Кинетическая энергия википедия: Кинетическая энергия — Википедия

alexxlab | 06.04.2018 | 0 | Разное

Содержание

Кинетическая энергия — Википедия

Кинети́ческая эне́ргия — скалярная функция, являющаяся мерой движения материальных точек, образующих рассматриваемую механическую систему, и зависящая только от масс и модулей скоростей этих точек[1]. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как

T = ∑ m i v i 2 2 {\displaystyle T=\sum {{m_{i}v_{i}^{2}} \over 2}} ,

где индекс   i {\displaystyle \ i} нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения[2]. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением[3]. Когда тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: T {\displaystyle T} , E k i n {\displaystyle E_{kin}} , K {\displaystyle K} и другие. В системе СИ она измеряется в джоулях (Дж).

История понятия

Впервые понятие кинетической энергии было введено в трудах Готфрида Лейбница (1695 г.), посвящённых понятию «живой силы»[4].

Кинетическая энергия в классической механике

Случай одной материальной точки

По определению, кинетической энергией материальной точки массой m {\displaystyle m} называется величина

T = m v 2 2 {\displaystyle T={{mv^{2}} \over 2}} ,

при этом предполагается, что скорость точки v {\displaystyle v} всегда значительно меньше скорости света. С использованием понятия импульса ( p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} ) данное выражение примет вид   T = p 2 / 2 m {\displaystyle \ T=p^{2}/2m} .

Если F → {\displaystyle {\vec {F}}} — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, выражение второго закона Ньютона запишется как F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} . Скалярно умножив его на перемещение материальной точки d s → = v → d t {\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} и учитывая, что a → = d v → / d t {\displaystyle {\vec {a}}={\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t} , причём d ( v 2 ) / d t = d ( v → ⋅ v → ) / d t = 2 v → ⋅ d v → / d t {\displaystyle {\rm {d}}(v^{2})/{\rm {d}}t={\rm {d}}({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/{\rm {d}}t=2{\vec {v}}\cdot {\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t} , получим   F → d s → = d ( m v 2 / 2 ) = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}(mv^{2}/2)={\rm {d}}T} .

Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина   T {\displaystyle \ T} остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является интегралом движения.

Случай абсолютно твёрдого тела

При рассмотрении движения абсолютно твёрдого тела его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя формулу Кёнига, в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и вращательного движения:

T = M v 2 2 + I ω 2 2 . {\displaystyle T={\frac {Mv^{2}}{2}}+{\frac {I\omega ^{2}}{2}}.}

Здесь   M {\displaystyle \ M} — масса тела,   v {\displaystyle \ v} — скорость центра масс, ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} и I {\displaystyle I} — угловая скорость тела и его момент инерции относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс[5].

Кинетическая энергия в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа ρ = d M / d V {\displaystyle \rho ={\rm {d}}M/{\rm {d}}V} . Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью v → {\displaystyle {\vec {v}}} , то есть плотность кинетической энергии w T = d T / d V {\displaystyle w_{T}={\rm {d}}T/{\rm {d}}V} (Дж/м3), запишется:

w T = ρ v α v α 2 , {\displaystyle w_{T}=\rho {\frac {v_{\alpha }v_{\alpha }}{2}},}

где по повторяющемуся индексу α = x , y , z {\displaystyle {\alpha }=x,y,z} , означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.

Поскольку в турбулентном потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса[6]. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить   ρ = ρ ¯ + ρ ′ {\displaystyle \ \rho ={\overline {\rho }}+\rho '} , v α = v α ¯ + v α ′ {\displaystyle v_{\alpha }={\overline {v_{\alpha }}}+v'_{\alpha }} , где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:

w T ¯ = 1 2 ρ v α v α ¯ = E s + E s t + E t , {\displaystyle {\overline {w_{T}}}={\frac {1}{2}}{\overline {\rho v_{\alpha }v_{\alpha }}}=E_{s}+E_{st}+E_{t},}

где E s = ρ ¯ v α ¯ v α ¯ / 2 {\displaystyle E_{s}={\overline {\rho }}\,{\overline {v_{\alpha }}}\,{\overline {v_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа, E t = ρ ¯ v α ′ v α ′ ¯ / 2 + ρ ′ v α ′ v α ′ ¯ / 2 {\displaystyle E_{t}={\overline {\rho }}\,{\overline {v'_{\alpha }\,v'_{\alpha }}}/2+{\overline {\rho 'v'_{\alpha }v'_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («

плотность кинетической энергии турбулентности»[6], часто называемой просто «энергией турбулентности»), а E s t = S α v α ¯ {\displaystyle E_{st}=S_{\alpha }{\overline {v_{\alpha }}}} — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества ( S α = ρ ′ v α ′ ¯ {\displaystyle S_{\alpha }={\overline {\rho 'v'_{\alpha }}}} — плотность флуктуационного потока массы, или «
плотность турбулентного импульса
»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при преобразовании Галилея: кинетическая энергия упорядоченного движения E s {\displaystyle E_{s}} зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности E t {\displaystyle E_{t}} от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие внутренней энергии.

Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения общей циркуляции атмосферы и теории климата это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.

В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой оператор, записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором ( p ^ = − j ℏ ∇ {\displaystyle {\hat {p}}=-j\hbar \nabla } ,   j {\displaystyle \ j} — мнимая единица):

T ^ = p ^ 2 2 m = − ℏ 2 2 m Δ {\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }

где ℏ {\displaystyle \hbar } — редуцированная постоянная Планка, ∇ {\displaystyle \nabla } — оператор набла, Δ {\displaystyle \Delta } — оператор Лапласа. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера[7].

Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света, кинетическая энергия материальной точки определяется как

T = m c 2 1 − v 2 / c 2 − m c 2 , {\displaystyle T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2},}

где   m {\displaystyle \ m} — масса,   v {\displaystyle \ v} — скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта,   c {\displaystyle \ c} — скорость света в вакууме ( m c 2 {\displaystyle mc^{2}} — энергия покоя). Как и в классическом случае, имеет место соотношение   F → d s → = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} , получаемое посредством умножения на d s → = v → d t {\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} выражения второго закона Ньютона (в виде   F → = m ⋅ d ( v → / 1 − v 2 / c 2 ) / d t {\displaystyle \ {\vec {F}}=m\cdot {\rm {d}}({\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}})/{\rm {d}}t} ).

Выражение для   T {\displaystyle \ T} можно переписать в форме T = m v 2 / ( 1 − v 2 / c 2 + 1 − v 2 / c 2 ) . {\displaystyle T=mv^{2}/(1-v^{2}/c^{2}+{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}).} При малых скоростях ( v ≪ c {\displaystyle v\ll c} ) оно переходит в классическую формулу   T = 1 / 2 ⋅ m v 2 {\displaystyle \ T=1/2\cdot mv^{2}} .

Свойства кинетической энергии

  • Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему[1].
  • Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта. Кинетическая энергия не зависит от положения точки, направления её скорости и зависит лишь от модуля скорости или, что то же самое, от квадрата её скорости[1].
  • Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае. Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
  • Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея[1]. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергии[8][9].

Физический смысл кинетической энергии

Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии[10]:

  A 12 = T 2 − T 1 . {\displaystyle \ A_{12}=T_{2}-T_{1}.}

Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения   F → d s → = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} между состояниями 1 и 2).

Соотношение кинетической и внутренней энергии

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — постоянная Больцмана.

См. также

Примечания

  1. 1 2 3 4 Айзерман, 1980, с. 49.
  2. Тарг С. М. Кинетическая энергия // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 360. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
  3. Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. 3.2. Кинематика релятивистских частиц // Современная электродинамика, часть 1. Микроскопическая теория. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — С. 238. — 736 с. — 1000 экз. — ISBN 5-93972-164-8.
  4. Мах Э.  Механика. Историко-критический очерк её развития. — Ижевск: «РХД», 2000. — С. 252. — 456 с. — ISBN 5-89806-023-5.
  5. Голубева О. В. Теоретическая механика. — М.: «Высшая школа», 1968. — С. 243—245.
  6. 1 2 Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.
  7. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики, 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с., см. § 26.
  8. ↑ Айзерман, 1980, с. 54.
  9. ↑ Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» // УФН, 59, с. 325—362, (1956)
  10. Сивухин Д. В. § 22. Работа и кинетическая энергия. // Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 131. — 520 с.

