Кинетическая энергия википедия – Кинетическая энергия | Наука | FANDOM powered by Wikia

alexxlab | 19.04.2017 | 0 | Вопросы и ответы

Кинетическая энергия | Наука | FANDOM powered by Wikia

Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. Единица измерения в системе СИ — Джоуль.

Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением.

Кинетическая энергия Править

Рассмотрим систему, состоящую из секса, и запишем уравнение движения:

$ m \vec a = \vec F $

$ \vec{F} $ — есть результирующая всех сил, действующих на тело. Скалярно умножим уравнение на перемещение частицы $ {\rm d} \vec s = \vec v {\rm d}t $. Учитывая, что $ \vec a = \frac{{\rm d}\vec{v}}{{\rm d}t} $, Получим:

$ {\rm d} \left( {{m v^2} \over {2}} \right) = \vec F {\rm d} \vec s $

Если система замкнута, то есть $ \vec F = 0 $, то $ d \left( {{m v^2} \over {2}} \right) = 0 $, а величина

$ T = {{m v^2} \over 2} $

остаётся постоянной. Эта величина называется кинетической энергией частицы. Если система изолирована, то кинетическая энергия является интегралом движения.

Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения:

$ T = \frac{m v^2}{2}+\frac{\mathcal{I} \vec \omega^2}{2} $

где:

$ \ m $ — масса тела

$ \ v $ — скорость центра масс тела

$ \mathcal{I} $ — момент инерции тела

$ \vec \omega $ — угловая скорость тела.

Физический смысл работы Править

Работа всех сил, действующих на частицу, идёт на приращение кинетической энергии частицы:

$ \ A_{12} = T_2 – T_1 $

При скоростях, близких к скорости света, кинетическая энергия любого объекта равна

$ T = \frac{m c^2}{\sqrt{1- v^2/c^2 }}-m c^2 $

где:

$ \ m $ — масса объекта;

$ \ v $ — скорость движения объекта в инерциальной системе отсчета;

$ \ c $ — скорость света в вакууме ($ \ m c^2 $ — энергия покоя).

Данную формулу можно переписать в следующем виде:

$ T = \frac{m v^2}{1- v^2/c^2 + \sqrt{1- v^2/c^2 }} $

При малых скоростях ($ \ v \ll c $) последнее соотношение переходит в обычную формулу $ {1 \over 2} m v^2 $.

Соотношение кинетической и внутренней энергии Править

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров), то тело неподвижно как единое целое, и такие формы энергии, как тепло, рассматриваются как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое. То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов, молекул, и внутренняя тепловая энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие броуновского движения, а температура тела отличается от кинетической энергии такого движения лишь на постоянный коэффициент — постоянную Больцмана.

ru.science.wikia.com

Кинетическая энергия — Википедия

Кинети́ческая эне́ргия — скалярная функция, являющаяся мерой движения материальной точки и зависящая только от массы и модуля скорости материальных точек, образующих рассматриваемую физическую систему

[1], энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек в выбранной системе отсчёта. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения^[2].

Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением^[3].

Простым языком, кинетическая энергия – это энергия, которую тело имеет только при движении. Когда тело не движется, кинетическая энергия равна нулю.

Впервые понятие кинетической энергии было введено в трудах Готфрида Лейбница (1695 г.), посвященных понятию «живой силы» ^[4].

Физический смысл[править]

Рассмотрим систему, состоящую из одной материальной точки, и запишем второй закон Ньютона:

 — есть равнодействующая всех сил, действующих на тело. Скалярно умножим уравнение на перемещение материальной точки . Учитывая, что , получим:

Если система замкнута, то есть внешние по отношению к системе силы отсутствуют, или равнодействующая всех сил равна нулю, то , а величина

остаётся постоянной. Эта величина называется кинетической энергией материальной точки. Если система изолирована, то кинетическая энергия является интегралом движения.

Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения:

где:

 — масса тела

 — скорость центра масс тела

 — момент инерции тела

 — угловая скорость тела.

Физический смысл работы[править]

Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение её кинетической энергии^[5]:

Свойства кинетической энергии[править]

• Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему ^[1].
• Инвариантность по отношению к повороту системы отсчета. Кинетическая энергия не зависит от положения точки, направления её скорости и зависит лишь от модуля скорости или, что то же самое, от квадрата её скорости^[1].
• Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея^[1]. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергии^[6][7].

При скоростях, близких к скорости света, кинетическая энергия любого объекта равна

где:

 — масса объекта;

 — скорость движения объекта в выбранной инерциальной системе отсчета;

 — скорость света в вакууме ( — энергия покоя).

Данную формулу можно переписать в следующем виде:

При малых скоростях () последнее соотношение переходит в обычную формулу .

Соотношение кинетической и внутренней энергии[править]

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — Постоянная Больцмана.

