Пружинный маятник формулы – Пружинный маятник | Объединение учителей Санкт-Петербурга
alexxlab | 07.05.2020 | 0 | Разное
Колебания пружинного маятника. | |
В вертикальном положении на груз на пружине действуют сила тяжести и сила упругости пружины. Под действием силы тяжести пружина растягивается на х1, а затем мы отклоняем его от этого положения на х. | |
Тогда согласно второму закону Ньютона, учитывая знаки проекций, получим: . Но , тогда: . Или – ускорение тела, колеблющегося на пружине, не зависит от силы тяжести, действующей на это тело. Сила тяжести только приводит к изменению положения равновесия. | |
Выразим ускорение:. | |
Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения . Видно, что | |
Период колебаний или (формула Гюйгенса). | Формула Гюйгенса: |
Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия упруго деформированного тела равна, а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической. |
|
Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения:. Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то . Производная суммы равна сумме производных: и . Следовательно:, а значит . |
|
В данном случае этот способ более трудоемкий, но он более общий. |
|
www.eduspb.com
Период пружинного маятника | Все формулы
Период пружинного маятника — зависит от жёсткости пружины: с увеличением коэффициента жёсткости пружины период колебания маятника уменьшается
Пружинный маятник — это груз, колеблющийся на пружине. Он совершает возвратно-поступательное движение. Пружинный маятник подчиняется законам движения, по которым можно определить период его колебаний, зная массу груза и жесткость пружины. Период колебаний пружинного маятника не зависит от места его расположения и амплитуды колебаний.
Давайте выведем формулу периода пружинного маятника.
На груз m горизонтального пружинного маятника действуют сила тяжести (mg), сила реакции опоры (N) и сила упругости пружины (Fynp). Запишем второй закон Ньютона для данного случая :
Все проецируем на ось ОХ:
Запишем это уравнение в форме аналогичной уравнению движения гармонического осциллятора:
Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:
Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:
Тогда период колебаний пружинного маятника будет равен:
Так же есть:
Период математического маятника
Период физического маятника
Период крутильного маятника
В Формуле мы использовали :
— Период пружинного маятника маятника
— Масса груза
— Изменение длины пружины
— Коэффициент упругости пружины
— Ускорение свободного падения
— Циклическая частота пружинного маятника
— Сила реакции опоры
— Сила упругости
xn--b1agsdjmeuf9e.xn--p1ai
Период пружинного маятника – Формулы по физике.рф
Период пружинного маятника — зависит от жёсткости пружины: с увеличением коэффициента жёсткости пружины период колебания маятника уменьшается
Пружинный маятник — это груз, колеблющийся на пружине. Он совершает возвратно-поступательное движение. Пружинный маятник подчиняется законам движения, по которым можно определить период его колебаний, зная массу груза и жесткость пружины. Период колебаний пружинного маятника не зависит от места его расположения и амплитуды колебаний.
Давайте выведем формулу периода пружинного маятника.
На груз m горизонтального пружинного маятника действуют сила тяжести (mg), сила реакции опоры (N) и сила упругости пружины (Fynp). Запишем второй закон Ньютона для данного случая :
Все проецируем на ось ОХ:
Запишем это уравнение в форме аналогичной уравнению движения гармонического осциллятора:
Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:
Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:
Тогда период колебаний пружинного маятника будет равен:
Так же есть:
Период математического маятника
Период физического маятника
Период крутильного маятника
В Формуле мы использовали :
— Период пружинного маятника маятника
— Масса груза
— Изменение длины пружины
— Коэффициент упругости пружины
— Ускорение свободного падения
— Циклическая частота пружинного маятника
— Сила реакции опоры
— Сила упругости
xn--e1adcbkcgpcji1bjh6h.xn--p1ai
Пружинный маятник
В этой статье собраны самые простые, вводные задачи для тех, кто только познакомился с пружинным маятником. Решение таких задач помогает запомнить формулы, а это очень важно для успешной сдачи ЕГЭ.
