Нормальные колебания это: НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ | это… Что такое НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ?

alexxlab | 18.05.2023 | 0 | Разное

Нормальные колебания | это… Что такое Нормальные колебания?

Различные нормальные моды в 1D решётке.

Нормальные колебания или нормальные моды — набор характерных для колебательной системы типов гармонических колебаний. Каждое из нормальных колебаний физической системы, например, колебаний атомов в молекулах, характеризуется своей частотой. Набор частот нормальных колебаний составляет колебательный спектр. Произвольное колебание физической системы можно представить в виде суперпозиции нормальных колебаний. Вынужденные колебания физической системы имеют резонанс на частотах, которые совпадают с частотами нормальных колебаний.

Содержание 1 Нормальные колебания в молекулах 1.1 Общая теория 1.2 Дипольный момент 2 См. также 3 Примечания 4 Литература

Нормальные колебания в молекулах

Общая теория

Потенциальная энергия взаимодействия атомов в молекулах является определённой функцией их координат .

Эта функция в целом рассчитывается из квантовой механики в адиабатическом приближении или задаётся определёнными модельными потенциалами. Равновесные положения атомов в молекулах задаются условием минимума этой функции

.

Если вывести молекулу из равновесия так, что каждый атом сместится на некую величину , то в молекуле возникнут силы, которые стремятся вернуть атомы в положение равновесия, а потенциальная энергия возрастёт и станет равной

,

где і и j — индексы атомов, α и β — индексы осей координат,  — потенциальная энергия молекулы в положении равновесия, а коэффициенты определяются разложением потенциальной энергии в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия. Члены разложения соответствующие первым производным отсутствуют, так как положение равновесия — минимум потенциальной энергии и поэтому первые производные обращаются в нуль.

Уравнения движения для смещённых из положения равновесия атомов имеют следующий вид:

,

где  — масса i-того атома.

Если искать решения системы дифференциальных уравнений в виде

,

то получим систему линейных уравнений

Всего таких уравнений 3N-6, где N — число атомов. 3 другие уравнения описывают движение центра массы молекулы, а ещё три — вращения молекулы, как целого^[1] . Система однородная, а следовательно имеет нетривиальное решение лишь при определённых частотах, которые находятся, если приравнять нулю детерминант этой системы

,

где  — символ Кронекера.

Данный детерминант является уравнением (3N-6)-ей степени относительно ω², которое называется вековым или секулярным уравнением. Его корни определяют спектр собственных частот колебаний молекулы.

Собственные векторы уравнения (A) определяют

3N-6 нормальных мод колебаний молекулы.

Нормальные моды взаимно линейно независимы и взаимно ортогональны:

,

если , где m и n — индексы, которыми обозначены различные собственные векторы. Именно этой особенности нормальные моды обязаны своим названием.

Собственные векторы матрицы вторых производных потенциальной энергии по масс-взвешенным декартовым координатам пропорциональны малым смещениям таких координат атомов относительно положения равновесия. Эти смещения должны быть достаточно малыми, чтобы соответствующие члены в разложении Тейлора потенциальной энергии по координатам были пренебрежимо малы. Поэтому нормальные колебания есть малые колебания, при нарастании амплитуды колебаний увеличивается ангармонизм колебаний, что делает теорию колебаний молекулы очень сложной.

Произведение вектора нормальной моды на вектор масс-взвешенных декартовых координат является т. н. нормальной координатой. Базис нормальных координат представляет собой направления колебательных движений молекулы. В теории механизма химических реакций элементарный акт химического переустройства молекулы представляется как движение по одной из нормальных координат (она называется в таком случае естественной координатой реакции, англ. intrinsic reaction coordinate). При этом система минует точку поворота, и колебательное движение перестаёт быть таковым, становится поступательным. В более сложных случаях акт перестройки молекулярной структуры описывается изменением не одной, а двух или более нормальных координат, в этом случае говорят о сильном взаимодействии колебательных мод и большой кривизне реакционного пути в поперечном направлении.

Дипольный момент

Если известны нормальные моды, которые задаются векторами , где индекс n — номер моды, а также частичные заряды атомов в молекулах, то можно образовать векторы:

,

которые называются дипольными моментами нормальных мод.

Во внешнем электрическом поле, например, в поле электромагнитной волны, энергия диполя определяется формулой . Поэтому те нормальные моды, которые имеют значительный дипольный момент сильно взаимодействуют с электромагнитными волнами (обычно инфракрасного диапазона). Те нормальные моды, для которых дипольного момента нет, или он очень мал, не поглощают и не излучают инфракрасные волны.