Литература

Кинетическая энергия — Википедия

Кинети́ческая эне́ргия — скалярная функция, являющаяся мерой движения материальных точек, образующих рассматриваемую механическую систему, и зависящая только от масс и модулей скоростей этих точек[1]. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как

T = ∑ m i v i 2 2 {\displaystyle T=\sum {{m_{i}v_{i}^{2}} \over 2}} ,

где индекс   i {\displaystyle \ i} нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения[2]. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением[3]. Когда тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: T {\displaystyle T} , E k i n {\displaystyle E_{kin}} , K {\displaystyle K} и другие. В системе СИ она измеряется в джоулях (Дж).

История понятия

Впервые понятие кинетической энергии было введено в трудах Готфрида Лейбница (1695 г.), посвящённых понятию «живой силы»[4].

Кинетическая энергия в классической механике

Случай одной материальной точки

По определению, кинетической энергией материальной точки массой m {\displaystyle m} называется величина

T = m v 2 2 {\displaystyle T={{mv^{2}} \over 2}} ,

при этом предполагается, что скорость точки v {\displaystyle v} всегда значительно меньше скорости света. С использованием понятия импульса ( p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} ) данное выражение примет вид   T = p 2 / 2 m {\displaystyle \ T=p^{2}/2m} .

Если F → {\displaystyle {\vec {F}}} — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, выражение второго закона Ньютона запишется как F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} . Скалярно умножив его на перемещение материальной точки d s → = v → d t {\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} и учитывая, что a → = d v → / d t {\displaystyle {\vec {a}}={\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t} , причём d ( v 2 ) / d t = d ( v → ⋅ v → ) / d t = 2 v → ⋅ d v → / d t {\displaystyle {\rm {d}}(v^{2})/{\rm {d}}t={\rm {d}}({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/{\rm {d}}t=2{\vec {v}}\cdot {\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t} , получим   F → d s → = d ( m v 2 / 2 ) = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}(mv^{2}/2)={\rm {d}}T} .

Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина   T {\displaystyle \ T} остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является интегралом движения.

Случай абсолютно твёрдого тела

При рассмотрении движения абсолютно твёрдого тела его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя формулу Кёнига, в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и вращательного движения:

T = M v 2 2 + I ω 2 2 . {\displaystyle T={\frac {Mv^{2}}{2}}+{\frac {I\omega ^{2}}{2}}.}

Здесь   M {\displaystyle \ M} — масса тела,   v {\displaystyle \ v} — скорость центра масс, ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} и I {\displaystyle I} — угловая скорость тела и его момент инерции относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс[5].

Кинетическая энергия в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа ρ = d M / d V {\displaystyle \rho ={\rm {d}}M/{\rm {d}}V} . Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью v → {\displaystyle {\vec {v}}} , то есть плотность кинетической энергии w T = d T / d V {\displaystyle w_{T}={\rm {d}}T/{\rm {d}}V} (Дж/м3), запишется:

w T = ρ v α v α 2 , {\displaystyle w_{T}=\rho {\frac {v_{\alpha }v_{\alpha }}{2}},}

где по повторяющемуся индексу α = x , y , z {\displaystyle {\alpha }=x,y,z} , означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.

Поскольку в турбулентном потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса[6]. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить   ρ = ρ ¯ + ρ ′ {\displaystyle \ \rho ={\overline {\rho }}+\rho '} , v α = v α ¯ + v α ′ {\displaystyle v_{\alpha }={\overline {v_{\alpha }}}+v'_{\alpha }} , где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:

w T ¯ = 1 2 ρ v α v α ¯ = E s + E s t + E t , {\displaystyle {\overline {w_{T}}}={\frac {1}{2}}{\overline {\rho v_{\alpha }v_{\alpha }}}=E_{s}+E_{st}+E_{t},}

где E s = ρ ¯ v α ¯ v α ¯ / 2 {\displaystyle E_{s}={\overline {\rho }}\,{\overline {v_{\alpha }}}\,{\overline {v_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа, E t = ρ ¯ v α ′ v α ′ ¯ / 2 + ρ ′ v α ′ v α ′ ¯ / 2 {\displaystyle E_{t}={\overline {\rho }}\,{\overline {v'_{\alpha }\,v'_{\alpha }}}/2+{\overline {\rho 'v'_{\alpha }v'_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («плотность кинетической энергии турбулентности»[6], часто называемой просто «энергией турбулентности»), а E s t = S α v α ¯ {\displaystyle E_{st}=S_{\alpha }{\overline {v_{\alpha }}}} — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества ( S α = ρ ′ v α ′ ¯ {\displaystyle S_{\alpha }={\overline {\rho 'v'_{\alpha }}}} — плотность флуктуационного потока массы, или «плотность турбулентного импульса»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при преобразовании Галилея: кинетическая энергия упорядоченного движения E s {\displaystyle E_{s}} зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности E t {\displaystyle E_{t}} от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие внутренней энергии.

Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения общей циркуляции атмосферы и теории климата это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.

В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой оператор, записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором ( p ^ = − j ℏ ∇ {\displaystyle {\hat {p}}=-j\hbar \nabla } ,   j {\displaystyle \ j} — мнимая единица):

T ^ = p ^ 2 2 m = − ℏ 2 2 m Δ {\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }

где ℏ {\displaystyle \hbar } — редуцированная постоянная Планка, ∇ {\displaystyle \nabla } — оператор набла, Δ {\displaystyle \Delta } — оператор Лапласа. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера[7].

Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света, кинетическая энергия материальной точки определяется как

T = m c 2 1 − v 2 / c 2 − m c 2 , {\displaystyle T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2},}

где   m {\displaystyle \ m} — масса,   v {\displaystyle \ v} — скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта,   c {\displaystyle \ c} — скорость света в вакууме ( m c 2 {\displaystyle mc^{2}} — энергия покоя). Как и в классическом случае, имеет место соотношение   F → d s → = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} , получаемое посредством умножения на d s → = v → d t {\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} выражения второго закона Ньютона (в виде   F → = m ⋅ d ( v → / 1 − v 2 / c 2 ) / d t {\displaystyle \ {\vec {F}}=m\cdot {\rm {d}}({\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}})/{\rm {d}}t} ).

Выражение для   T {\displaystyle \ T} можно переписать в форме T = m v 2 / ( 1 − v 2 / c 2 + 1 − v 2 / c 2 ) . {\displaystyle T=mv^{2}/(1-v^{2}/c^{2}+{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}).} При малых скоростях ( v ≪ c {\displaystyle v\ll c} ) оно переходит в классическую формулу   T = 1 / 2 ⋅ m v 2 {\displaystyle \ T=1/2\cdot mv^{2}} .

Свойства кинетической энергии

  • Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему[1].
  • Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта. Кинетическая энергия не зависит от положения точки, направления её скорости и зависит лишь от модуля скорости или, что то же самое, от квадрата её скорости[1].
  • Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае. Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
  • Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея[1]. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергии[8][9].

Физический смысл кинетической энергии

Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии[10]:

  A 12 = T 2 − T 1 . {\displaystyle \ A_{12}=T_{2}-T_{1}.}

Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения   F → d s → = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} между состояниями 1 и 2).

Соотношение кинетической и внутренней энергии

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — постоянная Больцмана.

См. также

Примечания

  1. 1 2 3 4 Айзерман, 1980, с. 49.
  2. Тарг С. М. Кинетическая энергия // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 360. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
  3. Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. 3.2. Кинематика релятивистских частиц // Современная электродинамика, часть 1. Микроскопическая теория. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — С. 238. — 736 с. — 1000 экз. — ISBN 5-93972-164-8.
  4. Мах Э.  Механика. Историко-критический очерк её развития. — Ижевск: «РХД», 2000. — С. 252. — 456 с. — ISBN 5-89806-023-5.
  5. Голубева О. В. Теоретическая механика. — М.: «Высшая школа», 1968. — С. 243—245.
  6. 1 2 Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.
  7. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики, 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с., см. § 26.
  8. ↑ Айзерман, 1980, с. 54.
  9. ↑ Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» // УФН, 59, с. 325—362, (1956)
  10. Сивухин Д. В. § 22. Работа и кинетическая энергия. // Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 131. — 520 с.

