Расчет на прогиб двутавровой балки: Расчёт металлической балки онлайн (калькулятор).

alexxlab | 07.02.1983 | 0 | Разное

Содержание

Как рассчитать нагрузку стальной двутавровой балки

Двутавровая балка является фасонным прокатом, у которого есть поперечное сечение в форме «Н». Данный вид металлопроката имеет высокие прочностные характеристики. За счет всех параметров изделие широко распространено в строительстве многоэтажек с большими пролетами. Точно выбрать подходящий номер проката могут специалисты благодаря расчетам, где учтены нагрузки двутавра во время эксплуатационного периода.

Крепление Н-образного профиля по схеме

Для удобства расчета максимальной нагрузки на двутавровую балку все способы эксплуатации профиля сводятся к нескольким типовым схемам, различающихся по типу крепления и нагрузкой:

  • 2 шарнирные опоры на концах балки: с равномерной нагрузкой и со сосредоточением на центр;
  • Консоль. Нагрузка на двутавр равномерно или сосредоточенно;
  • 2 шарнирные опоры с вылетом с равномерной по всей длине или сосредоточенной в центре нагрузкой;
  • 2 жестко защемленные опоры с разными видами усилий;

Сбор нагрузок на балку осуществляется после выбора формальной схемы.

Сбор нагрузок на двутавр

Чтобы произвести расчеты на предельную прочность и прогиб, определяются все усилия, воздействующие на двутавровую балку:

  1. Постоянные. Наличие собственного веса металлического профиля и перекрытия;
  2. Временные. К ним относятся 3 вида усилий: длительные (масса временных перегородок), кратковременные (вес людей, ветер, снег и др.), особые (взрывные, вулканические).

В сооружениях с углом ската, превышающим 60°, снеговой покров не входит в расчет. Есть еще одна классификация усилий: расчетные и нормативные. Они определяются нормативными актами.

Выбор номера двутавровой балки

При подборе по предельному состоянию между 2-мя номерами делают выбор в пользу изделия, имеющего более массивное сечение.

Примеры выбора двутавровой балки по номеру:

  • 10-ый – пролет 3-4 м, шаг 1 м, воздействие – 300 кг/пм;
  • 16-ый – пролет 6 м, шаг 1 м, нагрузка– 300 кг/пм;
  • 20-ый пролет 3-4 м, шаг 1,1 / 1,2 м, усилие – 400-500 кг/м.

Чтобы определить номер профиля посредством онлайн-калькулятора, кроме значения типовой схемы крепления двутавра, воздействия усилий и нагрузка, следует указать параметр длины пролета, материал изделия.

Читайте интересное

Расчет балок на прогиб. Максимальный прогиб балки: формула

Балка – элемент в инженерии, представляющий собой стержень, который нагружают силы, действующие в направлении, перпендикулярном стержню. Деятельность инженеров зачастую включает в себя необходимость расчета прогиба балки под нагрузкой. Этой действие выполняется для того, чтобы ограничить максимальный прогиб балки.

Типы

На сегодняшний день в строительстве могут использоваться балки, изготовленные из разных материалов. Это может быть металл или дерево. Каждый конкретный случай подразумевает под собой разные балки. При этом расчет балок на прогиб может иметь некоторые отличия, которые возникают по принципу разницы в строении и используемых материалов.

Деревянные балки

Сегодняшнее индивидуальное строительство подразумевает под собой широкое применение балок, изготовленных из дерева. Практически каждое строение содержит в себе деревянные перекрытия. Балки из дерева могут использоваться как несущие элементы, их применяют при изготовлении полов, а также в качестве опор для перекрытий между этажами.

Ни для кого не секрет, что деревянная, так же как и стальная балка, имеет свойство прогибаться под воздействием нагрузочных сил. Стрелка прогиба зависит от того, какой материал используется, геометрических характеристик конструкции, в которой используется балка, и характера нагрузок.

Допустимый прогиб балки формируется из двух факторов:

  • Соответствие прогиба и допустимых значений.
  • Возможность эксплуатации здания с учетом прогиба.

Проводимые при строительстве расчеты на прочность и жесткость позволяют максимально эффективно оценить то, какие нагрузки сможет выдерживать здание в ходе эксплуатации. Также эти расчеты позволяют узнать, какой именно будет деформация элементов конструкции в каждом конкретном случае. Пожалуй, никто не будет спорить с тем, что подробные и максимально точные расчеты – это часть обязанностей инженеров-строителей, однако с использованием нескольких формул и навыка математических вычислений можно рассчитать все необходимые величины самостоятельно.

Для того чтобы произвести правильный расчет прогиба балки, нужно также брать во внимание тот факт, что в строительстве понятия жесткости и прочности являются неразрывными. Опираясь на данные расчета прочности, можно приступать к дальнейшим расчетам относительно жесткости. Стоит отметить, что расчет прогиба балки – один из незаменимых элементов расчета жесткости.

Обратите ваше внимание на то, что для проведения таких вычислений самостоятельно лучше всего использовать укрупненные расчеты, прибегая при этом к достаточно простым схемам. При этом также рекомендуется делать небольшой запас в большую сторону. Особенно если расчет касается несущих элементов.

Расчет балок на прогиб. Алгоритм работы

На самом деле алгоритм, по которому делается подобный расчет, достаточно прост. В качестве примера рассмотрим несколько упрощенную схему проведения расчета, при этом опустив некоторые специфические термины и формулы. Для того чтобы произвести расчет балок на прогиб, необходимо выполнить ряд действий в определенном порядке. Алгоритм проведения расчетов следующий:

  • Составляется расчетная схема.
  • Определяются геометрические характеристики балки.
  • Вычисляется максимальную нагрузку на данный элемент.
  • В случае возникновения необходимости проверяется прочность бруса по изгибающему моменту.
  • Производится вычисление максимального прогиба.

Как видите, все действия достаточно просты и вполне выполнимы.

Составление расчетной схемы балки

Для того чтобы составить расчетную схему, не требуется больших знаний. Для этого достаточно знать размер и форму поперечного сечения элемента, пролет между опорами и способ опирания. Пролетом является расстояние между двумя опорами. К примеру, вы используете балки как опорные брусья перекрытия для несущих стен дома, между которыми 4 м, то величина пролета будет равна 4 м.

Вычисляя прогиб деревянной балки, их считают свободно опертыми элементами конструкции. В случае балки перекрытия для расчета принимается схема с нагрузкой, которая распределена равномерно. Обозначается она символом q. Если же нагрузка несет сосредоточенный характер, то берется схема с сосредоточенной нагрузкой, обозначаемой F. Величина этой нагрузки равна весу, который будет оказывать давление на конструкцию.

Момент инерции

Геометрическая характеристика, которая получила название момент инерции, важна при проведении расчетов на прогиб балки. Формула позволяет вычислить эту величину, мы приведем ее немного ниже.

При вычислении момента инерции нужно обращать внимание на то, что размер этой характеристики зависит от того, какова ориентация элемента в пространстве. При этом наблюдается обратно пропорциональная зависимость между моментом инерции и величиной прогиба. Чем меньше значение момента инерции, тем больше будет значение прогиба и наоборот. Эту зависимость достаточно легко отследить на практике. Каждый человек знает, что доска, положенная на ребро, прогибается гораздо меньше, чем аналогичная доска, находящаяся в нормальном положении.

Подсчет момента инерции для балки с прямоугольным сечением производится по формуле:

J=b*h^3/12, где:

b – ширина сечения;

h – высота сечения балки.

Вычисления максимального уровня нагрузки

Определение максимальной нагрузки на элемент конструкции производится с учетом целого ряда факторов и показателей. Обычно при вычислении уровня нагрузки берут во внимание вес 1 погонного метра балки, вес 1 квадратного метра перекрытия, нагрузку на перекрытие временного характера и нагрузку от перегородок на 1 квадратный метр перекрытия. Также учитывается расстояние между балками, измеренное в метрах. Для примера вычисления максимальной нагрузки на деревянную балку примем усредненные значения, согласно которым вес перекрытия составляет 60 кг/м², временная нагрузка на перекрытие равна 250 кг/м², перегородки будут весить 75 кг/м². Вес самой балки очень просто вычислить, зная ее объем и плотность. Предположим, что используется деревянная балка сечением 0,15х0,2 м. В этом случае ее вес будет составлять 18 кг/пог.м. Также для примера примем расстояние между брусьями перекрытия равным 600 мм. В этом случае нужный нам коэффициент составит 0,6.3/48*E*J, где:

F – сила давления на брус.

Также обращаем внимание на то, что значение модуля упругости, используемое в расчетах, может различаться для разных видов древесины. Влияние оказывают не только порода дерева, но и вид бруса. Поэтому цельная балка из дерева, клееный брус или оцилиндрованное бревно будут иметь разные модули упругости, а значит, и разные значения максимального прогиба.

Вы можете преследовать разные цели, совершая расчет балок на прогиб. Если вы хотите узнать пределы деформации элементов конструкции, то по завершении расчета стрелки прогиба вы можете остановиться. Если же ваша цель – установить уровень соответствия найденных показателей строительным нормам, то их нужно сравнить с данными, которые размещены в специальных документах нормативного характера.

Двутавровая балка

Обратите внимание на то, что балки из двутавра применяются несколько реже в силу их формы. Однако также не стоит забывать, что такой элемент конструкции выдерживает гораздо большие нагрузки, чем уголок или швеллер, альтернативой которых может стать двутавровая балка.

Расчет прогиба двутавровой балки стоит производить в том случае, если вы собираетесь использовать ее в качестве мощного элемента конструкции.

