Закон гука через модуль юнга: 7. Закон Гука и модуль Юнга.

alexxlab | 16.11.1981 | 0 | Разное

Содержание

7. Закон Гука и модуль Юнга.

Закон Гука.

Силы упругости растут при увеличении деформации. Особенно наглядно это можно продемонстрировать, растягивая пружину (картинка а)

Коэффициент жесткости зависит не только от материала пружины, но также от её формы и размеров.

Из формулы следует, что график зависимости силы упругости от (малой) деформации является прямой линией (рис. 1 ):

Рис. 1. Закон Гука

Коэффициент жёсткости — о угловой коэффициент в уравнении прямой. Поэтому справедливо равенство: ,

где — угол наклона данной прямой к оси абсцисс. Это равенство удобно использовать при экспериментальном нахождении величины .

Закон Гука о линейной зависимости силы упругости от величины деформации справедлив лишь при малых деформациях тела. Когда деформации перестают быть малыми, эта зависимость перестаёт быть линейной и приобретает более сложный вид. Соответственно, прямая линия на рис. 1 — это лишь небольшой начальный участок криволинейного графика, описывающего зависимость отпри всех значениях деформации

.

Модуль Юнга.

В частном случае малых деформаций стержней имеется более детальная формула, уточняющая общий вид (1) закона Гука.

Именно, если стержень длиной и площадью поперечного сечения растянуть или сжать на величину , то для силы упругости справедлива формула: .

Здесь – модуль Юнга материала стержня. Этот коэффициент уже не зависит от геометрических размеров стержня. Модули Юнга различных веществ приведены в справочных таблицах.

8. Силы трения. Виды трения. Трение покоя. (График зависимости силы трения от величины внешней силы). Внутреннее трение, формула Стокса.

Силы трения– это силы, возникающие при соприкосновении поверхностей двух тел или частей одного тела и препятствующие их взаимному перемещению.

Силы трения всегда направлены вдоль соприкасающихся поверхностей противоположно движению тела. При изменении направления скорости изменяется направление сил трения.

Силы трения, как и силы упругости, имеют электромагнитную природу. Они возникают вследствие взаимодействия между атомами и молекулами соприкасающихся тел.

Силы трения отличаются от гравитационных сил и сил упругости тем, что эти силы зависят не только от конфигурации тел, т. е. от их взаимного расположения, но также еще от относительных скоростей взаимодействующих тел.

Существует четыре вида сил трения:\

Трение скольжения— сила, возникающая при поступательном перемещении одного из контактирующих/взаимодействующих тел относительно другого и действующая на это тело в направлении, противоположном направлению скольжения.

Трение качения— момент сил, возникающий при качении одного из двух контактирующих/взаимодействующих тел относительно другого.

Сила вязкого трения

(сила сопротивления).

Трение покоя— сила, возникающая между двумя контактирующими телами и препятствующая возникновению относительного движения. Эту силу необходимо преодолеть для того, чтобы привести два контактирующих тела в движение друг относительно друга. Возникает при микроперемещениях (например, при деформации) контактирующих тел. Она действует в направлении, противоположном направлению возможного относительного движения.

(график зависимости силы трения от внешней силы F)

Различают трение внешнееивнутреннее.Внешнее трениевозникает при относительном перемещении двух соприкасающихся твердых тел (трение скольжения или трение покоя).

Внутреннее трениенаблюдается при относительном перемещении частей одного и того же сплошного тела (например, жидкость или газ).

Различают сухоеи жидкое (иливязкое) трение.

Сухое трениевозникает между поверхностями твердых тел в отсутствие смазки.

Жидким(вязким) называется трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой или ее слоями.

Сухое трение, в свою очередь, подразделяется на трение скольженияи трениекачения.

Закон гука формула через модуль юнга

Для большинства конструкционных материалов между напряжением ( ) и продольной деформацией ( ) до определенного предела нагружения существует линейная зависимость

Закон Гука: Напряжение пропорционально деформации.

Впервые Закон Гука был опубликован в виде анаграммы английским ученым Робертом Гуком (1635 – 1703 гг.). При правильной расстановке букв анаграмма читается: «Каково удлинение, такова и сила».

К такому же заключению в 1680 г., независимо от Гука, пришел французский ученыйЭдмон Мариотт.

Коэффициент пропорциональности (E) в формуле закона Гука называется модуль продольной упругости или модуль Юнга

– по имени английского ученого Томаса Юнга. Значение модуля Юнга для данного материала устанавливается опытным путем. В справочниках обычно приводятся среднее значение модуля Юнга.

Необходимо отметить, что некоторые материалы не подчиняются закону Гука, например, кожа, ткани. Такие материалы, как, например, чугун, только с некоторым приближением можно считать подчиняющимся закону Гука. Но даже и те материалы, которые подчиняются закону Гука, перестают ему следовать при достижении деформации определенного значения.

Из закона Гука видно: чем больше модуль Юнга, тем меньше (при том же значении напряжения) деформация материала. Следовательно, модуль продольной упругости характеризует жесткость материала при растяжении (сжатии). Из формулы закона Юнга видно, что модуль Юнга измеряется в тех же единицах, что и нормальное напряжение ( ).

Так, например, для всех марок сталей МПа.

Прежде чем решать следующую задачу, поговорим о силах, которые возникают при попытках сжать или растянуть металлические стержни.

Деформации растяжения и сжатия.Если к однородному, закрепленному с одного конца стержню приложить силу вдоль его оси в направлении от стержня, то он подвергнется деформации растяжения (рис. 1.1). Де­формацию при этом характеризуют абсолютным удлинением Dl = l – l и относительным удлинением , где l – начальная длина, а l – конечная длина стержня. При малых деформа­циях (|Dl| 1 тела:

, (1.3)

где s – напряжение; Fyпp – модуль силы упругости; S – площадь поперечного сечения.

1 Сечение тела производится плоскостью, перпендикулярной на­правлению силы упругости. При этом предполагается, что деформа­ция тела во всех участках сечения одинакова.

В СИ за единицу напряжения принимается паскаль (Па):

Заметим, что в формуле (1.3)иногда удобно модуль силы упругости заменить на модуль F внешней деформирующей си­лы, уравновешивающей силу упругости.

Закон Гука.Многочисленные опыты показывают, что при малых дефор­мациях напряжение s прямо пропорционально относительно­му удлинению. Эта зависимость на­зывается законом Гука. Его можно записать так:

Относительное удлинение в формуле (1.4) взято по моду­лю, так как закон Гука справедлив как для деформации растя­жения, так и для деформации сжатия, когда e

Действительно, подставив в (1.4) и , получим . Откуда

. (1.6)

, (1.7)

Таким образом, согласно (1.7) жесткость k стержня прямо пропорциональна произведению модуля Юнга на площадь поперечного сечения стержня и обратно пропорциональна его длине.

Определение и формула закона Гука

Формулировка этого закона выглядит следующим образом: сила упругости, которая появляется в момент деформации тела, пропорциональна удлинению тела и направлена противоположно движению частиц этого тела относительно других частиц при деформации.

Математическая запись закона выглядит так:

Рис. 1. Формула закона Гука

где Fупр – соответственно сила упругости, x – удлинение тела (расстояние, на которое изменяется исходная длина тела), а k – коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью тела. Сила измеряется в Ньютонах, а удлинение тела – в метрах.

Для раскрытия физического смысла жесткости, нужно в формулу для закона Гука подставить единицу, в которой измеряется удлинение – 1 м, заранее получив выражение для k.

Рис. 2. Формула жесткости тела

Эта формула показывает, что жесткость тела численно равна силе упругости, которая возникает в теле (пружине), когда оно деформируется на 1 м. Известно, что жесткость пружины зависит от ее формы, размера и материала, из которого произведено данное тело.

Сила упругости

Теперь, когда известно, какая формула выражает закон Гука, необходимо разобраться в его основной величине. Основной величиной является сила упругости. Она появляется в определенный момент, когда тело начинает деформироваться, например, когда пружина сжимается или растягивается. Она направлена в обратную сторону от силы тяжести. Когда сила упругости и сила тяжести, действующие на тело, становятся равными, опора и тело останавливаются.

Деформация – это необратимые изменения, происходящие с размерами тела и его формой. Они связанны с перемещением частиц относительно друг друга. Если человек сядет в мягкое кресло, то с креслом произойдет деформация, то есть изменятся его характеристики. Она бывает разных типов: изгиб, растяжение, сжатие, сдвиг, кручение.

Так как сила упругости относится по своему происхождению к электромагнитным силам, следует знать, что возникает она из-за того, что молекулы и атомы – наименьшие частицы, из которых состоят все тела, притягиваются друг другу и отталкиваются друг от друга. Если расстояние между частицами очень мало, значит, на них влияет сила отталкивания. Если же это расстояние увеличить, то на них будет действовать сила притяжения. Таким образом, разность сил притяжения и сил отталкивания проявляется в силах упругости.

Сила упругости включает в себя силу реакции опоры и вес тела. Сила реакции представляет особый интерес. Это такая сила, которая действует на тело, когда его кладут на какую-либо поверхность. Если же тело подвешено, то силу, действующую на него, называют, силой натяжения нити.

Особенности сил упругости

Как мы уже выяснили, сила упругости возникает при деформации, и направлена она на восстановление первоначальных форм и размеров строго перпендикулярно к деформируемой поверхности. У сил упругости также есть ряд особенностей.

  • они возникают во время деформации;
  • они появляются у двух деформируемых тел одновременно;
  • они находятся перпендикулярно поверхности, по отношению к которой тело деформируется.
  • они противоположны по направлению смещению частиц тела.

Применение закона на практике

Закон Гука применяется как в технических и высокотехнологичных устройствах, так и в самой природе. Например, силы упругости встречаются в часовых механизмах, в амортизаторах на транспорте, в канатах, резинках и даже в человеческих костях. Принцип закона Гука лежит в основе динамометра – прибора, с помощью которого измеряют силу.

Рис. 3. Динамометр

Что мы узнали?

Статья подробно знакомит учащихся с материалом о том, как формулируется обобщенный закон Гука, который изучают в 7 классе, и его основной величине – силе упругости.

Закон Гука и модуль Юнга

Закон Гука и модуль Юнга
Работу выполнил студент
2 курса РУДН
Рекач Всеволод
Группа ИСРбд-01-17
Москва
2018
Открытие закона
В 1660 году (опубликован в 1678) английский физик
Роберт Гук сформулировал зависимость между
относительным линейным удлиннением и величиной
растягивающей тело силы. Звучало это следующим
образом: «Какова сила, таково и удлинение». В
современной трактовке мы говорим, что «Cила
упругости, возникающая в теле при его деформации,
прямо пропорциональна величине этой
деформации».

3. в физике

В ФИЗИКЕ
Здесь F — сила, которой растягивают
(сжимают) стержень, Δ l — абсолютное
удлинение (сжатие) стержня(тела), а k —
коэффициент упругости (или жёсткости).
Коэффициент упругости зависит как от свойств
материала, так и от размеров стержня(тела).
Можно выделить зависимость от размеров
стержня (площади поперечного сечения и
длины .

4. В сопромате

В СОПРОМАТЕ
Напряжение,Па
Здесь данный закон выражается в единицах давления, [Па].
Отношение εупр = Δl / l называется относительной
деформацией(относительным удлиннением), а
отношение σ = F / S = –Fупр / S , где S – площадь
поперечного сечения деформированного тела,
называется напряжением.
Деформация,м
В отличие от пружин и некоторых эластичных материалов (резина) деформация растяжения или сжатия упругих стержней
(проволок/рам/других строительных элементов) подчиняются линейному закону Гука в очень узких пределах. Для металлов
относительная деформация ε = Δl / l не должна превышать 1 %. При больших деформациях возникают необратимые явления
(текучесть) и разрушение материала.

5. Модуль Юнга

МОДУЛЬ ЮНГА
Мо́дуль Ю́нга (модуль продольной упругости) — физическая величина,
характеризующая способность материала сопротивляться растяжению,
сжатию при упругой деформации.
•Назван в честь английского физика XIX века Томаса Юнга.
•Модуль Юнга показывает напряжение, которое необходимо приложить к
телу, чтобы удлинить его в 2 раза.
Актуальные источники:
http://k-a-t.ru/tex_mex/1-sopromat_huk/index.shtml ;
http://900igr.net/kartinki/fizika/Sila-uprugosti-zakon-Guka/048-Kakie-deformatsiiizobrazheny.html ;
Автор портрета Гука: Rita Greer – The original is a pencil drawing by Rita Greer, history
painter, 2006. This was digitized by Rita and sent via email to the Department of Engineering
Science, Oxford University, where it was subsequently uploaded to Wikimedia., FAL,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=7667256 ;
http://rusautomobile.ru/phocadownloadpap/130108/1/zakonguka.pdf ;
Studfiles.net ;
Infourok.ru ;
http://davaiknam.ru/text/metodicheskie-ukazaniya-k-laboratornoj-rabote-5-page-1 ;
Этот сайт ;
http://www.live-bridges.ru/youngs-modulus/
Благодарю за внимание
Разделывают как-то Юнг с Гуком крысу, и думают…

Сила упругости. Закон Гука. Модуль Юнга. Сила трения.

Рассмотрим упруго деформированный образец правильной геометрической формы (рис. 2)

где l – первоначальная длина образца; S – площадь поперечного сечения; – величина деформации; – сила упругости.

Согласно закону Гука: сила упругости, возникающая при упругих деформациях любого вида пропорциональна величине деформации:

, (3)

где k – коэффициент жесткости, который зависит от материала, размеров и формы деформированного тела. Что выражается следующей формулой:

, (4)

где – модуль Юнга, величина, определяющая упругие свойства материала, из которого изготовлен образец. Единицей измерения модуля Юнга является паскаль [Па].

