Удлинение как найти: определите удлинение пружины если на неё действует сила равная 10Н.,А жесткость пружины 500Н/м

alexxlab | 04.05.2023 | 0 | Разное

Сила деформации формула. Задачи на тему «Сила упругости. Закон Гука» с решениями. Как и когда возникает сила упругости

Сила деформации формула. Задачи на тему «Сила упругости. Закон Гука» с решениями. Как и когда возникает сила упругости

Виды деформаций

Деформацией называют изменение формы, размеров или объема тела. Деформация может быть вызвана действием на тело приложенных к нему внешних сил. Деформации, полностью исчезающие после прекращения действия на тело внешних сил, называют упругими , а деформации, сохраняющиеся и после того, как внешние силы перестали действовать на тело, – пластическими . Различают деформации растяжения или сжатия (одностороннего или всестороннего), изгиба , кручения и сдвига .

Силы упругости

При деформациях твердого тела его частицы (атомы, молекулы, ионы), находящиеся в узлах кристаллической решетки, смещаются из своих положений равновесия. Этому смещению противодействуют силы взаимодействия между частицами твердого тела, удерживающие эти частицы на определенном расстоянии друг от друга. Поэтому при любом виде упругой деформации в теле возникают внутренние силы, препятствующие его деформации.

Силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные против направления смещения частиц тела, вызываемого деформацией, называют силами упругости. Силы упругости действуют в любом сечении деформированного тела, а также в месте его контакта с телом, вызывающим деформации. В случае одностороннего растяжения или сжатия сила упругости направлена вдоль прямой, по которой действует внешняя сила, вызывающая деформацию тела, противоположно направлению этой силы и перпендикулярно поверхности тела. Природа упругих сил электрическая.

Мы рассмотрим случай возникновения сил упругости при одностороннем растяжении и сжатии твердого тела.

Закон Гука

Связь между силой упругости и упругой деформацией тела (при малых деформациях) была экспериментально установлена современником Ньютона английским физиком Гуком. Математическое выражение закона Гука для деформации одностороннего растяжения (сжатия) имеет вид:

где f – сила упругости; х – удлинение (деформация) тела; k – коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и материала тела, называемый жесткостью. Единица жесткости в СИ – ньютон на метр (Н/м).

Закон Гука для одностороннего растяжения (сжатия) формулируют так: сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна удлинению этого тела.

Рассмотрим опыт, иллюстрирующий закон Гука. Пусть ось симметрии цилиндрической пружины совпадает с прямой Ах (рис. 20, а). Один конец пружины закреплен в опоре в точке А, а второй свободен и к нему прикреплено тело М. Когда пружина не деформирована, ее свободный конец находится в точке С. Эту точку примет за начало отсчета координаты х, определяющей положение свободного конца пружины.

Растянем пружину так, чтобы ее свободный конец находился в точке D, координата которой х > 0: В этой точке пружина действует на тело М упругой силой

Сожмем теперь пружину так, чтобы ее свободный конец находился в точке В, координата которой х

Из рисунка видно, что проекция силы упругости пружины на ось Ах всегда имеет знак, противоположный знаку координаты х, так как сила упругости направлена всегда к положению равновесия С. На рис. 20, б изображен график закона Гука. На оси абсцисс откладывают значения удлинения х пружины, а на оси ординат – значения силы упругости. Зависимость fх от х линейная, поэтому график представляет собой прямую, проходящую через начало координат.

Рассмотрим еще один опыт .

Пусть один конец тонкой стальной проволоки закреплен на кронштейне, а к другому концу подвешен груз, вес которого является внешней растягивающей силой F, действующей на проволоку перпендикулярно ее поперечному сечению (рис. 21).

Действие этой силы на проволоку зависит не только от модуля силы F, но и от площади поперечного сечения проволоки S.

Под действием приложенной к ней внешней силы проволока деформируется, растягивается. При не слишком большом растяжении эта деформация является упругой. В упруго деформированной проволоке возникает сила упругости f уп. Согласно третьему закону Ньютона, сила упругости равна по модулю и противоположна по направлению внешней силе, действующей на тело, т. е.

f уп = -F (2.10)

Состояние упруго деформированного тела характеризуют величиной s, называемой нормальным механическим напряжением (или, для краткости, просто нормальным напряжением ). Нормальное напряжение s равно отношению модуля силы упругости к площади поперечного сечения тела:

s = f уп /S (2.11)

Пусть первоначальная длина нерастянутой проволоки составляла L 0 . После приложения силы F проволока растянулась и ее длина стала равной L. Величину DL = L – L 0 называют

абсолютным удлинением проволоки . Величину e = DL/L 0 (2.12) называют относительным удлинением тела . Для деформации растяжения e>0, для деформации сжатия e

Наблюдения показывают, что при небольших деформациях нормальное напряжение s пропорционально относительному удлинению e:

s = E|e|. (2.13)

Формула (2.13) является одним из видов записи закона Гука для одностороннего растяжения (сжатия). В этой формуле относительное удлинение взято по модулю, так как оно может быть и положительным и отрицательным. Коэффициент пропорциональности Е в законе Гука называется модулем продольной упругости (модулем Юнга).

Установим физический смысл модуля Юнга . Как видно из формулы (2.12), e = 1 и L = 2L 0 при DL = L 0 . Из формулы (2.13) следует, что в этом случае s = Е. Следовательно, модуль Юнга численно равен такому нормальному напряжению, которое должно было бы возникнуть в теле при увеличении его длины в 2 раза. (если бы для такой большой деформации выполнялся закон Гука). Из формулы (2.13) видно также, что в СИ модуль Юнга выражают в паскалях (1 Па = 1 Н/м 2).

Чем большей деформации подвергается тело, тем значительней в нем возникает сила упругости. Это значит, что деформация и сила упругости взаимосвязаны, и по изменению одной величины можно судить об изменении другой. Так, зная деформацию тела, можно вычислить возникающую в нем силу упругости. Или, зная силу упругости, определить степень деформации тела.

