hydrostatic pressure in the Mariana Trench can be calculated as

p ₁ = (1022 kg/m ³ ) (9.81 m/s ² ) (10994 m)

= 110 10 ⁶ Па (110 МПа)

Начальное давление на уровне моря составляет 10 ⁵ Па , а плотность морской воды на уровне моря составляет 1022 кг/м ³ .

The density of seawater in the deep can be calculated by modifying (2) to

ρ ₁ = ( ( p ₁ – p ₀ ) ρ ₀ + К ρ ₀ ) / К

= (((110 10 ⁶ PA) – (1 10 ⁵ PA) (1022 KG/M ³) + (1022 KG/M ³) + 457) + ) + ) + ) + ) + ) + ) + ) + ). (1022 kg/m ³ )) / ( 2.34 10 ⁹ Pa )

= 1070 kg/m ³

Внимание! – поскольку плотность морской воды меняется в зависимости от глубины, расчет давления может быть выполнен более точно путем расчета в интервалах глубины.

Формула модуля Юнга и пример осевая деформация. (изображение: Nicoguaro.
CC 4.0)
Модуль Юнга ( E ) — это модуль упругости при растяжении или сжатии. Другими словами, он описывает, насколько жестким является материал или насколько легко он сгибается или растягивается. Модуль Юнга связывает напряжение (силу на единицу площади) с деформацией (пропорциональной деформацией) вдоль оси или линии.

Основной принцип заключается в том, что материал подвергается упругой деформации при сжатии или растяжении, возвращаясь к своей первоначальной форме при снятии нагрузки. В гибком материале происходит большая деформация по сравнению с жестким материалом.

Низкое значение модуля Юнга означает, что твердое тело эластично.

Высокое значение модуля Юнга означает, что твердое тело неэластичное или жесткое.

Поведение резиновой ленты иллюстрирует модуль Юнга. Резинка растягивается, но когда вы отпускаете силу, она возвращается к своей первоначальной форме и не деформируется. Однако слишком сильное натяжение резинки приводит к ее деформации и, в конечном итоге, к ее разрыву.

Модуль Юнга Формула

Модуль Юнга сравнивает напряжение растяжения или сжатия с осевой деформацией. Формула модуля Юнга:

E = σ / ε = (F/A) / (ΔL/L ₀ ) = FL ₀ / AΔL = mgL ₀ / π r ^{7 ΔL 904}

Где:

E — модуль Юнга

σ — одноосное напряжение (растяжение или сжатие), которое представляет собой усилие на площадь поперечного сечения

ε — деформация, которая представляет собой изменение длины на исходную длину

F — сила сжатия или растяжения

A — площадь поверхности поперечного сечения или поперечное сечение, перпендикулярное приложенной силе

ΔL — изменение длины (отрицательное при сжатии; положительное при растяжении)

L ₀ — исходная длина

g — ускорение свободного падения

r — радиус цилиндрической проволоки

Единицы модуля Юнга

В то время как единицей СИ для модуля Юнга является паскаль (Па). Однако паскаль — это небольшая единица давления, поэтому более распространены мегапаскали (МПа) и гигапаскали (ГПа). Другие единицы включают ньютоны на квадратный метр (Н/м ² ), ньютонов на квадратный миллиметр (Н/мм ² ), килоньютонов на квадратный миллиметр (кН/мм ² ), фунтов на квадратный дюйм (PSI), мегафунтов на квадратный дюйм (Mpsi).

Пример задачи

Например, найдите модуль Юнга для проволоки длиной 2 м и диаметром 2 мм, если ее длина увеличивается на 0,24 мм при растяжении массой 8 кг. Предположим, что g равно 9,8 м/с ² .

Сначала запишите, что вы знаете:

L = 2 м

Δ L = 0,24 мм = 0,00024 м

r = диаметр/2 = 2 мм/2 = 1 мм = 0,001 м

m = 8 кг

г = 9,8 м/с информацию, вы знаете лучшую формулу решения проблемы.

E = mgL ₀ / π r ² ΔL = 8 x 9.8 x 2 / 3.142 x (0.001) ² x 0.00024 = 2.08 x 10 ¹¹ N/m ²

History

Несмотря на свое название, Томас Юнг не был первым, кто описал модуль Юнга. Швейцарский ученый и инженер Леонард Эйлер изложил принцип модуля упругости в 1727 году. В 1782 году эксперименты итальянского ученого Джордано Риккати привели к расчетам модуля. Британский ученый Томас Янг описал модуль упругости и его вычисление в своей работе 9.0269 Курс лекций по естественной философии и механическим искусствам в 1807 г.

Изотропные и анизотропные материалы

Модуль Юнга часто зависит от ориентации материала. Модуль Юнга не зависит от направления в изотропных материалах. Примеры включают чистые металлы (при некоторых условиях) и керамику. При обработке материала или добавлении примесей образуются зернистые структуры, которые делают механические свойства направленными. Эти анизотопные материалы имеют разные значения модуля Юнга в зависимости от того, приложена ли сила вдоль зерна или перпендикулярно ему. Хорошими примерами анизотропных материалов являются дерево, железобетон и углеродное волокно.

Таблица значений модуля Юнга

В этой таблице приведены репрезентативные значения модуля Юнга для различных материалов. Имейте в виду, что значение зависит от метода тестирования. Как правило, большинство синтетических волокон имеют низкие значения модуля Юнга. Натуральные волокна более жесткие, чем синтетические. Металлы и сплавы обычно имеют высокие значения модуля Юнга. Самый высокий модуль Юнга у карбина, аллотропа углерода.
6

Материал ГПа Mpsi

Rubber (small strain) 0.01–0.1 1.45–14.5×10 ⁻³

Low-density polyethylene 0.11–0.86 1.6–6.5×10 ⁻²

Diatom frustules (silicic acid) 0.35–2.77 0.05–0.4

PTFE (Teflon) 0.5 0.075

HDPE 0.8 0.116

Bacteriophage capsids 1–3 0.15–0.435

Polypropylene 1.5–2 0. 22–0.29

Polycarbonate 2–2.4 0.29-0.36

Polyethylene terephthalate (PET) 2–2,7 0,29–0,39

2–4 0,29–0,58

0,29–0,58

0,29–0,58

0,29–0,58

0,29–0,58 0,29–0,58 .0383

Polystyrene, foam 2.5–7×10 ^-3 3.6–10.2×10 ^-4

Medium-density fiberboard (MDF) 4 0.58

Wood (along grain) 11 1.60

Human Cortical Bone 14 2.03

Glass-reinforced polyester matrix 17.2 2.49

Aromatic peptide nanotubes 19–27 2.76–3.92

High-strength concrete 30 4. 35

Amino-acid molecular crystals 21–44 3.04–6.38

Carbon fiber reinforced plastic 30–50 4.35–7.25

Hemp fiber 35 5.08

Magnesium (Mg) 45 6.53

Glass 50–90 7.25–13.1

Flax fiber 58 8.41

Aluminum (Al) 69 10

Mother-of-pearl nacre (calcium carbonate) 70 10.2

Aramid 70.5–112.4 10.2–16.3

Tooth enamel (calcium phosphate) 83 12

Stinging nettle fiber 87 12.6

Bronze 96–120 13.9–17.4

Brass 100–125 14. 5–18.1

Titanium (Ti) 110.3 16

Titanium alloys 105–120 15–17.5

Copper (Cu) 117 17

Carbon fiber reinforced plastic 181 26.3

Silicon crystal 130–185 18.9–26.8

Wrought iron 190–210 27.6–30.5

Steel (ASTM-A36) 200 29

Yttrium iron garnet (YIG) 193-200 28-29

Cobalt-chrome (CoCr) 220–258 29

Aromatic peptide nanospheres 230–275 33.4–40

Beryllium (Be) 287 41.6

Molybdenum (Mo) 329–330 47.7–47.9

Tungsten (W) 400–410 58–59

Silicon carbide (SiC) 450 65

Tungsten carbide (WC) 450–650 65–94

Osmium (Os) 525 –562 76. 1–81.5

Single-walled carbon nanotube 1,000+ 150+

Graphene (C) 1050 152

Diamond (C) 1050–1210 152–175

Carbyne (C) 32100 4660

Modulii of Elasticate

. Другое значение для молодежи
Modulii

. Другое значение для молодежи
Modulii

. Другое значение для молодежи
Modulii

. Другое значение для молодежи 2. :

Модуль Юнга описывает упругость при растяжении вдоль линии при приложении противоположных сил. Это отношение напряжения растяжения к деформации растяжения.