При относительном движении соприкасающихся тел между их

поверхностями возникают силы трения.

Сила трения направлена вдоль поверхностей соприкасающихся

Рис. 2 тел и противоположно вектору их относительной скорости (рис. 3).

Различают внешнее и внутреннее трение.

Внешним называется трение происходящее между поверхностями различных тел.

Трение между частями одного и того же сплошного тела (например, жидкости или газа) называется внутренним.

Независимо от площади соприкасающихся поверхностей сила трения определяется величиной давления или силой реакции опоры:

, (5)

где – коэффициент трения, N – сила нормальной реакции опоры.

Сила упругости:

Результатом действие силы может являться не только две, но и дефор –

Рис. 3мация тела.

Деформацией называется изменение формы, или объема тела.

Различают деформации растяжения (сжатия), кручение, сдвига, изгиба.

Деформация является упругой, если после прекращения действия деформирующей силы тело восстанавливает свою форму и объем, в противном случае деформацию называют неупругой.

Коэффициент трения зависит от материала трущихся поверхностей, а также качества их обработки.

Движение сопровождается нагревом и износом трущихся деталей механизмов, поэтому в технике для уменьшения трения применяется смазывающие материалы.

Необходимо отметить, что без трения движение было бы невозможно. Достаточно вспомнить, как проблематично передвигаться по льду.


Узнать еще:

Упругие деформации. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Энергия упругой деформации.

Деформации — это изменения, вызванные действиями приложенных сил, при которых тела меняют форму и объем.

Упругие деформации – деформации, которые исчезают, после прекращения действия приложенных сил.

Пластические деформации (или остаточные деформации) – деформации, которые сохраняются в теле (частично или полностью) после прекращения действия приложенной силы.

Механическим напряжением назовем отношение силы, которая возникает в деформируемом теле, к площади сечения построенной через точку деформированного тела.

Если механическое напряжение не превышает некоторой величины называемой пределом упругости, то деформация будет называться упругой деформацией.

Идеально упругие тела – тела, которые могут претерпевать только упругие деформации. Для таких тел существует однозначная зависимость между силами и вызываемыми ими деформациями.

Малые деформации – деформации, которые подчиняются закону Гука, согласно которому деформации пропорциональны силам, их вызывающим.

Все тела делятся на изотропные, свойства которых по всем направлениям одинаковы, и анизотропные, свойства которых в разных направлениях неодинаковы (различны).

Пусть есть два стержня. Один растягиваем, а другой сдавливаем с силой (как на рисунке выше). Перпендикулярно к оси стержня проведем сечение .  Для того, чтобы стержень оставался в состоянии равновесия, в плоскости сечения должна возникать сила противодействующая силе растяжения или сдавливания и равная ей ().

В случае растяжения стержня, возникает механическое напряжение называемое натяжением ():

   

При сжатии возникает механическое напряжение называемое давлением ():

   

Где площадь поперечного сечения .

Если силы сжатия и растяжения равны, то

Пусть – длина недеформированного стержня, а – приращение длины, после приложения силы. Тогда полная длина стержня после приложения силы :

   

.

Относительное удлинение стержня :

   

.

Очевидно, что при растяжении , а при сжатии .

Закон Гука и модуль Юнга

Для малых упругих деформаций, натяжение и давление пропорциональны относительному удлинению и могут быть выражены следующими выражениями:

   

   

Где  – модуль Юнга (постоянная, зависящая только от материала стержня и его физического состояния).

Модуль Юнга – натяжение, которое необходимо приложить к стержню, чтобы его длина увеличилась в два раза. А две формулы выше – закон Гука.

Вычислим упругую энергию растянутого стержня. Приложим к стержню растягивающую силу и будем постепенно (непрерывно и медленно) увеличивать ее от до . Удлинение будет меняться от до . По закону Гука

,

где — коэффициент упругости.

Вся работа по растяжению стержня пойдет на увеличение его упругой энергии:

.

Т.к. в конечном состоянии () сила , то для энергии получим следующее выражение:

Под действием растягивающей или сжимающей силы  изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Если сила ­ растягивающая, то поперечные размеры стержня уменьшаются. Если она сжимающая, то они увеличиваются.   – толщина стержня до деформации (диаметр, если стержень круглый или одна из сторон, если он прямоугольный). – толщина стержня после деформации. Если растягиваем стержень, то  – относительное поперечное сжатие, где .

коэффициент Пуассона.

Он зависит только от материала рассматриваемого тела. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все остальные упругие деформации можно выразить через эти коэффициенты.

Post Views: 7 777

Похожее

Закон Гука • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Сила противодействия упругого вещества линейному растяжению или сжатию прямо пропорциональна относительному увеличению или сокращению длины.

Представьте, что вы взялись за один конец упругой пружины, другой конец которой закреплен неподвижно, и принялись ее растягивать или сжимать. Чем больше вы сдавливаете пружину или растягиваете ее, тем сильнее она этому сопротивляется. Именно по такому принципу устроены любые пружинные весы — будь то безмен (в нем пружина растягивается) или платформенные пружинные весы (пружина сжимается). В любом случае пружина противодействует деформации под воздействием веса груза, и сила гравитационного притяжения взвешиваемой массы к Земле уравновешивается силой упругости пружины. Благодаря этому мы можем измерять массу взвешиваемого объекта по отклонению конца пружины от ее нормального положения.

Первое по-настоящему научное исследование процесса упругого растяжения и сжатия вещества предпринял Роберт Гук. Первоначально в своем опыте он использовал даже не пружину, а струну, измеряя, насколько она удлиняется под воздействием различных сил, приложенных к одному ее концу, в то время как другой конец жестко закреплен. Ему удалось выяснить, что до определенного предела струна растягивается строго пропорционально величине приложенной силы, пока не достигает предела упругого растяжения (эластичности) и не начинает подвергаться необратимой нелинейной деформации (см. ниже). В виде уравнения закон Гука записывается в следующей форме:

    F = –kx

где F — сила упругого сопротивления струны, x — линейное растяжение или сжатие, а k — так называемый коэффициент упругости. Чем выше k, тем жестче струна и тем тяжелее она поддается растяжению или сжатию. Знак минус в формуле указывает на то, что струна противодействует деформации: при растяжении стремится укоротиться, а при сжатии — распрямиться.

Закон Гука лег в основу раздела механики, который называется теорией упругости. Выяснилось, что он имеет гораздо более широкие применения, поскольку атомы в твердом теле ведут себя так, будто соединены между собой струнами, то есть упруго закреплены в объемной кристаллической решетке. Таким образом, при незначительной упругой деформации эластичного материала действующие силы также описываются законом Гука, но в несколько более сложной форме. В теории упругости закон Гука принимает следующий вид:

    σ/η = E

где σ — механическое напряжение (удельная сила, приложенная к поперечной площади сечения тела), η — относительное удлинение или сжатие струны, а Е — так называемый модуль Юнга, или модуль упругости, играющий ту же роль, что коэффициент упругости k. Он зависит от свойств материала и определяет, насколько растянется или сожмется тело при упругой деформации под воздействием единичного механического напряжения.

Вообще-то, Томас Юнг гораздо более известен в науке как один из сторонников теории волновой природы света, разработавший убедительный опыт с расщеплением светового луча на два пучка для ее подтверждения (см. Принцип дополнительности и Интерференция), после чего сомнений в верности волновой теории света ни у кого не осталось (хотя до конца облечь свои идеи в строгую математическую форму Юнг так и не сумел). Вообще говоря, модуль Юнга представляет собой одну из трех величин, позволяющих описать реакцию твердого материала на приложенную к нему внешнюю силу. Вторая — это модуль смещения (описывает, насколько вещество смещается под воздействием силы, приложенной по касательной к поверхности), а третья — соотношение Пуассона (описывает, насколько твердое тело истончается при растяжении). Последнее названо в честь французского математика Симеона Дени Пуассона (Siméon-Denis Poisson, 1781–1840).

Конечно, закон Гука даже в усовершенствованной Юнгом форме не описывает всего, что происходит с твердым веществом под воздействием внешних сил. Представьте себе резиновую ленту. Если растянуть ее не слишком сильно, со стороны резиновой ленты возникнет возвратная сила упругого натяжения, и как только вы ее отпустите, она тут же соберется и примет прежнюю форму. Если растягивать резиновую ленту и дальше, то рано или поздно она утратит свою эластичность, и вы почувствуете, что сила сопротивления растяжению ослабла. Значит, вы перешли так называемый предел эластичности материала. Если тянуть резину и дальше, через какое-то время она вообще порвется, и сопротивление исчезнет полностью — это вы перешли через так называемую точку разрыва.

Иными словами, закон Гука действует только при относительно небольших сжатиях или растяжениях. Пока вещество сохраняет свои упругие свойства, силы деформации прямо пропорциональны ее величине, и вы имеете дело с линейной системой — каждому равному приращению приложенной силы соответствует равное приращение деформации. Стоит перетянуть резину за предел эластичности, и межатомные связи-пружины внутри вещества сначала ослабевают, а затем рвутся — и простое линейное уравнение Гука перестает описывать происходящее. В таком случае принято говорить, что система стала нелинейной. Сегодня исследование нелинейных систем и процессов является одним из основных направлений развития физики.

Модуль Юнга (модуль упругости): что это, таблица и формулы

Модуль Юнга (модуль упругости) — это физическая величина, которая характеризует свойства какого-либо материала сгибаться или растягиваться под воздействием силы; по сути именно от этого зависит жёсткость тела.

Это свойство любого материала, и оно зависит от температуры и оказываемого давления.

В физике упругость — это свойство твёрдых материалов возвращаться в свою первоначальную форму и размер после устранения сил, которые применялись при деформации.

Другими словами: когда тело деформируется, то появляется сила, которая стремится восстановить первоначальную форму и размер тела. Сила упругости является этой проявляющейся силой. Также она представляет собой следствие электромагнитного взаимодействия между частицами.

Низкое значение модуля Юнга означает, что изучаемое твёрдое тело является эластичным.

Высокое значение модуля Юнга означает, что изучаемое твёрдое тело является неэластичным или жёстким.

Примеры значений модуля Юнга (упругости) для:

  • (т.е. для резины он в 5 раз меньше стали)

Таблица

Большинство материалов имеют значение E очень высокого порядка, поэтому они записываются при помощи “гигапаскалей” ([ГПа]; ).

МатериалМодуль Юнга E, [ГПа]
Алмаз1220
Алюминий69
Дерево10
Кадмий50
Латунь97
Медь110
Никель207
Резина0,9 (≈ 1 МПа, мегапаскаль)
Сталь200
Титан107

Единица измерения и формулы

Единица измерения модуля Юнга в СИ — Ньютон на метр в квадрате (Н/м²), т.е. Паскаль (Па).

Формулы

Существует несколько формул, из которых можно вычислить модуль Юнга. Например, закон Гука.

Закон Гука

Можно вычислить модуль Юнга через эти формулы (мы это и сделаем на примере). Из-за этого закона существуют несколько интересных равенств, которые могут быть полезны для расчётов.

Закон Гука (этот описывает явления в теле, в дифференциальной форме):

Где:

  • σ — механическое напряжение
  • E — модуль Юнга (модуль упругости)
  • ε — относительное удлинение

Закон Гука (этот описывает явления в теле)

Где:

  • Fупр — сила упругости
  • k × Δl — удлинение тела

Где:

  • Fупр — сила упругости
  • E — модуль Юнга (модуль упругости)
  • S — площадь поперечного сечения
  • l — первоначальная длина тела
  • Δl — удлинение тела

Где:

  • Fупр/S — механическое напряжение, обозначается как σ
  • Δl/l — относительное удлинение, обозначается как ε

Следует заметить, что этот закон действует до той точки, когда материал необратимо деформируется и уже не возвращается в свою первоначальную форму. В какой точке это происходит, уже зависит от материала. Если материал очень жёсткий (значит высокое показание модуля упругости), то эта точка может совпадать с разрывом/деформацией.

Другие формулы вычисления модуля Юнга (модуля упругости)

Где:

  • E — модуль Юнга (модуль упругости)
  • k — жёсткость тела
  • l — первоначальная длина стержня
  • S — площадь поперечного сечения

Либо можно выразить k (жёсткость тела):

Где:

  • k — жёсткость тела
  • E — модуль Юнга (модуль упругости)
  • S — площадь поперечного сечения
  • l — первоначальная длина стержня/тела
Пример решения задачи (через закон Гука):

Проволока длиной 2,5 метра и площадью поперечного сечения 2,5 миллиметра² удлинилась на 1 миллиметр под действием силы 50 ньютонов. Определить модуль Юнга.

Дано:

  • l = 2,5 м
  • F = 50 H
  • E = ?

Будем искать через закон Гука (σ = E × ε).

Помним из закона Гука:

σ = F / S (помните, что Fупр/S — механическое напряжение, обозначается как σ)

ε = Δl/l (а это относительное удлинение, обозначается как ε)

Подставляем в формулу (σ = E × ε):

Например, в нашей таблице такой модуль Юнга имеет кадмий.

Узнайте также про:

Закон Гука-модуль упругости-напряжения и деформации-определение-типы-напряжение

В нашем последнем посте мы обсудили эластичность и пластичность. Здесь мы продолжим обсуждение и постепенно рассмотрим закон Гука и модуль упругости. По пути мы узнаем еще два термина: стресс и напряжение. Наконец, мы рассмотрим (а) модуль Юнга (2) модуль сдвига (3) объемный модуль. Итак, приступим.


Напряжение

Чтобы понять закон Гука, необходимо понимать 2 термина: стресс и напряжение.Давайте разберемся с ними.
Пусть к телу приложена сила, которая может изменить форму и размер объекта. Назовем эту деформирующую силу F.

Согласно 3-му закону Ньютона, внутри будет генерироваться восстанавливающая сила (скажем, F1), которая равна, но противоположна деформирующей силе.
F1 = -F. Здесь F – действие, а F1 – сила противодействия.

