Сила гравитации очень предсказуема; она всегда в одном и том же направлении (вниз) и всегда имеет одну и ту же величину – масса * 9,8 Н/кг. Сила натяжения значительно менее предсказуема. Как его направление, так и его величина меняются, когда поплавок качается туда-сюда. Направление силы натяжения всегда направлено к точке поворота. Так как груз качается влево от своего положения равновесия, сила натяжения находится под углом – направлена ​​вверх и вправо. И по мере того, как боб качается вправо от своего положения равновесия, напряжение направлено вверх и влево. На приведенной ниже диаграмме показано направление этих двух сил в пяти различных положениях на пути маятника.

В физических ситуациях, когда силы, действующие на объект, не имеют одинакового, противоположного или перпендикулярного направления, принято разлагать одну или несколько сил на составляющие. Это была практика, используемая при анализе проблем с подвеской вывесок и задач с наклонной плоскостью. Обычно одна или несколько сил разлагаются на перпендикулярные составляющие, лежащие вдоль координатных осей, направленных в направлении ускорения или перпендикулярно ему. Таким образом, в случае маятника решается сила тяжести, поскольку сила натяжения уже направлена ​​перпендикулярно движению. На диаграмме справа показан маятник в положении справа от его положения равновесия и на полпути к точке максимального смещения. На схеме изображена система координатных осей, а сила тяжести разложена на две составляющие, лежащие вдоль этих осей. Одна из составляющих направлена ​​по касательной к дуге окружности, по которой движется маятниковый груз; этот компонент обозначен как Fgrav-тангенс. Другая компонента направлена ​​перпендикулярно дуге; он помечен как Fgrav-perp. Вы заметите, что перпендикулярная составляющая силы тяжести находится в направлении, противоположном силе натяжения. Вы также можете заметить, что сила натяжения немного больше этой составляющей силы тяжести. Тот факт, что сила натяжения (Ftens) больше, чем перпендикулярная составляющая силы тяжести (Fgrav-perp), означает, что результирующая сила будет перпендикулярна дуге движения грузика. Это должно быть так, поскольку мы ожидаем, что объекты, движущиеся по круговым траекториям, будут испытывать внутреннюю или центростремительную силу. Тангенциальная составляющая силы тяжести (Fgrav-тангенс) не уравновешивается любой другой силой. Таким образом, существует результирующая сила, направленная по другим осям координат. Именно эта тангенциальная составляющая силы тяжести действует как восстанавливающая сила. При движении маятника вправо от положения равновесия эта составляющая силы направлена ​​против его движения обратно к положению равновесия.

Приведенный выше анализ относится к одному месту на дуге маятника. В других местах вдоль дуги сила натяжения будет разной. Тем не менее, процесс разделения гравитации на две составляющие вдоль осей, перпендикулярных и касательной к дуге, остается прежним. На приведенной ниже диаграмме показаны результаты силового анализа для нескольких других положений.

Необходимо сделать пару замечаний. Во-первых, обратите внимание на диаграмму, когда груз смещается до своего максимального смещения вправо от положения равновесия. Это положение, в котором маятниковый груз на мгновение имеет скорость 0 м/с и меняет свое направление. Сила натяжения (Ftens) и перпендикулярная составляющая силы тяжести (Fgrav-perp) уравновешивают друг друга. В этот момент времени результирующая сила, направленная вдоль оси, перпендикулярной движению, отсутствует. Поскольку движение объекта равно на мгновение остановился , нет необходимости в центростремительной силе.

Во-вторых, обратите внимание на диаграмму, когда груз находится в положении равновесия (струна полностью вертикальна). В этом положении нет составляющей силы вдоль касательного направления. При движении через положение равновесия восстанавливающая сила моментально отсутствует. После того, как вернули в положение равновесия, возвращающая сила отсутствует. Возвращающая сила необходима только тогда, когда груз маятника смещен от положения равновесия. Вы также можете заметить, что сила натяжения (Ftens) больше, чем перпендикулярная составляющая силы тяжести (Fgrav-perp), когда груз проходит это положение равновесия. Поскольку груз движется по дуге окружности, в этом положении должна действовать центростремительная сила.

