Зависимость периода колебаний от амплитуды: Период колебаний математического маятника, теория и онлайн калькуляторы

alexxlab | 01.03.1982 | 0 | Разное

Практическое занятие №29 расчёт параметров колебаний маятников

Просмотр содержимого документа
«Практическое занятие №29 расчёт параметров колебаний маятников»

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №29 РАСЧЁТ ПАРАМЕТРОВ КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКОВ

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ КОЛЬЦОВА Е.В.

ФРОНТАЛЬНЫЙ ОПРОС

• ЧТО ТАКОЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ?
• ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕРЫ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ?
• ФОРМУЛА РАСЧЁТА ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА?
• ФОРМУЛА РАСЧЁТА ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ?

ФРОНТАЛЬНЫЙ ОПРОС

5. ПО ГРАФИКУ, ПРИВЕДЁННОМУ НА РИСУНКЕ НАЙДИТЕ АМПЛИТУДУ, ПЕРИОД И ЧАСТОТУ КОЛЕБАНИЙ?

6. ОПРЕДЕЛИТЕ ПЕРИОД И ЧАСТОТУ КОЛЕБАНИЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ, СОВЕРШАЮЩИХ 50 ПОЛНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЗА 20 С?

7. НАЙДИТЕ ПЕРИОД И ЧАСТОТУ КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА ПО УРАВНЕНИЮ X= 0,8 cos 4π t

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ПЕРИОДА И ЧАСТОТЫ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ОТ ЕГО ДЛИНЫ

РИС. ОБОРУДОВАНИЕ

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ПЕРИОДА И ЧАСТОТЫ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ОТ ЕГО ДЛИНЫ

Величина/№

Длина (см)

1

5

2

Число колебаний

3

Время (с)

30

20

45

 

30

Период (с)

30

 

 

Частота (Гц)

 

 

 

 

 

 

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ПЕРИОДА И ЧАСТОТЫ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ОТ ЕГО ДЛИНЫ

РИС. ЭКСПЕРИМЕНТ С ДЛИНОЙ НИТИ 5 СМ

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ПЕРИОДА И ЧАСТОТЫ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ОТ ЕГО ДЛИНЫ

Вывод: с увеличением длины маятника увеличивается период колебаний и уменьшается частота.

ПРИВЕСТИ В СООТВЕТСТВИЕ

I. Период измеряется в …

1. время одного колебания

II. Частота измеряется в …

2. наибольшее смещение от положения равновесия

III. Амплитуда измеряется в …

3. колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается

IV. Период-…

4. в секундах

V. Частота-…

VI. Амплитуда-…

5. число колебаний в единицу времени

6. в герцах

VII.Свободные колебания-…

7. колебания, происходящие благодаря только первоначальному запасу энергии

VIII.Вынужденные колебания-…

8. колебания, совершаемые телом под действием внешней периодической силы

IX.Затухающие колебания-…

X. Резонанс-…

9. в метрах

10. явление увеличения амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты системы и частоты вынуждающей силы

ПРИВЕСТИ В СООТВЕТСТВИЕ

Ответы:

Критерии оценки:

5-6в. – «3»

7-8в. – «4»

9-10в. – «5»

РЕФЛЕКСИЯ

Выберите из каждой предложенной пары состояний – состояние, которое наиболее полно соответствует вашему состоянию после проведенного урока:

• Чувствую вдохновение –   чувствую подавленность
•   Интересно – не интересно
•   Появилась уверенность в своих силах – не уверен
•   Не устал – устал
•   Старался – не старался, безразлично
•   Доволен собой – недоволен
•   Научился решать задачи – не научился решать задачи
• Утвердился в своих знаниях – ничего не знаю по данной теме
• Не раздражен уроком – раздражен работой на уроке и самим уроком

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Решить задачи по теме: «Механические колебания» [Сборник внеаудиторных работ]

m101

М.Ю. Константинов

Математический маятник

Методические указания к лабораторной работе М-101

Цель работы: Исследование колебаний математического маятника. Исследова-

ние зависимости периода колебаний от длины маятника и ам-

плитуды колебаний. Определение ускорение свободного паде-

ния.

Введение

Колебательным движением механической системы называется периоди-

ческое движение системы в окрестности положения равновесия. Время T , за которое совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний.

Величина ν , обратная периоду, называется частотой колебаний ν = 1/ T .

В настоящей лабораторной работе изучаются колебания математического

маятника.

Теоретическая часть

Математическим маятником называется материальная точка массы m , подвешенная на тонкой невесомой нерастяжимой нити длины l . На практике математический маятник реализуется с помощью шарика, диаметр которого d

пренебрежимо мал по сравнению с длиной нити, т.е. d l (см. рисунок).

При отсутствии диссипативных сил сохраняет-

ся полная механическая энергия маятника, то есть,

справедливо уравнение:

1

	1	I	dα 2			+ mgl (1 − cos α) = E		= const ,	(1)
	2						0
				dt
где I – момент инерции шарика относительно точки подвеса A , α = α(t )									– угол

отклонения маятника, m – масса шарика, g – ускорение свободного падения, l –

расстояние от точки подвеса маятника A до центра тяжести шарика, E0 – пол-

ная энергия маятника, равная

E0 = mgl(1 − cos α0 ) ,

где α0 – амплитуда колебаний (угол максимального отклонения) маятника.

Так как по предположению диаметр шарика d пренебрежимо мал по

сравнению с расстоянием l от точки подвеса маятника						A до центра тяжести
шарика, то есть d l , то I = ml 2					и уравнение (1) примет вид
1		dα		2	+ g (cos α0 − cos α) = 0 .	(2)
		l
2
		dt

Дифференцируя уравнение (2) по времени, получим дифференциальное

уравнение колебаний математического маятника
	d 2α	+	g	sin α = 0 ,	(3)
	dt 2 l
первым интегралом которого является уравнение (2).

Заметим, что к аналогичному виду может быть приведено и дифференци-

альное уравнение колебаний физического маятника, если вместо длины маят-

ника l использовать его приведённую длину l =					I	, где a – расстояние от
				пр	ma
точки подвеса до центра тяжести маятника
В общем случае (при достаточно больших углах отклонения) решение
уравнения (3) не может быть выражено через элементарные функции.
Если ограничиться рассмотрением малых колебаний, когда применима
приближённая формула sin α ≈ α, то уравнение (3) перепишется в виде
	d 2α	+	g	α = 0 .	(4)
	dt 2 l

Решение уравнения (4) будем искать в стандартном виде
α = Cekt ,	(5)

где C и k – некоторые постоянные. Подставляя (5) в (4) получим характеристическое уравнение

k 2 + g = 0 , l

откуда

k = ±i	g	= ±iω,
	l

где ω = g / l .

Таким образом, общее решение уравнения (4) запишется следующим об-

разом

α = C1eiωt + C2e−iωt .

Пользуясь известной формулой Эйлера eiz = cos z + i sin z ,

полученное решение после несложных преобразований можно переписать в тригонометрической форме

α = α0 cos(ωt + δ) ,

(6)

где α0 – амплитуда колебаний (угол максимального отклонения от положения

равновесия), величина ωt + δ называется фазой колебаний, δ называется на-

чальной фазой, а ω называется циклической частотой колебаний.

Уравнение (6) называется уравнением гармонических колебаний, а коле-

бания, совершающиеся по закону синуса или косинуса, называются гармониче-

скими колебаниями. Тело, совершающее гармонические колебания, называется

гармоническим осциллятором.

Таким образом, мы показали, что малые колебания математического ма-

ятника являются гармоническими колебаниями с периодом

T = 2π = 2π l (7)

ω g

и частотой

ν =	1	=	ω	=	1			g		.
					2π
	T 2π							l

Из равенства (7) следует, что малые колебания математического маятника не зависят от амплитуды. Такие колебания называются изохорными.

Равенства (6), (7) получены колебаний маятника с малой амплитудой, ко-

гда можно пользоваться приближенной формулой sin α ≈ α. При больших ам-

плитудах эта формула эта формула не применима и период колебаний будет за-

висеть от угла отклонения.

Чтобы найти зависимость периода колебаний от амплитуды, извлечём квадратный корень из уравнения (2)

dα

=

2g

(cos α – cos α0 ) ,

dt

l

и выполним разделение переменных

dt =

dα

.

2g

(cos α – cos α0 )

l

Таким образом, период колебаний маятника определяется интегралом:

α0

α0

T = 4

l

dα

= 2

l

dα

.

(8)

∫0

g ∫0

2g

cos α − cos α0

sin2

α0

− sin2

α

2

2

Полученный интеграл относится к классу интегралов эллиптического ти-

па и не может быть выражен через элементарные функции. Тем не менее, этот

интеграл может быть вычислен в виде сходящегося тригонометрического ряда:

1

2

1×3

2

l

2

α

4

α

T = 2π

0

0

1

+

sin

+

sin

+ …

2

2

g

2

2 × 4

1×3 ×…× (2n -1)

2

∞

2n α

l

2

2n

α

0

0

+

sin

+ …

= 2π

∑cn

sin

,

(9)

2 × 4 ×… × 2n

2

2

g n=0

где

c =1,

c =

1×3 ×…× (2n -1)

(n > 0) .

0

n

2 × 4 ×…× 2n

Подробное вычисление интеграла (8) приведено в приложении.

Ограничиваясь членами второго порядка малости, получим приближен-

ное выражение зависимости периода колебаний от амплитуды

								2
T = 2π		l				1			2	α	0
				1	+			sin				.	(10)
		g				2				2

Если можно пренебречь и членами второго порядка малости, то снова по-

лучим хорошо известную формулу (7) для периода малых колебаний математи-

ческого маятника

Равенства (9)-(10) позволяют оценить систематическую погрешность, воз-

никающую при использовании формулы (7) для вычисления периода колебаний с большими амплитудами.

Экспериментальная часть

Схема установки

Маятник представляет собой никелевый шарик диаметром 32 мм, подвешенный на тонкой прочной (нерастяжимой) нити,

закреплённой на штативе. В месте за-

крепления нити установлена шкала для определения угла максимального от-

клонения нити (амплитуды колебаний).

У основания штатива закреплен свето-

вой барьер со счетчиком в виде перевёрнутой буквы П, который может работать в трёх режимах: подсчёт числа прохождений маятника через световой барьер, измерение полупериода колебаний и измерение периода колебаний. На передней панели счетчика

имеется дисплей, отражающий результат измерения, переключатель переклю-

чения режимов и кнопка «сброс», нажатие которой сбрасывает результат пре-

дыдущего измерения и приводит счетчик в состояние готовности к новому из-

мерению.

Полная длина маятника l (расстояние от точки подвеса до центра тяже-

сти) складывается из длины нити lнити и радиуса шарика r , т.е.
l = lнити + r .	(11)

ВНИМАНИЕ: 1. При проведении всех измерений периода колебаний пере-

ключатель режимов работы счётчика должен находиться в крайнем пра-

вом положении (измерение периода колебаний)!

2. При установке длины маятника можно либо с помощью формулы (11) опре-

делять необходимую длину нити, либо непосредственно измерять расстояние от точки подвеса до центра шарика. Однако при выполнении лабораторной ра-

боты должен использоваться только один из указанных способов.

Порядок выполнения работы

Задание 1. Измерение периода колебаний маятника при разных значениях его

длины.

1.1.Установить длину маятника равной 100 см.

1.2.Отрегулировать положение точки подвеса так, чтобы в положении равновесия шарик пересекал световой барьер.

1.3.Отклонив маятник на угол не более (3 ÷ 5)° в направлении, перпен-

дикулярном световому барьеру, нажать кнопку сброс (белая кнопка в левом

нижнем углу счетчика) и отпустить шарик.

1.4.Результат измерения периода колебаний занести в таблицу 1.

1.5.Повторить действия пп. 1.3. – 1.4. 5 раз.

Таблица 1. Зависимость периода малых колебаний математического маятника от его длины.

№			Длина маятника (см)
		30	50	70	100
1	T1
2	T2
3	T3
4	T4
5	T5
6	T
7	T
8	g

Задание 2. Измерение периода колебаний маятника при разных значениях ам-

плитуды колебаний.

Установить длину маятника равной 30 см и измерить значения периода при 4 углах отклонения в интервале 10° ≤ α0 ≤ 70° . Результаты измерения зане-

сти в таблицу 2.

Таблица 2. Зависимость периода колебаний математического маятника от ам-

плитуды колебаний

	Амплитуда	Период колебаний
№	(угол отклонения α0 )	(сек)
1
2
3
4
5

7

Обработка результатов измерений.

1. Для каждого значения длины маятника вычислить и занести в таблицу 1

среднее значение периода малых колебаний

		1	n
	T =		∑Ti ,	(11)
		n i=1

где n – число измерений ( n = 5 ), и погрешности измерения периода, вычислив их по формуле

	n	)2
T = t p, f	∑(Ti − T
	i=1		,	(12)
	n(n −1)

где коэффициенты t p, f зависят как от доверительной вероятности P , так и от

числа измерений n . Значения коэффициентов t p, f				приведены в таблице 3.
Таблица 3.
		Значения коэффициентов t p, f
f = n −1
	P = 0.9	P = 0.95		P = 0.99	P = 0.999
1	6.31	12.71		63.66	636.6
2	2.92	4.30		9.93	31.6
3	2.35	3.18		5.84	12.9
4	2.13	2.78		4.50	8.6
5	2.02	2.57		4.08	6.9
6	1.94	2.45		3.71	5.96
7	1.90	2.37		3.50	5.4
8	1.86	2.31		3.36	5.04
9	1.83	2.26		3.25	4.78
10	81	2.23		3.17	4.6

При вычислении погрешности по формуле (12) значение доверительной веро-

ятности P принять равным P = 0.95 .

3. Используя данные строки 6 таблицы 1 для каждого значения длины маятника l получить и занести в таблицу 1 (строка 8) оценку значения ускорения сво-

бодного падения g с помощью равенства

	2π	2
g =		l .	(13)
	T

4. С помощью равенств, аналогичных равенствам (11) и (12) вычислить среднее значение g и погрешность g , принимая P = 0.95 . Результат записать в виде

gэксп. = g ± g .

Сравнить полученный результат с табличным значением.

5. Пользуясь формулой (7) и табличным значением ускорения свободного па-

дения g , построить на миллиметровой бумаге по точкам график теоретической зависимости периода колебаний маятника от его длины.

3.На том же графике нанести найденные средние значения периодов колебаний и погрешности измерения.

4.На отдельном графике построить, пользуясь данными таблицы 2 зависимости периодов колебаний маятника от амплитуды колебаний. По оси абсцисс откла-

дывать значения sin2 α . 2

Контрольные вопросы.

1. Какое движение механической системы называется колебательным? Что на-

зывается периодом и частотой колебаний?

2.Какая система называется математическим маятником?

3.Какие колебания называются гармоническими? Что такое амплитуда колеба-

ний.

4. Какие колебания называются изохорными? Являются ли колебания матема-

тического маятника изохорными? При каком условии колебания математиче-

ского маятника можно считать изохорными?

5. Пользуясь формулами (9) и (10) оценить погрешность оценки периода коле-

баний математического маятника с помощью формулы (7) при углах отклоне-

ния α = 45°, 60° и 70° .

6. Полагая погрешности измерения периода колебаний, длины маятника и угла

максимального отклонения равными соответственно T , l и α , записать

формулы для косвенной погрешности измерения ускорения свободного паде-

ния g с использованием равенств (7) и (10).

7. Учитывая, что радиус шарика r = 16 мм , его масса m = 152.7 г , а расстояние от точки подвеса до центра тяжести l = 30 см, оценить относительную погреш-

ность, которую дает формула периода малых колебаний математического маят-

ника (7) по сравнению с формулой периода малых колебаний физического ма-

ятника

При какой длине маятника эта погрешность будет превышать 5%.

Приложение

Чтобы найти зависимость периода колебаний от амплитуды, запишем за-

кон сохранения энергии для колебаний математического маятника с конечной амплитудой

1

dα 2

+ g (cos α0 − cos α) = 0 ,

(П 1)

l

2

dt

извлечём из него квадратный корень

dα

=

2g

(cos α − cos α0 )

dt

l

и выполним разделение переменных

dt =

dα

.

(П 2)

2g

(cos α − cos α0 )

l

Таким образом, период колебаний маятника определяется интегралом:

Урок 40. Лабораторная работа № 10. Изучение зависимости периода колебаний нитяного маятника от длины нити (отчет)

Лабораторная работа.

Тема: Изучение зависимости периода колебаний нитяного маятника от длины нити. 

Оборудование: штатив с перекладиной и муфтой, нить с петлями на концах, груз с крючком, линейка, электронный секундомер

Цель работы: состоит в экспериментальной проверке формулы, связывающей пе­риод колебаний маятника с длиной его подвеса.

Основные сведения

Рассмотрим колебания нитяного маятника, т.е. небольшого тела (например, шарика), подвешенного на нити, длина которой значительно превышает размеры самого тела. Если шарик отклонить от положения равновесия и отпустить, то он начнет колебаться. Сначала маятник движется с нарастающей скоростью вниз. В положении равновесия скорость шарика не равна нулю, и он по инерции движется вверх. По достижении наивысшего положения шарик снова начинает двигаться вниз. Это будут свободные колебания маятника.

Свободные колебания – это колебания, которые возникают  в системе под действием внутренних сил, после того, как система была выведена из положения устойчивого равновесия.