Также обращаем ваше внимание на то, что не для всех типов балок из двутавра можно производить расчет прогиба. В каких же случаях разрешено рассчитать прогиб двутавровой балки? Всего таких случаев 6, которые соответствуют шести типам двутавровых балок. Эти типы следующие:

  • Балка однопролетного типа с равномерно распределенной нагрузкой.
  • Консоль с жесткой заделкой на одном конце и равномерно распределенной нагрузкой.
  • Балка из одного пролета с консолью с одной стороны, к которой прикладывается равномерно распределенная нагрузка.
  • Однопролетная балка с шарнирным типом опирания с сосредоточенной силой.
  • Однопролетная шарнирно опертая балка с двумя сосредоточенными силами.
  • Консоль с жесткой заделкой и сосредоточенной силой.

Металлические балки

Расчет максимального прогиба одинаковый, будь это стальная балка или же элемент из другого материала. Главное – помнить о тех величинах, которые специфические и постоянные, как к примеру модуль упругости материала. При работе с металлическими балками, важно помнить, что они могут быть изготовлены из стали или же из двутавра.

Прогиб металлической балки, изготовленной из стали, вычисляется с учетом, что константа Е в данном случае составляет 2·105Мпа. Все остальные элементы, вроде момента инерции, вычисляются по алгоритмам, описанным выше.

Расчет максимального прогиба для балки с двумя опорами

В качестве примера рассмотрим схему, в которой балка находится на двух опорах, а к ней прикладывается сосредоточенная сила в произвольной точке. До момента прикладывания силы балка представляла собой прямую линию, однако под воздействием силы изменила свой вид и вследствие деформации стала кривой.

Предположим, что плоскость ХУ является плоскостью симметрии балки на двух опорах. Все нагрузки действуют на балку в этой плоскости. В этом случае фактом будет то, что кривая, полученная в результате действия силы, также будет находиться в этой плоскости. Данная кривая получила название упругой линии балки или же линии прогибов балки. Алгебраически решить упругую линию балки и рассчитать прогиб балки, формула которого будет постоянной для балок с двумя опорами, можно следующим образом.

Прогиб на расстоянии z от левой опоры балки при 0 ≤ z ≤ a

F(z)=(P*a2*b2)/(6E*J*l)*(2*z/a+z/b-z3/a2*b)

Прогиб балки на двух опорах на расстоянии z от левой опоры при а ≤ z ≤l

f(z)=(-P*a2*b2)/(6E*J*l)*(2*(l-z)/b+(l-z)/a-(l-z)3/a+b2), где Р – прикладываемая сила, Е – модуль упругости материала, J – осевой момент инерции.

В случае балки с двумя опорами момент инерции вычисляется следующим образом:

J=b1h13/12, где b1 и h1 – значения ширины и высоты сечения используемой балки соответственно.

Заключение

В заключение можно сделать вывод о том, что самстоятельно вычислить величину максимального прогиба балки разных типов достаточно просто. Как было показано в этой статье, главное – знать некоторые характеристики, которые зависят от материала и его геометрических характеристик, а также провести вычисления по нескольким формулам, в которых каждый параметр имеет свое объяснение и не берется из ниоткуда.

Расчет стальной балки на прогиб

При расчете стальных балок по II-й ГПС (по прогибам) необходимо создавать раскрепления для прогибов:

Информация из справки LIRA SAPR (Справка\Пояснения Сталь\Проверки прогибов):

Проверка прогиба осуществляется сопоставлением реально определенного относительного прогиба (L/f) с максимально возможным для данного конструктивного элемента прогибом.

В данной версии проверка выполняется только для балок на основании состава загружений во всех сочетаниях. Учитываются коэффициенты надежности по нагрузке (заданные при формировании РСУ в среде ПК ЛИРА-САПР) и коэффициенты сочетания.

Перемещения, вызванные загружениями с долей длительности 0, в данном расчете не используются.

Прогибы находятся для каждого сечения на основании распределения MY1, MZ1, QY1, QZ1 по длине элемента. Соответственно, увеличение количества расчетных сечений способствует более точному определению прогибов (особенно, если воздействуют сосредоточенные силовые факторы).

В режиме локального расчета элемента (см. справочную систему СТК-САПР) имеется возможность расчета прогибов по огибающим эпюрам изгибающего момента в запас. Это может потребоваться, когда редактируются расчетные сочетания усилий (или нагрузок) и теряется связь с результатами расчета на ПК ЛИРА-САПР основной схемы.

Важно: Предусмотрена возможность определять не чистые перемещения (относительно локальных осей Y и Z в недеформированной схеме), а прогиб относительно двух выбранных условно неподвижных точек – точек раскрепления (в случае консоли, например, относительно одной точки).

Схема к определению прогибов балки с раскреплениями и без раскреплений

На приведенном фрагменте показан механизм определения прогибов (они обозначены как di и dk) в конструктивном элементе с наложенными раскреплениями на элементы.

Если раскрепления не наложены, то прогиб принимается равным полному расстоянию до оси X.

Важно: Если балка (ригель) разбита по длине промежуточными узлами, то для нее необходимо создать конструктивный элемент и раскрепления для проверки прогибов создавать как для конструктивного элемента (т.е. для балки как единого целого). В расчете стальных конструкций коэффициент расчетной длины (и для балок, и для колонн, и для ферм) применяется к длине конечного элемента (КЭ), если не задан конструктивный элемент (КоЭ). Если задан КоЭ, то коэффициент расчетной длины применяется к полной длине КоЭ.

Пример расчета однопролетной балки

Расчётная модель рамы с цельным ригелем и разбитым на отдельные элементы

Согласно нормативной документации прогиб определяется от действия нормативных нагрузок. Поскольку в LIRA SAPR все нагрузки прикладываются к узлам и элементам их расчётными значениями, при определении прогибов программа определяет нормативное значение нагрузок путём деления их на коэффициент надёжности.

Посмотреть какие приняты коэффициенты надёжности, а также ввести их вручную, если это необходимо, можно в окне параметров расчёта.

Окно параметров расчёта, вызываемое из окна задания параметров для стальных конструкций

Подробнее о корректировке коэффициентов надёжности для расчета прогибов вручную читайте в статье “Коэффициенты к временным нагрузкам при проверке прогиба”

Мозаика результатов проверки назначенных сечений по 2 предельному состоянию

Предельно допустимый L/200=6000/200=30мм

Без задания раскреплений (по абсолютному перемещению узлов балки):
((39,8мм/ к-т надежности по нагрузке)/ 30мм))*100%=((39,8/1,1)/30)*100%=120,6%

С заданием раскреплений (по относительному перемещению узлов балки за вычетом перемещений опорных узлов):
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Ручной ввод расчётной длины балки для расчёта прогибов

В диалоговом окне задания характеристик расчёта стальной балки присутствует группа параметров Расчёт по прогибу.

Информация из справки ЛИРА САПР:
Расчет по прогибу – данные для расчета прогиба. Длина пролета авто – вычисляется по положению раскреплений. Длина пролета точно – длина пролета при расчете приравнивается этому числу.

Рассмотрим раму из предыдущего примера, только теперь раскрепления для прогибов назначим для всех конструкций, а расчётные длины будем для первого случая задавать автоматическим способом, а для второго ручным.

Расчётная модель с информацией о назначенных расчётных длинах балок


Результаты расчётов прогибов балок

Предельно допустимый прогиб при длине 6 м L/200=6000/200=30мм

Предельно допустимый прогиб при длине 4 м L/200=4000/200=20мм

Проценты использования по предельному прогибу

Длина балки 6 м:
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Длина балки 4 м:
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/20)*100%=139,4%

Расчёт прогибов стрельчатой арки

Пример — рама переменного сечения (РПС) пролётом 18 м. Соединение полурам в коньке — шарнирное, опирание полурам на фундамент — шарнирное.

Расчётная модель рамы

При этом в параметрах «Дополнительные характеристики» необходимо указать вручную пролет, с которым программа будет сравнивать прогиб (автоматическое определение пролета возможно только для линейных балок, где все конечные элементы (КЭ) конструктивного элемента (КоЭ) лежат на одной оси):

Эпюра перемещений fz ригеля одной полурамы (вдоль местной оси Z1 стержня)

Мозаика перемещений узлов по Z и «Раскрепления для прогибов» (раскреплён только ригель №4)

Результаты определения прогибов в СТК-САПР:

Результаты определения прогибов ригелей №2 и №4

Предельно допустимый L/200=17664/200=88.32 мм

Без задания раскреплений (по абсолютному значению на эпюре прогибов fz):
96.7/17644=1/182 — совпадает с результатом расчёта элемента №2

С заданием раскреплений (по относительному значению на эпюре прогибов fz):
(96.7-(-6.46))/17644=1/171 — совпадает с результатом расчёта элемента №4

Без задания раскреплений (по абсолютному значению перемещений узлов):
99.8/17644=1/177 — не совпадает ни с чем

Вывод: Расчёт на прогибы выполняется в местной системе координат стержня. Прогиб стрельчатых и цилиндрических арок, а также любых криволинейных конструкций, нужно определять по перемещениям узлов в глобальной системе координат и вручную сравнивать с предельно допустимыми значениями.

Расчёт прогибов цилиндрической арки

Пример – цилиндрическая арка пролётом 18 м, стрелой подъёма f = 9 м. Соединение всех элементов между собой — жёсткое, опирание на фундамент — шарнирное.

Нагрузки на арку приложены их расчётными значениями. Значения нагрузок для определения прогибов принимаются согласно СП 20.13330.2016 Нагрузки и воздействия, таблица Д.1 Приложения Д. В данном примере арка является конструкцией покрытия, прогиб которой должен определяться от постоянных и длительных нагрузок (п.2 табл. Д.1). Для визуализации перемещений от нормативных значений нагрузок, необходимо создать особое РСН с нормативными длительными значениями нагрузок. Нагрузки в данном РСН нужно поделить на коэффициент надёжности, с учётом длительности. На конструкцию действуют два загружения:

Загружение 1 — постоянное, коэффициент надёжности 1.1;
Загружение 2 — кратковременное, коэффициент надёжности 1.2, доля длительности 0.35;

Вычислим коэффициенты для перехода к нормативным значениям

Загружение 1 Kn=1/1.1=0.91;
Загружение 2 Kn=1/1.2*0.35=0.292

Таблица РСН с сочетаниями расчётных и нормативных значений нагрузок с учётом длительности.