Например, симметричная молекула O₂ не имеет частичного заряда на своих атомах, поэтому кислород в атмосфере не становится препятствием для распространения инфракрасных волн. В молекуле CO₂ атомы кислорода несколько подтягивают электроны к себе от центрального атома углерода, поэтому все три атома имеют небольшой частичный заряд. В молекуле углекислого газа (она линейная) есть четыре (то есть, 3N-5) нормальные моды. Одна из них — это симметричные колебания атомов кислорода вдоль оси молекулы. Эта мода не имеет дипольного момента. Другая мода колебаний — асимметричные колебания атомов кислорода вдоль оси молекулы имеет дипольный момент, как и третья с четвёртой вырожденные моды, описывающие угловые колебания молекулы во взаимно перпендикулярных направлениях.

См. также

• Нормальные волны

Примечания

1. ↑ Для двухатомных молекул число уравнений равно 1, потому что вращение происходит только вокруг двух осей. Для многоатомных линейных молекул типа СО2, С2Н2 число уравнений равно 3N-5 по той же причине

Литература

• Федорченко А. М.
  . — Киев: Высшая школа, 1975., 516 с.

Нормальные колебания (моды). Связанные колебательные системы

Под нормальными колебаниями (нормальными модами) понимают собственные (свободные) незатухающие гармонические колебания в замкнутых линейных колебательных системах (в них отсутствуют как потери энергии, так и приток извне колебательной энергии).

Каждое нормальное колебание характеризуется определенным значением частоты. Эти частоты называются собственными частотами системы.

Вводится понятие степеней свободы системы. Под степенями свободы системы понимают число независимых параметров, описывающих возможные изменения состояния системы. Линейные колебательные системы (они представляют собой гармонические осцилляторы, такие как колебательный контур, пружинный маятник, математический маятник) являются системами с одной степенью свободы.

Действительно, для описания их движения необходимо задать только один параметр. Например, для механической системы этим параметром является координата , описывающая движение материальной точки относительно положения равновесия (другие координатыу и z в этом случае не нужны). Для колебательного контура таким параметром будет заряд q на обкладках конденсатора (другие величины, такие как сила тока, напряжения на конденсаторе и на катушке, определяются из зависимости заряда q от времени t). Для линейных систем с одной степенью свободы существует только одно нормальное колебание, нормальная мода.

Связанные колебательные системы представляют собой системы с двумя и более степенями свободы, рассматриваемые как совокупность систем с одной степенью свободы, взаимодействующих между собой. Колебания, возникающие в связанных системах, называют

связанными колебаниями.

В дискретных связанных системах, состоящих из связанных гармонических осцилляторов (например, механических маятников, колебательных контуров), число нормальных колебаний равно.

Примером связанных систем могут служить два колебательных контура, связанных между собой индуктивной связью (рис. 5.27,а). Колебания в одном контуре из-за наличия связи вызывают колебания в другом, т.е. происходит переход энергии из одного контура в другой. Число нормальных колебаний для таких контуров равно двум.

Рис. 5.27

В линейных распределенных системах (струна, мембрана, резонатор) существует бесконечное, но счетное множество нормальных колебаний.

Произвольное свободное колебание системы может быть представлено в виде суперпозиции нормальных колебаний. При этом полная энергия движения распадается на сумму энергий отдельных нормальных колебаний.

Примером такой системы являются колебания струны, закрепленной на концах. Возбуждение в ней поперечных колебаний приводит к образованию стоячей волны, узлы которой приходятся на закрепленные концы (рис. 5.27,в). На длине струны укладывается целое число полуволн

, , n=1,2,3,… . (5.92)

Все частоты представляют собой частоты нормальных колебаний струны, частота, соответствующаяn=1, называется основной частотой. Основную частоту можно изменить, уменьшая или увеличивая натяжение струны

, (5.93)

где F – сила натяжения струны; ρ, S – плотность материала струны и площадь ее поперечного сечения соответственно.

Любое колебание струны можно представить в виде суммы ее нормальных колебаний. Таким образом, линейная распределенная система ведет себя как набор независимых гармонических осцилляторов.

Полученная формула (5.92) используется, в частности, для определения спектра частот нормальных колебаний кристаллической решетки, связанных с тепловыми колебаниями атомов.