Задача 1. Определить период колебания груза массой кг, подвешенного к пружине с коэффициентом жесткости Н/м.
По формуле находим:
Ответ: с.
Задача 2. Во сколько раз нужно увеличить коэффициент жесткости пружины, чтобы период колебаний груза, подвешенного на ней, уменьшился в 4 раза?
А потом стал меньше в 4 раза:
Получили систему:
Разделим первое уравнение на второе:
Возведя в квадрат правую и левую части, получим:
То есть .
Ответ: нужно увеличить жесткость пружины в 16 раз.
Задача 3. Как изменился период колебаний пружинного маятника, если его масса уменьшилась в раз?
Пусть сначала период колебаний был равен
А потом изменился:
Ответ: уменьшился втрое.
Задача 4. Груз какой мессы следует прикрепить к пружине жесткостью Н/м, чтобы его период колебаний был равен с?
«Вытащим» массу:
Ответ: кг.
Задача 5. Определить массу груза, который на пружине жесткостью Н/м делает колебаний за время с.
Период – время одного колебания. Тогда
«Вытащим» массу:
Ответ: кг
easy-physic.ru
Математический и пружинный маятники | LAMPA
Итак: ω=gl\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}ω=lg.
Строго эту формулу можно вывести только в ВУЗе, зная о том, что такое дифференциальные уравнения, и умея их решать.
Обратите внимание, что в случае математического маятника совсем не важна масса шарика. Только длина нити.
Из формулы ω=2πT\omega = \frac{2 \pi}{T}ω=T2π можно получить:
ω=2πT⇒ω⋅T=2π⇒T=2πω⇒\omega = \frac{2 \pi}{T} \,\Rightarrow\, \omega \cdot T = 2 \pi \,\Rightarrow\, T = \frac{2 \pi}{\omega}\,\Rightarrowω=T2π⇒ω⋅T=2π⇒T=ω2π⇒
⇒T=2πgl⇒T=2πlg\Rightarrow\, T = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{g}{l}}} \,\Rightarrow T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}⇒T=lg2π⇒T=2πgl.
Заметим, что в формулах T=2πlgT = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}T=2πgl и ω=gl\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}ω=lg величины lll и ggg «меняются» местами. Бывает трудно запомнить, какая из величин lll и ggg наверху дроби, а какая внизу. Для того чтобы справиться с этой сложностью, можно вспомнить, что происходит с колебаниями маятника, если увеличивать или уменьшать длину нити.
Если вспомнить ещё одну формулу ν=1T\nu = \frac{1}{T}ν=T1, то можно получить следующее:
ν=12πlg⇒ν=12πgl\nu = \frac{1}{2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}} \Rightarrow \nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}ν=2πgl1⇒ν=2π1lg.
Эти формулы надо просто запомнить:
ω=gl\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}ω=lg
T=2πlgT = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}T=2πgl
ν=12πgl\nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}ν=2π1lg
Можно обратить внимание ещё на одну особенность: в формулах периода, частоты и циклической частоты никак не участвует амплитуда колебаний. Таким образом, получается, что маятники, «раскачанные» до разных амплитуд, будут совершать полное колебание за одно и то же время, за один и тот же период. При небольшой оговорке – колебания должны быть малыми. Лишь тогда они будут гармоническими.
2. Превращения энергии при колебаниях математического маятника
lampa.io
Математический и пружинный маятники
В данной теме разговор пойдёт о математическом и пружинном маятниках и их важных характеристиках.
Рассмотрим для начала математический маятник. Математическим маятником называется находящаяся в гравитационном поле материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу. Математический маятник — это модель малых реальных колебаний тела под действием силы тяготения при условии, что можно пренебречь:
1) размерами подвешенного тела, по сравнению с длиной нити;
2) сопротивлением движению тела;
3) массой нити и ее деформацией.