   Колебательное движение характеризуют амплитудой, периодом и частотой колебаний.

   Амплитуда колебаний – это наибольшее смещение колеблющегося тела от положения равновесия. Обозначается А. Единица измерения – метр [1м].

   Период колебаний – это время, за которое тело совершает одно полное колебание. Обозначается Т. Единица измерения – секунда [1с].

   Частота колебаний – это число колебаний, совершаемых за единицу времени. Обозначается ν. Единица измерения – герц [1Гц].

   Тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити называют математическим маятником.

   Период колебаний математического маятника определяется формулой:  (1), где l – длина подвеса, а g – ускорение свободного падения.

   Период колебаний математического маятника зависит:

   1) от длины нити. Период колебаний математического маятника пропорционален корню квадратному из длины нити . Т.е., например при уменьшении длины нити в 4 раза, период уменьшается в 2 раза; при уменьшении длины нити в 9 раз, период уменьшается в 3 раза.

   2) от ускорения свободного падения той местности, где происходят колебания. Период колебаний математического маятника обратнопропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения .

   Тело, подвешенное на пружине называют пружинным маятником.

   Период колебаний пружинного маятника определяется формулой  , где m – масса тела, k – жесткость пружины.

 

  Период колебаний пружинного маятника зависит:

   1) от массы тела. Период колебаний пружинного маятника пропорционален корню квадратному из массы тела .

   2) от жесткости пружины. Период колебаний пружинного маятника обратнопропорционален корню квадратному из жесткости пружины.

   В работе мы исследуем колебания математического маятника. Из формулы  следует, что период колебаний изменится вдвое при изменении длины подвеса в четыре раза.

   Это следствие и проверяют в работе. Поочередно испытывают два маятника, длины подвесов которых отличаются в четыре раза. Каждый из маятников приводят в движение и измеряют время, за которое он совершит определённое количество колебаний. Чтобы уменьшить влияние побочных факторов, опыт с каждым маятником проводят несколько раз и находят среднее значение времени, затраченное маятником на совершение заданного числа колебаний. Затем вычисляют периоды маятников и находят их отношение.

Выполнение работы. 

  1. Подготовьте таблицу для записи результатов измерений и вычислений:

l, м	№ опыта	N	t, с	tср, с	Т, с	ν, Гц
l1 =	1	30
	2	30
	3	30
	4	30
l2 =	1	30
	2	30
	3	30
	4	30

 

   2. Закрепите перекладину в муфте у верхнего края стержня штатива. Штатив разместите на столе так, чтобы конец перекладины выступал за край поверхности стола. Подвесьте к перекладине с помощью нити один груз из набора. Расстояние от точки повеса до центра груза должно быть 25-30 см.

   3. Подготовьте электронный секундомер к работе в ручном режиме.

   4. Отклоните груз на 5-6 см от положения равновесия и замерьте время, за которое груз совершит 30 полных колебаний (при отклонении груза следите, чтобы угол отклонения не был велик).

   5. Повторите измерение 3-4 раза и определите среднее время t_ср1=(t₁+t₂+t₃+t₄)/4

   6. Вычислите период колебания груза с длиной подвеса 25-30 см по формуле .

   7. Увеличьте длину подвеса в четыре раза.

   8. Повторите серию опытов с маятником новой длины и вычислите его период колебаний по формуле . 

   9. Вычислите частоты колебаний для обеих маятников по формулам  и .

   10. Сравните периоды колебаний двух маятников, длины которых отличались в четыре раза, и сделайте вывод относительно справедливости формулы (1). Укажите возможные причины расхождения результатов.

   11. Ответьте на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

   1. Что называют периодом колебаний маятника?

   2. Что называют частотой колебаний маятника? Какова единица частоты колебаний?

   3. От каких величин и как зависит период колебаний математического маятника?

   4. От каких величин и как зависит период колебаний пружинного маятника?

   5. Какие колебания называют собственными?

Исследование зависимости периода колебаний пружинного маятника

Цель работы: Исследовать зависимость периода колебаний пружинного маятника от массы груза и жёсткости пружины.

Приборы и материалы: пружины различной жёсткости, тела разной массы, секундомер.

Ход работы

Закрепим на штативе при помощи муфты и лапки пружину известной жёсткости с грузом. Приведем систему в колебательное движение и измерим время и число колебаний. Проведём данные измерения, меняя массу груза, с одной пружиной. Укрепим пружину с другой жёсткостью и, не меняя массу, измерим время и число колебаний. Все измерения запишите в таблицу. Вычислите период колебаний по расчетной формуле (1) и по измерениям (2) . Постройте графики зависимости Т(k) и Т(m).

1. Период колебаний пружинного маятника:

 (1)

2. Таблица:

№ п/п	Масса тела m, кг	Коэффициент жёсткости пружины k, Н/м	Период колебаний (измеренный) Т, с (2)	Период колебаний (расчётный) Т, с (1)

3. Построить графики зависимости Т(k) и Т(m)

4. Найти период колебаний.

Дано: m= 20 г k= 50 Н/м	Решение:
Найти: Т – ?

Вывод: Как зависит период колебаний от коэффициента жёсткости пружины и от массы тела.

Задачи на колебания и волны с подробными решениями

Задачи на колебания и волны с решениями

Механические гармонические колебания

9.1.1 Уравнение гармонических колебаний имеет вид x=4*sin(2*pi*t) (м). Определить
9.1.2 Материальная точка совершает гармонические колебания. Период колебаний 0,5 с
9.1.3 За какое время от начала движения точка, колеблющаяся по закону x=7*sin(0,5*pi*t) (м)
9.1.4 Две точки совершают гармонические колебания. Максимальная скорость первой точки
9.1.5 За какой промежуток времени маятник, совершающий гармонические колебания
9.1.6 Тело совершает гармонические колебания. Период колебаний 0,15 с, максимальная
9.1.7 Определите смещение от положения равновесия материальной точки, совершающей
9.1.8 За равные промежутки времени первое тело совершило 100, а второе – 400 колебаний
9.1.9 Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом 0,8 с
9.1.10 При гармонических колебаниях вдоль оси ox координата тела изменяется по закону
9.1.11 Уравнение движения колеблющейся точки имеет вид x=0,05*cos(2*pi*t/3) (м)
9.1.12 Уравнение движения точки x=0,05*cos(3*pi*t) (м). Чему равна амплитуда
9.1.13 Найти максимальное значение скорости точки, уравнение движения которой
9.1.14 Во сколько раз изменится амплитуда колебаний ускорения гармонически колеблющейся
9.1.15 Материальная точка совершает гармонические колебания по закону
9.1.16 Найти период гармонического колебания, фаза которого увеличивается
9.1.17 При фазе pi/3 смещение частицы, колеблющейся по закону косинуса, было равно 1 см
9.1.18 Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом 0,5 с. Амплитуда
9.1.19 Уравнение колебаний материальной точки имеет вид x=0,02*sin(pi*t/2+pi/4)
9.1.20 Маятник массой 5 кг и длиной 0,8 м совершает колебательное движение с амплитудой
9.1.21 Тело совершает гармонические синусоидальные колебания с нулевой начальной фазой
9.1.22 Материальная точка совершает синусоидальные колебания с амплитудой 8 см
9.1.23 Найти период гармонического колебания, изображенного на рисунке
9.1.24 T=0,2 с – период гармонического колебания с амплитудой 10 см. Найти смещение тела
9.1.25 Материальная точка совершает гармонические колебания. Если при неизменной
9.1.26 Материальная точка совершает гармонические колебания. Если при неизменной амплитуде

Математический маятник

9.2.1 Во сколько раз изменится частота колебаний математического маятника
9.2.2 Амплитуда колебаний математического маятника 10 см. Наибольшая скорость 0,5 м/с
9.2.3 Частота гармонических колебаний математического маятника возрастает в 2 раза
9.2.4 Период колебаний маятника на Земле равен 1 с. Каким он будет на Луне, если ускорение
9.2.5 Какова длина математического маятника, совершающего колебания по закону
9.2.6 Два математических маятника с периодами колебаний 6 и 5 с соответственно одновременно
9.2.7 Два маятника начинают одновременно совершать колебания. За время первых
9.2.8 При опытном определении ускорения свободного падения учащийся за 5 мин насчитал
9.2.9 Маятник установлен в кабине автомобиля, движущегося прямолинейно со скоростью
9.2.10 Один математический маятник имеет период 3 с, а другой – 4 с. Каков период
9.2.11 Математический маятник длиной 0,01 м имеет ту же частоту колебаний, что и шарик
9.2.12 Математический маятник длиной 2,45 м совершает 100 колебаний за 314 с. Определите
9.2.13 Какова длина математического маятника, совершающего колебания по закону
9.2.14 Маятник состоит из металлического шарика массой 1 г и нити. На шарик поместили
9.2.15 Определите длину математического маятника, который за 10 с совершает на 4 полных
9.2.16 Математический маятник длиной 1 м совершает гармонические колебания
9.2.17 Во сколько раз время прохождения колеблющейся точки первой половины амплитуды
9.2.18 К потолку подвешены два маятника. За одинаковое время первый маятник совершил
9.2.19 Первый шарик, подвешенный на нити длиной 1 м, отклонили от положения равновесия
9.2.20 Математический маятник совершает колебания. В положении наибольшего отклонения
9.2.21 Кубик совершает малые колебания в вертикальной плоскости, двигаясь без трения
9.2.22 Небольшой металлический шарик массой 10 г, подвешенный на нити длиной 0,1 м
9.2.23 Математический маятник с длиной нити L совершает свободные колебания вблизи стены
9.2.24 В неподвижном лифте период собственных колебаний математического маятника

Пружинный маятник

9.3.1 Шарик массой 5 г колеблется по закону x=0,04*sin(2*pi*(t/T+0,5))
9.3.2 Шарик на пружине сместили на 1 см от положения равновесия и отпустили
9.3.3 Определить амплитуду колебаний, если для фазы 45 градусов смещение частицы
9.3.4 Частота колебаний шарика, прикрепленного к вертикальной пружине, равна 2,8 Гц
9.3.5 Найти массу груза, который на пружине жесткостью 25 Н/см делает 20 колебаний
9.3.6 Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной пружине, на 600 г, то период
9.3.7 Груз, подвешенный к пружине, совершает 10 колебаний в минуту. Определите жесткость
9.3.8 Пружина под действием груза массой 10 кг совершает 50 колебаний в минуту
9.3.9 Уравнение колебаний пружинного маятника массой 200 г имеет вид
9.3.10 Груз, подвешенный к пружине, вызвал её удлинение на 4 см. Найти период собственных
9.3.11 Автомобильные рессоры имеют жесткость 20 кН/м. Каким будет период колебаний
9.3.12 Длина пружинного маятника увеличилась в 4 раза. Во сколько раз изменится период
9.3.13 Висящий на пружине груз массой 0,1 кг совершает вертикальные колебания
9.3.14 Тело совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости на пружине
9.3.15 Найти массу груза, который на пружине с жесткостью 250 Н/м совершает 100 полных
9.3.16 Невесомая пружина жесткостью 100 Н/м подвешена за один из концов так
9.3.17 На пружине подвешена чаша весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний
9.3.18 Грузы массы 200 г, подвешенный к пружине, колеблется с такой же частотой
9.3.19 Как изменится период вертикальных колебаний груза, подвешенного на двух

Энергия механических колебаний

9.4.1 Груз, подвешенный на пружине, жесткость которой 1 кН/м, совершает косинусоидальные
9.4.2 Во сколько раз изменится полная механическая энергия колеблющегося маятника
9.4.3 Найти потенциальную энергию математического маятника массой 200 г в положении
9.4.4 Груз массой 0,2 кг колеблется на пружине жесткостью 500 Н/м. Чему равна полная
9.4.5 Смещение груза, подвешенного на пружине, в зависимости от времени задается законом
9.4.6 Найти кинетическую энергию груза, совершающего косинусоидальные колебания
9.4.7 Груз массой 0,2 кг, подвешенный на пружине, совершает 30 колебаний за 1 минуту
9.4.8 Пружинный маятник вывели из положения равновесия и отпустили. Через какое время
9.4.9 Пружинный маятник совершает косинусоидальные колебания, после того как его вывели
9.4.10 Материальная точка совершает гармонические колебания. Как изменится кинетическая
9.4.11 Максимальная кинетическая энергия материальной точки массы 10 г, совершающей
9.4.12 Тело массы 5 кг совершает гармонические колебания с амплитудой 10 см
9.4.13 Тело массы 5 кг совершает гармонические колебания с частотой 2,5 Гц

Механический резонанс

9.5.1 При какой скорости поезда маятник длиной 10 см, подвешенный в вагоне, особенно
9.5.2 Ведра с водой на коромысле имеют частоту собственных колебаний 0,625 Гц. При какой
9.5.3 Автомобиль движется по неровной дороге, на которой расстояние между буграми
9.5.4 Трактор оставил на грунтовой дороге следы в виде углублений на расстоянии 0,3 м

Механические волны

9.6.1 Точки, находящиеся на одном луче и удаленные от источника колебаний на 12 и 14,7 м
9.6.2 Какую разность фаз будут иметь колебания двух точек, находящихся на расстоянии
9.6.3 Эхо от оружейного выстрела дошло до стрелка через 6 с после выстрела. На каком
9.6.4 Скорость распространения волн, качающих лодку, 1,5 м/с. Расстояние между
9.6.5 Во сколько раз изменится длина звуковой волны при переходе из воздуха в воду
9.6.6 Плоская волна, возбуждаемая источником, колеблющимся по закону x=0,2sin(62,8t) (м)
9.6.7 В струне, закрепленной с двух концов, возбуждены колебания. На рисунке показаны
9.6.8 Волна с частотой 5 Гц распространяется в пространстве со скоростью 3 м/с
9.6.9 Волны распространяются в упругой среде со скоростью 100 м/с. Наименьшее расстояние
9.6.10 На озере в безветренную погоду с лодки бросили тяжелый якорь. От места бросания
9.6.11 Рассчитать длину звуковой волны в воде, если частота колебаний 440 Гц
9.6.12 Определить расстояние между двумя ближайшими точками бегущей волны
9.6.13 Найти разность фаз колебаний между двумя точками звуковой волны, отстоящими
9.6.14 Длина волны 60 см. На каком расстоянии друг от друга находятся точки волны
9.6.15 Вдоль резинового шнура распространяется волны со скоростью 3 м/с при частоте 2 Гц
9.6.16 Скорость звука в воздухе 330 м/с. Какова частота звуковых колебаний, если длина
9.6.17 Рыболов заметил, что за 10 с поплавок совершил на волнах 20 колебаний
9.6.18 На рисунке приведена “мгновенная фотография” участка струны, по которой
9.6.19 У звуковой волны частоты 2 кГц при переходе из стали в воздух длина волны
9.6.20 Звуковая волна с частотой колебаний 500 Гц распространяется в стальном стержне
9.6.21 Стальную деталь проверяют ультразвуковым дефектоскопом с частотой 1 МГц
9.6.22 Сигнал ультразвукового эхолота возвратился на корабль через 0,4 с после излучения
9.6.23 Какова длина волны ультразвукового сигнала, посланного корабельным гидролокатором
9.6.24 Толщина стального листа контролируется генератором, излучающим ультразвуковые

Колебательный контур

9.7.1 Собственные колебания тока в контуре протекают по закону I=0,01*cos(1000*pi*t) (А)
9.7.2 Изменение заряда конденсатора в колебательном контуре происходит по закону
9.7.3 Индуктивность колебательного контура 500 мкГн. Какую емкость следует выбрать
9.7.4 Необходимо изготовить колебательный контур, собственная частота которого 15 кГц
9.7.5 Мгновенное значение силы синусоидального тока через 1/3 периода равно 2,6 А
9.7.6 Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и плоского воздушного
9.7.7 В колебательном контуре к конденсатору подсоединили параллельно другой конденсатор
9.7.8 Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и двух одинаковых конденсаторов
9.7.9 Напряжение на конденсаторе в идеальном колебательном контуре изменяется
9.7.10 К конденсатору с зарядом 0,25 нКл подключена катушка индуктивности. Каков
9.7.11 Частота собственных колебаний в колебательном контуре увеличилась в 3 раза
9.7.12 Чему равен период собственных колебаний в колебательном контуре, индуктивность
9.7.13 Во сколько раз изменится период свободных электрических колебаний
9.7.14 Заряд на обкладках конденсатора колебательного контура изменяется по закону
9.7.15 Во сколько раз изменится амплитуда колебаний силы тока, протекающего
9.7.16 Во сколько раз изменится частота колебаний в колебательном контуре, при увеличении
9.7.17 Сила тока изменяется со временем по закону I=2*cos(10*t) (А). Чему равен
9.7.18 В колебательном контуре конденсатор емкостью 50 нФ заряжен до максимального
9.7.19 Батарею из двух одинаковых конденсаторов емкостью 10 нФ каждый, заряженную
9.7.20 Колебательный контур составлен из индуктивности 0,1 Гн и конденсатора емкостью 10 мкФ
9.7.21 Колебательный контур составлен из дросселя с индуктивностью 0,2 Гн и конденсатора
9.7.22 В колебательном контуре совершаются незатухающие электромагнитные колебания
9.7.23 Электрический колебательный контур содержит катушку индуктивности 10 мГн
9.7.24 Ток в идеальном колебательном контуре изменяется по закону I=0,01cos(1000t) (А)
9.7.25 Как изменится частота колебаний в идеальном колебательном контуре