Восстанавливающая сила на единицу площади называется напряжением .

Принимая во внимание только величину возвращающей силы, мы можем записать выражение напряжения как:
Напряжение = F / A, где A = площадь поперечного сечения тела, на которую действуют силы действия-противодействия.2 или Паскаль.

Напряжение и деформация

Твердое тело может изменять свои размеры 3 различными способами, что приводит к 3 типам напряжений и деформаций .

# 1)

Напряжение растяжения и сжатия (также известное как продольное напряжение)

Здесь силы прикладываются под прямым углом к ​​площади или поверхностям поперечного сечения для удлинения или сжатия объекта. Это означает, что эти силы имеют тенденцию вызывать изменение длины твердого тела и создают продольное напряжение.Как уже говорилось, это напряжение может быть двух типов: растягивающее и сжимающее.

продольное напряжение – удлинить / сжать

Растягивающее напряжение имеет тенденцию увеличивать длину, а напряжение сжатия пытается уменьшить длину.

Продольное напряжение = приложенная сила / площадь поверхности = F / A

Продольная деформация:

Скажем, исходная длина – L, а изменение длины – l. Здесь идет термин Продольная деформация , который выражается как изменение длины на единицу длины.

So Продольная деформация = l / L …………………… .. (1)

# 2)

Касательное напряжение или напряжение сдвига

Если две равные и противоположные деформирующие силы приложены параллельно площади поперечного сечения цилиндрического объекта, то между противоположными гранями цилиндра возникает относительное смещение.

В этом случае восстанавливающая сила на единицу площади из-за приложенной тангенциальной силы называется касательным напряжением или напряжением сдвига.

Напряжение сдвига = F / A.

Деформация сдвига

Родственная деформация называется деформацией сдвига. На диаграмме две равные, противоположные и параллельные силы с величиной F вызывают относительное смещение x между противоположными гранями цилиндра.

И во время этого смещения образуется угол θ между исходной и смещенной боковыми линиями .

Здесь деформация сдвига = x / L = tan θ. ………………… (2)
Если этот угол θ слишком мал, то tan θ = θ …………….(3)
, поэтому из (2 и 3), Деформация сдвига = x / L = θ ………………. (4)

напряжение сдвига

# 3)

Гидравлическое напряжение

Когда твердое тело (например, сфера) помещается в жидкость под высоким давлением и равномерно сжимается со всех сторон, тогда сила, прикладываемая жидкостью, действует в перпендикулярном направлении в каждой точке поверхности.
Это называется гидравлическим сжатием. Это приводит к уменьшению громкости.

гидравлическое напряжение

Внутренняя восстанавливающая сила на единицу площади называется гидравлическим напряжением.
Гидравлическое напряжение = F / A = гидравлическое давление.

Объемная деформация

Связанная деформация называется объемной деформацией, которая представляет собой отношение изменения объема к начальному объему.
Объемная деформация = Δv / V …………………. (5)

Далее мы сформулируем и обсудим закон Гука .

Закон Гука

Закон упругости Гука гласит: При малых деформациях напряжение прямо пропорционально деформации.

Напряжение ∝ деформация

Итак, Напряжение = К.Штамм [уравнение закона Гука] ……………………. (а)
Здесь K – постоянная.

Модуль упругости

Из уравнения (а) получаем, Напряжение / деформация = K ……………………. (б)

Этот K является константой пропорциональности, называемой модулем упругости.

Из уравнения 2 мы можем сказать, что модуль упругости – это отношение напряжения и деформации.

Теперь, рассматривая 3 различных типа напряжения для твердого тела, у нас есть 3 различных набора модуля упругости .

Они равны (а) Модуль Юнга (2) Модуль сдвига (3) Объемный модуль

3 различных набора модулей упругости

Существует 3 типа модуля упругости:

  • Модуль Юнга
  • Модуль упругости
  • Объемный модуль

Давайте обсудим это здесь подробно.

Модуль Юнга

Модуль Юнга – это отношение продольного напряжения и продольной деформации.2 или Паскаль. Обратите внимание, что деформация безразмерна. Узнайте, как решить численную задачу на основе модуля Юнга.

Модуль сдвига

Модуль сдвига – это отношение напряжения сдвига и деформации сдвига. Это также известно как Модуль жесткости .

Если он обозначен как G, то

G = (F / A) / (x / L) = (F / A) / θ = F / (Aθ).

Модуль объемной упругости

Модуль объемной упругости (B) – это соотношение гидравлического напряжения и объемной деформации.

B = (F / A) / ( Δv / V ) = – P / ( Δv / V)

Здесь P – давление. Поскольку изменение объема косвенно пропорционально приложенному давлению, поэтому используется отрицательный знак.

Связанное исследование

Знать об основах эластичности: Эластичность

Также узнайте о графике растяжения-нагрузки здесь: График растяжения-нагрузки пружины и с анализом

И этот пост поможет вам понять коэффициент Пуассона, энергию деформации и тепловое напряжение: Коэффициент Пуассона и энергия деформации

Рассказ об учителе физики.в

Закон Крюка – Прочность (механика) материалов

Закон Гука – Прочность (механика) материалов

Механика материалов Содержание

Закон Крюка – Если металл слегка нагружен, имеет место временная деформация, предположительно разрешенная упругим смещением атомов в пространственной решетке.Снятие напряжения приводит к постепенному возвращению металлу первоначальной формы и размеров. В 1678 году английский ученый Роберт Гук провел эксперименты, в ходе которых были получены данные, которые показали, что в диапазоне упругости материала деформация пропорциональна напряжению. Удлинение стержня прямо пропорционально растягивающей силе и длине стержня и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости.

Экспериментальный закон Гука может быть дан как:

Где:

P = усилие, создаваемое удлинением стержня (фунт-сила)
l = длина стержня (дюйм.)
A = площадь поперечного сечения стержня (дюймы 2 )
d = общее удлинение стержня (дюймы)
E = постоянная упругости материала, называемая модулем упругости или модулем Юнга (фунт-сила / дюйм) 2 )

Величина E, отношение единичного напряжения к единичной деформации, представляет собой модуль упругости материала при растяжении или сжатии и часто называется модулем Юнга .

Растягивающее напряжение или просто напряжение приравнивалось к нагрузке на единицу площади или силе, приложенной к площади поперечного сечения, перпендикулярной силе, измеренной в фунтах силы на квадратный дюйм.

Деформация при растяжении или удлинение стержня на единицу длины определяется по:

Для описанных выше уравнений мы можем адекватно выразить закон Гука для упругих материалов. Для материалов, находящихся под напряжением, деформация (e) пропорциональна приложенному напряжению s.

Где:

E = модуль Юнга (фунт-сила / дюйм. 2 )
s = напряжение (фунт / кв. Дюйм)
e = деформация (дюйм / дюйм)

Напряжение и деформация) – X-Douglas College Physics 1107 Fall 2019 Custom Textbook

Сводка

  • Закон штата Гука.
  • Объясните закон Гука, используя графическое представление между деформацией и приложенной силой.
  • Обсудите деформации, например изменение длины
  • Определите изменение длины с учетом массы, длины и радиуса.

Силы могут повлиять на форму объекта. Если бульдозер втолкнет машину в стену, машина не сдвинется с места, но заметно изменит форму. Изменение формы из-за приложения силы – это деформация . Известно, что даже очень небольшие силы вызывают некоторую деформацию. При малых деформациях наблюдаются две важные характеристики. Во-первых, объект возвращается к своей исходной форме, когда сила снимается, то есть деформация является упругой для небольших деформаций.Во-вторых, размер деформации пропорционален силе, то есть для малых деформаций соблюдается закон Гука . В форме уравнения закон Гука имеет вид

.

[латекс] \ boldsymbol {F = k \ Delta {L},} [/ латекс]

, где Δ L – величина деформации (например, изменение длины), вызванная силой F , а k – константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объект и направление силы.Обратите внимание, что эта сила является функцией деформации Δ L – она ​​не постоянна, как кинетическая сила трения. Иногда мы используем Δ x вместо Δ L. Деформация может происходить по любой оси. Переставляем это на

[латекс] \ boldsymbol {\ Delta {L} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {F} {k}} [/ латекс]

дает понять, что деформация пропорциональна приложенной силе.На рисунке 1 показано соотношение по закону Гука между удлинением Δ L пружины или человеческой кости. Для металлов или пружин область прямой линии, к которой относится закон Гука, намного больше. Кости хрупкие, эластичная область небольшая, а перелом резкий. В конце концов, достаточно большое напряжение материала приведет к его разрушению или разрушению. Предел прочности на разрыв – это разрушающее напряжение, которое вызывает остаточную деформацию или разрушение материала.

ЗАКОН КРЮКА

[латекс] \ boldsymbol {F = k \ Delta {L},} [/ латекс]

, где Δ L – величина деформации (например, изменение длины), вызванная силой F , а k – константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объект и направление силы.

[латекс] \ boldsymbol {\ Delta {L} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {F} {k}} [/ латекс]

Рисунок 1. График зависимости деформации Δ L от приложенной силы F . Прямой отрезок – это линейная область, в которой соблюдается закон Гука. Уклон прямого участка 1 / k . Для больших сил график изогнут, но деформация остается упругой – Δ L вернется к нулю, если сила будет устранена. Еще большие силы деформируют объект до тех пор, пока он окончательно не сломается. Форма кривой возле трещины зависит от нескольких факторов, в том числе от того, как прикладывается сила F .Обратите внимание, что на этом графике наклон увеличивается непосредственно перед трещиной, указывая на то, что небольшое увеличение F дает большое увеличение L рядом с трещиной.

Константа пропорциональности k зависит от ряда факторов для материала. Например, гитарная струна из нейлона растягивается при затягивании, и удлинение Δ L пропорционально приложенной силе (по крайней мере, для небольших деформаций).Более толстые нейлоновые и стальные струны меньше растягиваются при одной и той же приложенной силе, что означает, что они имеют большее значение k (см. Рисунок 2). Наконец, все три струны возвращаются к своей нормальной длине, когда сила снимается, при условии, что деформация мала. Большинство материалов будут вести себя подобным образом, если деформация составляет менее примерно 0,1% или примерно 1 часть на 10 3 .

Рис. 2. Одна и та же сила, в данном случае груз ( w ), приложенная к трем разным гитарным струнам одинаковой длины, вызывает три разных деформации, показанные заштрихованными сегментами.Левая нить из тонкого нейлона, посередине – из более толстого нейлона, а правая – из стали.

НЕМНОГО РАСТЯНИТЬСЯ

Как бы вы измерили константу пропорциональности k резиновой ленты? Если резинка растянулась на 3 см, когда к ней была прикреплена 100-граммовая масса, то насколько она растянулась бы, если бы две одинаковые резинки были прикреплены к одной и той же массе – даже если их соединить параллельно или, наоборот, если связать вместе последовательно?

Концептуальные вопросы

1: Чем лук и стрела похожи на пружину?

Задачи и упражнения

  1. Груз подвешен на вертикальной пружине так, что он оказывает направленное вниз усилие величиной 5.02 ньютона на пружине. Пружина растягивается на 0,0456 метра, когда к ней прикреплен груз. Что такое постоянная пружины в ньютон / м? Подсказка: «Подвешенный» означает, что он висит в воздухе, не двигаясь. Какова суммарная сила, действующая на неподвижную массу?
  2. Амортизаторы моей машины имеют жесткость пружины 97 722 ньютон / метр. Когда некий человек садится в машину, он прикладывает к машине нисходящую силу в 987 ньютонов. Как далеко «вниз» переместится машина после того, как они сядут в нее? (Посмотрите фильм «Работа по-итальянски» и узнайте, как они использовали этот тип физики, чтобы выяснить, какой грузовик на самом деле перевозил золото.)
  3. Пружинные весы имеют жесткость 34,5 Н / м и растягиваются на 3,21 см, когда к ним присоединяется неизвестная масса. Какая сила в ньютонах приложена к пружине неизвестной массой?
  4. Если приложенная сила в 12 ньютонов растягивает определенную пружину на 4,0 сантиметра, сколько растяжения произойдет при приложенной силе в 18 ньютонов?

Решения

Задачи и упражнения

1) 110 Н / м

2) 0.0101 м = 1,01 см

3) 1,11 ньютона

4) 6,0 см По соотношению и соотношению 12 Н / 4,0 см = 18 Н /? так ? = 18 х 4/12 =

Теперь рассмотрим тип деформации, вызывающий изменение длины (растяжение и сжатие). Существуют также боковые силы, вызывающие сдвиг (напряжение) и изменения объема, но мы не будем вдаваться в подробности о них в этом курсе.

Изменение длины Δ L происходит, когда к проволоке или стержню прилагается сила, параллельная ее длине L 0 , либо растягивая (растяжение), либо сжимая.(См. Рисунок 3.)

Рис. 3. (а) Напряжение. Стержень растягивается на длину Δ L , когда сила прилагается параллельно его длине. (б) Сжатие. Тот же стержень сжимается силами той же величины в противоположном направлении. Для очень малых деформаций и однородных материалов Δ L примерно одинаково для одинаковой величины растяжения или сжатия. При больших деформациях площадь поперечного сечения изменяется при сжатии или растяжении стержня.