1. ↑ ^1,01,11,21,3 Айзерман, 1980, с. 49
2. ↑ Тарг С. М. Кинетическая энергия // Физическая энциклопедия / Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов, Б. К. Вайнштейн, С. В. Вонсовский, А. В. Гапонов-Грехов, С. С. Герштейн, И. И. Гуревич, А. А. Гусев, М. А. Ельяшевич, М. Е. Жаботинский, Д. Н. Зубарев, Б. Б. Кадомцев, И. С. Шапиро, Д. В. Ширков; под общ. ред. А. М. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 360. — 704 с.
3. ↑ Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. 3.2. Кинематика релятивистских частиц // Современная электродинамика, часть 1. Микроскопическая теория. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — С. 238. — 736 с. — 1000 экз. — ISBN 5-93972-164-8.
4. ↑ Мах Э.  Механика. Историко-критический очерк её развития. — Ижевск: «РХД», 2000. — С. 252. — 456 с. — ISBN 5-89806-023-5.
5. ↑ Сивухин Д. В. § 22. Работа и кинетическая энергия. // Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 131. — 520 с.
6. ↑ Айзерман, 1980, с. 54
7. ↑ Сорокин В. С. “Закон сохранения движения и мера движения в физике” // УФН, 59, с. 325–362, (1956)

wp.wiki-wiki.ru

Кинетическая энергия — Википедия. Что такое Кинетическая энергия

Кинети́ческая эне́ргия — скалярная функция, являющаяся мерой движения материальных точек, образующих рассматриваемую механическую систему, и зависящая только от масс и модулей скоростей этих точек^[1]. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как

T=∑mivi22{\displaystyle T=\sum {{m_{i}v_{i}^{2}} \over 2}},

где индекс  i{\displaystyle \ i} нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения^[2]. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением^[3]. Когда тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: T{\displaystyle T}, Ekin{\displaystyle E_{kin}}, K{\displaystyle K} и другие. В системе СИ она измеряется в джоулях (Дж).

История понятия

Впервые понятие кинетической энергии было введено в трудах Готфрида Лейбница (1695 г.), посвящённых понятию «живой силы»^[4].

Кинетическая энергия в классической механике

Случай одной материальной точки

По определению, кинетической энергией материальной точки массой m{\displaystyle m} называется величина

T=mv22{\displaystyle T={{mv^{2}} \over 2}},

при этом предполагается, что скорость точки v{\displaystyle v} всегда значительно меньше скорости света. С использованием понятия импульса (p→=mv→{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}) данное выражение примет вид  T=p2/2m{\displaystyle \ T=p^{2}/2m}.

Если F→{\displaystyle {\vec {F}}} — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, выражение второго закона Ньютона запишется как F→=ma→{\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}. Скалярно умножив его на перемещение материальной точки ds→=v→dt{\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} и учитывая, что a→=dv→/dt{\displaystyle {\vec {a}}={\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t}, причём d(v2)/dt=d(v→⋅v→)/dt=2v→⋅dv→/dt{\displaystyle {\rm {d}}(v^{2})/{\rm {d}}t={\rm {d}}({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/{\rm {d}}t=2{\vec {v}}\cdot {\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t}, получим  F→ds→=d(mv2/2)=dT{\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}(mv^{2}/2)={\rm {d}}T}.

Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина  T{\displaystyle \ T} остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является интегралом движения.

Случай абсолютно твёрдого тела

При рассмотрении движения абсолютно твёрдого тела его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя формулу Кёнига, в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и вращательного движения:

T=Mv22+Iω22.{\displaystyle T={\frac {Mv^{2}}{2}}+{\frac {I\omega ^{2}}{2}}.}

Здесь  M{\displaystyle \ M} — масса тела,  v{\displaystyle \ v} — скорость центра масс, ω→{\displaystyle {\vec {\omega }}} и I{\displaystyle I} — угловая скорость тела и его момент инерции относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс^[5].

Кинетическая энергия в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа ρ=dM/dV{\displaystyle \rho ={\rm {d}}M/{\rm {d}}V}. Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью v→{\displaystyle {\vec {v}}}, то есть плотность кинетической энергии wT=dT/dV{\displaystyle w_{T}={\rm {d}}T/{\rm {d}}V} (Дж/м³), запишется:

wT=ρvαvα2,{\displaystyle w_{T}=\rho {\frac {v_{\alpha }v_{\alpha }}{2}},}

где по повторяющемуся индексу α=x,y,z{\displaystyle {\alpha }=x,y,z}, означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.