Литература

Кинетическая энергия — Википедия. Что такое Кинетическая энергия

Кинети́ческая эне́ргия — скалярная функция, являющаяся мерой движения материальных точек, образующих рассматриваемую механическую систему, и зависящая только от масс и модулей скоростей этих точек[1]. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как

T = ∑ m i v i 2 2 {\displaystyle T=\sum {{m_{i}v_{i}^{2}} \over 2}} ,

где индекс   i {\displaystyle \ i} нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения[2]. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением[3]. Когда тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: T {\displaystyle T} , E k i n {\displaystyle E_{kin}} , K {\displaystyle K} и другие. В системе СИ она измеряется в джоулях (Дж).

История понятия

Впервые понятие кинетической энергии было введено в трудах Готфрида Лейбница (1695 г.), посвящённых понятию «живой силы»[4].

Кинетическая энергия в классической механике

Случай одной материальной точки

По определению, кинетической энергией материальной точки массой m {\displaystyle m} называется величина

T = m v 2 2 {\displaystyle T={{mv^{2}} \over 2}} ,

при этом предполагается, что скорость точки v {\displaystyle v} всегда значительно меньше скорости света. С использованием понятия импульса ( p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} ) данное выражение примет вид   T = p 2 / 2 m {\displaystyle \ T=p^{2}/2m} .

Если F → {\displaystyle {\vec {F}}} — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, выражение второго закона Ньютона запишется как F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} . Скалярно умножив его на перемещение материальной точки d s → = v → d t {\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} и учитывая, что a → = d v → / d t {\displaystyle {\vec {a}}={\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t} , причём d ( v 2 ) / d t = d ( v → ⋅ v → ) / d t = 2 v → ⋅ d v → / d t {\displaystyle {\rm {d}}(v^{2})/{\rm {d}}t={\rm {d}}({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/{\rm {d}}t=2{\vec {v}}\cdot {\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t} , получим   F → d s → = d ( m v 2 / 2 ) = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}(mv^{2}/2)={\rm {d}}T} .

Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина   T {\displaystyle \ T} остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является интегралом движения.

Случай абсолютно твёрдого тела

При рассмотрении движения абсолютно твёрдого тела его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя формулу Кёнига, в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и вращательного движения:

T = M v 2 2 + I ω 2 2 . {\displaystyle T={\frac {Mv^{2}}{2}}+{\frac {I\omega ^{2}}{2}}.}

Здесь   M {\displaystyle \ M} — масса тела,   v {\displaystyle \ v} — скорость центра масс, ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} и I {\displaystyle I} — угловая скорость тела и его момент инерции относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс[5].

Кинетическая энергия в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа ρ = d M / d V {\displaystyle \rho ={\rm {d}}M/{\rm {d}}V} . Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью v → {\displaystyle {\vec {v}}} , то есть плотность кинетической энергии w T = d T / d V {\displaystyle w_{T}={\rm {d}}T/{\rm {d}}V} (Дж/м3), запишется:

w T = ρ v α v α 2 , {\displaystyle w_{T}=\rho {\frac {v_{\alpha }v_{\alpha }}{2}},}

где по повторяющемуся индексу α = x , y , z {\displaystyle {\alpha }=x,y,z} , означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.

Поскольку в турбулентном потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса[6]. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить   ρ = ρ ¯ + ρ ′ {\displaystyle \ \rho ={\overline {\rho }}+\rho '} , v α = v α ¯ + v α ′ {\displaystyle v_{\alpha }={\overline {v_{\alpha }}}+v'_{\alpha }} , где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:

w T ¯ = 1 2 ρ v α v α ¯ = E s + E s t + E t , {\displaystyle {\overline {w_{T}}}={\frac {1}{2}}{\overline {\rho v_{\alpha }v_{\alpha }}}=E_{s}+E_{st}+E_{t},}

где E s = ρ ¯ v α ¯ v α ¯ / 2 {\displaystyle E_{s}={\overline {\rho }}\,{\overline {v_{\alpha }}}\,{\overline {v_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа, E t = ρ ¯ v α ′ v α ′ ¯ / 2 + ρ ′ v α ′ v α ′ ¯ / 2 {\displaystyle E_{t}={\overline {\rho }}\,{\overline {v'_{\alpha }\,v'_{\alpha }}}/2+{\overline {\rho 'v'_{\alpha }v'_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («плотность кинетической энергии турбулентности»[6], часто называемой просто «энергией турбулентности»), а E s t = S α v α ¯ {\displaystyle E_{st}=S_{\alpha }{\overline {v_{\alpha }}}} — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества ( S α = ρ ′ v α ′ ¯ {\displaystyle S_{\alpha }={\overline {\rho 'v'_{\alpha }}}} — плотность флуктуационного потока массы, или «плотность турбулентного импульса»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при преобразовании Галилея: кинетическая энергия упорядоченного движения E s {\displaystyle E_{s}} зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности E t {\displaystyle E_{t}} от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие внутренней энергии.

Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения общей циркуляции атмосферы и теории климата это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.

В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой оператор, записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором ( p ^ = − j ℏ ∇ {\displaystyle {\hat {p}}=-j\hbar \nabla } ,   j {\displaystyle \ j} — мнимая единица):

T ^ = p ^ 2 2 m = − ℏ 2 2 m Δ {\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }

где ℏ {\displaystyle \hbar } — редуцированная постоянная Планка, ∇ {\displaystyle \nabla } — оператор набла, Δ {\displaystyle \Delta } — оператор Лапласа. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера[7].

Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света, кинетическая энергия материальной точки определяется как

T = m c 2 1 − v 2 / c 2 − m c 2 , {\displaystyle T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2},}

где   m {\displaystyle \ m} — масса,   v {\displaystyle \ v} — скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта,   c {\displaystyle \ c} — скорость света в вакууме ( m c 2 {\displaystyle mc^{2}} — энергия покоя). Как и в классическом случае, имеет место соотношение   F → d s → = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} , получаемое посредством умножения на d s → = v → d t {\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} выражения второго закона Ньютона (в виде   F → = m ⋅ d ( v → / 1 − v 2 / c 2 ) / d t {\displaystyle \ {\vec {F}}=m\cdot {\rm {d}}({\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}})/{\rm {d}}t} ).

Выражение для   T {\displaystyle \ T} можно переписать в форме T = m v 2 / ( 1 − v 2 / c 2 + 1 − v 2 / c 2 ) . {\displaystyle T=mv^{2}/(1-v^{2}/c^{2}+{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}).} При малых скоростях ( v ≪ c {\displaystyle v\ll c} ) оно переходит в классическую формулу   T = 1 / 2 ⋅ m v 2 {\displaystyle \ T=1/2\cdot mv^{2}} .

Свойства кинетической энергии

  • Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему[1].
  • Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта. Кинетическая энергия не зависит от положения точки, направления её скорости и зависит лишь от модуля скорости или, что то же самое, от квадрата её скорости[1].
  • Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае. Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
  • Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея[1]. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергии[8][9].

Физический смысл кинетической энергии

Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии[10]:

  A 12 = T 2 − T 1 . {\displaystyle \ A_{12}=T_{2}-T_{1}.}

Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения   F → d s → = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} между состояниями 1 и 2).

Соотношение кинетической и внутренней энергии

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — постоянная Больцмана.

См. также

Примечания

  1. 1 2 3 4 Айзерман, 1980, с. 49.
  2. Тарг С. М. Кинетическая энергия // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 360. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
  3. Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. 3.2. Кинематика релятивистских частиц // Современная электродинамика, часть 1. Микроскопическая теория. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — С. 238. — 736 с. — 1000 экз. — ISBN 5-93972-164-8.
  4. Мах Э.  Механика. Историко-критический очерк её развития. — Ижевск: «РХД», 2000. — С. 252. — 456 с. — ISBN 5-89806-023-5.
  5. Голубева О. В. Теоретическая механика. — М.: «Высшая школа», 1968. — С. 243—245.
  6. 1 2 Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.
  7. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики, 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с., см. § 26.
  8. ↑ Айзерман, 1980, с. 54.
  9. ↑ Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» // УФН, 59, с. 325—362, (1956)
  10. Сивухин Д. В. § 22. Работа и кинетическая энергия. // Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 131. — 520 с.