Эксперименты показали, что изменение длины ( Δ L ) зависит только от нескольких переменных. Как уже отмечалось, Δ L пропорционально силе F и зависит от вещества, из которого изготовлен объект. Кроме того, изменение длины пропорционально исходной длине L 0 и обратно пропорционально площади поперечного сечения проволоки или стержня. Например, длинная гитарная струна растягивается больше, чем короткая, а толстая струна растягивается меньше, чем тонкая.Мы можем объединить все эти факторы в одно уравнение для Δ L :

[латекс] \ boldsymbol {\ Delta {L} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {1} {Y} \ frac {\ vec {\ textbf {F}}} {A} } [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {L_0}, [/ latex]

, где Δ L – изменение длины, F приложенная сила, Y – коэффициент, называемый модулем упругости или модулем Юнга, который зависит от вещества, A – это площадь поперечного сечения, а L 0 – исходная длина.2)} [/ латекс] Алюминий 70 25 75 Кость – напряжение 16 80 8 Кость – компрессионная 9 Латунь 90 35 75 Кирпич 15 Бетон 20 Стекло 70 20 30 Гранит 45 20 45 Волосы (человеческие) 10 Твердая древесина 15 10 Чугун литой 100 40 90 Свинец 16 5 50 Мрамор 60 20 70 Нейлон 5 Полистирол 3 шелк 6 Паутинка 3 Сталь 210 80 130 Сухожилие 1 Ацетон 0.7 Этанол 0,9 Глицерин 4,5 Меркурий 25 Вода 2,2 Таблица 3. Модули упругости 1 .

Модули Юнга не указаны для жидкостей и газов в таблице 3, потому что они не могут быть растянуты или сжаты только в одном направлении.Обратите внимание, что существует предположение, что объект не ускоряется, поэтому на самом деле существуют две приложенные силы величиной F , действующие в противоположных направлениях. Например, струны на рисунке 3 тянут вниз силой величиной w и удерживаются за потолок, который также оказывает силу величиной w .

Пример 1: Растяжение длинного кабеля

Подвесные тросы используются для перевозки гондол на горнолыжных курортах.(См. Рис. 4). Рассмотрим подвесной трос, длина которого без опоры составляет 3 км. Рассчитайте степень растяжения стального троса. Предположим, что кабель имеет диаметр 5,6 см и максимальное напряжение, которое он может выдержать, составляет 3,0 × 10 6 N .

Рис. 4. Гондолы перемещаются по подвесным тросам на горнолыжном курорте Гала Юдзава в Японии. (Источник: Руди Херман, Flickr)

Стратегия

Сила равна максимальному натяжению, или F = 3.2}) (3020 \ textbf {m})} [/ latex]

[латекс] \ boldsymbol {= 18 \ textbf {m}}. [/ Latex]

Обсуждение

Это довольно большая длина, но только около 0,6% от длины без опоры. В этих условиях влияние температуры на длину может быть важным.

Кости в целом не ломаются от растяжения или сжатия. Скорее они обычно ломаются из-за бокового удара или изгиба, что приводит к срезанию или разрыву кости. Поведение костей при растяжении и сжатии важно, потому что оно определяет нагрузку, которую кости могут нести.Кости классифицируются как несущие конструкции, такие как колонны в зданиях и деревья. Несущие конструкции обладают особенностями; колонны в здании имеют стальные арматурные стержни, а деревья и кости – волокнистые. Кости в разных частях тела выполняют разные структурные функции и подвержены разным нагрузкам. Таким образом, кость в верхней части бедренной кости расположена в виде тонких пластин, разделенных костным мозгом, в то время как в других местах кости могут быть цилиндрическими и заполненными костным мозгом или просто твердыми.Люди с избыточным весом имеют тенденцию к повреждению костей из-за длительного сжатия костных суставов и сухожилий.

Другой биологический пример закона Гука встречается в сухожилиях. Функционально сухожилие (ткань, соединяющая мышцу с костью) должно сначала легко растягиваться при приложении силы, но обеспечивать гораздо большую восстанавливающую силу для большего напряжения. На рисунке 5 показана зависимость напряжения от деформации человеческого сухожилия. Некоторые сухожилия имеют высокое содержание коллагена, поэтому деформация или изменение длины относительно невелико; другие, например, опорные сухожилия (например, в ноге), могут изменять длину до 10%.Обратите внимание, что эта кривая напряжения-деформации является нелинейной, поскольку наклон линии изменяется в разных областях. В первой части растяжения, называемой областью пальца, волокна сухожилия начинают выравниваться в направлении напряжения – это называется распаковка . В линейной области фибриллы будут растянуты, а в области разрушения отдельные волокна начнут разрываться. Простую модель этой взаимосвязи можно проиллюстрировать параллельными пружинами: разные пружины активируются при разной длине растяжения.Примеры этого приведены в задачах в конце этой главы. Связки (ткань, соединяющая кость с костью) ведут себя аналогичным образом.

Рисунок 5. Типичная кривая “напряжение-деформация” для сухожилия млекопитающих. Показаны три области: (1) область пальца ноги (2) линейная область и (3) область разрушения.

В отличие от костей и сухожилий, которые должны быть прочными и эластичными, артерии и легкие должны быть легко растяжимыми. Эластичные свойства артерий важны для кровотока. Когда кровь выкачивается из сердца, давление в артериях увеличивается, и стенки артерий растягиваются.Когда аортальный клапан закрывается, давление в артериях падает, и артериальные стенки расслабляются, чтобы поддерживать кровоток. Когда вы чувствуете свой пульс, вы чувствуете именно это – эластичное поведение артерий, когда кровь хлынет через каждый насос сердца. Если бы артерии были жесткими, вы бы не почувствовали пульс. Сердце также является органом с особыми эластичными свойствами. Легкие расширяются за счет мышечного усилия, когда мы вдыхаем, но расслабляемся свободно и эластично, когда мы выдыхаем. Наша кожа особенно эластична, особенно для молодых.Молодой человек может подняться от 100 кг до 60 кг без видимого провисания кожи. С возрастом снижается эластичность всех органов. Постепенное физиологическое старение за счет снижения эластичности начинается в начале 20-х годов. 2}) (\ frac {607.{-5} \ textbf {m}}. [/ Latex]

Обсуждение

Это небольшое изменение длины кажется разумным, поскольку, по нашему опыту, кости жесткие. Фактически, даже довольно большие силы, возникающие при напряженных физических нагрузках, не сжимают и не сгибают кости в значительной степени. Хотя кость более жесткая по сравнению с жиром или мышцами, некоторые из веществ, перечисленных в таблице 3, имеют более высокие значения модуля Юнга Y . Другими словами, они более жесткие.

Уравнение изменения длины традиционно перестраивается и записывается в следующем виде:

[латекс] \ boldsymbol {\ frac {F} {A}} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {= Y} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {L}} {L_0 }}. [/ latex]

Отношение силы к площади, [латекс] \ boldsymbol {\ frac {F} {A}}, [/ latex] определяется как напряжение (измеряется в Н / м 2 ), а соотношение изменения длины к длине, [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {L}} {L_0}}, [/ latex] определяется как деформация (безразмерная величина).Другими словами,

[латекс] \ boldsymbol {\ textbf {stress} = Y \ times \ textbf {stretch}}. [/ Latex]

В этой форме уравнение аналогично закону Гука с напряжением, аналогичным силе, и деформацией, аналогичной деформации. Если снова переписать это уравнение к виду

[латекс] \ boldsymbol {F = YA} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {L}} {L_0}}, [/ latex]

мы видим, что он совпадает с законом Гука с константой пропорциональности

[латекс] \ boldsymbol {k \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {YA} {L_0}}.[/ латекс]

Эта общая идея о том, что сила и вызываемая ею деформация пропорциональны небольшим деформациям, применима к изменениям длины, боковому изгибу и изменениям объема.

НАПРЯЖЕНИЕ

Отношение силы к площади, [латекс] \ boldsymbol {\ frac {F} {A}}, [/ latex] определяется как напряжение, измеренное в Н / м 2 .

ШТАМ

Отношение изменения длины к длине, [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {L}} {L_0}}, [/ latex], определяется как деформация (безразмерная величина).Другими словами,

[латекс] \ boldsymbol {\ textbf {stress} = Y \ times \ textbf {stretch}}. [/ Latex]

  • Закон Гука дан

    [латекс] \ boldsymbol {F = k \ Delta {L}}, [/ latex] или [латекс] \ boldsymbol {F = k \ Delta {x}}, [/ latex]

    , где Δ L – величина деформации (изменение длины), F – приложенная сила, а k – константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объекта. и направление силы.Соотношение между деформацией и приложенной силой также можно записать как

    [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {L} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {1} {Y} \ frac {F} {A}} [/ латекс] [латекс] \ boldsymbol {L_0}, [/ латекс]

    , где Y – это модуль Юнга , который зависит от вещества, A – площадь поперечного сечения, а L 0 – исходная длина.

  • Отношение силы к площади, [латекс] \ boldsymbol {\ frac {F} {A}}, [/ latex] определяется как напряжение , измеренное в Н / м 2 .
  • Отношение изменения длины к длине, [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {L}} {L_0}}, [/ latex] определяется как деформация (безразмерная величина). Другими словами,

    [латекс] \ boldsymbol {\ textbf {stress} = Y \ times \ textbf {stretch}}. [/ Latex]

Концептуальные вопросы

1: Эластичные свойства артерий важны для кровотока. Объясните важность этого с точки зрения характеристик кровотока (пульсирующий или непрерывный).

2: Что вы чувствуете, когда прощупываете пульс? Измерьте частоту пульса в течение 10 секунд и 1 минуты. Есть ли разница в 6 раз?

3: Изучите различные типы обуви, включая спортивную обувь и стринги. С точки зрения физики, почему нижние поверхности устроены именно так? Какие различия будут иметь для этих поверхностей сухие и влажные условия?

4: Ожидаете ли вы, что ваш рост будет отличаться в зависимости от времени суток? Почему или почему нет?

5: Почему белка может прыгнуть с ветки дерева на землю и убежать невредимой, а человек может сломать кость при таком падении?

Задачи и упражнения

1: Во время циркового представления один артист качается вверх ногами, свешиваясь на трапеции, держа другого, также перевернутого, за ноги.Если сила, направленная вверх на нижнюю спортсменку, в три раза превышает ее вес, насколько растягиваются кости (бедра) в ее верхних конечностях? Вы можете предположить, что каждый из них эквивалентен одинаковому стержню длиной 35,0 см и радиусом 1,80 см. Ее масса 60,0 кг.

2: Во время схватки борец 150 кг ненадолго встает на одну руку во время маневра, призванного сбить с толку его и без того умирающего противника. Насколько укорачивается длина костей плеча? Кость может быть представлена ​​однородным стержнем 38.0 см в длину и 2,10 см в радиусе.

3: (a) «Грифель» в карандашах – это графитовая композиция с модулем Юнга примерно 1 × 10 9 Н / м 2 . Вычислите изменение длины грифеля автоматического карандаша, если постучите им прямо по карандашу с усилием 4,0 Н. Грифель имеет диаметр 0,50 мм и длину 60 мм. б) разумен ли ответ? То есть согласуется ли это с тем, что вы наблюдали при использовании карандашей?

4: Антенны телевещания – самые высокие искусственные сооружения на Земле.В 1987 году физик весом 72,0 кг разместил себя и 400 кг оборудования на вершине одной антенны высотой 610 м для проведения гравитационных экспериментов. Насколько была сжата антенна, если считать ее эквивалентом стального цилиндра радиусом 0,150 м?

5: (a) Насколько альпинист весом 65 кг натягивает нейлоновую веревку диаметром 0,800 см, когда она висит на 35,0 м ниже скалы? б) Соответствует ли ответ тому, что вы наблюдали для нейлоновых веревок? Имел бы смысл, если бы веревка была на самом деле эластичным шнуром?

7: По мере бурения нефтяной скважины каждая новая секция бурильной трубы выдерживает собственный вес, а также вес трубы и бурового долота под ней.Рассчитайте растяжение новой стальной трубы длиной 6,00 м, которая поддерживает 3,00 км трубы, имеющей массу 20,0 кг / м, и буровое долото 100 кг. Труба эквивалентна по жесткости сплошному цилиндру диаметром 5 см.

8: Рассчитайте усилие, которое настройщик рояля применяет для растяжения стальной рояльной проволоки на 8,00 мм, если проволока изначально имеет диаметр 0,850 мм и длину 1,35 м.

12: Чтобы рассмотреть влияние проводов, подвешенных на столбах, мы возьмем данные из главы 4.7 Пример 2, в котором были рассчитаны натяжения проводов, поддерживающих светофор. Левая проволока образовывала угол 30,0 ° ниже горизонтали с верхней частью своего столба и выдерживала натяжение 108 Н. Полый алюминиевый столб высотой 12,0 м эквивалентен по жесткости сплошному цилиндру диаметром 4,50 см. а) Насколько он наклонен в сторону? б) Насколько он сжат?

15: Эта проблема возвращается к канатоходцу, изученному в главе 4.5, Пример 2, который создал натяжение 3.94 × 10 3 Н в тросе, имеющем угол 5,0 ° ниже горизонтали с каждой опорной стойкой. Подсчитайте, насколько это натяжение растягивает стальную проволоку, если изначально она была 15 м в длину и 0,50 см в диаметре.

Сноски

  1. Приблизительные и средние значения. Модули Юнга Y для растяжения и сжатия иногда различаются, но здесь они усреднены. Кость имеет существенно разные модули Юнга для растяжения и сжатия.

Глоссарий

деформация
изменение формы из-за приложения силы
Закон Гука
пропорциональная зависимость между силой F , действующей на материал, и вызываемой ею деформацией Δ L , F = k Δ L
предел прочности
разрывное напряжение, которое вызовет остаточную деформацию или фракцию материала
напряжение
отношение силы к площади
штамм
отношение изменения длины к исходной длине
деформация сдвига
деформация, перпендикулярная исходной длине объекта

Решения

Задачи и упражнения

1: [латекс] \ boldsymbol {1.2}. [/ Latex] Это примерно 36 атм, больше, чем может выдержать обычная банка.