В предыдущей части этого урока мы исследовали синусоидальный характер движения массы на пружине. Аналогичное исследование мы проведем здесь для движения маятникового груза. Давайте предположим, что мы можем измерить величину, на которую груз маятника смещается влево или вправо от его положения равновесия или покоя с течением времени. Смещение вправо от положения равновесия будет рассматриваться как положительное смещение; а смещение влево будет рассматриваться как отрицательное смещение. Используя эту систему отсчета, положение равновесия будет рассматриваться как нулевое положение. И предположим, что мы построили график, показывающий изменение положения во времени. Результирующий график зависимости положения от времени показан ниже. Подобно тому, что наблюдалось для массы пружины, положение маятникового груза (измеренное вдоль дуги относительно его положения покоя) является функцией синуса времени.

Теперь предположим, что мы используем наш детектор движения, чтобы исследовать, как скорость маятника изменяется во времени. Когда маятник совершает 90 003 движений вперед и назад 90 004 , скорость постоянно меняется. Будут времена, когда скорость имеет отрицательное значение (для движения влево), и другие моменты времени, когда она будет положительной (для движения вправо). И, конечно, будут моменты времени, когда скорость равна 0 м/с. Если построить график изменения скорости с течением времени, результирующий график будет похож на показанный ниже.

Теперь попробуем понять взаимосвязь между положением боба по дуге его движения и скоростью, с которой он движется. Предположим, мы идентифицируем несколько мест вдоль дуги, а затем связываем эти положения со скоростью маятникового груза. На приведенном ниже рисунке показана попытка установить такую ​​связь между положением и скоростью.

Как часто говорят, картинка стоит тысячи слов. А теперь слова. График выше основан на положении равновесия (D), обозначенном как нулевое положение. Смещение влево от положения равновесия рассматривается как отрицательное положение. Смещение вправо считается положительным положением. Анализ графиков показывает, что скорость наименьшая при наибольшем смещении. И скорость наибольшая, когда смещение боба наименьшее. Чем дальше груз отошел от положения равновесия, тем медленнее он движется; и чем ближе грузик к положению равновесия, тем быстрее он движется. Это можно объяснить тем, что при удалении груза от положения равновесия действует восстанавливающая сила, противодействующая его движению. Эта сила замедляет движение боба. Так как груз перемещается влево из положения D в E в F в G, сила и ускорение направлены вправо, а скорость уменьшается по мере его движения по дуге из D в G. В точке G – максимальное смещение влево – маятник груз имеет скорость 0 м/с. Вы можете думать о бобе как о на мгновение остановился и готов изменить свое направление. Затем груз движется вправо по дуге от G к F, затем к E и D. При этом восстанавливающая сила направлена ​​вправо в том же направлении, что и груз. Эта сила будет ускорять груз, придавая ему максимальную скорость в положении D — положении равновесия. По мере того, как груз проходит положение D, он движется вправо по дуге к С, затем к В и затем к А. При этом действует направленная влево восстанавливающая сила, противодействующая его движению и заставляющая его замедляться. Таким образом, по мере увеличения смещения от D до A скорость уменьшается из-за противодействующей силы. Как только груз достигает положения А — максимального смещения вправо — он достигает скорости 0 м/с. Опять же, скорость боба наименьшая, когда смещение наибольшее. Боб завершает свой цикл, двигаясь влево от A до B, затем от C до D. По этой дуге от A до D восстанавливающая сила действует в направлении движения, таким образом ускоряя груз. Так что логично было бы заключить, что при уменьшении положения (по дуге от А до D) скорость увеличивается. Оказавшись в положении D, груз будет иметь нулевое смещение и максимальную скорость. Скорость наибольшая, когда смещение наименьшее. Анимация справа (используется с разрешения Викисклада; особая благодарность Хьюберту Кристиану) обеспечивает наглядное изображение этих принципов. Показанный вектор ускорения объединяет как перпендикулярное, так и тангенциальное ускорения в один вектор. Вы заметите, что этот вектор полностью касается дуги при максимальном смещении; это согласуется с анализом силы, рассмотренным выше. И вектор вертикальный (по направлению к центру дуги), когда находится в положении равновесия. Это также согласуется с приведенным выше силовым анализом.

