Функция \(F:A\to B\) является однозначной , если для всех элементов \(a\) и \(b\) из \(A\), если \(a\ne b\), то \(F(a)\ne F(b)\). А также есть на , если для любого \(b\in B\) существует некоторое \(a\in A\) такое что \(F(a)=b\). Наконец, \(F\) является биективным , если оно является взаимно однозначным. и на. Таким образом, биекция \(F:A\to B\) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между элементами \(A\) и элементами \(B\), а \(A\) является биективным с \(B\), если существует такой биекция. тождественная функция на множестве \(A\), обозначаемая \(Id:A\to A\) и состоит из всех пар \((a,a)\), где \(a\in A\) тривиально является биекцией.

Учитывая функции \(F:A\to B\) и \(G:B\to C\), композиция \(F\) и \(G\) , записанные \(G\circ F\), есть функция \(G\circ F:A\to C\), элементами которого являются все пары \((a,G(F(a)))\), где \(a\in A\). Если \(F\) и \(G\) биекции, то и \(G\circ F\).

3. Наборы и формулы

Формальная язык теории множеств является языком первого порядка язык, единственным нелогическим символом которого является символ бинарного отношения \(\в\).

Для любой формулы \(\varphi(x,y_1,\ldots ,y_n)\) языка теории множеств и множеств \(A,B_1,\ldots ,B_n\), можно сформировать множество всех те элементы \(A\), которые удовлетворяют формуле \(\varphi(x,B_1,\ldots ,В_п)\). Это множество обозначается \(\{ a\in A: \varphi(a,B_1,\ldots ,В_п)\}\). Ниже приведены некоторые примеры

• \({\varnothing}=\{ a\in A: a\ne a\}\)

• \(А=\{а\в А: а=а\}\)

• \(A-B=\{ a\in A: a\not \in B\}\).

• \(A\cap B=\{ a\in A: a\in B\}\).

И если \(B\) и \(C\) являются подмножествами \(A\), то

Учитывая подмножество \(C\subseteq A\times B\), проекция \(C\) (по первой координате) есть множество

\(\{ a\in A: \существует b\in B ((a,b)\in C)\}\).

Однако это не тот случай, когда при любой формуле \(\varphi(x,y_1,\ldots,y_n)\) и множеств \(B_1,\ldots,B_n\), можно сформировать множество всех тех множеств, которые удовлетворяют формуле \(\varphi(x,B_1,\ldots,B_n)\). Пусть \(\varphi(x)\) будет формулой \(х\не \в х\). Если бы \(A\) было множеством всех множеств, удовлетворяющих формулы, то \(А\в А\) тогда и только тогда, когда \(А\не \в А\). Противоречие! Это противоречие известно как Парадокс Рассела , после Бертран Рассел, открывший его в 1901 г. (см. парадокс Рассела).

4. Порядковые номера

Первым порядковым номером является \({\varnothing}\). Учитывая порядковый номер \(\alpha\), следующий больший порядковый номер, называемый (немедленно) преемник \(\alpha\), это набор \(\alpha \cup \{ \альфа\}\). Таким образом, преемником \(\alpha\) является просто набор \(\alpha\) вместе с еще одним элементом, а именно \(\alpha\) сам. конечных порядковых числа получены начиная с \({\varnothing}\) и многократно беря преемника.

В теории множеств натуральных числа определяются как конечные ординалы. Таким образом,

• \(0= {\varnothing}\)

• \(1= {\varnothing}\cup \{ {\varnothing}\}=\{ {\varnothing}\}\)

• \(2= \{ {\varnothing}\} \cup \{\{{\varnothing}\}\}=\{ {\varnothing}, \{ {\varnothing}\}\}\)

• \(3= \{ {\varnothing}, \{ {\varnothing}\}\}\cup \{ \{ {\varnothing}, \{ {\varnothing}\}\}\} =\{ {\varnothing}, \{ {\varnothing}\}, \{ {\varnothing}, \{ {\varnothing}\}\}\}\)

• \(\вточки\)

Обратите внимание, что \(1=\{ 0\}\), \(2=\{ 0,1\}\), \(3=\{ 0,1,2\}\) и в вообще имеем \(n=\{ 0,1,2,\ldots ,n-1\}\). Итак, каждое натуральное число \(n\) – это просто набор своих предшественников.