Объемный модуль (K) является трехмерным аналогом модуля Юнга. Это мера объемной упругости, рассчитываемая как объемное напряжение, деленное на объемную деформацию.

Модуль сдвига или модуль жесткости (G) описывает сдвиг, когда на объект действуют противоположные силы. Это напряжение сдвига, деленное на деформацию сдвига.

Аксиальный модуль, модуль P-волны и первый параметр Ламе являются другими модулями упругости. Коэффициент Пуассона можно использовать для сравнения деформации поперечного сжатия с деформацией продольного растяжения. Вместе с законом Гука эти значения описывают упругие свойства материала.

Ссылки

ASTM International (2017). «Стандартный метод испытаний модуля Юнга, касательного модуля и модуля хорды». АСТМ Е111-17. Книга стандартов Том: 03.01.

Ястржебски, Д. (1959). Природа и свойства инженерных материалов (изд. Wiley International). John Wiley & Sons, Inc.

Лю, Минцзе; Артюхов, Василий И.; Ли, Хункён; Сюй, Фанбо; Якобсон, Борис И. (2013). «Карбин из первых принципов: цепочка атомов углерода, нанород или наноропа?». АКС Нано . 7 (11): 10075–10082. doi: 10.1021/nn404177r

Риккати, Г. (1782). «Delle vibrazioni sonore dei cilindri». Мем. мат. фис. соц. Итальяна . 1: 444-525.

Трусделл, Клиффорд А. (1960). Рациональная механика гибких или упругих тел, 1638–1788 : Введение в Opera Omnia Леонарди Эйлери, том. X и XI, Serie Secundae. Орелл Фассли.

Измерение модуля упругости при сжатии наполненных сердцевиной стеблей растений | Заводские методы

Методология

Открытый доступ

Опубликовано: 09 ноября 2017 г.

Loay A. Al-Zube ^1,2 ,

Daniel J. Robertson ³ ,

Jean N. Edwards ¹ ,

Wenhuan Sun ¹ &

…

Douglas D Повар ¹

Растительные методы том 13 , номер статьи: 99 (2017) Процитировать эту статью

10 тыс. обращений

23 Цитаты

1 Альтметрика

Сведения о показателях

Abstract

Предыстория

Модуль упругости при сжатии является важным механическим свойством для понимания полегания стеблей, но это свойство редко доступно для тонкостенных стеблей растений, таких как кукуруза и сорго, потому что образцы тканей этих растений очень восприимчивы к коробление. Цель этого исследования состояла в том, чтобы разработать протокол испытаний, который обеспечивает точные и надежные измерения модуля упругости при сжатии кожуры стеблей растений, наполненных сердцевиной. Общий подход заключался в том, чтобы максимально полагаться на стандартные методы и практики, при этом разрабатывая новые методы по мере необходимости.

Результаты

Были разработаны два метода измерения модуля упругости при сжатии узловых образцов с заполнением сердцевины. Оба метода имели среднюю воспроизводимость ± 4%. Использование естественной морфологии и архитектуры растений использовалось, чтобы избежать потери устойчивости. Оба метода основывались на сферических плитах для сжатия, чтобы компенсировать неточности при подготовке образцов. Влияние положения образца в испытательном приспособлении было определено количественно, чтобы убедиться, что размещение образца не приводит к систематическим ошибкам.

Выводы

Надежные измерения модуля упругости при сжатии заполненных сердцевиной стеблей растений могут быть выполнены с использованием протоколов испытаний, представленных в этом исследовании. Также были даны рекомендации для будущих исследований.

Исходная информация

Измерение механических свойств стеблей растений помогает в исследовании раннего и позднего полегания стеблей [1]. Но, несмотря на хозяйственное значение растений с тонкостенными стеблями (например, кукуруза, сорго, пшеница и др.), в немногих исследованиях изучались надежные методы получения их механических свойств при сжимающих нагрузках. Одним из важнейших механических свойств является модуль упругости, обеспечивающий линейную зависимость между напряжением и деформацией [2]. Это механическое свойство необходимо для расчета напряженного состояния, а также физической деформации конструкции или установки [3, 4].

Модуль упругости можно измерить несколькими способами, включая тесты на изгиб, растяжение, сжатие, вибрацию и акустическое возбуждение. Испытания на изгиб использовались в ряде исследований, в том числе посвященных механическим свойствам древесины [5,6,7,8], стеблей подсолнечника [9], стеблей сорго [10], стеблей пшеницы [11] и кукурузы. стебли [12, 13]. Испытания на изгиб популярны, потому что они предполагают низкие нагрузки, легко измеримую деформацию и требуют небольшой подготовки образца. Испытания на изгиб можно проводить только на длинных и тонких образцах [14] и производить одну оценку модуля упругости для каждого образца. В результате этот метод дает довольно плохое пространственное разрешение для модуля упругости. На точность модуля, полученного при испытаниях на изгиб, также отрицательно влияет нелинейная форма уравнений изгиба, которая имеет тенденцию увеличивать погрешность измерения.

Испытание на растяжение является еще одним распространенным методом определения модуля упругости. Этот подход использовался для измерения модуля упругости древесины [7], вырезанных срезов кожуры стеблей кукурузы [15, 16], вырезанных продольных срезов стеблей прутняка [17], стеблей риса и стеблей арабидопсиса [18]. Однако подготовка образцов является более трудоемкой по сравнению с изгибом, и образцы необходимо надежно удерживать, не вызывая повреждения тканей. Захватывающий аспект испытания на растяжение часто бывает довольно сложным.

Испытание на сжатие очень часто встречается в литературе по дереву [7, 19], но обычно не используется при испытании тонкостенных стеблей растений. Это связано с тем, что кожура растений очень подвержена деформации изгиба. Следовательно, информация о модуле сжатия тонкостенных стеблей растений часто отсутствует.

Исследования показали, что значения модулей упругости при растяжении и сжатии могут быть разными для пиломатериалов, пшеничной и ячменной соломы [6, 20]. Это указывает на то, что одного испытания на растяжение может быть недостаточно для измерения модуля упругости, и что испытания на изгиб (которые вызывают как изгиб, так и сжатие) могут давать ненадежные значения модуля. Поэтому необходимы методы измерения модуля упругости при сжатии стеблей растений.

Для тонкостенных стеблей растений изгибающие нагрузки в основном воспринимаются продольными напряжениями в ткани кожуры [21, 22], поэтому в данном исследовании основное внимание уделяется продольному модулю упругости.

Целью данного исследования была разработка надежного метода определения модуля упругости при сжатии кожуры наполненных сердцевиной стеблей растений и изучение факторов, влияющих на точность и надежность этого метода. Для краткости сокращенный термин «модуль упругости» будет использоваться вместо более точного термина «модуль упругости при продольном сжатии» в оставшейся части этой статьи.