Рассмотрим подробно колебания математического маятника в инерциальной системе отсчета, относительно которой точка его подвеса движется прямолинейно и равномерно или же покоится. И так, пусть в начальный момент времени маятник покоится в положении равновесия. Тогда, действующие на маятник сила упругости нити и сила тяжести материальной точки взаимно компенсируются.
Теперь отклоним маятник на некоторое расстояние от точки равновесия и отпустим его. В этом случае, сила тяжести и сила упругости нити уже не будут компенсировать друг друга. Разложим вектор силы тяжести на две составляющих — тангенциальную и нормальную.
Как видим, тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, то есть она является возвращающей силой. При этом она сообщает материальной точке тангенциальное ускорение и маятник начнет двигаться к положению равновесия с возрастающей по модулю скоростью. А нормальная составляющая силы тяжести, как видно из рисунка, направлена вдоль нити против силы упругости. Их равнодействующая сообщает маятнику нормальное ускорение, которое изменяет направление вектора скорости. В результате маятник начинает двигаться по дуге.
Чем ближе маятник будет подходить к положению равновесия, тем меньше становиться значение возвращающей силы и тем больше становиться скорость движения маятника. Дойдя до положения равновесия, возвращающая сила становится равной нулю.
При этом скорость движения маятника достигает своего максимума и, не останавливаясь, маятник продолжает свое движение дальше уже по инерции, поднимаясь по дуге вверх. При этом вновь возникает возвращающая сила, которая становится тем больше, чем выше поднимается маятник. Но так как возвращающая сила теперь направлена против движения маятника, то его скорость убывает и в точке D
Маятник на мгновение останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении к положению равновесия. Опять пройдя его по инерции, маятник, замедляя свое движение, дойдет до точки А, тем самым совершив одно полное колебание. А так как силы сопротивления отсутствуют, то после этого движение маятника будет повторяться в уже описанной последовательности.
Получим уравнение, описывающее свободные колебания математического маятника. Пусть маятник в данный момент времени находится в точке B.
Его смещение от положения равновесия в этот момент равно длине дуги CB.
Пусть длина нити подвеса маятника равна l, а его масса m. Из рисунка видно, что значение возвращающей силы (то есть тангенциальной составляющей силы тяжести), можно найти как произведение модуля силы тяжести на синус угла отклонения маятника от вертикали.
Из геометрии известно, что по определению синус острого угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе. Также из геометрии известно, что при малых углах (то есть когда острый угол меньше десяти градусов) синус угла можно заменить его градусной мерой.
Перепишем уравнение для тангенциальной составляющей силы тяжести с учетом последнего равенства.
Обратите внимание на знак «минус» в этой формуле. Его здесь ставят потому, что тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещение отсчитывают от положения равновесия. Теперь применим второй закон Ньютона для нашего маятника, в проекциях на направление касательной к траектории движения математического маятника.
Таким образом, имеются два уравнения, в которых равны их левые части. А раз равны левые, то и правые части этих равенств также должны быть равными. Сократив полученное равенство на массу маятника, приходим к тому, что тангенциальное ускорение математического маятника прямо пропорционально его смещению и направлено к положению равновесия.
Эту формулу называют динамическим уравнением движения математического маятника.
Теперь перепишем это уравнение следующим образом
А теперь сравним его с уравнением гармонических колебаний.
Из такой записи видно, что колебания математического маятника являются гармоническими. А так как рассмотренные колебания происходили только под действием внутренних сил, то это были свободные колебания. Таким образом, можно сделать важный вывод о том, что при малых углах отклонения свободные колебания математического маятника являются гармоническими.
Также из анализа формул следует, что циклическая частота колебаний маятника равна квадратному корню из отношения ускорения свободного падения к длине маятника.
Помня о том, что период колебаний и циклическая частота связаны друг с другом обратной пропорциональностью, получим формулу, по которой можно рассчитать период свободных колебаний математического маятника.