Множество \(A\) является конечным , если существует взаимно однозначное соответствие между некоторым натуральным числом \(n\) и элементами \(A\), т. е. биекция \(F:n\to A\), и в этом случае мы говорим, что \(A\) имеет \(n\) элементов. Набор бесконечен , если не конечно.

Множество всех конечных ординалов обозначается греческой буквой омега (\(\омега\)). Таким образом, \(\omega\) — это просто набор \(\mathbb{N}\) натуральных числа. \(\omega\) также является порядковым номером, первым бесконечным порядковый. Обратите внимание, что \(\omega\) не является преемником какого-либо порядкового номера, и поэтому он называется предельным порядковым номером . Когда у нас есть \(\omega\), мы можем продолжайте генерировать больше порядковых номеров, взяв его преемника \(\omega \cup \{ \omega \}\), затем его преемник \((\omega \cup \{\omega\}) \cup \{\omega \cup \{\omega \}\}\) и так далее. Все порядковые числительные больше чем \(0\) производятся таким образом, а именно, либо путем взятия преемник последнего произведенного порядкового номера, или, если такого последнего нет порядковый номер, взяв набор всех произведенных до сих пор ординалов, как в случай \(\omega\), который дает новый предельный порядковый номер. Обратите внимание, однако, что нельзя взять набор из все порядковые номера, для этого множество было бы новым предельным ординалом, что невозможно, так как мы уже все были.

Как и в случае с конечными ординалами, каждый бесконечный ординал — это просто набор его предшественники. Одним из следствий этого является то, что отношение \(\in\) является строгим порядком на любом множестве ординалов. Таким образом, для любых ординалов \(\alpha\) и \(\beta\) мы определяем \(\alpha <\beta\) тогда и только тогда, когда \(\альфа\в\бета\). Тогда соответствующий рефлексивный порядок равен определяется как \(\alpha \leq \beta\) тогда и только тогда, когда \(\alpha <\beta\) или \(\альфа=\бета\). Заметим теперь, что \(\alpha \subseteq \beta\), если и только если \(\alpha \leq \beta\).

5. Счетные и несчетные множества

Если \(A\) конечное множество, то существует биекция \(F:n\to A\) между натуральные числа \(n\) и \(A\). Любая такая биекция дает a , считая элементов \(A\), а именно \(F(0)\) есть первый элемент \(A\), \(F(1)\) – второй и так далее. Таким образом, все конечные множества счетны. Бесконечное множество \(A\) есть называется счетным , если существует биекция \(F:\omega \to A\) между множеством натуральных чисел и \(A\). Набор \(\mathbb{N}\) из натуральные числа (тривиально) счетны. Если \(A\) бесконечное подмножество \(\omega\), то \(A\) также счетно: ибо пусть \(F:\omega \to A\) будет такой, что \(F(n)\) является наименьшим элементом \(A\), не входящим в множество \(\{ F(m)\in A: m

Каждое бесконечное подмножество счетного множества также счетно: для предположим, что \(F:\omega \to A\) является биекцией, а \(B\subseteq A\) является бесконечный. Тогда множество \(\{ n\in \omega: F(n)\in B\}\) является бесконечным подмножество \(\omega\), следовательно, счетно, и поэтому существует биекция \(G:\omega \to \{n\in \omega : F(n)\in B\}\). Тогда состав функция \(F\circ G:\omega \to B\) является биекцией.

Объединение счетного множества и конечного множества также исчисляемый. Для заданных множеств \(A\) и \(B\), которые без потери общности, мы можем предположить, что они не пересекаются, и при заданных биекциях \(F:\omega \to A\) и \(G:n\to B\), для некоторого \(n<\omega\) пусть \(H:\omega \to A\cup B\) — биекция, заданная формулой: \(H(m)=G(m)\), для каждого \(m

Более того, объединение двух счетных множеств тоже счетно: поскольку мы уже показали, что объединение счетного множества и конечного множество также счетно, достаточно убедиться, что объединение двух непересекающиеся счетные множества также счетны. Итак, предположим, что \(A\) и \(B\) равны счетные множества и \(F:\omega \to A\) и \(G:\omega \to B\) биекций, то функция \(H:\omega \to A\cup B\), состоящая из всех пар \((2n,F(n))\), плюс все пары \((2n+1, G(n))\) — биекция.