Методы

Образцы стеблей

Сухие стебли кукурузы использовались в качестве образцов для испытаний в этом исследовании. Кукуруза может быть очень восприимчива к полеганию стеблей в конце сезона, что происходит из-за коробления кожуры, вызванного сжатием [13]. Стебли кукурузы были отобраны из 2 повторностей четырех коммерчески доступных гибридов зубастой кукурузы (кукурузы), посеянных при 5 плотностях посадки (119 000, 104 000, 89 000, 74 000 и 59 000 растений га ^–1) [23]. Стебли срезали прямо над землей и над колосом непосредственно перед сбором урожая. Чтобы предотвратить рост грибков, стебли помещали в сушилки с принудительной подачей воздуха, чтобы снизить влажность стеблей примерно до 10–15% влаги по весу, что точно имитирует состояние стеблей в поле непосредственно перед сбором урожая. Во избежание искажающих факторов в исследование включались только стебли, не пораженные болезнями и вредителями. Сто (100) образцов были отобраны для испытаний на сжатие.

КТ-сканирование

Рентгеновская компьютерная томография использовалась для количественного определения площади поперечного сечения корки и сердцевины (рис. 1). Стебли сканировали с помощью сканера X5000 (NorthStar Imaging, Роджерс, Миннесота, США). В процессе сканирования были получены двумерные изображения стеблей кукурузы в поперечном сечении. Для извлечения площади поперечного сечения каждого стебля из данных КТ использовалась специальная компьютерная программа. Сканирование и извлечение морфологии более подробно описаны в предыдущем исследовании [23].
Рис. 1
Поперечный срез стебля кукурузы, полученный с помощью рентгеновской компьютерной томографии. a Рентгеновское КТ-изображение, b Рентгеновское КТ-изображение с наложением линий, используемых для сегментации изображения на корковую и сердцевинную области. Сегментация проводилась по специальному компьютерному алгоритму [23]

Увеличенное изображение

Подготовка образцов

Разработаны технические стандарты для испытаний на сжатие металлов [24], пластиков [25] и биоматериалов [26]. Каждый из этих стандартов указывает, что геометрия образца имеет решающее значение для точной оценки жесткости при сжатии. Эти стандарты требуют, чтобы образцы были изготовлены с плоскими торцами, перпендикулярными оси нагрузки (рис. 2а). Это гарантирует, что напряжения, прикладываемые во время испытаний, равномерно распределяются по всему образцу.
Рис. 2
Установка для испытаний на сжатие: схематическая диаграмма , изображающая геометрические особенности идеального испытания на сжатие; b фотография одного образца, предназначенного для испытаний

Изображение в полный размер

В этом исследовании образцы для испытаний вырезали из стеблей с помощью абразивной пилы (Bosch GCO2000, Герлинген, Германия). Поверхность вращающегося пильного диска обеспечивала плоскостность торцов. Поскольку корка имеет наибольшую толщину сразу под линией узла [13], образцы были вырезаны сразу под каждым узлом, как показано на рис. 3. В этом подходе используется естественная архитектура стебля для минимизации напряжений, прилагаемых к каждому концу во время испытаний. Было обнаружено, что образцы, приготовленные таким образом, очень прочные, что позволяет проводить многократные испытания на отдельных образцах без индуцированного необратимого повреждения тканей. Подготовленные образцы содержали три отдельных участка ткани, каждый из которых отличался анатомией и геометрией; ткань междоузлия, ткань зоны растяжения и субапикальная область первичной меристемы растяжения [27].
Рис. 3
(Вверху) Толщина кожуры кукурузы в зависимости от осевого расстояния. (Внизу) Рентгеновское компьютерное томографическое изображение соответствующего стебля кукурузы. Пунктирные линии указывают места, где корка наиболее толстая. Образцы были приготовлены разрезанием по пунктирным линиям. Подготовленный образец показан на рис. 2b

Изображение в полный размер

Самоустанавливающиеся компрессионные плиты используются в ситуациях, когда трудно добиться перпендикулярности торцов образца. При приложении нагрузки эти плиты вращаются до тех пор, пока не выровняются с испытательной поверхностью, компенсируя, таким образом, любые несоответствия угла торцевой поверхности. Таким образом, на обоих концах образцов были использованы самоустанавливающиеся плиты (кат. №: S5722A, Instron Corp., Норвуд, Массачусетс, США), чтобы компенсировать любые угловые неточности в процессе резки. На рисунке 2 представлены схема и фотография образца, расположенного для испытаний.

Оборудование для испытаний на сжатие

Испытания на сжатие проводились с использованием универсальной испытательной машины (Instron 5965, Instron Corp., Норвуд, Массачусетс, США). Нагрузки измерялись с помощью тензодатчика Instron 5 кН. Инструментальное управление и сбор данных осуществлялись с помощью программного обеспечения Instron (Bluehill 3.0).

В этом исследовании для каждого образца измерялись два типа деформации; общая деформация ( ε _{комбинезон} ) и местной деформации ( ε _{местный}). Общая деформация была основана на общем смещении универсальной испытательной машины (т. е. смещении между двумя сферическими плитами), деленном на общую начальную длину образца до нагрузки. Местную деформацию измеряли с помощью экстензометра Instron, который регистрировал смещение двух точек на поверхности образца (см. рис. 2). Эталонная длина экстензометра составляла 50 мм (динамический экстензометр Instron серии 2630, Instron Corp., Норвуд, Массачусетс, США) (рис. 2).

Процедура испытания на сжатие

При испытании биологических тканей обычно используется предварительная нагрузка и повторное приложение циклов нагрузки для приведения образцов в воспроизводимое эталонное состояние [28]. Эта процедура используется для уменьшения изменчивости измерений и называется предварительным кондиционированием [28, 29, 30, 31]. Процесс загрузки описан ниже.

К каждому образцу была приложена начальная нагрузка 200 Н. Затем применяли пять циклов нагрузки. В каждом цикле нагружения нагрузка увеличивалась с 200 до 700 Н, а затем возвращалась к исходному состоянию 200 Н. Первый цикл использовался как цикл кондиционирования. В расчетах модуля упругости использовались только измерения последних четырех циклов. В этом исследовании использовались скорость деформации 0,1 мм/с и частота дискретизации 33 Гц. Эта скорость аналогична той, которая использовалась в предыдущем отчете (0,0833 мм/с), где тестировались образцы стеблей кукурузы с соотношением длины к диаметру 1:1 [20]. Более низкие скорости использовались при испытании образцов пшеничной/ячменной соломы (0,04 мм/с) [20], пиломатериалов (0,005 мм/с) [7] и древесины (0,042 мм/с) [32]. В будущем необходимы дальнейшие исследования, чтобы выяснить влияние скорости деформации на значения модулей упругости при сжатии наполненных сердцевиной стеблей растений.

Расчет модуля упругости

Модуль сжатия определяется как наклон кривой одноосного напряжения-деформации. Поскольку кожура является основной несущей тканью стебля кукурузы [33], сжимающее напряжение σ было получено путем деления приложенной силы F на площадь поперечного сечения кожуры A _р (уравнение 1). Площади поперечного сечения измеряли на 5 см ниже узла.

$$\sigma = \frac{F}{{A_{r} }}$$

(1)

Этот подход не учитывает структурный вклад сердцевинной ткани, но позволяет оценить жесткость корки по одиночный тест. Как будет показано в разделе результатов, это предположение вносит относительно небольшие ошибки.

При малых деформациях деформацию получают путем деления изменения длины на первоначальную длину:

$$\varepsilon = \frac{\Delta L}{{L_{0} }} = \left( {\frac{ {L_{f} – L_{0} }}{{L_{0} }}} \right)$$

(2)

Наклон кривой напряжения–деформации, или модуль сжатия, E , был рассчитан следующим образом:

$$E = \frac{\Delta \sigma }{\Delta \varepsilon } = \frac{{\sigma_{2} – \sigma_{1}}}{{\varepsilon_{2} – \varepsilon_{1}}} = \frac{{\left( {\frac{{F_{2}} – F_{1}}}{{A_{r}}}} \right)}}{{\left( {\frac{{L_{2} – L_{1}}}{{L_{0}}}} \right)}} = \left( {\frac{\Delta F}{\Delta L}} \right) \frac{{L_{0}}}{{A_{r}}}$$

(3 )

В этом уравнении значения ΔF и ΔL в этом исследовании соответствовали изменениям, измеренным между F ₁ = 200 Н и F ₂ = 700 Н. Уравнение 3 использовалось для расчета общего и местного модуля сжатия каждого образца.