Мозаика перемещений узлов цилиндрической арки от РСН2

Предельно допустимый прогиб L/200=18000/200=90 мм

Фактический прогиб (по абсолютному значению перемещений узлов): 32.2/18000=1/559 – меньше предельно допустимого значения.

Примечание: если подобная конструкция стоит на своих опорах, то перемещения опорных точек (для получения относительных перемещений) удобно получить через «Мозаику относительных перемещений», указав реперный узел.

Мозаика перемещений узлов в глобальной СК (абсолютных)

Мозаика перемещений узлов в глобальной СК относительно реперного узла

схемы крепления, выбор номера профиля

Двутавр – вид фасонного проката с поперечным сечением Н-образной формы, обладающий высокими прочностными характеристиками. Благодаря этому, он широко применяется при строительстве многоэтажных большепролетных сооружений. Точный выбор подходящего номера проката осуществляют специалисты с помощью расчетов, учитывающих нагрузки, которые будет испытывать двутавр во время эксплуатации. Для приблизительного определения номера профиля можно воспользоваться онлайн-калькулятором.

Схемы крепления Н-образного профиля

Для удобства проведения расчетов того, какую максимальную нагрузку может выдержать двутавр, все варианты использования профиля были сведены к нескольким стандартным схемам. Схемы различаются по способу крепления двутавра и приложения нагрузки:

  • На двух шарнирных опорах, расположенных на концах профиля. Первый вариант – с равномерно распределенным нагружением, второй – со сосредоточенным усилием по центру.
  • Консоль. С равномерным или сосредоточенным усилием.
  • На двух шарнирных опорах с вылетом, балка нагружена равномерно по всей длине или сосредоточенно.
  • Балка на двух жестко защемленных опорах с различными типами усилий.

После выбора формальной схемы осуществляют сбор нагрузок, которые будет испытывать балка.

Сбор нагрузок

Для проведения расчетов на предельные состояния по прочности и прогибу определяют все усилия, которые будут воздействовать на двутавр. К ним относятся:

  • Постоянные. Собственный вес металлопрофиля и перекрытия.
  • Временные. К ним относятся три типа усилий: длительные, кратковременные, особые. К длительным, например, относится масса временных перегородок. Кратковременные – вес людей, ветровые, снеговые и другие воздействия. Особые – взрывные, вулканические.

Внимание!  В зданиях, в которых угол ската превышает 60°, воздействие снегового покрова в расчет не принимается.

Существует еще одно разделение усилий – на расчетные и нормативные, определяемые нормативной документацией.

Выбор номера профиля

Для определения номера профиля с помощью онлайн-калькулятора, помимо определения стандартной схемы крепления балки, действия на нее усилий и сбора нагрузок, необходимо указать длину пролета, материал, используемый при изготовлении металлопродукции. При подборе по предельным состояниям между двумя номерами выбирают изделие с более массивным сечением.

Примеры выбора профиля:

  • двутавр №10 – для пролетов 3-4 м, шаг – 1 м, усилие – 300 кг/пм;
  • номер 16 – пролет 6 м, шаг 1 м, воздействие – 300 кг/пм;
  • двутавр №20 рассчитан на более высокую нагрузку – 400-500 кг/м, пролеты – 3-4 м, шаг балок – 1,1, 1,2 м.

Расчет балки на прогиб – онлайн калькулятор

Онлайн калькулятор по определению прогиба балки.
Для расчета вам необходимо:
1. Выбрать форму поперечного сечения
2. Выбрать материал (при использовании металлических балок – можно использовать сортамент)
3. Выбрать необходимую расчетную схему
4. Выбрать вид нагрузки (распределенная по длине балки либо сосредоточенная)
5. Указать геометрические размеры, указанные на картинках
6. Задать нагрузку (нагрузку можно рассчитать онлайн здесь)


Из возможных поперечных сечений в данном онлайн калькуляторе выбраны само часто встречающиеся сечения: круг, труба, двутавр, швеллер, уголок, прямоугольник, квадрат и профильная труба.
В расчет входят такие материалы как дерево, сталь, железобетон, алюминий, медь и стекло.
Также есть возможность выбора расчетной схемы: шарнир-шарнир, заделка-шарнир, заделка-заделка и заделка-свободный конец.
После того, как прогиб балки рассчитается – появится кнопка Подробнее, нажав на которую, можно узнать площадь сечения рассчитываемого элемента, его массу, распределенную нагрузку от собственного веса и момент инерции заданного сечения).
Зная значение длины пролета балки по СП 20.13330.2016 “Нагрузки и воздействия” для таких конструкций как балка, ферма, ригель, прогон, плита, настил покрытий и перекрытий, рассчитывается предельный прогиб, который можно сравнить с получившимся прогибом и принять решение о сечении вашей конструкции (для уменьшения прогиба в 1-ую очередь надо увеличивать высоту сечения).

При расчете балки программа уже учитывает собственный вес.


Помимо того, что Вы рассчитаете балку на прогиб, нужно ее проверить и на прочность здесь .

Если данный калькулятор оказался Вам полезен – не забывайте делиться им с друзьями и коллегами ссылкой в соц.сети, а также посмотреть другие строительные калькуляторы онлайн, они простые, но здорово облегчают жизнь строителям и тем, кто решил сам строить свой дом с нуля.


Последние изменения:
– Добавлен расчет предельного прогиба балки
– Добавлена возможность загружения балки сосредоточенной силой
– Исправлены графические замечания с расположением швеллера
– Добавлен расчет таврого сечения
– Исправлено положение прямоугольного сечения
– Добавлена возможность поворота швеллера
– Добавлена возможность ввода своих значений модуля упругости и плотности материала
– Исправлено отображение толщины стенки и полки швеллера

Расчет балки на изгиб – Favorit-TK.ru

Рассчитывать балку на изгиб можно несколькими вариантами:

1. Расчет максимальной нагрузки, которую она выдержит
2. Подбор сечения этой балки
3. Расчет по максимальным допустимым напряжениям (для проверки)

Давайте рассмотрим общий принцип подбора сечения балки на двух опорах загруженной равномерно распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой.

Для начала, вам необходимо будет найти точку (сечение), в которой будет максимальный момент. Это зависит от опирания балки или же ее заделки. Снизу приведены эпюры изгибающих моментов для схем, которые встречаются чаще всего.

После нахождения изгибающего момента мы должны найти момент сопротивления Wx этого сечения по формуле приведенной в таблице:

Далее, при делении максимального изгибающего момента на момент сопротивления в данном сечении, мы получаем максимальное напряжение в балке и это напряжение мы должны сравнить с напряжением, которое вообще сможет выдержать наша балка из заданного материала.

Для пластичных материалов (сталь, алюминий и т.п.) максимальное напряжение будет равно пределу текучести материала, а для хрупких (чугун) – пределу прочности. Предел текучести и предел прочности мы можем найти по таблицам ниже.

Давайте рассмотрим пару примеров:

1. Вы хотите проверить, выдержит ли вас двутавр №10 (сталь Ст3сп5) длиной 2 метра жестко заделанного в стену, если вы на нем повисните. Ваша масса пусть будет 90 кг.

Для начала нам необходимо выбрать расчетную схему.

На данной схеме видно, что максимальный момент будет в заделке, а поскольку наш двутавр имеет одинаковое сечение по всей длине, то и максимальное напряжение будет в заделке.

Давайте найдем его:
P = m * g = 90 * 10 = 900 Н = 0.9 кН
М = P * l = 0.9 кН * 2 м = 1.8 кН*м

По таблице сортамента двутавров находим момент сопротивления двутавра №10.
Он будет равен 39.7 см3. Переведем в кубические метры и получим 0.0000397 м3.
Далее по формуле находим максимальные напряжения, которые у нас возникают в балке.
б = М / W = 1.8 кН/м / 0.0000397 м3 = 45340 кН/м2 = 45.34 МПа

После того, как мы нашли максимальное напряжение, которое возникает в балке, то мы его может сравнить с максимально допустимым напряжением равным пределу текучести стали Ст3сп5 – 245 МПа.
45.34 МПа < 245 МПа – верно, значит данный двутавр выдержит массу 90 кг.

2. Поскольку у нас получился довольно-таки большой запас, то решим вторую задачу, в которой найдем максимально возможную массу, которую выдержит все тот же двутавр №10 длиной 2 метра.

Если мы хотим найти максимальную массу, то значения предела текучести и напряжения, которое будет возникать в балке, мы должны приравнять (б=245 Мпа = 245 000 кН*м2).

Далее по формуле б = М / W, находим максимальный момент.
М = б * W = 245 000 * 0.0000397 = 9.73 кН * м

Тогда по формуле M = P * L найдем P:
P = 9,73 кН/м / 2м = 4,87 кН = 487 кг

Итак, максимальная масса, которую выдержит двутавр №10 – 487 кг. Число это грубое, поскольку для простоты расчета мы не учитывали различные коэффициенты запаса, поэтому, чтобы подстраховаться, возьмите некий двукратный запас по прочности.

Задачи на динамические нагрузки | ПроСопромат.ру

 

На двутавровой балке установлен электродвигатель весом G=5кН, при работе которого из-за дисбаланса вращающихся частей возникает вертикальная центробежная сила  при скорости вращения n=300 об/мин.

Определить наибольшие нормальные напряжения и прогиб.

Решение:

Балка находится под действием двух нагрузок: под действием статической нагрузки – веса двигателя G и под действием динамической (вибрационной) нагрузки F. Поэтому все параметры складываются из статической и динамической составляющих:

Статические составляющие от силы G найдем как обычно при статическом расчете:

Наибольшее статическое напряжение в среднем сечении балки будет:

Для определения статического прогиба среднего сечения выберем вспомогательное состояние и построим эпюру  :

Прогиб от статической нагрузки G будет:

Динамические значения параметров от действия вибрационной нагрузки определяются с помощью динамического коэффициента следующим образом:

В формулу динамического коэффициента вибрационной нагрузки входит величина ωкруговая частота собственных (свободных) колебаний, определяемая по формуле:

где: g=9,81м/сек2ускорение свободного падения,

 Δстперемещение точки расположения колеблющейся массы (в данном случае двигателя) от собственного веса.