Так как любое рациональное число задается парой целых чисел, т.е. частное \(\frac{m}{n}\), где \(m,n\in \mathbb{Z}\) и \(n\ne 0\), множество \(\mathbb{Q}\) рациональных чисел также счетно.

Однако Георг Кантор обнаружил, что множество \(\mathbb{R}\) вещественных числа не исчисляются. Предположим, что, стремясь к противоречию, что \(F:\omega \to \mathbb{R}\) является биекцией. Пусть \(a_0=F(0)\). Выбирать наименьшее \(k\) такое, что \(a_0

Существование несчетных множеств следует из гораздо более общего факт, также обнаруженный Кантором. А именно, для любого множества \(A\) множество все его подмножества, называемые степенным набором множества \(A\), и обозначаемые \(\mathcal{P}(A)\), не является биективным с \(A\): предположим, что \(F:A\to \mathcal{P}(A)\) является биекцией. Тогда подмножество \(\{ a\in A: a\not \in F(a)\}\) множества \(A\) есть значение \(F(a)\) некоторого \(a\in A\). Но тогда \(a\in F(a)\) тогда и только тогда, когда \(a\not \in F(a)\). Следовательно, если \(А\) — любое бесконечное множество, то \(\mathcal{P}(A)\) несчетно.

Существуют также неисчисляемые порядковые номера. множество всех конечных и исчисляемые ординалы также являются порядковыми номерами, называемыми \(\omega_1\), и первый неисчисляемый порядковый номер. Точно так же множество всех ординалов, которые биективный с некоторым порядковым номером, меньшим или равным \(\omega_1\), также порядковое число, называемое \(\omega_2\), и не биецируется с \(\omega_1\), и так далее.

5.1 Кардиналы

мощность или размер конечного множества \(A\) есть единственное натуральное число \(n\), такое что существует биекция \(F:n\to А\).

В случае бесконечных множеств их мощность определяется не натуральным числом, а бесконечным порядковым номером. Однако, в отличие от конечные множества, бесконечное множество \(A\) биективно со многими различными порядковые номера. Например, множество \(\mathbb{N}\) биективно с \(\omega\), но и с его преемником \(\omega \cup \{\omega\}\): by присваивая \(0\) \(\omega\) и \(n+1\) \(n\), для всех \(n\in \omega\), мы получить биекцию между \(\omega \cup \{\omega \}\) и \(\omega\). Но поскольку ординалы хорошо упорядочены, мы можем определить мощность бесконечное множество как наименьший ординал, биективный с ним.

В частности, мощность порядкового числительного \(\alpha\) равна наименьший порядковый номер \(\каппа\), который биецируется с ним. Заметь \(\kappa\) не биективен ни с каким меньшим порядковым номером, иначе будет \(\альфа\). Порядковые числа, которые не биективны с любые меньшие порядковые числа называются количественными числами . Таким образом, все натуральные числа являются количественными, как и \(\omega\), \(\omega_1\), \(\omega_2\) и так далее. В общем, для любого кардинала \(\каппа\) множество всех ординалов, которые биективны с некоторым ординалом \(\leq \каппа\) тоже кардинал; это наименьший кардинал больше, чем \(\каппа\).

Бесконечные кардиналы представлены буквой алеф (\(\алеф\)) еврейского алфавита. Таким образом, наименьший бесконечный кардинал – \(\omega =\aleph_0\), следующий – \(\omega_1=\aleph_1\), который является первым несчетным кардиналом, затем следует \(\omega_2=\aleph_2\) и т. д.

Мощность любого множества \(A\), обозначаемого \(|A|\), является единственным кардинальное число, биективное с \(A\). Мы уже видели, что \(|\mathbb{R}|\) несчетно, следовательно, больше, чем \(\aleph_0\), но неизвестно, какое это кардинальное число. Гипотеза о том, что \(|\mathbb{R}|=\aleph_1\), сформулированная Кантором в 1878 г., является знаменитый Гипотеза континуума .

