Существуют различные методы определения прогиба балки и конструкций в зависимости от типа нагрузки и характера балки. Некоторые важные методы определения отклонения балок:

• Метод двойного интегрирования
• Метод Маколея
• Метод площади момента
• Метод сопряженных балок

EID ² Y/DX ² = MX

, где

EI = Жесткость изгиба

MX = изгибающий момент в разделе

. = ∫Mx+ c ₁

Это дает уравнение наклона, где dy/dxis наклон или вращение.

Интегрируя приведенное выше уравнение,

EI.y= ∬Mx+ ∫c ₁ + c ₂

Где y — прогиб.

Метод Маколея является усовершенствованием метода двойного интегрирования. Становится трудно решать отклонения балки, которые необходимо разделить на множество секций. Поэтому этот метод используется там, где нет необходимости разделять луч. Этот метод подходит для призматических стержней, имеющих разные изгибающие моменты в разных поперечных сечениях.

Рассмотрим приведенную выше балку с двумя точечными нагрузками L ₁ и L ₂ на расстоянии «a» и «b» от левой опоры. Рассмотрим сечение x-x на расстоянии x от левой опоры. Нахождение момента относительно x-x:

Mx= R _A x- L ₁ (x-a)- L ₂ (x-b)

EId ² y/dx 7 L-7 ^{2 9006 ₁ (x-a)- L ₂ (x-b)}

Интегрируя приведенное выше уравнение,

EI y= R _A x ³ /6+ c ₁ x+ c ₂ -[L ₁ (x-a) ³ /6]- [L ₂ / 76 6 (x-b) 3090

Метод момента-площади используется, когда нам нужно проанализировать балку, в которой мы заинтересованы в расчете наклона и отклонения балки в одном месте. Этот метод подходит для призматических и непризматических элементов. Этот метод основан на площади под диаграммой изгибающего момента.

Теорема 1

Изменение уклона от сечения A к сечению B B-A будет равно площади диаграммы M/EI между Θ _A и Θ _B . Теорема 2

Сопряженная балка — это воображаемая балка, диаграмма нагрузки которой является диаграммой M/EI реальной балки. Метод сопряженных балок подходит как для призматических, так и для непризматических элементов; единственное требование — диаграмма M/EI не должна быть заполнена; должно быть легко определить площадь и центр тяжести диаграммы M/EI. Если диаграмма M/EI положительна, то нагрузка в сопряженной балке будет восходящей. Если диаграмма M/EI отрицательна, то нагрузка в сопряженной балке будет нисходящей.

Теорема 1

Уклон в любом сечении реальной балки становится поперечной силой в соответствующем сечении сопряженной балки. Диаграмма поперечной силы сопряженной балки представляет собой диаграмму наклона реальной балки.

Теорема 2

Прогиб на любом сечении реальной балки становится изгибающим моментом на соответствующем сечении сопряженной балки. Диаграмма изгибающего момента сопряженной балки представляет собой диаграмму прогиба реальной балки.

Метод суперпозиции: Метод суперпозиции, при котором приложенная нагрузка представлена ​​в виде ряда простых нагрузок, для которых доступны формулы прогиба. Затем вычисляется требуемый прогиб путем сложения вкладов компонентных нагрузок (принцип суперпозиции).

В вопросах используется самая прямая формула. Отсюда советуется искать формулу прогиба балки, которая прямо запрашивается из этой темы, а не пускаться в длинные выкладки.

1. Сосредоточенная нагрузка на свободном конце консольной балки (начало точки А):

Максимальный момент, M=−PL 7 Наклон

:θ=PL

Максимальное отклонение: δ=PL ³ /3EI

Уравнение отклонения (у положительное вниз): EIy = (Px ² )(3L−x)/6

2. Сосредоточенная нагрузка в любой точке пролета консольной балки

Максимальный момент: M = -WA

Наклон на конце: θ = WA ² /2EI

Максимальный отклонение:> Δ = WA ³ (3L -а )/6EI

Уравнение отклонения (у положителен вниз),
EIy = Px ² (3a−x)/6for0 EIy = Pa ² (3x−a)/6fora