Литература

Кинетическая энергия — Википедия. Что такое Кинетическая энергия

Кинети́ческая эне́ргия — скалярная функция, являющаяся мерой движения материальных точек, образующих рассматриваемую механическую систему, и зависящая только от масс и модулей скоростей этих точек[1]. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как

T = ∑ m i v i 2 2 {\displaystyle T=\sum {{m_{i}v_{i}^{2}} \over 2}} ,

где индекс   i {\displaystyle \ i} нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения[2]. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением[3]. Когда тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: T {\displaystyle T} , E k i n {\displaystyle E_{kin}} , K {\displaystyle K} и другие. В системе СИ она измеряется в джоулях (Дж).

История понятия

Впервые понятие кинетической энергии было введено в трудах Готфрида Лейбница (1695 г.), посвящённых понятию «живой силы»[4].

Кинетическая энергия в классической механике

Случай одной материальной точки

По определению, кинетической энергией материальной точки массой m {\displaystyle m} называется величина

T = m v 2 2 {\displaystyle T={{mv^{2}} \over 2}} ,

при этом предполагается, что скорость точки v {\displaystyle v} всегда значительно меньше скорости света. С использованием понятия импульса ( p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} ) данное выражение примет вид   T = p 2 / 2 m {\displaystyle \ T=p^{2}/2m} .

Если F → {\displaystyle {\vec {F}}} — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, выражение второго закона Ньютона запишется как F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} . Скалярно умножив его на перемещение материальной точки d s → = v → d t {\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} и учитывая, что a → = d v → / d t {\displaystyle {\vec {a}}={\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t} , причём d ( v 2 ) / d t = d ( v → ⋅ v → ) / d t = 2 v → ⋅ d v → / d t {\displaystyle {\rm {d}}(v^{2})/{\rm {d}}t={\rm {d}}({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/{\rm {d}}t=2{\vec {v}}\cdot {\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t} , получим   F → d s → = d ( m v 2 / 2 ) = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}(mv^{2}/2)={\rm {d}}T} .

Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина   T {\displaystyle \ T} остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является интегралом движения.

Случай абсолютно твёрдого тела

При рассмотрении движения абсолютно твёрдого тела его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя формулу Кёнига, в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и вращательного движения:

T = M v 2 2 + I ω 2 2 . {\displaystyle T={\frac {Mv^{2}}{2}}+{\frac {I\omega ^{2}}{2}}.}

Здесь   M {\displaystyle \ M} — масса тела,   v {\displaystyle \ v} — скорость центра масс, ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} и I {\displaystyle I} — угловая скорость тела и его момент инерции относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс[5].

Кинетическая энергия в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа ρ = d M / d V {\displaystyle \rho ={\rm {d}}M/{\rm {d}}V} . Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью v → {\displaystyle {\vec {v}}} , то есть плотность кинетической энергии w T = d T / d V {\displaystyle w_{T}={\rm {d}}T/{\rm {d}}V} (Дж/м3), запишется:

w T = ρ v α v α 2 , {\displaystyle w_{T}=\rho {\frac {v_{\alpha }v_{\alpha }}{2}},}

где по повторяющемуся индексу α = x , y , z {\displaystyle {\alpha }=x,y,z} , означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.

Поскольку в турбулентном потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса[6]. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить   ρ = ρ ¯ + ρ ′ {\displaystyle \ \rho ={\overline {\rho }}+\rho '} , v α = v α ¯ + v α ′ {\displaystyle v_{\alpha }={\overline {v_{\alpha }}}+v'_{\alpha }} , где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:

w T ¯ = 1 2 ρ v α v α ¯ = E s + E s t + E t , {\displaystyle {\overline {w_{T}}}={\frac {1}{2}}{\overline {\rho v_{\alpha }v_{\alpha }}}=E_{s}+E_{st}+E_{t},}

где E s = ρ ¯ v α ¯ v α ¯ / 2 {\displaystyle E_{s}={\overline {\rho }}\,{\overline {v_{\alpha }}}\,{\overline {v_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа, E t = ρ ¯ v α ′ v α ′ ¯ / 2 + ρ ′ v α ′ v α ′ ¯ / 2 {\displaystyle E_{t}={\overline {\rho }}\,{\overline {v'_{\alpha }\,v'_{\alpha }}}/2+{\overline {\rho 'v'_{\alpha }v'_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («плотность кинетической энергии турбулентности»[6], часто называемой просто «энергией турбулентности»), а E s t = S α v α ¯ {\displaystyle E_{st}=S_{\alpha }{\overline {v_{\alpha }}}} — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества ( S α = ρ ′ v α ′ ¯ {\displaystyle S_{\alpha }={\overline {\rho 'v'_{\alpha }}}} — плотность флуктуационного потока массы, или «плотность турбулентного импульса»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при преобразовании Галилея: кинетическая энергия упорядоченного движения E s {\displaystyle E_{s}} зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности E t {\displaystyle E_{t}} от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие внутренней энергии.

Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения общей циркуляции атмосферы и теории климата это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.

В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой оператор, записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором ( p ^ = − j ℏ ∇ {\displaystyle {\hat {p}}=-j\hbar \nabla } ,   j {\displaystyle \ j} — мнимая единица):

T ^ = p ^ 2 2 m = − ℏ 2 2 m Δ {\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }

где ℏ {\displaystyle \hbar } — редуцированная постоянная Планка, ∇ {\displaystyle \nabla } — оператор набла, Δ {\displaystyle \Delta } — оператор Лапласа. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера[7].

Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света, кинетическая энергия материальной точки определяется как

T = m c 2 1 − v 2 / c 2 − m c 2 , {\displaystyle T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2},}

где   m {\displaystyle \ m} — масса,   v {\displaystyle \ v} — скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта,   c {\displaystyle \ c} — скорость света в вакууме ( m c 2 {\displaystyle mc^{2}} — энергия покоя). Как и в классическом случае, имеет место соотношение   F → d s → = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} , получаемое посредством умножения на d s → = v → d t {\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} выражения второго закона Ньютона (в виде   F → = m ⋅ d ( v → / 1 − v 2 / c 2 ) / d t {\displaystyle \ {\vec {F}}=m\cdot {\rm {d}}({\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}})/{\rm {d}}t} ).

Выражение для   T {\displaystyle \ T} можно переписать в форме T = m v 2 / ( 1 − v 2 / c 2 + 1 − v 2 / c 2 ) . {\displaystyle T=mv^{2}/(1-v^{2}/c^{2}+{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}).} При малых скоростях ( v ≪ c {\displaystyle v\ll c} ) оно переходит в классическую формулу   T = 1 / 2 ⋅ m v 2 {\displaystyle \ T=1/2\cdot mv^{2}} .

Свойства кинетической энергии

  • Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему[1].
  • Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта. Кинетическая энергия не зависит от положения точки, направления её скорости и зависит лишь от модуля скорости или, что то же самое, от квадрата её скорости[1].
  • Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае. Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
  • Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея[1]. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергии[8][9].

Физический смысл кинетической энергии

Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии[10]:

  A 12 = T 2 − T 1 . {\displaystyle \ A_{12}=T_{2}-T_{1}.}

Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения   F → d s → = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} между состояниями 1 и 2).

Соотношение кинетической и внутренней энергии

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — постоянная Больцмана.

