Пружинный маятник формулы: Формулы пружинного маятника в физике
alexxlab | 03.10.1980 | 0 | Разное
период и амплитуда колебани1, формула, жесткость
Работа большинства механизмов основана на простейших законах физики и математики. Довольно большое распространение получило понятие пружинного маятника. Подобный механизм получил весьма широкое распространение, так как пружина обеспечивает требуемую функциональность, может быть элементом автоматических устройств. Рассмотрим подробнее подобное устройство, принцип действия и многие другие моменты подробнее.
Определения пружинного маятника
Как ранее было отмечено, пружинный маятник получил весьма широкое распространение. Среди особенностей можно отметить следующее:
- Устройство представлено сочетанием груза и пружины, масса которой может не учитываться. В качестве груза может выступать самый различный объект. При этом на него может оказываться воздействие со стороны внешней силы. Распространенным примером можно назвать создание предохранительного клапана, который устанавливается в системе трубопровода. Крепление груза к пружине проводится самым различным образом. При этом используется исключительно классический винтовой вариант исполнения, который получил наиболее широкое распространение. Основные свойства во многом зависят от типа применяемого материала при изготовлении, диаметра витка, правильности центровки и многих других моментов. Крайние витки часто изготавливаются таким образом, чтобы могли воспринимать большую нагрузку при эксплуатации.
- До начала деформации полная механическая энергия отсутствует. При этом на тело не влияет сила упругости. Каждая пружина имеет исходное положение, которое она сохраняет на протяжении длительного периода. Однако, за счет определенной жесткости происходит фиксация тела в начальном положении. Имеет значение то, каким образом прикладывается усилие. Примером назовем то, что она должна быть направлена вдоль оси пружины, так как в противном случае есть вероятность появления деформации и многих других проблем. У каждой пружины есть свои определенный придел сжатия и растяжения. При этом максимальное сжатие представлено отсутствием зазора между отдельными витками, при растяжении есть момент, когда происходит невозвратная деформация изделия. При слишком сильном удлинении проволоки происходит изменение основных свойств, после чего изделие не возвращается в свое первоначальное положение.
- В рассматриваемом случае колебания совершаются за счет действия силы упругости. Она характеризуется довольно большим количество особенностей, которые должны учитываться. Воздействие упругости достигается за счет определенного расположения витков и типа применяемого материала при изготовлении. При этом сила упругости может действовать в обе стороны. Чаще всего происходит сжатие, но также может проводится растяжение – все зависит от особенностей конкретного случая.
- Скорость перемещения тела может варьировать в достаточно большом диапазоне, все зависит от того, какое оказывается воздействие. К примеру, пружинный маятник может перемещать подвешенный груз в горизонтальной и вертикальной плоскости. Действие направленного усилия во многом зависит от вертикальной или горизонтальной установки.
В целом можно сказать, что пружинный маятник определение довольно обобщенное. При этом скорость перемещения объекта зависит от различных параметров, к примеру, величины приложенного усилия и других моментов. Перед непосредственным проведением расчетов проводится создание схемы:
- Указывается опора, к которой крепится пружина. Зачастую для ее отображения рисуется линия с обратной штриховкой.
- Схематически отображается пружина. Она часта представлена волнистой линией. При схематическом отображении не имеет значение длина и диаметральный показатель.
- Также изображается тело. Оно не должно соответствовать размерам, однако имеет значение место непосредственного крепления.
Схема требуется для схематического отображения всех сил, которые оказывают влияние на устройство. Только в этом случае можно учесть все, что влияет на скорость перемещения, инерцию и многие другие моменты.
Пружинные маятники применяются не только при расчетах ил решении различных задач, но также и на практике. Однако, не все свойства подобного механизма применимы.
Примером можно назвать случай, когда колебательные движения не требуются:
- Создание запорных элементов.
- Пружинные механизмы, связанные с транспортировкой различных материалов и объектов.
Проводимые расчеты пружинного маятника позволяют подобрать наиболее подходящий вес тела, а также тип пружины. Она характеризуется следующими особенностями:
- Диаметр витков. Он может быть самым различным. От показателя диаметра во многом зависит то, сколько требуется материала для производства. Диаметр витков также определяет то, какое усилие должно прикладываться для полного сжатия или частичного растяжения. Однако, увеличение размеров может создать существенные трудности с установкой изделия.
- Диаметр проволоки. Еще одним важным параметром можно назвать диаметральный размер проволоки. Он может варьировать в широком диапазоне, зависит прочность и степень упругости.
- Длина изделия. Этот показатель определяет то, какое усилие требуется для полного сжатия, а также какой упругостью может обладать изделие.
- Тип применяемого материала также определяет основные свойства. Чаще всего пружина изготавливается при применении специального сплава, который обладает соответствующие свойствами.
При математических расчетах многие моменты не учитываются. Усилие упругости и многие другие показатели выявляются путем расчета.
Виды пружинного маятника
Выделяют несколько различных видов пружинного маятника. Стоит учитывать, что классификация может проводится по типу устанавливаемой пружины. Среди особенностей отметим:
- Довольно большое распространение получили вертикальные колебания, так как в этом случае на груз не оказывается сила трения и другое воздействие. При вертикальном расположении груза существенно увеличивается степень воздействия силы тяжести. Распространен этот вариант исполнения при проведении самых различных расчетов. За счет силы тяжести есть вероятность того, что тело в исходной точке будет совершать большое количество инерционных движений. Этому также способствует упругость и инерция движения тела в конце хода.
- Также применяется горизонтальный пружинный маятник. В этом случае груз находится на опорной поверхности и на момент перемещения также возникает трение. При горизонтальном расположении сила тяжести работает несколько иначе. Горизонтальное расположение тела получило широкое распространение в различных задачах.
Рассчитывается движение пружинного маятника можно при использовании достаточно большого количества различных формул, который должны учитывать воздействие всех сил. В большинстве случаев устанавливается классическая пружина. Среди особенностей отметим следующее:
- Классическая витая пружина сжатия сегодня получила весьма широкое распространение. В этом случае между витками есть пространство, которое называется шагом. Пружина сжатия может и растягиваться, но зачастую она для этого не устанавливается. Отличительной особенностью можно назвать то, что последние витки выполнены в виде плоскости, за счет чего обеспечивается равномерное распределения усилия.
- Может устанавливаться вариант исполнения для растяжения. Он рассчитан на установку в случае, когда приложенное усилие становится причиной увеличения длины. Для крепления проводится размещение крючков.
Распространены оба варианта исполнения. При этом важно уделить внимание тому, чтобы сила прикладывалась параллельно оси. В противном случае есть вероятность смещения витков, что становится причиной возникновения серьезных проблем, к примеру, деформации.
Сила упругости в пружинном маятнике
Следует учитывать тот момент, что до деформирования пружины она находится в положении равновесия. Приложенная сила может приводить к ее растягиванию и сжиманию. Сила упругости в пружинном маятнике рассчитывается в соответствии с тем, как воздействует закон сохранения энергии. Согласно принятым нормам возникающая упругость пропорциональна смещению тела. В этом случае кинетическая энергия рассчитывается по формуле: F=-kx. В данном случае применяется коэффициент жесткости пружины.
Выделяют довольно большое количество особенностей воздействия силы упругости в пружинном маятнике. Среди особенностей отметим:
- Максимальная сила упругости возникает на момент, когда тело находится на максимальном расстоянии от положения равновесия. При этом в подобном положении отмечается максимальное значение ускорение тела. Не следует забывать о том, что может проводится растягивание и сжатие пружины, оба варианта несколько отличается. При сжатии минимальная длина изделия ограничивается. Как правило, она имеет длину, равную диаметру витка умноженное на количество. Слишком большое усилие может стать причиной смещения витков, а также деформации проволоки. При растяжении есть момент удлинения, после которого происходит деформация. Сильное удлинение приводит к тому, что возникающей силы упругости недостаточно для возврата изделия в первоначальное состояние.
- При сближении тела к месту равновесия происходит существенное уменьшение длины пружины. За счет этого наблюдается постоянное снижение показателя ускорения. Все это происходит за счет воздействия усилия упругости, которая связано с типом применяемого материала при изготовлении пружины и ее особенностями. Длина уменьшается за счет того, что расстояние между витками снижается. Особенностью можно назвать равномерное распределение витков, лишь только в случае дефектов есть вероятность нарушения подобного правила.
- На момент достижения точки равновесия сила упругости снижается до нуля. Однако, скорость не снижается, так как тело движется по инерции. Точка равновесия характеризуется тем, что длина изделия в ней сохраняется на протяжении длительного периода при условии отсутствия внешнего деформирующего усилия. Точка равновесия определяется в случае построения схемы.
- После достижения точки равновесия возникающая упругость начинает снижать скорость перемещения тела. Она действует в противоположном направлении. При этом возникает усилие, которое направлено в обратную сторону.
- Дойдя крайней точки тело начинает двигаться в противоположную сторону. В зависимости от жесткости установленной пружины подобное действие будет повторятся неоднократно. Протяженность этого цикла зависит от самых различных моментов. Примером можно назвать массу тела, а также максимальное приложенное усилие для возникновения деформации. В некоторых случаях колебательные движения практически незаметны, но они все же возникают.
Приведенная выше информация указывает на то, что колебательные движения совершаются за счет воздействия упругости. Деформация происходит за счет приложенного усилия, которое может варьировать в достаточно большом диапазоне, все зависит от конкретного случая.
Уравнения колебаний пружинного маятника
Колебания пружинного маятника совершаются по гармоническому закону. Формула, по которой проводится расчет, выглядит следующим образом: F(t)=ma(t)=-mw2x(t).
В приведенной выше формуле указывается (w) радиальная частота гармонического колебания. Она свойственна силе, которая распространяется в границах применимости закона Гука. Уравнение движения может существенно отличаться, все зависит от конкретного случая.
Если рассматривать колебательное движение, то следует уделить внимание следующим моментам:
- Колебательные движения наблюдаются только в конце перемещения тела. Изначально оно прямолинейное до полного освобождения усилия. При этом сила упругости сохраняется на протяжении всего времени, пока тело находится в максимально отдаленном положении от нуля координат.
- После растяжения тело возвращается в исходное положение. Возникающая инерция становится причиной, по которой может оказываться воздействие на пружину. Инерция во многом зависит от массы тела, развитой скорости и многих других моментов.
В результате этого возникает колебание, которое может длиться в течение длительного периода. Приведенная выше формула позволяет провести расчет с учетом всех моментов.
Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника
При проектировании и вычислении основных показателей также уделяется довольно много внимания частоте и периоду колебания. Косинус – периодическая функция, в которой применяется значение, неизменяемое через определенный промежуток времени. Именно этот показатель называют период колебаний пружинного маятника. Для обозначения этого показателя применяется буква Т, также часто используется понятие, характеризующее значение, обратное периоду колебания (v). В большинстве случаев при расчетах применяется формула T=1/v.
Период колебаний вычисляется по несколько усложненной формуле. Она следующая: T=2п√m/k. Для определения частоты колебания используется формула: v=1/2п√k/m.
Рассматриваемая циклическая частота колебаний пружинного маятника зависит от следующих моментов:
- Масса груза, который прикреплен к пружине. Этот показатель считается наиболее важным, так как оказывает влияние на самые различные параметры. От массы зависит сила инерции, скорость и многие другие показатели. Кроме этого, масса груза – величина, с измерением которой не возникает проблем из-за наличия специального измерительного оборудования.
- Коэффициент упругости. Для каждой пружины этот показатель существенно отличается. Коэффициент упругости указывается для определения основных параметров пружины. Зависит этот параметр от количества витков, длины изделия, расстояние между витками, их диаметра и многого другого. Определяется он самым различным образом, зачастую при применении специального оборудования.
Не стоит забывать о том, что при сильном растяжении пружины закон Гука прекращает действовать. При этом период пружинного колебания начинает зависеть от амплитуды.
Для измерения периода применяется всемирная единица времени, в большинстве случаев секунды. В большинстве случаев амплитуда колебаний вычисляется при решении самых различных задач. Для упрощения процесса проводится построение упрощенной схемы, на которой отображаются основные силы.
Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника
Определившись с особенностями проходимых процессов и зная уравнение колебаний пружинного маятника, а также начальные значения можно провести расчет амплитуды и начальной фазы пружинного маятника. Для определения начальной фазы применяется значение f, амплитуда обозначается символом A.
Для определения амплитуды может использоваться формула: А=√x2+v2/w2. Начальная фаза высчитывается по формуле: tgf=-v/xw.
Применяя эти формулы можно провести определение основных параметров, которые применяются при расчетах.
Энергия колебаний пружинного маятника
Рассматривая колебание груза на пружине нужно учитывать тот момент, что при движение маятника может описываться двумя точками, то есть оно носит прямолинейный характер. Этот момент определяет выполнение условий, касающихся рассматриваемой силы. Можно сказать, что полная энергия потенциальная.
Провести расчет энергии колебаний пружинного маятника можно при учете всех особенностей. Основными моментами назовем следующее:
- Колебания могут проходить в горизонтальной и вертикальной плоскости.
- Ноль потенциальной энергии выбирается в качестве положения равновесия. Именно в этом месте устанавливается начало координат. Как правило, в этом положении пружина сохраняет свою форму при условии отсутствия деформирующей силы.
- В рассматриваемом случае рассчитываемая энергия пружинного маятника не учитывает силу трения. При вертикальном расположении груза сила трения несущественна, при горизонтальном тело находится на поверхности и при движении может возникнуть трение.
- Для расчета энергии колебания применяется следующая формула: E=-dF/dx.
Приведенная выше информация указывают на то, что закон сохранения энергии выглядит следующим образом: mx2/2+mw2x2/2=const. Применяемая формула говорит о следующем:
- Максимальная кинетическая энергия установленного маятника прямо пропорциональна максимальному значению потенциальной.
- На момент осциллятора среднее значение обоих сил равны.
Провести определение энергии колебания пружинного маятника можно при решении самых различных задач.
Свободные колебания пружинного маятника
Рассматривая то, чем вызваны свободные колебания пружинного маятника следует уделить внимание действию внутренних сил. Они начинают формироваться практически сразу после того, как телу было передано движение. Особенности гармонических колебаний заключаются в нижеприведенных моментах:
- Могут также возникать и другие типы сил воздействующего характера, который удовлетворяют все нормы закона, называются квазиупругими.
- Основными причинами действия закона могут быть внутренние силы, которые формируются непосредственно на момент изменения положения тела в пространстве. При этом груз обладает определенной массой, усилие создается за счет фиксации одного конца за неподвижный объект с достаточной прочностью, второго за сам груз. При условии отсутствия трения тело может совершать колебательные движения. В этом случае закрепленный груз называется линейным.
Не стоит забывать о том, что существует просто огромное количество различных видов систем, в которых осуществляется движение колебательного характера. В них также возникает упругая деформация, которая становится причиной применения для выполнения какой-либо работы.
Колебания пружинного маятника. | |
В вертикальном положении на груз на пружине действуют сила тяжести и сила упругости пружины. Под действием силы тяжести пружина растягивается на х1, а затем мы отклоняем его от этого положения на х. | |
Тогда согласно второму закону Ньютона, учитывая знаки проекций, получим: . Но , тогда: . Или – ускорение тела, колеблющегося на пружине, не зависит от силы тяжести, действующей на это тело. Сила тяжести только приводит к изменению положения равновесия. | |
Выразим ускорение:. | |
Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения . Видно, что | |
Период колебаний или (формула Гюйгенса). | Формула Гюйгенса: |
Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия упруго деформированного тела равна, а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической. |
|
Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения:. Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то . Производная суммы равна сумме производных: и . Следовательно:, а значит . |
|
В данном случае этот способ более трудоемкий, но он более общий. |
|
Свободные колебания. Пружинный маятник
Определение 1Свободные колебания могут совершаться под действием внутренних сил только после выведения из положения равновесия всей системы.
Чтобы колебания совершались согласно гармоническому закону, нужно, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из равновесного положения и направлена в сторону, противоположную смещению.
F(t)=ma(t)=-mω2x(t).
Соотношение говорит о том, что ω является частотой гармонического колебания. Данное свойство характерно для упругой силы в пределах применимости закона Гука:
Fупр=-kx.
Определение 2Силы любой природы, которые удовлетворяют условию, называют квазиупругими.
То есть груз с массой m, прикрепляющийся к пружине жесткости k с неподвижным концом, изображенным на рисунке 2.2.1, составляют систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.
Груз, располагаемый на пружине, называют линейным гармоническим осциллятором.
Рисунок 2.2.1. Колебания груза на пружине. Трения нет.
Круговая частота
Нахождение круговой частоты ω0 производится с помощью применения формулы второго закона Ньютона:
ma=-kx=mω02x.
Значит, получаем:
ω0=km.
Определение 4Частоту ω0 называют собственной частотой колебательной системы.
Определение периода гармонических колебаний груза на пружине Т находится из формулы:
T=2πω0=2πmk.
Горизонтальное расположение системы пружина-груз, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При подвешивании груза на пружину направление силы тяжести идет по линии движения груза. Положение равновесия растянутой пружины равняется:
x0=mgk, тогда как колебания выполняются около нового равновесного состояния. Формулы собственной частоты ω0 и периода колебаний Т в вышеуказанных выражениях являются справедливыми.
Определение 5При имеющейся математической связи между ускорением тела а и координатой х поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение является второй производной координаты тела х по времени t:
a(t)=x(t).
Описание второго закона Ньютона с грузом на пружине запишется как:
ma-mx=-kx, или x¨+ω02x=0, где свободная частота ω02=km.
Если физические системы зависят от формулы x¨+ω02x=0, тогда они в состоянии совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, так как применяется x=xmcos (ωt+φ0).
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать заданиеСвободные колебания
Определение 6Уравнение вида x¨+ω02x=0 получило название уравнения свободных колебаний. Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω0 или период Т.
Амплитуда xm и начальная фаза φ0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.
Пример 1При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние ∆l и моменте времени, равном t=0, производится его опускание без начальной скорости. Тогда xm=∆l, φ0=0. Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ±υ0, отсюда xm=mkυ0, φ0=±π2.
Амплитуда xm с начальной фазой φ0 определяются наличием начальных условий.
Рисунок 2.2.2. Модель свободных колебаний груза на пружине.
Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок 2.2.2 показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ, тогда возникает момент силы упругой деформации кручения Mупр:
Mупр=-xθ.
Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид
Iε=Mупр=-xθ или Iθ¨=-xθ, где моментом инерции обозначается I=IC, а ε – угловое ускорение.
Аналогично с формулой пружинного маятника:
ω0=xI, T=2πIx.
Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.
Рисунок 2.2.3. Крутильный маятник.
Пружинные маятники: графики, скорости, пути.
В этой статье все задачи связаны с пружинным маятником. Мы научимся читать информацию о колебаниях по графику смещения, находить скорость по зависимости смещения от времени, записывать закон колебаний.
Задача 1. Во сколько раз отличаются периоды колебаний пружинных маятников одинаковой массы, составленных из двух пружин жесткостью и , соединенных один раз последовательно, а другой раз параллельно?
При последовательном соединении определим жесткость такого соединения:
Если на последовательное соединение воздействует сила , то первая пружина удлинится на , а вторая на , а вместе их удлинение составит величину
Тогда
Тогда период колебаний равен
При параллельном соединении пружин их жесткости складываются, поэтому период будет равен
Теперь определим отношение периодов:
Ответ:
Задача 2. На пружине жесткостью Н/м подвешен груз массой г. Построить график зависимости смещения этого груза, если амплитуда А = 10 см, а в начальный момент времени груз проходил положение равновесия.
Определим период колебаний такой системы:
Тогда угловая частота будет равна
Теперь можно записать закон колебаний (колебания будут происходить по синусоидальному закону, так как если бы это был косинус – то тело бы находилось в начальный момент в самой дальней от положения равновесия точке):
Начальная фаза колебаний равна нулю – это следует из условия, что груз проходил положение равновесия в начальный момент времени.
Теперь можно и график построить:
К задаче 2
Задача 3. Груз массой 2 кг подвешен на пружине и совершает колебания, график которых приведен на рисунке . Определить жесткость пружины.
К задаче 3
Из графика определяем: м, с. Тогда
Откуда жесткость пружины равна
Ответ: Н/м.
Задача 4. Телу массой , подвешенному на пружине жесткостью , в положении равновесия сообщают скорость , направленную вертикально вниз. Определить путь, пройденный телом, за промежуток времени от до , считая возникающие колебания гармоническими.
Закон колебаний может быть записан:
Начальная фаза равна нулю, так как указано, что скорость сообщили телу в положении равновесия.
Скорость является производной координаты:
Так как скорость максимальна именно при прохождении телом положения равновесия, то . Следовательно, амплитуда колебаний
Путь – это разность координат и – это справедливо, так как движение от до происходит в одну сторону (на первой четверти периода).