3. Равномерно распределенная нагрузка по всей длине консольной балки

Максимум момента: M = −WL ² /2

Наклон на конце: θ = WL ³ /6EI

Максимальный отклонение: Δ = WL ⁴ /8EI

9. (у положителен вниз),
EIy=wx ² (6L ² −4Lx+x ² )/120L

4. Треугольная нагрузка, полная на фиксированном конце и ноль на свободном конце

Максимальный момент: M=−wL ² /6

Уклон на конце: θ = WL ³ /24EI

Максимальное отклонение, Δ = WL ⁴ /30EI

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9 . Maximum Moment: M=PL/4

Slope at end: θ _A =θ _B = WL ² /16EI

Maximum deflection: δ=PL ³ /48EI

Уравнение отклонения (у положителен вниз),
EIy=Px{(3/4)L ² −x ² )}/12 для 0

7. Равномерно распределенная нагрузка по всему пролету простой балки

Максимальный момент: M = WL ² /8

Наклон на конце: θ _L = θ _R = WL ³ /24EI

. ⁴ /384EI

Уравнение прогиба (EIy=wx(L ³ −2Lx ² +x ³ )/24

9. Треугольная нагрузка с нулевой на одной опоре и полной на другой опоре простой балки

Максимальный момент: M = w _o L ^{4 / 900 3}

Наклон в конце,

θ _L = 7WL ³ /360EI

θ _R = 8WL ³ /360EI 9004

66631.3.3.360E

7

Задача 1: Каковы уклон и направление консольной балки на свободном конце нагрузки, действующей на свободный конец?

Решение-

Дифференциальное уравнение для прогиба

M= -Px

EId ² Y/DX ² = -PX

∫eid ² Y/DX ² = ∫-PX

EIDY/DX = -PX ² /2+ C ₁

. Связанные условия по сравнению x=L, dy/dx = 0,

c ₁ = PL ² /2

EIdy/dx= -Px ² /2+ PL ² /2

9000 Интегрируя это, мы получаем ,

EIy= -Px ³ /6+ PL ² x/2+ c ₂

Граничное условие x=L, y=0

c _{2 PL} = -0063 3 /3

EIy= -Px ³ /6+ PL ² x/2- PL ³ /3

Наклон и прогиб на свободном конце

x0 3 PLdy/d Наклон

Прогиб y= PL ³ /3EI

Задача 2: Свободно опертая балка с пролетом 6 м нагружена, как показано на рисунке. I = 78 x 10 ⁶ мм ⁴ E = 2,1 x 10 ⁵ Н/мм ² . Найдите центральные прогибы.

Solution-

We know that

y _c = WL ³ /48EI= 60 × 10 ³ ×6000 ³ /(48 ×2. 1 × 10 ⁵ ×78 × 10 ⁶ )= 16,48 мм

Задача 3: Свободно опертая балка с пролетом 5 м, несущая нагрузку 10 Н/мм ² . Дано E= 10 ⁴ Н/мм2. Максимально допустимое напряжение изгиба составляет 8 Н/мм ^2, , а максимальный прогиб балки составляет 1 см. Определяем ширину и глубину балки.

Решение-

(σ _B ) _MAX = M _MAX /Z = 8

10 × 5000 ² × 6 /(8 × BD ² ) = 2343700 ММ /(8 × BD ² ).

Maximum Deflection= 5WL ⁴ /384EI

5WL ⁴ /384EI=10mm

5WL ⁴ /384 ×10 ⁴ ×B × D ³ =10mm

BD ³ =9765625000 мм ⁴

D= BD ³ /BD ² = 9765625000/23437500= 416,67 мм

BD ² = 23437500

B = 134,99 мм

Ежедневные живые сеансы GATE и ESE, бесплатные живые занятия, учебные заметки, викторины, бесплатные PDF-файлы и многое другое. Присоединяйтесь к нашей группе Telegram Присоединяйтесь.

Калькуляторы прогиба балки – EngineerExcel

Расчет прогиба балки применим к нескольким сценариям проектирования конструкций. Например, расчет отклонения консольной балки может определить силы, действующие на крыло самолета.

Содержание

• Калькуляторы отклонения луча
  • Калькуляторы протяжения луча кантилев. Момент
• Калькуляторы прогиба балки на простой опоре
  • Балка на простой опоре с нагрузкой в ​​любой точке
  • Балка на простой опоре с нагрузкой в ​​середине пролета
  • Просто опертая балка с равномерно распределенной нагрузкой
  • Просто опертая балка с моментом на каждом конце
  • Просто опертая балка с моментом на одном конце
  • Просто опертая балка с моментом в центре
• Фиксированная-фиксированная балка
• Неподвижно-неподвижная балка с нагрузкой в ​​середине пролета
• Неподвижно-неподвижная балка с равномерно распределенной нагрузкой

Калькуляторы прогиба балки

Самый простой способ определить прогиб балки под действием силы или момента — использовать калькулятор и параметры балочной системы. В зависимости от балочной системы, консольной, просто поддерживаемой или неподвижно-фиксированной, были оценены различные случаи, чтобы получить уравнение для расчета отклонения балки как функции расстояния вдоль балки.