Тогда значение динамического коэффициента вибрационной нагрузки будет:

Здесь круговая частота действия самой вибрационной нагрузки

Далее находим   , для чего к балке прикладывается наибольшая величина вибрационной нагрузки статическим образом:

Прогиб середины пролета в балке на двух опорах можно вычислить и по известной формуле:

Тогда динамические значения искомых параметров будут:

представляет собой амплитуду колебаний массы (двигателя), то есть наибольшее отклонение от положения статического равновесия. Поэтому наибольшее значение прогиба складывается из статического смещения и амплитуды колебаний 

Наибольшее нормальное напряжение

 

Что такое прогиб? | SkyCiv Engineering

Отклонение луча: что это такое? (Определение отклонения)

Что такое прогиб? Отклонение, в терминологии структурной инженерии, относится к перемещению балки или узла из исходного положения из-за сил и нагрузок, приложенных к элементу. Это также известно как смещение и может происходить из-за приложенных извне нагрузок или из-за веса самой конструкции и силы тяжести, к которой это относится.

Прогиб может возникать в балках, ферм, каркасах и в основном в любой другой конструкции. Чтобы определить отклонение, возьмем простое отклонение консольной балки, в конце которой стоит человек с весом (W):

Сила человека, стоящего в конце, заставит балку изгибаться и отклоняться от своего естественного положения. На приведенной ниже диаграмме синяя балка соответствует исходному положению, а пунктирная линия имитирует отклонение консольной балки:

Как видите, балка изогнулась или отошла от исходного положения.Это расстояние в каждой точке стержня является значением или определением отклонения.

Как правило, существует 4 основные переменные, которые определяют величину прогиба балки. К ним относятся:

  • Какова нагрузка на конструкцию
  • Длина неподдерживаемого стержня
  • Материал, в частности модуль Юнга
  • Размер поперечного сечения, а именно момент инерции (I)

Уравнения отклонения балки

Прогиб балки (прогиб балки) рассчитывается на основе множества факторов, включая материалы, момент инерции секции, приложенную силу и расстояние от опоры.Существует ряд формул и уравнений прогиба балки, которые можно использовать для расчета базового значения прогиба в различных типах балок.

Как правило, прогиб можно рассчитать путем деления двойного интеграла уравнения изгибающего момента M (x) на EI (модуль Юнга x момент инерции).

Какая единица измерения отклонения?

Единица отклонения или смещения – это единица длины, обычно принимаемая в миллиметрах (для метрических единиц) и дюймах (для британских).Это число определяет расстояние, на которое луч отклонился от исходного положения.

Отклонение консольной балки

Консольные балки – это балки особого типа, которые ограничены только одной опорой, как показано в приведенном выше примере. Эти элементы, естественно, будут отклоняться больше, поскольку они поддерживаются только с одного конца.

Для расчета прогиба консольной балки вы можете использовать приведенное ниже уравнение, где W – сила в конечной точке, L – длина консольной балки, E = модуль Юнга и I = момент инерции.

Просто поддерживаемое отклонение луча

Другой пример отклонения – отклонение балки с простой опорой. Эти балки поддерживаются с обоих концов, поэтому отклонение балки обычно левое и имеет форму, сильно отличающуюся от формы консоли. Под равномерно распределенной нагрузкой (например, собственным весом) балка будет плавно отклоняться к средней точке:

Мы надеемся, что вы нашли эту короткую статью, чтобы определить прогиб балки в проектировании конструкций.Не стесняйтесь оставлять комментарии ниже или попробуйте воспользоваться нашим калькулятором пролета балки, чтобы попробовать на себе и применить эту теоретическую концепцию на практике с помощью программного обеспечения для расчета конструкций.

Отклонение луча: как рассчитать

В приложениях, связанных с перемещением, существует множество ситуаций, когда линейная направляющая или привод не полностью поддерживается по всей своей длине. В этих случаях прогиб (из-за собственного веса компонента и из-за приложенных нагрузок и сил) может повлиять на ходовые качества подшипников и вызвать плохую работу в виде преждевременного износа и заедания.

Изделия, которые могут быть смонтированы только с концевыми опорами, такими как линейные валы или приводы в сборе, или в консольной ориентации, например телескопические подшипники, обычно имеют спецификацию для максимально допустимого отклонения. Важно проверить приложение и убедиться, что этот максимальный прогиб не превышен. К счастью, большинство линейных направляющих и приводов можно смоделировать как балки, а их отклонение можно рассчитать с помощью обычных уравнений отклонения балки.

Соображения, касающиеся материалов и конструкции

При расчете прогиба необходимо знать свойства направляющей или привода и условия приложенной нагрузки.Что касается направляющей или привода, важными критериями являются модуль упругости и планарный момент инерции компонента. Модуль упругости является мерой жесткости материала, и его обычно можно найти в каталоге продукции. Момент инерции описывает сопротивление объекта изгибу и иногда предоставляется производителем компонента. Если момент инерции не указан, его можно разумно аппроксимировать, используя уравнение момента инерции для сплошного или полого цилиндра (для линейного круглого вала) или прямоугольника (телескопический подшипник или линейный привод).


Модуль упругости, также известный как модуль Юнга или модуль упругости при растяжении, может быть определен как отношение напряжения (силы на единицу площади) на оси к деформации (отношение деформации по длине) вдоль этой оси.

Планарный момент инерции (также называемый вторым моментом площади или моментом инерции площади) определяет, как точки области распределяются относительно произвольной плоскости и, следовательно, ее сопротивление изгибу.


С точки зрения применения и конструкции критериями, влияющими на прогиб балки, являются тип опоры на концах направляющей или привода, приложенная нагрузка и длина без опоры.Когда компонент является консольным, он может быть смоделирован как фиксированная балка, а когда он поддерживается с обоих концов, он обычно может быть смоделирован как балка с простой опорой. Для консольных балок максимальное отклонение будет происходить, когда нагрузка находится на свободном конце балки, в то время как для балок с простой опорой максимальное отклонение будет иметь место, когда нагрузка находится в центре балки.

При определении полного отклонения имейте в виду, что будут иметь две нагрузки, , которые вызывают отклонение: вес направляющей или самого привода и приложенная нагрузка.Собственный вес компонента почти всегда можно смоделировать как равномерно распределенную нагрузку, оценивая приложенную нагрузку как точечную нагрузку в месте максимального прогиба (на свободном конце консольной балки или в центре балки с простой опорой). обычно обеспечивает наихудший сценарий полного прогиба.

Прогиб консольной балки

Телескопические подшипники часто являются консольными, а некоторые конфигурации декартовых роботов приводят к консольному приводу на оси Y или Z.В этом случае вес балки, который достаточно однороден по длине, вызывает максимальный прогиб на конце балки.

Изображение предоставлено: wikipedia.org

Этот прогиб рассчитывается как:

Где:

q = сила на единицу длины (Н / м, фунт-сила / дюйм)

L = длина без опоры (м, дюйм)

E = модуль упругости (Н / м 2 , фунт-сила / дюйм 2 )

I = планарный момент инерции (м 4 , дюйм 4 )

Для создания сценария наихудшего прогиба мы рассматриваем приложенную нагрузку как точечную нагрузку (F) на конце балки, и результирующий прогиб можно рассчитать как:

Сложив прогиб из-за равномерной нагрузки и прогиб из-за приложенной (точечной) нагрузки, получаем общий прогиб на конце балки:

Прогиб свободно опертой балки

Линейные валы и приводы часто закрепляются на концах, оставляя длину без опоры, как у балки с простой опорой.Равномерная нагрузка на балку (собственный вес вала или привода) вызовет максимальный прогиб в центре балки, который можно рассчитать как:

Поскольку это балка с простой опорой, приложенная нагрузка может быть смоделирована как точечная нагрузка в центре балки для наихудшего сценария.

Изображение предоставлено: wikipedia.org

Прогиб из-за приложенной нагрузки в этом состоянии рассчитывается как:

Полный прогиб в центре балки:

Прогиб валов с двумя подшипниками

При использовании двух подшипников на балке с простой опорой, как это обычно бывает с круглыми направляющими вала, приложенная нагрузка распределяется между двумя подшипниками, и максимальное отклонение происходит в двух местах: в положении на каждом подшипнике , когда подшипниковый узел (иногда называемый кареткой или столом) находится в середине вала.

Изображение предоставлено: Thomson Linear

Расчет отклонения балки для этого условия:

Опять же, мы должны добавить прогиб из-за собственного веса балки плюс прогиб из-за приложенной нагрузки, чтобы получить общий прогиб:


Существуют дополнительные сценарии монтажа и нагружения, которые могут встретиться в некоторых приложениях, например, в приводе с фиксированной опорой на обоих концах. Но, как и в приведенных выше примерах, их можно оценить с помощью стандартных уравнений отклонения балки.Полный список сценариев опор балки и уравнений отклонения можно найти на этой странице Корнельского университета.

Изображение предоставлено: wikipedia.org

Легкий прогиб стальной балки

Верулам, инженер-строитель Том. 70, No. 12, 16 июня 1992 г.

Легкое отклонение луча

Г-н А. Н. Бил из Лидса прислал нам записку с предложением простой процедуры приблизительного ручного расчета прогибов стальных балок.Хотя его вклад оказался слишком длинным, чтобы быть включенным в Verulam полностью, его сокращенная версия может заинтересовать многих читателей. Г-н Бил отмечает, что, хотя расчет вручную изгибающих напряжений в балке обычно не является трудным, расчет прогибов может быть гораздо более трудоемким. Поскольку обычно нет необходимости знать прогиб с какой-либо большой степенью точности (вероятно, в пределах 10%), предлагается следующий подход.