Приведенные выше уравнения представляют собой стандартный подход к измерению модуля сжатия. Хотя самоустанавливающиеся плиты имели неперпендикулярные торцы, было обнаружено, что самоустанавливающаяся природа этих плит в сочетании со сложной геометрией стержня вызывает изменение распределения деформации по окружности в образцах. Чтобы учесть потенциальные изменения напряжения, измерения локальной деформации были получены из 4 равноотстоящих друг от друга положений по окружности каждого образца, обозначенных угловым положением каждого измерения: ε ₀ , ε ₉₀ , ε ₁₈₀ и ε ₂₇₀ (см. рис. 4). Уравнение 3 использовалось для расчета соответствующих значений модуля сжатия ( E ₀ , Е ₉₀ , Э ₁₈₀ и Е ₂₇₀ ).
Рис. 4
Вид сверху на самоустанавливающийся валик с поперечным сечением стебля кукурузы и угловыми направлениями измерения деформации

Изображение в полный размер модуль. Поскольку деформация обратно пропорциональна модулю сжатия, особое внимание следует уделить способу выполнения усреднения [34,35,36,37]. Вместо того, чтобы вставлять отдельные значения деформации в уравнение. 3 значения деформации сначала усреднялись для получения одного среднего значения деформации (ε _local ), представляющая среднюю деформацию поперечного сечения:

$$\varepsilon_{local} = \frac{1}{4}\left( {\varepsilon_{0} + \varepsilon_{90} + \varepsilon_{180 } + \varepsilon_{270} } \right)$$

(4)

Этот штамм можно подставить в уравнение 3 следующим образом, чтобы получить окончательное выражение для локального модуля сжатия, E _{местный} :

$$E_{local} = \frac{\Delta \sigma }{{\Delta \varepsilon_{local}}} = \frac{{\left( {\frac{{F_{2}} – F_{ 1} }}{{A_{r} }}} \right)}}{{\frac{1}{4}\left\{ {\left( {\frac{{L_{2} – L_{1} }}{{L_{0} }}} \right)_{0} + \left( {\frac{{L_{2} – L_{1}}}{{L_{0} }}} \right) _{90} + \left( {\frac{{L_{2} – L_{1}}}{{L_{0} }}} \right)_{180} + \left( {\frac{{L_{2} } – L_{1} }}{{L_{0} }}} \right)_{270} } \right\}}}$$

(5)

Как и прежде, индексы 1 и 2 относятся к к условиям испытаний при нагрузках 200 и 700 Н соответственно.

Оценка вклада сердцевинной ткани

После того, как все образцы были испытаны, вклад сердцевинной ткани в общую жесткость оценивали путем тщательного просверливания отверстия диаметром 5 мм в узловой ткани на торце каждого образца. Для этого использовалось обычное сверло по дереву. Затем с помощью круглого деревянного напильника аккуратно сошлифовывали ткань сердцевины до тех пор, пока не оставалась только ткань кожуры. Затем эти полые образцы подвергали повторным испытаниям с использованием методов, описанных выше.

Чувствительность модуля сжатия к размещению образца

Форма поперечного сечения стебля кукурузы несколько неправильная (см. рис. 4). Таким образом, размещение каждого образца на двух самоустанавливающихся плитах несколько субъективно. Поэтому была оценена чувствительность измерений модуля сжатия к размещению образца, чтобы определить, влияет ли размещение образца на результаты модуля сжатия.

Эти испытания были выполнены путем размещения образца в кажущемся центре каждой самоустанавливающейся плиты. После обычного измерения модуля сжатия образец смещали от центра и повторяли испытание. Этот процесс был повторен для расстояния смещения 2 мм и 4 направлений смещения (0°, 90°, 180° и 270°). Таким образом, модуль сжатия был измерен в каждом из 12 результирующих мест сдвига. Эти измерения были уравновешены 12 испытаниями, проведенными с образцом в центральном положении. Тестирование чередовалось между центральным и смещенным положением, чтобы избежать потенциальной систематической ошибки, вызванной временными эффектами.

Статистический анализ

Повторяемость измерений

Повторяемость методологий испытаний на сжатие, описанных в этой статье, выполнялась в соответствии со стандартными процедурами [38]. Набор из 10 образцов был повторно испытан в соответствии с протоколами, описанными выше. Каждый образец был испытан 5 раз, и для каждого испытания использовались оба метода определения модуля сжатия. Стандартное отклонение использовалось для количественной оценки повторяемости теста для каждого образца.

Результаты

Репрезентативные кривые напряжения-деформации образцов кукурузы с сердцевиной

Кривые напряжения-деформации как для общего, так и для местного значения модуля сжатия были линейными по своей природе. Нагрузки, использованные в этом исследовании, обычно приводили к значениям деформации менее 0,5%. Репрезентативные кривые показаны на рис. 5, который показывает, что жесткость, измеренная с помощью измерений локальной деформации, как правило, была выше, чем общая жесткость. Для всех тестов в этом исследовании коэффициент детерминации ( Р ² ) между напряжением и деформацией было выше 0,99.
Рис. 5
Репрезентативные кривые напряжения-деформации для местных и общих измерений. Наклоны каждой кривой представляют соответствующие значения модуля сжатия, E _{местный} и Е _{комбинезон}

Изображение в полный размер

Чувствительность модулей сжатия к размещению образца с заполнением сердцевины

Предварительные испытания показали, что значения модуля сжатия чувствительны к размещению образца, но только когда образец был смещен более чем на 2 мм от центра плиты. Опыт авторов в проведении этих тестов показывает, что смещение более чем на 1 мм от центра легко обнаруживается человеческим глазом. Чтобы оценить влияние пространственного положения, 10 образцов были испытаны в центральном положении и смещении на 2 мм. Каждый образец был испытан в общей сложности 8 раз: 4 раза в центре и 4 испытания со смещением на 2 мм. Каждый из 4 «смещенных» тестов включал смещение образца в другом направлении, как показано на рис. 4. Полученные данные показаны на рис. 6, который демонстрирует, что размещение образца в пределах ± 2 мм от центра плиты не имело существенного значения. влияние на измерения модуля сжатия.
Рис. 6
Диаграммы, иллюстрирующие влияние пространственного положения на размещение образца. Все данные для одного образца были нормализованы средним значением модуля из испытаний, проведенных в центральном положении

Полноразмерное изображение

Анализ повторяемости для образцов с сердцевиной вариации одного образца) определяли количественно, используя стандартное отклонение для каждого из 10 образцов.
Было обнаружено, что оба метода испытаний на сжатие (с использованием локальной деформации или общей деформации) имеют среднюю воспроизводимость 3,9.%. Дополнительная информация о повторяемости обобщена в Таблице 1. В последнем столбце Таблицы 1 указана верхняя граница вариации между тестами при доверительном уровне 95 %.
Таблица 1 Статистика повторяемости, полученная в результате повторных испытаний на наборе из 10 образцов
Полноразмерная таблица

Усреднение локальных деформаций наполненных сердцевиной образцов

Самоустанавливающиеся плиты вызывали небольшое изменение деформации по окружности. Это изменение было зафиксировано путем измерения деформации в 4-х местах по окружности для каждого образца. Чтобы изучить влияние усреднения окружных деформаций, значения модуля сжатия были рассчитаны с использованием значений деформации 1, 2, 3 и 4. Уравнение 3 описывает расчет модуля сжатия для одного измерения деформации, а уравнение 4 описывает процесс расчета для четырех измерений деформации. Аналогичные выражения можно получить для двух и трех измерений деформации.