Затухающие колебания

9.8.1 Сила тока в сети изменяется по закону I=4,2sin(omega*t) (А). Какое количество теплоты
9.8.2 В колебательном контуре происходят затухающие электромагнитные колебания
9.8.3 Конденсатор емкостью 10 мкФ зарядили до напряжения 400 В и подключили к катушке

Энергия электромагнитных колебаний

9.9.1 Определить силу тока в колебательном контуре в момент полной разрядки конденсатора
9.9.2 Полная энергия колебаний в контуре равна 5 Дж. Найти максимальную силу тока
9.9.3 Уравнение колебаний электрического заряда в колебательном контуре (L=2 Гн)
9.9.4 Через поперечное сечение катушки индуктивностью 12 мГн проходит заряд 60 мКл
9.9.5 В колебательном контуре сила тока изменяется по закону I=-0,02*sin(400*pi*t) (А)
9.9.6 В колебательном контуре индуктивность катушки равна 0,2 Гн. Амплитуда силы тока
9.9.7 Заряженный конденсатор замкнули на катушку индуктивности. Через какое время
9.9.8 В электрическом колебательном контуре индуктивность катушки 4 мГн, а максимальный

Переменный ток

9.10.1 Сила тока изменяется по формуле I=8,5*sin(314t+0,651) (А). Определить
9.10.2 Катушка индуктивностью 20 мГн включена в сеть промышленного переменного тока
9.10.3 Мгновенное значение ЭДС синусоидального тока 120 В для фазы 45 градусов
9.10.4 Напряжение на концах участка цепи, по которой течет переменный ток, изменяется
9.10.5 В цепь переменного тока включены последовательно конденсатор емкостью 1 мкФ
9.10.6 Вольтметр, включенный в цепь переменного тока, показывает 220 В. На какое
9.10.7 Максимальное напряжение в колебательном контуре, состоящем из катушки
9.10.8 При включении конденсатора на синусоидальное напряжение 220 В с частотой 50 Гц
9.10.9 Определить емкость конденсатора фильтра выпрямителя, если частота тока 50 Гц
9.10.10 Конденсатор емкостью 10 мкФ включен в цепь, в которой мгновенное значение
9.10.11 Емкостное сопротивление конденсатора на частоте 50 Гц равно 100 Ом. Каким оно
9.10.12 К зажимам генератора присоединен конденсатор с емкостью 0,1 мкФ. Найти
9.10.13 В сеть переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включен конденсатор
9.10.14 ЭДС в цепи переменного тока выражается формулой E=120*sin(628*t) (В). Определить
9.10.15 Длина воздушной линии передачи равна 300 км, частота тока 50 Гц. Найдите сдвиг
9.10.16 В цепь переменного тока включены последовательно сопротивление 100 Ом

Трансформаторы

9.11.1 Трансформатор включен в сеть с напряжением 120 В. Первичная обмотка его
9.11.2 Сила тока в первичной обмотке трансформатора 0,5 А, напряжение на её концах 220 В
9.11.3 ЭДС первичной и вторичной обмоток трансформатора соответственно равны 220 и 20 В
9.11.4 Понижающий трансформатор с коэффициентом трансформации 10 включен в сеть
9.11.5 Сила тока в первичной обмотке трансформатора 0,6 А, напряжение на её концах 120 В
9.11.6 Трансформатор повышает напряжение с 220 до 660 В и содержит в первичной
9.11.7 Обмотка трансформатора со стальным сердечником имеет индуктивность 0,6 Гн
9.11.8 Первичная обмотка трансформатора, включенного в сеть 380 В, имеет 2400 витков
9.11.9 На первичную обмотку понижающего трансформатора с коэффициентом трансформации
9.11.10 В сердечнике трансформатора, включенного в сеть переменного тока частотой 50 Гц
9.11.11 Трансформатор, содержащий в первичной обмотке 300 витков, включен в сеть

Резонанс в колебательном контуре

9.12.1 В катушке индуктивности сила тока линейно увеличивается со скоростью 10 А/с
9.12.2 В цепь включены конденсатор 2 мкФ и индуктивность 0,05 Гн. Какой частоты ток надо
9.12.3 Параметры контуров таковы: C1=120 пФ, L1=3,5 мГн, C2=150 пФ, L2=5 мГн. На сколько
9.12.4 Резонанс в колебательном контуре с конденсатором 1 мкФ наступает при частоте
9.12.5 При изменении емкости конденсатора на 100 пФ резонансная частота

Электромагнитные волны

9.13.1 Колебательный контур имеет емкость 2,6 пФ и индуктивность 0,012 мГн. Какой длины
9.13.2 Найти емкость конденсатора колебательного контура, если при индуктивности
9.13.3 При изменении тока в катушке индуктивности на 1 А за 0,6 с в ней индуцируется ЭДС
9.13.4 Определите максимальный ток в контуре, если длина электромагнитной волны
9.13.5 В каком диапазоне длин волн можно улавливать радиопередачи приемником
9.13.6 Радиопередатчик искусственного спутника Земли работает на частоте 20 МГц
9.13.7 Максимальная величина заряда на конденсаторе колебательного контура 1 мкКл
9.13.8 Колебательный контур создает в воздухе электромагнитные волны длиной 150 м
9.13.9 Если конденсатор с расстоянием между пластинами 1 см определенным образом
9.13.10 Как нужно изменить емкость конденсатора в колебательном контуре радиоприемника
9.13.11 Индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа ее витков. Как следует
9.13.12 Электрический колебательный контур радиоприемника содержит катушку индуктивности
9.13.13 Колебательный контур радиоприемника содержит конденсатор емкости 1 нФ

( 28 оценок, среднее 5 из 5 )

Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:

Влияние адгезии на период свободных микрокачаний маятника Текст научной статьи по специальности «Физика»

Доклады БГУИР

2008

№ 4 (34)

ТЕХНОЛОГИИ

УДК 531.45:539.622

ВЛИЯНИЕ АДГЕЗИИ НА ПЕРИОД СВОБОДНЫХ МИКРОКАЧАНИЙ МАЯТНИКА

ИЗ. ДЖИЛАВДАРИ, В.А. ПИЛИПЕНКО, Н.Н. РИЗНООКАЯ

Белорусский национальный технический университет пр. Независимости 65, Минск, 220013, Беларусь

Государственный центр “Белмикроанализ” Научно-производственного объединения “Интеграл”

Корженевского 12, Минск, 220064, Беларусь

Экспериментально и теоретически показано, что наблюдаемая в области малых амплитуд колебаний зависимость периода от амплитуды у маятника, который опирается двумя шариками на плоскую поверхность, может быть следствием влияния сил адгезионного взаимодействия тел на пятне упругого контакта. На этой основе получены оценки давления сил адгезии и плотности энергии адгезионного взаимодействия.

Ключевые слова: физический маятник, амплитуда, период колебаний, трение качения, контактная адгезия.

В настоящее время в связи с развитием микро- и нанотехники проводятся широкие исследования сил взаимодействия тел при их взаимном сближении и удалении, а также при их контакте на малых участках поверхности. С этой целью используются как специально разработанные адгезиометры, так и силовые зондовые микроскопы [1-5]. Применение этих приборов связано с рядом методических и технических проблем, существенно ограничивающих точность измерений [2, 3, 5].

Ранее авторами данной статьи было показано, что, анализируя характер затухания амплитуды свободных колебаний физического маятника, опирающегося двумя шариками на исследуемую плоскую поверхность, при малых амплитудах можно достаточно просто оценить работу адгезии на отрыв и общие потери энергии на гистерезис сил упругости и сил адгезии [6]. Эти общие потери нельзя было разделить и установить долю каждого из механизмов. Однако существует еще один канал информации о взаимодействии шариков и поверхности. Это — характерная зависимость периода колебаний от амплитуды [7].

При опоре шариков на недеформируемую плоскую поверхность и отсутствии адгезии период колебаний маятника определяется действием силы тяжести и моментом инерции маятника. В области малых амплитуд зависимость периода Т от амплитуды а дается хорошо известной формулой математического маятника [8]:

Типичная экспериментальная зависимость Да) в этом интервале амплитуд показана ниже на рис. 2 и рис. 4,а.

Поступила в редакцию 8 сентября 2008

Введение

График зависимости Т а /Т0—\ в интервале амплитуд (0-150) угл. с показан на рис. 1.

Рис. 1. Теоретическая зависимость периода колебаний маятника от амплитуды на недефор-мируемой плоской поверхности при отсутствии потерь энергии

Рис. 2. Зависимость периодов колебаний маятника на поверхности кремния от амплитуды. Отдельные точки — эксперимент, линия — теория, учитывающая адгезионное взаимодействие. Часть промежуточных измеренных точек опущена

Изменения периодов на рис. 2 и 4 имеют другой вид, и они на шесть порядков больше, чем изменение периода на рис. 1. Поэтому зависимость периода от амплитуды на рис. 2 и 4 можно считать аномальной. Этот эффект впервые был замечен в экспериментах по качанию маятника, опирающегося двумя стальными шариками на поверхность резины. Его объясняли тем, что при малых амплитудах колебаний шарики не перемещаются по поверхности резины, а поворачиваются вместе с пятном контакта, так что разрыв адгезионных связей шариков и резины отсутствует [9]. Подобный эффект независимо был обнаружен при исследованиях колебаний маятника на поверхностях твердых материалов [10].

Целью данной работы является попытка объяснить наблюдаемую зависимость периода маятника от амплитуды и получить из нее полезную информацию о взаимодействии шариков и поверхности. Эта задача существенно облегчается в режиме микрокачаний, когда амплитуда колебаний маятника столь мала, что перемещение шариков оказывается существенно меньше радиуса пятна упругого контакта.

Экспериментальные исследования и их результаты

Экспериментальная установка описана в [6]. Исследования проводились на поверхности пластины, вырезанной из монокристалла кремния, с параметром шероховатости i?a«0,l нм. Масса маятника »7=1,256 кг. Шарики были выполнены из прессованного корундового порошка и имели радиус R=5 мм и параметр шероховатости Ra~20 нм. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона шариков ¿”¡„«ЗД-Ю11 Н/м2, \>„,-().П и кремниевой пластины Л’„,~ 1.3-10″ Н/м2, v„,~0.27. Радиус пятна контакта шариков и пластины, рассчитанный по известным формулам [11], а~77,6 мкм, контактный угол a,=ci/R~5 1.7 угл. мин.

На опыте измерялись зависимости амплитуд и периодов колебаний маятника от времени. Начальная амплитуда колебаний а„~ 160 угл. с. Маятник отклоняли до упора и затем отпускали. Обработка результатов зависимости Да) проводилась в интервале, примерно, от 150 до 2,7 угл.с. В этом интервале амплитуд максимальное смещение шариков гЛ)ЖС«3,7 мкм, минимальное смещение л„„,~0.068 мкм. Таким образом, на опыте отношение гш,кс/я~0,048 и отношение г,„,„/а~8.8′ 10 4. Результаты измерения периодов представлены на рис. 2иЗ. Обратим внимание на практически линейную зависимость на рис. 3. Отметим, что она или близкая к ней наблюдается в большинстве опытов, проводимых с различными материалами (см. также рис. 4,6).

В теориях, рассматривающих колебания физического маятника, где учитываются лишь силы трения, изменение периода значительно меньше, чем наблюдаемое, и оно приводит к увеличению периода при уменьшении амплитуды [7, 8, 10]. Трение Амонтона-Кулона вообще не влияет на период. Действие силы тяжести также не приводит к реальной зависимости Да) (рис. 1). Поэтому наблюдаемую зависимость периода от амплитуды можно объяснить действием на маятник сил, отличных от силы тяжести и сил, приводящих к диссипации энергии. Такими силами могут быть лишь консервативные составляющие сил упругости и адгезии, действующие на шарики.

Для того чтобы сделать выбор между этими силами, были проведены измерения зависимости периода от амплитуды аналогичного маятника на поверхности полированного оптического стекла К8. Перед каждым опытом поверхность предварительно протирали одной из жидкостей, указанных ниже, после чего каждый раз вытирали насухо, что позволяло уменьшить влияние капиллярных эффектов. Результаты измерений показаны на рис. 4, где сплошная линия отвечает колебаниям на поверхности, на которую наносили пары воды, а затем вытирали насухо, точечная линия — колебаниям на поверхности, протертой эфиром; штрихпунктирная линия — на поверхности, протертой изопропиловым спиртом; пунктирная линия — на поверхности, протертой керосином. с Номер периода

а) б)

Рис. 4. зависимость периода колебаний маятника от амплитуды (а) и номера периода (б) на поверхности оптического стекла К8

Трудно представить, чтобы протирка поверхности жидкостью могла существенно изменить модуль упругости стекла. Кроме того, можно показать, что в квазистатическом приближении полный момент силы упругости, действующий на шарики вследствие деформации контактирующих тел, равен нулю. Поэтому результаты этого эксперимента можно объяснить лишь влиянием сил адгезии.

Рис. 3. Зависимость периода колебаний маятника на поверхности кремния от номера периода

Модель зависимости периода от амплитуды и численные оценки

На рис. 5 представлено перемещение г = пятна контакта при повороте шарика без скольжения вместе с маятником на угол ср.а —у <х<у]а —у , где контактное давление уменьшается.

Рис. 5. Геометрия сдвига пятна упругого контакта при перемещении шарика на расстояние г (вид на пятно сверху)

Будем считать, что в области пятна контакта, где не происходит разрыв адгезионных связей, силы адгезии создают дополнительное отрицательное давление, притягивая друг к другу поверхности взаимодействующих тел. Эти силы пропорциональны контактному давлению, развиваемому силами упругости деформируемых тел и действующими в противоположном направлении, и они возрастают при взаимном внедрении и убывают в противоположном случае.

Распределение давления р(ху) на пятне контакта, найдем, рассматривая взаимодействие шарика и поверхности опоры в квазистатическом приближении. Воспользуемся решением задачи Герца о внедрении упругого шара в упругое полупространство [11], согласно которому в неподвижной системе отсчета, учитывая смещение шарика, можем записать

Р Х,У = 9

2па2 2

3 Х’-г’2-у’^12

(2)

/ Я , Х , у п где г = — ф, х — —, у — — . здесь в качестве нагрузки на шарик берется половина массы ма-

а а а

ятника, поскольку маятник содержит два шарика. Изменение давления сил адгезии, действующих на шарики на переднем участке пятна контакта, где давление сил упругости растет:

РаогА Х>У =РР Х>У , (3)

где Р — коэффициент пропорциональности. Изменение давления сил адгезии, действующих на шарики на заднем участке пятна контакта, где давление сил упругости убывает:

Раог2 Х>У =-РР Х,У ■ (4)

Изменение момента сил адгезии относительно подвижной оси у’, действующих на переднем участке пятна контакта площадью ёх ёу (рис. 5):

(Ых ф =Ра3 х’-г’ р х’-г’,у’ с1х’с1у’, (5)

где х’ — г’ — плечо силы относительно диаметра пятна контакта.Я

\а)

Ф

3/2

п с

1-0,9118 —фН–

а 32

-ф

\а )

БЩП ф .

(7)

Аналогично, учитывая (4), найдем, что момент сил, действующих на шарик со стороны

7 2 2 /22

а — у < х<Ла — у ), будет описываться формулой

г/2 2 7ЙУ2

М2 ф =-2ра3 | | х’-г’ р х’,у’ ск’ёу’ъщп ф .Я

Ф

3/2

п с

1-0,912 —фН–

а 32

-Ф

Ка у

БЩП ф .

(9)

Найдем формулу для зависимости Да). Учитывая, что на маятник действует момент сил адгезии, равный 2М(ф), дифференциальное уравнение колебаний маятника в области малых амплитуд имеет вид

й?2ф 2 2 2М ф

(10)

где ю,

о

2л

Т

V о у

rn.gR

; I — момент инерции маятника; Т0 — период колебаний маятника

при отсутствии силы адгезии. Решая это уравнение в первом приближении асимптотической теории [8], найдем, что искомая зависимость имеет вид

Т а = Тп

1 — 0,592(3

Я

уау

а

1/2

Т)

1-0,792 —а + 0,121 а

II

\.а у

а

(11)

Используем эту формулу для аппроксимации экспериментальной зависимости Да) на поверхности кремния. максимальное значение энергии адгезионного взаимодействия шариков и поверхности опоры Щамакс)=3,26-1СГ10 Дж, что составляет 1,9% от начальной энергии (17,03-1 (Г9 Дж) маятника в поле силы тяжести.

Оценим также среднюю максимальную плотность энергии адгезионного взаимодей-Ж а

ствия по формуле а =-м”кс . Из приведенных данных найдем ст=0.017 Дж/м . Это значена

ние по порядку величины совпадает с аналогичными значениями, полученными в [2] с помощью силового зондового микроскопа.

Заключение

Экспериментально установлено, что зависимость периода малых колебаний маятника, опирающегося двумя шариками на плоскую поверхность, от номера периода колебаний или времени имеет характер, близкий к линейному. Предложенная модель взаимодействия шарика и опорной поверхности объясняет наблюдаемую зависимость периода колебаний маятника от амплитуды влиянием сил адгезии, действующих между телами на том участке пятна контакта, где отсутствует разрыв адгезионных связей. В этой модели давление сил адгезии пропорционально упругому давлению, развиваемому между поверхностями контактирующих тел вследствие их деформации, и это давление является отрицательным по отношению к давлению упругих сил. Силы адгезии стремятся увеличить отклонение шариков от их исходного положения, которые они занимают, находясь в лунке, которую шарики продавливают в опорной поверхности под действием веса маятника. Эта модель позволяет оценить плотность энергии и давление сил адгезионного взаимодействия и может быть положена в основу нового метода исследования сил контактной адгезии.