Случай с балкой с простой опорой, поддерживающей равномерную нагрузку, иллюстрирует подход.

Если мы возьмем формулу прогиба (Δ = 5WL³ / 384EI) и выразим ее через изгибающий момент (M = WL / 8), то получится Δ = 5ML³ / 48EI.

Теперь для стальной балки напряжение упругого изгиба fbt = M / Z, где Z = 2I / D, что дает fbt = MD / 2I.
(Z – модуль упругости, I – момент инерции, D – общая глубина сечения.)

Подставив это в формулу прогиба, мы получим Δ = 5 fbtL³ / 24ED. При E 210 кН / мм² это становится:

Δ (мм) = 0.992 фута / дн. . . (1)

Здесь fbt, L и D выражены в их обычных единицах измерения: Н / мм², м и мм соответственно.

Для всех практических целей формула

Δ = fbtL² / D. . . (2)

удобен в использовании, легко запоминается и отличается точностью до 1%.

Г-н Бил затем переходит к рассмотрению других распределений нагрузки, аналогичным образом связывая центральный прогиб Δ с экстремальным напряжением волокна fbt, получая результаты, показанные в первом столбце результатов в Таблице 1.Во втором столбце приведены значения для балок с фиксированными концами – , которые, по мнению Билла, могут быть применены для оценки прогибов в непрерывных балках.

Наконец, г-н Бил показывает, как его методика может использоваться для сложных нагрузок, вычисляя отклонение нагруженной балки с простой опорой, как показано на рис. 1:

Фиг.1

Центральный изгибающий момент, рассчитанный как 444,3 кНм.
Для сечения балки, Z = 2474 см³, D = 539,5 мм, что дает

фут = 179,6 Н / мм².

Простое приблизительное отклонение с использованием ур. (2) это

ΔAPP = 179,6 x 7² / 539,5 = 16,3 мм = L / 429 OK.

Для более точной оценки, учитывая, что большая часть момента создается центральной точечной нагрузкой, мы могли бы взять коэффициент, близкий к значению точечной нагрузки, равному 0.8 (скажем, 0,85), что дает

Δ = 0,85 футов x L² / D = 13,9 мм

Для сравнения, точный компьютерный анализ той же балки дал отклонение 13,8 мм.

Следовательно, для большинства практических целей нам нужно запомнить только четыре простые формулы для прогиба прямопертой или непрерывной стальной балки, как показано в Таблице 2.

Эти формулы не только упрощают жизнь для простых равномерных и точечных нагрузок – они означают, что прогиб при более сложных схемах нагружения может быть рассчитан без труда.Они также особенно подходят для проверки компьютерных рисунков “обратной стороной конверта”. Лучше всего то, что их легко запомнить.

Есть желающие?

Как рассчитать прогиб балки

В этом руководстве мы собираемся изучить отклонение балки и посмотрим, как мы можем рассчитать отклонение любой балки из первых принципов, используя дифференциальное уравнение кривой отклонения. Мы рассмотрим числовой пример, прежде чем обсуждать, как мы можем использовать суперпозицию вместе с табличными формулами для ускорения процесса.После того, как вы закончите это руководство, вы захотите взглянуть на это, где мы расширяем то, что мы здесь узнаем, и представляем способ ускорения вычислений, называемый Macauley’s Method . Но давайте сначала рассмотрим основы.

Содержание ниже даст вам представление о том, что мы будем обсуждать.

1.0 Дифференциальное уравнение кривой прогиба

Дифференциальное уравнение кривой прогиба используется для описания поведения при изгибе, поэтому оно возникает при изучении поведения изгиба балки и продольного изгиба колонны.Уравнение просто описывает форму кривой прогиба элемента конструкции, подвергающегося изгибу. Итак, если

измеряет расстояние вдоль балки и представляет отклонение балки, уравнение говорит:

(1)

, где

– жесткость балки на изгиб и описывает изгибающий момент балки как функцию от. В этом руководстве мы не будем вдаваться в вывод уравнения, а сосредоточимся на его применении.

Наша цель – использовать это уравнение для расчета прогиба балки,

, поэтому нам нужно дважды интегрировать уравнение, чтобы получить выражение для.Лучший способ разобраться с этим – рассмотреть пример.

1.1 Допущение “малого прогиба”

Прежде чем мы рассмотрим приведенный ниже пример, мы должны сформулировать предположения, на которых основан наш анализ. Первый – это так называемое допущение о «малом прогибе». Чтобы получить уравнение 1, мы сделали предположение, что прогиб нашей балки (или любой отклоняющей конструкции, к которой мы применяем это уравнение) невелик. Другими словами, если мы рассматриваем короткую изогнутую длину нашей балки, подвергающуюся отклонению, изогнутая длина,

, должна быть приблизительно равна ее проекции на горизонтальную плоскость,.

Мы также должны предположить, что в любой точке вдоль нашей балки поворот балки

достаточно мал, чтобы мы могли сказать, то есть угол поворота в точке приблизительно равен наклону кривой отклонения. Для большинства практических случаев прогиб – это проблема, связанная с эксплуатацией, и мы ожидаем, что он будет относительно небольшим и в значительной степени незаметным для невооруженного глаза. Таким образом, это предположение о небольшом отклонении выполняется в большинстве случаев, но вы должны знать о его существовании.

1,2 Допущение линейной упругости

Для вывода уравнения 1 также предполагалось, что материал, из которого сделана балка, был линейно упругим и, следовательно, подчинялся закону Гука.Это должно быть так, потому что мы полагаемся на тот факт, что кривизна балки пропорциональна соответствующему изгибающему моменту. Это важно помнить, потому что наши уравнения прогиба станут неточными для пластических деформаций, что, вероятно, также опровергнет наше предположение о малом прогибе. Теперь, когда мы знаем границы, в которых мы работаем, мы можем перейти к следующему примеру.

2.0 Определение уравнений изгибающего момента

Рассмотрим свободно опертую балку на рис.1 ниже. Балка подвергается двум точечным нагрузкам и равномерно распределенной нагрузке. Наша задача – определить прогиб в середине и максимальный прогиб. Обратите внимание: поскольку балка не нагружена симметрично, максимальный прогиб не должен происходить в середине пролета. Статический анализ балки показывает опорные реакции на

и,

Рис. 1. Одноопорная балка.

Снова посмотрев на дифференциальное уравнение кривой прогиба, мы увидим, что нам нужны выражения, которые описывают изгибающий момент как функцию

.Рассматривая здесь нагрузку, отметим, что диаграмма изгибающего момента не будет описываться одной непрерывной функцией. Наличие двух точечных нагрузок означает, что нам фактически потребуются три уравнения, чтобы полностью описать, как изгибающий момент изменяется вдоль балки; с этой целью мы рассмотрим луч как три различных области:

, где

измеряется слева направо с началом координат в позиции. Уравнения для получены путем выполнения разрезов в конструкции, чтобы выявить внутренний изгибающий момент, а затем оценки внутреннего изгибающего момента как функции с учетом моментного равновесия подконструкции.Если вы не уверены в чем-либо из этого, перейдите к этой статье о диаграммах сдвига и моментов, чтобы освежить свои знания.

2.1 Внутренний изгибающий момент в области 1

Чтобы оценить внутренний изгибающий момент в области 1, мы разрезаем конструкцию в этой области, чтобы выявить изгибающий момент

. Наш разрез делается на расстоянии справа от опоры, рис.2. Рис. 2. Субструктура, созданная воображаемым разрезом, сделанным в области 1. Разрез показывает внутренний изгибающий момент в этой области,.

Теперь мы знаем, что подконструкция находится в равновесии под действием внутреннего сдвига (не показано) и внутреннего изгибающего момента.Таким образом, мы можем оценить моментное равновесие, чтобы определить выражение для

.

(2)

Помните, что это уравнение действительно для значений

.

2.2 Внутренний изгибающий момент в области 2

Теперь мы можем повторить процесс, чтобы определить соответствующее уравнение для области 2. Рис. 3. показывает субструктуру, созданную разрезом, чтобы выявить внутренний изгибающий момент.

Рис 3. Субструктура, созданная воображаемым разрезом, сделанным в области 2.На разрезе виден внутренний изгибающий момент в этой области,.

Оценка суммы моментов разреза, как указано выше,

(3)

Снова отметим, что это уравнение справедливо для

.

2.3 Внутренний изгибающий момент в области 3

Наконец, мы можем установить соответствующее уравнение для области 3, рис. 4 ниже.

Рис. 4. Субструктура, созданная воображаемым разрезом, сделанным в области 3. Разрез показывает внутренний изгибающий момент в этой области,.

Оценка равновесия моментов выхода опорной конструкции,

(4)

И снова для полноты заметим, что это уравнение справедливо только для

.

3.0 Интегрирование дифференциального уравнения кривой прогиба

Теперь, когда мы установили, как изменяется изгибающий момент, мы можем подставить соответствующие выражения для

в дифференциальное уравнение и выполнить интегрирование. После подстановки наших выражений для в уравнение 1 мы имеем,

(5)

(6)

(7)

Интегрирование каждого выражения дает

(8)

(9)

(10)

Здесь мы отмечаем, что наша интеграция сгенерировала три неизвестных константы интеграции,

и.Мы также отмечаем, что теперь у нас есть член в наших уравнениях, который соответствует наклону кривой прогиба. Нам нужно выполнить еще одно интегрирование, чтобы свести это обратно к самому смещению,. Эта интеграция дает,

(11)

(12)

(13)

Мы снова видим, что эта интеграция дала нам еще 3 константы интеграции:

и. Всего у нас есть шесть неизвестных констант, которые нам нужно идентифицировать. Хорошая новость заключается в том, что теперь у нас есть уравнение для отклонения в каждой области.