15: $$ \ boldsymbol {1.4 \ textbf {cm}} $$

Engr Help

Engr Help

Крючки Коэффициент закона / Пуассона, ν

Ключевые понятия: Гука Закон выражает взаимосвязь между осевым напряжением и осевой деформацией

для данного материала.Если это соотношение линейное, то осевое напряжение прямо пропорционально

осевая деформация. Константа пропорциональности – это модуль упругости, E. При нагрузке увеличивается

осевое напряжение не может больше быть линейным по отношению к осевой деформации. Этот критическая точка – это предел пропорциональности.

В ореховой скорлупе: Технические свойства материалы широко различаются.Общие примеры

инженерных материалов с различными отношениями напряжения к деформации включают бетон, стекло,

сталь, дерево, алюминий, композиты и другие. Базовый механическое свойство

взаимосвязь между напряжением и деформацией для данный материал при осевой нагрузке. Также

, когда вы растягиваете резину группа в одном направлении она сжимается в два других направления.

Этот ответ вызывает к эффекту коэффициента Пуассона .

Закон о крюках для осевого элемента, подвергающегося растягивающей нагрузке

Для осевого стержня под нагрузка со стрессом. σ и деформации (растяжения) ε, Hookes

Закон (в линейном диапазоне) дает

σ = E ε

где E – модуль Юнга (модуль эластичность) или константа пропорциональности.

Поскольку штамм безразмерными, стандартными единицами измерения модуля Юнга являются фунты на квадратный дюйм (

на английском языке).

единиц) или ГПа (метрические единицы).

Зависимость напряжения от деформации для хрупких и пластичных материалов

Диаграмма растяжения для хрупкого и пластичного материала можно идеализировать до

упростить напряжение-деформацию модель.В обоих случаях наклон кривая напряжения-деформации в

линейный диапазон Модуль для младших. Щелкните здесь, чтобы просмотреть типовые диаграммы напряжения-деформации

для хрупкого материала и идеализированная линейно-упругая модель напряженно-деформированного состояния.

Примечание к испытаниям, включающим хрупкий материал, напряжение увеличивается линейно до

пропорциональный предел, а затем продолжается нелинейным образом до отказа в пределе

силы.

Для пластичного материала, напряжение увеличивается линейно до предела текучести. Для

линейно-упругая модель напряжение продолжает увеличиваться без изменения напряжения за пределами

предел текучести в этом идеализированная модель зависимости напряжения от деформации.

Значения модуля упругости E и коэффициента Пуассона ν

Материал

E в тысячах фунтов на квадратный дюйм

E в ГПа

ν

Алюминий

10

70

0.33

Низкоуглеродистая сталь

30

200

0,3

Бетон

3,6

25

0,1-0,2

Стекло

1.75

12

0,2-0,27

Авторские права © 2019 Ричард С. Коддингтон
Все права защищены.

различных упругих постоянных и их взаимосвязей

🕑 Время чтения: 1 минута

Когда упругое тело подвергается нагрузке, создается пропорциональная нагрузка.Отношение приложенных напряжений к создаваемым деформациям всегда будет постоянным и известно как постоянная упругости. Постоянная упругости представляет собой упругое поведение объектов.

Упругие константы

Различные упругие постоянные следующие:

  1. Модуль Юнга
  2. Модуль упругости
  3. Модуль жесткости
  4. Коэффициент Пуассона

1. Модуль Юнга

Согласно закону Гука, когда тело подвергается растягивающему или сжимающему напряжению, прилагаемое напряжение прямо пропорционально деформации в пределах упругости этого тела.Отношение приложенного напряжения к деформации постоянно и известно как модуль Юнга или модуль упругости.

Модуль Юнга обозначается буквой «E». Единица модуля упругости такая же, как и единица измерения напряжения – мегапаскаль (МПа). 1 МПа равно 1 Н / мм 2 .

Рис.1: Тело, подвергающееся растягивающему напряжению

2. Модуль объемной упругости

Когда тело подвергается взаимно перпендикулярным прямым напряжениям, которые одинаковы и равны в пределах его упругости, отношение прямого напряжения к соответствующей объемной деформации оказывается постоянным.Это отношение называется объемным модулем упругости и обозначается буквой «K». Единица модуля объемного сжатия – МПа.

Рис 2: Объемное изменение тела

3. Модуль жесткости

Когда тело подвергается напряжению сдвига, форма тела изменяется, отношение напряжения сдвига к соответствующей деформации сдвига называется модулем жесткости или модулем жесткости. Обозначается буквами «G», «C» или «N». Единица модуля жесткости – МПа.

Рис.3: Деформация корпуса при сдвиге

4.Коэффициент Пуассона

Когда тело подвергается простому растягивающему напряжению в пределах его упругости, то размеры тела меняются как в направлении нагрузки, так и в противоположном направлении. Когда эти измененные размеры разделены на их исходные размеры, получается продольная деформация и поперечная деформация.

Отношение поперечной деформации к продольной деформации называется коэффициентом Пуассона. Он представлен символом «µ». Коэффициент Пуассона является максимальным для идеального упругого несжимаемого материала и его значение равно 0.5. Для большинства инженерных материалов коэффициент Пуассона составляет от 0,25 до 0,33. У него нет юнитов.

Взаимосвязь между упругими постоянными

  • Соотношение между модулем Юнга (E), модулем жесткости (G) и коэффициентом Пуассона (µ) выражается как:
  • Соотношение между модулем Юнга (E), объемным модулем (K) и коэффициентом Пуассона (µ) выражается как:
  • Модуль Юнга можно выразить через модуль объемной упругости (K) и модуль жесткости (G) как:
  • Коэффициент Пуассона можно выразить через модуль объемной упругости (K) и модуль жесткости (G) как:

Также прочтите : Модуль упругости бетона – определение и важность при проектировании

Эластичность: напряжение и деформация | Физика

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Закон штата Гука.
  • Объясните закон Гука, используя графическое представление между деформацией и приложенной силой.
  • Обсудите три типа деформаций, такие как изменение длины, сдвиг в сторону и изменение объема.
  • Опишите на примерах модуль Юнга, модуль сдвига и объемный модуль.
  • Определите изменение длины с учетом массы, длины и радиуса.

Теперь мы переходим от рассмотрения сил, влияющих на движение объекта (таких как трение и сопротивление), к тем, которые влияют на форму объекта.Если бульдозер втолкнет машину в стену, машина не сдвинется с места, но заметно изменит форму. Изменение формы из-за приложения силы – это деформация . Известно, что даже очень небольшие силы вызывают некоторую деформацию. При малых деформациях наблюдаются две важные характеристики. Во-первых, объект возвращается к своей исходной форме, когда сила снимается, то есть деформация является упругой для небольших деформаций. Во-вторых, размер деформации пропорционален силе, то есть при малых деформациях соблюдается закон Гука.В форме уравнения Закон Гука равен

.

F = k Δ L ,

, где Δ L – величина деформации (например, изменение длины), вызванная силой F , а k – константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объекта и направления сила. Обратите внимание, что эта сила является функцией деформации Δ L – она ​​не постоянна, как кинетическая сила трения.Переставляем это на

[латекс] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {F} {k} [/ latex]

дает понять, что деформация пропорциональна приложенной силе. На рисунке 1 показано соотношение по закону Гука между удлинением Δ L пружины или человеческой кости. Для металлов или пружин область прямой линии, к которой относится закон Гука, намного больше. Кости хрупкие, эластичная область небольшая, а перелом резкий. В конце концов, достаточно большое напряжение материала приведет к его разрушению или разрушению.

Закон Гука

F = kΔL ,

, где Δ L – величина деформации (например, изменение длины), вызванная силой F , а k – константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объекта и направления сила.

[латекс] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {F} {k} [/ latex]

Рис. 1. График зависимости деформации ΔL от приложенной силы F.Прямой отрезок – это линейная область, в которой соблюдается закон Гука. Наклон прямой области [латекс] \ frac {1} {k} [/ latex]. Для больших сил график изогнут, но деформация остается упругой – ΔL вернется к нулю, если сила будет устранена. Еще большие силы деформируют объект до тех пор, пока он окончательно не сломается. Форма кривой возле трещины зависит от нескольких факторов, в том числе от того, как прикладывается сила F . Обратите внимание, что на этом графике наклон увеличивается непосредственно перед трещиной, указывая на то, что небольшое увеличение F дает большое увеличение L вблизи трещины.

Константа пропорциональности k зависит от ряда факторов для материала. Например, гитарная струна из нейлона растягивается при затягивании, а удлинение Δ L пропорционально приложенной силе (по крайней мере, для небольших деформаций). Более толстые нейлоновые и стальные струны меньше растягиваются при одной и той же приложенной силе, что означает, что они имеют больший размер k (см. Рисунок 2). Наконец, все три струны возвращаются к своей нормальной длине, когда сила снимается, при условии, что деформация мала.Большинство материалов будут вести себя таким образом, если деформация будет меньше примерно 0,1% или примерно 1 часть на 10 3 .

Рис. 2. Одна и та же сила, в данном случае груз (w), приложенная к трем различным гитарным струнам одинаковой длины, вызывает три различных деформации, показанные заштрихованными сегментами. Левая нить из тонкого нейлона, посередине – из более толстого нейлона, а правая – из стали.

Растянись немного

Как бы вы измерили константу пропорциональности k резиновой ленты? Если резинка растянулась на 3 см, когда к ней была прикреплена 100-граммовая масса, то насколько она растянулась бы, если бы две одинаковые резинки были прикреплены к одной и той же массе – даже если их соединить параллельно или, наоборот, если связать вместе последовательно?

Теперь мы рассмотрим три конкретных типа деформаций: изменение длины (растяжение и сжатие), сдвиг в сторону (напряжение) и изменения объема.Все деформации считаются небольшими, если не указано иное.

Изменения длины – растяжение и сжатие: модуль упругости

Изменение длины Δ L происходит, когда к проволоке или стержню прилагается сила, параллельная его длине L 0 , либо растягивая (натяжение), либо сжимая. (См. Рисунок 3.)

Рис. 3. (а) Напряжение. Стержень растягивается на длину ΔL , когда сила прилагается параллельно его длине. (б) Сжатие.Тот же стержень сжимается силами той же величины в противоположном направлении. Для очень малых деформаций и однородных материалов значение ΔL примерно одинаково для одинаковой величины растяжения или сжатия. При больших деформациях площадь поперечного сечения изменяется при сжатии или растяжении стержня.

Эксперименты показали, что изменение длины (Δ L ) зависит только от нескольких переменных. Как уже отмечалось, Δ L пропорциональна силе F и зависит от вещества, из которого изготовлен объект.Кроме того, изменение длины пропорционально исходной длине L 0 и обратно пропорционально площади поперечного сечения проволоки или стержня. Например, длинная гитарная струна растягивается больше, чем короткая, а толстая струна растягивается меньше, чем тонкая. Мы можем объединить все эти факторы в одно уравнение для Δ L :

[латекс] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {1} {Y} \ text {} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex],

, где Δ L – изменение длины, F – приложенная сила, Y – коэффициент, называемый модулем упругости или модулем Юнга, который зависит от вещества, A – площадь поперечного сечения, и L 0 – исходная длина.В таблице 1 перечислены значения Y для нескольких материалов – те, которые имеют большой Y , как говорят, имеют большую прочность на разрыв , потому что они меньше деформируются при заданном растяжении или сжатии.

Таблица 1. Модули упругости
Материал Модуль Юнга (растяжение-сжатие) Y (10 9 Н / м 2 ) Модуль сдвига S (10 9 Н / м 2 ) Модуль объемной упругости B (10 9 Н / м 2 )
Алюминий 70 25 75
Кость – напряжение 16 80 8
Кость – компрессия 9
Латунь 90 35 75
Кирпич 15
Бетон 20
Стекло 70 20 30
Гранит 45 20 45
Волосы (человеческие) 10
Твердая древесина 15 10
Чугун литой 100 40 90
Свинец 16 5 50
Мрамор 60 20 70
Нейлон 5
Полистирол 3
шелк 6
Паутинка 3
Сталь 210 80 130
Сухожилие 1
Ацетон 0.7
Этанол 0,9
Глицерин 4,5
Меркурий 25
Вода 2,2

Модули Юнга не указаны для жидкостей и газов в таблице 1, потому что они не могут быть растянуты или сжаты только в одном направлении. Обратите внимание, что существует предположение, что объект не ускоряется, поэтому на самом деле существуют две приложенные силы величиной F , действующие в противоположных направлениях.Например, струны на рисунке 3 тянут вниз силой величиной w и удерживаются потолком, который также оказывает силу величиной w .

Пример 1. Растяжение длинного кабеля

Подвесные тросы используются для перевозки гондол на горнолыжных курортах. (См. Рис. 4). Рассмотрим подвесной трос, длина которого без опоры составляет 3 км. Рассчитайте степень растяжения стального троса. Предположим, что кабель имеет диаметр 5,6 см и максимальное натяжение, которое он может выдержать, равно 3.0 × 10 6 Н.

Рис. 4. Гондолы перемещаются по подвесным тросам на горнолыжном курорте Гала Юдзава в Японии. (Источник: Руди Херман, Flickr)

Стратегия

Сила равна максимальному натяжению, или F = 3,0 × 10 6 Н. Площадь поперечного сечения π r 2 = 2,46 × 10 –3 м 2 . Уравнение [latex] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {1} {Y} \ text {} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex] можно использовать для определения изменения длины.{2}} \ right) \ left (\ text {3020 m} \ right) \\ & = & \ text {18 m}. \ End {array} [/ latex]

Обсуждение

Это довольно большая длина, но только около 0,6% от длины без опоры. В этих условиях влияние температуры на длину может быть важным.