Ответ: .
Задача 5. Тело, подвешенное на пружине, смещают из положения равновесия вертикально вниз на расстояние и отпускают. Определить путь, пройденный телом за промежуток времени от до , считая возникающие колебания гармоническими.
Путь – это разность координат и – это справедливо, так как движение от до происходит в одну сторону (на второй четверти периода) Но на второй четверти тело уже возвращается обратно к положению равновесия, следовательно, координата его первоначального положения больше, чем координата последующего положения, тогда:
Ответ: .
Колебания груза на пружине — урок. Физика, 9 класс.
Механическая колебательная система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) \(k\), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы \(m\), называется пружинным маятником.
Рис. \(1\). Колебания пружинного маятника
Рассмотрим простейший пружинный маятник — движущееся по горизонтальной плоскости твёрдое тело (груз), прикреплённое пружиной к стене (рис. \(1\)). Допустим, что силы трения не оказывают существенного влияния на движение груза.
Первоначально пружина не деформирована (не растянута и не сжата), поэтому никакие силы в горизонтальном направлении на груз не действуют. Точка О — положение равновесия груза.
Переместим груз вправо. Пружина при этом растянется, и в ней возникнет сила упругости, направленная влево, к положению равновесия, и по модулю равная:
Fупр=kx=kA,
где \(x=A\) — максимальное (амплитудное) отклонение груза от положения равновесия.
Если отпустить груз, то под действием силы упругости он начнёт ускоренно перемещаться влево, к точке \(О\), по мере приближения к которой скорость груза будет возрастать от нуля до некоторого максимального значения. При приближении к точке равновесия деформация пружины уменьшается, а значит, уменьшается и сила упругости. Так как груз имеет скорость при прохождении положения равновесия, то он по инерции продолжает свое движение влево. Теперь пружина начинает сжиматься (деформация сжатия), что приводит к возникновению силы упругости, направленной вправо, т.е. к положению равновесия. По мере возрастания степени деформации пружины сила растет и все больше тормозит движение груза. В конце концов, груз останавливается.
Но сила упругости, направленная к точке \(О\), будет продолжать действовать, поэтому груз вновь придёт в движение в обратную сторону, вправо, и на обратном пути его скорость будет возрастать от нуля до максимального значения в точке \(О\).
Движение груза от точки \(О\) к крайней правой точке снова приведёт к растяжению пружины, опять возникнет сила упругости, направленная к положению равновесия и замедляющая движение груза до полной его остановки.
Мы описали одно полное колебание.
В каждой точке траектории, кроме положения равновесия, на груз действует сила упругости пружины, которая направлена к положению равновесия.
Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:
ma=−kx, откуда
a=−kmx — ускорение пружинного маятника.
Обрати внимание!
Данная формула справедлива и для вертикального пружинного маятника (рис. \(2\)) в котором действуют сила тяжести груза и сила упругости пружины.
Рис. \(2\). Колебания вертикального пружинного маятника
Обрати внимание!
Ускорение тела, колеблющегося на пружине, не зависит от силы тяжести, действующей на это тело. Сила тяжести только приводит к первоначальному изменению (смещению вниз) положения равновесия (рис. \(3\)).
Рис. \(3\). Изображение смещения маятника
Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле Гюйгенса:
T=2πmk, где
\(m\) — масса груза,
\(k\) — коэффициент жёсткости пружины.
Пружинные маятники широко используются в качестве акселерометра в системах управления баллистических ракет, контактных взрывателях артиллерийских и авиационных боеприпасов и т. п.
Акселерометр (лат. accelero — «ускоряю» и др.-греч. μετρέω — «измеряю») — прибор, измеряющий проекцию кажущегося ускорения (разности между истинным ускорением объекта и гравитационным ускорением). Как правило, акселерометр представляет собой чувствительную массу, закреплённую в упругом подвесе. Отклонение массы от её первоначального положения при наличии кажущегося ускорения несёт информацию о величине этого ускорения.
Рис. \(4\). Схема акселерометра
На рисунке \(4\) — схема простейшего акселерометра. Груз закреплён на пружине. Демпфер подавляет колебания груза. Чем больше кажущееся ускорение, тем сильнее деформируется пружина, изменяя показания прибора.
Источники:
Рис. 1. Колебания пружинного маятника. © ЯКласс.
Рис. 2. Колебания вертикального пружинного маятника. © ЯКласс.
Рис. 3. Изображение смещения маятника.
Рис. 4. Схема акселерометра.
Пружинные и математические маятники в физике
Содержание:
Пружинные и математические маятники:
Тело или система тел, совершающие периодические колебательные движения, называются маятниками. Большинство колебательных движений, встречающихся в природе, напоминают движение пружинных и математических маятников.
Система, состоящая из груза массой
Если немножко растянуть пружину и отпустить, то груз придет в колебательное движение в вертикальном направлении.
Если учесть, что ускорение тела, совершающего гармонические колебания , то уравнение (5.10) примет вид:
Из этого уравнения мы имеем:
Значит, частота циклического колебания тела, совершающего гармоническое колебание, зависит от параметров тел, входящих в систему колебания. Формула (5.12) называется формулой для
определения циклической (периодической) частоты пружинного маятника.
Период колебания пружинного маятника прямо пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению массы груза и обратно пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению упругости пружины.
Рассмотрим обмен энергиями в пружинном маятнике. Кинетическая энергия маятника, если не учитывать массу пружины, равна кинетической энергии груза, . В предыдущих темах было показано, что скорость можно выразить формулой . В таком случае кинетическая энергия маятника равна
Потенциальная энергия пружинного маятника равна энергии деформации пружины, т.е.:
В большинстве случаев важно знать полную энергию системы:
Если учесть, что ,
Обратите внимание, что полная энергия пружинного маятника является постоянной величиной, не зависящей от времени, т.е. соблюдается выполнение закона сохранения механической энергии.
Материальная точка, подвешенная на нерастяжимой и невесомой нити и совершающая периодическое колебательное движение вокруг равновесного состояния, называется математическим маятником.
Когда маятник находится в устойчивом равновесном состоянии, вес материальной точки уравновешивает силу натяжения (рис. 5.4), так как их модули равны и направлены по одной линии в противоположные стороны. Если наклонить маятник на угол , силы и не смогут уравновесить друг друга из-за взаимного расположения под углом. В результате сложения таких сил появится возвращающая сила, которая вернет маятник в равновесное состояние. Если отпустить маятник, то под воздействием возвращающей силы он начинает двигаться в сторону равновесного состояния.
Из рис. 5.4. видим, что:
Согласно второму закону Ньютона, сила придает материальной точке ускорение , поэтому
Из-за того, что угол наклона очень маленький , а сила направлена противоположно смещению, формулу (5.19) можно записать в виде
Если смещение материальной точки (шарика) во время колебательного процесса отметить буквой и учитывать соотношение , получим
Следовательно
Исходя из смысла периода колебания и учитывая, что получаем
Эта формула, определяющая период колебания математического маятника, называется формулой Гюйгенса. Отсюда вытекают следующие законы математического маятника:
- при маленьких углах наклона (а) математического маятника, его период колебания не зависит от амплитуды колебания.
- период колебания математического маятника также не зависит от массы подвешенного на него груза;
- период колебания математического маятника прямо пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению длины маятника и обратно пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению ускорения свободного падения.
Отсюда колебание математического маятника записывается следующим выражением:
Следует отметить, что когда амплитуда колебания или угол наклона велики, колебания математического маятника не являются гармоническим. В этом случае нельзя считать и для решения уравнения движения не применяется закон синусов или косинусов.
Пример:
Период колебания первого маятника равен 3 сек, второго – 4 сек. Найдите период колебания маятника с длиной, равной сумме длин этих маятников.
Дано:
Найти:
Формула:
Решение:
Ответ: 5 cек.
Пружинный и математический маятники
Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на нее, и обратно пропорционально массе материальной точки:
Закон Гука: модуль силы упругости , возникающей в теле при упругих деформациях, прямо пропорционален его абсолютному удлинению (сжатию) :
где k — жесткость тела, — длина недеформированного тела, l — длина деформированного тела.
Рассмотрим пружинный маятник, представляющий собой колебательную систему, образованную грузом на пружине.
Пусть груз массой т, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен к свободному концу невесомой пружины жесткостью k (рис. 3). Второй конец пружины закреплен относительно данной инерциальной системы отсчета (ИСО).
Выведем груз из положения равновесия, сместив его на расстояние х вправо. В пружине возникнет сила упругости направленная влево.
Запишем второй закон Ньютона для движения груза:
В проекции на ось Ох действующих на груз сил с учетом закона Гука получаем
или
Следовательно,
Это уравнение аналогично уравнению гармонических колебаний
Сравнивая эти два уравнения, находим циклическую частоту колебаний пружинного маятника:
Тогда период колебаний пружинного маятника можно найти по формуле
Как следует из полученной формулы, период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды его колебаний (в пределах выполнимости закона Гука).
Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды называется изохронностью (от греческих слов , — равный и — время). Таким образом, колебания пружинного маятника обладают свойством изохронности.
Изохронность колебаний маятника была открыта Галилео Галилеем в 1583 г. при изучении движения грузика, подвешенного на нити. Моделью данной колебательной системы является математический маятник.
Математическим маятником называется материальная точка массой т, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле каких-либо сил, например силы тяжести Земли (рис. 4).
Математический маятник — это идеализированная модель реального маятника при условии, что длина нити намного больше размеров подвешенного на ней тела и масса нити намного меньше массы тела. Кроме того, деформацией нити можно пренебречь.
Галилео Галилей экспериментально определил, что период малых колебаний (9 ). Он установил также, что период этих колебаний прямо пропорционален .
Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле Гюйгенса:
При углах отклонения математического маятника 20° погрешность расчета периода колебаний математического маятника по формуле Гюйгенса не превышает 1 %.
Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом (см. рис. 4), который нить образует с вертикалью.
Согласно второму закону Ньютона для движения шарика можем записать:
Смещение маятника вдоль дуги х = l, где угол выражен в радианах. Возвращающей силой в данном случае является проекция силы тяжести на касательную к дуге (см. рис. 4), которая определяется по формуле:
Заметим, что при малых углах и длина дуги
очень мало отличается от длины хорды Для небольших углов (до 10°) значения и sin различаются меньше чем на I %. Поэтому для таких углов равенство
(1)
является очень хорошим приближением.