3.1 Нахождение констант интегрирования

Чтобы найти постоянные интегрирования, нам нужны некоторые условия или ограничения, которые мы можем представить в форме уравнения. Поскольку у нас есть шесть неизвестных, которые нужно решить, нам понадобится 6 уравнений ограничений. Это следующие:

  1. в, уклоны в районах 1 и 2 одинаковые.
  2. ат, прогибы на участках 1 и 2 одинаковы.
  3. ат, уклоны на участках 2 и 3 совпадают.
  4. at, прогибы в областях 2 и 3 одинаковы.
  5. в (опора A) прогиб равен нулю.
  6. в (опора D) прогиб равен нулю.

Первые четыре условия называются условиями непрерывности и являются прямым результатом того факта, что балка и, следовательно, отклонения и уклоны являются непрерывными. Последние два – классические граничные условия. Теперь мы можем использовать эти утверждения для построения шести уравнений, из которых можно определить константы интегрирования.

Состояние (1)

На

наклоны в областях 1 и 2 одинаковые.Поэтому мы можем приравнять уравнения 8 и 9 и подставить в.

(14)

Состояние (2)

На

прогибы в областях 1 и 2 одинаковы. Итак, приравнивание уравнений 11 и 12 к дает нам,

(15)

Состояние (3)

На

наклоны в областях 2 и 3 одинаковы, поэтому, используя уравнения 9 и 10 с,

(16)

Состояние (4)

На

прогибы в областях 2 и 3 одинаковы.Приравнивая уравнения 12 и 13 к,

(17)

Состояние (5)

Пятое условие – стандартное граничное условие; на

прогиб равен нулю. Таким образом, мы можем позволить уравнению 11 равняться нулю с,

(18)

Состояние (6)

Окончательное условие относится к другой границе; на

прогиб также равен нулю. Таким образом, применяя это к уравнению 13 с, дает,

(19)

Теперь, когда у нас есть шесть уравнений, нам нужно использовать их для решения неизвестных констант.Безусловно, самый простой способ сделать это – расположить их в матричной форме и решить систему, инвертируя матрицу коэффициентов. Матричное представление системы:

(20)

Вектор неизвестных констант получается как,

(21)

На данный момент нам нужен способ инвертировать матрицу, и, поскольку это матрица

, мы не будем делать это вручную! Я буду использовать следующий код Python для выполнения операции в уравнении 21.

import numpy as np #Numpy для работы с массивами

# Определить каждую строку матрицы коэффициентов

row1 = [1, -1, 0, 0, 0, 0]

row2 = [3 , -3, 0, 1, -1, 0]

row3 = [0, 1, -1, 0, 0, 0,]

row4 = [0, 6, -6, 0, 1, -1 ]

row5 = [0, 0, 0, 1, 0, 0]

row6 = [0, 0, 8, 0, 0, 1]

A = np.mat ([row1, row2, row3, row4, row5, row6]) # Определить матрицу коэффициентов

B = np.array ([[337.5], [675], [900], [3600], [0], [-14613.334]])

C = AI * B # Неизвестные константы

Если вы хотите установить Python на свой компьютер, вы можете прочитать эту лекцию. Это позволит вам настроить удобную среду программирования Python. Предполагая, что вы это сделали или у вас есть собственный способ инвертирования матриц, константы оцениваются как

4.0 Расчет прогиба балки

На этом этапе мы можем суммировать три уравнения, которые описывают прогиб в трех областях нашей балки:

(22)

(23)

(24)

4.1 Прогиб в средней части

Чтобы рассчитать прогиб в середине пролета, мы подставляем

в уравнение 23, что дает нам,

Теперь, когда у нас есть полное определение отклонения балки, мы можем построить его график, чтобы лучше понять форму отклонения.На рис. 5 ниже показан график внутреннего изгибающего момента и отклоненной формы. Обратите внимание, что по оси Y отклонение является функцией

. Рис. 5. Балка без опоры, график изгибающего момента и график отклоненной формы.

4.2 Местоположение максимального прогиба

Из рис. 5 выше видно, что, несмотря на несимметричную нагрузку, максимальный прогиб происходит очень близко к середине пролета. Мы можем подтвердить точное местоположение максимального отклонения, распознав, что в этом месте наклон кривой отклонения равен нулю.Другими словами, касательная к кривой отклонения в точке максимального отклонения будет горизонтальной и, следовательно, иметь нулевой наклон.

Путем осмотра мы знаем, что максимальное отклонение происходит в области 2. Но предположим, что мы этого не знали. Мы можем позволить каждому уравнению для наклона кривой прогиба,

, уравнениям 8, 9 и 10, равняться нулю, и решить для корней каждого уравнения, то есть значений x, при которых наклон равен нулю. Я позволю Python делать здесь ручную работу …

# Определить многочлены

p1 = np.poly1d ([- 10/3, 139.375 / 2, 0, -856.354]) #Region 1

p2 = np.poly1d ([- 10/3, 64.375 / 2, 225, -1193.854]) #Region 2

p3 = np.poly1d ([- 10/3, 14.375 / 2, 525, -2093.854]) #Region 3

# Извлечь корни

rootRegion1 = p1.r #Region 1

rootRegion2 = p2.r # Регион 2

rootRegion3 = p3.r # Регион 3

Корни,

Значения, выходящие за границы соответствующего региона, могут быть немедленно отброшены.Остается только

в области 2. Как мы и подозревали, это очень близко к средней точке пролета. Теперь мы можем подставить это значение обратно в уравнение 12, чтобы подтвердить значение максимального отклонения, но, поскольку мы уже вычислили отклонение при, мы не будем этого делать.

5.0 Использование суперпозиции для расчета прогиба балки

Выше мы видели, как определить отклонение балки из первых принципов. Это дало нам полную картину отклонения, но это был относительно долгий процесс, чтобы добраться сюда.Мы можем использовать принцип суперпозиции, чтобы получить ответ для отклонения в середине пролета намного быстрее, используя табличные формулы для отклонения балки. Эти формулы уже определены и сведены в таблицы для общих случаев нагружения с использованием только что продемонстрированной нами техники. Оценивая прогиб в середине пролета для каждой нагрузки отдельно и суммируя вызванные прогибы, мы получаем тот же результат, что и выше.

5.1 Равномерно распределенная нагрузка

Рассмотрим формулу прогиба балки при равномерно распределенной нагрузке, рис.6,

(25)

На

эта формула оценивается как. Рис. 6. Балка с простой опорой, подверженная равномерно распределенной нагрузке.

5.2 Точечная нагрузка # 1

Формула для прогиба балки, подверженной одиночной точечной нагрузке, рис. 7, где расстояние

меньше расстояния до положения, в котором оценивается прогиб, выглядит следующим образом:

(26)

Это оценивается как

5.3 Точечная нагрузка # 2

Наконец, оценивая формулу для прогиба, где

, рис.8,

(27)

Это оценивается как

.

Суммируя результаты трех средних прогибов,

Конечно, это то же самое значение, которое мы получили выше. Построив эти уравнения, мы можем дополнительно визуализировать вклад каждой нагрузки в общую форму отклонения, рис. 9.

Рис. 9. Общая отклоненная форма, полученная как наложение отдельных прогибов от каждой нагрузки, рассматриваемой отдельно.

На этом мы завершаем обсуждение отклонения балки.В конце концов, вам решать, какой подход вы решите использовать для расчета прогибов. Конечно, есть и другие методы, которые вы можете использовать для оценки прогиба, но в любом случае хорошо иметь представление о том, как это можно сделать, исходя из первых принципов. Помните, что, как и любой вывод, у этого есть свои ограничивающие допущения, о которых говорилось выше. Все, что мы обсудили выше, действительно только в том случае, если мы удовлетворяем этим ограничивающим предположениям.

Теперь, когда мы рассмотрели фундаментальный метод решения дифференциального уравнения кривой прогиба, самое время познакомиться с методом Macauley’s Method .Проверьте это в этом посте.

На этом пока все, увидимся в следующем.


(PDF) Упругие прогибы стальных двутавровых балок с простой опорой с отверстием в стенке

316 Donghua Zhou et al. / Procedure Engineering 31 (2012) 315 – 323

Donghua Zhou et al. / Procedure Engineering 00 (2011) 000–000

также должно выполняться для перфорированной балки. Поэтому расчет прогиба перфорированной балки

не может быть исключен при проектировании.

Из-за раскрытия в стенке вторичные моменты будут возникать в верхнем и нижнем Т-образном сечении, что

приводит к значительному прогибу в отверстии. Вопрос в том, как решить проблему статической неопределенности

в области раскрытия стенки при расчете прогиба там. При расчете прогиба

традиционным методом необходимо сначала вычислить избыточные силы, что чрезвычайно усложнит расчет

.

Догерти [1] вывел некоторые аналитические формулы для расчета прогиба балок при раскрытии стенки,

, но некоторые из его предположений не совсем соответствуют реальной ситуации из экспериментального наблюдения

, кроме того, формулы не были проверены. . В настоящее время не было замечено, что сообщается о практическом и надежном методе расчета и формулах

. Поэтому в этой статье приняты два метода

для получения аналитических формул для расчета дефектного катиона.Эти формулы затем проверяются решением

методом конечных элементов.

2. Метод 1 (прямое решение дифференциальных уравнений)

Функция внутренней силы (функция момента) должна быть известна при построении дифференциальных уравнений прогиба

. В области двутаврового сечения (без перфорации) функция момента может быть непосредственно

, полученное с использованием условий равновесия, но область Т-образного сечения (перфорированная) в три раза статически не определена

, существуют избыточные силы, которые необходимо решить.Он основан на следующих предположениях, чтобы избежать решения этих сил и упростить вычисление

:

1. В области раскрытия стенки изгибающий момент состоит из первичных и вторичных изгибающих моментов,

, которые вызываются соответственно нормальными силами и вертикальными поперечными силами. великий. Точка обратного изгиба

находится в средней точке коротких локальных верхней и нижней балок.