Данная модель отличается простотой, поскольку она содержит всего два параметра аппроксимации, и обеспечивает малое значение СКО теоретических оценок периода от экспериментальных значений.

ABOUT INFLUENCE OF ADHESION FOR THE FREE MICROSWIINGS OF A PENDULUM

I.Z. GILAVDARY, V.A. PILIPENKO, N N. RIZNOOKAYA

Abstract

Experimentally and theoretically displayed, that dependence of a period on amplitude observed in the field of small amplitudes of oscillation of a pendulum which leans by two bolls on a planar surface can be a consequence of influence of forces of the adhesiveness interacting of bodies on an area of elastic contact. On these fundamentals estimates of pressure of adhesive strength and density of energy of the adhesiveness interacting are gained.

Литература

1. Григорьев А.Я., Дубравин А.М., Ковалев А.В. и др. // Трение и износ. 2003. Т. 24, № 4. С. 405-412.

2. Szoszkiewicz R., Bhushan B., Huey B.D. et al. // J. Appl. Phys. 2006. Vol. 99, 014310-(1-7).

3. Дубравин А.М., Комков О.Ю., Мышкин Н.К. // Трение и износ. 2005. Т.26, № 3. С. 269-277.

4. Ковалев А.В., Ковалева И.Н., Мышкин Н.К. // Трение и износ. 2005. Т. 26, № 6. С. 575-585.

5. СЗМ методики. 2.2. Силовое взаимодействие зонда с поверхностью. — http://www.ntmdt.ru/spm-basics/view/cantilever-sample-force-interaction.

6. Джилавдари И.З., Ризноокая Н.Н. //Трение и износ. 2008. Т. 29, № 5. С. 453-458.

7. Джилавдари И.З., Ризноокая Н.Н. // Трение и износ. 2008. Т. 29, № 1. С. 5-11.

8. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., 1974.

9. Савенко В.И., Измайлов В.П., Карагиоз О.В. и др. // Трение и износ. 1988. Т. 9, № 2. С. 212-222.

10. Джилавдари И.З. //Трение и износ. 2003. Т. 24, №1. С.42-48.

11. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М., 1989.

Простое гармоническое движение: особое периодическое движение

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Опишите простой гармонический осциллятор.
• Объясните связь между простым гармоническим движением и волнами.

Колебания системы, в которой результирующая сила может быть описана законом Гука, имеют особое значение, поскольку они очень распространены. Это также простейшие колебательные системы. Простое гармоническое движение (SHM) – это название, данное колебательному движению для системы, в которой результирующая сила может быть описана законом Гука, и такая система называется простым гармоническим осциллятором . Если результирующая сила может быть описана законом Гука, а демпфирование (за счет трения или других неконсервативных сил) отсутствует, тогда простой гармонический осциллятор будет колебаться с одинаковым смещением по обе стороны от положения равновесия, как показано для объект на пружине на рисунке 1.Максимальное смещение от равновесия называется амплитудой X . Единицы измерения амплитуды и смещения одинаковы, но зависят от типа колебаний. Для объекта на пружине единицы измерения амплитуды и перемещения – метры; тогда как для звуковых колебаний у них есть единицы давления (а для других типов колебаний есть еще другие единицы). Поскольку амплитуда – это максимальное смещение, она связана с энергией колебаний.

Рисунок 1.Предмет, прикрепленный к пружине, скользящей по поверхности без трения, представляет собой несложный простой гармонический осциллятор. При смещении из состояния равновесия объект совершает простое гармоническое движение с амплитудой X и периодом T . Максимальная скорость объекта достигается при прохождении через равновесие. Чем жестче пружина, тем меньше период T . Чем больше масса объекта, тем больше период T .

Эксперимент на вынос: SHM и мрамор

Найдите миску или таз, имеющий изнутри форму полусферы.Поместите мрамор внутрь чаши и периодически наклоняйте чашу, чтобы мрамор катился со дна чаши к одинаково высоким точкам по бокам чаши. Почувствуйте силу, необходимую для поддержания этого периодического движения. Что такое восстанавливающая сила и какую роль эта сила играет в простом гармоническом движении (SHM) мрамора?

Что такого важного в простом гармоническом движении? Одна особенность состоит в том, что период T и частота f простого гармонического осциллятора не зависят от амплитуды.Струна гитары, например, будет колебаться с одной и той же частотой, независимо от того, мягко она или сильно нажата. Поскольку период постоянен, в качестве часов можно использовать простой гармонический осциллятор.

Два важных фактора действительно влияют на период простого гармонического осциллятора. Период связан с тем, насколько жесткая система. Очень жесткий объект имеет большую постоянную силы k , что приводит к тому, что система имеет меньший период. Например, вы можете отрегулировать жесткость трамплина – чем она жестче, тем быстрее она вибрирует и тем короче ее период.Период также зависит от массы колебательной системы. Чем массивнее система, тем больше период. Например, тяжелый человек на трамплине подпрыгивает вверх и вниз медленнее, чем легкий.

Фактически, масса m и силовая постоянная k являются всего лишь факторами , которые влияют на период и частоту простого гармонического движения.

Период простого гармонического осциллятора

Период простого гармонического осциллятора равен

.

[латекс] T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {m} {k}} \\ [/ latex]

и, поскольку [latex] f = \ frac {1} {T} \\ [/ latex], частота простого гармонического осциллятора равна

[латекс] f = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {k} {m}} \\ [/ latex].

Обратите внимание, что ни T , ни f не зависят от амплитуды.

Эксперимент на вынос: колебания массы и линейки

Найдите две одинаковые деревянные или пластиковые линейки. Плотно приклейте один конец каждой линейки к краю стола так, чтобы длина каждой линейки, выступающей из стола, была одинаковой. На свободный конец одной линейки прикрепите тяжелый предмет, например несколько крупных монет. Выщипывайте концы линейок одновременно и наблюдайте, какая из них претерпевает больше циклов за период времени, и измерьте период колебаний каждой из линейок.

Пример 1. Расчет частоты и периода колебаний: плохие амортизаторы в автомобиле

Если амортизаторы в автомобиле выходят из строя, то автомобиль будет раскачиваться при малейшей провокации, например, при наезде на неровности дороги и после остановки (см. Рисунок 2). Вычислите частоту и период этих колебаний для такого автомобиля, если масса автомобиля (включая его груз) составляет 900 кг, а постоянная силы ( k ) системы подвески составляет 6,53 × 10 ⁴ Н / м.

Рис. 2. Подпрыгивающая машина совершает волнообразное движение. Если восстанавливающая сила в системе подвески может быть описана только законом Гука, тогда волна является синусоидальной функцией. (Волна – это след от фары при движении автомобиля вправо.)

Стратегия

Частота колебаний автомобиля будет соответствовать частоте простого гармонического осциллятора, как указано в уравнении [latex] f = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {k} {m}} \\ [ /латекс]. Приведены как масса, так и силовая постоянная.{-1} = 1,36 \ text {Hz} \\ [/ latex]

Вы можете использовать [latex] T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {m} {k}} \\ [/ latex] для вычисления периода, но проще использовать соотношение [latex] T = \ frac {1} {f} \\ [/ latex] и замените только что найденное значение на f :

[латекс] \ displaystyle {T} = \ frac {1} {f} = \ frac {1} {1.356 \ text {Hz}} = 0,738 \ text {s} \\ [/ latex]

Обсуждение

Значения T и f кажутся подходящими для подпрыгивающего автомобиля. Вы можете наблюдать эти колебания, если сильно надавите на конец автомобиля и отпустите.

Связь между простым гармоническим движением и волнами

Рис. 3. Вертикальное положение объекта, подпрыгивающего на пружине, записывается на полоске движущейся бумаги, оставляя синусоидальную волну.

Если бы была сделана фотография прыгающего автомобиля с временной выдержкой, когда он проезжал мимо, фара образовала бы волнообразную полосу, как показано на рисунке 2. Точно так же на рисунке 3 показан объект, подпрыгивающий на пружине, оставляющий волнообразный «след». своего положения на движущейся полосе бумаги. Обе волны являются синусоидальными функциями.Все простые гармонические движения тесно связаны с синусоидальными и косинусоидальными волнами.

Смещение как функция времени t при любом простом гармоническом движении, то есть таком, в котором результирующая восстанавливающая сила может быть описана законом Гука, определяется как

[латекс] x (t) = X \ cos \ frac {2 \ pi {t}} {T} \\ [/ latex],

, где X – амплитуда. При t = 0 начальное положение составляет x ₀ = x , а смещение колеблется назад и вперед с периодом T . (Когда t = T , мы снова получаем x = X , потому что cos 2π = 1.). Кроме того, из этого выражения для x , скорость v как функция времени определяется как

[латекс] v (t) = – v _ {\ text {max}} \ sin \ left (\ frac {2 \ pi {t}} {T} \ right) \\ [/ latex], где [латекс] v _ {\ text {max}} = \ frac {2 \ pi {X}} {T} = X \ sqrt {\ frac {k} {m}} \\ [/ latex].

Объект имеет нулевую скорость при максимальном смещении – например, v = 0, когда t = 0, и в это время x = X .Знак минус в первом уравнении для v ( t ) указывает правильное направление скорости. Например, сразу после начала движения скорость отрицательна, потому что система движется обратно к точке равновесия. Наконец, мы можем получить выражение для ускорения, используя второй закон Ньютона. [Тогда у нас есть x ( t ), v ( t ), t и a ( t ), величины, необходимые для кинематики и описания простого гармонического движения.] Согласно второму закону Ньютона, ускорение составляет [латекс] a = \ frac {F} {m} = \ frac {kx} {m} \\ [/ latex] . Итак, a ( t ) также является функцией косинуса:

[латекс] a (t) = – \ frac {kX} {m} \ cos \ frac {2 \ pi {t}} {T} \\ [/ latex].

Следовательно, a ( t ) прямо пропорционально и в противоположном направлении по отношению к a ( t ).

На рисунке 4 показано простое гармоническое движение объекта на пружине и представлены графики x ( t ), v ( t ) и a ( t ) в зависимости от времени.

Рис. 4. Графики зависимости t от движения объекта на пружине. Суммарная сила, действующая на объект, может быть описана законом Гука, поэтому объект совершает простое гармоническое движение. Обратите внимание, что исходное положение имеет максимальное значение вертикального смещения X ; v изначально равно нулю, а затем отрицательно по мере движения объекта; и начальное ускорение отрицательно, обратно к положению равновесия и становится нулевым в этой точке.

Наиболее важным моментом здесь является то, что эти уравнения математически просты и справедливы для всех простых гармонических движений.Они очень полезны при визуализации волн, связанных с простым гармоническим движением, включая визуализацию того, как волны складываются друг с другом.

Проверьте свое понимание

Часть 1

Предположим, вы взяли струну банджо. Вы слышите одну ноту, которая начинается вслух и постепенно затихает. Опишите, что происходит со звуковыми волнами с точки зрения периода, частоты и амплитуды по мере уменьшения громкости звука.

Решение

Частота и период практически не изменились.При уменьшении громкости уменьшается только амплитуда.

Часть 2

Няня толкает ребенка на качелях. В точке, где качание достигает x , где будет расположена соответствующая точка на волне этого движения?

Решение

x – максимальная деформация, соответствующая амплитуде волны. Точка на волне будет либо на самом верху, либо на самом низу кривой.

Исследования PhET: массы и пружины

Реалистичная лаборатория масс и пружин.Подвесьте массы к пружинам и отрегулируйте жесткость и демпфирование пружины. Вы даже можете замедлить время. Перенесите лабораторию на разные планеты. На диаграмме показана кинетическая, потенциальная и тепловая энергия каждой пружины.

Щелкните, чтобы запустить моделирование.

Избранные решения

• Простое гармоническое движение – это колебательное движение для системы, которое можно описать только законом Гука. Такую систему еще называют простым гармоническим осциллятором.
• Максимальное смещение – это амплитуда X .Период T и частота f простого гармонического осциллятора задаются выражениями [latex] T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {m} {k}} \\ [/ latex] и [latex] f = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {k} {m}} \\ [/ latex], где м – масса системы.
• Смещение при простом гармоническом движении как функция времени определяется как [latex] x \ left (t \ right) = X \ text {cos} \ frac {2 \ pi {t}} {T} \\ [/ latex ].
• Скорость определяется как [латекс] v \ left (t \ right) = – {v} _ {\ text {max}} \ text {sin} \ frac {2 \ pi {t}} {T} \\ [/ latex], где [latex] {v} _ {\ text {max}} = \ sqrt {\ frac {k} {m}} X \\ [/ latex].
• Ускорение составляет [латекс] a (t) = – \ frac {kX} {m} \ cos \ frac {2 \ pi {t}} {T} \\ [/ latex].

Концептуальные вопросы

1. Какие условия должны быть выполнены для создания простого гармонического движения?
2. (a) Если частота для некоторого колебания непостоянна, может ли колебание быть простым гармоническим движением? б) Можете ли вы привести какие-либо примеры гармонического движения, в котором частота может зависеть от амплитуды?
3. Приведите пример простого гармонического осциллятора, особо отметив, что его частота не зависит от амплитуды.
4. Объясните, почему вы ожидаете, что объект, сделанный из жесткого материала, будет вибрировать с большей частотой, чем аналогичный объект, сделанный из губчатого материала.
5. Когда вы проезжаете грузовой автомобиль с прицепом по шоссе, вы замечаете, что его прицеп медленно подпрыгивает вверх и вниз. Более вероятно, что прицеп сильно загружен или почти пустой? Поясните свой ответ.
6. Некоторые люди модифицируют автомобили, чтобы они были намного ближе к земле, чем когда они были изготовлены. Стоит ли устанавливать более жесткие пружины? Поясните свой ответ.

Задачи и упражнения

1. Часы с кукушкой следят за временем, заставляя массу подпрыгивать на пружине, обычно что-то милое, вроде херувима в кресле. Какая силовая постоянная необходима для получения периода 0,500 с для массы 0,0150 кг?
2. Если жесткость пружины простого гармонического осциллятора удвоится, на какой коэффициент нужно изменить массу системы, чтобы частота движения оставалась прежней?
3. Груз весом 0,500 кг, подвешенный на пружине, колеблется с периодом 1.50 с. Какую массу нужно добавить к объекту, чтобы изменить период до 2,00 с?
4. Насколько проста в выборе массы объекта (как в процентах, так и по массе) в предыдущей задаче, если вы не хотите, чтобы новый период был больше 2,01 с или меньше 1,99 с?
5. Предположим, вы прикрепляете объект массой м к вертикальной пружине, первоначально находящейся в состоянии покоя, и позволяете ему подпрыгивать вверх и вниз. Вы высвобождаете объект из состояния покоя на исходной длине упора пружины.(а) Покажите, что пружина оказывает на объект восходящую силу 2,00 мг в его самой нижней точке. (b) Если пружина имеет силовую постоянную 10,0 Н / м и объект массой 0,25 кг приводится в движение, как описано, найдите амплитуду колебаний. (c) Найдите максимальную скорость.
6. Дайвер на трамплине совершает простое гармоническое движение. Ее масса 55,0 кг, период движения 0,800 с. Следующий дайвер – мужчина, период простых гармонических колебаний которого составляет 1,05 с. Какова его масса, если масса доски ничтожна?
7. Предположим, что доска для прыжков в воду, на которой никого нет, подпрыгивает вверх и вниз, совершая простое гармоническое движение с частотой 4.00 Гц. Доска имеет полезную массу 10,0 кг. Какова частота простого гармонического движения дайвера весом 75,0 кг на доске?
8. Устройство, изображенное на рис. 6, развлекает младенцев, удерживая их от блужданий. Ребенок подпрыгивает в ремне безопасности, подвешенном к дверной коробке с помощью пружины.

   Рис. 6. В этой детской игрушке используются пружины, чтобы развлекать младенцев. (Источник: Humboldthead, Flickr)

   (a) Если пружина растягивается на 0,250 м, поддерживая 8.Ребенок 0 кг, какова его постоянная пружины? б) Сколько времени на один полный прыжок этого ребенка? (c) Какова максимальная скорость ребенка, если амплитуда его прыжка составляет 0,200 м?

9. Парашютист весом 90 кг, подвешенный на парашюте, подпрыгивает вверх и вниз с периодом 1,50 с. Каков новый период колебаний, когда второй парашютист массой 60,0 кг свисает с ног первого, как показано на рисунке 7.

   Рис. 7. На колебания одного парашютиста вот-вот повлияет второй парашютист.(Источник: армия США, www.army.mil)

Глоссарий

амплитуда: максимальное смещение от положения равновесия объекта, колеблющегося вокруг положения равновесия

простое гармоническое движение: колебательное движение в системе, где результирующая сила может быть описана законом Гука

простой гармонический осциллятор: устройство, реализующее закон Гука, такое как масса, прикрепленная к пружине, при этом другой конец пружины соединен с жесткой опорой, такой как стена

Избранные решения проблем и упражнения

1.2,37 Н / м

3. 0,389 кг

6. 94,7 кг

9. 1.94 с

классическая механика – Интуиция – почему период не зависит от амплитуды маятника?