См. также

Примечания

  1. 1 2 3 4 Айзерман, 1980, с. 49.
  2. Тарг С. М. Кинетическая энергия // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 360. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
  3. Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. 3.2. Кинематика релятивистских частиц // Современная электродинамика, часть 1. Микроскопическая теория. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — С. 238. — 736 с. — 1000 экз. — ISBN 5-93972-164-8.
  4. Мах Э.  Механика. Историко-критический очерк её развития. — Ижевск: «РХД», 2000. — С. 252. — 456 с. — ISBN 5-89806-023-5.
  5. Голубева О. В. Теоретическая механика. — М.: «Высшая школа», 1968. — С. 243—245.
  6. 1 2 Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.
  7. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики, 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с., см. § 26.
  8. ↑ Айзерман, 1980, с. 54.
  9. ↑ Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» // УФН, 59, с. 325—362, (1956)
  10. Сивухин Д. В. § 22. Работа и кинетическая энергия. // Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 131. — 520 с.

Литература

Кинетическая энергия — Википедия. Что такое Кинетическая энергия

Кинети́ческая эне́ргия — скалярная функция, являющаяся мерой движения материальных точек, образующих рассматриваемую механическую систему, и зависящая только от масс и модулей скоростей этих точек[1]. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как

T = ∑ m i v i 2 2 {\displaystyle T=\sum {{m_{i}v_{i}^{2}} \over 2}} ,

где индекс   i {\displaystyle \ i} нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения[2]. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением[3]. Когда тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: T {\displaystyle T} , E k i n {\displaystyle E_{kin}} , K {\displaystyle K} и другие. В системе СИ она измеряется в джоулях (Дж).

История понятия

Впервые понятие кинетической энергии было введено в трудах Готфрида Лейбница (1695 г.), посвящённых понятию «живой силы»[4].

Кинетическая энергия в классической механике

Случай одной материальной точки

По определению, кинетической энергией материальной точки массой m {\displaystyle m} называется величина

T = m v 2 2 {\displaystyle T={{mv^{2}} \over 2}} ,

при этом предполагается, что скорость точки v {\displaystyle v} всегда значительно меньше скорости света. С использованием понятия импульса ( p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} ) данное выражение примет вид   T = p 2 / 2 m {\displaystyle \ T=p^{2}/2m} .

Если F → {\displaystyle {\vec {F}}} — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, выражение второго закона Ньютона запишется как F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} . Скалярно умножив его на перемещение материальной точки d s → = v → d t {\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} и учитывая, что a → = d v → / d t {\displaystyle {\vec {a}}={\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t} , причём d ( v 2 ) / d t = d ( v → ⋅ v → ) / d t = 2 v → ⋅ d v → / d t {\displaystyle {\rm {d}}(v^{2})/{\rm {d}}t={\rm {d}}({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/{\rm {d}}t=2{\vec {v}}\cdot {\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t} , получим   F → d s → = d ( m v 2 / 2 ) = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}(mv^{2}/2)={\rm {d}}T} .

Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина   T {\displaystyle \ T} остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является интегралом движения.

Случай абсолютно твёрдого тела

При рассмотрении движения абсолютно твёрдого тела его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя формулу Кёнига, в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и вращательного движения:

T = M v 2 2 + I ω 2 2 . {\displaystyle T={\frac {Mv^{2}}{2}}+{\frac {I\omega ^{2}}{2}}.}

Здесь   M {\displaystyle \ M} — масса тела,   v {\displaystyle \ v} — скорость центра масс, ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} и I {\displaystyle I} — угловая скорость тела и его момент инерции относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс[5].

Кинетическая энергия в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа ρ = d M / d V {\displaystyle \rho ={\rm {d}}M/{\rm {d}}V} . Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью v → {\displaystyle {\vec {v}}} , то есть плотность кинетической энергии w T = d T / d V {\displaystyle w_{T}={\rm {d}}T/{\rm {d}}V} (Дж/м3), запишется:

w T = ρ v α v α 2 , {\displaystyle w_{T}=\rho {\frac {v_{\alpha }v_{\alpha }}{2}},}

где по повторяющемуся индексу α = x , y , z {\displaystyle {\alpha }=x,y,z} , означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.

Поскольку в турбулентном потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса[6]. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить   ρ = ρ ¯ + ρ ′ {\displaystyle \ \rho ={\overline {\rho }}+\rho '} , v α = v α ¯ + v α ′ {\displaystyle v_{\alpha }={\overline {v_{\alpha }}}+v'_{\alpha }} , где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:

w T ¯ = 1 2 ρ v α v α ¯ = E s + E s t + E t , {\displaystyle {\overline {w_{T}}}={\frac {1}{2}}{\overline {\rho v_{\alpha }v_{\alpha }}}=E_{s}+E_{st}+E_{t},}

где E s = ρ ¯ v α ¯ v α ¯ / 2 {\displaystyle E_{s}={\overline {\rho }}\,{\overline {v_{\alpha }}}\,{\overline {v_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа, E t = ρ ¯ v α ′ v α ′ ¯ / 2 + ρ ′ v α ′ v α ′ ¯ / 2 {\displaystyle E_{t}={\overline {\rho }}\,{\overline {v'_{\alpha }\,v'_{\alpha }}}/2+{\overline {\rho 'v'_{\alpha }v'_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («плотность кинетической энергии турбулентности»[6], часто называемой просто «энергией турбулентности»), а E s t = S α v α ¯ {\displaystyle E_{st}=S_{\alpha }{\overline {v_{\alpha }}}} — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества ( S α = ρ ′ v α ′ ¯ {\displaystyle S_{\alpha }={\overline {\rho 'v'_{\alpha }}}} — плотность флуктуационного потока массы, или «плотность турбулентного импульса»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при преобразовании Галилея: кинетическая энергия упорядоченного движения E s {\displaystyle E_{s}} зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности E t {\displaystyle E_{t}} от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие внутренней энергии.

Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения общей циркуляции атмосферы и теории климата это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.

В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой оператор, записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором ( p ^ = − j ℏ ∇ {\displaystyle {\hat {p}}=-j\hbar \nabla } ,   j {\displaystyle \ j} — мнимая единица):

T ^ = p ^ 2 2 m = − ℏ 2 2 m Δ {\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }

где ℏ {\displaystyle \hbar } — редуцированная постоянная Планка, ∇ {\displaystyle \nabla } — оператор набла, Δ {\displaystyle \Delta } — оператор Лапласа. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера[7].

Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света, кинетическая энергия материальной точки определяется как

T = m c 2 1 − v 2 / c 2 − m c 2 , {\displaystyle T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2},}

где   m {\displaystyle \ m} — масса,   v {\displaystyle \ v} — скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта,   c {\displaystyle \ c} — скорость света в вакууме ( m c 2 {\displaystyle mc^{2}} — энергия покоя). Как и в классическом случае, имеет место соотношение   F → d s → = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} , получаемое посредством умножения на d s → = v → d t {\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} выражения второго закона Ньютона (в виде   F → = m ⋅ d ( v → / 1 − v 2 / c 2 ) / d t {\displaystyle \ {\vec {F}}=m\cdot {\rm {d}}({\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}})/{\rm {d}}t} ).

Выражение для   T {\displaystyle \ T} можно переписать в форме T = m v 2 / ( 1 − v 2 / c 2 + 1 − v 2 / c 2 ) . {\displaystyle T=mv^{2}/(1-v^{2}/c^{2}+{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}).} При малых скоростях ( v ≪ c {\displaystyle v\ll c} ) оно переходит в классическую формулу   T = 1 / 2 ⋅ m v 2 {\displaystyle \ T=1/2\cdot mv^{2}} .

Свойства кинетической энергии

  • Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему[1].
  • Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта. Кинетическая энергия не зависит от положения точки, направления её скорости и зависит лишь от модуля скорости или, что то же самое, от квадрата её скорости[1].
  • Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае. Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
  • Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея[1]. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергии[8][9].

Физический смысл кинетической энергии

Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии[10]:

  A 12 = T 2 − T 1 . {\displaystyle \ A_{12}=T_{2}-T_{1}.}

Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения   F → d s → = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} между состояниями 1 и 2).

Соотношение кинетической и внутренней энергии

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — постоянная Больцмана.