Если к пружине подвешивать разное количество гирек одинаковой массы, то чем больше их будет подвешено, тем сильнее пружина растянется, то есть деформируется.

Чем больше растянута пружина, тем большая в ней возникает силы упругости. Причем опыт показывает, что каждая следующая подвешенная гирька увеличивает длину пружины на одну и туже величину.

Так, например, если исходная длина пружины была 5 см, а подвешивание на ней одной гирьки увеличило ее на 1 см (т. е. пружина стала длиной 6 см), то подвешивание двух гирек увеличит ее на 2 см (общая длина составит 7 см), а трех – на 3 см (длина пружины будет 8 см).

Еще до опыта известно, что вес и возникающая под его действием сила упругости находятся друг с другом в прямопропорциональной зависимости. Кратное увеличение веса во столько же раз увеличит силу упругости. Опыт же показывает, что деформация точно также зависит от веса: кратное увеличение веса во столько же раз увеличивает изменения в длине. Это значит, что, исключив вес, можно установить прямопропорциональную зависимость между силой упругости и деформацией.

Если обозначить удлинение пружины в результате ее растяжения как x или как ∆l (l 1 – l 0 , где l 0 – начальная длина, l 1 – длина растянутой пружины), то зависимость силы упругости от растяжения можно выразить такой формулой:

F упр = kx или F упр = k∆l, (∆l = l 1 – l 0 = x)

В формуле используется коэффициент k . Он показывает, в какой именно зависимости находятся сила упругости и удлинение. Ведь удлинение на каждый сантиметр может увеличивать силу упругости одной пружины на 0,5 Н, второй на 1 Н, а третьей на 2 Н. Для первой пружины формула будет выглядеть как F упр = 0,5x, для второй – F упр = x, для третьей – F упр = 2x.

Коэффициент k называют жесткостью пружины. Чем жестче пружина, тем труднее ее растянуть, и тем большее значение будет иметь k. А чем больше k, тем больше будет сила упругости (F упр) при равных удлинения (x) разных пружин.

Жесткость зависит от материала, из которого изготовлена пружина, ее формы и размеров.

Единицей измерения жесткости является Н/м (ньютон на метр). Жесткость показывает, сколько ньютонов (сколько сил) надо приложить к пружине, чтобы растянуть ее на 1 м. Или насколько метров растянется пружина, если приложить для ее растяжения силу в 1 Н. Например, к пружине приложили силу в 1 Н, и она растянулась на 1 см (0,01 м). Это значит, что ее жесткость равна 1 Н / 0,01 м = 100 Н/м.

Также, если обратить внимание на единицы измерения, то станет понятно, почему жесткость измеряется в Н/м. Сила упругости, как и любая сила, измеряется в ньютонах, а расстояние – в метрах. Чтобы уровнять по единицам измерения левую и правую части уравнения F упр = kx, надо в правой части сократить метры (то есть поделить на них) и добавить ньютоны (то есть умножить на них).

Соотношение между силой упругости и деформацией упругого тела, описываемое формулой F упр = kx, открыл английский ученый Роберт Гук в 1660 году, поэтому это соотношение носит его имя и называется законом Гука .

Упругой деформацией является такая, когда после прекращения действия сил, тело возвращается в свое исходное состояние. Бывают тела, которые почти нельзя подвергнуть упругой деформации, а у других она может быть достаточно большой. Например, поставив тяжелый предмет на кусок мягкой глины, вы измените его форму, и этот кусок сам уже не вернется в исходное состояние. Однако если вы растяните резиновый жгут, то после того, как отпустите его, он вернет свои исходные размеры. Следует помнить, что закон Гука применим только для упругих деформаций.

Формула F упр = kx дает возможность по известным двум величинам вычислять третью. Так, зная приложенную силу и удлинение, можно узнать жесткость тела. Зная, жесткость и удлинение, найти силу упругости. А зная силу упругости и жесткость, вычислить изменение длины.

По своей физической природе силы упругости ближе к силам трения, чем к гравитационным силам, поскольку они в конечном счете обусловлены взаимодействием заряженных частиц, из которых построены все тела. Однако в отличие от сил трения скольжения, возникающих при относительном движении тел, силы упругости определяются только взаимным расположением взаимодействующих тел и возникают только при их деформации.

Виды деформаций. Для твердых тел различают два предельных случая деформации: упругие и пластические. Если после прекращения внешнего воздействия деформированное тело восстанавливает свою форму и размеры, то деформация называется упругой. Для упругой деформации характерно существование однозначной связи между величиной деформации и вызывающей ее силой. Именно это свойство было положено в основу введенного способа измерения сил с помощью динамометра.

Деформации, не исчезающие после прекращения действия сил, называются пластическими.

Закон Гука. Опыт показывает, что почти у всех твердых тел при малых упругих деформациях величина деформации пропорциональна вызывающей ее силе. Это утверждение носит название закона Гука. При больших деформациях связь между деформациями и силами перестает быть линейной, а затем и вообще становится неоднозначной, т. е. деформация зависит от предыстории. Деформация становится пластической. При этом тело остается деформированным хотя бы частично и после прекращения действия внешних сил.

Таким образом, будет ли деформация упругой или пластической, зависит не только от материала тела, но и от того, насколько велики приложенные силы. Упругие деформации используются всюду, начиная от различного типа амортизационных устройств (рессор, пружин и т. д.) и кончая тончайшими измерительными приборами. На пластической деформации основаны различные способы холодной обработки металлов (штамповка, ковка, прокатка и т. д.).

Остановимся подробнее на законе Гука, описывающем малые упругие деформации в рамках феноменологического подхода. Этот закон справедлив для различных видов упругой деформации: растяжения (сжатия), сдвига, кручения, изгиба.

Деформация растяжения (сжатия) стержня характеризуется абсолютным удлинением , где – длина стержня в недеформированном состоянии, и относительным удлинением Опыт показывает, что удлинение стержня пропорционально вызывающей его силе

Коэффициент пропорциональности к в этой формуле называют жесткостью стержня. Он зависит как от упругих свойств материала, так и от размеров деформируемого стержня.