Полученная формула называется формулой Гюйгенса, так впервые была получена нидерландским физиком Христианом Гюйгенсом.
Следует обратить внимание на то, что эту формулу можно использовать для расчета периода при выполнении одновременно двух условий:
1) колебания маятника должны быть малыми, так как эта формула дает результаты приемлемой точности (ошибка менее одного процента) при углах, не превышающих 4º;
2) точка подвеса маятника должна покоиться или двигаться прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета, в которой находится маятник.
Дело в том, что если точка подвеса математического маятника движется с некоторым ускорением, то изменяется сила натяжения нити. Это приводит к изменению возвращающей силы, а, следовательно, частоты и периода колебаний. В этом случае в формуле периода математического маятника ускорение свободного падения следует заменить на так называемое «эффективное» ускорение маятника в неинерциальной системе отсчета.
«Эффективное» ускорение можно найти, как векторную сумму ускорения свободного падения и вектора, противоположного вектору ускорения, с которым движется маятник.
Теперь рассмотрим колебания пружинного маятника. Пружинным маятником называется система, состоящая из пружины жесткостью k и материальной точки массой m.
В простейшей модели пружинного маятника рассматривают только упругую деформацию пружины и пренебрегают:
1) любыми силами сопротивления;
2) размерами тела, то есть тело принимают за материальную точку;
3) массой пружины.
Различают два вида пружинных маятников — горизонтальный и вертикальный.
В горизонтальном пружинном маятнике, колебания тела происходят вдоль горизонтальной прямой.
У вертикального пружинного маятника колебания происходят вдоль вертикальной прямой.
Рассмотрим более подробно колебания идеального горизонтального пружинного маятника. Пусть в начальный момент времени пружина не деформирована, и тело находится в положении равновесия.
Теперь выведем тело из положения равновесия, например, сжав пружину на некоторую величину, и отпустим его. И так, со стороны деформированной пружины на тело начнет действовать сила упругости, которая всегда будет направленна к положению равновесия, и под действием этой силы тело начнет ускоренно двигаться. При этом в самом крайнем положении на тело действует максимальная сила упругости, так как здесь абсолютное удлинение пружины наибольшее. Значит и ускорение тела в этом положении максимальное.
При движении тела к положению равновесия абсолютное удлинение пружины начинает уменьшаться, а, следовательно, уменьшается и ускорение, сообщаемое силой упругости. Но так как ускорение сонаправлено со скоростью, то скорость маятника увеличивается и в положении равновесия, как и в случае с математическим маятником, она будет максимальна.
Достигнув положения равновесия, тело не остановится (хотя в этом положении пружина не деформирована), а будет по инерции двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости направлена теперь против движения тела и тормозит его. В точке D тело на мгновение остановится, так как его скорость окажется равной нулю. Но ускорение в этой точке максимально, так как максимальна действующая сила упругости и под действием этой силы тело начнет двигаться в обратную сторону, к положению равновесия.
Вновь пройдя его по инерции, тело, сжимая пружину и замедляя движение, дойдет до точки A, то есть совершит одно полное колебание. После этого движение маятника будет повторяться в описанной последовательности.
Таким образом, причинами свободных колебаний пружинного маятника являются действие силы упругости, возникающей при деформации пружины, и инертность тела.
Получим уравнение, описывающее движение пружинного маятника. И так, согласно второму закону Ньютона, единственный результат действия силы упругости — это сообщение телу ускорения.
По закону Гука, сила упругости прямо пропорциональна смещению тела и противоположно ему направлена.
Перепишем второй закон Ньютона с учетом определения силы упругости пружины.
Как видно из уравнения, ускорение маятника прямо пропорционально смещению и противоположно ему по направлению.
Перепишем уравнение следующим образом
Полученное равенство является динамическим уравнением движения пружинного маятника.