Интуиция с волнистой рукой: Предположим, мы не знаем о маятниках, но хотим построить одномерный путь, так что точечная масса, ограниченная этим путем, может колебаться вокруг низкой точки с разными амплитудами, но с постоянным периодом.

Мы делаем это снизу вверх. Представьте, что мы построили путь от высоты $ h_1 $ до $ 0 $ и обратно до $ h_1 $ с другой стороны.Теперь мы хотим расширить это до немного большей высоты $ h_2 $.

Когда мы выпускаем нашу точечную массу на $ h_2 $, мы можем вычислить, какой будет ее кинетическая энергия (и, следовательно, скорость) на любой высоте, так что мы можем (по крайней мере в принципе) вычислить, сколько времени потребуется, чтобы пройти мимо уже сделал сегмент $ h_1 $ -to- $ h_1 $. Это будет меньше времени, чем желаемый нами период, а половина оставшегося времени будет тем, сколько времени потребуется точечной массе, чтобы переместиться из $ h_2 $ в $ h_1 $. Если этого времени достаточно (то есть больше, чем требуется, чтобы масса упала прямо вниз с $ h_2 $ до $ h_1 $), мы можем отрегулировать, сколько времени потребуется, просто сделав секцию из $ h_2 $ to $ h_1 $ – плоскость с подходящим наклоном.

Доводя этот процесс до предела (где $ h_2 $ просто бесконечно больше, чем $ h_1 $), мы получаем ужасное дифференциальное уравнение с непрерывной задержкой, которое я не хочу ни выводить подробно, ни решать – но Гюйгенс сделал это в 1659 и обнаружил, что решением является перевернутая циклоида .

Итак, если у нас есть боб, скользящий по циклоиде без трения, он действительно будет иметь одинаковый период для любой амплитуды.

Маятник, конечно, вращается по кругу, а не по циклоиде – но циклоида оказывается достаточно гладкой (с ненулевой, но конечной кривизной) внизу, так что ее можно аппроксимировать окружностью .Это приближение достаточно хорошее, чтобы разница в периоде между кругом и циклоидой составляла $ 0 $, а амплитуда – $ 0 $.

Закон Гука и простое гармоническое движение

Объектив

• •

  для измерения жесткости пружины с помощью закона Гука

• •

  исследовать статические свойства упругих объектов и пружин, соединенных последовательно и параллельно

• •

  изучить простой гармонический осциллятор, построенный из пружин и масс

• •

  чтобы убедиться, что период SHM пропорционален квадратному корню из массы и не зависит от амплитуды

• •

  для измерения динамической жесткости пружины

• •

  проверить закон сохранения энергии

Оборудование

Часть I:

• •

  две почти одинаковые пружины

• •

  длинная резинка

• •

  подставка для стойки с измерителем

• •

  Вешалка для массы 50 г

• •

  набор масс от 100 г до 600 г

• •

  шкала баланса

• •

  Интерфейс научной мастерской с датчиком силы и детектором вращательного движения, используемым в качестве линейного датчика

Часть II:

• •

  столкновение тележки известной массы на горизонтальной динамической дорожке, колеблющейся посредством параллельных пружин

• •

  датчик движения и фотозатвор, подключенный к интерфейсу Science Workshop

• •

  нелинейные упругие предметы (резинки)

• •

  два прямоугольных груза ~ 0.По 5 кг для изменения массы системы

Введение и теория

Закон Гука

Сила упругости возникает в пружине, когда пружина растягивается / сжимается или деформируется (Δx) под действием внешней силы. Сила упругости действует в направлении, противоположном внешней силе. Он пытается привести деформированный конец пружины в исходное (равновесное) положение. См. Рис. 1.

Рисунок 1

Если растяжение относительно невелико, величина силы упругости прямо пропорциональна растяжению Δx согласно закону Гука: где k – постоянная, обычно называемая жесткостью пружины, а Δx – растяжение (разница между новым ( x ) и положением равновесия).Знак минус перед жесткостью пружины в уравнении 1

F _el = -kΔx

указывает, что сила упругости и растяжение действуют в противоположном направлении.

Простое гармоническое движение

Если висящую массу сместить из положения равновесия и отпустить, произойдет простое гармоническое движение (SHM). SHM означает, что положение изменяется с синусоидальной зависимостью от времени.

(2)

x = X _макс cos ( ω т)

Ниже приведены уравнения для скорости и ускорения.

(3)

v = −X _макс ω sin ( ω t)

(4)

a = −X _макс ω ² cos ( ω t)

Подставляя уравнения 2

x = X _max cos ( ω t)

, 4

a = −X _max ω ² cos ( ω t)

и 1

F _el = −kΔx

во Второй закон Ньютона, можно вывести уравнение для угловой резонансной частоты колебательной системы:

(5)

ω =

где k – жесткость пружины, а m – масса системы, совершающей простое гармоническое движение.Единица угловой частоты

радиана в секунду = рад / с.

Собственную резонансную частоту осциллятора можно изменить, изменив жесткость пружины или колеблющуюся массу. Использование более жесткой пружины увеличит частоту колебательной системы. Добавление массы в систему уменьшило бы ее резонансную частоту. Двумя другими важными характеристиками колебательной системы являются период ( T ) и линейная частота ( f ). Период колебаний – это время, за которое объект совершает одно колебание.Линейная частота – это количество колебаний в секунду. Период обратно пропорционален линейной частоте. Единицей измерения периода является секунда (с), а единицей измерения частоты – Герц или с ^–1 (Гц = 1 / с). Угловая частота связана с периодом и линейной частотой согласно следующему выражению.

Энергия

Для возникновения колебаний в систему должна быть передана энергия. Когда объект выходит из равновесия, в системе накапливается упругая потенциальная энергия.После освобождения объекта потенциальная энергия переходит в кинетическую и обратно. В гармоническом осцилляторе происходит непрерывное переключение между потенциальной и кинетической энергией. Для колеблющейся пружины ее потенциальная энергия ( E _p ) в любой момент времени равна работе ( W ), проделанной при растяжении пружины до соответствующего смещения x . Кинетическая энергия ( E _k ) осциллятора в любой момент времени будет соответствовать хорошо известному уравнению: Соответственно можно рассчитать максимальную потенциальную энергию и максимальную кинетическую энергию.Согласно закону сохранения энергии: «Механическая энергия сохраняется (не разрушается и не создается) в колебательной системе без трения».

Процедура

Распечатайте лист для этой лабораторной работы. Этот лист понадобится вам для записи ваших данных.

Часть I – Закон Гука

Измерение жесткости пружины, метод 1

Целью этой части лабораторных работ является определение жесткости пружины. Жесткость пружины – это коэффициент пропорциональности между силой упругости и смещением в соответствии с законом Гука (уравнение 1

F _el = −kΔx

).

1

Подвесьте пружину к опоре, добавьте весовую подвеску, измерьте исходное положение равновесия с помощью измерительной ручки и запишите его.

2

Добавляйте гири с шагом от 100 г до 600 г и измеряйте соответствующее положение.

3

Обсудите с членами вашей группы столбцы, которые необходимо подготовить в GA для записи данных. Составьте черновик таблицы и сверьте его со своим техническим специалистом. Подготовьте столбцы в GA.

4

Создайте новый расчетный столбец для данных силы упругости (ДАННЫЕ → НОВАЯ РАСЧЕТНАЯ КОЛОННА → уравнение: F = переменные « м » * г , где м в кг).

5

Создайте новый вычисляемый столбец для смещения (ДАННЫЕ → НОВЫЙ РАСЧЕТНЫЙ КОЛОНК → уравнение = переменные «положение» – начальное положение равновесия).

6

Постройте график зависимости силы от смещения.

7

Запишите наклон графика и его погрешность в рабочий лист лабораторной работы 8. Вы будете использовать значение наклона и его неопределенность, чтобы найти жесткость пружины и ее погрешность.

Измерение жесткости пружины, метод 2

Схема установки, показанная на рис.2 будет использоваться для определения жесткости пружины 2.

Рисунок 2 : Аппаратная установка для эксперимента по закону Гука

1

Откройте предварительно настроенный файл эксперимента: desktop \ pirt-labs \ phy 113 \ PreSetUpFiles \ Springs.

2

Перед получением фактических данных откалибруйте датчик силы. Нажмите кнопку «Настройка» на панели инструментов. Затем щелкните значок датчика силы и нажмите кнопку «Калибровать датчики». Появится панель калибровки, показанная на рис.3.

Рисунок 3 : Калибровка датчика силы в Data Studio

Параметр «2 точки» должен быть выбран в качестве «Тип калибровки». При отсутствии нагрузки на датчик силы введите 0 в окне стандартных значений «Точка калибровки 1». Нажимаем кнопку «Тарирование» на датчике силы. Это действие сбрасывает показания датчика силы на ноль. Нажмите кнопку «Считать с датчика». Затем повесьте крюк весом 1 кг на датчик и введите 9.8 в окне стандартных значений «Точка калибровки 2».Нажмите кнопку «Считать с датчика». Нажмите «ОК», чтобы сохранить эту калибровку. Закройте окна «Калибровка датчиков» и «Настройка». Теперь вы готовы к фактическим измерениям жесткости пружины.

3

Замените груз весом 1 кг на пружину. Прикрепите к нему кусок веревки. Оберните струну вокруг большого шкива детектора вращательного движения против часовой стрелки, как показано на рис. 2. Датчик вращательного движения откалиброван для считывания линейного расстояния.

4

Нажмите кнопку «Старт», чтобы начать сбор данных. Осторожно потяните за шнур, наблюдая за окном дисплея Force. Начните отпускать струну, когда сила достигнет 10 Н.

5

Примените линейную аппроксимацию к хорошей части вашей записи (см. Рис. 4), которая представляет график зависимости силы упругости от смещения. Наклон этой линии дает жесткость пружины.

6

Запишите наклон графика «Сила против зелья» и его неопределенность в Рабочем листе Лаборатории 8.Вы будете использовать значение наклона и его неопределенность, чтобы найти жесткость пружины и ее погрешность.

7

Повторите эту процедуру для системы пружин, включенных последовательно и параллельно.

8

Запишите наклон графика силы и положения и его погрешность в Рабочую таблицу лабораторной работы 8. Вы будете использовать значение наклона и его неопределенность, чтобы найти жесткость пружины и ее погрешность. В разделе «Обсуждение» вам нужно будет сравнить значение жесткости пружины для системы пружин со значением каждой жесткости пружины.

Рисунок 4 : Образец файла эксперимента в DataStudio

Исследование нелинейного упругого объекта.

1

В экспериментальной установке на рис. 2, замените пружину длинной резинкой.

2

Запишите силу по отношению к положению как для движений вниз (увеличение силы), так и движений вверх (уменьшение силы).

Часть II – Простое гармоническое движение

В этой части эксперимента вы проверите, зависит ли период от амплитуды; рассчитать резонансную частоту и жесткость пружины системы.Вы запишите собранные данные в рабочий лист лабораторной работы 8.

1

Настройте эксперимент, как показано на рисунках ниже. Откройте файл предустановленного эксперимента: desktop \ pirt-labs \ phy 113 \ PreSetUpFiles \ SHM.

Рисунок 5

Рисунок 6

2

Без дополнительной массы измерьте период колебаний для начальных амплитуд 4 см и 12 см. Сбор данных автоматически прекратится через 5 секунд.Пример записи показан на рис. 2. Период измеряется фотозатвором и записывается в таблице 1 слева от графика.

3

Без дополнительной массы переместите тележку из положения равновесия примерно на 8 см и начните запись. Снова запишите период колебаний тележки, измеренный фотозатвором. Запишите все три периода колебаний в Рабочем листе Лаборатории 8.

Рисунок 7 : Пример файла для эксперимента SHM в DataStudio

4

Установите запись положения vs.время до синусоиды. Параметр А – амплитуда (максимальное смещение) колебаний. Параметр B дает вам период колебаний. Вы можете сравнить его значение со значением периода, измеренного фотозатвором. Параметр D – положение равновесия. Используйте параметр B для расчета резонансной частоты и жесткости пружины системы с использованием уравнений 7 и 5 ω =

из раздела «Введение и теория» в этом руководстве по лабораторной работе.

5

Подгоните запись скорости относительно времени к синусоиде. Запишите параметр A – амплитуду (максимальное значение) графика зависимости скорости от времени. Обратите внимание, что оба графика, положение в зависимости от времени и скорость в зависимости от времени, представляют собой периодические волны одной и той же частоты, только смещенные на 90 °. Максимальное и минимальное значения положения возникают, когда скорость равна нулю, а также максимальные и минимальные значения. скорости происходят, когда положение находится в равновесии. Что касается энергии системы, это означает, что когда потенциальная энергия максимальна (максимальное смещение), кинетическая энергия равна нулю.В этот момент энергия полностью потенциальна. Точно так же в точке, когда пружина не растянута (объект проходит точку равновесия), вся энергия является кинетической. Чтобы проверить теорему сохранения энергии для колеблющейся тележки, достаточно сравнить ее максимальную потенциальную энергию с максимальной кинетической энергией, найдя процентную разницу потерь энергии.

Связь между периодом и массой

Это часть эксперимента, в которой вы убедитесь, что период SHM пропорционален квадратному корню из массы.

1

Загрузите тележку тяжелыми грузами (по одной) и измерьте период SHM, сохраняя при этом постоянную амплитуду, например 8 см.

2

Включая данные из предыдущей части эксперимента, у вас будет три точки, чтобы построить график зависимости периода от

м

. Согласно теории (уравнения 5 ω =

и 7) этот график должен быть прямой линией.

3

Запишите наклон графика T по сравнению с

м

в Рабочем листе Лаборатории 8.

4

Используйте значение наклона и его неопределенность, чтобы найти жесткость пружины.

5

На основании наклона графика рассчитайте динамическую жесткость пружины системы. Подсказка: Подстановка в

• ω =

дает

• =.

Решение относительно T дает следующее.

• T =

  2 π

  k

  м

Обсуждение

Укажите цель лаборатории. Сравните экспериментальные результаты жесткости пружины для одиночной пружины из методов 1 и 2 с их теоретическими значениями.Какая разница в процентах? Как жесткость пружины для системы из двух последовательно соединенных пружин связана с жесткостью отдельных пружин? Как жесткость пружины для системы из двух параллельно включенных пружин связана с жесткостью отдельных пружин? Все ли весенние объекты подчиняются закону Гука? Какой вывод можно сделать о связи периода и амплитуды на основании собранных данных? Согласованы ли измерения жесткости пружины друг с другом? Был ли соблюден закон сохранения энергии в вашем эксперименте? Исходя из ваших экспериментальных данных, какова связь между периодом колебаний и массой в системе пружина-масса? Объясните, какую физическую величину можно принять за характеристику колебательной системы.Обобщите основные характеристики простого гармонического движения.

Заключение

Вы достигли цели лаборатории?

Copyright © 2012 Advanced Instructional Systems Inc. и факультет физики Университета штата Аризона | Кредиты

Simple Harmonic Oscillator – The Physics Hypertextbook

Обсуждение

Поверьте мне. Это просто.

Начните с того, что пружина опирается на горизонтальную (пока что) поверхность без трения.Прикрепите один конец к неподвижному объекту, а другой – к подвижному объекту. Запустите систему в состоянии равновесия – ничего не движется и пружина находится в расслабленном состоянии.

А теперь нарушьте равновесие. Потяните или толкните гирю параллельно оси пружины и отойдите назад. Вы знаете, что будет дальше. Система будет колебаться из стороны в сторону (или назад и вперед) под действием возвращающей силы пружины. (Возвратная сила действует в направлении, противоположном смещению из положения равновесия.) Если пружина подчиняется закону Гука (сила пропорциональна растяжению), то устройство называется простым гармоническим осциллятором (часто сокращенно sho ), а способ его движения называется простым гармоническим движением (часто сокращенно shm ). ).

Начните анализ со второго закона движения Ньютона.

∑ F = м a

Есть только одна сила – возвращающая сила пружины (которая отрицательна, поскольку действует противоположно смещению массы из положения равновесия).Замените чистую силу законом Гука. Замените ускорение второй производной смещения.

Немного переставить.

–	к	х =	d 2 x
	м		дт 2

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Слева у нас есть функция со знаком минус перед ней (и некоторыми коэффициентами).С правой стороны у нас есть вторая производная этой функции. Решением этого уравнения является функция, у которой вторая производная стоит со знаком минус. У нас есть две возможные функции, которые удовлетворяют этому требованию – синус и косинус – две функции, которые по сути одинаковы, поскольку каждая является просто версией другой со сдвигом фазы. Когда триггерная функция сдвигается по фазе, ее производная также сдвигается по фазе. Больше ничего не меняется, поэтому мы можем выбрать синус со сдвигом фазы или косинус со сдвигом фазы.

косинус (φ = ^π ₂ ) и все, что между ними (φ = независимо от ).С физической точки зрения нам нужен фазовый член, чтобы учесть все возможные начальные положения – при движении равновесия в одну сторону (φ = 0), при движении равновесия в другую сторону (φ = π), полностью в одну сторону. (φ = ^π ₂ ), полностью на другую сторону (φ = ^3π ₂ ) и все, что между ними (φ = независимо от ).