Калькуляторы прогиба консольной балки

Существует пять общих случаев для рассмотрения прогиба консольной балки.

Консольная балка с конечным усилием

Первый – это прогиб из-за силы на свободном конце балки, как показано ниже:

Прогиб балки можно рассчитать с помощью следующего уравнения:

где:

• F сила, приложенная к концу балки (Н)
• x — позиция вдоль балки, где оценивается прогиб (м)
• E — модуль Юнга материала балки (Па)
• I – момент инерции площади (м4)
• L общая длина балки (м)

Консольная балка с нагрузкой в ​​любой точке

Второе отклонение консольной балки — это прогиб из-за силы, приложенной не к концу, как показано ниже:

Прогиб балки можно рассчитать с помощью следующих уравнений :

, где a — расстояние от поддерживаемого конца до места действия силы (м).

Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой

Третье отклонение консольной балки представляет собой отклонение из-за силы, приложенной равномерно по длине балки, как показано ниже:

Прогиб балки можно рассчитать с помощью следующего уравнения:

где w равномерная нагрузка (Н/м).

Консольная балка с треугольной распределенной нагрузкой

Прогиб четвертой консольной балки представляет собой прогиб из-за треугольной распределенной силы, приложенной по длине балки, как показано ниже:

Прогиб балки можно рассчитать с помощью следующего уравнения:

где w ₁ — максимальное значение силы (Н).

Консольная балка с конечным моментом

Конечным прогибом консольной балки является прогиб из-за момента на свободном конце балки, как показано ниже:

Прогиб балки можно рассчитать с помощью следующего уравнения:

где M — момент, приложенный к свободному концу (Н∙м).

Калькуляторы прогиба свободно опертой балки

Просто опертая балка с нагрузкой в ​​любой точке

Существует семь общих случаев для рассмотрения прогиба свободно опертой балки. Первый – это отклонение из-за промежуточной силы, как показано ниже:

Отклонение балки можно рассчитать с помощью следующего уравнения:

, где a и b — расстояния по обе стороны от приложенной силы (м).

Свободно опертая балка с нагрузкой в ​​середине пролета

Второй прогиб свободно опертой балки — это прогиб из-за силы, приложенной к центру балки, как показано ниже:

Прогиб балки можно рассчитать с помощью следующее уравнение:

Свободно опертая балка с равномерно распределенной нагрузкой

Третье отклонение свободно опертой балки — это отклонение из-за равномерно распределенной силы, как показано ниже:

Прогиб балки можно рассчитать с помощью следующего уравнения:

Свободно опертая балка с моментом на каждом конце

Четвертый прогиб свободно опертой балки — это прогиб из-за моментов на обеих опорах, как показано ниже:

прогиб можно рассчитать с помощью следующего уравнения:

Свободно опертая балка с моментом на одном конце

Пятый прогиб свободно опертой балки — это прогиб из-за момента на одной опоре, как показано ниже:

Прогиб балки можно рассчитать с помощью следующего уравнения:

Свободно опертая балка с моментом в центре

Окончательное отклонение свободно опертой балки — это прогиб из-за момента в центре балки, как показано ниже :

Прогиб балки можно рассчитать по следующему уравнению:

Калькуляторы прогиба фиксированной-фиксированной балки

Фиксированная-фиксированная балка с нагрузкой в ​​середине пролета

Существует два общих случая для рассмотрения фиксированной-фиксированной отклонение луча. Первый — это отклонение из-за силы в центре, как показано ниже:

Прогиб балки можно рассчитать по следующему уравнению:

Неподвижно-неподвижная балка с равномерно распределенной нагрузкой

Другое фиксированно-неподвижное отклонение балки — это отклонение из-за равномерно распределенной силы, как показано ниже:

Прогиб балки можно рассчитать с помощью следующего уравнения:

Дифференциальный расчет прогиба балки

Другой метод расчета прогиба балки включает использование дифференциального уравнения кривой прогиба для оценки поведения балки при изгибе. Здесь представлен обзор этого метода, однако конкретные детали выходят за рамки этого введения.

В этом методе используется общее уравнение, и его можно применять к любой комбинации сил и моментов, действующих в любой точке балки. Используемое уравнение:

где:

• v – прогиб балки (м)
• d ² v/dx ² — вторая производная прогиба относительно положения вдоль балки
• M — изгибающий момент вдоль балки в зависимости от положения (Н∙м)

Изгибающий момент в каждой секции балки рассчитывается как функция x .