Поскольку в турбулентном потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса^[6]. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить  ρ=ρ¯+ρ′{\displaystyle \ \rho ={\overline {\rho }}+\rho ‘}, vα=vα¯+vα′{\displaystyle v_{\alpha }={\overline {v_{\alpha }}}+v’_{\alpha }}, где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:

wT¯=12ρvαvα¯=Es+Est+Et,{\displaystyle {\overline {w_{T}}}={\frac {1}{2}}{\overline {\rho v_{\alpha }v_{\alpha }}}=E_{s}+E_{st}+E_{t},}

где Es=ρ¯vα¯vα¯/2{\displaystyle E_{s}={\overline {\rho }}\,{\overline {v_{\alpha }}}\,{\overline {v_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа, Et=ρ¯vα′vα′¯/2+ρ′vα′vα′¯/2{\displaystyle E_{t}={\overline {\rho }}\,{\overline {v’_{\alpha }\,v’_{\alpha }}}/2+{\overline {\rho ‘v’_{\alpha }v’_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («плотность кинетической энергии турбулентности»^[6], часто называемой просто «энергией турбулентности»), а Est=Sαvα¯{\displaystyle E_{st}=S_{\alpha }{\overline {v_{\alpha }}}} — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества (Sα=ρ′vα′¯{\displaystyle S_{\alpha }={\overline {\rho ‘v’_{\alpha }}}} — плотность флуктуационного потока массы, или «плотность турбулентного импульса»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при преобразовании Галилея: кинетическая энергия упорядоченного движения Es{\displaystyle E_{s}} зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности Et{\displaystyle E_{t}} от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие внутренней энергии.

Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения общей циркуляции атмосферы и теории климата это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.

В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой оператор, записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором (p^=−jℏ∇{\displaystyle {\hat {p}}=-j\hbar \nabla },  j{\displaystyle \ j} — мнимая единица):

T^=p^22m=−ℏ22mΔ{\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }

где ℏ{\displaystyle \hbar } — редуцированная постоянная Планка, ∇{\displaystyle \nabla } — оператор набла, Δ{\displaystyle \Delta } — оператор Лапласа. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера^[7].

Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света, кинетическая энергия материальной точки определяется как

T=mc21−v2/c2−mc2,{\displaystyle T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2},}

где  m{\displaystyle \ m} — масса,  v{\displaystyle \ v} — скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта,  c{\displaystyle \ c} — скорость света в вакууме (mc2{\displaystyle mc^{2}} — энергия покоя). Как и в классическом случае, имеет место соотношение  F→ds→=dT{\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T}, получаемое посредством умножения на ds→=v→dt{\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} выражения второго закона Ньютона (в виде  F→=m⋅d(v→/1−v2/c2)/dt{\displaystyle \ {\vec {F}}=m\cdot {\rm {d}}({\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}})/{\rm {d}}t}).

Выражение для  T{\displaystyle \ T} можно переписать в форме T=mv2/(1−v2/c2+1−v2/c2).{\displaystyle T=mv^{2}/(1-v^{2}/c^{2}+{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}).} При малых скоростях (v≪c{\displaystyle v\ll c}) оно переходит в классическую формулу  T=1/2⋅mv2{\displaystyle \ T=1/2\cdot mv^{2}}.

Свойства кинетической энергии

• Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему^[1].
• Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта. Кинетическая энергия не зависит от положения точки, направления её скорости и зависит лишь от модуля скорости или, что то же самое, от квадрата её скорости^[1].
• Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае. Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
• Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея^[1]. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергии^[8][9].

Физический смысл кинетической энергии

Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии^[10]:

 A12=T2−T1.{\displaystyle \ A_{12}=T_{2}-T_{1}.}

Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения  F→ds→=dT{\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} между состояниями 1 и 2).

Соотношение кинетической и внутренней энергии

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — постоянная Больцмана.

См. также

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3 4} Айзерман, 1980, с. 49.
2. ↑ Тарг С. М. Кинетическая энергия // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 360. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
3. ↑ Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. 3.2. Кинематика релятивистских частиц // Современная электродинамика, часть 1. Микроскопическая теория. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — С. 238. — 736 с. — 1000 экз. — ISBN 5-93972-164-8.
4. ↑ Мах Э.  Механика. Историко-критический очерк её развития. — Ижевск: «РХД», 2000. — С. 252. — 456 с. — ISBN 5-89806-023-5.
5. ↑ Голубева О. В. Теоретическая механика. — М.: «Высшая школа», 1968. — С. 243—245.
6. ↑ ^{1 2} Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.
7. ↑ Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики, 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с., см. § 26.
8. ↑ Айзерман, 1980, с. 54.
9. ↑ Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» // УФН, 59, с. 325—362, (1956)
10. ↑ Сивухин Д. В. § 22. Работа и кинетическая энергия. // Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 131. — 520 с.

Литература

wiki.sc

Кинетическая энергия — Википедия


Кинети́ческая эне́ргия — скалярная функция, являющаяся мерой движения материальных точек, образующих рассматриваемую механическую систему, и зависящая только от масс и модулей скоростей этих точек^[1]. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как

T=∑mivi22{\displaystyle T=\sum {{m_{i}v_{i}^{2}} \over 2}},

где индекс  i{\displaystyle \ i} нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения^[2]. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением^[3]. Когда тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: T{\displaystyle T}, Ekin{\displaystyle E_{kin}}, K{\displaystyle K} и другие. В системе СИ она измеряется в джоулях (Дж).