Кости в целом не ломаются от растяжения или сжатия. Скорее они обычно ломаются из-за бокового удара или изгиба, что приводит к срезанию или разрыву кости. Поведение костей при растяжении и сжатии важно, потому что оно определяет нагрузку, которую кости могут нести.Кости классифицируются как несущие конструкции, такие как колонны в зданиях и деревья. Несущие конструкции обладают особенностями; колонны в здании имеют стальные арматурные стержни, а деревья и кости – волокнистые. Кости в разных частях тела выполняют разные структурные функции и подвержены разным нагрузкам. Таким образом, кость в верхней части бедренной кости расположена в виде тонких пластин, разделенных костным мозгом, в то время как в других местах кости могут быть цилиндрическими и заполненными костным мозгом или просто твердыми.Люди с избыточным весом имеют тенденцию к повреждению костей из-за длительного сжатия костных суставов и сухожилий.

Другой биологический пример закона Гука встречается в сухожилиях. Функционально сухожилие (ткань, соединяющая мышцу с костью) должно сначала легко растягиваться при приложении силы, но обеспечивать гораздо большую восстанавливающую силу для большего напряжения. На рисунке 5 показана зависимость напряжения от деформации человеческого сухожилия. Некоторые сухожилия имеют высокое содержание коллагена, поэтому деформация или изменение длины относительно невелико; другие, например, опорные сухожилия (например, в ноге), могут изменять длину до 10%.Обратите внимание, что эта кривая напряжения-деформации является нелинейной, поскольку наклон линии изменяется в разных областях. В первой части растяжения, называемой областью пальца, волокна сухожилия начинают выравниваться в направлении напряжения – это называется распаковка . В линейной области фибриллы будут растянуты, а в области разрушения отдельные волокна начнут разрываться. Простую модель этой взаимосвязи можно проиллюстрировать параллельными пружинами: разные пружины активируются при разной длине растяжения.Примеры этого приведены в задачах в конце этой главы. Связки (ткань, соединяющая кость с костью) ведут себя аналогичным образом.

Рис. 5. Типичная кривая “напряжение-деформация” для сухожилия млекопитающих. Показаны три области: (1) область пальца ноги (2) линейная область и (3) область разрушения.

В отличие от костей и сухожилий, которые должны быть прочными и эластичными, артерии и легкие должны быть легко растяжимыми. Эластичные свойства артерий важны для кровотока. Когда кровь выкачивается из сердца, давление в артериях увеличивается, и стенки артерий растягиваются.Когда аортальный клапан закрывается, давление в артериях падает, и артериальные стенки расслабляются, чтобы поддерживать кровоток. Когда вы чувствуете свой пульс, вы чувствуете именно это – эластичное поведение артерий, когда кровь хлынет через каждый насос сердца. Если бы артерии были жесткими, вы бы не почувствовали пульс. Сердце также является органом с особыми эластичными свойствами. Легкие расширяются за счет мышечного усилия, когда мы вдыхаем, но расслабляемся свободно и эластично, когда мы выдыхаем. Наша кожа особенно эластична, особенно для молодых.Молодой человек может подняться от 100 кг до 60 кг без видимого провисания кожи. С возрастом снижается эластичность всех органов. Постепенное физиологическое старение за счет снижения эластичности начинается в начале 20-х годов.

Пример 2. Расчет деформации: насколько укорачивается нога, когда вы стоите на ней?

Вычислите изменение длины кости верхней части ноги (бедренной кости), когда мужчина весом 70,0 кг поддерживает на ней 62,0 кг своей массы, при условии, что кость эквивалентна стержню равном 40 мм.0 см в длину и 2,00 см в радиусе.

Стратегия

Сила равна поддерживаемому весу, или F = мг = (62,0 кг) (9,80 м / с 2 ) = 607,6 Н, а площадь поперечного сечения равна π r 2 = 1,257 × 10 –3 м 2 . Уравнение [latex] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {1} {Y} \ text {} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex] можно использовать для определения изменения длины.

Решение

Все величины, кроме Δ L , известны.{-5} \ text {m.} \ End {array} [/ latex]

Обсуждение

Это небольшое изменение длины кажется разумным, поскольку, по нашему опыту, кости жесткие. Фактически, даже довольно большие силы, возникающие при напряженных физических нагрузках, не сжимают и не сгибают кости в значительной степени. Хотя кость более жесткая по сравнению с жиром или мышцами, некоторые из веществ, перечисленных в таблице 1, имеют более высокие значения модуля Юнга Y . Другими словами, они более жесткие и обладают большей прочностью на разрыв.

Уравнение изменения длины традиционно перестраивается и записывается в следующем виде:

[латекс] \ displaystyle \ frac {F} {A} = Y \ frac {\ Delta {L}} {L_0} [/ latex].

Отношение силы к площади, [латекс] \ frac {F} {A} [/ latex], определяется как напряжение (измеряется в Н / м 2 ), а отношение изменения длины к длина, [латекс] \ frac {\ Delta {L}} {L_0} [/ latex], определяется как деформация (безразмерная величина). Другими словами, напряжение = Y × деформация.

В этой форме уравнение аналогично закону Гука с напряжением, аналогичным силе, и деформацией, аналогичной деформации. Если снова переписать это уравнение к виду

[латекс] \ displaystyle {F} = YA \ frac {\ Delta {L}} {L_0} [/ latex],

мы видим, что он совпадает с законом Гука с константой пропорциональности

[латекс] \ displaystyle {k} = \ frac {YA} {L_0} [/ latex].

Эта общая идея о том, что сила и вызываемая ею деформация пропорциональны небольшим деформациям, применима к изменениям длины, боковому изгибу и изменениям объема.

Напряжение

Отношение силы к площади, [латекс] \ frac {F} {A} [/ латекс], определяется как напряжение, измеренное в Н / м 2 .

Штамм

Отношение изменения длины к длине, [латекс] \ frac {\ Delta {L}} {L_0} [/ latex], определяется как деформация (безразмерная величина). Другими словами, напряжение = Y × деформация.

Боковое напряжение: Модуль сдвига

На рисунке 6 показано, что подразумевается под боковым напряжением или усилием сдвига .Здесь деформация называется Δ x , и она перпендикулярна L 0 , а не параллельна, как при растяжении и сжатии. Деформация сдвига аналогична растяжению и сжатию и может быть описана аналогичными уравнениями. Выражение для деформации сдвига : [latex] \ displaystyle \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex], где S – модуль сдвига ( см. Таблицу 1) и F – сила, приложенная перпендикулярно к L 0 и параллельно площади поперечного сечения A .Опять же, чтобы препятствовать ускорению объекта, на самом деле есть две равные и противоположные силы F , приложенные к противоположным граням, как показано на рисунке 6. Уравнение логично – например, легче согнуть длинный тонкий карандаш (маленький A ), чем короткий толстый, и оба гнутся легче, чем аналогичные стальные стержни (большие S ).

Рис. 6. Сила сдвига прилагается перпендикулярно длине L 0 и параллельно области A , создавая деформацию Δx.Вертикальные силы не показаны, но следует иметь в виду, что в дополнение к двум силам сдвига, F , должны существовать поддерживающие силы, препятствующие вращению объекта. Искажающие эффекты этих поддерживающих сил игнорируются при этом лечении. Вес объекта также не показан, поскольку он обычно незначителен по сравнению с силами, достаточно большими, чтобы вызвать значительные деформации.

Деформация сдвига

[латекс] \ displaystyle \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex],

, где S – модуль сдвига, а F – сила, приложенная перпендикулярно к L 0 и параллельно площади поперечного сечения A .

Изучение модулей сдвига в таблице 1 выявляет некоторые характерные закономерности. Например, для большинства материалов модули сдвига меньше модулей Юнга. Кость – замечательное исключение. Его модуль сдвига не только больше, чем модуль Юнга, но и такой же, как у стали. Это одна из причин того, что кости могут быть длинными и относительно тонкими. Кости могут выдерживать нагрузки, сопоставимые с бетонными и стальными. Большинство переломов костей возникает не из-за сжатия, а из-за чрезмерного скручивания и изгиба.

Позвоночный столб (состоящий из 26 позвоночных сегментов, разделенных дисками) обеспечивает основную опору для головы и верхней части тела. Позвоночник имеет нормальную кривизну для стабильности, но эту кривизну можно увеличить, что приведет к увеличению силы сдвига на нижние позвонки. Диски лучше выдерживают силы сжатия, чем силы сдвига. Поскольку позвоночник не является вертикальным, вес верхней части тела влияет на обе части. Беременным женщинам и людям с избыточным весом (с большим животом) необходимо отвести плечи назад, чтобы поддерживать равновесие, тем самым увеличивая искривление позвоночника и тем самым увеличивая сдвигающий компонент напряжения.Увеличенный угол из-за большей кривизны увеличивает поперечные силы вдоль плоскости. Эти более высокие усилия сдвига увеличивают риск травмы спины из-за разрыва дисков. Пояснично-крестцовый диск (клиновидный диск под последними позвонками) особенно подвержен риску из-за своего расположения.

Модули сдвига для бетона и кирпича очень малы; они слишком изменчивы, чтобы их можно было перечислить. Бетон, используемый в зданиях, может выдерживать сжатие, как в колоннах и арках, но очень плохо противостоит сдвигу, который может возникнуть в сильно нагруженных полах или во время землетрясений.Современные конструкции стали возможны благодаря использованию стали и железобетона. Практически по определению жидкости и газы имеют модуль сдвига, близкий к нулю, потому что они текут в ответ на силы сдвига.

Пример 3. Расчет силы, необходимой для деформации: гвоздь не сильно изгибается под нагрузкой

Найдите массу картины, висящей на стальном гвозде, как показано на рисунке 7, учитывая, что гвоздь изгибается только на 1,80 мкм. (Предположим, что модуль сдвига известен с двумя значащими цифрами.)

Рис. 7. Гвоздь, вид сбоку, на котором висит изображение. Гвоздь очень слабо прогибается (показан намного больше, чем на самом деле) из-за срезающего воздействия поддерживаемого веса. Также показано направленное вверх усилие стенки на гвоздь, иллюстрирующее равные и противоположные силы, приложенные к противоположным поперечным сечениям гвоздя. См. Пример 3 для расчета массы изображения.

Стратегия

Сила F на гвоздь (без учета собственного веса гвоздя) – это вес изображения w .Если мы сможем найти w , то масса изображения будет просто [латекс] \ frac {w} {g} [/ latex]. Уравнение [латекс] \ displaystyle \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex] может быть решено для F .

Решение

Решая уравнение [латекс] \ displaystyle \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex] для F , мы видим, что все остальные величины могут быть найдены :

[латекс] \ displaystyle {F} = \ frac {SA} {L_0} \ Delta {x} [/ latex]

S находится в таблице 1 и составляет S = 80 × 10 9 Н / м 2 .{-6} \ text {m} \ right) = 51 \ text {N} [/ latex]

Эта сила 51 Н составляет вес w изображения, поэтому масса изображения [латекс] m = \ frac {w} {g} = \ frac {F} {g} = 5.2 \ text {kg} [ /латекс].

Обсуждение

Это довольно массивное изображение, и впечатляет то, что гвоздь прогибается всего на 1,80 мкм – величину, невидимую невооруженным глазом.

Изменения объема: модуль объемной упругости

Объект будет сжиматься во всех направлениях, если внутренние силы приложены равномерно ко всем его поверхностям, как показано на рисунке 8.Относительно легко сжимать газы и чрезвычайно сложно сжимать жидкости и твердые тела. Например, воздух в винной бутылке сжимается, когда она закупорена. Но если вы попытаетесь закупорить бутылку с полными краями, вы не сможете сжать вино – некоторые из них необходимо удалить, чтобы вставить пробку. Причина такой разной сжимаемости заключается в том, что атомы и молекулы разделены большими пустыми пространствами в газах, но плотно упакованы в жидкостях и твердых телах. Чтобы сжать газ, вы должны сблизить его атомы и молекулы.Чтобы сжать жидкости и твердые тела, вы должны действительно сжать их атомы и молекулы, и очень сильные электромагнитные силы в них препятствуют этому сжатию.

Рис. 8. Внутренняя сила на всех поверхностях сжимает этот куб. Его изменение в объеме пропорционально силе на единицу площади и его первоначальному объему и связано со сжимаемостью вещества.

Мы можем описать сжатие или объемную деформацию объекта уравнением. Во-первых, отметим, что сила, «приложенная равномерно», определяется как имеющая одинаковое напряжение или отношение силы к площади [латекс] \ frac {F} {A} [/ латекс] на всех поверхностях.Произведенная деформация представляет собой изменение объема Δ V , которое, как было обнаружено, ведет себя очень аналогично сдвигу, растяжению и сжатию, обсуждавшимся ранее. (Это неудивительно, поскольку сжатие всего объекта эквивалентно сжатию каждого из его трех измерений.) Связь изменения объема с другими физическими величинами определяется выражением [latex] \ displaystyle \ Delta {V} = \ frac {1} {B} \ frac {F} {A} V_0 [/ latex], где B – объемный модуль упругости (см. Таблицу 1), V 0 – исходный объем, а [латекс] \ frac {F} {A} [/ latex] – это сила на единицу площади, равномерно приложенная внутрь ко всем поверхностям.Обратите внимание, что объемные модули для газов не приводятся.

Какие есть примеры объемного сжатия твердых тел и жидкостей? Одним из практических примеров является производство алмазов промышленного качества путем сжатия углерода с чрезвычайно большой силой на единицу площади. Атомы углерода перестраивают свою кристаллическую структуру в более плотно упакованный узор алмазов. В природе аналогичный процесс происходит глубоко под землей, где чрезвычайно большие силы возникают из-за веса вышележащего материала. Еще один естественный источник больших сжимающих сил – давление, создаваемое весом воды, особенно в глубоких частях океанов.Вода оказывает внутреннее воздействие на все поверхности погружаемого объекта и даже на саму воду. На больших глубинах вода ощутимо сжата, как показано в следующем примере.

Пример 4. Расчет изменения объема с деформацией: насколько вода сжимается на глубинах огромного океана?