См. также

Примечания

  1. 1 2 3 4 Айзерман, 1980, с. 49.
  2. Тарг С. М. Кинетическая энергия // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 360. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
  3. Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. 3.2. Кинематика релятивистских частиц // Современная электродинамика, часть 1. Микроскопическая теория. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — С. 238. — 736 с. — 1000 экз. — ISBN 5-93972-164-8.
  4. Мах Э.  Механика. Историко-критический очерк её развития. — Ижевск: «РХД», 2000. — С. 252. — 456 с. — ISBN 5-89806-023-5.
  5. Голубева О. В. Теоретическая механика. — М.: «Высшая школа», 1968. — С. 243—245.
  6. 1 2 Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.
  7. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики, 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с., см. § 26.
  8. ↑ Айзерман, 1980, с. 54.
  9. ↑ Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» // УФН, 59, с. 325—362, (1956)
  10. Сивухин Д. В. § 22. Работа и кинетическая энергия. // Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 131. — 520 с.

Литература

Что такое кинетическая энергия

Кинетическая энергия – это энергия, создаваемая движущимся телом. На греческом языке кинетика означает «движение», в то время как энергия означает «работа». Другими словами, кинетическая энергия – это работа, которую тело выполняет, когда оно движется.

Мы можем воспользоваться кинетической энергией многих природных явлений. Например, движение воды в реке превращается в электричество благодаря электростанциям. Энергия ветра – это кинетическая энергия воздуха. Когда мы прибиваем гвоздь молотком, мы используем кинетическую энергию молотка при его перемещении.

Кинетическая энергия в физике измеряется в джоулях , сокращенно буквой J.

Формула кинетической энергии

Для расчета кинетической энергии тел используется уравнение:

Это означает, что кинетическая энергия Ec равна массе тела m, умноженной на квадрат скорости v, делённые на 2.

Мы можем сделать вывод, что чем больше масса, тем больше энергия, и что энергия пропорциональна скорости, умноженной на себя.

Кинетическая энергия не является вектором. Это означает, что если вы бросаете шар со скоростью 5 м / с, шар будет иметь одинаковую кинетическую энергию, независимо от того, бросаете ли вы его влево или вправо или вверх.

Кинетическая энергия зависит от массы и скорости.

Гоночные машины спроектированы с наименьшей массой для улучшения характеристик.

Кинетическая энергия зависит от массы и скорости тела. Это означает, что чем больше или быстрее объект, тем больше энергии он производит.

Примером вышесказанного может быть следующее: грузовик больше, чем автомобиль; Если оба едут с одинаковой скоростью и врезаются в стену, урон, нанесенный грузовиком, будет больше. В этом случае грузовик обладает большей кинетической энергией.

А теперь представьте: две одинаковые машины едут, одна со скоростью 50 км / ч, а другая со скоростью 100 км / ч. Чем выше скорость, тем серьезнее авария.

Таким образом, кинетическая энергия зависит от квадрата скорости. Это означает, что когда скорость объекта удваивается, его кинетическая энергия увеличивается в четыре раза.

Автомобиль, движущийся со скоростью 60 км / ч, имеет в четыре раза больше кинетической энергии, чем автомобиль, движущийся со скоростью 30 км / ч, и, следовательно, в четыре раза больший потенциал разрушения в случае аварии.

Как рассчитать кинетическую энергию тела?

В аэропорту хотят рассчитать кинетическую энергию 30-килограммовой упаковки в системе, которая движется со скоростью 0,500 м / с. Как мы это делаем?

Решение

Мы знаем массу и скорость упаковки, поэтому используем формулу:

Подставляя значения, имеем:

Рассуждение

Единицей кинетической энергии является джоуль, которая является той же для единицы работы. Обратите внимание, что, несмотря на то, что он тяжелый, его кинетическая энергия не так велика из-за его низкой скорости.

Ключевые моменты для запоминания

  • Тело имеет кинетическую энергию, только если оно находится в движении.
  • Кинетическая энергия зависит от массы и скорости тела.

Задачи на кинетическую энергию и решение

Задача 1 на нахождение кинетической энергии

Слон в 6000 кг бежит со скоростью 10 м / с. Какова его кинетическая энергия? Какова скорость пушечного ядра весом 1 кг, если у него была та же самая кинетическая энергия слона?

Ответ

Используя уравнение кинетической энергии, энергия слона равна:

Рассчитав кинетическую энергию, мы можем получить скорость пули, очистив v:

Это означает, что скорость пули равна 775 м / с. Сравните это со скоростью слона: вот это разница!

Задача 2

Мужчина врезался в столб на своей машине. Когда он пошел, чтобы сообщить о катастрофе, он сказал, что ехал с допустимой скоростью во время аварии. Но следователь помнил физику 7 и 8 класса и установил, что скорость транспортного средства была в два раза выше, чем утверждал водитель. Какова взаимосвязь между кинетической энергией и скоростью, сообщаемой человеком, и кинетической энергией со скоростью, рассчитанной следователем?

Ответ

Мы будем рассматривать Ec1 как кинетическую энергию транспортного средства на скорости v1, сообщаемой человеком, и Ec2 как кинетическую энергию со значением скорости v2, рассчитанным исследователем. Соотношение между кинетическими энергиями рассчитывается путем деления энергий следующим образом:

Следователь сказал, что скорость во время аварии была вдвое выше, чем сообщал человек, то есть:

Подставим значение скорости в уравнение:

Исключая похожие термины, мы имеем:

Это означает, что кинетическая энергия в соответствии со скоростью, сообщаемой человеком, составляет четверть кинетической энергии по расчетам следователя. Проще говоря, ущерб, нанесенный автомобилем, был в четыре раза больше, чем сообщал мужчина.

 

Кинетическая энергия - Википедия

Кинети́ческая эне́ргия

— скалярная функция, являющаяся мерой движения материальных точек, образующих рассматриваемую механическую систему, и зависящая только от масс и модулей скоростей этих точек[1]. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как

T = ∑ m i v i 2 2 {\displaystyle T=\sum {{m_{i}v_{i}^{2}} \over 2}} ,

где индекс   i {\displaystyle \ i} нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного дви

История понятия

Впервые понятие кинетической энергии было введено в трудах Готфрида Лейбница (1695 г.), посвящённых понятию «живой силы»[2].

Кинетическая энергия в классической механике

Случай одной материальной точки

По определению, кинетической энергией материальной точки массой m {\displaystyle m} называется величина

T = m v 2 2 {\displaystyle T={{mv^{2}} \over 2}} ,

при этом предполагается, что скорость точки v {\displaystyle v} всегда значительно меньше скорости света. С использованием понятия импульса ( p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} ) данное выражение примет вид   T = p 2 / 2 m {\displaystyle \ T=p^{2}/2m} .

Если F → {\displaystyle {\vec {F}}} — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, выражение второго закона Ньютона запишется как F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} . Скалярно умножив его на перемещение материальной точки d s → = v → d t {\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} и учитывая, что a → = d v → / d t {\displaystyle {\vec {a}}={\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t} , причём d ( v 2 ) / d t = d ( v → ⋅ v → ) / d t = 2 v → ⋅ d v → / d t {\displaystyle {\rm {d}}(v^{2})/{\rm {d}}t={\rm {d}}({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/{\rm {d}}t=2{\vec {v}}\cdot {\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t} , получим   F → d s → = d ( m v 2 / 2 ) = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}(mv^{2}/2)={\rm {d}}T} .

Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина   T {\displaystyle \ T} остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является интегралом движения.

Случай абсолютно твёрдого тела

При рассмотрении движения абсолютно твёрдого тела его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя формулу Кёнига, в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и вращательного движения:

T = M v 2 2 + I ω 2 2 . {\displaystyle T={\frac {Mv^{2}}{2}}+{\frac {I\omega ^{2}}{2}}.}

Здесь   M {\displaystyle \ M} — масса тела,   v {\displaystyle \ v} — скорость центра масс, ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} и I {\displaystyle I} — угловая скорость тела и его момент инерции относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс[3].

Кинетическая энергия в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа ρ = d M / d V {\displaystyle \rho ={\rm {d}}M/{\rm {d}}V} . Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью v → {\displaystyle {\vec {v}}} , то есть плотность кинетической энергии w T = d T / d V {\displaystyle w_{T}={\rm {d}}T/{\rm {d}}V} (Дж/м3), запишется:

w T = ρ v α v α 2 , {\displaystyle w_{T}=\rho {\frac {v_{\alpha }v_{\alpha }}{2}},}

где по повторяющемуся индексу α = x , y , z {\displaystyle {\alpha }=x,y,z} , означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.