Подставляя в выражение (1) значение, получим
Таким образом, уравнение движения маятника запишется в виде
Поскольку полученное уравнение совпадает с уравнением гармонических колебаний , то можно сделать вывод, что при малых отклонениях маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой
Как видно из этой формулы, циклическая частота не зависит от массы маятника и амплитуды его колебаний, а определяется только его длиной и ускорением свободного падения.
В общем случае, когда маятник находится в однородных полях нескольких сил, для определения периода колебаний следует ввести «эффективное ускорение» , характеризующее результирующее действие этих полей, и период колебаний маятника будет определяться по формуле
Пример:
Определите амплитуду А, циклическую частоту , период Т и начальную фазу колебаний тела массой m = 0,50 кг, подвешенного к вертикальной пружине (рис. 5). Известно, что в состоянии покоя тело растягивает пружину на = 10 мм и для возбуждения колебаний его смещают вниз на x = 30 мм и отпускают.
Решение
Циклическая частота колебаний «вертикального» пружинного маятника также определяется по формуле
Найдем жесткость k пружины. Из условия равновесия тела следует
По закону Гука
В проекции на ось Ох условие равновесия запишется в виде:
Отсюда для циклической частоты получаем
Так как по условию задачи тело сместили на расстояние х = 30 мм от положения равновесия, то амплитуда его колебаний
Период колебаний находим из соотношения
Поскольку в начальный момент времени тело было смещено на максимальную величину, то начальная фаза колебаний
Ответ:
Пример:
Металлический шарик, подвешенный на длинной легкой нерастяжимой нити, поднимают по вертикали до точки подвеса и отпускают. Затем нить маятника отклоняют на небольшой угол от вертикали и также отпускают. В каком из этих случаев шарик быстрее возвратится в начальное положение?
Решение
В первом случае шарик свободно падает без начальной скорости с высоты h = l, следовательно,
Отсюда находим промежуток времени , необходимый для возвращения шарика в начальное положение:
Во втором случае промежуток времени , необходимый шарику для возвращения из отклоненного положения в положение равновесия, найдем из уравнения гармонических колебаний
Поскольку в начальный момент времени t = 0 маятник имеет максимальное
отклонение от положения равновесия, то начальная фаза колебаний Так как в положении равновесия x = 0, то
Используя формулу для периода колебаний математического маятника
находим
Разделив почленно уравнения для промежутков времени получим
Ответ: шарик быстрее возвратится в начальное положение в случае, когда он движется вертикально вниз.
Пример:
Найдите периоды колебаний математического маятника длиной l= 1,0 м при перемещении его точки подвеса с ускорением, модуль которого а = , направленным: а) вертикально вверх; б) вертикально вниз.
Решение
Период колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли
а) При движении маятника с ускорением , направленным вверх (рис. 6, а), уравнение движения вдоль оси Оу
где Fy — проекция силы упругости нити.
Откуда находим
где g* = g + а — «эффективное ускорение».
Период колебаний определяется по формуле
б) При движении точки подвеса маятника с ускорением , направленным вниз (рис. 6, б), уравнение движения вдоль оси Оу
где Fy — проекция силы упругости нити. Откуда находим
где g*=g-a — «эффективное ускорение». Период колебаний
Ответ:
Что такое пружинный и математический маятники
Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение тела прямо пропорционально результирующей силе и обратно пропорционально массе тела:
Закон Гука: при упругих деформациях сжатия и растяжения модуль силы упругости прямо пропорционален модулю изменения длины тела:
где — жесткость тела, — длина недеформированного тела, -длина деформированного тела.
Колебательная система, состоящая из тела с прикрепленной к нему пружиной, называется пружинным маятником. Пружина может располагаться как вертикально (вертикальный пружинный маятник), так и горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).
Рассмотрим колебания горизонтального пружинного маятника. Пусть груз массой лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен к свободному концу легкой (невесомой) пружины жесткостью (рис. 6). Второй конец пружины неподвижен относительно данной инерциальной системы отсчета (ИСО).
Выведем груз из положения равновесия, сместив его на расстояние вправо (см. рис. 6). Тогда в пружине возникнет сила упругости действующая на груз и направленная влево.
Согласно второму закону Ньютона для движения груза
В проекции на ось действующих на груз сил (см. рис. 6) с учетом закона Гука получаем:
или
Перепишем полученное соотношение в виде:
которое является уравнением гармонических колебаний пружинного маятника.
Сравнивая (1) с уравнением гармонических колебаний находим циклическую частоту колебаний горизонтального пружинного маятника
которая определяется массой груза и жесткостью пружины.
Для нахождения периода колебаний пружинного маятника воспользуемся формулой подставив в нее выражение (2):
Как следует из формул (2) и (3), период и частота колебаний пружинного маятника не зависят от амплитуды его колебаний (в пределах выполнимости закона Гука).
Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды называется изохронностью (от греч. (изос) — равный и (хронос) — время). Следовательно, колебания пружинного маятника обладают свойством изохронности.
Изохронность колебаний маятника была открыта Гали-лео Галилеем в 1583 г. при изучении движения груза, подвешенного на нити. Моделью данной колебательной системы является математический маятник.
Колебательная система, состоящая из находящегося в поле силы тяжести тела, подвешенного на легкой нерастяжимой нити, размеры которого малы по сравнению с длиной нити, а его масса значительно больше массы нити, называется математическим маятником. При таких условиях тело можно считать материальной точкой, а нить — легкой нерастяжимой (рис. 7).
Рассмотрим колебания математического маятника.
Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом (см. рис. 7), который нить образует с вертикалью.
После отклонения маятника на него действуют две силы: направленная вертикально вниз сила тяжести и направленная вдоль нити сила упругости Под действием этих сил тело движется по дуге окружности к устойчивому положению равновесия.
Согласно второму закону Ньютона для движения маятника можем записать:
В проекциях на выбранные оси координат (см. рис. 7) получаем:
Для углов отклонения значения различаются меньше чем на 1 %. Поэтому при малых углах отклонения и длина дуги очень мало отличается от длины хорды где угол выражен в радианах. Тогда смещение маятника вдоль дуги Но практически маятник движется вдоль оси Из находим и, подставив это выражение в (5), получим:
Таким образом, силой, возвращающей маятник к устойчивому положению равновесия, является сила упругости его нити.
При малых углах отклонения маятника проекция вектора ускорения и ею можно пренебречь, а тогда из уравнения (6) следует, что
Следовательно, уравнение движения маятника вдоль оси запишется в виде:
где — ускорение, сообщаемое грузу маятника силой упругости нити.
Отсюда получаем уравнение гармонических колебаний математического маятника:
При сравнении уравнения (8) с уравнением гармонических колебаний можно сделать вывод, что при малых отклонениях математический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой
Тогда период малых колебаний математического маятника в поле тяжести Земли определяется по формуле Гюйгенса:
которую впервые получил ученик И. Ньютона Христиан Гюйгенс.
При углах отклонения математического маятника погрешность рас-чета периода колебаний математического маятника по формуле Гюйгенса не превышает 1 %.
Как видно из формул (9) и (10), циклическая частота и период математического маятника не зависят от массы маятника и амплитуды его колебаний, а определяются только его длиной и модулем ускорения свободного падения
Галилео Галилей первый экспериментально определил, что период малых колебаний математического маятника длиной в поле силы тяжести не зависит от его массы и амплитуды колебаний (угла начального отклонения Он установил также, что период этих колебаний прямо пропорционален
Если маятник приобретает дополнительное ускорение обусловленное, например, ускоренным движением точки подвеса, то при этом будет изменяться сила упругости нити. В таком случае период колебаний маятника будет определяться по формуле:
где — «эффективное ускорение», равное векторной разности
Пример:
Выведите формулу для периода колебаний вертикального пружинного маятника, если масса груза и жесткость пружины
Решение
Рассмотрим вертикальное движение груза, происходящее под действием силы упругости пружины и силы тяжести груза после толчка. Начало координат поместим в точку, соответствующую равновесному положению тела (рис. 8). В этом положении пружина растянута на величину определяемую соотношением:
При смещении груза на величину из положения равновесия сила, действующая со стороны пружины на груз, равна
Тогда по второму закону Ньютона
С учетом соотношения (1) это уравнение перепишем в виде:
Если ввести обозначение то уравнение движения груза запишется в виде:
Оно описывает гармонические колебания вертикального пружинного маятника с частотой такой же, как у горизонтального пружинного маятника. Следовательно, период колебаний вертикального пружинного маятника такой же, как и горизонтального:
Ответ:
Таким образом, действующая в колебательной системе постоянная сила только смещает положения равновесия, но не изменяет частоту колебаний.
Пример:
Определите амплитуду циклическую частоту период и начальную фазу колебаний тела массой г подвешенного к вертикальной пружине (рис. 9). Известно, что в состоянии покоя тело растягивает пружину на расстояние мм и для возбуждения колебаний его смещают вниз на расстояние мм от положения равновесия и отпускают.
Дано:
Решение
Циклическая частота колебаний вертикального пружинного маятника так же, как и горизонтального, определяется по формуле (см. пример 1):
Для нахождения жесткости к пружины запишем условие равновесия тела:
По закону Гука
В проекции на ось условие равновесия запишется:
Отсюда для циклической частоты получаем:
Амплитуда колебаний маятника определяется начальным смешением:
Период колебаний находим из соотношения:
Поскольку в начальный момент времени тело было смещено на максимальную величину, то начальная фаза колебаний
Ответ:
Подробное объяснение пружинного и математического маятникаВторой закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на нее, и обратно пропорционально массе материальной точки:
Закон Гука: модуль силы упругости возникающей в теле при упругих деформациях, прямо пропорционален его абсолютному удлинению (сжатию)
где k — жесткость тела, — длина недеформированного тела, l — длина деформированного тела.
Простейшая колебательная система может быть получена с использованием груза и пружины.
Прикрепим груз массой m, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, к невесомой упругой пружине жесткостью k, второй конец которой зафиксирован (рис. 181). Такая система называется пружинным маятником.
Запишем второй закон Ньютона для этой системы
В проекции на ось Ох с учетом закона Гука получаем
или
Запишем это уравнение в форме, аналогичной уравнению движения гармонического осциллятора:
Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний
находим циклическую частоту колебаний пружинного маятника
Тогда период колебаний пружинного маятника можно найти по формуле
Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды, открытое Галилеем, называется изохронностью (от греческих слов — равный и — время).
Как видим, пружинный маятник обладает свойством изохронности, поскольку период его колебаний не зависит от амплитуды.
Одной из наиболее распространенных колебательных систем является математический маятник.
Математическим маятником называется материальная точка массой m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле каких-либо сил, например силы тяжести Земли (рис. 182).