Модуль Юнга. Для любых упругих деформаций можно ввести постоянные, характеризующие упругие свойства только материала, не зависящие от размеров тела. Для изотропного тела существуют две независимые характеристики упругих свойств – модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Введем их на примере деформации растяжения.

Рассмотрим однородную деформацию, возникающую в стержне с одинаковым по всей длине поперечным сечением под действием приложенной к его концу силы Удлинение как показывает опыт, пропорционально его первоначальной длине Поэтому относительное удлинение уже не зависит от длины стержня. Но эта величина еще зависит от поперечного сечения стержня. Опыт показывает, что удлинение под действием заданной силы обратно пропорционально площади поперечного сечения стержня. Поэтому если вместо силы ввести механическое напряжение то при заданном напряжении относительное удлинение уже не зависит от поперечного сечения, т. е. определяется только упругими свойствами материала:

Величина Е называется модулем Юнга материала. Из формулы (2) видно, что модуль Юнга равен тому механическому напряжению, при котором относительное удлинение равно единице, если, конечно, считать, что при таких напряжениях деформация остается упругой. В рамках используемого феноменологического подхода значение модуля Юнга определяется на опыте. Например, для стали Такое напряжение превышает не только предел упругости, когда деформация перестает быть упругой, но и предел прочности, когда происходит разрушение деформируемого тела.

Задача

Жесткость стержня. Выразите жесткость к упругого стержня через его размеры и модуль Юнга материала.

Решение. Для получения ответа достаточно сопоставить формулу (1), определяющую жесткость стержня к, и формулу (2), выражающую относительное удлинение стержня через механическое напряжение и модуль Юнга Е. В результате получим

Жесткость стержня пропорциональна площади поперечного сечения, не зависит от формы этого сечения и обратно пропорциональна длине стержня.

Коэффициент Пуассона. Опыт показывает, что при растяжении стержня уменьшаются его поперечные размеры. Это уменьшение можно характеризовать относительным поперечным сжатием , где – поперечный линейный размер стержня (диаметр, толщина и т. п.). Отношение относительного поперечного сжатия стержня к его относительному удлинению при упругой деформации не зависит как от приложенного напряжения, так и от размеров стержня. Оно называется коэффициентом Пуассона. Для многих веществ значение этой безразмерной величины близко к 0,3.

Всестороннее сжатие. При всестороннем (гидростатическом) сжатии тела относительное уменьшение его объема пропорционально вызывающему это сжатие изотропному давлению

где не зависящий от размеров и формы тела коэффициент к называется модулем всестороннего сжатия. Он связан с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона для данного материала соотношением

Задача для самостоятельного решения

Докажите формулу (4), рассматривая малое всестороннее сжатие кубика как суперпозицию одинаковых деформаций одностороннего сжатия по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рис. 101. Изгиб балки, лежащей на двух опорах

Неоднородная деформация. Аналогично деформации растяжения могут быть рассмотрены и малые упругие деформации других видов. Например, при деформации изгиба балки, лежащей на двух опорах, ее прогиб пропорционален приложенной силе (рис. 101). Коэффициент пропорциональности выражается через модуль Юнга материала балки, поскольку при изгибе нижняя сторона балки испытывает деформацию растяжения, а верхняя – сжатия. Эта деформация неоднородная, так как разные части балки деформированы в разной степени. Элементы, расположенные вдоль штриховой линии (рис. 101), практически совсем не

деформированы. Благодаря этому обстоятельству коэффициент пропорциональности между прогибом и силой зависит не только от размеров балки, но и от формы ее поперечного сечения. Жесткость двутавровой балки на изгиб оказывается почти такой же, как и у бруска таких же габаритов, хотя масса ее значительно меньше. Такой же принцип использован природой при выборе трубчатого строения костей позвоночных.

Проявления упругих сил. Силы упругости фигурировали в роли сил реакции опоры во всех рассмотренных выше примерах движения при наличии связей. При этом всегда использовалась идеализированная модель упругих тел, в которой жесткость считалась очень большой (строго говоря, бесконечно большой): несмотря на наличие упругих сил реакции, деформация тел считалась настолько малой, что ею можно было пренебречь.

Силы упругости играют важную роль в вопросах механического равновесия, когда в реальных условиях модель недеформируемого твердого тела оказывается недостаточной. Замечательная особенность упругих сил заключается также в том, что они служат наиболее распространенной причиной возникновения механических колебаний. Дело в том, что при упругой деформации возникающие силы всегда стремятся вернуть тело в положение равновесия. Если тело выведено из равновесия и предоставлено самому себе, под действием упругих сил возникает его движение к положению равновесия. Благодаря инерции тело проскакивает это положение, возникает деформация противоположного знака, и весь процесс повторяется.

Объясните, почему жесткость двутавровой балки на изгиб почти такая же, как у бруска тех же габаритов из такого же материала.

Какой вид деформации имеет место в материале проволоки, из которой навита пружина школьного динамометра?

Мы с вами знаем, что если на тело действует какая-то сила, то тело будет двигаться под воздействием этой силы. Например, листочек падает на землю, потому что его притягивает Земля. Но если листочек упал на лавочку, он не продолжает падать, и не проваливается сквозь лавочку, а находится в покое.

И если листочек перестает вдруг двигаться, значит, должна была появиться сила, которая противодействует его движению. Эта сила действует в сторону, противоположную притяжению Земли, и равна ей по величине. В физике эта сила, противодействующая силе тяжести, называется силой упругости.

Что такое сила упругости?

Щенок Антошка очень любит наблюдать за птичками.

Для примера, поясняющего, что такое сила упругости, вспомним и мы птичек и веревку. Когда птичка садится на веревку,то опора, до этого натянутая горизонтально, прогибается под весом птички и слегка растягивается. Птичка сначала движется к земле вместе с веревкой, потом останавливается. И так происходит при добавлении на веревку еще одной птички. А потом еще одной. То есть, очевидно, что с увеличением силы воздействия на веревку она деформируется вплоть до того момента, пока силы противодействия этой деформации не станут равны весу всех птичек. И тогда движение вниз прекращается.