Эффект усреднения деформации показан на рис. 7. Как и ожидалось, изменение расчетного модуля сжатия уменьшалось по мере увеличения количества используемых измерений деформации. Эта тенденция была очевидна как на индивидуальном, так и на групповом уровне.
Рис. 7
Эффект усреднения измерений локальной деформации по окружности испытуемых образцов с 1, 2, 3 или 4 сторон. Измерение деформации со всех сторон уменьшает отклонения по окружности, вызванные структурной асимметрией испытуемых образцов. Данные на этой диаграмме с 94 образца с 4 измерениями деформации на образец (6 образцов были повреждены во время испытаний и поэтому были исключены). Размер выборки отражает количество различных комбинаций для усреднения измерений деформации (например, учитывая 4 измерения деформации на образец, существует 6 возможных комбинаций при использовании групп по два, 4 комбинации при использовании групп по три и т. д.)

Полноразмерное изображение

Пренебрежение вкладом сердцевинной ткани

Несколько образцов были повреждены либо в процессе удаления сердцевины, либо во время последующих испытаний, что уменьшило размер выборки для этой части исследования. Вклад сердцевинной ткани оказывает статистически значимое влияние на значения модуля сжатия, которые, как было установлено, имеют примерно ту же величину, что и воспроизводимость образцов. Было обнаружено, что общее среднее снижение жесткости после удаления сердцевины составляет примерно 4%. Варьирование этого эффекта было относительно высоким, что, вероятно, было связано с неточным характером процесса удаления сердцевины. В 9При доверительном уровне 5% среднее влияние сердцевинной ткани на жесткость оказалось меньше или равно 6,3%. Поэтому мы пришли к выводу, что, хотя процесс игнорирования сердцевинной ткани действительно вносит постоянную ошибку, величина этой ошибки несущественна. В таблице 2 представлены сводные статистические данные, связанные с удалением сердцевины. Стоит отметить, что сердцевина предотвращает разрушение из-за коробления и, следовательно, может вносить значительный вклад в общую прочность стебля, но не в жесткость [39].
Таблица 2 Статистические эффекты удаления сердцевины
Полноразмерная таблица

Локальные и общие модули сжатия образцов с сердцевиной

Теперь мы исследуем различия между локальными и общими модулями сжатия ( E _{комбинезон} и Е _{местный}). Эти значения были рассчитаны для всех образцов в этом исследовании. Напомним, что Э _{комбинезон} — жесткость всего образца; тогда как E _{местный
90 412 — жесткость, полученная вблизи центра каждого образца (см. рис. 2).}

На рисунке 8 представлены графики распределения для всех образцов, протестированных в этом исследовании. Среднее значение и стандартное отклонение для E _общий и Е _{местный} были (10,1 ± 1,5 и 12,8 ± 1,5 ГПа соответственно). На рисунке 8 также представлены распределения, которые были смещены вниз на 4%, чтобы учесть эффект пренебрежения сердцевинной тканью. Наконец, на рис. 8 также представлены сравнения с опубликованными данными о распределении значений модуля сжатия для высушенной древесины покрытосеменных и голосеменных растений.
Рис. 8
Распределение общего и местного модулей сжатия для кукурузы и двух основных типов древесины. Более узкие серые прямоугольники указывают модуль, который был уменьшен за счет среднего эффекта сердцевины на 4%. Данные о древесине из [40, 41]

Полноразмерное изображение

Обсуждение

Это исследование включало испытание на сжатие сухих, не пораженных болезнью сегментов стебля кукурузы, состоящих из двух узлов и промежуточного междоузлия (см. рис. 1). Образцы вырезали непосредственно под линиями узлов, потому что жесткие узловые ткани и более толстая корка в этой области эффективно распределяют напряжения, тем самым предотвращая преждевременное разрушение тканей, которое может произойти во время испытаний на сжатие, когда испытуемые образцы включают только ткани междоузлия.

В этом исследовании возникли определенные трудности. Одной из них была сложность вырезания двух параллельных торцов на образцах стеблей кукурузы, обе из которых (согласно стандартам испытаний на сжатие) должны быть перпендикулярны оси стебля. Эта проблема была решена путем использования двух самоустанавливающихся пластин сжатия. Однако это решение затем породило новую проблему: отсутствие структурной симметрии вызвало изменение деформации по окружности, что потребовало измерения деформации в нескольких местах. Эти деформации были усреднены для получения модуля сжатия межузловых тканей.

Точность, надежность и продолжительность испытаний

Для каждого образца в этом исследовании были получены два различных значения модуля сжатия: E _{комбинезон} и Е _{местный} . Общее значение модуля сжатия основано на деформации, которая происходит по всему образцу, в том числе на торцах, меристематических тканях и межузловых тканях. Таким образом, общий модуль сжатия следует рассматривать как совокупное значение жесткости, при этом жесткость ткани в образце варьируется выше и ниже этого значения. Подход локального модуля измеряет деформацию ткани в области, где ткань является правильной и однородной, и, следовательно, является более точным. Деформация испытательной установки была незначительной по сравнению с деформацией испытуемых образцов. Значения повторяемости обоих тестов были сопоставимы.

Значения локального модуля сжатия были выше, чем общие значения модуля для каждого образца в этом исследовании. Хотя пространственное изменение жесткости не было в центре внимания этого исследования, мы полагаем, что это связано с более низкой жесткостью ткани вблизи каждого узла и в меристематической области [42]. Для подтверждения этого потребуются более подробные исследования. Расчет значений модуля сжатия был основан на предположении, что ткани сердцевины оказывают незначительное влияние на жесткость стебля. Было обнаружено, что удаление сердцевинной ткани снижает значения модуля в среднем на 4%. Таким образом, значения жесткости корки, полученные в этом исследовании, в среднем на 4 % превышают их истинные значения.

Как показано на рис. 7, надежность значений локального модуля сжатия улучшалась по мере увеличения количества окружных точек выборки. Однако, если одновременно нельзя получить несколько окружных выборок, каждая окружная точка выборки увеличивает продолжительность тестирования. За исключением подготовки образцов (которая была одинаковой для обоих типов испытаний), для испытаний на локальный модуль требовалось примерно 10 минут на образец.

Как показано на рис. 7, среднее значение относительно нечувствительно к количеству значений окружной деформации. Тем не менее, уменьшение окружных измерений также снижает повторяемость между испытаниями, тем самым искусственно увеличивая наблюдаемое изменение модуля сжатия. Использование меньшего количества окружных измерений может быть целесообразным в определенных ситуациях, когда среднее значение является основной целью.

Если относительные различия между растениями имеют первостепенное значение, абсолютная точность может не иметь первостепенного значения. В таком случае общий модуль может быть лучшим выбором. Общий модуль обеспечивает единое среднее значение жесткости корки для всего образца с достаточной надежностью. Продолжительность испытаний для подготовленных образцов составляла примерно 2 минуты на образец.

Рекомендации для будущих исследований

Одним из наиболее важных соображений при проведении испытаний на сжатие является перпендикулярность торцов. Это особая проблема при работе со стеблями растений, которые обычно не имеют прямых краев, которые можно было бы использовать в качестве эталона. Для решения этой проблемы можно использовать сферические плиты, которые рекомендуются для будущих исследований. Если по какой-либо причине нельзя использовать сферические плиты, следует уделить особое внимание подготовке торцевых поверхностей, а также полученным кривым нагрузка/деформация. Альтернативный подход заключается в погружении каждого конца образца в полиметилметакрилат (ПММА) или другую смолу, метод, используемый при тестировании образцов костей [43, 44].