2. При определении прогиба учитывается влияние вторичного изгибающего момента s, а

влиянием первичных изгибающих моментов и поперечных сил пренебрегают.

3. Учитываются только упругие свойства балки.

На рис.1 показано, что перфорированная двутавровая балка статически определена при просмотре со всей и трижды

статически неопределена с локальной точки зрения, это означает, что локальная внутренняя силы, например,

,

и

являются избыточными силами.

P

Q

M

N

t

N

t

N

b

N

b

Z

MS6

MS4

MS

Q

т

Q

b

Q

1

3

2

4

N

t

N

0007

N

000

MS1MS2l

MS3MS4l

MS1MS2MS3MS4l

M

si

l

M

p

M

si

MS1 9000

MS1MS3

MS1 MS6

MS1 9000

b

Q

т

Q

b

QQ

т

Q

b

Q

Q

т

Q 9000 7

b

y

Q

т

Q

b

л

В целом:

л

Q

т

Q

:

EI EI

(первичный изгибающий момент)

(вторичный изгибающий момент)

Рис.1 местные и общие внутренние силы перфорированной двутавровой балки

Прогиб балок

Расс Эллиот

Благодарности : Существует ряд стандартных работ, касающихся принципов отклонения балки. Особенно хорошее описание, на котором основаны приведенные здесь уравнения, содержится в книге Mechanics of Materials (четвертое издание SI) , написанной Дж. М. Гиром и С. П. Тимошенко, Стэнли Торнсом, ISBN 0 7487 3998 X.Для вывода уравнений следует обращаться к этой работе.

Введение

Прогиб пружинной балки зависит от ее длины, формы поперечного сечения, материала, места приложения отклоняющей силы и того, как балка поддерживается.

Уравнения, приведенные здесь, относятся к однородным, линейно упругим материалам, в которых вращение балки невелико.

В следующих примерах рассматриваются только нагрузки, действующие в одной точке или отдельных точках – точка приложения силы F на схемах предназначена для обозначения рогового блока модели локомотива (или буксы транспортного средства), способного перемещаться вертикально. в рупорной направляющей и действуя против силы пружинной балки, прикрепленной к локомотиву или основным шасси транспортного средства или переносимых ими.Доля общего веса, действующего на каждую ось локомотива или транспортного средства, будет зависеть от положения его центра тяжести по отношению к оси (или точек крепления уравновешивающих балок шасси, если они используются).

Приложение для моделирования рожковых блоков локомотивов

Как видно из уравнений, толщина материала ( h или d ) очень важна, и, следовательно, увеличивающиеся размеры в диапазоне доступных гитарных струн делают их очень привлекательными для использования в качестве пружинные балки.Также существует значительная разница в прогибе балки для данной силы, в зависимости от того, как она поддерживается и фиксируется, а также от того, поддерживается ли она только на одном конце или на обоих концах.

Предполагается, что конструкция должна быть основана на заданном прогибе рогового блока, а затем определить, какая длина, толщина и стиль балки наиболее подходят для конкретной силы, которая должна восприниматься каждой осью.

Для локомотивов, вес которых составляет от 4 до 6 граммов на тонну прототипа, массы, поддерживаемые каждым отдельным роговым блоком локомотива, вероятно, будут находиться в диапазоне от 30 до 60 граммов (что соответствует нагрузке прототипа от 14 до 20 тонн на тонну). ось).

Выбор значения отклонения

Для разумного мелкого пути в масштабе 4 мм рекомендуемое значение прогиба рогового блока, δ , при конечной нагрузке локомотива составляет 0,5 мм.

Приведенная выше рекомендация, как известно, является чрезмерно упрощенным и, возможно, неправильным предположением о том, каким должно быть расчетное значение прогиба, и вызвала серьезные споры. Приветствуется любой опыт применения этой рекомендации в реальной практике моделирования шасси – цель этой статьи – начало обсуждения, а не его заключение.Щелкните здесь, чтобы ознакомиться с вопросами по этому поводу.

Момент инерции,

I
Момент инерции прямоугольного сечения

I = bh 3 ∕ 12

где h – размер в плоскости изгиба, т. Е. По оси, по которой действует изгибающий момент


Момент инерции круглого сечения

I = π r 4 ∕ 4 = π d 4 ∕ 64

, где r и d – радиус и диаметр соответственно

Все приведенные ниже уравнения содержат I , момент инерции балки, который является константой, определяемой формой и толщиной поперечного сечения балки.Момент инерции не зависит от длины или материала балки. Здесь рассматриваются только прямоугольные и круглые цельные сечения.

Пояснения к диаграммам и обозначениям прогибов

На схемах показаны два типа опор: фиксированная и простая. На неподвижной опоре балка удерживается жестко, а угловой прогиб в точке крепления равен нулю. На простой опоре балка может скользить по опоре и вращаться в соответствии с силой, приложенной к балке.

L = длина балки
a = промежуточная длина балки
δ = прогиб балки
F = сила (т. Е. Доля веса локомотива, которому оказывает сопротивление букса)
E = модуль Юнга
I = момент инерции балки

Уравнения и диаграммы прогиба

Примечание к схемам и уравнениям .Приведенные здесь диаграммы были перевернуты по сравнению с их обычным представлением в учебниках, чтобы отразить их применение для моделей локомотивов и букс транспортных средств. Однако, хотя уравнения для отклонения были согласованы с их учебным представлением, нормальное соглашение о знаках (+ или -, чтобы указать отклонения по вертикальной оси y от базовой линии балки) было проигнорировано, поскольку мы здесь обеспокоены только с абсолютной величиной прогиба балки.

Концевая нагрузка на консольную балку с одинарной неподвижной опорой

δ = FL 3 ∕ 3 EI

Это уравнение также следует использовать для отклонения уравнительной балки, вращающейся вокруг фиксированной оси и опирающейся на два рупорных блока по обе стороны от оси поворота.

Двойные нагрузки на балку с двумя простыми опорами
(примеры применения этой конфигурации)

Это может быть применено для двух роговых блоков, прижимающихся к одной балке. Прогиб на расстоянии a от соседней опоры составляет:

δ = Fa 2 (3 L – 4 a ) ∕ 6 EI

Свисающая нагрузка на балку, ограниченная двумя простыми опорами

δ = Fa 2 ( L + a ) ∕ 3 EI

Промежуточная / центральная нагрузка на балку с одной фиксированной и одной простой опорой

Отклонение по длине a от неподвижной опоры составляет:

δ = Fa 3 ( L a ) 2 (4 L a a a a ) ∕ 12 EIL 3

Для нагрузки в центре балки, подставив a = L ∕ 2 в приведенное выше уравнение, прогиб составит:

δ = 3.5 FL 3 ∕ 384 EI

Центровка нагрузки на балку с двумя неподвижными опорами

δ = FL 3 ∕ 192 EI

При нагрузке в центре отклонение на расстоянии a от фиксированной опоры
(где a меньше чем или равно L ∕ 2 ):

δ = Fa 2 (3 L -4 a ) ∕ 48 EI

Промежуточная нагрузка на балку с двумя неподвижными опорами

Прогиб на расстоянии a от неподвижной опоры составляет:

δ = 2 Fa 3 ( L a ) 2 ∕ 3 EI (2 EI (2 EI (2 L a ) а + Д ) 2

Значения модуля Юнга,

E
Бериллиевая медь 124 ГПа 1
Латунь, твердость 70/30 117.2 ГПа
Латунь неуточненная от 96 до 110 ГПа
Нейзильбер 132,5 ГПа (127 ГПа 1 )
Бронза фосфористая, 5%, твердая 131,8 ГПа
Фосфорная бронза (92% Cu / 8% Sn, или CuSn8)111 ГПа 1
Сталь мягкая или инструментальная 212 ГПа
Сталь мягкая, низкоуглеродистая 210 ГПа
Сталь мягкая (закаленная) 201.4 ГПа
Сталь нержавеющая 215,2 ГПа (190 ГПа 1 )
Сталь инструментальная (закаленная) 203,2 ГПа

Следует отметить, что это теоретические значения.

Типичное значение для стальной гитарной струны можно принять равным 205 ГПа.

Значения, указанные для фосфористой бронзы, различаются: кажется, что они будут зависеть от того, является ли материал «пружинным» или «экстрапружинным» типом фосфористой бронзы 92% Cu / 8% Sn. обычно используется в переключателях с защелкой.

1 Шигли, инженер-конструктор машиностроения, 1980, McGraw Hill

Примечания к агрегатам и размерам

1 Па = 1 Н · м -2 = 10 -6 Н · мм -2 = 10 -6 кг · м · с -2 · мм -2 = 1 г · мм -1 · с -2

Чтобы получить силу F в приведенных выше уравнениях, массу следует умножить на гравитационную постоянную g (9.81 м · с -2 , или, что нам удобнее, 9810 мм · с -2 )

Размеры модуля Юнга E составляют ML -1 T -2
Размеры усилия F составляют L 2 ML -1 T -2 = MLT -2
Размеры момента инерции I – L 4

© Расс Эллиотт

, впервые опубликовано 19 апреля 2000 г .;
небольшая редакционная правка, август 2001 г .;
уравнение для промежуточной нагрузки на балку с двумя фиксированными опорами исправлено и уравнение прогиба для промежуточной / центральной нагрузки на балку с одной фиксированной и одной простой опорой повторно выражено, январь 2005 г .; Диаграмма
для свисающей нагрузки на балку, стесненную двумя простыми опорами, пересмотрена 8 октября 2009 г .; Уравнение
для промежуточной нагрузки на балку с двумя неподвижными опорами исправлено, 30 декабря 2010 г.

Лучшее руководство по определению прогиба в балках переменного поперечного сечения – опытный инженер

Таблицы балок дают информацию и предполагают, что прогиб расчет основан на постоянном сечении.Итак, что делать, если у нашей балки есть крест сечение, которое меняется по длине балки?