При растяжении подвеса сила упругости будет равна силе тяжести, то растяжение прекращается.

Говоря по-простому, работа силы упругости заключается в том, чтобы сохранять целостность предметов, на которые мы воздействуем другими предметами. И если сила упругости не справляется, то тело деформируется безвозвратно. Веревка рвется под обилием снега, ручки у пакета рвутся,если его перегрузить продуктами, при больших урожаев ломаются ветви яблони и так далее.

Когда возникает сила упругости? В момент начала воздействия на тело. Когда птичка села на веревку. И исчезает, когда птичка взлетает. То есть, когда воздействие прекращается. Точкой приложения силы упругости является та точка, в которой происходит воздействие.

Деформация

Сила упругости возникает только при деформации тел. Если исчезает деформация тела, то исчезает и сила упругости.

Деформации бывают разных видов: растяжения, сжатия, сдвига, изгиба и кручения.

Растяжение – мы взвешиваем на пружинных весах тело, или обычные резинка, которая растягивается под весом тела

Сжатие – мы положили на пружину тяжелый предмет

Сдвиг – работа ножниц или пилы, расшатанный стул, где за основание можно принять пол, а за плоскость приложения нагрузки – сидение.

Изгиб – наши птички сели на ветку, турник с учениками на уроке физкультуре

И сидеть дома. Но если не знаешь закон Гука – лучше тоже не выходить. Особенно, если идешь на экзамен по физике.

Здесь устраняем пробелы в знаниях и разбираемся, как решать задачи на силу упругости и применение закона Гука. А за полезной рассылкой для студентов добро пожаловать на наш телеграм-канал .

Сила упругости и закон Гука: определения

Сила упругости – сила, препятствующая деформациям и стремящаяся восстановить первоначальные форму и размеры тела.

Примеры действия силы упругости:

• пружины сжимаются и разжимаются в матрасе;
• мокрое белье колышется на натянутой веревке;
• лучник натягивает тетиву, чтобы выпустить стрелу.

Простейшие деформации – деформации растяжения и сжатия.

Закон Гука:

Деформация, возникающая в упругом теле под действием внешней силы, пропорциональна величине этой силы.

Коэффициент k – жесткость материала.

Есть и другая формулировка закона Гука. Введем понятие относительной деформации «эпсилон» и напряжения материала «сигма»:

S – площадь поперечного сечения деформируемого тела. Тогда закон Гука запишется так: относительная деформация пропорциональна напряжению.

Здесь Е – модуль Юнга, зависящий от свойств материала.

Закон Гука был экспериментально открыт в 1660 году англичанином Робертом Гуком.

Вопросы на силу упругости и закон Гука

Вопрос 1. Какие бывают деформации?

Ответ. Помимо простейших деформаций растяжения и сжатия, бывают сложные деформации кручения и изгиба. Также разделяют обратимые и необратимые деформации.

Вопрос 2. В каких случаях закон Гука справедлив для упругих стержней?

Ответ. Для упругих стержней (в отличие от эластичных тел) закон Гука можно применять при малых деформациях, когда величина эпсилон не превышает 1%. При больших деформациях возникают явления текучести и необратимого разрушения материала.

Вопрос 3. Как направлена сила упругости?

Ответ. Сила упругости направлена в сторону, противоположную направлению перемещения частиц тела при деформации.

Вопрос 4. Какую природу имеет сила упругости?

Ответ. Сила упругости, как и сила трения – электромагнитная сила. Она возникает вследствие взаимодействия между частицами деформируемого тела.

Вопрос 5. От чего зависит коэффициент жесткости k? Модуль Юнга E?

Ответ. Коэффициент жесткости зависит от материала тела, а также его формы и размеров. Модуль Юнга зависит только от свойств материала тела.

Задачи на силу упругости и закон Гука с решениями

Кстати! Для наших читателей действует скидка 10% на любой вид работы . 6 Н/м2.

Решение

Запишем закон Гука:

По третьему закону Ньютона:

Ответ: 10 кН.

Задача №2. Нахождение жесткости пружины

Условие

Пружину, жесткость которой 100 Н/м, разрезали на две части. Чему равна жесткость каждой пружины?

Решение

По определению, жесткость обратно-пропорциональна длине. При одинаковой силе F неразрезанная пружина растянется на х, а разрезанная – на x1=x/2.

Ответ: 200 Н/м

При растяжении пружины в ее витках возникают сложные деформации кручения и изгиба, однако мы не учитываем их при решении задач.

Задача №3. Нахождение ускорения тела

Условие

Тело массой 2 кг тянут по гладкой горизонтальной поверхности с помощью пружины, которая при движении растянулась на 2 см. Жесткость пружины 200 Н/м. Определить ускорение, с которым движется тело.

Решение

За силу, которая приложена к телу и заставляет его двигаться, можно принять силу упругости. 2.

Задача №4. Нахождение жесткости пружины по графику

Условие

На графике изображена зависимость модуля силы упругости от удлинения пружины. Найти жесткость пружины.

Решение

Вспоминаем, что жесткость равна отношению силы и удлинения. Представленная зависимость – линейная. В любой точке прямой отношение ординаты F и абсциссы х дает результат 10 Н/м.

Ответ: k=10 Н/м.

Задача №5. Определение энергии деформации

Условие

Для сжатия пружины на х1=2 см надо приложить силу 10 Н. Определить энергию упругой деформации пружины при сжатии на х2=4 см из недеформированного состояния.

Решение

Энергия сжатой пружины равна:

Ответ: 0,4 Дж.

Нужна помощь в решении задач? Обращайтесь за ней в

Сопротивление материалов (Феодосьев В.И.)

Сопротивление материалов (Феодосьев В.И.)

Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. Учеб. для вузов. – 10-е изд., перераб. и доп. – М.: Изд-во МГТУ, 2000. – 592 с. В книге изложены основные разделы курса сопротивления материалов: растяжение, кручение, изгиб, статически неопределимые системы, теория напряженного состояния, теория прочности, толстостенные трубы, пластины и оболочки, прочность при переменных напряжениях, расчеты при пластических деформациях, устойчивость и методы испытаний. Для лучшего усвоения теоретического материала сопротивления материалов даны примеры задач по сопромату с решениями. По сравнению с предыдущими изданиями опущены параграфы и главы, не получившие широкого практического применения, внесены дополнения и уточнения с учетом современных тенденций развития механики и прочности конструкций. Содержание учебника по сопромату соответствует программе и курсу лекций, читаемому в МГТУ им. Баумана. Для студентов машиностроительных вузов и технических университетов. Может быть полезен аспирантам и преподавателям, а также специалистам, деятельность которых связана с вопросами прочности, жесткости, устойчивости и надежности элементов конструкций, машин и приборов. Оглавление Предисловие Введение В2. Реальный объект и расчетная схема В3. Силы внешние и внутренние. Уравнения равновесия стержня В4. Напряжения В5. Перемещения и деформации В6. Закон Гука и принцип независимости действия сил В7. Общие принципы расчета элементов конструкции Глава 1. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 1.1. Внутренние силы и напряжения, возникающие в поперечных сечениях стержня при растяжении – сжатии 1.2. Удлинения стержня и закон Гука. Уравнения равновесия 1.3. Потенциальная энергия деформации при растяжении – сжатии стержня 1.4. Статически определимые и статически неопределимые стержневые системы 1.5. Напряженное и деформированное состояния при растяжении — сжатии 1.6. Испытание материалов на растяжение – сжатие 1.7. Диаграмма растяжения 1.8. Механизм образования деформации 1.9. Основные механические характеристики материала 1.10. Пластичность и хрупкость. Твердость 1.11. Влияние температуры и фактора времени на механические характеристики материала 1.12. Коэффициент запаса Глава 2. КРУЧЕНИЕ 2.1. Чистый сдвиг и его особенности 2.2. Кручение стержня с круглым поперечным сечением. Уравнения равновесия 2.3. Кручение стержня с некруглым поперечным сечением 2.4. Краткие сведения о пленочной (мембранной) аналогии 2.5. Кручение тонкостенного стержня Глава 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ 3.2. Моменты инерции сечения 3.3. Главные оси и главные моменты инерции Глава 4. ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ 4.1. Внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях стержня при изгибе 4.2. Напряжения при чистом изгибе 4.3. Напряжения при поперечном изгибе 4.4. Касательные напряжения при поперечном изгибе тонкостенных стержней 4.5. Центр изгиба 4.6. Дифференциальные уравнения равновесия стержня. Перемещения при изгибе 4.7. Стержень на упругом основании 4.8. Косой изгиб 4. 9. Внецентренное растяжение – сжатие 4.10. Изгиб бруса большой кривизны Глава 5. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ 5.2. Теорема Кастилиано 5.3. Интеграл Мора 5.4. Способ Верещагина 5.5. Определение перемещений и напряжений в витых пружинах 5.6. Теорема взаимности работ Глава 6. РАСКРЫТИЕ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ 6.2. Метод сил. Выбор основной системы 6.3. Канонические уравнения метода сил 6.4. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости 6.5. Плоскопространственные и пространственные системы 6.6. Определение перемещений в статически неопределимых системах 6.7. О методе перемещений Глава 7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЙ 7.2. Определение напряжений в произвольно ориентированной площадке 7.3. Главные оси и главные напряжения 7.4. Круговая диаграмма напряженного состояния 7.5. Обзор различных типов напряженных состояний 7. 6. Деформированное состояние 7.7. Обобщенный закон Гука и потенциальная энергия деформации в общем случае напряженного состояния 7.8. Анизотропия Глава 8. КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ 8.2. Гипотезы (критерии) появления пластических деформаций 8.3. Теория Мора и ее применение 8.4. О хрупком разрушении и вязкости 8.5. О новых материалах Глава 9. ТОЛСТОСТЕННЫЕ ТРУБЫ 9.2. Определение перемещений и напряжений в толстостенном цилиндре 9.3. Определение напряжений в составных трубах Глава 10. ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ 10.1. Основные особенности пластин и оболочек 10.2. Определение напряжений в симметричных оболочках по беэмоментной теории 10.3. Изгиб круглых симметрично нагруженных пластин 10.4. Определение напряжений и перемещений в круглых пластинах 10.5. Изгиб прямоугольных пластин 10.6. Изгиб цилиндрической оболочки при симметричном нагружении Глава 11. ОСНОВЫ РАСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ, РАБОТАЮЩИХ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ 11. 2. Напряжения и перемещения в простейших стержневых системах при наличии пластических деформаций 11.3. Упругопластический изгиб стержня 11.4. Кручение стержня круглого поперечного сечения при наличии пластических деформаций 11.5. Основы расчета по предельным нагрузкам 11.6. Основы теории пластичности Глава 12. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ НАПРЯЖЕНИЯХ 12.2. Основные характеристики цикла и предел выносливости 12.3. Влияние концентрации напряжений на прочность при циклическом нагружении 12.4. Масштабный эффект 12.5. Влияние качества обработки поверхности 12.6. Коэффициент запаса при циклическом нагружении и его определение Глава 13. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ 13.2. Определение критических нагрузок 13.3. Задача Эйлера 13.4. Зависимость критической силы от условий закрепления стержня 13.5. Устойчивость плоской формы изгиба прямолинейного стержня 13.6. Энергетический метод определения критических нагрузок 13. 7. Продольно-поперечный изгиб Глава 14. МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДЕФОРМИРОВАННОГО И НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЙ 14.2. Определение деформаций при помощи механических тензометров 14.3. Применение датчиков сопротивления 14.4. Оптический метод определения напряжений при помощи прозрачных моделей ПРИЛОЖЕНИЕ

Операция по удлинению ног: что нужно знать

Как выглядит процедура?

Насколько выше вас сделает операция по удлинению ног?

Кому делают операцию по удлинению ног?

Каковы риски?

Какое время восстановления?

Какие перспективы?

Сколько это стоит?

Удлинение ноги — это операция, которую вам могут сделать, если одна нога короче другой. Это состояние также известно как анизомелия.