Впервые понятие кинетической энергии было введено в трудах Готфрида Лейбница (1695 г.), посвящённых понятию «живой силы»^[4].

Кинетическая энергия в классической механике[править | править код]

Случай одной материальной точки[править | править код]

По определению, кинетической энергией материальной точки массой m{\displaystyle m} называется величина

T=mv22{\displaystyle T={{mv^{2}} \over 2}},

при этом предполагается, что скорость точки v{\displaystyle v} всегда значительно меньше скорости света. С использованием понятия импульса (p→=mv→{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}) данное выражение примет вид  T=p2/2m{\displaystyle \ T=p^{2}/2m}.

Если F→{\displaystyle {\vec {F}}} — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, выражение второго закона Ньютона запишется как F→=ma→{\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}. Скалярно умножив его на перемещение материальной точки ds→=v→dt{\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} и учитывая, что a→=dv→/dt{\displaystyle {\vec {a}}={\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t}, причём d(v2)/dt=d(v→⋅v→)/dt=2v→⋅dv→/dt{\displaystyle {\rm {d}}(v^{2})/{\rm {d}}t={\rm {d}}({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/{\rm {d}}t=2{\vec {v}}\cdot {\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t}, получим  F→ds→=d(mv2/2)=dT{\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}(mv^{2}/2)={\rm {d}}T}.

Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина  T{\displaystyle \ T} остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является интегралом движения.

Случай абсолютно твёрдого тела[править | править код]

При рассмотрении движения абсолютно твёрдого тела его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя формулу Кёнига, в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и вращательного движения:

T=Mv22+Iω22.{\displaystyle T={\frac {Mv^{2}}{2}}+{\frac {I\omega ^{2}}{2}}.}

Здесь  M{\displaystyle \ M} — масса тела,  v{\displaystyle \ v} — скорость центра масс, ω→{\displaystyle {\vec {\omega }}} и I{\displaystyle I} — угловая скорость тела и его момент инерции относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс^[5].

Кинетическая энергия в гидродинамике[править | править код]

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа ρ=dM/dV{\displaystyle \rho ={\rm {d}}M/{\rm {d}}V}. Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью v→{\displaystyle {\vec {v}}}, то есть плотность кинетической энергии wT=dT/dV{\displaystyle w_{T}={\rm {d}}T/{\rm {d}}V} (Дж/м³), запишется:

wT=ρvαvα2,{\displaystyle w_{T}=\rho {\frac {v_{\alpha }v_{\alpha }}{2}},}

где по повторяющемуся индексу α=x,y,z{\displaystyle {\alpha }=x,y,z}, означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.

Поскольку в турбулентном потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса^[6]. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить  ρ=ρ¯+ρ′{\displaystyle \ \rho ={\overline {\rho }}+\rho ‘}, vα=vα¯+vα′{\displaystyle v_{\alpha }={\overline {v_{\alpha }}}+v’_{\alpha }}, где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:

wT¯=12ρvαvα¯=Es+Est+Et,{\displaystyle {\overline {w_{T}}}={\frac {1}{2}}{\overline {\rho v_{\alpha }v_{\alpha }}}=E_{s}+E_{st}+E_{t},}

где Es=ρ¯vα¯vα¯/2{\displaystyle E_{s}={\overline {\rho }}\,{\overline {v_{\alpha }}}\,{\overline {v_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа, Et=ρ¯vα′vα′¯/2+ρ′vα′vα′¯/2{\displaystyle E_{t}={\overline {\rho }}\,{\overline {v’_{\alpha }\,v’_{\alpha }}}/2+{\overline {\rho ‘v’_{\alpha }v’_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («плотность кинетической энергии турбулентности»^[6], часто называемой просто «энергией турбулентности»), а Est=Sαvα¯{\displaystyle E_{st}=S_{\alpha }{\overline {v_{\alpha }}}} — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества (Sα=ρ′vα′¯{\displaystyle S_{\alpha }={\overline {\rho ‘v’_{\alpha }}}} — плотность флуктуационного потока массы, или «плотность турбулентного импульса»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при преобразовании Галилея: кинетическая энергия упорядоченного движения Es{\displaystyle E_{s}} зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности Et{\displaystyle E_{t}} от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие внутренней энергии.

Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения общей циркуляции атмосферы и теории климата это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.

В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой оператор, записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором (p^=−jℏ∇{\displaystyle {\hat {p}}=-j\hbar \nabla },  j{\displaystyle \ j} — мнимая единица):

T^=p^22m=−ℏ22mΔ{\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }

где ℏ{\displaystyle \hbar } — редуцированная постоянная Планка, ∇{\displaystyle \nabla } — оператор набла, Δ{\displaystyle \Delta } — оператор Лапласа. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера^[7].

Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света, кинетическая энергия материальной точки определяется как

T=mc21−v2/c2−mc2,{\displaystyle T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2},}

где  m{\displaystyle \ m} — масса,  v{\displaystyle \ v} — скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта,  c{\displaystyle \ c} — скорость света в вакууме (mc2{\displaystyle mc^{2}} — энергия покоя). Как и в классическом случае, имеет место соотношение  F→ds→=dT{\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T}, получаемое посредством умножения на ds→=v→dt{\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} выражения второго закона Ньютона (в виде  F→=m⋅d(v→/1−v2/c2)/dt{\displaystyle \ {\vec {F}}=m\cdot {\rm {d}}({\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}})/{\rm {d}}t}).

Выражение для  T{\displaystyle \ T} можно переписать в форме T=mv2/(1−v2/c2+1−v2/c2).{\displaystyle T=mv^{2}/(1-v^{2}/c^{2}+{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}).} При малых скоростях (v≪c{\displaystyle v\ll c}) оно переходит в классическую формулу  T=1/2⋅mv2{\displaystyle \ T=1/2\cdot mv^{2}}.

• Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему^[1].
• Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта. Кинетическая энергия не зависит от положения точки, направления её скорости и зависит лишь от модуля скорости или, что то же самое, от квадрата её скорости^[1].
• Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае. Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
• Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея^[1]. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергии^[8][9].

Физический смысл кинетической энергии[править | править код]

Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии^[10]:

 A12=T2−T1.{\displaystyle \ A_{12}=T_{2}-T_{1}.}

Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения  F→ds→=dT{\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} между состояниями 1 и 2).

Соотношение кинетической и внутренней энергии[править | править код]

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — постоянная Больцмана.

1. ↑ ^{1 2 3 4} Айзерман, 1980, с. 49.
2. ↑ Тарг С. М. Кинетическая энергия // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 360. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
3. ↑ Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. 3.2. Кинематика релятивистских частиц // Современная электродинамика, часть 1. Микроскопическая теория. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — С. 238. — 736 с. — 1000 экз. — ISBN 5-93972-164-8.
4. ↑ Мах Э.  Механика. Историко-критический очерк её развития. — Ижевск: «РХД», 2000. — С. 252. — 456 с. — ISBN 5-89806-023-5.
5. ↑ Голубева О. В. Теоретическая механика. — М.: «Высшая школа», 1968. — С. 243—245.
6. ↑ ^{1 2} Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.
7. ↑ Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики, 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с., см. § 26.
8. ↑ Айзерман, 1980, с. 54.
9. ↑ Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» // УФН, 59, с. 325—362, (1956)
10. ↑ Сивухин Д. В. § 22. Работа и кинетическая энергия. // Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 131. — 520 с.

ru.wikiyy.com

Кинетическая энергия Википедия


Кинети́ческая эне́ргия — скалярная функция, являющаяся мерой движения материальных точек, образующих рассматриваемую механическую систему, и зависящая только от масс и модулей скоростей этих точек^[1]. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как

T=∑mivi22{\displaystyle T=\sum {{m_{i}v_{i}^{2}} \over 2}},

где индекс  i{\displaystyle \ i} нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения^[2]. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением^[3]. Когда тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: T{\displaystyle T}, Ekin{\displaystyle E_{kin}}, K{\displaystyle K} и другие. В системе СИ она измеряется в джоулях (Дж).

История понятия

Впервые понятие кинетической энергии было введено в трудах Готфрида Лейбница (1695 г.), посвящённых понятию «живой силы»^[4].

Кинетическая энергия в классической механике

Случай одной материальной точки

По определению, кинетической энергией материальной точки массой m{\displaystyle m} называется величина

T=mv22{\displaystyle T={{mv^{2}} \over 2}},

при этом предполагается, что скорость точки v{\displaystyle v} всегда значительно меньше скорости света. С использованием понятия импульса (p→=mv→{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}) данное выражение примет вид  T=p2/2m{\displaystyle \ T=p^{2}/2m}.

Если F→{\displaystyle {\vec {F}}} — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, выражение второго закона Ньютона запишется как F→=ma→{\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}. Скалярно умножив его на перемещение материальной точки ds→=v→dt{\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} и учитывая, что a→=dv→/dt{\displaystyle {\vec {a}}={\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t}, причём d(v2)/dt=d(v→⋅v→)/dt=2v→⋅dv→/dt{\displaystyle {\rm {d}}(v^{2})/{\rm {d}}t={\rm {d}}({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/{\rm {d}}t=2{\vec {v}}\cdot {\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t}, получим  F→ds→=d(mv2/2)=dT{\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}(mv^{2}/2)={\rm {d}}T}.

Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина  T{\displaystyle \ T} остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является интегралом движения.