Тригонометрические функции и производные

функция	1-я производная	2-я производная
f ( x ) = + sin x		д 2 f ( x ) = −sin x dx 2
		д 2 f ( x ) = −cos x dx 2

Фаза

физическое описание	сдвиг фазы
начиная с состояния равновесия, двигаясь вперед	нет (начальная фаза)	0 радиан
полностью в одну сторону, остановился мгновенно	четверть цикл	π 2 радиан
возврат к равновесию, движение назад	половина цикла	π радиан
полностью на другую сторону, остановился мгновенно	трехчетвертный цикл	3π 2 радиан
возврат к равновесию, движение вперед	полный цикл	2π радиан

Нам также нужны коэффициенты для обработки единиц.Решением нашего дифференциального уравнения является алгебраическое уравнение – положение как функция времени ( x ( t )) – которое также является тригонометрическим уравнением. Все триггерные функции являются отношениями, что делает их безразмерными (более точный математический термин) или безразмерными (термин, который я предпочитаю). Единственная единица, которую вы действительно можете поместить в функцию триггера, – это радиан. Согласно математическому определению, угол (φ) – это отношение длины дуги ( s ) к радиусу ( r ).Использование единиц СИ даст нам метры, а не метры, и размерный анализ сводится к нулю. В некотором смысле радиан – это единица измерения ничего.

.

φ =	с	⇒	⎡ ⎢ ⎣	рад =	м	= “без единицы измерения”	⎤ ⎥ ⎦
	r				м

Способ обойти это – добавить коэффициент, который изменяет нашу входную переменную (время) на то, что может обрабатывать триггерная функция (радианы).Эта вещь называется угловой частотой , которая в данном случае является скоростью изменения фазового угла (φ) во времени ( t ). Его символ – омега в нижнем регистре (ω).

В системе СИ единицей угловой частоты является радиан в секунду , что сокращается до обратной секунды, поскольку радиан безразмерен.

⎡ ⎢ ⎣	рад	=	1	= с −1	⎤ ⎥ ⎦
	с		с

Я лично ненавижу это количество.В этом контексте это не имеет физического смысла. Угловая частота отлично подходит для систем, которые вращаются (вращаются) или вращаются (перемещаются по кругу), но наша система колеблется (движется вперед и назад). Как одно связано с другим? Поскольку краткий ответ – «абстрактно», разумно вообще отказаться от ω и использовать коэффициент, основанный на физической реальности.

Периодическая система – это система, в которой время между повторяющимися событиями постоянно. (Система, в которой время между повторяющимися событиями непостоянно, называется апериодической .) Время между повторяющимися событиями в периодической системе называется периодом . Математически это время ( t ) на количество событий ( n ). Обозначение точки – это заглавный курсив T , хотя некоторые профессии предпочитают заглавный курсив P .

Единицей периода в системе СИ является секунд , поскольку количество событий безразмерно.

⎡ ⎢ ⎣	с =	с	⎤ ⎥ ⎦
		1

Частота – это скорость, с которой происходит периодическое событие.Математически это количество событий ( n ) за раз ( t ). Обозначение частоты – длинное f , но также подойдет и курсив в нижнем регистре f . (Эти символы часто идентичны в некоторых шрифтах.)

Единица измерения частоты в системе СИ – это обратная секунда, которая называется герц (Гц) в честь Генриха Герца, немецкого физика 19 века, который подтвердил существование радиоволн.

⎡ ⎢ ⎣	Гц =	1	= с −1	⎤ ⎥ ⎦
		с

Период и частота противоположны друг другу.Конечно, они также обратно пропорциональны, но это упускает суть. Они обратно пропорциональны с коэффициентом пропорциональности, равным единице (без единицы измерения). Следовательно, для уравновешивания их обратных величин коэффициент не требуется. Они абсолютно и полностью взаимны.

f =	1	⇔	т =	1
	Т			f

Вернуться к дифференциальному уравнению.Его решение – синус с фазовым сдвигом. Время – это входная переменная в триггерной функции. Триггерные функции не могут принимать числа с единицами измерения. Исправление заключается в использовании угловой частоты (ω). Угловая частота не имеет физической реальности. Однако частота ( f ) имеет значение. Угловая частота определяет количество радианов в секунду. Частота подсчитывает количество событий в секунду. Последовательность событий, которая повторяется, называется циклом. Функция синуса повторяется после того, как она “прошла” через 2π радиан математической абстрактности.Движение простого гармонического осциллятора повторяется после того, как он прошел один полный цикл простого гармонического движения.

ω =	φ	=	2π радиан
	т		1 период

f =	n	=	1 цикл
	т		1 период

Разделите одно уравнение на другое…

	=	2π радиан	=	2π радиан
ω		1 период
f		1 цикл		1 цикл
		1 период

Напомним, что и радианы, и циклы являются безразмерными величинами, что означает…

ω	=	2π радиан	=	2π
f		1 цикл		1

и, следовательно,…

ω = 2π f

Умножение любой части этого уравнения на время исключает единицу измерения из входной части уравнения.А как насчет выходной стороны? Результатом синусоидальной функции является безразмерное число, которое изменяется от +1 до -1. Наше дифференциальное уравнение должно генерировать алгебраическое уравнение, которое выделяет положение между двумя крайними значениями, скажем, + A и – A . Мне нравится символ A , поскольку крайнее значение колебательной системы называется ее амплитудой , а амплитуда начинается с буквы a. Амплитуда использует те же единицы измерения, что и смещение для этой системы – метры [м], сантиметры [см] и т. Д.Умножьте синусоидальную функцию на A , и все готово. Вот решение в общем виде простого гармонического осциллятора (и многих других дифференциальных уравнений второго порядка).

x = A sin (2π футов + φ)

где…

x =	позиция [м, см и т. Д.]
А =	амплитуда [м, см и т. Д.]
f =	частота [Гц]
т =	раз [с]
φ =	фаза [рад]

Я сказал, что это алгебраическое уравнение является решением нашего дифференциального уравнения, но я так и не доказал его.Я, наверное, должен это сделать. Это покажет нам кое-что интересное. Начнем с уравнения…

x = A sin (2π футов + φ)

Найдите свою первую производную…

dx	= 2π фА cos (2π футов + φ)
дт

, чтобы найти вторую производную…

d 2 x	= −4π 2 f 2 A sin (2π ft + φ)
дт 2

Подайте уравнение и его вторую производную обратно в дифференциальное уравнение…

–	к	х =	d 2 x
	м		дт 2

вот так…

–	к	A sin (2π футов + φ) = −4π 2 f 2 A sin (2π футов + φ)
	м

затем упростите.Обе переменные отменяются (наряду с множеством других вещей), что означает, что мы нашли хорошее решение. Остается это…

Теперь самое интересное. Решить для частоты…

И пока мы на этом, инвертируем частоту, чтобы получить период…

Простое гармоническое движение со временем развивается как синусоидальная функция с частотой, которая зависит только от жесткости возвращающей силы и массы движущейся массы. Более жесткая пружина колеблется чаще, а большая масса – реже.Вы также можете описать эти выводы в терминах периода простого гармонического движения. Более тяжелая масса колеблется с более длительным периодом, а более жесткая пружина колеблется с более коротким периодом. Амплитуда не влияет на частоту и период. Шо, колеблющееся с большой амплитудой, будет иметь ту же частоту и период, что и идентичный шо, колеблющийся с меньшей амплитудой.

фазовый угол

Положение и время – это некоторые переменные, которые описывают движение (в данном случае shm).Частота и период – это свойства периодических систем (в данном случае ан шо). Амплитуда и фаза – это коэффициенты, которые находятся в уравнениях периодического движения, которые определяются начальными условиями (в данном случае начальным положением и начальной скоростью шо).

Начните с уравнения положения. Подставляем в произвольную начальную позицию x ₀ (без нуля), но для удобства назовем начальное время нулем.

x = A sin (2π футов + φ) x 0 = A sin φ

Затем сделайте что-то подобное с первой производной от положения, более известной как скорость.Заменить любую произвольную начальную скорость v ₀ (vee naught)

v = 2π fA cos (2π ft + φ) v 0 = 2π fA cos φ

Начальное положение делится на начальную скорость.

x 0	=	A sin φ	=	тангенс угла φ
v 0		2π фА cos φ		2π f

Фазовый угол связан с отношением начального положения к начальной скорости так…

Напомним, что частота определяется жесткостью пружины и массой.

Фазовый угол тоже можно записать так…

тангенс угла φ =	x 0	√	к
	v 0		м

и даже вот так…

тангенс угла φ = √	kx 0 2
	мв 0 2

Знакомо? Как насчет того, чтобы я это сделал?

тангенс угла φ = √	½ kx 0 2
	½ мв 0 2

Фазовый угол связан с отношением начальной упругой потенциальной энергии к начальной кинетической энергии.

Почти, но не совсем. Когда я переместил начальное положение и начальную скорость под знаком радикала, я возложил их в квадрат. Это не совсем так. Когда я это сделал, я уничтожил информацию о знаке в двух начальных условиях. (Кинетическая и упругая потенциальные энергии всегда положительны.) Эти знаки используются для определения, в каком квадранте находится фазовый угол.

Расположение угла сдвига фаз

	– v 0	+ v 0
+ x 0	2-й квадрант 090 ° –180 °	1-й квадрант 00 ° –90 °
– x 0	3-й квадрант 180 ° –270 °	4-й квадрант 270 ° –360 °

Незатухающие поперечные колебания корональных петель как автоколебательный процесс

A&A 591, L5 (2016)

Незатухающие поперечные колебания корональных петель как автоколебательный процесс

В.Накаряков М. ^{1 , 2 , 3} , Анфиногентов С.А. ¹ , Г. Нистичо ¹ и Д.-Х. Ли ²

¹ Центр термоядерного синтеза, космоса и астрофизики, Департамент Физика, Уорикский университет, CV4 7AL, UK
e-mail: [email protected]
² Школа космических исследований Университета Кён Хи, Юнъинь, 446-701 Кёнги, Корея
³ Центральная астрономическая обсерватория в Пулково Российской академии наук, 196140 Санкт-Петербург, Россия

Получено: 4 мая 2016 г.
Принято: 18 мая 2016 г.

Аннотация

Контекст. Наблюдается, что стоячие поперечные колебания корональных петель работают в двух режимах: быстро затухающие колебания большой амплитуды и незатухающие колебания малой амплитуды. В последнем режиме затухание должно компенсироваться подачей энергии, что позволяет контуру совершать практически монохроматические колебания с почти постоянной амплитудой и фазой. Различные петли колеблются с разными периодами. Амплитуда колебаний не зависит от длины петли или периода колебаний.

Цели. Наша цель – разработать низкоразмерную модель, объясняющую незатухающие колебания кинка как автоколебательный процесс, вызванный эффектом отрицательного трения. Источником энергии является внешний квазистационарный поток, например, супергрануляционные движения вблизи оснований петель или внешние потоки в короне.

Методы. Мы демонстрируем, что взаимодействие квазистационарного потока с петлей может быть описано уравнением осциллятора Рэлея, которое является нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением с демпфирующими и резонансными членами, определенными эмпирически.

Результаты. Автоколебательные решения малой амплитуды уравнения осциллятора Рэлея представляют собой гармонические сигналы постоянной амплитуды, что согласуется с наблюдаемыми свойствами незатухающих колебаний кинка. Период автоколебаний определяется частотой изгибной моды. Затухание за счет рассеяния и преобразования моды компенсируется непрерывным выделением энергии на частоте собственных колебаний.

Выводы. Мы предполагаем, что незатухающие колебания излома корональных петель могут быть вызваны взаимодействием петель с квазистационарными потоками и, следовательно, являются автоколебаниями, которые аналогичны воспроизведению мелодии путем перемещения смычка по струне скрипки.

Ключевые слова: Солнце: колебания / Солнце: корона

© ESO, 2016

1. Введение

Изгибные колебания солнечных корональных арок интенсивно изучаются в течение почти двух десятилетий с момента их наблюдательного обнаружения в крайнем ультрафиолетовом (EUV) диапазоне Ашванденом и др.(1999) и Накаряков и др. (1999). Принято считать, что эти колебания представляют собой моды стоячих изломов корональных арок, периоды которых определяются длиной петли, ее магнитным полем и плотностью плазмы внутри и вне петли (например, Накаряков и Офман 2001). Эта интерпретация была основана на теории быстрых магнитоакустических мод корональных арок, моделируемых как продольные плазменные цилиндры, разработанной Зайцевым и Степановым (1982) и Эдвином и Робертсом (1983).Альтернативные модели интерпретируют изгибные колебания как увеличение фотосферных движений за счет чувствительности равновесной магнитной топологии к небольшому возмущению в основании (Schrijver & Brown 2000), смещения корональных арок за счет цугов быстрых волн, создаваемых геометрической дисперсией в стратифицированной атмосфере (Уралов, 2003). ) или картину интерференционных полос, создаваемых быстрыми магнитоакустическими волнами, направляемыми корональной аркадой (Hindman & Jain 2014). Однако недавнее статистическое исследование показало, что период колебаний зависит от длины колебательного контура (Годдард и др.2016). Этот результат подтверждает интерпретацию, по крайней мере, в большинстве наблюдаемых случаев, в терминах модели, использующей быстрые магнитоакустические собственные моды отдельных корональных петель или их пучков.

Обнаружено, что изгибные колебания петель проявляются в двух разных режимах: быстро затухающие колебания большой амплитуды и незатухающие колебания малой амплитуды (Wang et al. 2012; Nisticò et al. 2013). В первом режиме смещение петли достигает нескольких малых радиусов петли и, как правило, колебания затухают за несколько циклов колебаний.В последнем режиме амплитуда обычно меньше малого радиуса петли и остается постоянной или слабо изменяющейся в течение ряда циклов колебаний (Анфиногентов и др., 2013, 2015). Одна и та же петля может колебаться в обоих этих режимах, то есть до и после некоторого импульсного возбуждения (Nisticò et al. 2013). Интересно, что период колебаний в обоих режимах остается одинаковым.

Затухание колебаний кинка обычно связывают с взаимодействием коллективных колебаний кинка с альвеновскими крутильными движениями, локализованными в окрестности узкого резонансного слоя (например,грамм. Рудерман и Робертс 2002; Goossens et al. 2002). Недавние результаты показали, что амплитуда колебаний испытывает либо экспоненциальное, либо гауссовское затухание во времени (Худ и др., 2013; Паско и др., 2016), однако в ряде случаев трудно различить эти два сценария.

Быстро затухающие изломанные колебания корональных арок большой амплитуды обычно возбуждаются низкими корональными эруптивными событиями, которые механически смещают их из состояния равновесия (Зимовец и Накаряков, 2015).Незатухающие колебания кинка малой амплитуды наблюдаются непрерывно без видимого драйвера. Подобно колебаниям в затухающем режиме, период незатухающих колебаний кинка масштабируется с длиной петли (Анфиногентов и др., 2015). Предполагая, что незатухающие колебания излома малой амплитуды подвержены тому же механизму демпфирования, что и быстро затухающие колебания излома большой амплитуды, должен существовать какой-то механизм, который непрерывно снабжает колебательные контуры энергией для компенсации демпфирования.

В этом письме мы обсуждаем возможные механизмы, которые могут привести к устойчивым незатухающим кинковым колебаниям корональных петель. Мы демонстрируем, что наблюдательные свойства этих колебаний, в частности, согласуются с результатами модели, учитывающей отрицательное трение между концами петель и окружающими потоками супергрануляции.

2. Результаты наблюдений

Незатухающие колебания обнаруживаются как периодические, почти гармонические смещения корональных петель.На рис. 1 мы показываем пример такого процесса, который обнаруживается при 171 Å с помощью сборщика атмосферных изображений на обсерватории солнечной динамики (SDO / AIA). Это колебание было впервые проанализировано Wang et al. (2012). Во время колебания его амплитуда претерпевает некоторые изменения, однако, как правило, она намного слабее и имеет гораздо больший временной масштаб, чем в быстро затухающем режиме. Иногда наблюдается до 10-20 циклов колебаний с почти постоянной амплитудой (например, Wang et al. 2012; Nisticò et al.2013). Используя наблюдения незатухающих колебаний в 21 невспыхающей активной области (NOAA 11637–11657), наблюдавшихся в январе 2013 г. в канале 171 Å SDO / AIA (Анфиногентов и др., 2015), мы построили скейлинги амплитуд колебаний с периодом и длина петли (рис. 2). Видно, что амплитуда смещения постепенно увеличивается с увеличением длины колебательного контура и периода колебаний. Напротив, амплитуда скорости, которая оценивается как амплитуда смещения, умноженная на 2 π и деленная на период колебаний, не показывает никакой зависимости от длины и периода.

рисунок 1 Пример незатухающих колебаний корональных петель, проиллюстрированных картой временных расстояний, сделанной для щели, направленной поперек колебательной петли. Колебание было измерено 8 марта 2011 г., начало в 19:40 UT в AR 11165 на 171 Å с SDO / AIA.

Рис. 2 Масштабирование различных параметров незатухающих колебаний кинка и параметров колебательного контура. Вверху слева : амплитуда смещения в зависимости от длины петли. Вверху справа : амплитуда скорости в зависимости от длины петли. Внизу слева : амплитуда смещения в зависимости от периода колебаний. Внизу справа : зависимость амплитуды скорости от периода колебаний.