Часто корректировка разницы необходима по медицинским показаниям. Это помогает равномерно распределить вес по бедрам. Но в последнее время некоторые люди делают косметическое удлинение ног, чтобы добавить несколько дюймов к своему росту.

Что такое операция по удлинению ног?

Эта процедура выполняется медленно, обычно в течение многих недель. Это дает вашим костям ног, таким как бедренная кость (бедренная кость) и большеберцовая кость (берцовая кость), и мягким тканям, таким как мышцы, кожа и нервы, время для постепенного увеличения длины.

Вы можете удлинить большеберцовую или бедренную кости. Другой вариант — удлинить обе кости. Две кости удлиняются в разное время, обычно с разницей в несколько недель или до года. Спросите своего врача, какой выбор подходит именно вам.

Если вы пытаетесь преодолеть разницу в длине между двумя ногами, ваш врач предложит, какую кость удлинить.

Вся процедура от начала до конца может занять несколько месяцев. Это часто зависит от того, сколько длины добавляется.

Как выглядит процедура?

Процедура удлинения ног обычно проходит в четыре этапа:

• Хирургическое вмешательство – остеотомия
• Латентный период – период покоя
• Дистракция – раздвигание костей
• Консолидация – заживление, рост и затвердевание кости новой кости

Хирургия. Во время операции доктор разрезает кость на две части. Они также могут выполнять определенные процедуры для смягчения мышечных волокон и подготовки нервов к росту новой кости. Например, если вам удлиняют большеберцовую кость, врач может удлинить ахиллово сухожилие, чтобы облегчить следующий шаг.

Во время операции также вставят ортопедическое устройство для удлинения конечности. Существует два типа:

Внутреннее устройство. Этот тип вставляется в кость. Прецизионный гвоздь – обычно используемое внутреннее устройство.

Внешний фиксатор. Остается на внешней стороне ноги. Металлические штифты и винты будут удерживать приспособление на месте.

Через несколько месяцев винты и штифты будут затягиваться с помощью прикрепленного к ним металлического приспособления. Это медленно раздвигает кости. Обычно используемые внешние фиксаторы включают пространственную рамку Тейлора или аппарат Илизарова.

Во время операции вы будете под общим наркозом. В основном вы ничего не почувствуете и будете спать во время процедуры.

Период ожидания. После того, как операция будет сделана, ваши кости будут отдыхать в течение 5-7 дней. В течение этого времени ваш врач не будет вручную удлинять кости.

Отвлечение. На этом этапе, также известном как «растягивание», вы или проинструктированный член семьи отрегулируете внешнее или внутреннее ортопедическое удлиняющее устройство, чтобы медленно раздвинуть два костных сегмента.

Вам потребуется регулярная физиотерапия и ежедневные упражнения на этапе удлинения, чтобы сохранить диапазон движений и прочность костей. Вам может понадобиться до пяти сеансов физиотерапии в неделю. Проконсультируйтесь с врачом, чтобы узнать, что они рекомендуют для вас.

Регулировка очень маленькая. Обычно это от 0,75 до 1 миллиметра (0,04 дюйма) в день. Как правило, вы можете удлинять кость на 1 дюйм каждый месяц.

Кости корректируются ежедневно до тех пор, пока они не удлинятся до желаемой длины. Новая кость, называемая регенерированной костью, будет медленно расти, чтобы заполнить промежуток между двумя отдельными частями.

Консолидация. Это последняя стадия, когда новая кость начинает становиться более твердой, толстой и твердой. Это происходит, когда кальций откладывается в новую кость (кальцификация).

На этом этапе врач может посоветовать вам нагружать ногу (с помощью ходунков или костылей). Это помогает укрепить новую кость. Вам нужно есть много белка и принимать витамины и минеральные добавки, чтобы повысить прочность костей.

Насколько выше вас сделает операция по удлинению ног?

Если вам интересно, насколько может вырасти ваша нога, она может добавить до 6 дюймов к вашему росту. Как правило, за один цикл удлинения кость может вырасти на 2 дюйма.

Если вы пытаетесь удлинить кость, вам может понадобиться больше операций. Поговорите со своим врачом, чтобы узнать, возможно ли это и что это может включать.

Кому делают операцию по удлинению ног?

Традиционно удлинение ног делают людям, у которых конечности неравны по длине. Но сегодня многие решаются на операцию, чтобы стать выше.

Операция может быть рекомендована:

• Детям, кости которых еще растут
• Дети, у которых есть проблемы с пластинами роста
• Взрослые, которые невысокого роста и хотят прибавить несколько дюймов к своему росту
• Люди, перенесшие физическую травму, которая привела к укорочению или удлинению конечностей

В некоторых случаях определенные заболевания могут стать причиной разной длины конечностей, например:

• полиомиелит
• церебральный паралич, состояние, которое влияет на осанку и вашу способность правильно двигаться
• врожденные дефекты костей, суставов, мышц, сухожилий или связок
• Заболевания тазобедренного сустава, такие как болезнь Легга-Пертеса
• Маленькие, слабые мышцы или короткие, напряженные (спастические) мышцы. Это может вызвать проблемы с нормальным ростом костей.
• Травмы или переломы костей

Каковы риски?

Прежде чем сделать эту операцию, важно понимать, что она требует нескольких сложных процедур и имеет длительный восстановительный период. Существуют некоторые серьезные риски, такие как:

• Инфекция на месте штифта
• Вывих сустава
• Повреждение кровеносных сосудов
• Костная инфекция
• Мышечные сокращения
• Повреждение нерва
• Кость формируется слишком рано или поздно
• Кость не срастается

для любых побочных эффектов регулярно во время процесса удлинения. Внимательно следите за цветом кожи, температурой и ощущениями на ногах и пальцах ног. Если вы заметили какие-либо сомнительные изменения, немедленно сообщите об этом своему врачу.

Скорость заживления также может быть разной для каждого человека. Например, рост новой кости может быть медленным у тех, кто болеет диабетом или курит. В других случаях кость может затвердеть слишком быстро. Если это так, ваш врач может работать над ежедневной корректировкой, чтобы найти правильный темп для ваших целей роста костей.