Чтобы определить величину прогиба в балка переменного сечения, необходимо интегрировать формулу прогиба балки с моментом инерции, являющимся переменной по отношению к длине и применить граничные условия. Луч Формула отклонения: v ’’ = M (x) / [E * I (x)].

Непрерывное или дискретное – Есть два типа секций балки: непрерывная и дискретная.Большинство балок представляют собой непрерывных балок и имеют либо постоянное сечение, либо сечение, которое постепенно изменяется по длине балки. Кровельные балки в больших стальных зданиях – отличный пример непрерывной переменной балки. Балка относительно короткая на концах и очень высокая посередине.

Дискретные балки балки которые имеют внезапные разрывы в разрезе. Вы не поверите, но иногда это проще для расчета, потому что дискретные участки обычно постоянны, что приводит к более легкий расчет.

Формула отклонения балки – универсальная формула, которая позволяет настраивать несколько нагрузок и балку разделы. Предупреждаю, что чем больше чем точнее должны быть ваши расчеты, тем сложнее будет выполнить математику. Упрощение здесь сэкономит много времени и усилия. Как упоминалось ранее, формула:

в ’’ = M (x) / [E * I (x)]

Где v ’’ – вторая производная отклонения ( ускорение прогиба), M – момент, который обычно является функцией положение по длине балки, x. E – модуль упругости, I – момент инерции поверхности луч. Все табличные балки будут считайте это постоянной величиной, и поэтому ни одна из формул прогиба может быть использован.

Теперь, когда мы проинтегрируем приведенное выше уравнение, мы будем выполнение неопределенного интеграла, что означает, что мы должны добавить константу, C n, к многочлену каждый раз, когда мы интегрируем. Поскольку мы будем интегрировать уравнение два раза, мы получим две константы. Если у нас есть дискретный В этом случае у нас будет два или более уравнений.

Граничные условия – это требования, которым должна соответствовать формула прогиба балки, когда она находится в окончательном виде. Окончательная форма приходит только тогда, когда мы используем граничные условия для решения для констант образованный неопределенным интегралом. Общий случаи: концы балки с опорой должны быть равны 0 (дюймы, мм и т. д.) или наклон консольной балки должен быть 0 радиан.

В этой статье мы рассмотрим три примера распространенных балок переменного сечения.

  1. Двухсекционная консольная балка с точечной нагрузкой на конце.
  2. Двухсекционная балка, свободно поддерживаемая собственным весом.
  3. Постоянно изменяющаяся непрерывная балка с простой опорой и постоянной распределенной нагрузкой.

Лучшее руководство по минимизации прогиба луча

Пример 1: Двухсекционная консольная балка с точечной нагрузкой на конце.

Эта проблема состоит из 100-дюймового консольная стальная балка с нагрузкой 500 фунтов.4.

Теперь мы определим момент и дважды проинтегрируем уравнение прогиба балки, каждый раз добавляя переменную для неопределенного интеграла. Я решил, что моя система координат (переменная x) начинается с основания. Это немного усложняет интегрирование, но переменные C 1 и C 2 будут уравновешиваться из-за граничных условий 1 и 2. Вы увидите через секунду.

Мне нужно выполнить интегрирование только для одного из разделов, а затем изменить I 1 на I 2 в уравнениях.Я также сохранил переменную «v» как отклонение балки, но изменил первую производную отклонения на переменную «s», чтобы указать наклон. Я также указал переменные.

Теперь, когда проблема определена, давайте установим граничные условия. Нам нужно, чтобы положение и наклон на фиксированном конце балки составляли 0 дюймов и 0 радиан. Также нам понадобятся еще два граничных условия на стыке сегментов. Наклон и положение в этом положении должны быть одинаковыми.

Решим граничные условия 1 и 2

Как упоминалось выше, я предвидел, что переменные C1 и C2 будет равно 0, когда я выберу, чтобы система координат начиналась с база.

Далее мы рассмотрим граничные условия 3 и 4. Они немного сложнее.

Обратите внимание на проверку, которую я вставил в блок поиска, чтобы чтобы мы могли проверить, что v 1 = v 2 и s 1 = s 2 при 50in.Это подтверждает что положение и наклон в этой точке будут непрерывными.

Следующим шагом является проверка результатов. Это делается в два этапа. Первый – нанести каждый сегмент по всей длине. Мы ищем четыре граничных условия, которые должны быть выполнены. Как видите, линии пересекаются и касаются друг друга на расстоянии 50 дюймов. Кроме того, v 1 не имеет прогиба или наклона в основании.

Наконец, мы объединим два графика вместе, образуя окончательное уравнение для отклонения нашей консольной балки.

Как видите, отклонение быстро увеличивается после 50 дюймов от основания. Это четко указано на обоих графиках.

4 лучших способа улучшить характеристики торсионной балки

Пример 2: Двухсекционная стальная балка с простой опорой под собственным весом.

Эта проблема состоит из стальной балки с простой опорой длиной 300 дюймов с распределенной нагрузкой 30 фунтов / дюйм на левом конце. На правом конце распределенная нагрузка составляет 50 фунтов.4.

Теперь определим момент и проинтегрируем уравнение отклонения балки дважды каждый раз, добавляя переменную. Я выбрал две системы координат. Координата x идет слева направо и координата y идет справа налево. Их связывает:

г = L-x

Я выбрал эту систему координат, так что C 2 и C 4 будет сокращаться, когда мы решаем граничные условия 1 и 2. Это также упрощает математические вычисления. чрезвычайно.Вы увидите через секунду.

Мне нужно выполнить интегрирование только для одного из разделов, а затем изменить I 1 на I 2 и w 1 на w 2 в уравнениях. Для уравнений правого сечения я также заменю «y» на «x». Я также сохранил переменную «v» как отклонение балки, но изменил первую производную отклонения на переменную «s», чтобы указать наклон. Я также указал переменные.

Теперь, когда проблема определена, давайте установим граничные условия.Нам нужно, чтобы концы балки были отклонены на 0 дюймов (BC 1 и 2). Также нам понадобятся еще два граничных условия на стыке сегментов. Наклон и положение в этой позиции должны быть такими же, как и в месте соединения сегментов.

Решим граничные условия 1 и 2

Как упоминалось выше, я предвидел, что переменные C 2 и C 4 будет равно 0, если я выберу координату система запускается на базе.

Далее мы рассмотрим граничные условия 3 и 4. Они немного сложнее.

Обратите внимание на проверку, которую я вставил в блок поиска, чтобы чтобы мы могли проверить, что v 1 = v 2 и s 1 = s 2 при 200 дюйм. Это подтверждает что положение и наклон в этой точке будут непрерывными.

Следующим шагом является проверка результатов. Это делается в два этапа. Первый – нанести каждый сегмент по всей длине.Мы ищем четыре граничных условия, которые должны быть выполнены.

Ой, что случилось !? Линии определенно пересекаются на расстоянии 200 дюймов, и каждый конец имеет 0 дюймов прогиб, но они не касаются на пересечении. Я не только показываю силу график решения для точности, но также демонстрируя, что с помощью двух разные системы координат создают проблему. Согласно уравнениям склоны приближаются к месту расположения стык на равном по величине нисходящем склоне.Однако сделать эту работу одной из склонов на самом деле нужно подойти. Мы можем исправьте эту проблему, внеся одно небольшое изменение.

с 1 = -s 2

Давайте внесем это изменение и приступим к решению.

Да, намного лучше! Наконец, мы объединим два графика вместе, образуя окончательное уравнение для отклонения нашей консольной балки.

Как и ожидалось, более длинная и жесткая часть меньше прогибается.

Как рассчитать данные о пучке, когда вашего дела нет в таблице

Пример 3: Постоянно изменяющаяся неразрезная балка с простой опорой и постоянной распределенной нагрузкой.

Эта проблема состоит из стальной балки с простой опорой длиной 300 дюймов и распределенной нагрузки 1000 фунтов / дюйм поперек балки. Сечение начинается на высоте 10 дюймов, линейно увеличивается к центру, где достигает высоты 24 дюйма. Затем он снова сужается до 10 дюймов.

Чтобы определить, как изменяется момент инерции относительно x, мы будем моделировать в Solidworks и делать сечения каждые 30 дюймов. Мы сведем эти данные в таблицу и подгоним к ним линию.

Вы, наверное, заметили, что я сделал таблицу только для значений от 0 до 150 дюймов. Это потому, что я собираюсь использовать симметрию, чтобы упростить эту сложную задачу. Мы можем использовать симметрию, потому что и нагрузка, и сечение балки симметричны относительно середины балки. Из-за симметрии нам нужно, чтобы конечная точка имела прогиб 0 дюймов, а наклон в середине балки был 0 градусов. Затем мы можем отразить это, чтобы получить непрерывное отклонение луча. В этом случае координата x будет идти слева направо.

Здесь вы можете видеть, что вычисленные значения I (x) точно соответствуют тому, что указано в таблице выше. Я назвал вторую производную от положения «а1» (ускорение). Как видите, верхняя и нижняя части имеют переменную «x», и интегрировать это будет очень весело. Итак, вам нужно знать обо мне одну вещь. У меня есть ограничения относительно того, что я не буду делать. Интеграция – одна из таких вещей. Вот почему у нас есть MathCAD!

Как видите, очень утомительная работа по интеграции была замалчена, и мы смогли напрямую решить для нашей границы условия.В уравнениях s (x) и v (x), на самом деле были натуральные бревна и каким-то образом появилась обратная касательная (не показано). Я все еще не жалею позволяя MathCAD делать всю работу.

Следующим шагом является проверка результатов. Это делается в два этапа. Первый – нанести каждый сегмент по всей длине. Мы ищем, чтобы наши граничные условия были выполнены. Как видите, отклонение при x = 0 дюймов составляет 0 дюймов, а наклон кажется плоским при x = 150 дюймов.

Наконец, мы отразим графики вместе, образуя окончательное уравнение для отклонения нашей консольной балки.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.