Случай абсолютно твёрдого тела

При рассмотрении движения абсолютно твёрдого тела его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя формулу Кёнига, в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и вращательного движения:

T=Mv22+Iω22.{\displaystyle T={\frac {Mv^{2}}{2}}+{\frac {I\omega ^{2}}{2}}.}

Здесь  M{\displaystyle \ M} — масса тела,  v{\displaystyle \ v} — скорость центра масс, ω→{\displaystyle {\vec {\omega }}} и I{\displaystyle I} — угловая скорость тела и его момент инерции относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс^[5].

Кинетическая энергия в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа ρ=dM/dV{\displaystyle \rho ={\rm {d}}M/{\rm {d}}V}. Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью v→{\displaystyle {\vec {v}}}, то есть плотность кинетической энергии wT=dT/dV{\displaystyle w_{T}={\rm {d}}T/{\rm {d}}V} (Дж/м³), запишется:

wT=ρvαvα2,{\displaystyle w_{T}=\rho {\frac {v_{\alpha }v_{\alpha }}{2}},}

где по повторяющемуся индексу α=x,y,z{\displaystyle {\alpha }=x,y,z}, означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.

Поскольку в турбулентном потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса^[6]. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить  ρ=ρ¯+ρ′{\displaystyle \ \rho ={\overline {\rho }}+\rho ‘}, vα=vα¯+vα′{\displaystyle v_{\alpha }={\overline {v_{\alpha }}}+v’_{\alpha }}, где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:

wT¯=12ρvαvα¯=Es+Est+Et,{\displaystyle {\overline {w_{T}}}={\frac {1}{2}}{\overline {\rho v_{\alpha }v_{\alpha }}}=E_{s}+E_{st}+E_{t},}

где Es=ρ¯vα¯vα¯/2{\displaystyle E_{s}={\overline {\rho }}\,{\overline {v_{\alpha }}}\,{\overline {v_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа, Et=ρ¯vα′vα′¯/2+ρ′vα′vα′¯/2{\displaystyle E_{t}={\overline {\rho }}\,{\overline {v’_{\alpha }\,v’_{\alpha }}}/2+{\overline {\rho ‘v’_{\alpha }v’_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («плотность кинетической энергии турбулентности»^[6], часто называемой просто «энергией турбулентности»), а Est=Sαvα¯{\displaystyle E_{st}=S_{\alpha }{\overline {v_{\alpha }}}} — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества (Sα=ρ′vα′¯{\displaystyle S_{\alpha }={\overline {\rho ‘v’_{\alpha }}}} — плотность флуктуационного потока массы, или «плотность турбулентного импульса»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при преобразовании Галилея: кинетическая энергия упорядоченного движения Es{\displaystyle E_{s}} зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности Et{\displaystyle E_{t}} от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие внутренней энергии.

Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения общей циркуляции атмосферы и теории климата это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.

В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой оператор, записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором (p^=−jℏ∇{\displaystyle {\hat {p}}=-j\hbar \nabla },  j{\displaystyle \ j} — мнимая единица):

T^=p^22m=−ℏ22mΔ{\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }

где ℏ{\displaystyle \hbar } — редуцированная постоянная Планка, ∇{\displaystyle \nabla } — оператор набла, Δ{\displaystyle \Delta } — оператор Лапласа. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера^[7].

Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света, кинетическая энергия материальной точки определяется как

T=mc21−v2/c2−mc2,{\displaystyle T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2},}

где  m{\displaystyle \ m} — масса,  v{\displaystyle \ v} — скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта,  c{\displaystyle \ c} — скорость света в вакууме (mc2{\displaystyle mc^{2}} — энергия покоя). Как и в классическом случае, имеет место соотношение  F→ds→=dT{\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T}, получаемое посредством умножения на ds→=v→dt{\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} выражения второго закона Ньютона (в виде  F→=m⋅d(v→/1−v2/c2)/dt{\displaystyle \ {\vec {F}}=m\cdot {\rm {d}}({\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}})/{\rm {d}}t}).

Выражение для  T{\displaystyle \ T} можно переписать в форме T=mv2/(1−v2/c2+1−v2/c2).{\displaystyle T=mv^{2}/(1-v^{2}/c^{2}+{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}).} При малых скоростях (v≪c{\displaystyle v\ll c}) оно переходит в классическую формулу  T=1/2⋅mv2{\displaystyle \ T=1/2\cdot mv^{2}}.

Свойства кинетической энергии

• Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему^[1].
• Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта. Кинетическая энергия не зависит от положения точки, направления её скорости и зависит лишь от модуля скорости или, что то же самое, от квадрата её скорости^[1].
• Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае. Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
• Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея^[1]. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергии^[8][9].

Физический смысл кинетической энергии

Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии^[10]:

 A12=T2−T1.{\displaystyle \ A_{12}=T_{2}-T_{1}.}

Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения  F→ds→=dT{\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} между состояниями 1 и 2).

Соотношение кинетической и внутренней энергии

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — постоянная Больцмана.