Прежде чем вы решите удлинить ногу, обсудите с врачом, подходит ли вам это.

Какое время восстановления?

Время восстановления зависит от того, насколько вы хотите удлинить кость или если вы удлиняете несколько костей. Большинство людей могут ходить без костылей в течение 2-3 месяцев после операции.

Восстановление обычно ускоряется после того, как кость вырастает до желаемой длины. Кость обычно срастается быстрее у детей, чем у взрослых.

Какие перспективы?

Процедуры удлинения ног сложны, и вам может потребоваться несколько операций. Риск и осложнения часто высоки, а восстановление может быть долгим. Согласно исследованиям, 4 из 10 операций полностью успешны в достижении цели удлинения.

Сколько это стоит?

Если процедура удлинения ног необходима вам или вашему ребенку по медицинским показаниям, ваша медицинская страховка может покрыть большую часть или часть ваших расходов.

Это зависит от типа вашего страхового покрытия. Вам также потребуется несколько сеансов физиотерапии в неделю после окончания операции. Проконсультируйтесь со своим врачом и страховой компанией о своем страховом покрытии. Будьте готовы оплатить доплату и любую франшизу, если этого требуют ваша страховка и кабинет врача.

Если вы решите сделать эту операцию в качестве косметической процедуры, чтобы добавить несколько дюймов к вашему росту, ваша страховка может частично покрыть ее, если это входит в ваш план. Часто вам, возможно, придется платить самостоятельно.

Процедуры по удлинению ног могут быть дорогостоящими, и цена может зависеть от вашего местоположения и выбранного вами врача. Они могут стоить от 90 000 до 300 000 долларов.

Удлинение конечностей: обзор С. Роберта Розбруха

Еще в конце 1980-х годов люди в Соединенных Штатах с несоответствием длины конечностей в результате плохо зажившего перелома, болезни или врожденного дефекта получали мало лечения параметры. Сегодня, благодаря инновационной хирургической технике, первоначально разработанной более полувека назад в России, эти люди могут быть кандидатами на лечение, которое может не только исправить несоответствие, но и устранить любую связанную с ним деформацию.

• Что такое операция по удлинению конечностей?
• Восстановление и реабилитация
• Право на операцию по удлинению конечностей
• Взгляд в будущее

Что такое удлинение конечностей?

Удлинение конечности достигается за счет собственной способности организма регенерировать новую кость, а также мягкие ткани, связки, кровеносные сосуды и нервы, которые ее окружают и поддерживают. Процесс начинается с операции, называемой остеотомией, при которой хирург-ортопед разрезает кость, которую нужно удлинить. Затем конечность (обычно верхняя или нижняя часть ноги) стабилизируется с помощью одного из нескольких различных внешних и/или внутренних фиксирующих устройств или каркасов.

Далее следуют две фазы восстановления. В первой, или фазе дистракции , кость, которая была разрезана, очень постепенно разрывается, в процессе, который способствует дистракционному остеогенезу или росту новой кости в месте остеотомии. Непрерывный рост новой костной ткани достигается путем растяжения или расширения зазора, как правило, четыре раза в день, на одну четверть миллиметра (¼ мм) при каждой корректировке, всего один миллиметр (1 мм) в день. По мере того, как пространство между концами кости открывается, организм продолжает производить новую ткань в зазоре до тех пор, пока не будет сформирована кость желаемой длины. Существуют дополнительные стратегии для исправления любой деформации, которая может присутствовать, например, смещения кости в результате травмы или врожденного дефекта. В начале этой фазы пациенты ходят с помощью костылей, чтобы оставаться мобильными.

На приведенных выше рентгеновских снимках показана остеотомия бедренной кости, выполненная чрескожным доступом. Постепенное удлинение (8 см) было выполнено с помощью внутреннего удлинительного стержня для оптимизации длины ног. Обратите внимание на раннее формирование новой кости в щели.

Во время второй фазы лечения происходит консолидация и заживление кости. Больной постепенно увеличивает нагрузку на пораженную конечность и начинает ходить без посторонней помощи.

Постепенный процесс удлинения может быть выполнен с помощью внешнего фиксатора или внутреннего удлиняющего стержня.

Внешняя фиксация представляет собой каркас, построенный на внешней стороне конечности, соединенный с костью с помощью штифтов (стержней), винтов и проволоки. Регулировку внешнего фиксатора можно использовать для постепенного удлинения и выпрямления короткой и смещенной конечности.

Внутренний удлиняющий стержень (ILN) представляет собой телескопический моторизованный интрамедуллярный стержень или стержень, который вводится в костномозговую полость кости. С помощью устройства дистанционного управления магнит в гвозде вращается, и это постепенно удлиняет телескопический гвоздь и кость. С помощью этого метода кость выпрямляется во время операции, когда вводится ILN, а затем постепенно в течение следующих нескольких недель выполняется удлинение.

По словам С. Роберта Розбруха, доктора медицины, руководителя службы удлинения и комплексной реконструкции конечностей (LLCRS) в Больнице специальной хирургии (HSS) и профессора клинической ортопедической хирургии в Weill Cornell Medicine, после заживления удлиненной кости, эта новая кость такая же прочная, как и любая другая кость в организме, и не ослабевает и не изнашивается с течением времени

Остеотомия и установка большинства фиксирующих устройств могут быть выполнены с использованием эпидуральной анестезии — того же типа анестезии, который получают многие женщины во время родов — поэтому что они могут бодрствовать во время операции, если они того пожелают. Средняя продолжительность пребывания в больнице составляет два дня. Процедура не требует больших разрезов или костных трансплантатов.

Как правило, пациенты, у которых не было проблем с ранее существовавшей болью, не сообщают о значительной боли в связи с операцией или восстановлением. В HSS наша команда по обезболиванию тесно сотрудничает со всеми пациентами, чтобы они чувствовали себя комфортно на протяжении всего процесса.