Галилео Галилей экспериментально установил, что период колебаний математического маятника в поле силы тяжести не зависит от его массы и амплитуды колебаний (угла начального отклонения). Он установил также, что период колебаний прямо пропорционален
Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле Гюйгенса:
При углах отклонения математического маятника погрешность формулы Гюйгенса не превышает 1 %.
Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом который нить образует с вертикалью.
Из второго закона Ньютона следует (см. рис. 182):
Смещение маятника вдоль дуги где угол выражен в радианах.
Возвращающей силой в данном случае является проекция на касательную к дуге силы тяжести (см. рис. 182), которая определяется по формуле
Заметим, что при малых углах длина дуги АВ = х = очень мало отличается от длины хорды так как при малых
Для небольших углов (до 10°) значения различаются меньше чем на 1 %. Поэтому для таких углов равенство
является очень хорошим приближением.
Используя полученное соотношение между координатой х и углом находим Подставляем его в выражение для проекции силы:
Таким образом, уравнение движения маятника запишется в виде
Поскольку полученное уравнение совпадает с уравнением гармонических колебаний то можно сделать вывод, что при малых отклонениях маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой
Как видно из этой формулы, циклическая частота не зависит от массы маятника и амплитуды его колебаний, а определяется только его длиной и ускорением свободного падения.
В общем случае, когда маятник находится в однородных полях нескольких сил, для определения периода колебаний следует ввести «эффективное ускорение» характеризующее результирующее действие этих полей, и период колебаний маятника будет определяться по формуле
Математический и пружинный маятники и энергия колебаний
Колебательные движения очень разнообразны. При этом существует «классика» колебательных движений — они описаны сотни лет назад, их изучением занимались Галилео Галилей (1564– 1642) и Христиан Гюйгенс (1629–1695). Это колебания пружинного и математического маятников.
Колебания пружинного маятника
Пружинный маятник — это колебательная система, представляющая собой закрепленное на пружине тело.
Рассмотрим колебания горизонтального пружинного маятника — тележки массой m, закрепленной на пружине жесткостью k. Будем считать, что силы трения, действующие в системе, пренебрежимо малы, а значит, колебания маятника незатухающие (их амплитуда с течением времени не изменяется, а полная механическая энергия системы сохраняется). При этом потенциальная энергия деформированной пружины будет превращаться в кинетическую энергию движения тележки, и наоборот.
Колебания пружинного маятника:
Обратите внимание! В течение всего времени колебания сила упругости направлена в сторону, противоположную смещению тележки, — сила упругости все время «толкает» тележку к положению равновесия.
Итак, причины свободных колебаний пружинного маятника: 1) действующая на тело сила всегда направлена к положению равновесия; 2) колеблющееся тело инертно, поэтому оно не останавливается в положении равновесия (когда равнодействующая сил становится равной нулю), а продолжает движение в том же направлении.
Как вычислить период колебаний пружинного маятника
Рассмотрим колебания тележки, закрепленной на горизонтальной пружине, с точки зрения второго закона Ньютона (рис. 20.1). Запишем уравнение второго закона Ньютона в векторном виде:
Сила тяжести и сила нормальной реакции опоры уравновешивают друг друга, поэтому . Спроецировав это уравнение на ось ОХ и воспользовавшись законом Гука получим: .
Последнее уравнение можно записать в виде Таким образом, колебания тележки на пружине являются гармоническими колебаниями, а циклическая частота этих колебаний равна:
Приняв во внимание, что , получим формулу для вычисления периода колебаний пружинного маятника:
Обратите внимание! Период колебаний пружинного маятника не зависит ни от амплитуды колебаний, ни от места расположения маятника (на поверхности Земли или Луны, в космическом корабле и т. д.), — он определяется только характеристиками самой колебательной системы «тело — пружина». Если период Т колебаний тела и жесткость k пружины известны, можно найти массу m тела. Такой способ определения массы используют в состоянии невесомости, когда обычные весы не работают.
Что называют математическим маятником
Любое твердое тело, которое совершает или может совершать колебания относительно оси, проходящей через точку подвеса, называют физическим маятником. Примером может быть игрушка, подвешенная на нити в салоне автомобиля. Если игрушку вывести из положения равновесия, она начнет колебаться. Однако изучать такие колебания сложно: их характер определяется размерами и формой игрушки, свойствами нити и другими факторами.
Чтобы размеры тела не влияли на характер его колебаний, следует взять нить, длина которой намного больше размеров тела, а масса незначительна по сравнению с его массой. В таком случае тело можно считать материальной точкой. А чтобы во время колебаний тело все время находилось на одинаковом расстоянии от точки подвеса, нить должна быть нерастяжимой. Таким образом будет получена физическая модель — математический маятник.
Математический маятник — это физическая модель колебательной системы, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити, и гравитационного поля.
Колебания математического маятника
Возьмем небольшой, но достаточно тяжелый шарик и подвесим его на длинной нерастяжимой нити — такой маятник можно считать математическим. Если отклонить шарик от положения равновесия и отпустить, то в результате действия гравитационного поля Земли (силы тяжести) и силы натяжения нити шарик начнет колебаться около положения равновесия. Поскольку сопротивление воздуха пренебрежимо мало, а силы, действующие в системе, являются консервативными, полная механическая энергия шарика будет сохраняться: потенциальная энергия шарика будет превращаться в его кинетическую энергию, и наоборот.
Рассмотрите колебательное движение шарика (рис. 20.2). Объясните причины его движения. Какие происходят превращения энергии?
Как вычислить период колебаний математического маятника
Математический маятник, отклоненный от положения равновесия на небольшой угол (3–5°), будет совершать гармонические колебания, то есть ускорение его движения все время будет прямо пропорционально смещению и направлено в сторону, противоположную смещению:
Для математического маятника: . Поскольку , имеем формулу для периода колебаний математического маятника:
где l — длина маятника; g — ускорение свободного падения.
Данную формулу впервые получил в XVII в. голландский ученый Христиан Гюйгенс, поэтому ее называют формулой Гюйгенса.
Период колебаний математического маятника не зависит от массы маятника, а определяется только длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где расположен маятник. Поэтому, измерив длину нити и период колебаний маятника, можно определить ускорение свободного падения в данной местности.
Пример:
Уравнение колебаний груза массой 1 кг на пружине имеет вид: (cм). Найдите полную механическую энергию колебаний; наибольшую скорость груза; кинетическую и потенциальную энергии системы через с после начала отсчета времени. Трением пренебречь.
Решение:
Трение отсутствует, поэтому полная механическая энергия сохраняется:
Сравним уравнение колебаний в общем виде с уравнением, приведенным в задаче:
Поскольку
Определив удлинение пружины через, вычислим потенциальную и кинетическую энергии пружины:
Выводы:
- Пружинный маятник — колебательная система, представляющая собой тело, закрепленное на пружине. Период свободных колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды колебаний и определяется по формуле:
- Математический маятник — это физическая модель колебательной системы, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити, и гравитационного поля. Период колебаний математического маятника не зависит от его массы и амплитуды колебаний и определяется по формуле:
- Во время свободных колебаний маятника его потенциальная и кинетическая энергии непрерывно изменяются: потенциальная энергия максимальна в точках поворота и равна нулю в момент прохождения маятником положения равновесия; кинетическая энергия в точках поворота равна нулю и достигает максимального значения в момент прохождения маятником положения равновесия.
Пружинный маятник
«Мир, в котором мы живём,
удивительно склонен к колебаниям….
Колеблются даже атомы,
из которых мы состоим».
Данная тема посвящена решению задач на пружинный маятник.
Задача 1. На пружину с жёсткостью 50 Н/м подвешивают груз массой 3 кг. За какое время груз совершит 30 полных колебаний?
|
ДАНО: |
РЕШЕНИЕ Период колебаний пружинного маятника может быть определён по формуле Период колебаний, в общем случае также рассчитывается по формуле Приравняем эти формулы и выразим искомое время |
Ответ: 46,2 с.
Задача 2. К пружине подвешен груз массой 100 г. После того, как массу груза увеличили, период колебаний увеличился в 2,5 раза. Найдите массу, на которую увеличили массу груза.
|
ДАНО: |
СИ |
РЕШЕНИЕ Период колебаний пруженного маятника определяется по формуле Применим эту формулу для начального и конечного периодов Т.к. по условию задачи То получаем Преобразуем данное выражение |
Ответ: 525 г.
Задача 3. Шарик массой 400 г подвешен на пружине. Собственная частота колебаний шарика равна 15 рад/с, а начальная амплитуда колебаний равна 40 см. Известно, что система теряет энергию со скоростью 2 Дж/с. Через какое время после начала затухания колебаний шарик остановится?
|
ДАНО: |
СИ |
РЕШЕНИЕ Энергия пружинного маятника рассчитывается по формуле Собственная частота пружинного маятника определяется по формуле Выразим из этой формулы коэффициент жёсткости и подставим его в первую формулу Составим уравнение, учитывая то, что шарик остановится в тот момент, когда система исчерпает свою энергию (то есть, начальная энергия будет уменьшаться с указанной в задаче скоростью, в течение определённого промежутка времени) |
Ответ: 3,6 с.
Задача 4. Пружинный маятник совершает колебания по закону косинуса. Известно, что максимальная скорость, достигаемая системой при колебаниях равна 3 м/с, а период колебаний составляет 10 с. Постройте графики зависимости координаты и скорости от времени. Сдвиг фаз равен нулю.
|
ДАНО: |
РЕШЕНИЕ Запишем уравнение гармонических колебаний Циклическую частоту пружинного маятника можно рассчитать по формуле С другой стороны циклическая частота определяется как Запишем закон сохранения энергии для пружинного маятника При колебаниях потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот, поэтому, полную энергию можно приравнять к максимальной кинетической или максимальной потенциальной энергии. Приравняем эти две формулы и выразим амплитуду Тогда с учетом значений амплитуды и циклической частоты уравнение гармонических колебаний примет вид Скорость гармонических колебаний описывается уравнением Тогда получаем По полученным зависимостям построим требуемые в условии задачи графики |
Задача 5. Шарик, прикреплённый к пружине, совершает колебания в горизонтальной плоскости с периодом 5 с. Если эту пружину заменить на другую, то период колебаний станет равен 8 с. Найдите период колебаний, системы, состоящей из этих двух пружин и шарика (пружины соединяются последовательно).
|
ДАНО: |
РЕШЕНИЕ Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле Применим эту формулу к первому и второму значению периода и выразим из этих формул коэффициенты жёсткости пружин При некотором сжатии (или растяжении) в каждой из пружин возникнут силы упругости. Пусть в пружине, конец которой зафиксирован, возникает сила упругости F1 (которая будет действовать на вторую пружину). В свою очередь, во второй пружине тоже возникнет сила упругости, которая будет действовать на первую пружину (обозначим её за F2). Запишем закон Гука Применим его для сил F1 и F2 Очевидно, что смещение шарика будет определяться как Тогда Тогда период колебаний пружинного маятника |
Ответ: 9,43 с.