В текущем исследовании толщина корки была получена из 2D-изображений рентгеновской компьютерной томографии, но этот подход требует специального оборудования и программного обеспечения. Более доступным методом является получение областей корки и сердцевины на основе изображений поперечного сечения, полученных с помощью планшетного сканера [45].

Выводы

Два метода были разработаны для измерения значений модуля упругости при сжатии кожуры наполненных сердцевиной стеблей растений, таких как кукуруза. Два значения модуля упругости были рассчитаны с использованием двух различных измерений деформации. Эти методологии испытаний не требовали, чтобы торцы были строго параллельны, и оба метода дали согласованные результаты (средняя воспроизводимость 4%). В обоих методах использовалась естественная форма стебля растения, чтобы избежать концентрации напряжений и потери устойчивости, которые часто возникают при проведении испытаний на сжатие, особенно с тонкостенными образцами.

В обоих измерениях модуля упругости, представленных в этом исследовании, не учитывался вклад сердцевинной ткани. Это допущение в среднем привело к завышению жесткости корки на 4%, что было сочтено приемлемым для этих целей.

Каждый из этих методов обладает уникальными преимуществами и недостатками. Метод определения общего модуля сжатия дает единое среднее значение для всей ткани кожуры в образце, но его можно получить относительно быстро. Напротив, измерение локального модуля потребовало многократных измерений деформации, что потребовало дополнительных испытаний, но дало результаты, которые, вероятно, являются более точными.

Значения модуля упругости, представленные в этом исследовании, актуальны от уровня стебля до масштабов в несколько сантиметров. При меньших масштабах следует учитывать клеточную архитектуру ткани стебля. Наконец, хотя эти измерения были разработаны и протестированы для образцов сухой кукурузы, методы и принципы, представленные в этом исследовании, вероятно, применимы к другим типам стеблей растений, таким как сорго, тростник, бамбук и т. д.

Ссылки

Фон Форелл Г., Робертсон Д., Ли С.Ю., Кук Д.Д. Предотвращение полегания биоэнергетических культур: биомеханический анализ стеблей кукурузы предлагает новый подход. J Опытный бот. 2015;66:4367–71.

Артикул Google ученый

Бир Ф.П., Рассел Джонстон Э., ДеВольф Дж.Т., Мазурек Д.Ф. Механика материалов. 6-е изд. Нью-Йорк: МакГроу Хилл; 2012.

Google ученый

Бореси А.П., Шмидт Р.Дж. Усовершенствованная механика материалов. 6-е изд. Нью-Йорк: Уайли; 2003.

Google ученый

Гуртин М.Е. Линейная теория упругости. В: Truesdell C, редактор. Линейные теории упругости и термоупругости. Берлин: Спрингер; 1973. с. 1–295.

Google ученый

“>
Бьюкенен А.Х. Прочность пиломатериалов на изгиб. J Struct Eng ASCE. 1990; 116:1213–29.

Артикул Google ученый

Кин К., Шим К. Сравнение модулей Юнга при растяжении и сжатии пиломатериалов конструкционного размера. В: Всемирная конференция по деревообработке. Рива-дель-Гарда, Италия, 20–24 июня 2010 г.

Kretschmann DE. Влияние содержания ювенильной древесины на параллельный сдвиг, сжатие и растяжение перпендикулярно на прочность волокон и вязкость разрушения по моду I сосны лоболли при различной ориентации колец. Для Prod J. 2008; 58: 89–96.

Google ученый

Линдстрем Х., Харрис П., Накада Р. Методы измерения жесткости молодых деревьев. Хольц Альс Рох-Унд Веркстофф. 2002; 60: 165–74.

Артикул Google ученый

“>
Инс А., Угурлуай С., Гузель Э., Озджан МТ. Характеристики изгиба и сдвига остатков стеблей подсолнечника. Биосист инж. 2005;92:175–81.

Артикул Google ученый

Bashford LL, Maranville JW, Weeks SA, Campbell R. Механические свойства, влияющие на полегание сорго. Транс АСАЭ. 1976;19:962-6.

Артикул Google ученый

Эсеахбейги А., Хосейнзаде Б., Хазаи М., Масуми А. Свойства стебля пшеницы сорта алванд на изгиб и сдвиг. World Appl Sci J. 2009; 6: 1028–32.

Google ученый

Робертсон Д.Дж., Смит С.Л., Кук Д.Д. Об измерении прочности на изгиб септированных стеблей трав. Эм Джей Бот. 2015;102:5–11.

Артикул пабмед Google ученый

Робертсон Д.Д., Джулиас М. , Гардуния Б.В., Бартен Т., Кук Д.Д. Полегание стеблей кукурузы: криминалистический подход дает представление о закономерностях и механизмах отказа. Растениеводство. 2015;55:2833–41.

КАС Статья Google ученый

Робертсон Д., Смит С., Гардуния Б., Кук Д. Усовершенствованный метод точного фенотипирования силы стеблей кукурузы. Растениеводство. 2014;54:2038–44.

Артикул Google ученый

Чжан Л.С., Ян З.П., Чжан Ц., Го Х.Л. Растяжимость кожуры стеблей кукурузы. Биоресурсы. 2016;11:6151–61.

КАС Google ученый

Ю. М., Игатинатан С., Хендриксон Дж., Сандерсон М., Либих М. Механические свойства при сдвиге и растяжении выбранных стеблей биомассы. Транс АСАБЕ. 2014;57:1231–42.

Google ученый

“>
Ю. М., Вомак А. Р., Игатинатан С., Айерс П. Д., Бушермоле М. Дж. Предельные напряжения проса проса при типичных условиях биомассы, доступных для переработки. Биомасса Биоэнергетика. 2006; 30: 214–9.

Артикул Google ученый

Варанаси П., Кацнельсон Дж., Ларсон Д.М., Шарма Р., Шарма М.К., Вега-Санчес М.Э., Земля М., Лок Д., Рональд П.С., Симмонс Б.А. и др. Анализ механического напряжения как метод понимания воздействия генетически модифицированных растений риса и арабидопсиса. Инд Биотехнолог. 2012; 8: 238–44.

Артикул Google ученый

Янг С.А., Клэнси П. Механические свойства древесины при сжатии при температурах, имитирующих условия пожара. Матерь Огня. 2001; 25: 83–9.3.

КАС Статья Google ученый

Райт К.Т., Прифогл П.А. , Стивенс Н.А., Стеффлер Э.Д., Хесс Дж.Р., Ульрих Т.Х. Биомеханика соломы пшеницы/ячменя и соломы кукурузы. Заявл. Биохим Биотехнолог. 2005; 121:5–19.

ПабМед Google ученый

Робертсон Д.Дж., Джулиас М., Ли С.И., Кук Д.Д. Полегание стеблей кукурузы: морфологические детерминанты прочности стеблей. Растениеводство. 2017;57:926–34.

Артикул Google ученый

Стаббс С.Дж., Бабан Н.С., Робертсон Д.Дж., Аль-Зубе Л.А., Кук Д.Д. Напряжение изгиба в стеблях растений: модели и предположения. В: Гейтманн А., Гриль Дж., редакторы. Биомеханика растений — от структуры к функционированию в различных масштабах. Берлин: Спрингер; 2018.

Робертсон Д.Дж., Ли С.И., Джулиас М., Кук Д.Д. Полегание стеблей кукурузы: жесткость на изгиб определяет прочность. Растениеводство. 2016;56:1711–8.

Артикул Google ученый

“>
ASTM-E9: Стандартные методы испытаний металлических материалов на сжатие при комнатной температуре. ASTM International, Западный Коншохокен, Пенсильвания. http://www.astm.org (2009 г.). По состоянию на 1 августа 2017 г.