Рассчитайте частичное уменьшение объема [латекс] \ left (\ frac {\ Delta {V}} {V_0} \ right) [/ latex] для морской воды на глубине 5,00 км, где сила на единицу площади составляет 5,00 × 10 7 Н / м 2 .

Стратегия

Уравнение [латекс] \ displaystyle \ Delta {V} = \ frac {1} {B} \ frac {F} {A} V_0 [/ latex] является правильным физическим соотношением. Все величины в уравнении, кроме [latex] \ frac {\ Delta {V}} {V_0} [/ latex], известны.

Решение

Решение неизвестного [латекса] \ frac {\ Delta {V}} {V_0} [/ latex] дает [latex] \ displaystyle \ frac {\ Delta {V}} {V_0} = \ frac {1} {B } \ frac {F} {A} [/ латекс].

Замена известных значений значением модуля объемной упругости B из таблицы 1,

[латекс] \ begin {array} {lll} \ frac {\ Delta {V}} {V_0} & = & \ frac {5.2} \\ & = & 0.023 = 2.3 \% \ end {array} [/ latex]

Обсуждение

Хотя это можно измерить, это не является значительным уменьшением объема, учитывая, что сила на единицу площади составляет около 500 атмосфер (1 миллион фунтов на квадратный фут). Жидкости и твердые вещества чрезвычайно трудно сжимать.

И наоборот, очень большие силы создаются жидкостями и твердыми телами, когда они пытаются расшириться, но не могут этого сделать, что эквивалентно их сжатию до меньшего, чем их нормальный объем.Это часто происходит, когда содержащийся в нем материал нагревается, поскольку большинство материалов расширяются при повышении их температуры. Если материалы сильно стеснены, они деформируют или ломают свой контейнер. Другой очень распространенный пример – замерзание воды. Вода, в отличие от большинства материалов, при замерзании расширяется, и она может легко сломать валун, разорвать биологическую клетку или сломать блок двигателя, который встанет у нее на пути.

Другие типы деформаций, такие как кручение или скручивание, ведут себя аналогично рассмотренным здесь деформациям растяжения, сдвига и объемной деформации.

Сводка раздела

  • Закон Гука определяется выражением [латекс] F = k \ Delta {L} [/ latex], где [латекс] \ Delta {L} [/ latex] – величина деформации (изменение длины), F – приложенная сила, а k – константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объекта, а также направления силы. Связь между деформацией и приложенной силой также может быть записана как [latex] \ displaystyle \ Delta L = \ frac {1} {Y} \ frac {F} {A} {L} _ {0} [/ latex] , где Y – это модуль Юнга, , который зависит от вещества, A – площадь поперечного сечения, а [латекс] {L} _ {0} [/ latex] – исходная длина.
  • Отношение силы к площади, [латекс] \ frac {F} {A} [/ латекс], определяется как напряжение , измеренное в Н / м 2 .
  • Отношение изменения длины к длине, [латекс] \ frac {\ Delta L} {{L} _ {0}} [/ latex], определяется как деформация (безразмерная величина). Другими словами, [латекс] \ текст {напряжение} = Y \ times \ text {напряжение} [/ латекс].
  • Выражение деформации сдвига [латекс] \ displaystyle \ Delta x = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} {L} _ {0} [/ latex], где S – модуль сдвига и F – это сила, приложенная перпендикулярно [латексу] {L} _ {\ text {0}} [/ latex] и параллельно площади поперечного сечения A .
  • Связь изменения объема с другими физическими величинами определяется выражением [latex] \ displaystyle \ Delta V = \ frac {1} {B} \ frac {F} {A} {V} _ {0} [/ latex ], где B – объемный модуль, [latex] {V} _ {\ text {0}} [/ latex] – исходный объем, а [latex] \ frac {F} {A} [/ latex] – сила на единицу площади, равномерно приложенная внутрь ко всем поверхностям.

Концептуальные вопросы

  1. Эластичные свойства артерий важны для кровотока. Объясните важность этого с точки зрения характеристик кровотока (пульсирующий или непрерывный).
  2. Что вы чувствуете, когда щупаете пульс? Измерьте частоту пульса в течение 10 секунд и 1 минуты. Есть ли разница в 6 раз?
  3. Изучите различные типы обуви, включая спортивную обувь и шлепанцы. С точки зрения физики, почему нижние поверхности устроены именно так? Какие различия будут иметь для этих поверхностей сухие и влажные условия?
  4. Ожидаете ли вы, что ваш рост будет отличаться в зависимости от времени суток? Почему или почему нет?
  5. Почему белка может спрыгнуть с ветки дерева на землю и убежать целой, а человек может сломать кость при таком падении?
  6. Объясните, почему беременные женщины часто страдают от растяжения спины на поздних сроках беременности.
  7. Уловка старого плотника, чтобы не допустить сгибания гвоздей при забивании их в твердый материал, заключается в том, чтобы крепко удерживать центр гвоздя плоскогубцами. Почему это помогает?
  8. Когда стеклянная бутылка, полная уксуса, нагревается, и уксус, и стекло расширяются, но уксус расширяется значительно больше с температурой, чем стекло. Бутылка разобьется, если наполнить ее до плотно закрытой крышки. Объясните, почему, а также объясните, как воздушный карман над уксусом предотвратит разрыв.(Это функция воздуха над жидкостями в стеклянных контейнерах.)

Задачи и упражнения

  1. Во время циркового представления один артист качается вверх ногами, висит на трапеции, держа другого, также перевернутого, за ноги. Если сила, направленная вверх на нижнюю спортсменку, в три раза превышает ее вес, насколько растягиваются кости (бедра) в ее верхних конечностях? Вы можете предположить, что каждый из них эквивалентен одинаковому стержню длиной 35,0 см и радиусом 1,80 см. Ее масса 60.0 кг.
  2. Во время схватки по борьбе борец весом 150 кг ненадолго встает на одну руку во время маневра, призванного сбить с толку его и без того умирающего противника. Насколько укорачивается длина костей плеча? Кость может быть представлена ​​однородным стержнем длиной 38,0 см и радиусом 2,10 см.
  3. (a) «Грифель» в карандашах представляет собой состав графита с модулем Юнга примерно 1 × 10 9 Н / м 2 . Вычислите изменение длины грифеля в автоматическом карандаше, если постучите им прямо по карандашу с силой 4.0 Н. Шнур диаметром 0,50 мм и длиной 60 мм. б) разумен ли ответ? То есть согласуется ли это с тем, что вы наблюдали при использовании карандашей?
  4. антенн телевещания – самые высокие искусственные сооружения на Земле. В 1987 году физик весом 72,0 кг разместил себя и 400 кг оборудования на вершине одной антенны высотой 610 м для проведения гравитационных экспериментов. Насколько была сжата антенна, если считать ее эквивалентом стального цилиндра радиусом 0,150 м?
  5. (a) На сколько стоит 65.Альпинист весом 0 кг натягивает нейлоновую веревку диаметром 0,800 см, когда она висит на 35,0 м ниже скалы? б) Соответствует ли ответ тому, что вы наблюдали для нейлоновых веревок? Имел бы смысл, если бы веревка была на самом деле эластичным шнуром?
  6. Полый алюминиевый флагшток высотой 20,0 м по жесткости эквивалентен твердому цилиндру диаметром 4,00 см. Сильный ветер изгибает полюс так же, как горизонтальная сила в 900 Н. Насколько далеко в сторону прогибается верхняя часть шеста?
  7. По мере бурения нефтяной скважины каждая новая секция бурильной трубы выдерживает собственный вес, а также вес трубы и бурового долота под ней.Рассчитайте растяжение новой стальной трубы длиной 6,00 м, которая поддерживает 3,00 км трубы, имеющей массу 20,0 кг / м, и буровое долото 100 кг. Труба эквивалентна по жесткости сплошному цилиндру диаметром 5 см.
  8. Рассчитайте усилие, которое настройщик рояля применяет для растяжения стальной рояльной струны на 8,00 мм, если проволока изначально имеет диаметр 0,850 мм и длину 1,35 м.
  9. Позвонок подвергается действию силы сдвига 500 Н. Найдите деформацию сдвига, принимая позвонок в виде цилиндра 3.00 см в высоту и 4,00 см в диаметре.
  10. Диск между позвонками в позвоночнике подвергается действию силы сдвига 600 Н. Найдите его деформацию сдвига, принимая модуль сдвига 1 × 10 9 Н / м 2 . Диск эквивалентен сплошному цилиндру высотой 0,700 см и диаметром 4,00 см.
  11. При использовании ластика для карандашей вы прикладываете вертикальную силу 6,00 Н на расстоянии 2,00 см от соединения ластика с твердой древесиной. Карандаш имеет диаметр 6,00 мм и держится под углом 20 °.0º к горизонтали. а) Насколько дерево прогибается перпендикулярно своей длине? б) Насколько он сжат в продольном направлении?
  12. Чтобы рассмотреть влияние проводов, подвешенных на столбах, мы возьмем данные из рисунка 9, на котором были рассчитаны натяжения проводов, поддерживающих светофор. Левая проволока образовывала угол 30,0 ° ниже горизонтали с вершиной своего столба и выдерживала натяжение 108 Н. Полый алюминиевый столб высотой 12,0 м по жесткости эквивалентен твердому цилиндру диаметром 4,50 см.а) Насколько он наклонен в сторону? б) Насколько он сжат?

    Рисунок 9. Светофор подвешен на двух тросах. (б) Некоторые из задействованных сил. (c) Здесь показаны только силы, действующие на систему. Также показана схема свободного движения светофора. (d) Силы, проецируемые на вертикальную ( y ) и горизонтальную ( x ) оси. Горизонтальные составляющие натяжения должны уравновешиваться, а сумма вертикальных составляющих натяжений должна равняться весу светофора.{-2} [/ латекс]). Какую силу на единицу площади вода может оказывать на емкость при замерзании? (В этой задаче допустимо использовать объемный модуль упругости воды.) (B) Удивительно ли, что такие силы могут разрушать блоки двигателя, валуны и тому подобное?

  13. Эта проблема возвращается к канатоходцу, изображенному на рисунке 10, который создал натяжение 3,94 × 10 3 Н в канате, образующем угол 5,0 ° ниже горизонтали с каждой опорной стойкой. Подсчитайте, насколько это натяжение растягивает стальную проволоку, если она изначально была длиной 15 м и равной 0.50 см в диаметре.

    Рис. 10. Вес канатоходца вызывает провисание каната на 5,0 градуса. Интересующая здесь система – это точка на проволоке, на которой стоит канатоходец.

  14. Полюс на Рисунке 11 находится под изгибом 90,0º в линии электропередачи и поэтому подвергается большей силе сдвига, чем полюса на прямых участках линии. Натяжение в каждой линии составляет 4,00 × 10 4 Н при показанных углах. Шест 15,0 м в высоту, 18,0 см в диаметре и, как считается, имеет вдвое меньшую жесткость, чем древесина твердых пород.(а) Рассчитайте сжатие полюса. (б) Найдите, насколько он изгибается и в каком направлении. (c) Найдите натяжение в растяжке, используемой для удержания вехи прямо, если она прикреплена к верхней части столба под углом 30,0 ° к вертикали. (Ясно, что растяжка должна быть в направлении, противоположном изгибу.)

Рис. 11. Этот телефонный столб находится под углом 90 ° к линии электропередачи. Оттяжка прикрепляется к вершине мачты под углом 30º к вертикали.

Глоссарий

Сила сопротивления: F D , оказывается пропорциональной квадрату скорости объекта; математически

[латекс] \ begin {array} \\ F _ {\ text {D}} \ propto {v} ^ 2 \\ F _ {\ text {D}} = \ frac {1} {2} C \ rho {Av } ^ 2 \ end {array} [/ latex],

, где C – коэффициент лобового сопротивления, A – площадь объекта, обращенного к жидкости, а ρ – плотность жидкости.

Закон Стокса: F s = 6 πrη v , где r – радиус объекта, η – вязкость жидкости, а v – величина объекта. скорость.

Решения проблем и упражнения

1. 1.90 × 10 −3 см

3. (а) 1 мм; (б) Это кажется разумным, поскольку кажется, что поводок немного сжимается, когда вы на него нажимаете.

5. (а) 9 см; (б) Это кажется разумным для нейлоновой альпинистской веревки, поскольку она не должна сильно растягиваться.

7. 8,59 мм

9. 1.49 × 10 −7 м

11. (а) 3.99 × 10 −7 м; (б) 9,67 × 10 −8 м

13. 4 × 10 6 Н / м 2 . Это примерно 36 атм, больше, чем может выдержать обычная банка.

15. 1,4 см


Напряжение, деформация и закон Гука – Урок

(1 Рейтинг)

Быстрый просмотр

Уровень оценки: 11 (10-12)

Требуемое время: 1 час 15 минут

Зависимость урока:

Тематические области: Физические науки, физика

Поделиться:

Резюме

Студенты знакомятся с законом Гука, а также с отношениями стресс-напряжение.Сначала они изучают основные уравнения, затем работают над несколькими примерами задач, сначала индивидуально, а затем в классе. В ходе занятия, состоящего из двух частей, учащиеся: 1) изучают закон Гука, экспериментально определяя неизвестную константу пружины, а затем 2) применяют полученные знания для создания графика деформации, изображающего опухоль, с помощью Microsoft Excel®. После занятий урок завершается тестом на стресс-напряжение, чтобы оценить понимание понятий каждым учащимся.