Резонанс в системах с несколькими степенями свободы. При внешнем возбуждении системы нормальные колебания в значительной мере определяют ее резонансные свойства. Резонанс может возникнуть лишь в том случае, когда частота гармонического внешнего воздействия близка к одной из собственных частот системы, либо к их линейной комбинации, если внешнее воздействие меняет параметры системы (параметрический резонанс).

В линейном приближении собственные колебания этих систем представляют собой набор нормальных колебаний (мод). Если отклик системы представляет собой суммарный отклик всех степеней свободы, то тогда резонансная кривая будет наложением резонансных кривых отдельных нормальных колебаний и может иметь сложный характер.

Так, в системе с двумя степенями свободы, ввиду того, что собственные колебания могут происходить с двумя различными частотами, резонанс наступает при совпадении частоты гармонического внешнего воздействия как с одной, так и с другой нормальной частотой системы. Подбором параметров нормальных колебаний можно создать резонансную кривую любой формы, что широко используется, например, в радиотехнике для создания фильтрации частот (рис. 5.27,б).

Наличие связи изменяет характер резонансных явлений в связанных системах по сравнению с одиночным контуром. В связанных системах резонанс наступает всякий раз, когда частота внешнего воздействия совпадает с одной из частот собственных колебаний всей системы, отличающихся от собственных частот отдельных контуров. Например, в связанных системах, состоящих из двух контуров, резонанс наступает на двух резонансных частотах. При этом для двух слабо взаимодействующих систем с близкими собственными частотами колебаний может происходить резонансная перекачка энергии из одной подсистемы в другую.

Нормальны ли колебания веса? | Прямо как дождь

Возможно, вы заметили, что ваш вес не такой, как обычно, на недавнем приеме у врача. Или вы пошли надеть свои любимые джинсы, а они не подошли вам так, как обычно.

В последнее время вы не меняли свой рацион или режим физических упражнений. Так что дает?

Более чем вероятно, что вы испытываете некоторые колебания веса.

«Я получаю много вопросов от пациентов, которые заметили, что прибавили в весе пару фунтов, и хотят знать, почему. Я пытаюсь убедить людей, что в целом это действительно нормально», — говорит доктор Сара Холтер, врач первичной медико-санитарной помощи и дружественный по отношению к здоровью любого размера (HAES), который принимает пациентов в UW Medicine Primary Care в Factoria.

Если вас беспокоят колебания веса, вот что вам нужно знать.

Как организм регулирует вес?

Многие системы организма играют роль в поддержании (а иногда и изменении) веса.

Ваш мозг и гормоны, циркулирующие в вашем теле, стимулируют и подавляют аппетит. Ваш кишечник поглощает питательные вещества и проталкивает то, что ему не нужно. Ваша печень и мышцы регулируют уровень сахара в крови, а почки и надпочечники управляют количеством воды и солей в организме.

В общем, тело пытается поддерживать баланс своих процессов, чтобы они хорошо работали вместе; это называется гомеостазом.

Так же, как ваше кровяное давление или частота сердечных сокращений могут увеличиться, если вы испытываете стресс или возбуждение, ваш вес может немного колебаться в зависимости от того, что еще происходит в вашем теле, говорит Холтер.

Из-за всех этих различных процессов, влияющих на вес в режиме 24/7, вес колеблется не только на протяжении всей жизни, но и в течение дня.

«Средний вес тела взрослого человека колеблется от 2,2 до 4,4 фунтов в течение нескольких дней», — говорит доктор Николь Эрхардт, эндокринолог из Медицинского диабетического института Университета Вашингтона.

Что вызывает колебания веса?

Число, которое вы видите на весах, зависит от очень многих факторов: от того, что вы едите, конечно, но также и от того, как часто вы тренируетесь, какие упражнения вы делаете, сколько у вас мышц, какие лекарства вы принимаете, ваши гормоны и ваше поведение в отношении здоровья.

Например, люди, принимающие противозачаточные средства или антидепрессанты, часто сообщают о небольшой прибавке в весе, говорит Холтер, хотя может быть трудно, если вообще возможно, определить, вызваны ли несколько лишних килограмм приемом лекарств или каким-либо другим фактором.

С возрастом и снижением уровня гормонов люди могут немного похудеть; согласно Эрхардту, мужчины часто худеют после 55 лет, а женщины после 65 лет.  

Вес также меняется из-за изменений в поведении. Например, Эрхардт говорит, что исследования показали, что люди, как правило, больше весят по выходным и меньше в течение недели. По ее словам, люди также часто набирают вес во время праздников и в холодное время года.

У людей, у которых менструация, колебания веса могут происходить и во время цикла.

Даже кажущиеся простыми решения могут повлиять на ваш вес в любой момент. Если вы не пьете достаточное количество воды, ваше тело может удерживать больше воды и, таким образом, весить немного больше.

Например, тот, кто ест много пищи с высоким содержанием соли и углеводов, которые задерживают воду, может заставить свое тело удерживать вес воды, в то время как люди, которые много тренируются и много потеют, часто теряют много воды.

Вздутие живота может повлиять на вес, как и то, были ли у вас в последнее время какашки.

Когда следует обратиться к врачу по поводу колебаний веса?

По словам Холтера, не существует определенного правильного количества колебаний веса. То, насколько ваш вес колеблется изо дня в день и с течением времени, зависит от всех уникальных факторов, которые делают вас вами. То, что нормально для одного человека, может быть ненормально для другого.

Тем не менее, резкая потеря веса или увеличение веса за короткий промежуток времени может указывать на основную проблему со здоровьем.

«Потеря веса на 5 % или более от общей массы тела за один месяц без изменения привычек в образе жизни — это тревожный сигнал, чтобы обсудить это с врачом», — говорит Эрхардт.

Таким образом, для человека, который весит 140 фунтов, потеря или увеличение веса на семь или более фунтов каждый месяц будет поводом посетить кабинет врача.

Даже если вы не набираете и не теряете вес быстро, нет ничего плохого в том, чтобы обратиться к врачу, если вы обеспокоены или просто хотите лучше понять, что может происходить в вашем организме.

Отслеживайте свой вес в течение более длительного периода времени, а не только несколько дней или недель, и сообщайте эту информацию своему врачу, говорит Холтер.

«Если кто-то беспокоится, я не возражаю против того, чтобы он просто пришел поговорить об этом», — говорит она.

Почему мой вес так сильно колеблется? Причины колебаний веса

Подождите, разве вчера вы не похудели на четыре фунта? Да, и мы. Хотя вы можете винить в этом тарелку с буррито, которую вы съели на обед, на самом деле вы можете списать эти случайные колебания веса на то, что ваше тело просто занимается своими делами, как обычно. На самом деле есть несколько простых причин, почему ваш вес так сильно колеблется.

«То, что ваш вес то увеличивается, то уменьшается, вполне нормально, — говорит Мишель Мэй, доктор медицинских наук, основатель Am I Hungry? Программа осознанного питания. «Пока мы живы, наши клетки, ткани и органы постоянно обмениваются веществами с окружающей средой, что и вызывает эти колебания».

По словам зарегистрированного диетолога Эми Шапиро , в среднем большинство женщин могут колебаться до пяти фунтов в день, если не больше. «В большинстве случаев колебания веса связаны с задержкой воды в организме», — добавляет она.

Подождите, так я не набираю вес?

Нет. Этот скачок в весе является результатом «изменений в системе отходов вашего организма (кхм, моча и какашки) и перемещения жидкости в ваших почках и мочевом пузыре», — говорит доктор Мэй. Ниже приведены некоторые основные причины неожиданных колебаний веса.

Вы едите продукты с высоким содержанием натрия.

После того, как вы перекусили соленой пищей, ваше тело удерживает больше воды для поддержания определенной концентрации соли в кровотоке. Эта дополнительная вода разбавляет соль до тех пор, пока она не смывается, что вызывает временное увеличение массы тела, говорит доктор Мэй.

Вы едите продукты с большим количеством воды.

И поймите это: употребление в пищу здоровых продуктов, содержащих много воды, таких как фрукты и овощи, супы и смузи, также может вызвать временное увеличение шкалы, говорит доктор Мэй. (Вы знаете, потому что: вода.) Но как только ваше тело переработает дополнительную воду, ваш вес вернется к норме, так что не переживайте.

У вас месячные.

Еще одна важная вещь, которую следует учитывать, прежде чем сходить с ума из-за раздутого числа на весах, — это время месяца. «Изменения прогестерона и других гормонов, которые происходят в вашем организме во время менструального цикла, вызывают сдвиги в вашем весе», — говорит доктор Мэй.

По сути, гормональные колебания в течение месяца могут привести к изменению веса, уточняет Шапиро. «Эстроген может вызвать задержку воды, а прогестерон является естественным мочегонным средством, поэтому в зависимости от того, на каком этапе цикла вы находитесь, это может отразиться на вашем весе». Вот почему вы можете чувствовать вздутие живота за неделю до менструации и через пару дней после ее начала. Такие вещи, как запор или диарея (которые часто могут сопровождать менструацию), также могут способствовать ощущению отечности.

Вы перетренировались.

Нет, это не повод бросить спортзал: иногда изменение режима тренировок или более интенсивная тренировка может вызвать временное увеличение веса из-за повреждения тканей и воспаления. Когда вы тренируетесь, вы вызываете микроразрывы в мышцах, что на самом деле хорошо, потому что именно процесс восстановления делает ваши мышцы сильнее.

Related Stories

• Путь к похудению
• 17 лучших упражнений для пресса с отягощениями
• Табата и высокоинтенсивная тренировка: в чем разница?

Но в то же время может возникнуть воспаление, которое, по словам Шапиро, вызывает увеличение веса из-за накопления тканей и жидкости в организме, когда ваши мышцы пытаются восстановиться.

Это должно пройти само собой, когда ваше тело привыкнет к новому упражнению. Тем не менее, убедитесь, что вы также позволяете себе отдыхать и восстанавливаться. Газировать себя во время каждой тренировки контрпродуктивно.

Вы обезвожены.

По иронии судьбы, по словам Шапиро, чем меньше воды вы пьете, тем больше вы можете весить. «Обезвоживание может привести к задержке воды, так как ваше тело будет пытаться удержать как можно больше воды, когда ему не хватает», — объясняет она. Поскольку ваше тело хочет поддерживать гомеостаз (то есть равновесие или баланс воды и соли в организме), потеря слишком большого количества воды заставляет его удерживать больше, что приводит к увеличению веса. Но не волнуйтесь — употребление большего количества воды должно исправить это.

Ты переборщил с выпивкой.

Спирт — это дегидратирующий агент , он же заставляет вас терять воду и влияет на гомеостаз. Как мы только что упоминали, обезвоживание может привести к задержке воды, поэтому чрезмерное употребление алкоголя может привести к временному набору веса. (По крайней мере, это объясняет ощущение припухлости после ночной прогулки.)

Вы съели больше углеводов, чем обычно.

Углеводы на самом деле сохраняют воду в организме, но только временно, поэтому не решайтесь на перейти на кето пока! «Это потому, что мы храним каждую молекулу гликогена (конечный продукт переваривания углеводов) в наших мышцах вместе с водой», — говорит Шапиро. Когда ваше тело накапливает гликоген, оно связывает его с молекулами воды в соотношении один грамм гликогена к трем-четырем граммам воды, что подтверждается исследованием 2015 года, опубликованным в Европейском журнале прикладной физиологии . Это происходит, когда гликоген не используется в качестве энергии, но когда вы его используете, этот гликоген распадается на глюкозу для быстрого выброса энергии, забирая с собой воду.

Каков мой фактический вес? Что-то подобное существует?

Ну, вроде того, есть диапазон, в который ваше тело попадает естественным образом, и это ваш «истинный» вес. «Во-первых, следите за временем дня, когда вы взвешиваетесь», — говорит Шапиро. «Я рекомендую людям взвешиваться первым делом утром после посещения туалета, и они должны взвешиваться без одежды. Вы должны использовать этот вес для определения своего «истинного» веса. Шапиро также рекомендует взвешиваться только один раз в неделю — в идеале в один и тот же день каждую неделю.

Прыжки на весах чаще, чем это, только расстроят вас, потому что есть так много вещей, которые могут вызвать колебания. Вы также можете полагаться на другие методы, например, использовать мерки или просто следить за тем, как сидит ваша одежда, если вы не являетесь поклонником масштаба.

Тем не менее, Шапиро хочет, чтобы вы следили за тем, сколько веса вы набираете ежедневно. «Если вы видите увеличение или уменьшение более чем на шесть фунтов или около того, вы можете позвонить своему лечащему врачу, так как это может быть признаком болезни», — сказала она. «Такие заболевания, как диабет, часто могут привести к потере веса, в то время как низкий уровень щитовидной железы или гормональные проблемы, такие как СПКЯ может вызвать увеличение веса». Если вы заметили изменение веса более чем на 10 фунтов, а также одышку или отек ног и лодыжек, это может указывать на более серьезные заболевания, такие как заболевание почек.

Запланируйте посещение, чтобы увидеть документ как можно скорее, если это похоже на вас.