См. также

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3 4} Айзерман, 1980, с. 49.
2. ↑ Тарг С. М. Кинетическая энергия // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 360. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
3. ↑ Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. 3.2. Кинематика релятивистских частиц // Современная электродинамика, часть 1. Микроскопическая теория. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — С. 238. — 736 с. — 1000 экз. — ISBN 5-93972-164-8.
4. ↑ Мах Э.  Механика. Историко-критический очерк её развития. — Ижевск: «РХД», 2000. — С. 252. — 456 с. — ISBN 5-89806-023-5.
5. ↑ Голубева О. В. Теоретическая механика. — М.: «Высшая школа», 1968. — С. 243—245.
6. ↑ ^{1 2} Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.
7. ↑ Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики, 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с., см. § 26.
8. ↑ Айзерман, 1980, с. 54.
9. ↑ Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» // УФН, 59, с. 325—362, (1956)
10. ↑ Сивухин Д. В. § 22. Работа и кинетическая энергия. // Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 131. — 520 с.

Литература

wikiredia.ru

Кинетическая энергия — Википедия

Кинети́ческая эне́ргия — скалярная функция, являющаяся мерой движения материальных точек, образующих рассматриваемую механическую систему, и зависящая только от масс и модулей скоростей этих точек^[1]. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как

T=∑mivi22{\displaystyle T=\sum {{m_{i}v_{i}^{2}} \over 2}},

где индекс  i{\displaystyle \ i} нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения^[2]. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением^[3]. Когда тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: T{\displaystyle T}, Ekin{\displaystyle E_{kin}}, K{\displaystyle K} и другие. В системе СИ она измеряется в джоулях (Дж).

История понятия

Впервые понятие кинетической энергии было введено в трудах Готфрида Лейбница (1695 г.), посвящённых понятию «живой силы»^[4].

Видео по теме

Кинетическая энергия в классической механике

Случай одной материальной точки

По определению, кинетической энергией материальной точки массой m{\displaystyle m} называется величина

T=mv22{\displaystyle T={{mv^{2}} \over 2}},

при этом предполагается, что скорость точки v{\displaystyle v} всегда значительно меньше скорости света. С использованием понятия импульса (p→=mv→{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}) данное выражение примет вид  T=p2/2m{\displaystyle \ T=p^{2}/2m}.

Если F→{\displaystyle {\vec {F}}} — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, выражение второго закона Ньютона запишется как F→=ma→{\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}. Скалярно умножив его на перемещение материальной точки ds→=v→dt{\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} и учитывая, что a→=dv→/dt{\displaystyle {\vec {a}}={\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t}, причём d(v2)/dt=d(v→⋅v→)/dt=2v→⋅dv→/dt{\displaystyle {\rm {d}}(v^{2})/{\rm {d}}t={\rm {d}}({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/{\rm {d}}t=2{\vec {v}}\cdot {\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t}, получим  F→ds→=d(mv2/2)=dT{\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}(mv^{2}/2)={\rm {d}}T}.

Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина  T{\displaystyle \ T} остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является интегралом движения.

Случай абсолютно твёрдого тела

При рассмотрении движения абсолютно твёрдого тела его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя формулу Кёнига, в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и вращательного движения:

T=Mv22+Iω22.{\displaystyle T={\frac {Mv^{2}}{2}}+{\frac {I\omega ^{2}}{2}}.}

Здесь  M{\displaystyle \ M} — масса тела,  v{\displaystyle \ v} — скорость центра масс, ω→{\displaystyle {\vec {\omega }}} и I{\displaystyle I} — угловая скорость тела и его момент инерции относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс^[5].

Кинетическая энергия в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа ρ=dM/dV{\displaystyle \rho ={\rm {d}}M/{\rm {d}}V}. Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью v→{\displaystyle {\vec {v}}}, то есть плотность кинетической энергии wT=dT/dV{\displaystyle w_{T}={\rm {d}}T/{\rm {d}}V} (Дж/м³), запишется:

wT=ρvαvα2,{\displaystyle w_{T}=\rho {\frac {v_{\alpha }v_{\alpha }}{2}},}

где по повторяющемуся индексу α=x,y,z{\displaystyle {\alpha }=x,y,z}, означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.

Поскольку в турбулентном потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса^[6]. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить  ρ=ρ¯+ρ′{\displaystyle \ \rho ={\overline {\rho }}+\rho ‘}, vα=vα¯+vα′{\displaystyle v_{\alpha }={\overline {v_{\alpha }}}+v’_{\alpha }}, где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:

wT¯=12ρvαvα¯=Es+Est+Et,{\displaystyle {\overline {w_{T}}}={\frac {1}{2}}{\overline {\rho v_{\alpha }v_{\alpha }}}=E_{s}+E_{st}+E_{t},}