Механиканьютонов – Почему простой маятник или система пружина-масса демонстрируют простое гармоническое движение только для малых амплитуд?
Простой маятник не показывает строго простое гармоническое движение, если вы не допускаете некоторых приближений и неопределенностей. 2} = -g \ theta \ tag {5} $$
Приведенное выше уравнение очень похоже на уравнение $ (1) $.Он идеально сочетается. Следовательно, при малых амплитудах маятник совершает простое гармоническое движение с разумной неопределенностью.
Выполняет ли система пружина-масса простое гармоническое движение?
Если пружина подчиняется закону Гука, она всегда совершает простое гармоническое движение.
Закон Гука гласит, что:
$$ F_ {восстановление} = ma = – kx \ tag {6} $$
Из приведенного выше уравнения ясно видно, что ускорение прямо пропорционально смещению и действует в направлении, противоположном смещению.
Почему мы ограничиваем амплитуду системы пружина-масса?
При сильном напряжении пружина не подчиняется закону Гука. Это очевидно: если вы слишком сильно растянете пружину, она деформируется навсегда. Следовательно, уравнение $ (6) $ больше не выполняется. Если это уравнение не выполняется, то масса не будет совершать простое гармоническое движение.
домашних заданий и упражнений – Влияние магнитного поля на временной период пружинного маятника
Нетехническая версия: магнит притягивает массу вниз, и величина этой силы увеличивается по мере растяжения пружины.Пружина тянет массу вверх, и величина этой силы также увеличивается по мере того, как пружина растягивается. Таким образом, эффект магнита заключается в уменьшении эффективной жесткости пружины, поскольку магнит работает против пружины. Чистая сила, действующая на массу от пружины и магнита вместе, увеличивается медленнее, чем сила от одной только пружины; Другими словами, добавление магнита в основном эквивалентно замене исходной пружины на менее жесткую. Поскольку период массы на пружине уменьшается по мере уменьшения жесткости пружины, период колебаний с присутствующим магнитом будет меньше, чем без присутствующего магнита.
Техническая версия: Пусть $ z $ будет вертикальной координатой массы, положительное значение $ z $ измерено на вниз на от нерастянутого места пружины. Масса испытает три силы:
- Гравитация, при $ F_g = + mg $;
- Сила пружины при $ F_s = – k z $; и
- Сила $ F_m (z) $ от магнита. Эта сила будет (предположительно) направлена вниз для всех значений $ z $ и обычно будет увеличиваться с увеличением $ z $: $ dF_m / dz> 0 $.
Пусть $ z_0 $ будет координатой, при которой система находится в равновесии. В этот момент чистые силы на массу должны уравняться: $$ F_g + F_s + F_m = мг – k z_0 + F_m (z_0) = 0. $$ Давайте теперь представим, как смещение массы на небольшое расстояние $ \ epsilon $ от положения равновесия; другими словами, $ z = z_0 + \ epsilon $. Поскольку $ \ ddot {z} = \ ddot {\ epsilon} $, второй закон Ньютона принимает следующий вид: \ begin {align} m \ ddot {\ epsilon} & = F_g + F_s + F_m \\ & = мг – k (z_0 + \ epsilon) + F_m (z_0 + \ epsilon) \\ & \ приблизительно мг – k z_0 – k \ epsilon + F_m (z_0) + F_m ‘(z_0) \ epsilon \ end {align} где мы расширили $ F_m (z_0 + \ epsilon) $ в ряд Тейлора на последнем шаге.Тогда из условия равновесия это сводится к $$ m \ ddot {\ epsilon} = – (k – F_m ‘(z_0)) \ epsilon $$ поэтому частота колебаний равна $$ \ omega = \ sqrt {\ frac {k – F_m ‘(z_0)} {m}} <\ sqrt {\ frac {k} {m}}. $$ Поскольку угловая частота массы в отсутствие магнита равна $ \ sqrt {k / m} $, мы заключаем, что период колебаний увеличивается на в присутствии магнита, и поэтому период уменьшается на .
(Все это предполагает, что $ F_m ‘(z_0) Рисунок 1 : Позиционный график, показывающий синусоидальное движение объекта в SHM y = −A y = + A y = −A. 1 Гц = 1 с −1 . (3) v = 2 π fA cos (2 π футов) (4) a = – (2 π f) 2 [A sin (2 π футов)] f = 1 / T a = – (2 π f) 2 [A sin (2 π ft)] a = −4 π 2 f 2 y Рисунок 2 : Пять ключевых точек массы, колеблющейся на пружине. y = Рисунок 3 : Положение, скорость и ускорение в зависимости отвремя Δy Рисунок 4 : Настройка для определения жесткости пружины Рисунок 5 : Фотография установки для определения жесткости пружины Рисунок 6 : Схема свободного тела для системы пружина-масса Δm Δy Δmg – kΔy = 0 ma = F = −ky. a = −4 π 2 f 2 y (9) м (−4 π 2 f 2 y) = −ky (10) (11) T 2 Рисунок 7 : Экспериментальная установка для простого маятника Рисунок 8 : Простой маятник (13) ma = F = −mg sin θ α = a / L. ma = F = −mg sin θ Рисунок 9 : Графики sin θ в сравнении с θ a = −4 π 2 f 2 y α = −4 π 2 f 2 θ (17) (18) 1 2 3 4 КПП 1: T 2 5 6 7 8 9 10 11 T 2 м 12 13 14 КПП 2: 15 16 м / с 2 17 18 19 20 21 КПП 3: Авторские права © 2010 Advanced Instructional Systems, Inc.и Государственный университет Северной Каролины. | Кредиты Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors. Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в качестве
ChillingEffects.org. Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу. Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия: Вы должны включить следующее: Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени. Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу: Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC Или заполните форму ниже: Изображение: ” Пружины – это эластичные объекты, которые используются для хранения механической энергии в своих витках благодаря их способности растягиваться и / или сжиматься. Их обычно называют спиральными пружинами. Когда пружина сжимается из своего неподвижного (неподвижного) положения, она может оказывать противодействующее усилие по отношению к изменению длины, которому она подверглась. «Источники обладают восстанавливающей силой» Изображение создано Lecturio Механическая энергия существует в виде кинетической и потенциальной энергии; первая присутствует, когда пружина не растянута, а вторая представляет собой энергию в системе, когда пружина растянута.Когда кинетическая энергия увеличивается, соответственно уменьшается упругая потенциальная энергия. Противодействующая сила, существующая в механических аспектах пружины, называется восстанавливающей силой и основана на законе Гука. Это сила, необходимая для восстановления пружины в исходное или равновесное положение. Восстанавливающая сила зависит от жесткости пружины и смещения пружины из положения равновесия. Жесткость пружины, в свою очередь, зависит от прочности пружины и учитывает различные физические свойства, такие как материал пружины и диаметр витка пружины.Чем толще пружина, тем выше жесткость пружины. И наоборот, более тонкие пружины имеют более низкие жесткие пружины. Уравнение восстановительной силы можно представить следующим образом: F пружина = – k x k = жесткость пружины x = смещение пружины из положения равновесия F пружина = восстанавливающая сила Уравнение требует отрицательного знака, поскольку пружина испытывает силу, возвращающую ее в положение равновесия при растяжении или сжатии.Эта сила действует в направлении, противоположном начальному растяжению или сжатию. Другими словами, направление растяжения пружины противоположно направлению силы, которую она прилагает. Жесткость пружины всегда положительна, поскольку учитывается только величина. Он представлен как ньютон на сантиметр (Н / см) или ньютон на миллиметр (Н / мм). имеют предел упругости, который указывает на степень, до которой она может быть растянута без изменения ее способности возвращаться к исходной длине.Пока этот предел не превышен, пружина демонстрирует упругие свойства; однако, если оно превышено, это свидетельствует о пластическом поведении. Закон Гука справедлив, только если пружина находится в пределах своего предела упругости. Пружины могут колебаться; Другими словами, они могут производить повторяющиеся изменения в движении между своими двумя крайними состояниями, растянутым и сжатым, начиная с средней точки (точки покоя или равновесия). Когда пружина растягивается и удерживается на месте, объект на конце пружины не имеет скорости, поскольку не движется.Сила будет действовать в направлении, противоположном растяжке. Это объясняет отрицательный знак в уравнении, представляющем закон Гука. Эта сила пытается восстановить положение пружины до точки равновесия. Смещение обозначается как «x», а максимальное смещение, которое может выдержать пружина, представлено как максимальная амплитуда (A). Когда объект на конце пружины отпускается, он будет тянуться к точке равновесия со скоростью v. «Весна выходит из равновесия» Изображение создано Lecturio В точке равновесия «x» будет равняться 0, поскольку пружина проходит через эту точку, когда она сжимается, чтобы противодействовать растяжению.Пружина продолжает сжиматься благодаря своей собственной скорости и достигает равновесия, пока не достигнет минимальной амплитуды, при которой скорость равна 0. В этот момент пружина обладает восстанавливающей силой, которая действует в противоположном направлении, позволяя ей вернуться в состояние равновесия. Этот цикл продолжается до тех пор, пока пружина не остановится в точке покоя. Это возвратно-поступательное движение, включающее растяжение и сжатие, называется колебанием. По завершении нескольких колебаний пружина прекращает движение и возвращается в точку покоя, где и «x», и «v» равны 0. На основании колебаний пружины и их свойств можно определить различные аспекты. Частота «f» обозначает количество циклов в секунду, которым подвергается пружина, а период «P» обозначает время между колебательными движениями. Эти две характеристики имеют обратную зависимость и могут быть представлены как P = 1 / f. Давайте посмотрим на частоту, чтобы определить свойства, которые влияют на эту переменную. На частоту влияют жесткость пружины «k» и масса пружины «m».’ f = (1/2 π) √ (к / м) Таким образом, P = 2 π √ (m / k). Давайте теперь посмотрим, как кинетическая и потенциальная энергии влияют на колебания. Когда пружина растягивается и затем отпускается, она проходит через точку равновесия. Начальная энергия до выпуска равна энергии движения пружины через точку равновесия. Это закон сохранения энергии в пружине. Таким образом, E начальный = E конечный Энергия – это комбинация кинетической энергии «K» и потенциальной энергии «U».’ Итак, K начальный + U начальный = K конечный + U конечный До того, как пружина будет отпущена после растяжения, можно считать, что система находится в состоянии покоя. На этом этапе кинетическая энергия не играет роли. Таким образом, K начальный = 0. Аналогично, поскольку в состоянии равновесия нет потенциальной энергии, U конечный = 0. Это упрощает уравнение до: U начальный = K конечный (1/2) к A 2 = (1/2) м v 2 Это уравнение можно расширить, поскольку потенциальная энергия зависит от растянутой пружины, тогда как кинетическая энергия зависит от скорости движения пружины. Решение для скорости: в = А Другими словами, растянутая пружина обладает только потенциальной энергией. После отпускания восстанавливающие силы преобразуют потенциальную энергию в кинетическую, а затем, в положении равновесия, пружина обладает только кинетической энергией. И наоборот, когда пружина сжимается до своей минимальной амплитуды, ее кинетическая энергия полностью преобразуется в потенциальную. Это похоже на изменения потенциальной и кинетической энергии, которые происходят из-за воздействия гравитации на объект. «Энергосбережение в источниках» Изображение создано Lecturio Этот принцип используется при производстве кухонных весов, а также устройств, использующих пружины, таких как система подвески в автомобилях и выдвижные ручки. Маятник – это груз, подвешенный на оси без трения, позволяющей ему свободно качаться. Вначале перед качанием маятник находится прямо вниз в своем положении покоя или равновесии.Как только он смещается в сторону, раскачивание начинается с колебательных движений вперед и назад. Маятник качается таким образом, поскольку существует восстанавливающая сила, которая перемещает его в положение равновесия. «Маятник» Изображение создано Lecturio Восстановительная сила маятника возвращает его в точку равновесия после того, как он был перемещен. Маятник имеет восстанавливающую силу и колебательный узор, аналогичный пружине.Качающийся маятник проходит через положение покоя и продолжает качаться, пока не достигнет определенного расстояния от точки равновесия; здесь он на мгновение останавливается и поворачивается обратно в противоположном направлении. Это колебательное движение продолжается до тех пор, пока маятник не перестанет раскачиваться. Предполагается, что в этой модели нет трения или сопротивления воздуха. В отличие от пружины, восстанавливающая сила зависит от силы тяжести и угла (ɵ) движения от средней точки, а не от массы, подвешенной на маятнике.Маятник похож на пружину, поскольку восстанавливающие силы для обоих зависят от смещения. F = m g sin ɵ F = восстанавливающая сила для возврата к равновесию M = масса качающегося объекта г = плотность ɵ = угол поворота от средней точки Однако для математических расчетов sin ɵ = ɵ для очень малых углов, что приводит к: F = м г ɵ Различные аспекты могут быть определены на основе колебаний маятника.Частота «f» указывает количество колебаний маятника в секунду, а период «P» обозначает время между колебательными движениями. Эти две характеристики обратно связаны и могут быть представлены как P = 1 / f Давайте посмотрим на частоту, чтобы определить свойства, которые влияют на эту переменную. На частоту влияют гравитационная энергия «g» и длина маятника «L.» f = 1 / [2π √ (л / г)] Таким образом, P = 2 π √ (л / г) Следует отметить, что масса маятника не влияет на его качание. «Энергосбережение маятников» Изображение создано Lecturio Колебания маятника определяются кинетической и потенциальной энергиями. Когда маятник перемещается и затем отпускается, он движется через точку равновесия. Энергия системы до смещения равна энергии, которой обладает маятник, когда он движется через точку равновесия. Это закон сохранения энергии в маятнике. Таким образом, E начальный = E конечный .Поскольку существует разница в вертикальном положении маятника в его начальной и конечной остановках, уравнение можно представить как E верх = E низ E верхний представляет энергию до высвобождения маятника из его смещенного положения, в то время как E нижний представляет энергию в точке равновесия. Энергия – это комбинация кинетической энергии «K» и потенциальной энергии «U». Итак, K верх + U верх = K низ + U низ Перед выходом из исходного положения кинетическая энергия маятника, K top = 0.Кроме того, в положении равновесия потенциальная энергия системы U дно = 0. Это упрощает уравнение до: U верх = K низ mgh = (1/2) m v 2 Уравнение можно расширить, поскольку потенциальная энергия зависит от смещенного маятника, тогда как кинетическая энергия зависит от скорости маятника. Решение для скорости: v = √ (2gh) Другими словами, маятник перед перемещением обладает только потенциальной энергией.После высвобождения восстанавливающие силы преобразуют потенциальную энергию в кинетическую, и, следовательно, маятник в состоянии равновесия обладает только кинетической энергией. Этот цикл повторяется, когда маятник раскачивается вперед и назад. Это явление похоже на изменения потенциальной и кинетической энергии, которые происходят из-за воздействия силы тяжести на свободно падающий объект или из-за колебаний сжатия / растяжения пружины. Демпфирование переменной массы на пружинном маятнике Rafael M.Digilov, a 兲 M. Reiner и Z. Weizman Департамент образования в области технологий и науки, Технион-Израильский технологический институт, Хайфа 32000, Израиль 共 Поступила 8 декабря 2004 г .; принято 27 мая 2005 г. № Представлена модель затухающих колебаний переменной массы на пружинном маятнике, при этом масса уменьшается с постоянной скоростью . Модель включает в себя члены демпфирования, которые являются линейными и квадратичными в скорости.Обсуждается влияние скорости потери массы на величину параметров демпфирования. Модель сравнивается с экспериментальными данными, полученными с помощью компьютерного лабораторного оборудования . © 2005 Американская ассоциация учителей физики. 关 DOI: 10.1119 / 1.1979498 兴 I. ВВЕДЕНИЕ Недорогое компьютерное оборудование было недавно использовано для измерения затухающих колебаний пружинного маятника , масса которого уменьшается с постоянной скоростью, 1 0 – rt, 共 1 兲 , где m 0 – начальная масса маятника, а r – скорость потери массы .Затухание из-за потери энергии вызвано потерей массы и сопротивлением воздуха. В исх. 1 сопротивление воздуха было как- пропорционально скорости движения, F d = −b v , 2 兲 , где b – постоянная демпфирования, и для спада амплитуды колебаний в зависимости от времени получено приближенное выражение : 1 A 共 t 兲 = A 0 冉 1− r м 0 т 冊 б / 2р + 1/4 .共 3 兲 Отношение A 共 t 兲 / A 0 не зависит от начальной амплитуды A 0 . Было идентифицировано три характерных спада амплитуды колебаний , в зависимости от того, какой механизм демпфирования доминирует. 1 Когда сопротивление воздуха играет доминирующую роль 共 b Ⰷ r 兲, конверт является экспоненциальным; когда b r, скорость enve- линейна; и когда потеря энергии из-за потери массы преобладает b Ⰶ r 兲, огибающая является выпуклой. Для того, чтобы модель линейного сопротивления воздуха была верной, амплитуда колебаний должна быть намного меньше, чем характерный размер тела , а число Рейнольдса Re должно удовлетворять Re 艋 3000. 2 В большинстве случаев это приближение не учитывает наблюдаемое поведение реального маятника, и члены нелинейного демпфирования обычно необходимы. 3,4 В этой статье мы описываем затухающие колебания пружинного маятника с переменной массой для Re⬎10 4 путем включения дополнительного демпфирующего члена из-за сопротивления воздуха, квадратичного в . скорость.Приближенное решение для спада амплитуды колебаний os- сравнивается с данными, полученными с помощью компьютерного оборудования . II. МОДЕЛЬ Рассмотрим контейнер, наполненный песком и подвешенный на винтовой пружине с силовой постоянной k. Контейнер колеблется вдоль вертикальной оси z, и его масса m 共 t 兲 уменьшается, как в уравнении. 共 1 兲. Закон сохранения количества движения для системы переменной массы равен 5 d dt 共 m v 兲 = F + u dm dt , 共 40002 где v = dz / dt, z увеличивается вниз, а u 共 dm / dt 兲 – скорость , с которой импульс покидает систему.Чистая внешняя сила F, действующая на контейнер, обусловлена его массой F г = m 共 t 兲 g, где g – ускорение свободного падения, а восстанавливающая сила , которая равна пропорционально смещению пружины из исходного положения z = 0, F k = −k 共 z + z 0 兲, где z 0 共 t 兲 = m共 t 兲 g / k – положение пружины в равновесии. Сопротивление воздуха , F d , предполагается как сумма членов, линейных и квадратичных по скорости F d = −b 共 dz / dt 兲 – c 兩dz / dt 兩 共 dz / dt 兲, 共 5 兲 где c – квадратичный параметр демпфирования.Если мы предположим , что скорость песка относительно контейнера равна нулю в момент выхода из контейнера, тогда u ⬇ v = dz / dt и Eq.共 4 兲 становится m 共 t 兲 d 2 z dt 2 + c 冏 dz dt 9000 dz b dz dt + kz = 0.共 6 兲 Уравнение 共 6 兲 нелинейно и не может быть решено аналитически. Наше приближенное решение основано на предположении, что затухание мало и его влияние на изменение амплитуды tude A и угловой частоты за одно колебание мало по сравнению с амплитуда A 0 и частота 0 ⬇ 冑 к / м 0 без демпфирования. Для того, чтобы это предположение было верным , мы должны иметь b 冑 км, c Ⰶ м / A и r 冑 км. Первое приближение к решению уравнения.共 6 兲 может быть записано как z 共 t 兲 = A 共 t 兲 cos 共 t + 兲, 共 7 兲 , где A 共 t 兲 медленно уменьшается, и 共 t 兲 ⬇ 冑 к / м 共 t 兲 медленно увеличивается – складывается из-за потери массы; – начальная фаза. Функциональная форма A 共 t 兲 может быть найдена из уравнения потерь энергии для системы с переменной массой, которое в нашем случае u ⬇ v 兲 может быть получено 4 , взяв скалярное произведение на с обеими сторонами уравнения.共 4 兲. Результат: dE dt = v F d – r v 2 2 .共 8 兲 Потеря энергии за один цикл получается путем интегрирования Eq.共 8 兲 за период T = 2 / от t до t + T. С уравнением.共 5 兲, у нас 901 901Ам. J. Phys. 73 共 10 兲, октябрь 2005 г. http://aapt.org/ajp © 2005 Американская ассоциация учителей физики Существует множество уравнений для описания простого гармонического движения.Первое, на которое мы собираемся взглянуть ниже, говорит нам, что период времени колеблющейся пружины, T , измеренный в секундах, равен 2pi, умноженному на квадратный корень из m из k , где м – это масса объекта, соединенного с пружиной, измеренная в килограммах, а k – жесткость пружины (мера упругости) пружины. Период времени – это время, которое требуется объекту для завершения одного полного цикла своего периодического движения, например, время, необходимое маятнику, чтобы совершить одно полное движение назад и вперед. Все простые гармонические движения синусоидальны. Лучше всего это можно проиллюстрировать визуально. Как вы можете видеть из нашей анимации (см. Видео на 01:34), масса на пружине, совершающая простое гармоническое движение, замедляется в самом верху и внизу, прежде чем снова постепенно увеличивать скорость по мере приближения к центру. Он проводит больше времени вверху и внизу, чем в середине.