Сравнивая его с уравнением гармонических колебаний, видим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой равной
Учитывая, что период колебаний и циклическая частота связаны друг с другом обратной пропорциональностью, получим формулу, по которой можно рассчитать период свободных колебаний пружинного маятника.
По этой же формуле можно рассчитывать и период колебаний вертикального пружинного маятника.
Основные выводы:
Рассмотрели математический и пружинный маятники. Рассмотрели условия возникновения свободных гармонических колебаний в таких системах. А также вспомнили формулы, по которым можно рассчитать период свободных колебаний математического и пружинного маятников.
videouroki.net
A. Пружинный маятник — PhysBook
Пружинный маятник
Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из материальной точки массой т и пружины. Рассмотрим горизонтальный пружинный маятник (рис. 13.12, а). Он представляет собой массивное тело, просверленное посередине и надетое на горизонтальный стержень, вдоль которого оно может скользить без трения (идеальная колебательная система). Стержень закреплен между двумя вертикальными опорами. К телу одним концом прикреплена невесомая пружина. Другой ее конец закреплен на опоре, которая в простейшем случае находится в покое относительно инерциальной системы отсчета, в которой происходят колебания маятника. В начале пружина не деформирована, и тело находится в положении равновесия С. Если, растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, то со стороны деформированной пружины на него начнет действовать сила упругости, всегда направленная к положению равновесия. Пусть мы сжали пружину, переместив тело в положение А, и отпустили \((\upsilon_0=0).\) Под действием силы упругости оно станет двигаться ускоренно. При этом в положении А на тело действует максимальная сила упругости, так как здесь абсолютное удлинение xm пружины наибольшее. Следовательно, в этом положении ускорение максимальное. При движении тела к положению равновесия абсолютное удлинение пружины уменьшается, а следовательно, уменьшается ускорение, сообщаемое силой упругости. Но так как ускорение при данном движении сонаправлено со скоростью, то скорость маятника увеличивается и в положении равновесия она будет максимальна. Достигнув положения равновесия С, тело не остановится (хотя в этом положении пружина не деформирована, и сила упругости равна нулю), а обладая скоростью, будет по инерции двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости направлена теперь против движения тела и тормозит его. В точке D скорость тела окажется равной нулю, а ускорение максимально, тело на мгновение остановится, после чего под действием силы упругости начнет двигаться в обратную сторону, к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, тело, сжимая пружину и замедляя движение, дойдет до точки А (так как трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение тела будет повторяться в описанной последовательности. Итак, причинами свободных колебаний пружинного маятника являются действие силы упругости, возникающей при деформации пружины, и инертность тела.
По закону Гука \(~F_x=-kx.\) По второму закону Ньютона \(~F_x = ma_x.\) Следовательно, \(~ma_x = -kx.\) Отсюда
\(a_x = -\frac{k}{m}x\) или \(a_x + -\frac{k}{m}x = 0 \) — динамическое уравнение движения пружинного маятника.
Видим, что ускорение прямопропорционально смешению и противоположно ему направлено. Сравнивая полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний \(~a_x + \omega^2 x = 0,\) видим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой \(\omega = \sqrt \frac{k}{m}\) Так как \(T = \frac{2 \pi}{\omega},\) то
\(T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }\)— период колебаний пружинного маятника.
По этой же формуле можно рассчитывать и период колебаний вертикального пружинного маятника (рис. 13.12. б). Действительно, в положении равновесия благодаря действию силы тяжести пружина уже растянута на некоторую величину x0, определяемую соотношением \(~mg=kx_0.\) При смещении маятника из положения равновесия O на х проекция силы упругости \(~F’_{ynpx} = -k(x_0 + x)\) и по второму закону Ньютона \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Подставляя сюда значение \(~kx_0=mg,\) получим уравнение движения маятника \(a_x + \frac{k}{m}x = 0,\) совпадающее с уравнением движения горизонтального маятника.
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 377-378.
www.physbook.ru