Инженерное соединение

Более 300 лет назад Роберт Гук определил пропорциональность, которая до сих пор остается фундаментальной концепцией для физиков и инженеров.Хотя его «закон» был установлен только для пружин, с тех пор он применялся ко всем материалам с известной площадью поверхности. Взаимосвязь, которую сегодня чаще всего используют, – это прямая пропорциональность между напряжением и напряжением. Вместе инженеры-строители, инженеры-механики и специалисты по материалам тщательно выбирают конструкционные материалы, которые способны безопасно выдерживать повседневные нагрузки, оставаясь при этом в упругой области кривой зависимости напряжения от деформации, в противном случае возникает необратимая деформация. Архитекторы, которые когда-то выбирали камень из-за его эстетической привлекательности, теперь выбирают сталь из-за ее долговечности.Для биомедицинских инженеров титан часто является материалом выбора из-за его биосовместимости и, что более важно, его способности выдерживать растягивающее и сжимающее напряжение веса тела. В предоставленном наборе задач учащиеся изучают приложения закона Гука и взаимосвязи между напряжением и деформацией. В частности, в задаче 7 студенты применяют эти отношения к тканям тела, как это сделали бы биомедицинские инженеры.

Цели обучения

После этого урока учащиеся должны уметь:

  • Объясните концепции напряжения и деформации и взаимосвязь между ними.
  • Объясните закон Гука и примените его для анализа пружин.
  • Используйте Microsoft Excel®, чтобы построить простой график деформации.
  • Соотнесите напряжение и деформацию с инженерной задачей устройства.

Образовательные стандарты

Каждый урок или задание TeachEngineering соотносится с одним или несколькими научными дисциплинами K-12, образовательные стандарты в области технологий, инженерии или математики (STEM).

Все 100000+ стандартов K-12 STEM, охватываемых TeachEngineering , собираются, обслуживаются и упаковываются сетью стандартов Achievement Standards Network (ASN) , проект D2L (www.achievementstandards.org).

В ASN стандарты иерархически структурированы: сначала по источникам; например , по штатам; внутри источника по типу; например , естественные науки или математика; внутри типа по подтипу, затем по классу, и т. д. .

Общие основные государственные стандарты – математика
  • Докажите, что для данной системы двух уравнений с двумя переменными замена одного уравнения суммой этого уравнения и кратным другим дает систему с такими же решениями.(Оценки 9 – 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Используйте единицы как способ понять проблемы и направить решение многоэтапных проблем; последовательно выбирать и интерпретировать единицы в формулах; выбрать и интерпретировать масштаб и начало координат на графиках и дисплеях данных.(Оценки 9 – 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Обобщение, представление и интерпретация данных по одному счету или измеряемой переменной (Оценки 9 – 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Обобщение, представление и интерпретация данных по двум категориальным и количественным переменным. (Оценки 9 – 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

Международная ассоциация преподавателей технологий и инженерии – Технологии
  • Телемедицина отражает конвергенцию технологических достижений в ряде областей, включая медицину, телекоммуникации, виртуальное присутствие, компьютерную инженерию, информатику, искусственный интеллект, робототехнику, материаловедение и психологию восприятия.(Оценки 9 – 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Определите критерии и ограничения и определите, как они повлияют на процесс проектирования.(Оценки 9 – 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Используйте компьютеры и калькуляторы для доступа, извлечения, организации, обработки, обслуживания, интерпретации и оценки данных и информации в целях общения.(Оценки 9 – 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

ГОСТ
Мэриленд – наука
Теннесси – математика
  • Используйте единицы как способ понять проблемы и направить решение многоэтапных проблем; последовательно выбирать и интерпретировать единицы в формулах; выбрать и интерпретировать масштаб и начало координат на графиках и дисплеях данных.(Оценки 9 – 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Обобщение, представление и интерпретация данных по одному счету или измеряемой переменной (Оценки 9 – 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Обобщение, представление и интерпретация данных по двум категориальным и количественным переменным. (Оценки 9 – 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Докажите, что для данной системы двух уравнений с двумя переменными замена одного уравнения суммой этого уравнения и кратным другим дает систему с такими же решениями.(Оценки 9 – 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

Теннесси – Наука Предложите выравнивание, не указанное выше

Какое альтернативное выравнивание вы предлагаете для этого контента?

Рабочие листы и приложения

Посетите [www.teachengineering.org/lessons/view/van_cancer_lesson2], чтобы распечатать или загрузить.

Больше подобной программы

Урок средней школы Эластичность и модуль Юнга для анализа тканей

В рамках процесса инженерного проектирования для создания тестируемых моделей сердечных клапанов учащиеся узнают о силах, действующих в человеческом теле, чтобы открывать и закрывать аортальные клапаны.Они узнают о силах кровотока, эластичности, напряжении, деформации, структуре клапана и свойствах тканей, а также о модуле Юнга, включая …

Урок средней школы Механика упругого твердого тела

Учащиеся вычисляют напряжение, деформацию и модуль упругости, а также узнают о типичной инженерной диаграмме напряжения-деформации (графике) упругого материала.

Деятельность средней школы Применение закона Гука для обнаружения рака

Студенты изучают закон Гука, работая в небольших группах на своих лабораторных скамьях. Они собирают данные о смещении пружин с неизвестной константой пружины k путем добавления различных масс известного веса.

Урок средней школы Напряженная и деформированная

Студенты знакомятся с концепциями стресса и напряжения с примерами, которые иллюстрируют характеристики и важность этих сил в нашей повседневной жизни.Они исследуют факторы, влияющие на стресс, почему инженерам нужно знать о нем и как инженеры описывают силу материи …

Предварительные знания

Базовые знания алгебры и способность решать простые алгебраические выражения.Кроме того, понимание проблемы обнаружения рака, представленной на предыдущем уроке.

Введение / Мотивация

В сегодняшнем уроке мы начнем изучать закон Гука, а затем узнаем, как применить эту пропорциональность к тканям тела. Мы точно узнаем, что описывают термины «напряжение» и «деформация», а также взаимосвязь между ними. Изучив материал урока, я раздам ​​раздаточный материал с примерами задач.Сначала проработайте их в меру своих возможностей независимо; затем мы рассмотрим проблемы всем классом.

После знакомства с новыми уравнениями мы исследуем закон Гука в соответствующей деятельности (Применение закона Гука к обнаружению рака) путем экспериментального определения неизвестной константы пропорциональности. После изучения закона Гука во второй части упражнения мы начнем применять полученные знания для разработки средств визуализации тканей тела, и вскоре мы сможем обнаруживать злокачественные опухоли!

Вы также попрактикуетесь в графическом отображении подготовленных данных для изображения раковой ткани.После того, как мы усвоим этот материал, у нас будет тест на стресс, деформацию и закон Гука. Пожалуйста, делайте подробные записи и обязательно задавайте любые вопросы о примерах проблем, над которыми мы будем работать.

Возвращаясь к унаследованному циклу, который мы обсуждали в предыдущем уроке, сегодняшний урок представляет собой фазу исследования и пересмотра. Вернитесь к своим первоначальным заметкам с мыслями и запишите любую новую информацию, которая применима к решению проблемы. Ваша цель сегодня – пересмотреть, пересмотреть и расширить свои текущие знания! Теперь давайте узнаем, как обнаружить рак.

Предпосылки и концепции урока для учителей

Устаревшая информация о цикле

Этот урок попадает в фазу «Исследование и пересмотр » традиционного цикла. Студенты начинают изучать основные концепции, необходимые для построения графика деформации для изображения раковой ткани. После этого урока попросите учащихся пересмотреть свои первоначальные мысли, а по завершении соответствующего задания учащиеся должны обладать навыками, необходимыми для Go Public с решением.Но до того, как станет общедоступным , предложите учащимся заполнить викторину по закону стресса, напряжения и Гука в рамках фазы «Проверь свой характер» традиционного цикла. Тест служит формирующим оцениванием, а этап Go Public следующего урока представляет собой итоговое оценивание.

Информация о лекции

В конце 1600-х годов Роберт Гук заявил, что «сила любого упругого тела находится в той же пропорции, что и расширение». Хотя закон Гука остался в силе и сегодня, его формулировка была исправлена, заменив власть силой.Этот закон объясняется прямой пропорциональностью между сжатием или расширением пружины и возникающей восстанавливающей силой. Соотношение задается формулой F = -k * Δx , где Δx – расстояние, на которое была растянута пружина, F – восстанавливающая сила, прикладываемая пружиной, а k – жесткость пружины, которая характеризует упругие свойства материал пружины. Этот закон действует в пределах упругости линейной пружины, когда она действует по поверхности без трения.

Продолжая исследование пружин, Гук становится очевидным, что большинство материалов действуют как пружины с силой, прямо пропорциональной смещению. Но по сравнению с пружинами другие материалы обладают площадью, которую необходимо учитывать. Заменяя силу мерой напряжения и смещения мерой деформации, можно получить следующее выражение: σ = E * ε . Теперь мы исследуем меры стресса и деформации.

Напряжение – это мера средней силы на единицу площади, определяемая как σ = F / A , где среднее напряжение, σ , равно силе, F , действующей по площади, A .Единица измерения напряжения в системе СИ – паскали (Па), что равно 1 Ньютону на квадратный метр. Пси – это альтернативная единица измерения в фунтах на квадратный дюйм. Единицы напряжения равны единицам давления, которые также являются мерой силы на единицу площади.

Напряжение нельзя измерить напрямую, и поэтому оно определяется из меры деформации и константы, известной как модуль упругости Юнга. Отношение задается формулой σ = E * ε , где σ представляет напряжение, ε представляет деформацию и E представляет модуль упругости Юнга.Используя этот способ определения напряжения, деформация является геометрической мерой деформации, а модуль Юнга – мерой, используемой для характеристики жесткости упругого материала. Деформация не имеет единицы измерения, но единицы модуля Юнга – Па.

Деформация характеризуется отношением полной деформации или изменения длины к исходной длине. Это соотношение определяется выражением ε = Δ л / л 0 , где деформация, ε , представляет собой изменение в л , деленное на начальную длину, л 0 .

Следующие ниже задачи могут быть решены независимо и рассмотрены в классе, побуждая учащихся ближе познакомиться с приведенными выше уравнениями. Раздайте каждому ученику по экземпляру набора задач по закону стресса, напряжения и Гука.

Вы должны ПОКАЗАТЬ ВСЕ РАБОТЫ. Полезные константы, представленные в таблице ниже. (Предположим, что заданные константы имеют три значащих цифры (SF). Также обратите внимание, что отношения, которые мы только что обсудили, приведены ниже.

Материал

  • Модуль Янга: 200×10 9 E (Па)
  1. чугун
  • Модуль Юнга: 100×10 9 E (Па)
  1. бетон
  • Модуль Юнга: 20.0×10 9 E (Па)

F = m * a σ = F / A ε = Δl / l 0 σ = E * ε F = -k * Δx

  1. Шар 3340 Н поддерживается вертикально стальным тросом диаметром 1,90 см. Предполагая, что длина кабеля составляет 10,3 м, определите напряжение и деформацию в кабеле.
  2. Рассмотрим железный стержень с площадью поперечного сечения 3,81 см2, к которому приложено усилие 66 700 Н. Найдите напряжение в стержне.
  3. Бетонный столб с 50.Диаметр 8 см выдерживает сжимающую нагрузку 8910 Ньютонов. Определите нагрузку на столб.
  4. Бетонный столб в предыдущей задаче имеет начальную высоту 0,55 м. Насколько короче стойка после приложения нагрузки (в мм)?
  5. Строительный кран с кабелем диаметром 1,90 см имеет максимальное рабочее напряжение 138 МПа. Найдите максимальную нагрузку, которую может выдержать кран.
  6. Рассмотрим закон Гука как простую пропорциональность, где F прямо пропорционально Δx.Следовательно, мы знаем, что сила, растягивающая пружину, прямо пропорциональна расстоянию, на которое она растягивается. Если 223 Н растягивает пружину на 12,7 см, какое растяжение мы можем ожидать от 534 Н?
  7. На фиг.1 показан столбец жировой ткани, определяющий деформацию в каждой из трех областей. Рисунок 1. Столбик жировой ткани.

Сопутствующие мероприятия

  • Применение закона Гука к обнаружению рака – группы студентов изучают закон Гука, собирая данные о смещении пружин с неизвестной константой пружины, добавляя различные массы известного веса.Ответив на ряд вопросов по применению, они применяют свое новое понимание для исследования ткани с известной площадью поверхности. Затем примените соответствующие соотношения, чтобы изобразить раковую опухоль среди нормальной ткани, создав график Microsoft Excel®.

Словарь / Определения

Радиолог: медицинский специалист, изучающий фотографии тканей, органов, костей для использования при лечении заболеваний.

деформация: Деформация тела или конструкции в результате приложенной силы. Вытягивайтесь за правильную точку или предел.

стресс: физическое давление, притяжение или другая сила, оказываемая на систему другим человеком. Нагрузка, сила или система сил, вызывающих деформацию. Отношение силы к площади.

Оценка

Оценка после ознакомления:

Набор задач : Попросите учащихся выполнить в классе набор задач по закону стресса, напряжения и Гука, чтобы оценить их понимание.Последний вопрос из набора задач и прикладные вопросы из связанного упражнения служат для оценки понимания учащимися задачи. Используйте эти вопросы как средство проверки того, применяют ли учащиеся полученные знания для решения инженерной задачи.

Оценка после урока:

Викторина : Проведите тест «Стресс, напряжение и закон Гука» в качестве формирующей оценки после урока, служащей частью фазы «Проверь свой характер» традиционного цикла.

использованная литература

Dictionary.com. ООО «Издательская группа« Лексико ». По состоянию на 28 декабря 2008 г. (Источник словарных определений с некоторой адаптацией) http://www.dictionary.com

авторское право

© 2013 Регенты Университета Колорадо; оригинал © 2007 Университет Вандербильта

Авторы

Люк Даймонд; Меган Мерфи

Программа поддержки

VU Bioengineering RET Program, Школа инженерии, Университет Вандербильта

Благодарности

Содержание этой учебной программы по цифровой библиотеке было разработано в рамках грантов №№ RET Национального научного фонда.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.