Поскольку в турбулентном потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса[4]. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить   ρ = ρ ¯ + ρ ′ {\displaystyle \ \rho ={\overline {\rho }}+\rho '} , v α = v α ¯ + v α ′ {\displaystyle v_{\alpha }={\overline {v_{\alpha }}}+v'_{\alpha }} , где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:

w T ¯ = 1 2 ρ v α v α ¯ = E s + E s t + E t , {\displaystyle {\overline {w_{T}}}={\frac {1}{2}}{\overline {\rho v_{\alpha }v_{\alpha }}}=E_{s}+E_{st}+E_{t},}

где E s = ρ ¯ v α ¯ v α ¯ / 2 {\displaystyle E_{s}={\overline {\rho }}\,{\overline {v_{\alpha }}}\,{\overline {v_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа, E t = ρ ¯ v α ′ v α ′ ¯ / 2 + ρ ′ v α ′ v α ′ ¯ / 2 {\displaystyle E_{t}={\overline {\rho }}\,{\overline {v'_{\alpha }\,v'_{\alpha }}}/2+{\overline {\rho 'v'_{\alpha }v'_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («плотность кинетической энергии турбулентности»[4], часто называемой просто «энергией турбулентности»), а E s t = S α v α ¯ {\displaystyle E_{st}=S_{\alpha }{\overline {v_{\alpha }}}} — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества ( S α = ρ ′ v α ′ ¯ {\displaystyle S_{\alpha }={\overline {\rho 'v'_{\alpha }}}} — плотность флуктуационного потока массы, или «плотность турбулентного импульса»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при преобразовании Галилея: кинетическая энергия упорядоченного движения E s {\displaystyle E_{s}} зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности E t {\displaystyle E_{t}} от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие внутренней энергии.

Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения общей циркуляции атмосферы и теории климата это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.

В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой оператор, записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором ( p ^ = − j ℏ ∇ {\displaystyle {\hat {p}}=-j\hbar \nabla } ,   j {\displaystyle \ j} — мнимая единица):

T ^ = p ^ 2 2 m = − ℏ 2 2 m Δ {\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }

где ℏ {\displaystyle \hbar } — редуцированная постоянная Планка, ∇ {\displaystyle \nabla } — оператор набла, Δ {\displaystyle \Delta } — оператор Лапласа. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера[5].

Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света, кинетическая энергия материальной точки определяется как

T = m c 2 1 − v 2 / c 2 − m c 2 , {\displaystyle T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2},}

где   m {\displaystyle \ m} — масса,   v {\displaystyle \ v} — скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта,   c {\displaystyle \ c} — скорость света в вакууме ( m c 2 {\displaystyle mc^{2}} — энергия покоя). Как и в классическом случае, имеет место соотношение   F → d s → = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} , получаемое посредством умножения на d s → = v → d t {\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} выражения второго закона Ньютона (в виде   F → = m ⋅ d ( v → / 1 − v 2 / c 2 ) / d t {\displaystyle \ {\vec {F}}=m\cdot {\rm {d}}({\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}})/{\rm {d}}t} ).

Выражение для   T {\displaystyle \ T} можно переписать в форме T = m v 2 / ( 1 − v 2 / c 2 + 1 − v 2 / c 2 ) . {\displaystyle T=mv^{2}/(1-v^{2}/c^{2}+{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}).} При малых скоростях ( v ≪ c {\displaystyle v\ll c} ) оно переходит в классическую формулу   T = 1 / 2 ⋅ m v 2 {\displaystyle \ T=1/2\cdot mv^{2}} .

Свойства кинетической энергии

  • Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему[1].
  • Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта. Кинетическая энергия не зависит от положения точки, направления её скорости и зависит лишь от модуля скорости или, что то же самое, от квадрата её скорости[1].
  • Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае. Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
  • Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея[1]. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергии[6][7].

Физический смысл кинетической энергии

Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии[8]:

  A 12 = T 2 − T 1 . {\displaystyle \ A_{12}=T_{2}-T_{1}.}

Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения   F → d s → = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} между состояниями 1 и 2).

Соотношение кинетической и внутренней энергии

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — постоянная Больцмана.

См. также

Примечания

  1. 1 2 3 4 Айзерман, 1980, с. 49.
  2. Мах Э.  Механика. Историко-критический очерк её развития. — Ижевск: «РХД», 2000. — С. 252. — 456 с. — ISBN 5-89806-023-5.
  3. Голубева О. В. Теоретическая механика. — М.: «Высшая школа», 1968. — С. 243—245.
  4. 1 2 Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.
  5. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики, 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с., см. § 26.
  6. ↑ Айзерман, 1980, с. 54.
  7. ↑ Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» // УФН, 59, с. 325—362, (1956)
  8. Сивухин Д. В. § 22. Работа и кинетическая энергия. // Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 131. — 520 с.

Литература

кинетическая энергия | Definition & Formula

Раскройте силы потенциальной энергии, кинетической энергии и трения за маятником дедушкиных часов Изменения потенциальной и кинетической энергии при качании маятника. Encyclopædia Britannica, Inc. Просмотреть все видео этой статьи

Кинетическая энергия , форма энергии, которую объект или частица имеет в силу своего движения. Если работа, которая передает энергию, выполняется на объекте путем приложения чистой силы, объект ускоряется и, таким образом, получает кинетическую энергию.Кинетическая энергия является свойством движущегося объекта или частицы и зависит не только от его движения, но и от его массы. Вид движения может быть перемещением (или движением по пути от одного места к другому), вращением вокруг оси, вибрацией или любой комбинацией движений.

Основные вопросы

Что такое кинетическая энергия?

Кинетическая энергия - это форма энергии, которую объект или частица имеют в силу своего движения. Если работа, которая передает энергию, выполняется на объекте путем приложения чистой силы, объект ускоряется и, таким образом, получает кинетическую энергию.Кинетическая энергия является свойством движущегося объекта или частицы и зависит не только от его движения, но и от его массы.

Каким образом определяется кинетическая энергия объекта?

Поступательная кинетическая энергия тела равна половине произведения его массы, м, и квадрата его скорости, v , или 1/2 мВ, , 2 . Для вращающегося тела момент инерции I соответствует массе, а угловая скорость (омега) ω соответствует линейной или поступательной скорости.Соответственно, вращательная кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции на квадрат угловой скорости или 1/2 2 .

Какие единицы энергии обычно связаны с кинетической энергией?

Для бытовых предметов единицей энергии в системе метр-килограмм-секунда является джоуль. Масса в 2 кг (4,4 фунта на Земле), движущаяся со скоростью один метр в секунду (чуть более двух миль в час), имеет кинетическую энергию в один джоул.Единица измерения в системе сантиметр-грамм-секунда - эрг, 10 −7 джоулей, что эквивалентно кинетической энергии комара в полете. Электрон-вольт используется на атомном и субатомном уровнях.

Поступательная кинетическая энергия тела равна половине произведения его массы, м и квадрата его скорости, v или 1 / 2 mv 2 .

Эта формула действительна только для низких и относительно высоких скоростей; для чрезвычайно высокоскоростных частиц это дает слишком малые значения.Когда скорость объекта приближается к скорости света (3 × 10 , 8 метров в секунду или 186 000 миль в секунду), его масса увеличивается, и должны использоваться законы относительности. Релятивистская кинетическая энергия равна увеличению массы частицы по сравнению с той, которая находится в покое, умноженной на квадрат скорости света.

Единицей энергии в системе метр-килограмм-секунда является джоуль. Масса в два килограмма (что-то весом 4,4 фунта на Земле), движущаяся со скоростью один метр в секунду (чуть более двух миль в час), имеет кинетическую энергию в один джоул.В системе сантиметр-грамм-секунда единицей энергии является эрг, 10 -7 джоулей, что эквивалентно кинетической энергии комара в полете. Другие единицы энергии также используются в определенных контекстах, таких как еще меньшая единица, электрон-вольт, в атомном и субатомном масштабе.