Математически любое движение, имеющее восстанавливающую силу, пропорциональную смещению из положения равновесия, будет изменяться таким образом. Из-за этого основное уравнение, показанное ниже, имеет форму синусоиды. В нем говорится, что смещение равно амплитуде вариации, A , иначе известному как максимальное смещение, умноженному на синус omega- t , где omega – угловая частота вариации, а t самое время.Это смещение может быть в направлении x или x , в зависимости от ситуации. Вертикальная масса на пружине изменяется в направлении x синусоидально. Горизонтальная масса на пружине изменяется в направлении x синусоидально. Маятник имеет такое изменение в обоих направлениях. В этом уравнении есть синус, а график синуса начинается с нуля.Использование этого уравнения похоже на запуск вашего математического секундомера в середине колебания маятника: t = 0 находится в центре колебания. Если, с другой стороны, вы замените синус на косинус, тогда уравнение все равно будет правильным; вместо этого вы только начинаете измерять время при максимальном смещении. Но нам также нужно определить угловую частоту. Угловая частота – это количество радиан колебания, которое совершается каждую секунду. Полные 360 градусов составляют 2 радиана на дюйм, и это представляет собой одно полное колебание: от середины к полностью растянутой пружине, обратно к середине, к полностью сжатой пружине и затем снова обратно к середине.Вы можете преобразовать угловую частоту в обычную частоту, разделив ее на 2pi. Обычная частота , f , просто сообщает вам количество полных циклов в секунду, измеренное в герцах. Также стоит отметить, что период времени T , который использовался в первом уравнении, равен единице, деленной на частоту, f . Итак, из-за этой связи вы можете получить вопрос, который пересекается между всеми этими тремя уравнениями. Хорошо, давайте рассмотрим пример.У нас есть масса на пружине массой 4 килограмма и жесткостью пружины 6 Н / м. Максимальное смещение пружины 0,8 метра. Какой временной период массы на весне? А какое смещение через 0,6 секунды? Секундомер запускается, когда груз на пружине проходит через положение равновесия (через середину). Хорошо, в первую очередь, мы должны записать то, что мы знаем. Масса на рессоре м = 4 кг. Жесткость пружины k составляет 6 Н / с.Амплитуда (или максимальное смещение) A составляет 0,8 м, а время t составляет 0,6. Мы пытаемся найти T и x . Прежде всего, чтобы найти T , мы просто подставляем числа в первое уравнение и решаем. 2pi умножить на квадратный корень из 4, деленный на 6. Получается 5,13 секунды. Теперь нам нужно найти смещение, x . Мы будем использовать синусоидальную версию уравнения смещения, поскольку секундомер запускается, когда масса на пружине проходит через среднее положение.Чтобы найти смещение, нам сначала нужна угловая частота omega. У нас есть все остальное в уравнении смещения: и время, и амплитуда. У нас нет угловой частоты, и у нас нет регулярной частоты, f , но у нас есть временной период из предыдущей части. Частота, разделенная на период времени, составляет 1 / 5,13 = 0,195 Гц. И чтобы получить угловую частоту, мы просто умножаем эту обычную частоту на 2pi, что составляет 1,23 радиана в секунду. Наконец-то мы можем подставить числа в уравнение смещения.Смещение равно 0,8 метра, умноженное на синус 1,23 умноженное на 0,6. Убедитесь, что ваш калькулятор находится в режиме радианов, введите это, и вы должны получить 0,54 метра. Вот и все; были сделаны! Простое гармоническое движение – это любое движение, при котором прикладывается восстанавливающая сила, пропорциональная смещению и в направлении, противоположном этому смещению. Другими словами, чем больше вы тянете его в одну сторону, тем больше он хочет вернуться в середину.Классическим примером этого является груз на пружине, потому что чем больше вы его растягиваете, тем сильнее вы чувствуете рывок назад к середине. При любом простом гармоническом движении скорость максимальна в середине, но восстанавливающая сила (и, следовательно, ускорение) максимальна при максимальном смещении (это когда пружина наиболее растянута или наиболее сжата). Уравнения, обсуждаемые в этом уроке, можно использовать для решения задач, связанных с простым гармоническим движением. В этих уравнениях x – это смещение пружины (или маятника, или чего-то еще, что находится в простом гармоническом движении), A – амплитуда, omega – угловая частота, t – время, g – ускорение свободного падения (всегда 9. Lab 7 – Простое гармоническое движение
Введение
Вы когда-нибудь задумывались, почему напольные часы показывают точное время? Движение маятника – это особый вид повторяющегося или периодического движения, называемого простым гармоническим движением или SHM. Положение колеблющегося объекта изменяется синусоидально со временем. Многие объекты колеблются взад и вперед.Движение ребенка на качелях можно представить себе как синусоидальное и, следовательно, можно рассматривать как простое гармоническое движение. Некоторые сложные движения, такие как турбулентные волны на воде, не считаются простым гармоническим движением. Когда объект находится в простом гармоническом движении, можно легко определить скорость, с которой он колеблется взад и вперед, а также его положение относительно времени. В этой лабораторной работе вы проанализируете простой маятник и систему пружина-масса, которые демонстрируют простое гармоническое движение. Обсуждение принципов
Частица, которая колеблется вертикально в простом гармоническом движении, перемещается вверх и вниз между двумя крайними точками y = ± A . Максимальное смещение A называется амплитудой . Это движение графически показано на графике зависимости положения от времени на рис.1.
Отметив время, когда отрицательное максимальное, положительное максимальное и нулевое значения возникают для положения, скорости и ускорения колеблющегося объекта, вы можете построить график функции синуса (или косинуса).Это сделано для случая колеблющейся системы пружина-масса в таблице ниже, а три функции показаны на рис. 3. Обратите внимание, что положительное направление обычно выбирается как направление, в котором пружина растягивается. Следовательно, положительное направление в этом случае – вниз, и исходное положение A, на фиг. 2 фактически является отрицательным значением. Самый сложный параметр для анализа – это ускорение. Это помогает использовать второй закон Ньютона, который говорит нам, что отрицательное максимальное ускорение происходит, когда результирующая сила равна отрицательному максимуму, положительное максимальное ускорение происходит, когда результирующая сила равна положительному максимуму, и ускорение равно нулю, когда результирующая сила равна нулю. Положение Скорость Ускорение Точка A отр. Макс. ноль pos max Точка B поз. C макс ноль макс Точка D ноль макс макс ноль Точка E макс макс ноль макс макс Масса и пружина
Масса, подвешенная на конце пружины, растянет ее на некоторое расстояние х . Сила, с которой пружина тянет вверх груз, определяется по формуле Hooke ‘ s law где k – жесткость пружины, а y – растяжение пружины, когда к пружине прилагается усилие F .Константа пружины k является мерой жесткости пружины. Жесткость пружины может быть определена экспериментально, позволяя грузу неподвижно висеть на пружине, а затем добавляя дополнительную массу и записывая дополнительное растяжение пружины, как показано ниже. На рис. 4а подвеска груза подвешена к концу пружины. На рис. 4b к подвеске добавлена дополнительная масса, и теперь пружина выдвигается на величину
Используя уравнение.(11) T = 2 π
мы можем предсказать период, если мы знаем массу пружины и ее жесткость. В качестве альтернативы, зная массу пружины и экспериментально измеряя период, мы можем определить жесткость пружины. Обратите внимание, что в формуле. (11) T = 2 π
связь между T и м не является линейной. График зависимости периода от массы не будет прямой линией.Если возвести обе стороны уравнения в квадрат. (11) T = 2 π
, получаем Теперь график зависимости Простой маятник
Другой пример простого гармонического движения, который вы исследуете, – это простой маятник . Простой маятник состоит из массы м , называемой маятниковым бобом, прикрепленной к концу веревки.Длина L простого маятника измеряется от точки подвешивания струны до центра боба, как показано на Рис. 7 ниже.
а также
Обратите внимание, что частота и период простого маятника не зависят от массы. Цель
Цель этой лабораторной работы – понять поведение объектов, находящихся в простом гармоническом движении, путем определения жесткости пружины системы пружина-масса и простого маятника. Оборудование
Процедура
Используя закон Гука, вы определите жесткость пружины, измерив ее растяжение по мере того, как к пружине добавляются дополнительные массы.Вы определите период колебаний системы пружина-масса для различных масс и используете его для определения жесткости пружины. Затем вы сравните значения жесткости пружины, полученные двумя способами. В случае простого маятника вы измеряете период колебаний для различной длины гирлянды маятника и сравниваете эти значения с предсказанными значениями периода. Процедура A: Определение постоянной пружины с помощью закона Гука
Попросите своего технического специалиста проверить вашу таблицу и график Excel. Процедура B: Определение жесткости пружины по
, период будет таким же, как у массы этой полной величины, колеблющейся на безмассовой пружине.
Попросите своего технического специалиста проверить значения и расчеты в вашей таблице. Процедура C: Простой маятник
Попросите своего технического специалиста проверить значения и расчеты в вашей таблице. Период и частота гармонического движения
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105 Периодическое движение: пружины и маятники
Бейсбольная подача 2004.jpg. Подробнее: Бейсбольная подача, 2004 год ». Лицензия: CC BY-SA 3.0 Пружины: определение
Восстановительная сила
Колебательная способность
Весенний период и расчеты повторяемости
Энергосбережение источника
Приложения
Маятники: определение
Восстановительная сила
Расчет периода и частоты маятника
Энергосбережение
(PDF) Демпфирование переменной массы на пружинном маятнике
Простое гармоническое движение (SHM): определение, формулы и примеры – видео и стенограмма урока
Уравнения
Пример задачи
Резюме урока