ASTM-D695: Стандартный метод испытаний свойств жесткости на сжатие. ASTM International, Западный Коншохокен, Пенсильвания. http://www.astm.org (2015 г.). По состоянию на 1 августа 2017 г.

ASTM-F2150: Стандартное руководство по характеристике и тестированию каркасов из биоматериалов, используемых в тканевой инженерии медицинских изделий. ASTM International, Западный Коншохокен, Пенсильвания. http://www.astm.org (2013 г.). По состоянию на 1 августа 2017 г.

Sachs RM. Удлинение ствола. Annu Rev Plant Physiol. 1965; 16: 73–96.

КАС Статья Google ученый

Cheng SK, Clarke EC, Bilston LE. Влияние напряжения предварительного кондиционирования на измеренные свойства ткани. Дж. Биомех. 2009 г.;42:1360–2.

Артикул пабмед Google ученый

Боумен С.М., Кивени Т.М., Гибсон Л.Дж., Хейс В.К., Макмахон Т.А. Компрессионное ползучести трабекулярной кости крупного рогатого скота. Дж. Биомех. 1994; 27: 301–10.

КАС Статья пабмед Google ученый

Калер В.Е., Картер Д.Р. Накопление усталостно-ползучих повреждений костей. Дж. Биомех. 1989; 22: 625–35.

КАС Статья пабмед Google ученый

Keaveny TM, Guo XE, Wachtel EF, Mcmahon TA, Hayes WC. Губчатая кость демонстрирует полностью линейное упругое поведение и поддается деформации при низких напряжениях. Дж. Биомех. 1994; 27:1127–36.

КАС Статья пабмед Google ученый

“>
ASTM-D143: Стандартные методы испытаний небольших чистых образцов древесины. ASTM International, Западный Коншохокен, Пенсильвания. http://www.astm.org (2014 г.). По состоянию на 1 августа 2017 г.

Maranville J, Clegg M: Морфологические и физиологические факторы, связанные с прочностью стебля. В: Розенберг Г., редактор. Корневые и стеблевые гнили сорго: критический обзор. Материалы обсуждения консультативной группой потребностей в исследованиях и стратегий борьбы с корневой и стеблевой гнилью сорго, Белладжио, Италия: ICRISAT, Патанчеру, Индия; 1984. с. 111–8.

Westfall PH, Henning KS. Понимание передовых статистических методов. Бока-Ратон, Флорида: Taylor and Francis Group; 2013.

Google ученый

Робертсон Д., Кук Д. Нереалистичная статистика: как средние определяющие коэффициенты могут давать нефизические результаты. J Mech Behav Biomed Mater. 2014;40:234–239.

Артикул пабмед Google ученый

Робертсон Д.Д., Кук Д.Д. Гиперэластичность и несостоятельность средних. В: Kruis J, Tsompanakis Y, Topping BHV, редакторы. Материалы пятнадцатой международной конференции по гражданским, структурным и экологическим инженерным вычислениям. Стерлингшир: Civil-Comp Press; 2015.

Google ученый

Кук Д.Д., Робертсон Д.Д. Общее заблуждение моделирования: средние биомеханические модели часто дают не средние результаты! Дж. Биомех. 2016;49:3609–15.

Артикул пабмед Google ученый

NIST-TN1297: Руководство по оценке и выражению неопределенности результатов измерений NIST. Национальный институт стандартов и технологий. http://www.nist.gov (1994). По состоянию на 1 августа 2017 г.

“>
Зубер М.С., Колберт Т.Р., Дарра Л.Л. Влияние периодической селекции на прочность при раздавливании на несколько компонентов стебля кукурузы. Растениеводство. 1980; 20: 711–7.

Артикул Google ученый

Грин Д.В., Винанди Дж.Э., Кречманн Д.Э. Механические свойства древесины. В: Справочник по дереву: древесина как конструкционный материал. Генеральный технический представитель FPL-GTR-113. Мэдисон, Висконсин: Министерство сельского хозяйства США, Лесная служба, Лаборатория лесных товаров; 1999. p 45.

Kretschmann DE: Механические свойства древесины. В: Справочник по дереву: древесина как конструкционный материал. Генеральный технический представитель FPL-GTR-113. Мэдисон: Висконсин: Министерство сельского хозяйства США, Лесная служба, Лаборатория лесных товаров; 1999. стр. 41–4.

Никлас К.Дж. Реакция полых, септированных стеблей на вибрации: биомеханические доказательства того, что узлы могут действовать механически как пружинные соединения. Энн Бот. 1997; 80: 437–48.

Артикул Google ученый

Келлер Т.С., Либшнер М.А. Испытание кости на растяжение и сжатие. В: Yuehuei HA, Роберт AD, редакторы. Механические испытания кости и интерфейса кость-имплантат. Бока-Ратон: CRC Press; 1999. с. 181.

Google ученый

Унтарою CD. Численное исследование толерантности к травме средней части бедренной кости при осевом сжатии и нагрузке на изгиб. Int J Ударопрочность. 2010; 15:83–92.

Артикул Google ученый

Heckwolf S, Heckwolf M, Kaeppler SM, de Leon N, Spalding EP. Анализ изображений анатомических признаков на разрезах стеблей кукурузы и других трав. Растительные методы. 2015;11:26.

Артикул пабмед ПабМед Центральный Google ученый

Скачать ссылки

Вклад авторов

LA, DR и DC разработали исследование и написали рукопись. LA, DR и DC разработали экспериментальную процедуру подхода. LA, JE и WS выполнили экспериментальную процедуру. Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

Благодарности

Мы благодарим компанию Monsanto, Сент-Луис, Миссури, США за предоставление образцов стеблей кукурузы, использованных в этом исследовании. Эта работа была частично профинансирована Национальным научным фондом (премия № 1400973) и Министерством сельского хозяйства США (премия № 2016-67012-24685).

Конкурирующие интересы

Авторы заявляют, что у них нет конкурирующих интересов.

Доступность данных и материалов

Наборы данных, использованные и/или проанализированные в ходе текущего исследования, можно получить у соответствующего автора по обоснованному запросу.

Согласие на публикацию

В этом исследовании согласия не требовалось.

Этическое одобрение и согласие на участие

В этом исследовании не использовались люди или животные.

Финансирование

Это исследование было поддержано Национальным научным фондом, Арлингтон, Вирджиния, США (грант № 1400973) и Министерством сельского хозяйства США, Вашингтон, округ Колумбия, США (грант № 2016-67012-24685). Финансирующие агентства не играли никакой роли в разработке исследования или в сборе, анализе, интерпретации данных или в написании рукописи.

Руководящие принципы и законодательство

Авторы подтверждают соблюдение местных правил импорта ОАЭ для получения образцов стеблей, импортируемых из США. Никаких разрешений и/или лицензий для проведения исследования не требуется.

Примечание издателя

Springer Nature остается нейтральной в отношении юрисдикционных претензий в опубликованных картах и институциональной принадлежности.

Информация об авторе

Авторы и организации

Инженерный отдел Нью-Йоркского университета в Абу-Даби, P.O. Вставка 129188, Абу-Даби, Объединенные Арабские Эмираты

Лоай А. Аль-Зубе, Джин Н. Эдвардс, Венхуан Сунь и Дуглас Д. Кук

Инженерный факультет, Хашимитский университет, П.О. Box 330127, Zarqa, Иорданское Хашимитское Королевство

Loay A. Al-Zube

Факультет машиностроения, Университет Айдахо, 875 Perimeter Drive, MS 0902, Москва, Айдахо, 83844-0902, США

Daniel J Робертсон

Авторы

Loay A. Al-Zube
Просмотр публикаций автора

Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

Daniel J. Robertson
Просмотр публикаций автора

Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

Jean N. Edwards
Просмотр публикаций автора

Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

Wenhuan Sun
Посмотреть публикации автора

Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

Дуглас Д.