Большинство пациентов, лечившихся в HSS по поводу этой проблемы, имеют неравенство длины ног, которое является результатом врожденного дефекта, травмы зоны роста в детстве или неправильного сращения перелома, при котором кости срастаются в деформированном положении, или несращения в что кости вообще не срастаются. Однако удлинение конечности также может быть использовано для исправления деформации руки. И эта процедура использовалась для удлинения рук и ног у людей исключительно низкого роста, таких как карликовость или преждевременное половое созревание.

Дополнительная группа пациентов, которым может быть полезна методика удлинения конечностей, — это пациенты с конечностью, подверженной риску ампутации из-за отсутствия костной ткани, потери в результате инфекции, травмы или опухоли. При так называемой бифокальной процедуре спасения конечности разрез делается на конце кости, противоположном пораженному участку. По мере того, как эта область постепенно растягивается, концы кости, примыкающие к щели, сближаются. Как и при других процедурах удлинения конечностей, в области остеотомии образуется новая кость; область, где отсутствовала кость, срастается и заживает, как и любой другой перелом. Даже в таких ситуациях мы часто можем отказаться от внешнего фиксатора и использовать гвоздь для транспортировки костей, новую технологию, разработанную в HSS доктором Розбрухом и Остином Т. Фрагоменом, доктором медицины.

В целом операции по удлинению конечностей имеют высокий уровень успеха (около 95%). Рубцы обычно минимальны, так как в большинстве процедур требуются только небольшие разрезы. Хотя могут возникнуть небольшие проблемы со штифтами и тугоподвижностью суставов, серьезные осложнения после операции по удлинению конечностей встречаются редко. Те, которые действительно возникают, обычно наблюдаются у пациентов, которые уже относятся к группе высокого риска, например, у тех, кого лечат для спасения конечностей.

Какое время восстановления после процедуры удлинения конечности?

Время восстановления после процедуры удлинения конечности варьируется у разных пациентов, при этом фаза консолидации иногда длится значительный период, особенно у взрослых. Как правило, дети выздоравливают в два раза быстрее, чем взрослые пациенты. Например, если желаемой целью является прирост новой кости на 1,5 дюйма, ребенок будет носить фиксирующее устройство в течение трех месяцев. У взрослых, хотя заживление кости занимает больше времени, использование внутреннего удлиняющего стержня упрощает процесс, поскольку нет необходимости носить внешний фиксатор.

Во время выздоровления физиотерапия играет решающую роль в поддержании гибкости суставов пациента и сохранении мышечной силы. Пациентам рекомендуется соблюдать питательную диету и принимать добавки кальция. Чтобы ускорить заживление костей, рекомендуется постепенная нагрузка, и пациент принимает добавки, такие как витамин D3 и кальций, чтобы ускорить заживление костей.

Кому показана операция по удлинению конечностей?

Лечение несоответствия длины конечностей должно начинаться с тщательного осмотра хирургом-ортопедом, имеющим опыт проведения данной процедуры. Пациенты могут быть удивлены, узнав, что то, что они считали несоответствием длины ног, например, на самом деле является совершенно другой медицинской проблемой, такой как сколиоз (аномальный изгиб позвоночника) или деформация бедра. Или у них может быть ошибочное представление о длине неравенства длины их конечностей. В Больнице специальной хирургии хирурги-ортопеды Службы удлинения конечностей получают специальную серию рентгеновских снимков для точной оценки и подтверждения каждого диагноза.

При наличии истинного несоответствия, даже если оно не является результатом травмы, эта асимметрия может привести к болям в спине, коленях и лодыжках. В случае неправильного сращения (перелом, который не сросся должным образом) может развиться остеоартрит. В некоторых случаях пациент живет с несоответствием длины конечностей в течение многих лет, не испытывая проблем, а затем в среднем возрасте у него появляются неприятные симптомы.

“Помимо соответствия физическим критериям для удлинения конечности, важно, чтобы у пациента была высокая мотивация.” говорит доктор Розбрух. Пациенты принимают активное участие в своем уходе, фактически удлиняя свою кость с помощью дистанционных настроек, участвуя в физиотерапии и встречаясь со своим врачом лично или практически каждые две-три недели в течение всего процесса восстановления.

Операция по удлинению конечностей может быть безопасно и эффективно проведена как у детей, так и у взрослых, в том числе в возрасте 20, 30, 40, 50 и даже 60 лет. У детей хирург-ортопед проявляет особую осторожность, чтобы не повредить зону роста, и во время выздоровления продолжается как нормальный рост, так и дистракционный остеогенез.

В некоторых случаях, например у детей с врожденной короткой бедренной костью, может быть целесообразно решать проблему в два этапа. В этом состоянии у ребенка есть процентное несоответствие, которое увеличивается по мере его роста; например, можно ожидать, что расхождение в два дюйма при первом обследовании пациента увеличится до расхождения в три дюйма в течение пяти или шести лет. Для пациента, изображенного ниже, доктор Розбрух исправил расхождение в два дюйма в начальной процедуре; вероятно, потребуется еще одна процедура, поскольку оставшееся несоответствие станет очевидным.

На приведенном выше изображении показано постепенное удлинение бедренной кости на два дюйма, которое было выполнено с помощью каркаса в течение двух месяцев. Изображения ниже были сделаны семь месяцев спустя.

 

Поскольку этот тип деформации может достигать шести дюймов, обычно предпочтительнее разбить его на две или даже более операций.

Взгляд в будущее

Несмотря на исторические корни хирургии удлинения конечностей, по словам доктора Розбруха, эта область находится «в зачаточном состоянии». «В Соединенных Штатах произошел резкий сдвиг в восприятии этой операции, и интерес к этой области быстро растет, и нас ждет много многообещающих разработок, включая новые устройства, которые способствуют более быстрому заживлению».

Одним из последних достижений является одобрение FDA полностью имплантируемого внутреннего устройства для транспортировки кости, которое можно использовать для реконструкции костных дефектов без необходимости внешней фиксации.

Кроме того, феномены, происходящие во время процедур удлинения конечностей, такие как регенерация нервов и развитие новых сосудов, могут иметь серьезные последствия в будущем для ряда ортопедических и других заболеваний.