В предыдущей главе учебника физики обсуждалась энергия, которой обладает маятник. Мы расширим это обсуждение здесь, поскольку попытаемся связать описанные выше характеристики движения с понятиями кинетической энергии, потенциальной энергии и полной механической энергии.

Кинетическая энергия, которой обладает объект, — это энергия, которой он обладает благодаря своему движению. Это величина, которая зависит как от массы, так и от скорости. Уравнение, связывающее кинетическую энергию (KE) с массой (m) и скоростью (v), имеет вид 9.0005

KE = ½•m•v ²

Чем быстрее движется объект, тем большей кинетической энергией он обладает. Мы можем объединить эту концепцию с приведенным выше обсуждением того, как скорость изменяется в ходе движения. Это смешение концепций привело бы нас к выводу, что кинетическая энергия маятникового груза увеличивается по мере того, как груз приближается к положению равновесия. И кинетическая энергия уменьшается по мере того, как груз удаляется от положения равновесия.

Потенциальная энергия, которой обладает объект, представляет собой накопленную энергию положения. В учебнике по физике обсуждаются два типа потенциальной энергии – гравитационная потенциальная энергия и упругая потенциальная энергия. Упругая потенциальная энергия присутствует только тогда, когда пружина (или другая упругая среда) сжимается или растягивается. Простой маятник не состоит из пружины. Форма потенциальной энергии, которой обладает маятниковый груз, — это гравитационная потенциальная энергия. Количество гравитационной потенциальной энергии зависит от массы (m) объекта и высоты (h) объекта. Уравнение для гравитационной потенциальной энергии (PE) равно

PE = m•g•h

, где g представляет собой силу гравитационного поля (иногда называемую ускорением, вызванным силой тяжести) и имеет значение 9,8 Н/кг.

Высота объекта выражается относительно некоторого произвольно назначенного нулевого уровня . Другими словами, высота должна измеряться как расстояние по вертикали над некоторой опорной точкой. Для маятникового боба самое нижнее положение принято называть исходным положением или нулевым уровнем. Таким образом, когда груз находится в положении равновесия (самом низком положении), его высота равна нулю, а его потенциальная энергия равна 0 Дж. Как и маятниковый груз назад и вперед , бывают моменты, когда груз уходит от положения равновесия. При этом его высота увеличивается по мере того, как он удаляется все дальше и дальше. Он достигает максимальной высоты, когда достигает положения максимального смещения от положения равновесия. По мере того, как груз движется к своему положению равновесия, он уменьшает свою высоту и уменьшает свою потенциальную энергию.

Теперь давайте соединим эти два понятия кинетической энергии и потенциальной энергии, рассматривая движение маятника, движущегося по дуге, показанной на диаграмме справа. Мы будем использовать гистограмму энергии, чтобы представить изменения в двух формах энергии. Количество каждой формы энергии представлено полосой. Высота полосы пропорциональна количеству этой формы энергии. В дополнение к полосе потенциальной энергии (PE) и полосе кинетической энергии (KE) есть третья полоса, обозначенная как TME. Полоса TME представляет собой общее количество механической энергии, которой обладает маятниковый груз. Полная механическая энергия – это просто сумма двух форм энергии – кинетической плюс потенциальной энергии. Потратьте некоторое время, чтобы изучить гистограммы, показанные ниже, для позиций A, B, D, F и G. Что вы заметили?