Получите эксклюзивный доступ к контенту из нашего первого издания 1768 года с вашей подпиской. Подпишитесь сегодня

Для вращающегося тела момент инерции I соответствует массе, а угловая скорость (омега) ω соответствует линейной или поступательной скорости.Соответственно, вращательная кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции и квадрата угловой скорости или 1 / 2 2 .

Общая кинетическая энергия тела или системы равна сумме кинетических энергий, возникающих в результате каждого типа движения. См. Механика: вращение вокруг движущейся оси.

.
Перехватчик кинетической энергии - Википедия, wolna encyklopedia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Przejdź do nawigacji Przejdź do Wyszukiwania W Wikipedii nie ma jeszcze artykułu o takiej nazwie. Możesz:
  • utworzyć go ,
  • zaproponować, żeby inni go napisali,
  • poszukać tekstu «Перехватчик кинетической энергии» в артикулах,
  • poszukać strony o tym tytule na jednym z siostrzanych projektów Wikipedii:
Commons Wikiźródła Wikisłownik Wikicytaty Wikibooks Викиновости
Źródło: „https: // pl.wikipedia.org/wiki/Kinetic_energy_interceptor» ,

Что такое кинетическая энергия? | Живая наука

Кинетическая энергия - это энергия массы в движении. Кинетическая энергия объекта - это энергия, которую он имеет благодаря своему движению.

В ньютоновской (классической) механике, которая описывает макроскопические объекты, движущиеся с малой долей скорости света, кинетическая энергия ( E ) массивного тела в движении может быть рассчитана как половина его массы ( м ) умножить на квадрат его скорости ( против ): E = ½mv 2 .Обратите внимание, что энергия - это скалярное количество , то есть она не зависит от направления и всегда положительна. Когда мы удваиваем массу, мы удваиваем энергию; однако, когда мы удваиваем скорость, энергия увеличивается в четыре раза.

Начало работы

Возможно, наиболее важным свойством кинетической энергии является ее способность выполнять работы . Работа определяется как сила, действующая на объект в направлении движения. Работа и энергия настолько тесно связаны, что взаимозаменяемы.В то время как энергия движения обычно выражается как E = ½ mv 2 , работа ( Вт ) чаще рассматривается как сила ( F ), умноженная на расстояние ( d ): Вт = Fd . Если мы хотим изменить кинетическую энергию массивного объекта, мы должны поработать над этим.

Например, для того, чтобы поднять тяжелый объект, мы должны проделать работу, чтобы преодолеть силу гравитации и переместить объект вверх. Если объект в два раза тяжелее, то для его подъема на такое же расстояние требуется вдвое больше работы.Также требуется вдвое больше работы, чтобы поднять один и тот же объект в два раза. Точно так же, чтобы скользить тяжелый объект по полу, мы должны преодолеть силу трения между объектом и полом. Требуемая работа пропорциональна весу объекта и расстоянию, на которое он перемещается. (Обратите внимание, что если вы несете пианино на спине по коридору, вы фактически не выполняете никакой реальной работы.)

Потенциальная энергия

Кинетическая энергия может быть сохранена. Например, для подъема веса и размещения его на полке или для сжатия пружины требуется работа.Что происходит с энергией тогда? Мы знаем, что энергия сохраняется, то есть она не может быть создана или уничтожена; он может быть преобразован только из одной формы в другую. В этих двух случаях кинетическая энергия преобразуется в потенциальную энергию , потому что, хотя она на самом деле не выполняет работу, она имеет потенциал для выполнения работы. Если мы уроним объект с полки или выпустим пружину, эта потенциальная энергия преобразуется обратно в кинетическую энергию.

Кинетическая энергия также может передаваться от одного тела к другому при столкновении, которое может быть упругим или неупругим .Одним из примеров упругого столкновения может быть удар одного бильярдного шара в другой. Игнорируя трение между шарами и столом или любое вращение, переданное битку, в идеале общая кинетическая энергия двух шаров после столкновения равна кинетической энергии битка до столкновения.

Примером неупругого столкновения может быть движущийся вагон, врезавшийся в подобный стационарный вагон и соединяющийся с ним. Общая энергия останется прежней, но масса новой системы увеличится вдвое.В результате две машины будут двигаться в одном и том же направлении на более низкой скорости, так что mv 2 2 = ½ mv 1 2 , где м - масса одной машины, v 1 - скорость первого автомобиля, а v 2 - скорость сцепленных автомобилей после столкновения. Разделив на м и взяв квадратный корень с обеих сторон, получим v 2 = √2 / 2 ∙ v 1 .(Обратите внимание, что v 2 ½ ½ v 1 .)

Кроме того, кинетическая энергия может быть преобразована в другие виды энергии и наоборот. Например, кинетическая энергия может быть преобразована в электрическую энергию с помощью генератора или в тепловую энергию с помощью тормозов на автомобиле. И наоборот, электрическая энергия может быть преобразована обратно в кинетическую энергию с помощью электродвигателя, тепловая энергия может быть преобразована в кинетическую энергию с помощью паровой турбины, а химическая энергия может быть преобразована в кинетическую энергию с помощью двигателя внутреннего сгорания.

Джим Лукас - независимый писатель и редактор, специализирующийся на физике, астрономии и технике. Он является генеральным директором Lucas Technologies .

,

Кинетическая энергия


2

Трение найдено там, где его не должно быть: в сверхтекучих жидкостях, близких к абсолютному нулю

1 февраля 2018 г. - Физики обнаружили неожиданное трение при вращении сверхтекучего гелия. Понимание происхождения и последствий трения имеет решающее значение для разработки любых устройств, которые опираются на ...


Когда ядра догоняют электроны

Апреле16, 2018 - В ходе аттосекундного исследования молекулы h3 физики обнаружили, что для легких атомных ядер, которые содержатся в большинстве органических и биологических молекул, корреляция между электронным и ядерным ...


Новая модель учитывает дополнительный фактор для улучшения нашего прогноза ядерного деления

27 декабря 2017 г. - Исследователи предложили улучшенную модель для прогнозирования генерации тепловой энергии от процессов ядерного деления, сосредоточившись на Уране-236.Эта модель может помочь повысить эффективность в ...


Горячие вибрирующие газы под электронным прожектором

12 декабря 2017 г. - Ученые изучили вибрацию четырех газов с помощью электронной микроскопии и спектроскопии. В сочетании с моделированием они измерили увеличенную вибрацию при 1000 ° C по сравнению с комнатой ...


Модифицированные квантовые точки

собирают больше энергии от света и меньше теряют для нагрева

Октябрь7, 2019 - Ученые синтезировали магнитно-легированные квантовые точки, которые улавливают кинетическую энергию электронов, создаваемых ультрафиолетовым светом, до того, как они теряются как ...


Закон динамики частиц гранулированных газов: увеличение температуры в системах охлаждения

23 марта 2018 г. - впервые ученые продемонстрировали, что кинетическая энергия частиц в гранулированных газах, таких как пылевые облака, может временно возрастать, даже если энергия постоянно извлекается из нее...


Квантовое оптическое охлаждение наночастиц

29 марта 2019 г. - Одним из важных требований для просмотра квантовых эффектов является удаление всей тепловой энергии из движения частицы, то есть охлаждение ее как можно ближе к абсолютному нулю температуры. Исследователи теперь один ...


Моделирование ионно-лучевой терапии

10 октября 2019 года. Группа физиков использовала моделирование методом Монте-Карло для получения последовательной теоретической интерпретации точных экспериментальных измерений ионных пучков в жидкой воде, что является наиболее актуальным...


Новый генератор электроэнергии на основе капель: капля воды генерирует 140 В, освещая 100 светодиодных ламп

5 февраля 2020 г. - Эффективное производство электроэнергии из капель дождя пошло еще дальше. Исследовательская группа недавно разработала генератор электричества на основе капель (DEG) с полевым эффектом ...


Инженеры собирают энергию сердца для питания спасательных устройств

Февраль4, 2019 - Согласно новому исследованию, движение сердца настолько мощно, что оно может заряжать спасательные устройства. Используя изобретение размером с копейку, можно использовать энергию сердца для имплантации энергии ...


,

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *