Период формулы: Формула периода колебаний пружинного маятника в физике

alexxlab | 17.06.2023 | 0 | Разное

Формула периода колебаний пружинного маятника в физике

Формула периода колебаний пружинного маятника в физике

Определение

Период – это минимальное время, за которое совершается одно полное колебательное движение.

Обозначают период буквой $T$.

\[T=\frac{\Delta t}{N}\left(1\right),\]

где $\Delta t$ – время колебаний; $N$ – число полных колебаний.

Уравнение колебаний пружинного маятника

Рассмотрим простейшую колебательную систему, в которой можно реализовать механические колебания. Это груз массы $m$, подвешенный на пружине, коэффициент упругости которой равен $k\ $(рис.1). Рассмотри вертикальное движение груза, которое обусловлено действием силы тяжести и силы упругости пружины. В состоянии равновесия такой системы, сила упругости равна по величине силе тяжести. Колебания пружинного маятника возникают, когда систему выводят из состояния равновесия, например, слегка дополнительно растянув пружину, после этого маятник предоставляют самому себе.

2_0=\frac{k}{m}$ – циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (7) (это проверяется непосредственной подстановкой) является функция:

\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)=A{\sin \left({\omega }_0t+{\varphi }_1\right)\ }\ }\left(8\right),\]

где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ – амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi )$ – фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ – начальные фазы колебаний.

Формулы периода колебаний пружинного маятника

Мы получили, что колебания пружинного маятника описывается функцией косинус или синус. Это периодические функции, значит, смещение $x$ будет принимать равные значения через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют периодом колебаний. Обозначают период буквой T.

Еще одной величиной, характеризующей колебания является величина обратная периоду колебаний, ее называют частотой ($\nu $):

\[T=\frac{1}{\nu }\left(9\right). \]

Период связан с циклической частотой колебаний как:

\[T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}\left(10\right).\]

Выше мы получали для пружинного маятника ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, следовательно, период колебаний пружинного маятника равен:

\[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\ \left(11\right).\]

Формула периода колебаний пружинного маятника (11) показывает, что $T$ зависит от массы груза, прикрепленного к пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Данное свойство колебаний называют изохронностью. Изохронность выполняется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, появляется зависимость колебаний от амплитуды. Подчеркнем, что формула (11) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедлива при малых колебаниях.

Примеры задач на период колебаний

Пример 1

Задание. Пружинный маятник совершил 50 полных колебаний за время равное 10 с . Каков период колебаний маятника? Чему равна частота этих колебаний?

Решение. Так как период – это минимальное время необходимое маятнику для совершения одного полного колебания, то найдем его как:

\[T=\frac{\Delta t}{N}\left(1.1\right).\]

Вычислим период:

\[T=\frac{10}{50}=0,2\ \left(с\right).\]

Частота – величина обратная периоду, следовательно:

\[\nu =\frac{1}{T}\left(1.2\right).\]

Вычислим частоту колебаний:

\[\nu =\frac{1}{0,2}=5\ \left(Гц\right).\]

Ответ. $1)\ T=0,2$ с; 2) 5Гц

Пример 2

Задание.Две пружины, имеющие коэффициенты упругости $k_1$ и $k_2$ соединены параллельно (рис.2), к системе присоединен груз массы $M$. Каков период колебаний полученного пружинного маятника, если массами пружин можно пренебречь, сила упругости, действующая на груз, подчиняется закону Гука?

Решение. Воспользуемся формулой для вычисления периода колебаний пружинного маятника:

\[T=2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}\ \left(2.1\right).\]

При параллельном соединении пружин результирующая жесткость системы находится как:

\[k=k_1{+k}_2\left(2.2\right).\]

Это означают, что вместо $k$ в формулу для вычисления периода пружинного маятника подставим правую часть выражения (2.2), имеем:

\[T=2\pi \sqrt{\frac{M}{k_1{+k}_2}}.\]

Ответ. $T=2\pi \sqrt{\frac{M}{k_1{+k}_2}}$

Читать дальше: формула плеча силы.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Период колебаний – формула определения, расчет

4.8

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 125.

4.8

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 125.

Важнейшим параметром, требуемым при расчетах колебательных и волновых процессов, является период колебаний. Он входит во многие формулы, и является одним из базовых. Рассмотрим это понятие.

Колебательный процесс

Одними из самых частых процессов в Природе являются колебательные. Как правило, любой колебательный процесс состоит в том, что некоторый параметр рассматриваемой системы изменяет свое значение, периодически отклоняясь то в одну, то в другую сторону от некоторого положения равновесия.

Рис. 1. Колебательные процессы в природе.

Колебания маятника

Простейший пример колебательного процесса – маятник, легкая нить с грузом на конце. Отклоним его от равновесия в крайнее положение, а потом отпустим (чтобы уменьшить влияние трения, отклонение должно быть намного меньше длины нити).

Груз, начнет движение к противоположной крайней точке. Здесь его скорость упадет до нуля, и он качнется в обратную сторону до начального положения. {-6}$ нс (период рентгеновского излучения) и до 250 млн. лет (время обращения Солнечной Системы вокруг центра нашей галактики).

Что мы узнали?

Одно колебание маятника (или другого колеблющегося объекта) – это движение от точки максимального отклонения и до возвращения в эту точку. Время, за которое совершается одно колебание, называется периодом колебаний.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда – пройдите тест.

• Егор Князев

  5/5

Оценка доклада

4.8

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 125.

---

А какая ваша оценка?

Формула для периода Формула – Что такое формула для периода? Примеры

Формула для периода используется для расчета периода времени волны. Это время, за которое волна достигает от одной вершины до другой. Периодическая функция определяется как функция, которая повторяет свои значения через равные промежутки времени или периоды. Период функции f(x) равен p, если f(x + p) = f(x) для каждого x. Давайте узнаем о формуле периода с несколькими решенными примерами в конце.

Что такое формула периода?

Согласно определению периода функции, функция f(x) будет периодической с периодом p, поэтому, если мы имеем f (x + p) = f (x) для каждого p > 0. Период каждого из sin x, cos x, csc x и sec x = 2π. Период каждого из tan x и cot x = π. Период волны уменьшается по мере увеличения ее частоты. Вот формула для периода (T) тригонометрической функции:

Период, T = Период родительской функции/ |Коэффициент x|

Частота, F = 1/ Период

Пример: Период тангенса 3x по формуле периода равен π / 3. Это также видно из следующего графика.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Запись на бесплатный пробный урок

Примеры использования формулы для периода

Пример 1. Используя формулу для периода, найдите период функции f(x) = 2 sin (3x + 7) + 5,

Решение:

Мы знаем, что период родительской функции, то есть sin, равен 2π.

Коэффициент x в данной функции равен 3.

Используя формулу для периода,

Период, T = (Период родительской функции) / |Коэффициент x|

Период, T = 2π / |3| = 2π / 3

Следовательно, период f(x) = 2π / 3.

Пример 2. Найдите период функции \(f(x) = 3 \tan \left( \dfrac{\pi {2}\влево(x+2\вправо) \вправо) – 7\).

Решение:

Мы знаем, что период родительской функции, то есть tan, равен π.

Данную функцию можно записать в виде:

\(f(x) = 3 \tan \left( \dfrac{\pi}{2}x+\pi \right) – 7\)

Коэффициент при x в данной функции равно π/2.

Используя формулу для периода,

Период, T = (Период родительской функции) / |Коэффициент x|

\(\text{Период,}T =\dfrac{\pi}{\left|\dfrac{\pi}{2}\right| }=2\)

Таким образом, период f(x) = 2,

Пример 3. Используя формулу для периода, найдите период функции f(x) = 2 sin (4x + 8) + 10,

Решение:

Мы знаем, что период родительской функции, то есть sin, равен 2π.

Коэффициент x в данной функции равен 4.

Используя формулу для периода,

Период, T = (Период родительской функции) / |Коэффициент x|

Период, T = 2π / |4| = 2π / 4 = π / 2

Следовательно, период f(x) = π / 2

Часто задаваемые вопросы о формуле для периода

Что означает формула для периода?

Формула периода используется для расчета интервала времени, за который волна совершает один цикл колебаний в заданной точке. Периодическая функция определяется как функция, которая повторяет свои значения через равные промежутки времени или периоды. Период функции f(x) равен p, если f(x + p) = f(x) для каждого x. Функция называется периодической, если ее значение повторяется через равные промежутки времени (интервалы). Формула Период, P = период родительской функции/ |Коэффициент x|

По какой формуле найти период?

функция f(x) будет периодической с периодом p, поэтому, если мы имеем f (x + p) = f (x) для каждого p > 0. Период каждого из sin x, cos x, csc x , сек х = 2π. Период каждого из tan x и cot x = π. Вот формула для периода (T) тригонометрической функции:

Период, P = Период родительской функции/ |Коэффициент x|

Как найти формулу для периода?

Ниже перечислены три основных аспекта поиска формулы периода:

• Определите, является ли функция периодической, т. е. повторяется ли функция с постоянным периодом
• Если формула для функции периода представлена ​​в виде f(x) = f(x + p), где p — действительное число 
• Период означает интервал времени между двумя появлениями волны

Какую роль играет амплитуда в формуле для периода?

На графике период — это когда функция переходит от одной точки к следующей точке совпадения. В амплитуде помогает в измерении высоты функциональной точки, измеряемой от самой высокой до самой низкой.

Амплитуда, период, фазовый сдвиг и частота

Некоторые функции (такие как синус и косинус) повторяются вечно
и называются периодическими функциями.

Период идет от одного пика к другому (или от любой точки к следующей точке совпадения):

Амплитуда — это высота от центральной линии до пика (или до впадины). Или мы можем измерить высоту от самой высокой до самой низкой точки и разделить ее на 2.

 

Фазовый сдвиг показывает, насколько функция сдвинута по горизонтали от обычного положения.

Сдвиг по вертикали показывает, насколько функция смещена по вертикали от обычного положения.

Все вместе!

Мы можем получить их все в одном уравнении:

у = A sin(B(x + C)) + D

• амплитуда А
• период равен 2π/B
• фазовый сдвиг C (положительный слева )
• вертикальное смещение D

А вот как это выглядит на графике:

Обратите внимание, что здесь мы используем радианы, а не градусы, и на один полный оборот приходится 2π радиан.

Пример: sin(x)

Это основная формула неизменного синуса. А = 1, В = 1, С = 0 и D = 0

Итак, амплитуда 1 , период 2π , фазового или вертикального сдвига нет:

Пример: 2 sin(4(x − 0,5)) + 3

• амплитуда A = 2
• период 2π/B = 2π/4 = π/2
• фазовый сдвиг = −0,5 (или 0,5 вправо)
• вертикальное смещение D = 3

Прописью:

• 2 говорит нам, что он будет в 2 раза выше, чем обычно, поэтому Амплитуда = 2
• обычный период равен 2 π , но в нашем случае он «ускорен» (укорочен)
  4 в 4 раза, поэтому период = π/2
• и −0,5 означают, что он будет сдвинут вправо на 0,5
• , наконец, +3 говорит нам, что центральная линия равна y = +3, поэтому вертикальное смещение = 3

Вместо x у нас может быть t (для времени) или другие переменные:

Пример: 3 sin(100t + 1)

Сначала нам нужны скобки вокруг (t+1), поэтому мы можем начать с деления 1 на 100:

3 sin(100t + 1) = 3 sin(100 (t + 0,01))

Теперь мы можем видеть:

• амплитуда равна A = 3
• период равен 2π/100 = 0,02 π
• фазовый сдвиг равен C = 0,01 (влево)
• вертикальное смещение равно D = 0

И получаем:

Частота

Частота — это то, как часто что-то происходит в единицу времени (на «1»).

Пример: Здесь функция косинуса повторяется 4 раза между 0 и 1:

Таким образом, Частота равна 4

А Период равен 1 4

На самом деле Период и Частота связаны:

Частота = 1 Период

Период = 1 Частота

Пример из предыдущего: 3 sin(100(t + 0,01))

Период равен 0,02 π

Таким образом, частота равна 1 0,02π “=” 50 №

Еще несколько примеров:

Период	Частота
1 10	10
1 4	4
1	1
5	1 5
100	1 100

Когда частота равна в секунду , это называется “Герц”.