Fluid	Bulk Modulus – K –
Acetone	1. 34	0.92
Benzene	1.5	1.05
Carbon Tetrachloride	1.91	1.32
Ethyl Alcohol	1.54	1.06
Gasoline	1.9	1.3
Glycerin	6.31	4,35
Минеральное масло ISO 32	2,6	1,8
Керосин	1,9
Mercury	41.4	28.5
Paraffin Oil	2.41	1.66
Petrol	1.55 – 2.16	1.07 – 1.49
Phosphate ester	4.4	3
SAE 30 Oil	2.2	1.5
Seawater	3.39	2.34
Sulfuric Acid	4. 3	3.0
Water	3.12	2.15
Water – glycol	5	3.4
Water in oil emulsion	3.3	2.3

Материал	ГПа	Mpsi
Rubber (small strain)	0.01–0.1	1.45–14.5×10 ⁻³
Low-density polyethylene	0.11–0.86	1.6–6.5×10 ⁻²
Diatom frustules (silicic acid)	0.35–2.77	0.05–0.4
PTFE (Teflon)	0.5	0.075
HDPE	0.8	0.116
Bacteriophage capsids	1–3	0.15–0.435
Polypropylene	1.5–2	0. 22–0.29
Polycarbonate	2–2.4	0.29-0.36
Polyethylene terephthalate (PET)	2–2,7	0,29–0,39
	2–4	0,29–0,58
0,29–0,58
0,29–0,58
0,29–0,58
0,29–0,58	0,29–0,58		.0383
Polystyrene, foam	2.5–7×10 ^-3	3.6–10.2×10 ^-4
Medium-density fiberboard (MDF)	4	0.58
Wood (along grain)	11	1.60
Human Cortical Bone	14	2.03
Glass-reinforced polyester matrix	17.2	2.49
Aromatic peptide nanotubes	19–27	2.76–3.92
High-strength concrete	30	4. 35
Amino-acid molecular crystals	21–44	3.04–6.38
Carbon fiber reinforced plastic	30–50	4.35–7.25
Hemp fiber	35	5.08
Magnesium (Mg)	45	6.53
Glass	50–90	7.25–13.1
Flax fiber	58	8.41
Aluminum (Al)	69	10
Mother-of-pearl nacre (calcium carbonate)	70	10.2
Aramid	70.5–112.4	10.2–16.3
Tooth enamel (calcium phosphate)	83	12
Stinging nettle fiber	87	12.6
Bronze	96–120	13.9–17.4
Brass	100–125	14. 5–18.1
Titanium (Ti)	110.3	16
Titanium alloys	105–120	15–17.5
Copper (Cu)	117	17
Carbon fiber reinforced plastic	181	26.3
Silicon crystal	130–185	18.9–26.8
Wrought iron	190–210	27.6–30.5
Steel (ASTM-A36)	200	29
Yttrium iron garnet (YIG)	193-200	28-29
Cobalt-chrome (CoCr)	220–258	29
Aromatic peptide nanospheres	230–275	33.4–40
Beryllium (Be)	287	41.6
Molybdenum (Mo)	329–330	47.7–47.9
Tungsten (W)	400–410	58–59
Silicon carbide (SiC)	450	65
Tungsten carbide (WC)	450–650	65–94
Osmium (Os)	525 –562	76. 1–81.5
Single-walled carbon nanotube	1,000+	150+
Graphene (C)	1050	152
Diamond (C)	1050–1210	152–175
Carbyne (C)	32100	4660

Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *

Email *

Сайт

Fluid	Bulk Modulus – K –
Fluid	Imperial Units – BG ( 10 ⁵* psi, lb _f /in ² )*	SI Units ( 10 ⁹* Pa, N/m ² )*
Acetone	1. 34	0.92
Benzene	1.5	1.05
Carbon Tetrachloride	1.91	1.32
Ethyl Alcohol	1.54	1.06
Gasoline	1.9	1.3
Glycerin	6.31	4,35
Минеральное масло ISO 32	2,6	1,8
Керосин	1,9
Mercury	41.4	28.5
Paraffin Oil	2.41	1.66
Petrol	1.55 – 2.16	1.07 – 1.49
Phosphate ester	4.4	3
SAE 30 Oil	2.2	1.5
Seawater	3.39	2.34
Sulfuric Acid	4. 3	3.0
Water	3.12	2.15
Water – glycol	5	3.4
Water in oil emulsion	3.3	2.3

Модуль упругости (Модуль Юнга): понятие, формулы, как определить

Основные сведения

Способы определения

Механический способ

Ультразвуковой способ

Физический смысл модуля Юнга

Источники и примечания

Значения модуля юнга для некоторых материалов

Предел прочности материала

Виды нагрузок

Допускаемое механическое напряжение в некоторых материалах при растяжении

Общее понятие

Дополнительные характеристики механических свойств

Коэффициент запаса прочности

Часть 2: получаем данные по материалам для механики конструкций исходя из результатов измерений

Нелинейные упругие материалы

Примечания: теория

Аппроксимация пластичности с помощью нелинейной упругости

Заключение

Модуль общей деформации грунта и модуль упругости Методы определения в Сибгео

Методы определения модуля деформации грунта

Алгоритм расчета модуля упругости грунта и модуля деформации

Методы проверки модуля общей деформации грунта?

Модули упругости грунтов

Формула силы упругости в физике

Определение и формула силы упругости

Характеристики упругих свойств твердых тел

Продольное растяжение (сжатие)

Единицы измерения силы упругости

Примеры решения задач

Чему равна упругость пространства-времени?

Ранее в этом блоге

Вышли и зашли как положено: опубликован новый вариант правил русской орфографии

Царский оргазм: что доказала Каролин из Эстонии

Из пушки по генам: что не так с «этнически ориентированным» оружием

Экстренное уничтожение: от каких бактерий избавлялись в украинских лабораториях

Неопознанный лунный объект: чья-то ракета падает на Луну

Фальк и египетская синяя: как в картине советского авангардиста нашли античный пигмент

История с орфографией: как меняют русское правописание

Кто первый начал: что нам мешает считать микробов причиной аутизма

Читайте также

Кубсат LICIACube показал последствия тарана астероида Диморф зондом DART

Маленькость самцов колибри-пчелок объяснили половым отбором

Истребление человеком хищников разделило крупнейший в мире живой организм на три части

Клизма майя, алгоритм для сплетников и краш-лось

Калькулятор модуля Юнга

Что такое модуль упругости?

Уравнение модуля Юнга

Как рассчитать модуль Юнга?

Пример использования формулы модуля упругости

Как рассчитать модуль Юнга по кривой напряжения-деформации

Анализ диаграммы напряжения-деформации

Часто задаваемые вопросы

Является ли жесткость таким же, как модуль Юнга?

Совпадает ли модуль упругости с модулем Юнга?

Какой материал имеет самый высокий модуль Юнга?

Является ли модуль упругости постоянным?

Единицы модуля упругости (модуль Юнга)

Основное определение модуля упругости

Типы модуля упругости

Модуль Юнга

Модуль сдвига

Модуль объемного сжатия

Как измеряется модуль упругости?

Единицы модуля упругости

Глава 2 (продолжение) — Руководство пользователя для LS-DYNA Concrete Material Model 159, май 2007 г.

Глава 2. Теоретическое руководство

Объемные модули и модули сдвига

Поверхность трехосного сжатия

Трехосные выдвижные и торсионные поверхности

Расположение крышки, форма и параметры закалки

Параметры повреждений

Параметры скорости деформации

шт.

Объемный модуль упругости и упругость жидкости

Пример – Плотность морской воды в Марианской впадине

Формула модуля Юнга и пример осевая деформация. (изображение: Nicoguaro.

Модуль Юнга Формула

Единицы модуля Юнга

Пример задачи