Дополнительная литература

• Девлин, К., 1979, Основы современного набора Theory , Тексты для бакалавров по математике, Springer, Second издание 1993 г., Радость наборов: основы современного набора Теория. Тексты для бакалавров по математике, Нью-Йорк: Springer.
• Эндертон, Х. Б., 1977, Элементы теории множеств , Нью-Йорк: Академическая пресса.
• Jech, T. and K. Hrbaček, 1978 [1999], Введение в набор теория , Нью-Йорк: Марсель Деккер, 3-е издание, 1999 г.

Наборы — типы, символы, свойства, примеры

Наборы в математике — это просто набор отдельных объектов, образующих группу. В наборе может быть любая группа предметов, будь то набор чисел, дней недели, видов транспорта и так далее. Каждый элемент множества называется элементом множества. Фигурные скобки используются при написании множества. Очень простой пример набора будет таким. Установите А = {1,2,3,4,5}. Существуют различные обозначения для представления элементов множества. Наборы обычно представляются с помощью формы списка или формы построителя наборов. Остановимся подробно на каждом из этих терминов.

1.	Наборы определения
2.	Комплекты Представительство
3.	Наборы символов
4.	Типы наборов
5.	Наборы формул
7.	Задает свойства
8.	Операции с множествами
9.	Часто задаваемые вопросы о наборах

Наборы определения

В математике множество — это четко определенный набор объектов. Наборы именуются и представляются с заглавной буквы. В теории множеств элементами, из которых состоит множество, могут быть любые вещи: люди, буквы алфавита, числа, формы, переменные и т. д.

Множества в математике Примеры

определено менее 10, тогда как совокупность умных учеников в классе не определена. Таким образом, набор четных натуральных чисел меньше 10 можно представить в виде множества A = {2, 4, 6, 8}. Давайте используем этот пример, чтобы понять основную терминологию, связанную с множествами в математике.

Элементы набора

Элементы, присутствующие в наборе, называются либо элементами, либо членами набора. Элементы множества заключены в фигурные скобки, разделенные запятыми. Для обозначения того, что элемент содержится в множестве, используется символ «∈». В приведенном выше примере 2 ∈ A. Если элемент не является членом множества, то он обозначается символом «∉». Здесь 3 ∉ A.

Кардинальное число набора

Кардинальное число, мощность или порядок набора обозначает общее количество элементов в наборе. Для натуральных четных чисел меньше 10 n(A) = 4. Наборы определяются как набор уникальных элементов. Одним из важных условий определения множества является то, что все элементы множества должны быть связаны друг с другом и иметь общее свойство. Например, если мы определим множество с элементами как названия месяцев в году, то мы можем сказать, что все элементы множества являются месяцами года.

Представление наборов

Для представления множеств используются различные нотации множеств. Они отличаются способом перечисления элементов. Для представления множеств используются три обозначения множеств:

• Семантическая форма
• Форма реестра
• Установить форму конструктора

Семантическая форма

Семантическая нотация описывает оператор, показывающий, что является элементами множества. Например, набор А — это список первых пяти нечетных чисел.

Форма реестра

Наиболее распространенной формой, используемой для представления наборов, является запись реестра, в которой элементы наборов заключены в фигурные скобки, разделенные запятыми. Например, Set B = {2,4,6,8,10}, который представляет собой набор первых пяти четных чисел. В ростерной форме порядок элементов множества не имеет значения, например, множество первых пяти четных чисел также можно определить как {2,6,8,10,4}. Кроме того, если в наборе имеется бесконечный список элементов, то они определяются с помощью набора точек в конце последнего элемента. Например, бесконечные множества представлены как X = {1, 2, 3, 4, 5…}, где X — множество натуральных чисел. Чтобы подытожить нотацию формы реестра, пожалуйста, взгляните на примеры ниже.

Обозначение множеств с конечным списком: множество A = {1, 2, 3, 4, 5} (первые пять натуральных чисел)
Обозначение наборов с бесконечным реестром: набор B = {5, 10, 15, 20 . …} (кратное 5)

Форма построителя набора

Нотация построителя набора имеет определенное правило или утверждение, которое конкретно описывает общее свойство всех элементов множества. Форма построителя набора использует в своем представлении вертикальную черту с текстом, описывающим характер элементов набора. Например, А = {к | k — четное число, k ≤ 20}. В заявлении говорится, что все элементы множества A являются четными числами, меньшими или равными 20. Иногда вместо «|» используется «:».

Визуальное представление множеств с помощью диаграммы Венна

Диаграмма Венна — это графическое представление множеств, где каждое множество представлено в виде круга. Элементы множества находятся внутри кругов. Иногда прямоугольник окружает круги, что представляет универсальный набор. Диаграмма Венна показывает, как данные наборы связаны друг с другом.

Наборы символов

Набор символов используется для определения элементов данного набора. В следующей таблице показаны некоторые из этих символов и их значение.

Типы наборов

Наборы подразделяются на разные типы. Некоторые из них являются одноэлементными, конечными, бесконечными, пустыми и т. д.

Одноэлементные наборы

Набор, состоящий только из одного элемента, называется одноэлементным набором или также называется единичным набором. Пример. Установите A = { k | k — целое число от 3 до 5}, то есть A = {4}.

Конечные множества

Как следует из названия, множество с конечным или счетным числом элементов называется конечным множеством. Пример. Установите B = {k | k — простое число меньше 20}, то есть B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

Бесконечные множества

Множество с бесконечным числом элементов называется бесконечным множеством. Пример: Установите C = {кратное 3}.

Пустые или нулевые наборы

Набор, который не содержит ни одного элемента, называется пустым набором или нулевым набором. Пустое множество обозначается символом «∅». Читается как « фи ». Пример: Установите X = {}.

Равные множества

Если два множества содержат одни и те же элементы, то они называются равными множествами. Пример: А = {1,2,3} и В = {1,2,3}. Здесь множество A и множество B являются равными множествами. Это можно представить как A = B.

Неравные множества

Если два множества имеют хотя бы один отличающийся элемент, то они являются неравными множествами. Пример: A = {1,2,3} и B = {2,3,4}. Здесь множество A и множество B являются неравными множествами. Это можно представить как A ≠ B.

Эквивалентные множества

Два множества называются эквивалентными множествами, если они имеют одинаковое количество элементов, хотя элементы разные. Пример: A = {1,2,3,4} и B = {a,b,c,d}. Здесь множество A и множество B являются эквивалентными множествами, поскольку n(A) = n(B)

Перекрывающиеся множества

Два множества называются перекрывающимися, если хотя бы один элемент из множества A присутствует в множестве B. Пример: A = {2,4,6} B = {4,8,10}. Здесь элемент 4 присутствует как в множестве A, так и в множестве B. Следовательно, множества A и B перекрываются.

Непересекающиеся множества

Два множества являются непересекающимися множествами, если в обоих множествах нет общих элементов. Пример: А = {1,2,3,4} В = {5,6,7,8}. Здесь множество A и множество B — непересекающиеся множества.

Подмножество и надмножество

Для двух множеств A и B, если каждый элемент множества A присутствует в множестве B, то множество A является подмножеством множества B(A ⊆ B), а B является надмножеством множества A(B ⊇ А).
Пример: А = {1,2,3} В = {1,2,3,4,5,6}
A ⊆ B, так как все элементы множества A присутствуют в множестве B.
B ⊇ A означает, что множество B является надмножеством множества A.

Универсальный набор

Универсальный набор — это совокупность всех элементов, относящихся к конкретному предмету. Универсальный набор обозначается буквой «У». Пример: Пусть U = {Список всех автотранспортных средств}. Здесь множество автомобилей является подмножеством этого универсального множества, множество велосипедов, поездов — все подмножества этого универсального множества.

Наборы мощности

Набор мощности — это набор всех подмножеств, которые может содержать набор. Пример: Установите A = {1,2,3}. Набор мощностей A = {{∅}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}.

Наборы формул

Множества находят свое применение в области алгебры, статистики и вероятностей. Ниже перечислены некоторые важные формулы набора.
Для любых двух перекрывающихся множеств A и B

• n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
• n (A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A U B)
• n(A) = n(A U B) + n(A ∩ B) – n(B)
• n(B) = n(A U B) + n(A ∩ B) – n(A)
• n(A – B) = n(A U B) – n(B)
• n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B)

Для любых двух непересекающихся множеств A и B:

• n(A U B) = n(A) + n(B)
• А ∩ В = ∅
• n(A – B) = n(A)

Свойства наборов

Подобно числам, множества обладают такими свойствами, как ассоциативность, коммутативность и т. д. Существует шесть важных свойств множеств. Имея три множества A, B и C, свойства этих множеств следующие.