3. Модели на основе возбужденных колебаний

Рассмотрим различные модели, которые могут быть ответственны за незатухающие колебания затухающего осциллятора. Накаряков и др.(2009), Nisticò et al. (2013), Анфиногентов и др. (2015) предложили описать смещение a ( t ) вершины контура с помощью уравнения управляемого затухающего гармонического осциллятора, (1) где δ – коэффициент демпфирования, Ω _K – собственная частота перегиба колебания, а f ( t ) – внешняя движущая сила, которая компенсирует демпфирование, вызванное рассеянием и / или преобразованием режима. Коэффициент демпфирования может быть получен эмпирическим путем из быстро затухающего колебательного режима с большой амплитудой.Возбуждение колебаний петли гармоническими и случайными движениями опорных точек также рассматривалось в 2D и 3D моделях (например, Ofman & Davila 1995; Poedts & Boynton 1996; Berghmans & Tirry 1997). Однако наибольшее внимание было уделено вопросам связи мод и энергии.

Существуют трудности с воспроизведением наблюдаемых свойств незатухающих колебаний в рамках модели (1) с гармоническим драйвером (т. Е. 5-минутные колебания оснований петель). Если внешняя сила f ( t ) гармонична с циклической частотой ω ₀ , как предложено, например, в Nisticò et al.(2013), амплитуда управляемого решения должна зависеть от разницы между частотой движущей силы и собственной частотой Ω _K . В установившемся режиме колебания происходят на частоте возбуждения, а амплитуда возбуждаемых колебаний обратно пропорциональна разнице. Другими словами, амплитуда гармонически управляемого демпфированного осциллятора представляет собой кривую Лоренца, которая имеет максимум на собственной частоте Ω _K , но быстро спадает при несовпадении частот.Таким образом, петли с частотами излома, близкими к частоте возбуждения, должны показывать колебания с наибольшей амплитудой. Другими словами, масштабирование амплитуд колебаний по периодам должно иметь ярко выраженный пик. Однако наблюдаемая зависимость амплитуд смещения и скорости от периодов колебаний (рис. 2) не имеет пика на определенной частоте. Частота Ω _K задается, в частности, длиной петли (Edwin & Roberts, 1983), однако масштабирование амплитуды с длиной петли также не имеет пика.Кроме того, асимптотически управляемый осциллятор с демпфированием колеблется с частотой драйвера. Непонятно, как гармонический драйвер мог иметь разные, но стабильные частоты в диапазоне от 60 с до 600 с, как это обнаружено в наблюдениях (Анфиногентов и др., 2015).

Другая возможность заключается в том, что движущая сила является непрерывно действующей случайной функцией, f ( t ) = R ( t ), как это было предложено, например, в Anfinogentov et al. (2015) для интерпретации бесраспадных кинковых колебаний.Случайный драйвер может быть связан с движением грануляции вблизи оснований колеблющегося контура. Этот механизм был рассмотрен De Groof et al. (1998), De Groof & Goossens (2000) в контексте нагрева короны. На рисунке 3 показан типичный отклик затухающего гармонического осциллятора на случайное возбуждение. Очевидно, что поведение петли отличается от показанного на рис. 1; как фаза, так и амплитуда колебаний испытывают периодические изменения. Аналогичный результат был получен Де Грофом и Гуссенсом (2002) для модели, учитывающей связь мод.Интересно, что это поведение напоминает режим, изученный Nisticò et al. (2014), поэтому это может происходить в короне, но не в обсуждаемом здесь режиме.

Рис. 3 Типичные колебания затухающего генератора с непрерывно работающим случайным драйвером. Слева : функция случайного вождения. Правый : управляемое колебание. Время показано в единицах периодов колебаний: 2 π / C K .Единицы измерения вертикальных осей произвольные.

В модели (1) могут возникать колебания с собственной частотой, если система время от времени возбуждается короткими импульсами. В этом случае, однако, результирующий сигнал будет серией экспоненциально затухающих цугов колебаний, что также не согласуется с наблюдениями.

4. Автоколебательная модель

.

Возможный способ компенсации потерь на диссипацию при сохранении частоты колебаний и квазимонохроматичности – это если взаимодействие петли с окружающей движущейся средой будет не «жестким», а скользким.Рассмотрим механический аналог: пружинный маятник с грузом на грубой конвейерной ленте, движущийся с постоянной скоростью v ₀ (рис. 4). Его уравнение движения (2), где в левой части мы используем те же обозначения, что и в (2). (1) с диссипативным параметром δ , учитывающим, например, диссипацию в пружине. Функция F описывает трение между грузом и ремнем, которое зависит от их относительной скорости. Из-за зависимости F от d a / d t , уравнение.(2), вообще говоря, нелинейна. Выполняя разложение Тейлора функции F , мы получаем уравнение осциллятора Рэлея, (3) где Δ – разность линейных трения с ремнем и в пружине, а α – константа, которая зависит от v ₀ (например, Rayleigh 1945). В разложении Тейлора линейный член был установлен равным нулю, так как это привело бы к однонаправленному смещению силы трения. Путем простой замены уравнение. (3) можно переписать как уравнение Ван дер Поля.Первоначально уравнение. (3) был получен лордом Рэлеем для моделирования колебаний трости кларнета.

Если линейное трение между грузом и ремнем сильнее, чем другие диссипативные процессы, например, в пружине, параметр Δ положителен. Это соответствует случаю эффективного отрицательного демпфирования, также известного как сверхстабильность. В этом случае амплитуда колебаний растет экспоненциально, пока не достигнет определенной амплитуды, заданной параметрами уравнения осциллятора Рэлея и соответствующей предельному циклу.Математически этот эффект контролируется нелинейным членом в квадратных скобках, который учитывает эффекты конечной амплитуды. В случае большой начальной амплитуды решение уменьшается до значения предельного цикла. Для малых амплитуд период предельного цикла совпадает с периодом 2 π / Ω _K . На рис. 5 показаны два сценария возбуждения колебательных решений уравнения (1). (3) для начальной амплитуды, которая больше и меньше амплитуды предельного цикла.После быстрого перехода колебательная картина становится гармонической с периодом, совпадающим с периодом 2 π / Ω _K .

Рис. 4 Набросок предлагаемой аналогии между корональной петлей, взаимодействующей с потоком супергрануляции, «струной» и «луком», соответственно, и пружинным маятником на устойчиво движущейся конвейерной ленте.

Рис. 5 Автоколебательные решения уравнения Рэлея для начальной амплитуды, которая меньше ( слева, ) и больше ( справа, ), чем амплитуда предельного цикла.Время показано в единицах периодов колебаний: 2 π / C K . Единицы измерения вертикальной оси произвольны.

В теории колебаний такое поведение известно как автоколебания, автоколебания или просто автоколебания (Андронов и др., 1996; Дженкинс, 2013). Автоколебания возникают в неконсервативных диссипативных системах. В отличие от возбужденных колебаний, автогенератор сам устанавливает частоту и фазу, с которыми он возбуждается, сохраняя частоту и фазу в течение ряда периодов.Автоколебания возникают в различных динамических системах в физике, технике, биологии и экономике. Обычно параметры автоколебаний, такие как амплитуды, периоды и фазы, не зависят от начального возбуждения системы после некоторого времени перехода. Автоколебания можно рассматривать как процессы генерации периодического сигнала, например переменного тока, от постоянного источника энергии, такого как постоянный ток. Уместным примером для нашего обсуждения является реакция скрипки, когда смычок медленно движется по струне.При воспроизведении ноты существует некоторая минимальная пороговая скорость, с которой нужно перемещать смычок, но более быстрое движение не меняет ноту, а только делает ее громче. На возможную аналогию между возбуждением кинковых колебаний корональных петель и скрипки указал Goedbloed (1995).

В случае колебаний излома корональные петли играют роль струны, а роль лука могут играть, например, движения супергрануляции; см. рис. 4. Действительно, поскольку характерный масштаб этих движений составляет несколько часов, а типичный горизонтальный масштаб составляет несколько десятков Мм (т.е.грамм. Rieutord & Rincon 2010), это можно рассматривать как устойчивое движение вокруг точки основания петли. Таким образом, взаимодействие петли с потоком супергрануляции можно рассматривать в терминах уравнения. (3). Средняя амплитуда скорости незатухающих колебаний кинка, около 4 км с ^-1 (см. Рис. 2, правые панели), обнаруживается на вершинах петель, где основные моды кинка имеют пучности, а взаимодействие с потоком происходит вблизи следы. Поскольку основные моды имеют узлы около оснований петель, их амплитуды скорости очень малы вблизи оснований петель.Таким образом, возможно достижение порогового значения возникновения отрицательного трения и возникновение автоколебаний. Другой возможностью может быть восходящий поток, проходящий через корональную часть петли, что обсуждалось, например, в Накарякове и др. (2009). В этом случае следует подавить эффект вихря, который может иметь место, среди прочего, из-за внешнего магнитного поля.

5. Обсуждение и выводы

В этом письме мы предлагаем модель, которая интерпретирует незатухающие квазигармонические кинковые колебания корональных петель как автоколебания, возникающие из-за скользкого скользящего взаимодействия петли с квазистационарным потоком через нее.Модель основана на обыкновенном дифференциальном уравнении Рэлея, которое имеет решение предельного цикла, соответствующее автоколебаниям. Эта модель успешно воспроизводит наблюдаемые свойства этого класса кинковых колебаний. Это объясняет квазимонохроматичность колебаний, поскольку период колебаний определяется естественной модой перегиба. Это также согласуется с наблюдаемой линейной зависимостью периода колебаний от длины петли. Кроме того, эта модель объясняет кажущуюся независимость амплитуды колебаний от периода, поскольку разные контуры имеют разные периоды, а энергия берется из установившегося потока в этот конкретный период и с определенной скоростью, необходимой для компенсации диссипативных потерь.Это особенность автоколебаний. Таким образом, модель также объясняет незатухающий характер колебаний при наличии диссипативных процессов и процессов преобразования мод.

Мы должны подчеркнуть, что предлагаемый автоколебательный механизм основан на полуэмпирическом и низкоразмерном описании и, таким образом, может рассматриваться только как концептуальная модель. Основное уравнение (уравнение (3)) не было строго выведено из системы уравнений МГД, но было построено с учетом физических эффектов, которые важны для воспроизведения наблюдаемого поведения.Такие низкоразмерные концептуальные модели оказываются очень полезными в различных приложениях, например, в модели самоорганизованной критичности (например, Aschwanden et al., 2016). В предлагаемой модели явно упускается ряд других потенциально важных эффектов, в частности, возможность возбуждения множественных мод и гармоник. Эти эффекты необходимо включить в более продвинутые модели. Также необходимо обратить внимание на характер силы трения между внешним потоком и контуром и определение пороговой скорости.Однако мы полагаем, что предложенная концептуальная модель с низкой размерностью дает новое понимание и полезна для определения основных физических механизмов существования незатухающих колебаний кинка корональных петель. Способность модели объяснять наблюдательные свойства незатухающих колебаний кинка указывает на необходимость ее дальнейшего развития.

Еще одним интересным потенциальным результатом этого исследования является его возможное отношение к проблеме нагрева короны. Автоколебательные движения, описываемые формулой.(3) по существу являются диссипативными, причем диссипативные потери компенсируются непрерывной подачей энергии. Рассеиваемая энергия, возможно, за счет связи мод, преобразуется в тепло в короне. Оценка этой энергии может пролить свет на энергетический баланс короны. Эта оценка должна учитывать 2D-эффекты, в частности, локализацию моды во внешней среде (например, Goossens et al.2013) и, следовательно, не может быть выполнена в рамках обсуждаемой низкоразмерной модели.

Другими примерами автоколебательных процессов в солнечной атмосфере могут быть циклические модели хромосферного испарения, конденсации и повторного нагрева (например,грамм. Мюллер и др. 2003) и нелинейная термическая сверхустойчивость (например, Кумар и др., 2016). Кроме того, с точки зрения автоколебаний можно рассматривать класс квазипериодических пульсаций при вспыхивающих выбросах энергии, которые вызваны спонтанным повторяющимся магнитным пересоединением («магнитное капание», см., Например, Накаряков и др. 2010). Исследование этих процессов – интересная задача будущего.

Благодарности

Работа поддержана консолидированным грантом STFC ST / L000733 / 1 (G.Н., В. М. Н.), Европейский исследовательский совет в рамках исследовательского проекта SeismoSun № 321141 (S.A.A., V.M.N.), и программа BK21 plus через Национальный исследовательский фонд, финансируемая Министерством Образование Кореи (D.H.L., V.M.N.).

Список литературы

1. Андронов А.А., Витт А.А. и Хайкин С.Е. 1996, Теория осцилляторов (Оксфорд: Pergamon Press), 848 [Google ученый]
2. Анфиногентов, С., Нистичо, Г., и Накаряков, В. М. 2013, A&A, 560, A107 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google ученый]
3. Анфиногентов, С.А., Накаряков В. М., & Нистико, Г. 2015, A&A, 583, A136 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google ученый]
4. Ашванден, М.Дж., Флетчер, Л., Шрайвер, К. Дж., И Александр, Д., 1999, ApJ, 520, 880 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google ученый]
5. Ашванден, М.J., Crosby, N.B., Dimitropoulou, M., et al. 2016, Космические науки. Rev., 198, 47 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google ученый]
6. Бергманс, Д., & Тирри, У. Дж. 1997, A&A, 325, 318 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [Google ученый]
7. Де Груф, А., & Goossens, M. 2000, A&A, 356, 724 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [Google ученый]
8. Де Груф, А., & Goossens, М. 2002, A&A, 386, 691 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google ученый]
9. Де Груф, А., Tirry, W. J., & Goossens, M. 1998, A&A, 335, 329 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [Google ученый]
10. Эдвин, П.М., и Робертс Б. 1983, Sol. Физ., 88, 179 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google ученый]
11. Годдард, К.Р., Нистичо, Г., Накаряков, В. М., & Зимовец, И. В. 2016, A&A, 585, A137 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google ученый]
12. Гедблоэд, Дж.P. 1995, в AIP Conf. Сер., 345, 465 [Google ученый]
13. Гуссенс, М., Андрис, Дж., И Ашванден, М. Дж. 2002, A&A, 394, L39 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google ученый]
14. Гуссенс, М., Van Doorsselaere, T., Soler, R., & Verth, G. 2013, ApJ, 768, 191 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google ученый]
15. Хиндман, Б.W., & Jain, R. 2014, ApJ, 784, 103 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google ученый]
16. Худ, А.W., Рудерман, М., Паско, Д. Дж. И др. 2013, A&A, 551, A39 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google ученый]
17. Дженкинс, А.2013, Физ. Реп., 525, 167 [Google ученый]
18. Кумар С., Накаряков В. М., Мун Ю.-Ж. 2016, ApJ, 824, 8 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google ученый]
19. Мюллер, Д.А. Н., Ханстин, В. Х., и Питер, Х., 2003, A&A, 411, 605 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google ученый]
20. Накаряков, В.М. и Офман, Л. 2001, A&A, 372, L53 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google ученый]
21. Накаряков, В.М., Офман Л., Делука Э. Э., Робертс Б. и Давила Дж. М. 1999, Science, 285, 862 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [PubMed] [Google ученый]
22. Накаряков, В.М., Ашванден, М. Дж., И ван Дорсселер, Т. 2009, A&A, 502, 661 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google ученый]
23. Накаряков, В.М., Инглис А.Р., Зимовец И.В. и др. 2010, Физика плазмы и управляемый синтез, 52, 124009 [Google ученый]
24. Нистично, Г., Накаряков, В. М., и Вериджте, Э. 2013, A&A, 552, A57 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google ученый]
25. Нистичо, Г., Анфиногентов С., Накаряков В. М. 2014, A&A, 570, A84 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google ученый]
26. Офман, Л., & Davila, J. M. 1995, J. Geophys. Res., 100, 23427 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google ученый]
27. Паско, Д.Дж., Годдард, К. Р., Нистично, Г., Анфиногентов, С., и Накаряков, В. М. 2016, A&A, 585, L6 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google ученый]
28. Поедтс, С., & Бойнтон, Г. К. 1996, A&A, 306, 610 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [Google ученый]
29. Рэлей, Дж.W. S. 1945, Теория звука, Vol. 2 (Нью-Йорк: Дувр) [Google ученый]
30. Rieutord, M., & Rincon, F. 2010, Liv. Преподобный Sol. Физ., 7 [Google ученый]
31. Рудерман, М.С., и Робертс, Б. 2002, ApJ, 577, 475 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google ученый]
32. Шрайвер, К.Дж. И Браун, Д. С. 2000, ApJ, 537, L69 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google ученый]
33. Уралов, А.М. 2003, Астрон. Lett., 29, 486 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google ученый]
34. Ван, Т., Офман, Л., Давила, Дж. М., и Су, Ю. 2012, ApJ, 751, L27 [Google ученый]
35. Зайцев В. В., Степанов А. В. 1982, Сов. Astron. Lett., 8, 132 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [Google ученый]
36. Зимовец, И.В., Накаряков В. М. 2015, A&A, 577, A4 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google ученый]

Все рисунки

	Инжир.1 Пример незатухающих колебаний корональных петель, проиллюстрированных картой временных расстояний, сделанной для щели, направленной поперек колебательной петли. Колебание было измерено 8 марта 2011 г., начало в 19:40 UT в AR 11165 на 171 Å с SDO / AIA.
По тексту

	Рис. 2 Масштабирование различных параметров незатухающих колебаний кинка и параметров колебательного контура. Вверху слева : амплитуда смещения в зависимости от длины петли. Вверху справа : амплитуда скорости в зависимости от длины петли. Внизу слева : амплитуда смещения в зависимости от периода колебаний. Внизу справа : зависимость амплитуды скорости от периода колебаний.
По тексту

	Рис. 3 Типичные колебания затухающего генератора с непрерывно работающим случайным драйвером. Слева : функция случайного вождения. Правый : управляемое колебание. Время показано в единицах периодов колебаний: 2 π / C K . Единицы измерения вертикальных осей произвольные.
По тексту

	Рис. 4 Набросок предлагаемой аналогии между корональной петлей, взаимодействующей с потоком супергрануляции, «струной» и «луком», соответственно, и пружинным маятником на устойчиво движущейся конвейерной ленте.
По тексту

	Рис. 5 Автоколебательные решения уравнения Рэлея для начальной амплитуды, которая меньше ( слева, ) и больше ( справа, ), чем амплитуда предельного цикла. Время показано в единицах периодов колебаний: 2 π / C K . Единицы измерения вертикальной оси произвольны.
По тексту

Зависимость затухания колебаний кинка от амплитуды – Kyung Hee University

TY – JOUR

T1 – Зависимость затухания колебаний кинка от амплитуды

AU – Goddard, C.R.