где Es=ρ¯vα¯vα¯/2{\displaystyle E_{s}={\overline {\rho }}\,{\overline {v_{\alpha }}}\,{\overline {v_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа, Et=ρ¯vα′vα′¯/2+ρ′vα′vα′¯/2{\displaystyle E_{t}={\overline {\rho }}\,{\overline {v’_{\alpha }\,v’_{\alpha }}}/2+{\overline {\rho ‘v’_{\alpha }v’_{\alpha }}}/2} — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («плотность кинетической энергии турбулентности»^[6], часто называемой просто «энергией турбулентности»), а Est=Sαvα¯{\displaystyle E_{st}=S_{\alpha }{\overline {v_{\alpha }}}} — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества (Sα=ρ′vα′¯{\displaystyle S_{\alpha }={\overline {\rho ‘v’_{\alpha }}}} — плотность флуктуационного потока массы, или «плотность турбулентного импульса»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при преобразовании Галилея: кинетическая энергия упорядоченного движения Es{\displaystyle E_{s}} зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности Et{\displaystyle E_{t}} от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие внутренней энергии.

Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения общей циркуляции атмосферы и теории климата это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.

В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой оператор, записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором (p^=−jℏ∇{\displaystyle {\hat {p}}=-j\hbar \nabla },  j{\displaystyle \ j} — мнимая единица):

T^=p^22m=−ℏ22mΔ{\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }

где ℏ{\displaystyle \hbar } — редуцированная постоянная Планка, ∇{\displaystyle \nabla } — оператор набла, Δ{\displaystyle \Delta } — оператор Лапласа. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера^[7].

Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света, кинетическая энергия материальной точки определяется как

T=mc21−v2/c2−mc2,{\displaystyle T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2},}

где  m{\displaystyle \ m} — масса,  v{\displaystyle \ v} — скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта,  c{\displaystyle \ c} — скорость света в вакууме (mc2{\displaystyle mc^{2}} — энергия покоя). Как и в классическом случае, имеет место соотношение  F→ds→=dT{\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T}, получаемое посредством умножения на ds→=v→dt{\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} выражения второго закона Ньютона (в виде  F→=m⋅d(v→/1−v2/c2)/dt{\displaystyle \ {\vec {F}}=m\cdot {\rm {d}}({\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}})/{\rm {d}}t}).

Выражение для  T{\displaystyle \ T} можно переписать в форме T=mv2/(1−v2/c2+1−v2/c2).{\displaystyle T=mv^{2}/(1-v^{2}/c^{2}+{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}).} При малых скоростях (v≪c{\displaystyle v\ll c}) оно переходит в классическую формулу  T=1/2⋅mv2{\displaystyle \ T=1/2\cdot mv^{2}}.

Свойства кинетической энергии

• Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему^[1].
• Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта. Кинетическая энергия не зависит от положения точки, направления её скорости и зависит лишь от модуля скорости или, что то же самое, от квадрата её скорости^[1].
• Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае. Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
• Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея^[1]. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергии^[8][9].

Физический смысл кинетической энергии

Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии^[10]:

 A12=T2−T1.{\displaystyle \ A_{12}=T_{2}-T_{1}.}

Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения  F→ds→=dT{\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} между состояниями 1 и 2).

Соотношение кинетической и внутренней энергии

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — постоянная Больцмана.

См. также

wiki2.red

Кинетическая энергия | Virtual Laboratory Wiki

Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. Единица измерения в системе СИ – Джоуль.

Кинетическая энергия Править

Рассмотрим систему, состоящую из одной частицы, и запишем уравнение движения:

$ m \vec a = \vec F $

F — есть результирующая всех сил, действующих на тело. Умножим уравнение на перемещение частицы $ d \vec s = \vec v dt $. Учитывая $ m \vec a \vec v dt = d \left( {{m v^2} \over {2}} \right) $, Получим:

$ d \left( {{m v^2} \over {2}} \right) = \vec F d \vec s $

Если система замкнута, то есть F=0, то $ d \left( {{m v^2} \over {2}} \right) = 0 $, а величина

$ E= {{m v^2} \over 2} $

остаётся постоянной. Эта величина называется кинетической энергией частицы. Если система изолирована, то кинетическая энергия является интегралом движения.

Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения:

$ K=\frac{m v^2}{2}+\frac{\mathcal{I} \vec \omega^2}{2} $

где:

$ m $ — масса тела

$ v $ — скорость центра масс тела

$ \mathcal{I} $ — момент инерции тела

$ \vec \omega $ — угловая скорость тела.

Физический смысл работы Править

Работа всех сил, действующих на частицу, идёт на приращение кинетической энергии частицы:

$ A_{12} = T_2 – T_1 $

При скоростях, близких к скорости света, кинетическая энергия материальной точки

$ T = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1- v^2/c^2 }} – m_0 c^2 $

где $ m_0 $ — масса покоящейся точки, $ c $ — скорость света в вакууме ($ m_0 c^2 $ — энергия покоящейся точки).

При малых скоростях ($ v << c $) последнее соотношение переходит в обычную формулу $ {1 \over 2} m v^2 $.

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Кинетическая энергия. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---

ru.vlab.wikia.com