Операции с множествами

Некоторые важные операции над множествами включают объединение, пересечение, разность, дополнение множества и декартово произведение множества. Краткое объяснение операций над множествами состоит в следующем.

Объединение множеств

Объединение множеств, которое обозначается как A U B, перечисляет элементы множества A и множества B или элементы как множества A, так и множества B. Например, {1, 3} ∪ {1, 4 } = {1, 3, 4}

Пересечение множеств

Пересечение множеств, обозначаемое A ∩ B, перечисляет элементы, общие как для множества A, так и для множества B. Например, {1, 2} ∩ {2, 4} = {2}

Разница в наборе

Разница в наборе , которая обозначается буквами A – B, перечисляет элементы в наборе A, которые не присутствуют в наборе B. Например, A = {2, 3, 4} и B = {4, 5, 6}. А – В = {2, 3}.

Дополнение множества

Дополнение множества, которое обозначается A’, представляет собой множество всех элементов универсального множества, которые не присутствуют в множестве A. Другими словами, A’ обозначается как U – A, что является разностью в элементах универсального множества и множества А.

Декартово произведение множеств

Декартово произведение двух множеств, обозначаемое A × B, является произведением двух непустых множеств, в котором получаются упорядоченные пары элементов. Например, {1, 3} × {1, 3} = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}.

☛ Темы, связанные с наборами:

Ознакомьтесь с некоторыми интересными темами, связанными с наборами.

• Операции с множествами
• Диаграммы Венна
• Подмножество
• Обозначение реестра
• Универсальный набор
• Пересечение наборов
• Набор нотаций конструктора

Часто задаваемые вопросы о наборах

Что такое множества в математике и примерах?

Наборы представляют собой набор отдельных элементов, заключенных в фигурные скобки и разделенных запятыми. Список элементов множества называется элементами множества. Примеры: коллекция фруктов, коллекция картинок. По-другому множества представляются следующим образом. Установите A = {a,b,c,d}. Здесь a,b,c,d — элементы множества A.

Какие существуют различные обозначения множеств для представления множеств?

Наборы могут быть представлены тремя способами. Представление множеств означает способ перечисления элементов множества. Они следующие.

• Семантическая запись: Элементы набора представлены одним оператором. Например, Set A — это количество дней в неделе.
• Roster Notation: эта форма представления наборов использует фигурные скобки для перечисления элементов набора. Например, установите A = {2,4,6,8,10}
• Обозначение построителя набора: форма построителя набора представляет элементы набора по общему правилу или свойству. Например, {х | x — простое число меньше 20}

Какие существуют типы наборов?

Наборы отличаются друг от друга в зависимости от присутствующих в них элементов. Исходя из этого, мы имеем следующие виды наборов. Это одноэлементные множества, конечные и бесконечные множества, пустые или нулевые множества, равные множества, неравные множества, эквивалентные множества, перекрывающиеся множества, непересекающиеся множества, подмножества, надмножества, степенные множества и универсальные множества.

Каковы свойства множеств в теории множеств?

Различные свойства, связанные с множествами в математике:

• Коммутативное свойство: A U B = B U A и A ∩ B = B ∩ A
• Ассоциативное свойство: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) и (A U B) U C = A U (B U C)
• Распределительное свойство: A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (AU C) и A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
• Свойство идентичности: A U ∅ = A и A ∩ U = A
• Свойство дополнения: A U A’ = U
• Свойство идемпотента: A ∩ A = A и A U A = A

Что такое объединение множеств?

Объединение двух наборов A и B представляет собой элементы из обоих наборов A и B или из обоих вместе взятых. Обозначается символом «У». Например, если установить A = {1,2,3} и установить B = {4,5,6}, то AUB = {1,2,3,4,5,6}. A U B читается как «союз B».

Что такое пересечение множеств?