AU – Накаряков В. М.

N1 – Информация о финансировании: Работа поддержана Европейским исследовательским советом в рамках исследовательского проекта SeismoSun № 321141 (CRG, VMN), консолидированного гранта STFC ST / L000733 / 1 и программы BK21 plus Национального исследовательского фонда, финансируемой Министерством образования Корея. Авторские права издателя: © 2016 ESO. Авторское право: Авторские права 2016 Elsevier B.V., Все права защищены.

PY – 2016

Y1 – 2016

N2 – Изгибные колебания корональных арок – одно из наиболее интенсивно исследуемых колебательных явлений в солнечной короне.В режиме быстрого затухания с большой амплитудой эти колебания имеют низкую добротность, и только несколько циклов колебаний обнаруживаются до того, как они затухают. Специфический механизм, ответственный за быстрое затухание, обычно считается связанным с линейной связью между коллективными колебаниями кинка и локализованными крутильными колебаниями, явлением резонансного поглощения моды кинка. Однако роль эффектов конечной амплитуды до сих пор не ясна. Цели. Мы исследовали эмпирическую зависимость времени затухания колебаний кинка и его добротности, которая определяется как отношение времени затухания к периоду колебаний, от амплитуды колебаний.Методы. Мы проанализировали затухающие колебания кинка, обнаруженные ранее с помощью TRACE, SDO / AIA и STEREO / EUVI в крайнем ультрафиолетовом (EUV) диапазоне 171 Å. Полученные результаты. Обнаружено, что отношение времени затухания колебаний кинка к периоду колебаний систематически уменьшается с увеличением амплитуды колебаний. Мы аппроксимировали зависимость добротности от амплитуды смещения колебаний степенной зависимостью с показателем -1/2, однако подчеркиваем, что это оценка на глаз, и более строгая оценка закона масштабирования требует более точной измерения и увеличенная статистика.Мы пришли к выводу, что затухание кинковых колебаний корональных петель зависит от амплитуды колебаний, что указывает на возможную роль нелинейных механизмов затухания.

AB – Изгибные колебания корональных арок – одно из наиболее интенсивно исследуемых колебательных явлений в солнечной короне. В режиме быстрого затухания с большой амплитудой эти колебания имеют низкую добротность, и только несколько циклов колебаний обнаруживаются до того, как они затухают. Специфический механизм, ответственный за быстрое затухание, обычно считается связанным с линейной связью между коллективными колебаниями кинка и локализованными крутильными колебаниями, явлением резонансного поглощения моды кинка.Однако роль эффектов конечной амплитуды до сих пор не ясна. Цели. Мы исследовали эмпирическую зависимость времени затухания колебаний кинка и его добротности, которая определяется как отношение времени затухания к периоду колебаний, от амплитуды колебаний. Методы. Мы проанализировали затухающие колебания кинка, обнаруженные ранее с помощью TRACE, SDO / AIA и STEREO / EUVI в крайнем ультрафиолетовом (EUV) диапазоне 171 Å. Полученные результаты. Обнаружено, что отношение времени затухания колебаний кинка к периоду колебаний систематически уменьшается с увеличением амплитуды колебаний.Мы аппроксимировали зависимость добротности от амплитуды смещения колебаний степенной зависимостью с показателем -1/2, однако подчеркиваем, что это оценка на глаз, и более строгая оценка закона масштабирования требует более точной измерения и увеличенная статистика. Мы пришли к выводу, что затухание кинковых колебаний корональных петель зависит от амплитуды колебаний, что указывает на возможную роль нелинейных механизмов затухания.

кВт – Методы: наблюдательные

кВт – Солнце: корона

кВт – Солнце: колебания

UR – http: // www.scopus.com/inward/record.url?scp=84971672820&partnerID=8YFLogxK

U2 – 10.1051 / 0004-6361 / 201628718

DO – 10.1051 / 0004-6361 / 201628718

M3 – Артикул

165US

VL – 590

JO – Астрономия и астрофизика

JF – Астрономия и астрофизика

SN – 0004-6361

M1 – L5

ER –

Условие, при котором изохронность простого маятника не действует – Юнга Журнал Ученых

Аннотация

В этом эксперименте используется простой маятник длиной 1.3m создан и используется для измерения периода простого маятника с точностью до нескольких миллисекунд через Arduino. Для измерения используются датчик света и лазер.

В результате эксперимента период увеличивается с увеличением амплитуды. Период увеличивался менее чем на 1%, когда амплитуда была меньше 30 градусов. Период увеличился более чем на 10%, когда амплитуда достигла 80 градусов.

Мотивация и цель исследования

Простой маятник – это идеализированная математическая модель маятника.Это груз на конце безмассовой струны, повернутой в точке. При первоначальном толчке он будет раскачиваться вперед и назад с постоянной амплитудой. Период простого маятника не зависит от веса или амплитуды простого маятника. Это определение изохронности простого маятника. Однако говорят, что изохронизм простого маятника действителен только тогда, когда амплитуда мала. Тогда какая амплитуда считается «малой»?

Не было данных, которые объясняли бы точную амплитуду, которая является критерием между действительностью изохронизма или нет.Единственными данными, которые удалось найти, было то, что изохронизм простого маятника действителен только при небольшой амплитуде. Все предыдущие отчеты и эксперименты закончились тем, что изохронность простого маятника верна.

Таким образом, этот эксперимент направлен на определение максимальной амплитуды простого маятника, которую поддерживает изохронизм простого маятника.

Теоретические основы

1. История изучения простого маятника

Простой маятник впервые был использован в сейсмографе, который определяет направление места, где произошло землетрясение, с помощью вибрации простого маятника, разработанного китайским ученым Чжан Хеном. ^{В эпоху Возрождения маятники использовались в качестве источников энергии для механических устройств, таких как большие насосы. Первым ученым, изучившим свойства маятника, был итальянский ученый Галилео Галилей. Галилей открыл важное свойство, называемое изохронизмом маятника. Он обнаружил, что период маятника не зависит от массы и амплитуды маятника и пропорционален квадратному корню из длины маятника.Декарт обнаружил, что маятник не является изохронным в 1636 году. Период маятника увеличивается на амплитуду. 37 лет спустя, в 1673 году, Гюйгенс опубликовал теорию маятника и подтвердил, что изохронизм Галилея верен только для колебаний малой амплитуды.}

2. Период идеального простого маятника при небольшой амплитуде

Рисунок 1

Простой маятник может качаться под своим весом.На веревке подвешен объект массой

кг. С помощью гравитационного ускорения гравитационная сила маятника может быть разделена на две части, как показано на рисунке 1. Сила, которая способствует движению простого маятника, равна.

Уравнение 1

Уравнение 1 – это общее уравнение движения.

– сила, действующая на груз, – это ускорение груза. Уравнение движения простого маятника показано в уравнении 2.

Уравнение 2 ^[14]

– длина маятника.Если амплитуда в уравнении 2 очень мала, ее можно аппроксимировать с помощью. Используя это приближение, появляется уравнение 3.

Уравнение 3

Известным решением уравнения 3 является уравнение 4.

Уравнение 4

Где

– постоянное значение, зависящее от начального состояния. Время, когда завершается функция косинуса уравнения 4, то есть период простого маятника, определяется уравнением 5.

Уравнение 5

Следует отметить, что этот результат основан на приближении, что амплитуда

мала.

3. Идеальный период простого маятника при не малой амплитуде

Уравнение 5 предполагает, что амплитуда мала. Однако период простого маятника можно выразить, как показано в уравнении 6, если амплитуда не мала.

Уравнение 6 ^[14]

Когда амплитуда увеличивается, период должен увеличиваться в соответствии с уравнением 6.

Экспериментальные методы и результаты

Рисунок 2 (Слева) Фотография аппарата (Справа) Конструкция аппарата

Рисунок 2 представляет собой фотографию прибора для измерения периода.Детали устройства, разработанные в программе 3D CAD Fusion 360, изготавливаются из дерева, акрила и латуни. Латунь, соответствующая весу простого маятника, весила около 600 г. Вес должен был быть больше, чем весодержатель. Груз подвешивался на валу на держателе груза с подшипником качения. Расстояние от центра оси до центра простого маятника было спроектировано равным 1,3 м. Чем длиннее простой маятник, тем легче наблюдать за изменением периода, но его труднее переносить.

Принцип экспериментального аппарата

Датчик освещенности определяет источник света как простой маятник. Свет временно блокируется, когда маятник проходит через датчик освещенности. В это время значение светочувствительного датчика быстро уменьшается, а затем снова быстро увеличивается. Arduino измеряет значение светового датчика примерно каждые 1 мс и вычисляет период. Мы экспериментировали с различными типами источников света и пришли к выводу, что для повышения точности следует использовать лазеры.Когда в качестве источника света используется лазер, поскольку интенсивность света значительно выше, чем у освещения комнаты, период простого маятника может быть измерен без влияния окружающей яркости.

Экспериментальный процесс

1. Подключите плату Arduino к компьютеру и запустите программу Arduino на компьютере, чтобы активировать монитор последовательного порта.

2. Посветите лазерным лучом на датчик освещенности.

3.Отрегулируйте амплитуду до 10 °, глядя на транспортир, прикрепленный к прибору.

4. Освободив простой маятник из руки, позвольте маятнику колебаться, пока значение периода не появится на последовательном мониторе три раза.

5. Повторите процедуру от 10 ° до 90 ° с интервалом 5 °.

Результаты

В уравнении 5 период простого маятника постоянен независимо от амплитуды. Этот факт представлен Галилео Галилео и широко известен как изохронная природа простого маятника.С другой стороны, в уравнении 6 период простого маятника увеличивается с увеличением амплитуды. Это совпадает с тем, что обнаружили Декарт и Гюйгенс. Мы исследовали изменение периода по изменению амплитуды.

Рисунок 3 Изменение периода в зависимости от увеличения амплитуды

На рис. 3 показана зависимость периода от амплитуды. Наблюдается линейно возрастающая тенденция. Однако это не соответствовало тенденции к увеличению параболической формы в уравнении 6.Наблюдать тенденцию при амплитуде в пределах 16 ° было сложно. Поэтому амплитуду увеличили до 90 ° и эксперимент повторили.

Рисунок 4. Внешний вид опоры аппарата Рисунок 5. Транспортир, прикрепленный к аппарату

Как показано на Рис. 4 и Рис. 5, деревянная плита была удалена и заменена деталями из тефлона и латуни для повышения долговечности оборудования и свободного изменения амплитуды. Кроме того, был прикреплен транспортир для более точной манипуляции амплитудой.2, а длина маятника – 1,23 м. Длина простого маятника рассчитана на 1,3 м, но с учетом веса держателя груза длина центра тяжести укорачивается. Период простого маятника был записан, когда простой маятник качнулся три раза, и обозначен кружками, квадратами и треугольниками на рис. 6. Среднее значение этих трех значений показано красными кружками. Период, измеренный в эксперименте, увеличивается на параболической кривой с увеличением амплитуды.Это хорошо соответствовало нашему прогнозу. Максимальная ошибка составила 2,5% при амплитуде 75 градусов. При амплитуде 75 градусов теоретически ожидается 2479 мс периода.

Кроме того, мы обнаружили, что период уменьшается с увеличением числа колебаний. Считается, что амплитуда третьей вибрации меньше, чем амплитуда первой вибрации из-за трения, и, таким образом, период уменьшается. Это был неожиданный результат, противоречащий общему ожиданию, что период третьего колебания будет больше, чем период первого колебания за счет трения.Период с амплитудой 10 ° составил 2,238 с. Амплитуда 2,260 с, что на 1% больше за этот период, может быть примерно 30 °. Таким образом, можно видеть, что изохронность простого маятника верна в пределах 30 ° амплитуды.

Рисунок 7 Скорость изменения периода при увеличении амплитуды

На рис. 7 показана скорость изменения периода при увеличении амплитуды. Скорость изменения периода основана на периоде, когда амплитуда составляет 10 °.До амплитуды 30 ° можно проверить, что скорость изменения составляет менее 1%. Если период увеличивается более чем на 10%, можно подтвердить, что амплитуда становится примерно 80 ° или более. Это примерно соответствует теоретическому расчету уравнения 6. Расчет показывает, что разность периодов между амплитудой 0 ° и амплитудой 23 ° составляет 1%.

Заключение и обсуждение

Изохронизм простого маятника верен в пределах 1% при амплитуде 30 °.Было изготовлено устройство, способное измерять период простого маятника, и было подтверждено нарушение изохронности простого маятника. Подтверждено, что период изменяется менее чем на 1% до тех пор, пока амплитуда не достигнет 30 °. С другой стороны, период увеличился более чем на 10%, когда амплитуда стала больше 80 °.

Заблуждение о том, что период маятника не изменится, было вызвано приближением при выводе уравнения. Уравнение, включающее квадратичные члены для амплитуды, согласуется с нашим экспериментальным результатом с точностью до 2.5%.

Если бы мы не использовали Arduino и лазер, эти точные измерения были бы невозможны. Разница в периоде поворота на 85 градусов и 10 градусов составила всего 310 мс. Это хороший пример экспериментирования, в котором точность Arduino используется для выявления неисправности.

Список литературы

1. Мортон, В. Скотт и Чарльтон М. Льюис. 2005. Китай: его история и культура . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл

2. Мэтьюз, Майкл Р. 2000. Время для естественнонаучного образования .

3. Дрейк, Стилман. 2003. Галилей за работой: его научная биография . США: Курьер Дувр.

4. «Маятниковые часы. Проект Галилео . 1995. Ван Хелден, Альберт. Рис Univ. http://galileo.rice.edu/sci/instruments/pendulum.html

5. Мэтьюз, Майкл Р. 1994. Преподавание естественных наук: роль истории и философии науки .

6. Махони, Майкл С. 2007. Кристиан Гюйгенс: Измерение времени и долготы в море .Принстонский университет

7. Мириам Вебстер. 2000. Маятник . Энциклопедия Мириам Вебстер. http://scienceworld.wolfram.com/physics/SimplePendulum.html.

8. Маррисон, Уоррен. 1948. «Эволюция кварцевых часов». Технический журнал Bell System . 27: 510–588.

9. Моррис, Уильям, Эд .. 1979. Словарь американского наследия. Новый колледж Эд. Нью-Йорк: Хоутон-Миффлин.

10. Гюйгенс, Кристиан. 1673. «Часы Осцилляторий».17век. Математики. http://17centurymaths.com/contents/huygenscontents.html

11. Нейв, Карл Р. 2006. Простой маятник . Гиперфизика. Georgia State Univ. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pend.html.

12. Сюэ, Линвэй. 2007. Маятниковые системы . Видя и трогая структурные концепции. Отдел гражданского строительства, Univ. Манчестера, Великобритания. http://epsassets.manchester.ac.uk/structural-concepts.

13. Вайсштейн, Эрик В. 2007. Простой маятник . Мир науки Эрика Вайсштейна. http://scienceworld.wolfram.com/physics/SimplePendulum.html.

14. Милхэм, Уиллис I. 1945. Время и хронометристы. Макмиллан.

15. Халлидей, Дэвид, Роберт Резник и Джерл Уокер. 1997. Основы физики . 5-е изд. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья.

16. Купер, Герберт Дж. 2007. Scientific Instruments . Нью-Йорк:

Хатчинсона

17. Нельсон, Роберт М.Г. Ольссон. 1987. «Маятник – богатая физика из простой системы». Американский журнал физики 54 (2): 112–121.

18. Энциклопедия Британика Паблишинг Ко. 1910 г. Часы . 11-е изд. Британская энциклопедия,

19. Дешейн Дж. С., Костюм Б. Х .. 2008. Подвесной шнур с реальной массой кончика. 29 изд. Европейский журнал физики.

20. Лаборатория M1: Простой маятник. 2005 г. https://nano-optics.colorado.edu/fileadmin/Teaching/phys1140/lab_manuals/LabManualM1.pdf

Об авторах

Живут в Пхохане, Чанг Джун и Джин Ён учатся в средней школе Пхохан Джечеол, Южная Корея. Их интересует не только физика, но и орагами, и математика. В настоящее время они вместе изучают программирование и физику.

.