Когда вы смотрите на гистограммы, становится очевидным, что по мере того, как груз перемещается из точки A в D, кинетическая энергия увеличивается, а потенциальная энергия уменьшается. Однако общее количество этих двух форм энергии остается постоянным. Любая потеря потенциальной энергии при переходе из положения А в положение D проявляется в виде кинетической энергии. Существует преобразование потенциальной энергии в кинетическую энергию, когда груз перемещается из положения A в положение D. Однако полная механическая энергия остается постоянной. Мы бы сказали, что механическая энергия сохраняется. Когда боб перемещается от положения D к положению G, наблюдается обратное. Кинетическая энергия уменьшается по мере того, как груз движется вправо и (что более важно) вверх к положению G. Этому уменьшению кинетической энергии сопутствует увеличение потенциальной энергии. Энергия переходит из кинетической формы в потенциальную. Тем не менее, как показано на полосе TME, общее количество механической энергии сохраняется. Этот самый принцип сохранения энергии был объяснен в главе «Энергия» учебника «Физический класс».

Наше последнее обсуждение будет относиться к периоду маятника. Как обсуждалось ранее в этом уроке, период — это время, за которое вибрирующий объект завершает свой цикл. В случае с маятником это время, когда маятник начинает движение с одного

В испытаниях с 1 по 5 масса боба систематически изменялась, в то время как другие величины оставались постоянными. Таким образом, экспериментаторы смогли исследовать возможное влияние массы на период. Как видно из этих пяти испытаний, изменения массы мало влияют на период маятника.

В испытаниях 4 и 6-9 масса поддерживается постоянной на уровне 0,200 кг, а угол дуги поддерживается постоянным на уровне 15°. Однако длина маятника различна. Таким образом, экспериментаторы смогли исследовать возможное влияние длины струны на период. Как видно из этих пяти испытаний, изменения длины определенно влияют на период маятника. По мере удлинения нити период маятника увеличивается. Существует прямая зависимость между периодом и продолжительностью.

Наконец, экспериментаторы исследовали возможное влияние угла дуги на период в испытаниях 4 и 10-13. Масса поддерживается постоянной на уровне 0,200 кг, а длина струны остается постоянной на уровне 0,400 м. Как видно из этих пяти испытаний, изменения угла дуги практически не влияют на период маятника.

Таким образом, вывод из такого эксперимента состоит в том, что единственная переменная, влияющая на период маятника, — это длина струны. Увеличение длины приводит к увеличению периода. Но расследование не должно останавливаться на достигнутом. Количественное уравнение, связывающее эти переменные, может быть определено, если данные нанесены на график и проведен линейный регрессионный анализ. Два графика ниже представляют такой анализ. На каждом графике значения периода (зависимой переменной) размещены на вертикальной оси. На графике слева длина маятника отложена по горизонтальной оси. Форма кривой указывает на своего рода степенную зависимость между периодом и длиной. На графике справа изображен квадратный корень из длины маятника (длина в степени ½). Показаны результаты регрессионного анализа.

Анализ показывает, что данные и линия регрессии соответствуют графику справа лучше. Таким образом, график справа является основой для уравнения, связывающего период и длину. Для этих данных уравнение

Период = 2,0045•Длина ^0,5 + 0,0077

Используя T как символ периода и L как символ длины, уравнение можно переписать как

T = 2,0045•L ^0,5 + 0,007 обычно сообщаемое уравнение, основанное на теоретическом развитии, имеет вид

T = 2•Π•(л/г) ^0,5

, где g — постоянная, известная как сила гравитационного поля или ускорение свободного падения (9,8 Н/кг). Значение 2,0045, полученное в результате экспериментального исследования, хорошо согласуется с тем, что можно было бы ожидать от этого теоретически представленного уравнения. Подстановка значения g в это уравнение дает константу пропорциональности 2Π/g ^0,5 , что равно 2,0071, очень похоже на константу пропорциональности 2,0045, полученную в ходе эксперимента.

Используйте виджет Исследование маятника ниже, чтобы исследовать влияние длины маятника на период маятника. Просто введите значение длины в поле ввода и нажмите кнопку Submit 9.Кнопка 0497. Поэкспериментируйте с различными значениями длины маятника.