Пересечение двух множеств A и B – это элементы, общие для множества A и B. Оно обозначается символом ‘∩’. Например, если установить A = {1,2,3} и установить B = {3,4,5}, то A ∩ B = {3}. A ∩ B читается как «пересечение A B».

Что такое подмножества и надмножества?

Если каждый элемент множества A присутствует в множестве B, то множество B является надмножеством множества A, а множество A является подмножеством множества B.
Пример: А = {1,4,5} В = {1,2,3,4,5,6}
Поскольку все элементы множества A присутствуют в множестве B. ⇒ A ⊆ B и B ⊇ A.

Что такое универсальные множества?

Универсальный набор, обозначаемый буквой «U», представляет собой совокупность всех элементов, относящихся к определенному предмету.
Пример: Пусть U = {Список всех автотранспортных средств}. Здесь множество циклов является подмножеством этого универсального множества.

Что такое дополнение в наборах?

Дополнением множества, обозначаемого А’, является множество всех элементов универсального множества, не присутствующих в множестве А. Другими словами, А’ обозначается как U – А, что представляет собой разность элементы универсального множества и множество А.

Что такое Декартово произведение в множествах?

Декартово произведение двух множеств, обозначаемое A×B, есть произведение двух непустых множеств, при котором получаются упорядоченные пары элементов. Например, если A = {1,2} и B = {3,4}, то A×B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} .

Какая польза от диаграммы Венна в множествах?

Диаграмма Венна — это графическое представление отношений между двумя или более множествами. Круги используются для представления наборов. Каждый круг представляет набор. Прямоугольник, окружающий круги, представляет универсальное множество.

Операции над множествами – формула, свойства, примеры

Операции над множествами – это концепция, аналогичная основным операциям над числами. Множества в математике имеют дело с конечным набором объектов, будь то числа, алфавиты или любые объекты реального мира. Иногда возникает необходимость установить связь между двумя или более множествами. Возникает понятие операций над множествами.

Существует четыре основных операции над множествами, включая объединение множеств, пересечение множеств, дополнение множеств и разность множеств. В этой статье мы изучим различные операции с множествами, обозначения представления множеств, способы работы с множествами и их использование в реальной жизни.

Что такое набор операций?

Набор определяется как набор объектов. Каждый объект внутри набора называется «Элемент». Множество может быть представлено в трех формах. Это форма заявления, форма списка и нотация построителя наборов. Операции над множествами — это операции, которые применяются к двум или более множествам для установления связи между ними. Существует четыре основных типа операций над множествами, которые заключаются в следующем.

• Набор комплектов
• Пересечение наборов
• Дополнение к набору
• Разница между наборами/относительное дополнение

Прежде чем мы перейдем к обсуждению различных операций над множествами, давайте вспомним концепцию диаграмм Венна, поскольку она важна для понимания операций над множествами. Диаграмма Венна — это логическая диаграмма, показывающая возможную связь между различными конечными множествами. Диаграмму Венна можно представить следующим образом.

Операции с базовым набором

Теперь, когда мы знаем концепцию множеств и диаграммы Венна, давайте подробно обсудим каждую операцию над множеством. Различные операции над множествами:

Объединение множеств

Для двух заданных множеств A и B, A∪B (читается как объединение B) представляет собой множество различных элементов, которые принадлежат множеству A и множеству B или обоим. Количество элементов в A ∪ B определяется выражением n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B), где n(X) — количество элементов в множестве X. Чтобы Чтобы лучше понять эту операцию объединения множеств, давайте рассмотрим пример: если A = {1, 2, 3, 4} и B = {4, 5, 6, 7}, то объединение A и B равно определяется как A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Пересечение множеств

Для двух заданных множеств A и B, A ∩ B (читается как пересечение A B) — это множество общих элементов, принадлежащих множествам A и B. Количество элементов в A ∩ B определяется выражением n(A∩B) = n(A)+n(B)−n(A∪B), где n(X) — количество элементов в множестве X. Чтобы лучше понять эту операцию пересечения множеств, рассмотрим пример: если A = {1, 2, 3, 4} и B = {3, 4, 5, 7}, то пересечение A и B задается A ∩ B = {3, 4} .

Установить разницу

Разность между наборами операций над множествами подразумевает вычитание элементов из множества, что аналогично понятию разности между числами. Разница между наборами A и набором B, обозначенная как A − B, перечисляет все элементы, которые находятся в наборе A, но не в наборе B. Чтобы лучше понять эту операцию над набором разности наборов, рассмотрим пример: если A = {1, 2, 3, 4} и B = {3, 4, 5, 7}, то разница между множествами A и B определяется соотношением A – B = {1, 2}.

Комплектация наборов

Дополнение множества A, обозначаемое как A′ или A ^c (читается как дополнение A), определяется как множество всех элементов данного универсального множества (U), которые не присутствуют в множестве A. Чтобы понять эту операцию дополнения множеств лучше, рассмотрим пример: если U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и A = {1, 2, 3, 4}, тогда дополнение множества A задается как A’ = {5, 6, 7, 8, 9}.

На изображении выше показаны различные операции над множествами с помощью диаграмм Венна. Когда элементы одного множества B полностью лежат в другом множестве A, то B называется собственным подмножеством A. Когда два множества не имеют общих элементов, они называются непересекающимися множествами. Теперь давайте рассмотрим свойства операций над множествами.

Свойства операций над множествами

Свойства операций над множествами аналогичны свойствам основных операций над числами. Важные свойства операций над множествами приведены ниже:

• Закон коммуникативности . Для любых двух заданных множеств A и B свойство коммутативности определяется как
  A ∪ B = B ∪ A
  Это означает, что множественная операция объединения двух множеств коммутативна.
  А ∩ В = В ∩ А
  Это означает, что множественная операция пересечения двух множеств коммутативна.
• Ассоциативный закон – Для любых трех заданных наборов A, B и C свойство ассоциативности определяется как
  (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
  Это означает, что операция объединения множеств ассоциативна.
  (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С)
  Это означает, что операция пересечения множеств ассоциативна.
• Закон Де-Моргана – Закон Де Моргана гласит, что для любых двух множеств A и B мы имеем (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ и (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
• А ∪ А = А
• А ∩ А = А
• А ∩ ∅ = ∅
• А ∪ ∅ = А
• А ∩ В ⊆ А
• А ⊆ А ∪ В

Важные примечания по операциям над множествами

• Формула операции над множествами для объединения множеств: n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B) и формула операции над множествами множества есть n(A∩B) = n(A)+n(B)−n(A∪B).
• Объединение любого множества с универсальным множеством дает универсальное множество, а пересечение любого множества A с универсальным множеством дает множество A.
• Объединение, пересечение, разность и дополнение — это различные операции над множествами.
• Дополнением универсального множества является пустое множество U′ = ϕ. Дополнением пустого множества является универсальное множество ϕ′ = U.

Темы, связанные с операциями над множествами

• Надмножество
• Силовой набор
• Конечные и бесконечные наборы

Часто задаваемые вопросы по операциям набора

Что такое

Операции над множествами — это операции, применяемые к двум или более множествам для установления связи между ними. Существует четыре основных вида операций над множествами.

Каковы различные операции над наборами?

Существует четыре основных вида операций с наборами:

• Набор комплектов
• Пересечение наборов
• Дополнение к набору
• Разница между наборами/относительное дополнение

Как мы используем операции над множествами в реальной жизни?

Набор — это набор элементов. Некоторые примеры наборов из реальной жизни — это список всех штатов в стране, список всех фигур в геометрии, список всех целых чисел от 1 до 100. Мы можем определить общие области, используя операцию пересечения множества.

Как вы решаете проблемы с работой набора?

Для решения задач с операциями над множествами мы используем диаграмму Венна для представления отношений между множествами и применяем формулу операций над множествами для объединения, пересечения, разности или дополнения множества.

Какие из операций над множествами являются коммутативными и некоммутативными?

Объединение и пересечение множеств являются коммутативными операциями над множествами, в то время как разность множеств не является коммутативной.

Что такое набор символов операций?

Существуют различные символы, используемые для различных операций с множествами, которые называются обозначениями множеств. Для объединения множеств мы используем ‘ ∪ ‘, для пересечения множеств используем ‘∩’, для разности множеств используем ‘-‘, а для дополнения множества A пишем как A’ или A ^c .